Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian theo chủ đề đầy đủ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.04 KB, 16 trang )

Xuctu.com - Chuyờn hỡnh gii tớch trong khụng gian
Nguyn Quc Tun (Trung tõm giỏo viờn Hu: 0905671232) Trang 1
Phơng pháp tọa đọ trong không gian

Bài 1. hệ tọa độ trong không gian
Bi tp 1.
Trong Oxyz, cho 4 im A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tỡm ta v di ca cỏc vect sau:
, , , , 2 3 4
AB BC CD CD u AB CD DA

.
b) Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CD, DA. Tỡm ta ca M, N, P, Q.
c) Chng minh A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc. Tỡm ta trng G tõm ca ABC.
d) Tỡm ta im E sao cho t giỏc ABCE l hỡnh bỡnh hnh. Tớnh din tớch ca hỡnh bỡnh hnh
ABCE.
e) Chng minh 4 im A, B, C, D khụng ng phng. Tớnh th tớch ca t din ABCD.
f) Tớnh tớnh di ng cao h t cỏc nh tng ng ca t din ABCD.
g) Tỡm cụsin gúc to bi cỏc cnh i din ca t din.
h) Tỡm ta im B i xng vi B qua im D.
i) Tỡm ta ca im K nm trờn trc Oz ADK vuụng ti K.
Bi tp 2.
Cho 3 im A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) v C(x; y; 6). Tỡm x, y A, B, C thng hng.
Bi tp 3. Trong khụng gian Oxyz, cho 3 im

3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3

A B C
.
a) Tỡm ta hỡnh chiu ca cỏc im A, B, C trờn cỏc trc ta , trờn cỏc mt ta .
b) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc mp ta .
c) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc trc ta .
d) Tỡm ta ca im i xng vi A (B, C) qua gc ta .
e) Tỡm ta im A i xng vi A qua C.
Bi tp 4.
Trong kg Oxyz, cho 3 im

1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2
A B C
.
a) CMr: ABC vuụng ti B.
b) Tớnh din tớch ca ABC .
c) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip ABC .
d) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC .
Bi tp 5.
Trong kg Oxyz, cho 3 im

1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1
A B C
. Tớnh cỏc gúc ca ABC .
Bi tp 6.
Trong kg Oxyz, cho 4 im

1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1
A B C D
.
a) Chng minh bn im A, B, C, D l cỏc nh ca mt hỡnh ch nht
b) Tớnh di cỏc ng chộo, xỏc nh to ca tõm hỡnh ch nht ú.
c) Tớnh cụsin ca gúc gia hai vect

AC
v

BD
.
Bi tp 7.
Trong kg Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.ABCD, bit

1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2
A B D A

a) Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
b) Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh hp.
c) Tớnh th tớch V ca hỡnh hp.
d) Tớnh di ngcao ca hỡnh hp k t A.
Trong kg Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.ABCD, bit

1 1 1 3 3 3
; ; , ; ; ,
A x y z C x y z

, , ,
2 2 2
' ; ; ,
B x y z

, , ,
4 4 4
' ; ;
D x y z
. Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 2
Bài tập 8. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm








5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2
A B C D
  

a) CMR: a
1
/ 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
1. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
2. Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b) Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
Bài tập 9. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm









1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 2
A B C D
 

a) CMr 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
c) Tính thể tích của tứ diện. (Theo 4 công thức)
d) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A.
e) Tìm MOz sao cho 4 điểm M, A, B, C đồng phẳng.
f) Tìm NOy sao cho ∆NAD vuông tại N.
g) Tìm POxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C.
Bµi 2 . ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bài tập 1.
Trong kg Oxyz, cho M(1;3;1).
a) Viết pt mặt phẳng () qua M và có VTPT


2; 1;1
n  

.
b) Viết pt mặt phẳng () qua M và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng () vuông góc với 2 véc-tơ



 

1
1;0; 2
u
và


  

2
1; 3;4
u
.
Bài tập 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(1;0;2), C(1;3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c) Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d) Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e) Gọi A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mặt phẳng (P) qua
A
1
, A
2

, A
3
.
Bài tập 3.
Trong kg Oxyz, cho 3 điểm






3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3
A B C 
.
a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm M sao cho
2 3
AM BA CM
 
  
.
d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài tập 4. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng ():
   
2 3 4 2 0
x y z
.
a) Viết pt mp () qua A và song song với mặt phẳng ().
b) Viết pt mp



g
qua OA và vuông góc với mặt phẳng ().
Bài tập 5. Trong kg Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;1;3) và mặt phẳng
():
3 2 4 0
x y z
   
. Viết pt mặt phẳng () qua A, B và vuông góc với mặt phẳng ().
Bài tập 6. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mặt phẳng () qua A, song song Oy và vuông góc
với mặt phẳng ():
3 4 6 0
x y z
   

Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 3
Bài tập 7. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng
(β) qua A, B và (β) ().
Bài tập 8. Trong Oxyz, cho ():
3 2 4 0
x y z
   
, ():
3 4 6 0
x y z
   
. Lập pt mặt
phẳng () qua giao tuyến của (), () và qua A(2;1;1).

Bài tập 9.
Trong Oxyz, cho ():
4 0
x y z
   
, ():
3 2 1 0
x y z
   
. Lập pt mặt phẳng
() qua giao tuyến của (), () đồng thời vuông góc với mặt phẳng ():
2 3 1 0
x y z
   
.
Bài tập 10. Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với 2 mp:():
7 0
x y z
   
,
():
3 2 12 5 0
x y z
   

Bài tập 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (): 3x – 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.

e. Tính S
∆ABC
.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài tập 12.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-
1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f. Tính góc giữa AB và CD.
Bài tập 13.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mặt phẳng
 
: 2 2 5 0
x y z
a
   
.
a. Viết phương trình mặt phẳng


b
song song với mặt phẳng



a
và cách


a
một khoảng bằng
5.
b. Viết phương trình mặt phẳng


g
đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng


a
.
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài tập 14. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có
tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
Bài tập 15.
Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục
Oz.
Bài tập 16. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bài tập 17. Cho mặt mặt phẳng
 
: 3 2 6 14 0
x y z
a

   
và mặt cầu
 
 
2
2 2 2
: 2 2 0
S x y z x y z
      
. Chứng minh rằng


a
cắt (S) theo một đường
tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 4
Bài tập 18. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -
1; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
e. Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
f. Tính góc giữa các vectơ
AC

và
BD


.
g. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho
8
MA MB MC MD
   

  
.
Bài tập 19. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 0; 4), B (5; 1; 3) và mặt phẳng
 
: 2 3 6 0
x y z
a
   
.
a. Viết phương trình mặt phẳng


b
đi qua điểm A và song song với mặt phẳng


a
.
b. Viết phương trình mặt phẳng


g
đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng



a
.
c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với


a
.
d. Tìm các giao điểm A, B, C của


a
với các trục Ox, Oy, Oz. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
Bµi 3. ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
Bài tập 1 Lập pt tham số của đường thẳng (đt)  trong mỗi trường hợp sau:
a)  qua 2 điểm A(2;3;5) và B(1;2;3).
b)  qua điểm A(1;1;3) và ssong với BC, biết B(1;2;0), C(1;1;2).
c)  qua điểm A(1;0;2) và  vuông với mp():
7 0
x y z
   

d) Tìm ptct của  biết  có phương trình tham số là:
1
2
x t
y t
z




 


 


e) Tìm phương trình tham số của  biết  có ptct là:
 
 

2 3
2 1 3
x y z
.
Bài tập 2
Cho 2 điểm A(-1; 6; 6), B(3; -6; -2) và C(x; y; 6). Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao
cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 3 Lập pt mp qua điểm A, và đt , biết A(4;2;3), :
1 2 2
3 4 2
x y z
  
 

Bài tập 4
Cho




  


 

: 11 2
16
x t
d y t
z t
  
 
5 2 3
' :
2 1 6
x y z
d
. CMr: d cắt d’.Viết ptmp
chứa d và d’.
Bài tập 5
Cho
 


 


 

5 2

: 1
5
x t
d y t
z t
và
 


  


 

3 2 '
' : 3 '
1 '
x t
d y t
z t
. CMr: d)/d’. Viết ptmp chứa d và d’.
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 5
Bài tập 6 Cho



 



 

: 1 2
6 3
x t
d y t
z t
và
 


  


 

1 '
' : 2 '
3 '
x t
d y t
z t
.
a. CMr: d và d’ chéo nhau.
b. Lập pt mp qua O và song song với d và d’.
Bài tập 7
Lập pt mp() chứa đt :






 





4
3
7
2
2
x t
y t
z t
và vuông góc với mp(P):
2 5 0
x y z
   
.
Bài tập 8 Cho A(3;2;1) và đt d:

 
3
2 4 1
x y z

a) Viết pt mp () đi qua A và chứa d.
b) Viết pt đt d’ qua A, vuông góc d, và cắt d.

Bài tập 9 Cho d:
1 1 2
2 1 3
x y z
  
 
, (P):
1 0
x y z
   
. Viết ptct của đt  qua A(1;1;2), 
// (P) và   d.
Bài tập 10
Viết ptđt  qua A(0;1;1),   d
1
:
1 2
3 1 1
x y z
 
 
và cắt d
2
:
 


 



 

1
1
2
x
y t
z t

Bài tập 11
Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả 2 đt d
1
:



 


  

1
1
1
4
1 2
x t
y t
z t
và d

2
:
 


 




2
2
2
2 3
3
x t
y t
z t

Bài tập 12 Cho đường thẳng d:
 


 


 

12 4
9 3

1
x t
y t
z t
và mp(P):
   
3 5 2 0
x y z
.
a) Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
b) Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.

c) Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).
d) Tính góc giữa d và (P).
e) Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn thẳng BB’.
f) Viết ptđt  nằm trong (P) vuông góc và cắt d.
Bài tập 13
Cho d:



  


 

11 2
16
x t
y t

z t





t
và :
5 2 6
2 1 3
x y z
  
 

a) Tìm VTCP của d.
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 6
b) CM d và  cùng nằm trong một mp. Viết pt mp đó. Tìm giao điểm I của d và .
Bài tập 14
Cho 2 đt d
1
:
1 1 3
3 2 2
x y z
  
 

và d
2

:
1 3
1 1 2
x y z
 
 
.
a) Hãy xét vị trí tương đối của d
1
, d
2
.
b) Tìm tọa độ giao điểm I của d
1
, d
2
.
c) Lập phương trình tổng quát của mp chứa d
1
, d
2
.
Bài tập 15 Cho 2 đường thẳng d
1
:
2 3 4
2 3 5
x y z
  
 


và d
2
:
1 4 4
3 2 1
x y z
  
 
 
. Tìm ptct của
đường vuông góc chung của 2 đt d
1
, d
2
. Tìm tọa độ giao điểm H, K của d lần lượt với d
1
, d
2
.
Bài tập 16 Cho 2 đt chéo nhau có pt là m:
1
4 2
3
x
y t
z t




  


 

, n:
3
3 2
2
x u
y u
z
 


 


 


a) Tình khoảng cách giữa 2 đt m, n.
b) Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt m, n.
Bài tập 17 Cho 2 đt d:
2
1
2
x t
y t
z t

 


 




và d’:
 







2 2 '
3
'
x t
y
z t

a) Cm d, d’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau.
b) Lập pt đường vuông góc chung của d, d’. Tìm tọa độ giao điểm của đương vuông góc chung
với d, d’.
c) Viết phương trình tổng quát của mp cách đều d và d’.
Bài tập 18
Cho 3 đt d

1
:
2 2 1
3 4 1
x y z
  
 
; d
2
:
7 3 9
1 2 1
x y z
  
 

; d
3
:
1 3 2
3 2 1
x y z
  
 
 
.
Lập pt đt d cắt d
1
, d
2

và ssong với d
3
.
Bài tập 19 Hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0,1,1) vuông góc với đường
thẳng
1
1
2
3
1 zyx




và cắt đường thẳng
1
1
3
x
y t
z t
 


 


 


Bài tập 20 Trong kg Oxyz, cho 2 đường thẳng d và d’ lần lượt có các pt
1 1
:
2 1 1
x y z
d
 
 


1 2
' : 2
3
x t
d y t
z t
 


 


 

và mặt cầu (S) có phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2

- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Tìm toạ độ các chân đường vuông
góc chung ấy.
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 7
d) Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
Bài tập 21 Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
9
2
3
1
7
:
1






zyx
d
,
3
1
2

1
7
3
:
2







zyx
d
. Hãy lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: x
2
+ y
2
+ z
2
- 10x + 2y + 26z - 113 = 0 và song
song với 2 đường thẳng
2
13
3

1
2
5
:
1






zyx
d
,
2
7 1 8
:
3 2 1
x y z
d
  
 


Bài tập 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
)(

,
)'(


lần lượt có
phương trình
3
: 1 2
4
x t
y t
z
 


   




,
2
':
2 2
x t
y t
z t
  


 


 



a) Chứng minh rằng:
)(

,
)'(

chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa
)(

,
)'(


c) Viết phương trình đường vuông góc chung giữa
)(

,
)'(


Bài tập 23
Thiết lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
4
1
1
1
13 zyx






và
tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z -67 = 0.
Bài tập 24 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x-6y-4z=0
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu .
2. Gọi A, B,C là giao điểm (khác O) của (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Tính khoảng cách từ tâm
mặt cầu (S) đến mặt phẳng (ABC).
Bài tập 25
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng




2

: 2 2 3 0 tham sè
P x y z m m m    

và mặt cầu
       
2 2 2
: 1 1 1 9
S x y z
     
. Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). Với m vừa
tìm được, hãy xác định tọa độ của tiếp điểm của (P) và (S).
Bài tập 26 Trong không gian cho Oxyz, cho 2 đường thẳng:
1
3
: 2 2
x
d y t
z t



 




,
2
1 2 '
: 2 '

1 2 '
x t
d y t
z t
 


 


 


a) Chứng minh rằng d
1
không cắt d
2
nhưng d
1
vuông góc d
2
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(

chứa d
1
,
)(


vuông góc d
2
, mặt phẳng
)(

chứa d
2
và
)(

vuông góc d
1
.
c) Tìm giao điểm của d
2
và
)(

, d
1
và
)(

. Suy ra phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
tiếp xúc với d
1
, d
2
.
Bài tập 27 Cho mặt phẳng

)(

: 6x+3y+2z-6=0
a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng
)(


b) Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua
)(


Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 8
Bài tập 28 Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x + 4y - 2z - 86 = 0 và mặt phẳng
)(

: 2x - 2y - z + 9
= 0.
a) Định tâm và bán kính mặt cầu .
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với
)(

.
c) Chứng tỏ

)(

cắt mặt cầu (S). Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.
Bài tập 29
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) qua đi gốc toạ độ O và 3 điểm A(2,0,0),
B(0,-1,0), C(0,0,3).
a. Xác dịnh tâm và bán kính mặt cầu (S).
b. Lập phương trình mặt phẳng
)(

qua A, B, C.
c. Lập phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và
)(

. Tính bán kính đường tròn này.
Bài tập 30 Cho đường thẳng
1
1
3
9
4
12
:)(





zyx
d

và mặt phẳng
)(

: 3x+5y-z-2=0.
a) Chứng minh (d) cắt
)(

.Tìm giao điểm của chúng.
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(

qua M(1;2;1) và
d

)(


c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng
)(

.
Bài tập 31 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
3
: 1
x t
y t
z t
 



   


 

và
5
4
1
3
2
1
:
2







zyx

a.Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng
1

,
2


b.Viết phương trình mặt phẳng song song với 2 đường thẳng
1

,
2

và cách đều
1

,
2


Bài tập 32
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng
)(

: 3x - 2y + 5z + 6 = 0
a. Chứng tỏ A nằm trên
)(

.
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và
)(


d

c. Tính sin của góc tạo bởi OA và
)(

.
Bài tập 33 Trong không gian Oxyz, cho A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
a. Viết phương trình của mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
Bài tập 34
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức:
A(2;4;-1),

 kjiOB 4
, C=(2,4,3),

 kjiOD 22
.
a. Chứng minh rằng
ACAB

,
ADAC

,
AB
AD

.Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung


của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng (ABD).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện
)(

của
mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Bài tập 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: A(0;1;0), B(2;3;1),
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 9
C(-2;2;2), D(1;-1;2).
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm B, C, D. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P)
sao cho OM + AM nhỏ nhất.
c. Gọi (S) là mặt cầu tâm A tiếp xúc mp (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) và mp (P).
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập 1.
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1

B và B
1
D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường
thẳng MP và C
1
N.
Bài tập 2
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Bài tập 3
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1

B và B
1
D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C
1
N.
Bài tập 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
(d) :
2 3
1 2 2
 
 

x y z
và mặt phẳng (P) :
2 5 0
   
x y z

a) Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .

b) Viết phương trình đường thẳng (

) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) .
Bài tập 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng
(P) :
2 3 1 0
   
x y z
và (Q) :
5 0
   
x y z
.
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc
với mặt phẳng (T) :
3 1 0
  
x y
.
Bài tập 6
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng
(P): 2x  y + 2 = 0 và đường thẳng d
m
:




 






02412
01112
mzmmx
mymxm

Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P) .
Bài tập 7 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x -
y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P)
và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Bài tập 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
3 1 3
2 1 1
  
 
x y z
và
mặt phẳng (P) :
2 5 0
   
x y z
.
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .

c. Viết phương trình đường thẳng (

) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 10
Bài tập 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
1
1 2
( ) :
2 2 1
 
  
 
x y z
,
2
2
( ) : 5 3
4
 


   




x t
y t
z

a. Chứng minh rằng đường thẳng
1
( )

và đường thẳng
2
( )

chéo nhau .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng
1
( )

và song song với đường thẳng
2
( )

.
Bài tập 10 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'
có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b)
(a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC'.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b.
b) Xác định tỷ số
b
a
để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài tập 11
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và
điểm C sao cho



060 ;;AC 
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài tập 12 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đường thẳng:
d
k
:





01
023
zykx
zkyx

Tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng (P): x - y - 2z + 5 = 0.
Bài tập 13 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài tập 14
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d:









tz
ty
tx
41
1
23
(t  R). Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với
đường thẳng d.
Bài tập 15 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
.
Biết A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B
1
(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1

theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
Bài tập 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z
  
 

và mặt
phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 11
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), biết  đi qua A và vuông góc với d.
Bài tập 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0; -
3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1

(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song
song với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
Bài tập 18 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z

  
 

và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
   


  


a) Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai
đường thẳng d
1
và d
2
.
b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2

lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích
OAB (O là gốc toạ độ)
Bài tập 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0) B(1; 0; 0) D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  biết cos =
1
6

Bài tập 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng
d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z
  
 

d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z
  
 


a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

1

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2

Bài tập 21
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
1
:
1 2
2 1 1
x y z
 
 

và d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
  



 





a) Chứng minh rằng: d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai
đường thẳng d
1
, d
2

Bài tập 22
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3
= 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian

Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 12
Bài tập 23 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2 B(-1 2; 4) và đường
thẳng :
1 2
1 1 2
x y z
 
 


a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt
phẳng (OAB).
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
Bài tập 24 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đường thẳng
d:








0422
0122
zyx

zyx
và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x - 6y + m = 0.
Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm
đó bằng 9.
Bài tập 25 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; -
1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng CD sao cho ABM có chu vi nhỏ nhất.
Bài tập 26
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0;
3
a
),
B(0; 0; 0), C(0; a
3
; 0) (a > 0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và OM.
Bài tập 27 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết
phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với với mặt phẳng xOy một góc bằng 30
0
Bài tập 28 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng (
1
) và (
2
) có

phương trình: 
1
:





0104
0238
zy
yx

2
:





022
032
zy
zx

a) Chứng minh (
1
) và (
2
) chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng () song song với trục Oz và cắt các đường thẳng (
1
) và
(
2
).
Bài tập 29 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với các cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là
trung điểm của BC, DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a.
Bài tập 30
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A
 Ox, B  Oy, C  Oz và mặt phẳng (ABC) có phương trình:
6x + 3y + 2z - 6 = 0.
a) Tính thể tích khối tứ diện OABC.
b) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC.
Bài tập 31
Trong kh«ng gian Oxyz cho 2 ®êng th¼ng: 
1
:





0422
042
zyx
zyx

Xuctu.com - Chuyờn hỡnh gii tớch trong khụng gian
Nguyn Quc Tun (Trung tõm giỏo viờn Hu: 0905671232) Trang 13

và
2
:

tz
ty
tx
21
2
1

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song
song với đờng thẳng
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
2

sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Bi tp 32 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz,
cho hai mặt phẳng (P): x y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1

= 0. Viết phơng trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp
xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; 1; 1).
Bi tp 33
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai
điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và điểm C sao cho

060 ;;AC
. Tính
khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đờng thẳng OA.
Bi tp 34 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O.
Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình
chóp S.ABMN.
Bi tp 35 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình
lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a; 0; 0); B(a; 0; 0); C(0; 1;
0); B
1
(a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng B

1
C và AC
1
theo a,
b.
b) Cho a, b thay đổi nhng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b
để khoảng cách giữa 2 đờng thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
Bi tp 36 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z

và mặt phẳng (P): 2x + y 2z + 9 = 0.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt
phẳng (P) bằng 2
Xuctu.com - Chuyờn hỡnh gii tớch trong khụng gian
Nguyn Quc Tun (Trung tõm giỏo viờn Hu: 0905671232) Trang 14
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P).
Viết phơng trình tham số của đờng thẳng nằm trong mặt phẳng
(P), biết đi qua A và vuông góc với d.
Bi tp 37 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ
đứng ABC.A
1
B

1
C
1
với A(0; 3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phơng trình mặt cầu có tâm là
A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng P) đi
qua hai điểm A, M và song song với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đờng
thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
Bi tp 38 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng

thẳng:
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z

và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y

Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phơng trình
mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng thẳng d
1

và d
2

mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các
điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ)
Bi tp 39
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1;
2) và hai đờng thẳng :
d
1
:
1 1
2 1 1
x y z

d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với
d
1
và d
2
.
b) Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N
thẳng hàng
Bi tp 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, AD = a
2
, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm
của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt
phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Bi tp 41
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S):

x
2
+ y
2
+ z
2
2x + 4y + 2z 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x y + 2z
14 = 0
a) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo
một đờng tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Xuctu.com - Chuyờn hỡnh gii tớch trong khụng gian
Nguyn Quc Tun (Trung tõm giỏo viờn Hu: 0905671232) Trang 15
Bi tp 42 Trong không gian Oxyz cho 2 đờng thẳng:
1
:

0422
042
zyx
zyx

và
2
:

tz
ty
tx
21
2
1

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song
song với đờng thẳng
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
2

sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Bi tp 43 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz,
cho mặt phẳng
(P): 2x y + 2 = 0 và đờng thẳng d
m
:

02412
01112
mzmmx
mymxm

Xác định m để đờng thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P) .

Bi tp 43 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch
t C n (P) bng khong cỏch t D n (P)
Bi tp 44
Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 5 = 0 v hai
im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit
phng trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.
Bi tp 45.
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v
mt phng (P): x + y + z 20 = 0. Xỏc nh ta im D thuc ng thng AB sao cho ng
thng CD song song vi mt phng (P).

Bi tp 46 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng :
x 2 y 2 z
1 1 1

v mt
phng (P): x + 2y 3z + 4 = 0. Vit phng trỡnh ng thng d nm trong (P) sao cho d ct v
vuụng gúc vi ng thng .
Bi tp 47
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mp(
P

:

2

x

2

y

z

4

0
mt
cu (S):
x
2

y

2

z

2

2

x

4

y

6

z

11

0
.
Chng minh rng mt
phng

P

ct (S) theo mt ng trũn. Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.
Bi tp 48 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mp(

P

:

x

2

y

z

1

0 v hai ng thng
1
1 9
:
1 1 6
x x z

v
2
1 3 1
:
2 1 2
x y z

. Xỏc nh M thuc
1
sao cho khong cỏch t M
n
1
v khong cỏch t M n mp(P) bng nhau.

Bi tp 49
Trong

khụng

gian

vi

h

ta

Oxyz,

cho

im

A

2

;

5

;

3

v

ng

thng

1 2

:
2 1 2
x y z
d

Xuctu.com - Chuyên đề hình giải tích trong không gian
Nguyễn Quốc Tuấn (Trung tâm giáo viên Huế: 0905671232) Trang 16
a)

Tìm

tọa

độ

hình

chiếu

vuông

góc

của

điểm

A