Phương pháp tọa độ trong không gian và bài tập

VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
. Khi đó ta có:

( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r
r


( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b− = − − −
r
r

( )
1 2 3
; ;ka ka ka ka=
r

1 1
2 2
3 3

a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r
r

1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b= + +
r
r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r

( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
os a,b
.

a b a b a b
c
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r
r

,a b
r
r
cùng phương
( )
3
1 2
1 2 3
1 2 3
0⇔ = ⇔ = = ≠
r
r
a
a a
a kb b b b
b b b

1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
r
r

2. Cho
( ) ( ) ( )
; ; , ; ; , ; ;
A A A B B B C C C
A x y z B x y z C x y z
,
( )
; ;
D D D
D x y z
. Khi đó ta có:

( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
Nếu I là trung điểm của AB thì
( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
I A B
I A B

I A B
x x x
y y y
z z z

= +



= +



= +


Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
( )
( )
( )
1
3
1
3
1
3
G A B C
G A B C
G A B C
x x x x

y y y y
z z z z

= + +



= + +



= + +


Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì
( )
( )
( )
1
4
1
4
1
4
G A B C D
G A B C D
G A B C D
x x x x x
y y y y y
z z z z z


= + + +



= + + +



= + + +


3.Tích có hướng của hai vectơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
a,b a b a b ;a b a b ;a b a b
 
= − − −
 
r
r
*
( )
, sin ,a b a b a b
 

=
 
r r r
r r r
*
a
r
và
b
r
cùng phương
, 0a b
 
⇔ =
 
r
r
r
*
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng
, . 0a b c
 
⇔ =
 
r
r r
* Nếu ABCD là hình bình hành thì

,
ABCD
S AB AD
 
=
 
uuur uuur
- Nếu ABC là 1 tam giác thì
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
* Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì
. ' ' ' '
, . '
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
- Nếu ABCD là tứ diện thì
1
, .
6

ABCD
V BA BC BD
 
=
 
uuur uuur uuur

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Trong không gian cho
( )
1;2;3a =
r
,
( )
2;0;5b = −
r
và
( )
2 1;1;3c m= +
r
a. Tính toạ độ của
3a b+
r
r
b. Tính
( )
. 2a a b+
r
r r
c. Tính

a b+
r
r
d. Tính
( )
,a b
r
r
e. Tìm m để
8c a=
r r
f. Tìm m để
c a
⊥
r r
Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết
( ) ( ) ( )
1;1;1 , 3;0;2 , 4; 2;0A B C− −
Tìm toạ độ đỉnh D
Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
2;1;5 , 3;0; 2 , 4;7;6A B C−
a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G
b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK
c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN.
Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm
( ) ( )
( )
2
1;1;1 , 3;2;5 , 2 3; ;4A B C m m m− + −

Tìm m để tam giác ABC vuông tại A
Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2;5 , 2;1;3 , 1;1;2 1A B C m m+ −
Tìm m để
( )
0
, 60AB AC =
uuur uuur
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết
( ) ( ) ( ) ( )
2;0;2 , 4;2;4 , 2; 2;2 , ' 8;10; 10A B D C− −
Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Bài 7: Cho
( ) ( ) ( )
A 3;4; 1 ,B 2;0;3 ,C 3;4;5− −
.
a. Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác
b. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
c. Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8: Cho
( ) ( ) ( )
A 2;1; 1 ,B 3;0;1 ,C 2; 1;3− −
và
D Oy∈
. Biết thể tích V của ABCD bằng 5.
Tìm toạ độ của điểm D.
Bài 9: Cho tam giác ABC với
( ) ( ) ( )
A 1;2; 1 ,B 2; 1;3 ,C 4;7;5− − −

. Tính độ dài đường phân
giác trong của góc B.
Bài 10: Cho
( ) ( ) ( )
a 2;3;1 ,b 5;7;0 ,c 3; 2;4= = = −
r
r r
. Chứng minh rằng
a,b,c
r
r r
không đồng phẳng.
Hãy biểu diễn
( )
d 4;12; 3= −
r
theo 3 vectơ
a,b,c
r
r r
Bài 11: Cho
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;0;1 ,B 1;1;2 ,C 1;1;0 ,D 2; 1; 2− − − −
. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ
diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính
ABCD
V
, từ đó suy ra độ dài
đường cao AH của tứ diện
Bài 12: Cho

( ) ( ) ( )
A 1; 2; 1 ,B 5;10; 1 ,C 4;1;1− − − −
. Chứng minh ABC là 1 tam giác. Tìm toạ độ
trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 13: Cho
( ) ( )
A 1;2; 1 ,B 4;3;5−
. Xác định
M Ox ∈
sao cho M cách đều A, B
Bài 14: Cho
( ) ( )
A 4; 1;2 ,B 3;5; 1− − −
. Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm
của BC thuộc Oxz.
Bài 15: Cho
v 0≠
r
r
. Gọi
, ,α β γ
là 3 góc tạo bởi
v
r
với
Ox, Oy, Oz
. Chứng minh rằng

2 2 2
cos cos cos 1α + β+ γ =

VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Góc giữa hai đường thẳng :
Đường thẳng
1
d
có VTCP
( )
1 1 1
; ;u x y z=
r
và đường thẳng
2
d
có VTCP
( )
2 2 3
; ;v x y z=
r
Gọi
β
là góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
d
. Khi đó
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2
os =
x x y y z z
c
x y z x y z
β
+ +
+ + + +
2. Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho
( )
1 1 1 1
: 0P a x b y c z d+ + + =
và
( )
2 2 2 2
: 0Q a x b y c z d+ + + =
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
. Khi đó
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os =

a a bb c c
c
a b c a b c
α
+ +
+ + + +
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng
d
có VTCP
( )
; ;u a b c=
r
và mặt phẳng
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
Gọi
β
là góc giữa
d
và
( )
α
. Khi đó
2 2 2 2 2 2
Aa + Bb + Cc
sin
A B C a b c

β
=
+ + + +
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0x y z
α
− + − =
và
( )
: 2 3 0x y z
β
− + + + =
Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng
( )
1
2 3
: 2
5 4
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −


và
( )
2
2
: 2 3
4 5
x t
d y t
z t
=


= −


= +

Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng
( )
3 2
: 3
7
x t
d y t
z t
= −


=



= +

và mặt phẳng
( )
: 3 1 0x y z
α
+ + − =
VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng :

Trong không gian Oxyz, cho
( )
: Ax + By + Cz +D = 0
α
và
( )
0 0 0
; ;M x y z
. Khi đó ta có:

( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax
,

By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Cho
( ) ( )
//
α β
và
( )
M
α
∈
. Khi đó
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α β β
=
3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng
∆
đi qua
0
M

và có VTCP
u
r
:
Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa M
và
( )
α
⊥ ∆
- Tìm
( )
K
α
= ∆∩
- Tính MK. Suy ra
( )
,d M MK∆ =

0
,M M u
h
u
 
 
=
uuuuuur

r
r
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song :
Cho
// 'd d
và
M d∈
. Khi đó
( ) ( )
, ' , 'd d d d M d=
5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Cho
( )
//
α
∆
và
M ∈∆
. Khi đó
( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α α
∆ =
6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
d
và

2
d
; biết
1
d
đi qua
1
M
và có
VTCP
1
u
r
,
2
d
đi qua
2
M
và có VTCP
2
u
r
: (Chương trình nâng cao)
Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa
1

d

và
( )
2
// d
α
- Lấy
2
M d∈
và tính
( )
( )
,d M
α
- Suy ra
( ) ( )
( )
1 2
, ,d d d d M
α
=
[ ]
[ ]
1 2 1 2
1 2
, .
,
u u M M
h

u u
=
uuuuuur
r r
r r
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
-
0n ≠
r
r
được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
nếu giá của nó vuông góc với
( )
α
- Cho hai vectơ không cùng phương
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
có giá song song hoặc nằm
trong
mặt phẳng
( )

α
. Khi đó
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ,
a a
a a a a
n
b b b b b b
 
=
 ÷
 ÷
 
r
là 1 vectơ pháp tuyến của
( )
α
,
n
r
được gọi
là
tích có hướng của
a
r
và
b
r

; kí hiệu là
,a b
 
 
r
r
hoặc
a b∧
r
r

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
a. Mặt phẳng
( )
α
đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
; ;n A B C=
r
làm VTPT có phương
trình:

( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
b. Phương trình có dạng

2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0 (A 0)B C+ + ≠
được gọi là phương
trình tổng quát của mặt phẳng.
3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao)
Nếu
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
với
0abc ≠
thì phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là
1
x y z
a b c
+ + =
( )
*
.
( )
*
được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
: 0; : 0A x B y C z D A x B y C z D
α β

+ + + = + + + =
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
( )
α
cắt
( )
β

( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; ; ;A B C k A B C⇔ ≠
( )
α
cắt
( )
β

1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C⇔ ≠
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;
//
A B C k A B C
D kD
α β

=


⇔

≠


( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;A B C k A B C
D kD
α β

=

≡ ⇔

=


( ) ( )

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
5. Chùm mặt phẳng: (Bổ sung)
Cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
cắt nhau lần lượt có phương trình:
( ) ( )
: 0, : ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D
α β
+ + + = + + + =
. Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến
của hai mặt phẳng

( )
α
và
( )
β
gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều
có phương trình:
( ) ( )
' ' ' ' 0a Ax By Cz D b A x B y C z D+ + + + + + + =
trong đó
2 2
0a b+ ≠
6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung)
Cho mặt phẳng
( )
: Ax + By + Cz + D = 0α
và 2 điểm
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
M x ;y ;z , M x ;y ;z
. Khi đó ta
có:
- Nếu
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + >
thì
1 2
M ,M
nằm cùng phía đối với

( )
α
- Nếu
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + <
thì
1 2
M ,M
nằm khác phía đối với
( )
α
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua
( )
1; 2;6A −
và nhận
( )
2;0;3n = −
r
làm VTPT
Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua
( )
2;1; 5M −
và song song với
( )
Oxy
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho
( ) ( )

2;3;5 , 2;3;1A B−
. Lập phương trình tổng quát của
mặt phảng trung trực đoạn AB
Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm
( )
2; 3;5P −
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;1;1 , 4;3;2 , 5;2;1A B C
a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
( )
ABC
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng
( )
α
đi qua A và song song với mặt phẳng
( )
: 2 3 5 0x y z
β
+ − − =
Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm
( ) ( )
1;1;1 , 3;2; 1A B −
và vuông góc
với mặt phẳng
( )
: 2 3 5 7 0x y z
α
− + + + =

Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua
( )
3;2;5N −
và vuông góc với trục Ox.
Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của
( )
2;3;5M
trên các trục toạ
độ
HD: Dùng phương trình đoạn chắn.
Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết
( ) ( ) ( )
1;1;1 , 2;3;5 , 3; 2;2O A B −
. Viết phương trình của các mặt phẳng
( ) ( )
,OAC OBC
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua
( )
0;2; 1M −
, song song với trục Ox và vuông
góc với mặt phẳng
0x y z− + =
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua
( )
3;0;1A −
, vuông góc với hai mặt phẳng
( )
: 2 3 2 0P x y z− + − + =
và
( )

: 5 2 1 0Q x y z+ − + =
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1;2;3M
và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3
điểm cách đều gốc toạ độ.
HD:
Gọi mặt phẳng cần tìm là
( )
α
⇒
phương trình của mặt phẳng của
( )
α
có dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Vì
( )
M
α
∈
nên ta có :
1 2 3
1
a b c
+ + =
( )

1
Theo đề ra ta có
a b c= =
. Khi đó
( )
6
1 1 6a
a
⇔ = ⇔ =
Phương trình của mặt phẳng
( )
: 1
6 6 6
x y z
α
+ + =
Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
x 2z 0
:
3x 2y z 3 0
− =

∆

− + − =

và

vuông góc với mặt phẳng
( )
: x 2y z 5 0β − + + =
Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa Oz và lập với mặt phẳng
( )
: 2x y 5z 0β + − =
một
góc 60
0
HD :
Pt của
( )
α
có dạng
( )
2 2
mx ny 0 m n 0+ = + >
Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng
( )
α
qua
( ) ( )
M 0;0;1 , N 3;0;0
và tạo với Oxy một
góc 60
0
Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng

( )
α
đi qua
( )
M 1;2;1
và chứa giao tuyến của
( )
P : x y z 1 0+ + − =
và
( )
Q :2x y 3z 0− + =
Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng
( )
α
chứa
x y z 3 0
:
3x y 2z 1 0
− + − =

∆

+ + − =

và vuông góc với
mặt phẳng
( )
P : x y 2z 3 0+ + − =
Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng
( )

α
đi qua 2 điểm
( ) ( )
A 2; 1;0 ,B 5;1;1−
và
khoảng cách từ
1
M 0;0;
2
 
 ÷
 
đến
( )
α
bằng
6 3
Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng
( )
P : x 3y 7z 36 0− + + =
và
( )
Q :2x y z 15 0+ − − =
, biết rằng khoảng cách từ O đến
( )
α
bằng 3.

Bài 21 : Cho
( )
: 2x y 3z 4 0α − + + =
và
( )
M 2; 1;2−
. Viết phương trình của mặt phẳng
( )
β

đối xứng với
( )
α
qua M.
Bài 22: Cho tứ diện ABCD có
( ) ( ) ( ) ( )
5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4 , 4;0;6A B C D
a. Viết phương trình mặt phẳng
( )
BCD
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song
song với mặt phẳng
( )
ABC
Bài 23 : Cho mặt phẳng
( )
: x 2y z 3 0α + + − =
và
( )

M 1;1;1
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
sao cho
( ) ( )
( )
d , 4α β =
đồng thời M và
( )
β
nằm cùng phía đối với
( )
α
Bài 24 : Cho mặt phẳng
( )
: 2x 2y z 1 0α + + + =
và
( )
M 1;2;1−
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
sao cho
( ) ( )
( )
d , 2α β =
đồng thời M và
( )
β

nằm khác phía đối với
( )
α
Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a.
2 3 4 5 0x y z− + − =
và
3 1 0x y z− + − =
b.
4 0x y z− + − + =
và
2 2 2 7 0x y z− + − =
c.
3 3 6 12 0x y z+ − − =
và
4 4 8 16 0x y z+ − − =
Bài 2 : Cho hai mặt phẳng
( )
2
5 2 5 0m x y mz m− − + + − =
và
2 3 3 0x y nz+ − + =
Tìm m và n để hai mặt phẳng :
a. Song song với nhau.
b. Trùng nhau.
c. Cắt nhau.
Bài 3 : Cho hai mặt phẳng
( ) ( )
:3 3 2 5 0x m y z

α
− − + − =
và
( )
2 2 10 10m x y mz+ − + − =
Tìm m để
a. Hai mặt phẳng song song
b. Hai mặt phẳng trùng nhau.
c. Hai mặt phẳng cắt nhau.
Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua
( )
1;2;3M
và chứa đường thẳng giao tuyến
của hai mặt phẳng
3 0x y z− + − =
và
3 2 5 0x y z+ + − =
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
3 1 0x z
− + =
và
2 3 5 0y z+ − =
và vuông góc với mặt phẳng
2 1 0x y− − =
Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng
2 0; 3 2 2 0; 4 4 0x y z x y z mx ny z− + = − − + = − + + =
Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp giải:
Cho điểm M và mặt phẳng

( )
α
. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên
( )
α
- Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của
( )
α
làm
VTCP)
- Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng
( )
α
tính được t
⇒
toạ độ của H
Bài 1: Cho điểm
( )
1;1;1M
và mặt phẳng
( )
: 2 5 1 0x y z
α
− + − + =
. Tìm toạ độ của H là hình
chiếu vuông góc của M trên
( )
α
Bài 2: Cho điểm
( )

2;1;1M −
và mặt phẳng
( )
: 5 1 0x y z
α
+ − + =
. Tìm toạ độ điểm M’, biết
M’ đối xứng với M qua
( )
α
Bài 3: Cho hai điểm
( ) ( )
3;1;1 , 7;3;9A B
và mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
α
+ + + =
. Tìm
( )
M
α
∈
sao
cho

MA MB+
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ nhất
HD :

- Gọi I là trung điểm của AB.
- Ta có
2MA MB MI+ =
uuur uuur
- MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên
( )
α
Bài 4: Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
2;1;6 , 4; 4;7 , 3;0; 1A B C− − − − −
và mặt phẳng
( )
: 2 2 5 0x y z
α
− − − =
Tìm
( )
M
α
∈
để
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất
HD :
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
- Ta có
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên

( )
α
Bài 5:
Cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;2;0 , 8; 1; 1 , 1;1; 5 , 3; 2;2A B C D− − − − − − −
và mặt phẳng
( )
: 4 2 8 0x y z
α
− − − =
a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện.
b. Tìm
( )
M
α
∈
để
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất
HD :
Câu a :
- Chứng minh
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
Câu b:
- Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
- Ta có

4MA MB MC MD MG+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên
( )
α
Bài 6: Cho mặt phẳng
( )
: 2 3 5 0x y z
α
− − + =
và hai điểm
( ) ( )
0;0; 3 , 9;15;12A B−
.
Tìm
( )
M
α
∈
sao cho
a.
MA MB+
ngắn nhất.
b.
MA MB−
dài nhất.
HD :
A và B ở khác phía đối với
( )
α

Câu a :
- Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và
( )
α
- Suy ra
M I≡
Câu b :
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua
( )
α
-
' 'MA MB MA MB A B− = − ≤
- Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B)
- Gọi
( )
'J A B
α
= ∩
. Suy ra
M J≡
Bài 7: Cho mặt phẳng
( )
: 3 19 0x y z
α
+ − − =
và hai điểm
( ) ( )
2;0;1 , 7; 5;3A B− − −
.
Tìm

( )
M
α
∈
sao cho
a.
MA MB+
ngắn nhất.
b.
MA MB−
dài nhất.
HD :
A và B ở cùng phía đối với
( )
α
Câu a:
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua
( )
α
- Gọi
( )
'J A B
α
= ∩
. Suy ra
M J≡
Câu b :
-
MA MB AB− ≤
- Gọi

( )
I AB
α
= ∩
- Suy ra
M I≡
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình tham số của đường thẳng :

Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
; ;u a b c=
r
làm VTCP có phương trình tham
số là :

0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +



= +


= +


Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng :

Cho đường thẳng d có phương trình tham số
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

( )
*
với
0abc ≠

( )

0 0 0
*
x x y y z z
a b c
− − −
⇒ = =
(phương trình chính tắc)
Chú ý : Nếu
0abc
=
thì không có phương trình chính tắc
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β

+ + + =


+ + + =



với
( )
α
cắt
( )
β
Chú ý :
Gọi
1
n
r
là VTPT của
( )
α
,
2
n
r
là VTPT của
( )
β
. Khi đó
[ ]
1 2
,u n n=
r r r
là VTCP của d

4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :
Cho đường thẳng d đi qua

( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có VTCP
( )
1 2 3
; ;u a a a=
r
, đường thẳng d’ đi
qua
( )
0 0 0 0
' '; '; 'M x y z
và có VTCP
( )
1 2 3
' '; '; 'u a a a=
r
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
d và d’ cắt nhau
⇔
hệ phương trình ẩn t, t’
sau
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x a t x a t

y a t y a t
z a t z a t
+ = +


+ = +


+ = +

( )
I
có đúng 1
nghiệm
d và d’ cắt nhau
⇔
[ ]
[ ]
0 0
, ' 0
, ' . ' 0
u u
u u M M

≠


=



r
r r
uuuuuuur
r r
// 'd d
0
'
'
u ku
M d
=

⇔

∉

r r
// 'd d
⇔
[ ]
0 0
, ' 0
, ' 0
u u
u M M

=


 

≠

 

r
r r
uuuuuuur
r
r
0
'
'
'
u ku
d d
M d
=

≡ ⇔

∈

r r
'd d≡ ⇔
[ ]
0 0
, ' 0
, ' 0
u u
u M M


=


 
=

 

r
r r
uuuuuuur
r
r
d chéo d’
⇔

u
r
không cùng phương với
'u
r

và hệ phương trình
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '

x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
+ = +


+ = +


+ = +

vô
nghiệm
d chéo d’
⇔

[ ]
0 0
, ' . ' 0u u M M ≠
uuuuuuur
r r
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
Hệ gồm phương trình của d và
( )
α
M d
∈
,
u

r
là VTCP của d,
n
r
là VTPT của
( )
α
( ) { }
d M
α
∩ = ⇔
hệ có nghiệm duy nhất
( ) { }
. 0d M n u
α
∩ = ⇔ ≠
r r
( )
//d
α
⇔
hệ vô nghiệm
( )
( )
. 0
//
n u
d
M
α

α
=


⇔

∉


r r
( )
d
α
⊂ ⇔
hệ có vô số nghiệm
( )
( )
. 0n u
d
M
α
α
=


⊂ ⇔

∈



r r
( )
d
α
⊥ ⇔

n
r
cùng phương với
u
r

[ ]
, 0n u⇔ =
r
r r
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
( )
1;1;1A
và
( )
3;0; 2B −
Bài 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng
2 3 0
1 0
x y z
x y z
+ − + =



+ + − =

Bài 3 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng
2 3 4 0
3 2 5 4 0
x y z
x y z
− + − =


+ − − =

Bài 4 : Cho mặt phẳng
( )
:3 4 3 0x y z
α
− + − =
và hai đường thẳng
( )
1
5 3
: 1
8 2
x t
d y t
z t
= − −



= +


= − −

;
( )
2
1 4 1
:
1 2 4
x y z
d
+ + +
= =
−
. Lập phương trình đường thẳng
∆
nằm trong
( )
α
và cắt cả
1 2
,d d
HD : Tìm toạ độ giao điểm A của
1
d
và
( )

α
. Tìm toạ độ giao điểm B của
2
d
và
( )
α

∆
là đường thẳng đi qua A và B.
Bài 5: Cho
( )
1 2
:
2 2 3
x y z− +
∆ = =
−
và mặt phẳng
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
. Lập phương trình
đường thẳng d nằm trong
( )
α
, cắt và vuông góc với
∆
HD :

- Tìm toạ độ giao điểm A của
∆
và
( )
α
- Gọi
n
r
là VTPT của
( )
α
và
u
r
là VTCP của
∆

- Suy ra
[ ]
,n u
r r
là VTCP của d
Bài 6 : Cho mặt phẳng
( )
: 3 4 2 0P x y z− − − =
và đường thẳng
( )
2 3
: 7
3 4

x t
d y t
z t
= − +


= −


= −

Lập phương trình đường thẳng
∆
đi qua
( )
0
1;4;0M −
, song song với
( )
P
và cắt d.
HD :
- Giả sử
∆
cắt d tại M
( )
2 3 ;7 ;3 4M t t t⇒ − + − −
( )
0
3 1; 3;3 4M M t t t⇒ = − − + −

uuuuuur
- Vì
( )
// P∆
nên
0 0
. 0 1n M M n M M t⊥ ⇔ = ⇔ =
uuuuuur uuuuuur
r r
- Vậy
∆
có VTCP
( )
0
2;2; 1M M = −
uuuuuur
và đi qua
( )
0
1;4;0M −
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng
( )
2 2
: 3 3
4 5
x t
d y t
z t
= +



= +


= − −

và

( )
1 4 4
' :
3 2 1
x y z
d
+ − −
= =
− −
HD :
- d có VTCP
( )
2;3; 5u = −
r
, d’ có VTCP
( )
3; 2; 1v = − −
r
- Lấy
( )
2 2 ;3 3 ; 4 5I t t t d+ + − − ∈
và

( )
1 3 ';4 2 ';4 ' 'J t t t d− + − − ∈
- IJ là đường vuông góc chung của d và d’
( )
( )
0;0;1
. 0 ' 1
1
2;2;3
. 0
I
IJ u IJ u t
t
J
IJ v IJ v
 
⊥ = =

  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
   
= −
⊥ =

 

 

uur uur
r r

uur uur
r r
Bài 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua
( )
4; 5;3M − −
và cắt cả hai đường thẳng
( )
1
1 3 2
:
3 2 1
x y z
d
+ + −
= =
− −
,
( )
2
2 2
: 1 3
1 5
x t
d y t
z t
= +


= − +



= −

HD :
- Gọi
∆
là đường thẳng cần viết phương trình.
- Giả sử
∆
cắt
1
d
tại
( )
1 3 ; 3 2 ;2A t t t− + − − −
và cắt
2
d
tại
( )
2 2 '; 1 3 ';1 5 'B t t t+ − + −
- Ta có
( )
2 ' 3 3;3 ' 2 2; 5 ' 1AB t t t t t t= − + + + − + −
uuur
và
( )
3 3 ; 2 2 ;1AM t t t= − − − + +
uuuur
- Yêu cầu bài toán

AB⇒
uuur
cùng phương với
AM
uuuur

, 0 ' 0AB AM t t
 
⇔ = ⇔ = =
 
uuur uuuur
Bài 9: Cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2;2;1 , 1;2; 2 , 2;1;2A B C− −
. Viết phương trình tham số của đường
thẳng d vuông góc với mp
( )
ABC
và đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 10 :
Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Cho hai đường thẳng
( )
1
7 4
:
2 5 3
x y z
d
− +

= =
−
và
( )
2
1 3
: 2
2
x t
d y t
z t
= −


=


= − +

.
Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng chứa
1
d
và

2
d
Bài 2: Cho hai đường thẳng
( )
1 5
: 5 7
3 3
x t
d y t
z t
= − +


= − +


= +

và
( )
3 4 1
' :
1 2 4
x y z
d
+ + −
= =
−
a. Chứng minh d và d’ chéo nhau
b. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’

HD :
Câu b :
- d đi qua
( )
1; 5;3A − −
và có VTCP
( )
5;7;3u =
r
,
'd
đi qua
( )
3; 4;1B − −
và có VTCP
( )
1; 2;4v = −
r
- Gọi
( )
α
là mặt phẳng cần viết phương trình. Suy ra
( )
α
đi qua trung điểm I của AB và
nhận
[ ]
,u v
r r
làm VTPT.

Bài 3: Cho hai đường thẳng
( )
( )
( )
2
1 1
: 4
5 2 1
x a t
d y at
z a t

= − + +


= −


= − + +


và
( )
3 1
' :
2 1 3
x y z
d
+ −
= =

−
a. Tìm a để d cắt d’
b. Tìm a để
'd d
⊥
Bài 4: Cho hai đường thẳng
( )
1 3 2
:
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
− −
và
( )
2
7 2
' : 1 3
x m t
d y m t
z m t

= − +

= − −


= −


. Tìm m để d cắt
d’
Bài 5: Cho hai đường thẳng
( )
2
: 3 3
1 2
x t
d y t
z t
= −


= − +


= − +

và
( )
( )
2
1 2
' : 6 2
3 2
x m mt
d y m t
z mt
= − −



= − − +


= − +

Tìm m để
// 'd d
. Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng
( )
, 'd d
Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN 1 ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải:
Cho điểm M và đường thẳng
∆
có VTCP
u
r
. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc
của M trên
∆
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
∆
- Lấy
( )
?;?;?H ∈∆
(toạ độ của H chính là phương trình tham số của
∆
- Tìm toạ độ của

MH
uuuur
theo t
- Ta có
. 0MH u t= ⇒ ⇒
uuuur
r
toạ độ của H
Chú ý :
( )
,d M MH∆ =
Bài 1: Cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1;3;2 , 4;0; 3 , 5; 1;4A B C− − −
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của
A trên đường thẳng BC.
HD:
-
( )
1; 1;7BC = −
uuur
. Phương trình đường thẳng BC là
4
3 7
x t
y t
z t
= +



= −


= − +

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC
( ) ( )
4 ; ; 3 7 5; 3;7 5H t t t AH t t t⇒ + − − + ⇒ = + − − −
uuur
-
27 231 27 36
. 0 ; ;
51 51 51 51
AH BC AH BC t H
−
 
⊥ ⇔ = ⇔ = ⇒
 ÷
 
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với
( )
2; 1; 5M − −
qua đường thẳng
( )
2 3 1
:
2 1 1
x y z− + +
∆ = =

−
HD:
Suy ra từ bài 1
Bài 3: Cho 2 điểm
( ) ( )
1;1;1 , 2;3;0A B −
và đường thẳng
( )
3
: 1 2
5 3
x t
d y t
z t
=


= −


= − +

Tìm
M d∈
sao cho
MA MB+
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ nhất.
HD:
- Gọi I là trung điểm của AB.

- Ta có
2MA MB MI+ =
uuur uuur
- MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.
Bài 4: Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
4;1; 28 , 4; 9;2 , 10;2; 10A B C− − −
và đường thẳng
( )
9 2
:
4 3
x t
d y t
z t
= +


= −


= − +

Tìm
M d∈
sao cho
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
đạt giá trị nhỏ nhất.
HD:

- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
- Ta có
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur
- MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên d
Dạng 4: HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp giải:
Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc
của d trên
( )
α
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
chứa d và
( ) ( )
β α
⊥
- Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên
( )
α
. Suy ra
( ) ( )
'd
β α
= ∩
Cách 2:Cho đường thẳng d và mặt phẳng

( )
α
. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc
của d trên
( )
α
- Tìm giao điểm A của d và
( )
α
- Lấy
B d∈
rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên
( )
α
- Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H.
Chú ý : Nếu
( )
//d
α
thì làm như sau :
- Lấy
A d∈
rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên
( )
α
- Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d. Suy ra d’ song song với d và d’ đi qua H
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng
( )
2 2 1
:

3 4 1
x y z
d
− + −
= =
lên mặt phẳng

( )
: 2 3 4 0x y z
α
+ + + =
Bài 2: Xác định hình chiếu của đường thẳng
5 0
2 3 4 0
x y z
x y z
− + − =


+ + − =

lên mặt phẳng

( )
:3 2 15 0x y z
α
− − + =
Bài 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
( )
1 2

: 2 3
3
x t
d y t
z t
= +


= − +


= +

trên mỗi
mặt phẳng
toạ độ
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
( )
7
3
2
: 2
2
x t
d y t
z t

= +



= −


= −


trên mặt
phẳng

( )
: 2 2 2 0x y z
α
+ − − =
Bài 5: Cho mặt phẳng
( )
: 3 3 2 0x y z
α
− − + =
và hai đường thẳng
( )
1
4 3
:
2 2
x z
d y
+ −
= =
−
và

( )
2
1 5
: 2
3
x t
d y t
z t
= − +


= +


= −

. Viết phương trình hình chiếu theo phương
2
d
của đường thẳng
1
d
trên
mặt phẳng
( )
α
VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình mặt cầu:

a. Mặt cầu (S) có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính r có phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
b. Nếu
2 2 2
0A B C D+ + − >
thì
2 2 2
2Ax +2By + 2Cz +D = 0x y z+ + +
là phương trình của
mặt cầu tâm
( )
; ;I A B C− − −
bán kính
2 2 2
= + + −r A B C D
c. Nếu mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
tại M thì
( )
α

được gọi là tiếp diện của
mặt cầu
( )
S
và M được gọi là tiếp điểm
d. Nếu đường thẳng
∆
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
tại M thì
∆
được gọi là tiếp tuyến của
( )
S
và M được gọi là tiếp điểm.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU- XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH
Bài 1: Lập phương trình của mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó đi qua
( )
5;3;2A
và có tâm
( )
1;1;1I
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB, biết
( ) ( )
2; 1;5 , 3;5;7A B−
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a.
2 2 2

2 4 6 3 0x y z x y z+ + + + − + =
b.
2 2 2
2 8 2 1 0x y z x y z+ + − + + − =
Bài 4: Cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
A 1; 1;2 ,B 1;3;2 ,C 4;3;2 ,D 4; 1;2− −

a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng
b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt
cầu
( )
S
đi qua 4 điểm A’, B, C, D.
c. Viết phương trình tiếp diện của
( )
S
tại A’
Bài 5: Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
A 1;0; 1 ,B 1;2;1 ,C 0;2;0−
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a. Viết phương trình mặt cầu
( )
S
đi qua 4 điểm O, A, B, C
b. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
Bài 6 : Lập phương trình mặt cầu

( )
S
có tâm
( )
I 1;4; 7−
và tiếp xúc với
( )
: 6x 6y 7z 42 0α + − + =
Bài 7 : Cho
x 2t
d : y 1 t
z 1 2t
=


= +


= − +

và hai mặt phẳng
( )
P : x y 2z 5 0+ − + =
;
( )
Q :2x y z 2 0− + + =
Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm thuộc d và tiếp xúc với

( ) ( )
P , Q
HD :
Vì
I d∈
nên ta có
( )
I 2t;1 t; 1 2t+ − +
( )
( )
( )
( )
4
t
d I, P d I, Q t 8 5t
3
t 2

=

= ⇔ − + = ⇔

= −

Bài 8 : Cho
x 1 3t
d : y 2 t
z t
= +



= − +


=

và mặt phẳng
( )
P : 2x y 2z 0+ − =
a. Lập phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm nằm trên đường thẳng d ; tiếp xúc với
( )
P
và có
bán kính
bằng 1
b. Gọi
( )
M d P= ∩
, T là tiếp điểm . Tính MT.
HD :
Vì
I d∈
nên ta có
( )
I 1 3t; 2 t; t+ − +
( )
( )

1
t
d I, P 1 5t 2 3
5
t 1

=

= ⇔ + = ⇔

= −

Dạng 2 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp giải :
Cho mặt cầu
( )
,S I r
và mặt phẳng
( )
α
- Nếu
( )
( )
,d I r
α
>
thì
( )
,S I r
và

( )
α
không có điểm chung.
- Nếu
( )
( )
,d I r
α
=
thì
( )
,S I r
tiếp xúc với
( )
α
- Nếu
( )
( )
,d I r
α
<
thì
( ) ( ) ( )
, ,S I r O R
α
∩ =
với
( )
( )
2 2

,R r d I
α
= −
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tuỳ theo m hãy biện luận vị trí tương đối của mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 2 1 0S x y z x y+ + + − − =
và mặt phẳng
( )
: 2 0x y z m
α
− − − =
Bài 2: Cho mặt phẳng
( )
: 2 3 4 0P x y z− − + =
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 6 2 2 3 0S x y z x y z+ + + − − − =
Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
song song với
( )
P
và tiếp xúc với
( )
S

Bài 3: Chứng minh rằng mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 20 0S x y z y z+ + − − − =
cắt mặt phẳng

( )
: 2 8 0x y z
α
+ − + =
theo 1 đường tròn
( )
C
. Xác định tâm và bán kính của
( )
C
Bài 4: Cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 5 4 1 0S x y z x y z+ + − + − − =
a. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
( )
S
.
b. Tìm m để họ mặt phẳng
( )
: 2 0
m
x y z m
α

+ − + =
là tiếp diện của
( )
S
Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
( )
8 11 8 30 0
:
2 2 0
x y z
d
x y z
− + − =


− − =

tiếp
xúc với
mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 6 4 15 0S x y z x y z+ + + − + − =
Bài 6: Cho mặt phẳng
( )
:3 4 1 0x z
α

+ − =
và
( )
1;2;3I
a. Lập phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm I và tiếp xúc với
( )
α
b. Tìm toạ độ tiếp điểm A.
Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu
( )
2 2 2
S : x y z 10x 2y 26z 113 0+ + − + + − =
và song song với hai đường thẳng
1
x 5 2t
d : y 1 3t
z 2 2t
= − +


= −


= − +


và
2
x 7 3t
d : y 1 2t
z 8
= − +


= − −


=

HD:

[ ]
( )
1 2
u ,u 4;6;5=
r r
là VTPT của
( )
α
( )
: 4x 6y 5z D 0⇒ α + + + =
Sử dụng
( )
( )
d I, Rα =

tìm D
Dạng 3 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải :
Cho mặt cầu
( )
,S I r
và đường thẳng
∆
- Nếu
( )
,d I r∆ >
thì
( )
S∆ ∩ = ∅
- Nếu
( )
,d I r∆ =
thì
( ) { }
S M∆∩ =
(tiếp xúc)
- Nếu
( )
,d I r∆ <
thì
( ) { }
,S M N∆ ∩ =
(mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho mặt cầu

( )
2 2 2
: 2 6 35 0S x y z x z+ + − − − =
a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu
( )
S
.
b. Tìm giao điểm của mặt cầu
( )
S
với đường thẳng đi qua hai điểm
( )
2; 4;8A −
và
( )
0; 2;10B −
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2;3; 1I −
và cắt đường thẳng

( )
5 4 3 20 0
:
3 4 8 0
x y z
d

x y z
− + + =


− + − =

tại hai điểm A, B sao cho
6AB =
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng
( )
2 4 7 0
:
4 5 14 0
x y z
d
x y z
+ − − =


+ + − =

và
tiếp xúc với
hai mặt phẳng
( )
: 2 2 2 0x y z
α
+ − − =
và
( )

: 2 2 4 0x y z
β
+ − + =