BT tong hop ve phan thuc - on thi HSG Toan 8

Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
Chủ đề 14: bài tập tổng hợp về biểu thức hữu tỉ
Bài 1:
Cho A = (
2
.4
+x
x
-
8
8
3
3
+

x
x
.
4
16.8.4
2
2

+
x
xx
) :
2
16
+x
.

1
2.3
2
2
++
++
xx
xx
B =
1
2
3
2

+
x
xx
a. Rút gọn M = A.B
-1
b. Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.
c. Tìm giá trị của M biết : x
2
-2008.x = 2009
d. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A+ B.
HD: A =-
1
1
2
++
+

xx
x
; B =
1
2
2
++
+
xx
x
; M = A.B
1
= -
2
1
+
+
x
x
Bài 2: Cho P =
x
x

+
2
2
:
2
2
44

4
xx
x
+
. (
x2
2
-
3
8
4
x+
.
x
xx

+
2
24
2
)
a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị của x để P = - 0,5.
c. Tính giá trị của P với x là nghiệm của phơng trình
1x
+ 2 = 3.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để 4.P nhận giá trị nguyên.
e. Tìm x để
P
=

2009
2008
; để P
2
.
HD: P =
x.2
1

Bài 3: Cho M =
12
1
2
+ aa
- (
1
2
a
a
-
aa
3
1
) :
3
2
12
aa
aa
+

+
a. Rút gọn M.
b. Tính số trị của M với a =1.
c. Với giá trị nào của a thì biểu thức M có giá trị bằng -1.
d. Tìm a để M = - 4
2
HD: M = -
2
2
)1( a
a
Bài 4: Cho A =
2
22
1
)1(
x
xx
+

:

+
+








+


x
x
x
x
x
x
1
1
.
1
1

33
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x là nghiệm của phơng trình x
2
- 3x +2 = 0.
c) Tính giá trị của biểu thức rút gọn A biết : ( x
2
-3 ).( x -1) = x 1.
d) Tìm các giá trị của x để cho 5A = 2.
e) Tìm x để A dơng.
HD: A =
2
1 x
x
+

Bài 5: Cho B = (
x
x

+
2
2
-
4
4
2
2
x
x

-
x
x
+

2
2
) :
32
2
2
3
xx
xx


a) Tìm x để B xác định và rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi
5x
=
x+3
HD: B =
3
4
2
x
x
Bài 6: Cho C =

+

+

+

1
1
1
421
)1(3
)1(
3
2
2
2
a
a
aa
aa
a
:
aa
a
+

3
2
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
1
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
a) Rút gọn C.
b) Tìm a để BTRG của C đạt giá trị nhỏ nhất, và tính giá trị nhỏ nhất đó.
c) Tìm a

Z để C
1

Z ; để C

Z.
HD: C =
2
1
2
+a

Bài 7: Cho A =
2+x
x
-
8
8
3
3
+

x
x
.
4
42
2
2

+
x
xx
; B =
2
)2(
84
+
+
x
x
a. Rút gọn M = A : B
b. Tìm x

Z để 97M

Z.
c. Tính giá trị của M khi x là nghiệm của phơng trình 4x
2
= 3x +1.
HD: A = -

2
)2(
4
+x
; B =
2
4
+x
; M =
2
1
+

x
Bài 8: Cho A =








x
x1
1
:
2
2
21

1
xx
xx
+
+
; B =
842
44
23
2
+
+
xxx
xx
a. Rút gọn M = A . B
b. Tính giá trị của M khi x là nghiệm của phơng trình x
2
- 5x = 14
c. Tìm các giá trị nghuyên của x để M nhận giá trị nguyên.
d. Tìm x để
M
=
2009
2008
; để M

2
HD: A = 1 x ; B =
2
1

+x
; M =
2
1
+

x
x
Bài 9: Cho A =







+
+
)2
3
2
.(
2
2
3
2
x
x
x
xx

:
2
2
x
x
a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của A với
1x
= 4.
c. Tìm x để A = 18.
HD: A =
2
2
2
x
x

Bài 10: Cho A = (
3
23
42
3
2
2

++
+
+
+
xx

x
x
x
) :
1
42
+

x
x
-
x
xx
3
31
2
++
a. Rút gọn A.
b. Tìm A với x = 6025.
c. Tìm x để A dơng ; để
A
=
2009
2008
.
d. Tìm x nguyên để A
1
nguyên.
HD: A =
3

1x
Bài 11: Cho A = (
xx
x
4
3
2

+
x36
6

+
2
1
+x
) : ( x-2 +
2
10
2
+

x
x
).
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 2008/2009.
c. Tìm x để A dơng.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A.x nguyên.
HD: A = -

2
1
x
Bài 12: Cho A = 1+
xx
x
4
3
2

+
x
x
36
3

+
44
2
2
++
+
xx
x
; B = x -
2
10
2
+

x
x
- 2.
a. Rút gọn 3A:B.
b. Tìm x nguyên để 3A:B nguyên.
c. Tìm giá trị của x để 3A:B lớn hơn nghiệm dơng của phơng trình: y
2
-5y = 14
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
2
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
HD: A =
)2)(2(
6
+

xx
; B =
2
6
+x
; 3A:B =
2
3


x
Bài 13: Cho A =
)(:.
1

2
:)
11
(
1
33
22
22
ba
ba
ba
b
ba
ba
a
+
+






+
+
++
a. Rút gọn A.
b. Chứng minh A dơng.
HD: A =
22

1
baba ++

Bài 14: Cho A =
1
12
2
2
++
+
xx
xx
+
1
1)2(2
3


x
xx
; B =
2
2
2
+
+
xx
x
; C =
1

20022002
4
2


x
x
.
a. Rút gọn M = ( A + B ) : C.
b. Khi x là nghiệm của phơng trình
9
52 +x
= 2 +
6
3x
. Hãy tìm M.
c. Tìm giá trị của x khi M =
2002
6320 x
.
HD: A =
1
2


x
x
; B =
1
1

x
; C =
1
2002
2
+x
; M = ( A + B ) : C =
2002
1
2
+x
.
Bài 15: Cho M = (
3
1
2
3
2

+
+
+
xx
x
) :
x
xx
x
x
3

13
1
42
2
+

+

.
a. Rút gọn M.
b. Tính giá trị của M với x là nghiệm của phơng trình
1x
= 6009.
c. Tìm các giá trị nguyên của x để x.M
1
nhận giá trị nguyên.
HD: A =
3
1x
Bài 16: Cho P = (
3223
2
yxyyxx
xyx
+++
+
+
22
yx
y

+
) : (
yx
1
-
3223
2
yxyyxx
xy
+
)
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P biết: y

x

0 và 3x
2
+3y
2
= 16xy.
c. Tìm x biết P x = 5 và y = 5.
HD: P =
yx
yx

+
. Lu ý: P
2
=

)2.(3
)2.(3
22
22
xyyx
xyyx
+
++
= =11/5. vì P âm nên P = -
5
11
.
Bài 17: Cho biểu thức A = (
3
1
1
3
32
32
2
+
+


+

+

x
x

x
x
xx
x
) :
1
123
3

+
x
x
và B =
1
2
3
2

+
x
xx
.
a. Rút gọn biểu thức M = A
ì
B
b. Tìm x nguyên để M nguyên.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N =A
1
- B.
HD: A =

3
1
2
+
++
x
xx
; B =
1
2
2
++
+
xx
x
; M = A.B =
3
2
+
+
x
x
; N = A
1
- B =
1
1
2
++ xx
Bài 18:

a. Rút gọn Biếu thức
62
9124
2
2

++
=
aa
aa
B
Với a
2
3

b. Thực hiện phép tính:
( )
aaa
a
a
aa

+
+

+
++
2
2
2

8
:
5,01
25,0
32
(a


2.)
Giải:
a.
62
9124
2
2

++
=
aa
aa
B
( )
( )( )
2
32
232
32
2

+

=
+
+
=
a
a
aa
a
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
3
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
b.
( ) ( )
aa
a
a
a
aa
aaa
a
a
aa

+

+

+
++
=

+
+

+
++
2
2
8
2
2
42
2
2
2
8
:
5,01
25,0
3
232
( )
( )
( ) ( )
aaa
a
aa
aaa
aa 1
2

2
2
2
422
42
2
2
=


=


++
++
=
Bài 19: Thực hiện phép tính:
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33
22
22
+
+

+
=
.( Với x



y)
Giải:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 3 3 2 2
2
2 2 2 2
2 2
x y
x y xy x y x y xy x y
A :
x y x y 2xy x y x y
x y x y xy
x y

+ + +
= = ì =
+ +
+ +

+
Bài 20: Cho biểu thức :
12
1
234
34
++
+++
=
xxxx
xxx
A
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
a.
1
1
12
1
2234
34
234
34
+++
+++
=
++
+++

=
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
A
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
1
1
11
11
11
11
11
11
2
2
22
2
2
22

3
222
3
+
+
=
++
++
=
++
++
=
+++
+++
=
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx
xxx
b.
( )
( )
001;01;
1
1
2

2
2
2
>++
+
+
= Axx
x
x
A
Bài 21: Tính giá trị biếu thức :
5 6 7 8
5 6 7 8
a a a a
B
a a a a

+ + +
=
+ + +
với a = 2007.
Giải:
( )
( )
1313
23
3213
23
87658
8

123
8765
8765
8765
8765
8765
2007
1
1
11
1111
==
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=

Ba
aaa

aaaa
aaa
aaaaa
a
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
Bài 22: Tính giá trị biếu thức :
2
2
:
2510
25
223
2


+

yy
y
xxx
x
Biết x
2
+ 9y

2
- 4xy = 2xy -
3

x
.
Giải:
x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3

x
( )
033
2
=+ xyx



=
=




=
=

1
3
3
3
y
x
x
yx
( )( )
( )
( )( )
2
12
5
55
2
2
:
2510
25
2223
2

+


+
=

+

=
y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
4
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
( )( )
( ) ( )
3
8
2.3
2.8
5
15
=

=

++
=

xx
yx
Bài 23: Chứng minh rằng biếu thức P =
( )
( )
( )
( )
11
11
222
222
++
++++
xaaax
xaaax
không phụ thuộc vào x.
HD: P =
( )
( )
( )
( )
2
2
222
222
1
1
11
11
aa

aa
xaaax
xaaax
+
++
=
++
++++
Bài 24: Cho biểu thức M =
82
63422
2
2345
+
++
xx
xxxxx
.
a. Tìm tập xác định của M.
b. Tính giá trị của x để M = 0.
c. Rút gọn M.
HD: M =
82
63422
2
2345
+
++
xx
xxxxx

( ) ( )
4
13
2
2
3
+
+
=
x
xx
Bài 25: Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
( )( ) ( )( ) ( )( )
accbbabcac
ba
cbab
ac
caba
cb

+

+

=


+

+


222
HD:
( )( )
acbacaba
cb

+

=


11
=
( )( )
bacbcbab
ac

+

=


11
=
( )( )
accbbcac
ba

+

=


11
Bài 26: Cho biểu thức : B =
10999
10
234
++
+
xxxx
x
a. Rút gọn B
b. Chứng minh rằng : n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4


16 với n

Z
HD: a.Rút gọn B =
( )( )
( )
1101
10
10999
10
2234
++
+
=
++
+
xxx
x
xxxx
x
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )

<
++
+
>
+
=
10;
1101
10
110;
11
1
2
2
x
xxx
x
lxx
xx
b. n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4

( )
[ ]
4
1
+=
nn
Bài 27: Rút gọn biểu thức :
9
9
632
6
632
32
2
2

+

+++


+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy

yx
A

với x

-3; x

3; y

-2
HD:
9
9
632
6
632
32
2
2

+

+++


+
+
=
x
x

yxxy
xy
yxxy
yx
A

( )( )( )
233
0
9
9
632
6
632
32
2
2
++
=

+

+++


+
+
=
yxx
x

x
yxxy
xy
yxxy
yx
Bài 28: Cho Biếu thức : A =
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x

+





+
.
a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A.
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
5
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
b. Tìm giá trị của x để A > 0.
c. Tìm giá trị của A trong trờng hợp
47
=
x
HD: a. A =
3
4
2
3
:

2
2
4
4
2
2
2
32
2
2
2

=










+





+

x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
.
b. A > 0
30
3
4
2
>>


x
x
x
c.



=
=
=
3

11
47
x
x
x
x = 11
2
121
= A
x = 3

A không xác định
Bài 29: Thực hiện phép tính:
a. A =
16842
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxxx
xx
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+

b. Rút gọn C =
2
2
22
22
9
9
1
9
1
9
1
9
1
a
a
aa
aa
+

+
+

+


HD: a. A =
3216842
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxxxx
xx

=
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+

.
b. Rút gọn C =
1
9
9
1
9
1
9
1
9
1
2
2
22
22
=
+

+
+

+

a
a
aa
aa
.
Bài 30: Cho a,b,c là 3 số

nhau đôi một.
Tính S =
( )( ) ( )( ) ( )( )
bacb
ac
acba
bc
accb
ab

+

+

HD: S =
( )( ) ( )( ) ( )( )
bacb
ac
acba
bc
accb

ab

+

+

( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
1=


=

++
=
accbba
accbba
accbba
acaccbbcbaab
Bài 31: Tính giá trị của biểu thức :
2a b 5b a
A 3
3a b 3a b

= +
+
biết:
09&05310

2222
=
baabba
HD: Từ:
222222
103509&05310 ababbaabba
==
(1)
Biến đổi A =
22
22
9
6153
3
3
5
3
2
ba
baba
ba
ab
ba
ba


=
+

+

(2)
Thế (1) vào (2) ; A = - 3
Bài 32: Cho a + b + c = 1 và
1
222
=++
cba
.
a. Nếu
c
z
b
y
a
x
==
. Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b. Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của a,b,c
HD: Từ a + b + c = 1 và
1
222
=++

cba
suy ra: ab + bc + ca = 0 (1)
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
6
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
a. Nếu
c
z
b
y
a
x
==
suy ra :
zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
++=
++
++
===
( )
222
2

zyxzyx
++=++
Suy ra xy + yz + zx = 0.
b. áp dụng
( )
( )
( )( )( )
accbbacbacba
+++=++++
3
333
3
Từ a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Suy ra:
( )( )( )
03
=+++
accbba
Từ đó tính đợc a , b , c
Bài 33: Cho Biếu thức :
13
5
13
12
+

+


=
a
a
a
a
A
.
a. Tính giá trị của A khi a = -0,5.
b. Tính giá trị của A khi : 10a
2
+ 5a = 3
HD:Xem bài trên.
Bài 34: Chứng minh nếu xyz = 1 thì:
1
1
1
1
1
1
1
=
++
+
++
+
++

zxzyzyxyx
HD: Từ xyz = 1 Biến đổi
1 1 1 1 y yz
1
1 x xy 1 y yz 1 z zx 1 y yz 1 y yz 1 y yz
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
.
Bài 35: Chứng minh đẳng thức sau:
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba
3396
352
9
3
2
2
22
22
22
2
+
++
=

+

+
HD: Chứng minh :
ab
ba
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba

+
=
+
++
=


+

+
3
3396
352
9
3
2
2

22
22
22
2
Bài 36: Thực hiện phép tính:

2222
2008
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
HD:

2222
2008
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
3996
1999

2
1999
.
1998
1
1998 4.3.2
1999 5.4.3
.
1998 4.3.2
1997 3.2.1
===
Bài37: Tính tổng : S(n) =
( )( )
2313
1

8.5
1
5.2
1
+
+++
nn
HD:
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n

2.5 5.8 3n 1 3n 2 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 2 3n 2

+ + + = + + =

ữ
+ + +

Bài 38: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : A =
2
217122
23

+
a
aaa
Biết a là nghiệm của Phơng trình :
113
2
=+
aa
HD:
182
2
217122
2
23
+=

+
=
aa
a
aaa
A

===
====
=+
52;1
5;13;0
113
2
Aaa
AAaa
aa
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
7
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
Bài 39: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:
8111
=






+

+






+
c
a
b
c
a
b
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b b c c a
b c a
1 1 1 8 0 a b c
a b c ab bc ca


+ + + = + + = = =
ữ ữ ữ

Bài 40: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dơng thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :

( )
3
2
11
2233
+

=



ba
ab
a
b
b
a
HD: Rút gọn
( ) ( )
( )
( )( )
11
1
3
2
11
22
22
2233
++++

+
=
+

=



aabbab
baba
ba
ab
a
b
b
a
Bài 41: Thực hiện phép tính:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x yz y xz z xy
A
x y x z x y y z y z x z

= + +
+ + + + + +
HD:
( )( )
yx
y
zx

x
zxyx
yzx
+

+
=
++

2

( )( )
zy
z
yx
y
zyyx
xzy
+

+
=
++

2

( )( )
zx
x
zy

z
zyzx
xyz
+

+
=
++

2
Cộng từng vế đợc A = 0
Bài 42: Rút gọn biểu thức : A =
cba
abccb
++
++ 3a
333
HD:
( )
( )
cabcabcbacbaabccb
++++=++
222333
3a
Bài 43: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dơng trong TXĐ:
B =
( )

+
+








+


+

x
x
x

x
x
x
x
x
1
1
1
1
:
1
1
33
2
2
2
HD: TXĐ:
1

x
; B =
2
1
1
x
+
Bài 44: Rút gọn rồi tính giá trị biếu thức với x + y = 2007
A =
xyyyxx
xyyyxx

2)6()6(
)3(2)5()5(
++++
++++
HD: A =
( )( )
( )( )
yxyx
yxyx
xyyyxx
xyyyxx
+++
+++
=
++++
++++
6
16
2)6()6(
)3(2)5()5(
Bài 45: Cho 3 số a,b,c

0 thỏa mãn đẳng thức:
a
acb
b
bca
c
cba
+

=
+
=
+
Tính giá trị biểu thức P =
( )( )( )
abc
accbba
+++
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
8
Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8
HD: Từ:
a
acb
b
bca
c
cba
+
=
+
=
+
Suy ra:
222
+
+
=+
+

=+
+
a
acb
b
bca
c
cba
Suy ra:
a
acb
b
bca
c
cba
++
=
++
=
++
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c
P = -1 hoặc P = 8
Bài 46: Cho biểu thức :
2
2
2
2
2
2
2

4
.
2
4
.
2
4
yxz
yzx
xyz
xyz
zxy
zxy
A
+

+

+

=
Chứng minh rằng nếu : x + y + z = 0 thì A = 1.
HD: Từ: x + y + z = 0 suy ra:
xyzzyx 3
333
=++
GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn
9