bài tập về căn thức ôn thi thpt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HAY, KHÓ ÔN THI 10 CHUYÊN
VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CĂN THỨC
I. Một số ví dụ minh họa
VD
A
: Tìm điều kiện xác định để mỗi biểu thức sau có nghĩa
a.
2
2
2 5x−
b.
1 3
2 6x
+
−
c.
2
11 8
2 3
x
x x
+
+ +
d.
3 1
2 2
x
x
−
−
−

e.
2
1
1
2 1
x
x x
− −
− +
Đáp án:
a. ĐK: 2 – 5x
2

≥
0 b. (*)Nhận xét: Ta thấy mẫu thức của
biểu thức đã cho là căn thức.
Suy ra: ĐKXĐ:
2 – 6x > 0
 6x < 2  x < 1/3
c. ĐK
tử thức
: x
≥
0 (1) d.
3 0 3
3
2 0 2
x x
x
x x

− ≥ ≥
 
⇔ ⇒ ≥
 
− > >
 
Để ý rằng biểu thức trong căn ở dưới Vậy điều kiện của biểu thức là x
≥
3
mẫu luôn dương. e.
1
1
x
x
≠


≤

Vậy ĐKXĐ: x < 1
Vậy ĐKXĐ là x
≥
0.
VD
B
: Rút gọn biểu thức
2
6 9
3
x x

A
x
− +
=
−
ĐK: x
≠
3
Ta thấy:
2
6 9x x− +
=
( )
2
3x −
=
3x −
(*)
Từ (*) suy ra
A = 1 hoặc A = -1
Khi x > 3 hoặc x < 3
VD
C
: Rút gọn
1,
2 75 3 12 27− +
2,
2 2
2 4 4x y x xy y+ − − +
Đáp án:

1,
7 3
2, Có hai trường hợp:
* x
≥
2y => 4y
* x < 2y => 2x
Trang số 1
2 2
2 2
5 2
5 5
2 2
5 5
x x x
x
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
⇔ ≥ ≥ −
VD
D
: Tính khi a =
3 5
5 3
+
Lưu ý : Ở những bài toán dạng này, ta nên biến đổi biểu thức về dạng đơn giản
nhất trước khi thay vào giá trị của biến trong biểu thức đó.
Ta có :
2
15 8 15 16a a− +
=

15 4a −
(*)
Mà a =
3 5
5 3
+
=
8 15
15
suy ra a
15
= 8
Vậy
2
15 8 15 16a a− +
= 4 khi a =
3 5
5 3
+
Chú ý : Ở (*) ta cũng có thể phá dấu giá trị tuyệt đối và đối chiếu giá trị của a ở
đề bài xem thích hợp trong trường hợp nào rồi rút ra kết quả.
VD
E
: Phân tích ra thừa số
1,
3 3 2 2
x y x y xy− + −
với x, y
≥
0

2,
2 2
x y x y− − +
với
x y≥
3,
1xy y x x+ + +
với x, y
≥
0
Đáp án :
1,
3 3 2 2
x y x y xy− + −
=
( )
( )
x y x y− +
2,
2 2
x y x y− − +
=
( )
x y x y x y− + − −
3,
1xy y x x+ + +
=
( ) ( )
1 1y x x+ +
Lưu ý : Để làm được tốt các bài toán dạng này, các học sinh cần ôn kĩ các phép

biến đổi của căn thức như : đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong căn
VD
F
: Tính giá trị của biểu thức sau với m =
2 3+
và n =
2 3−
m n m n n m
P
m n mn m mn mn n
+ +
 
= ÷ + −
 ÷
+ − +
 
Đáp án :
Biến đổi P về dạng :
m n−
Thay m =
2 3+
; n =
2 3−
Ta có :
P =
2
.
II. Bài tập tự luyện :
1, Rút gọn biểu thức :
2 2

.2 75 3 12 27
. 2 4 4
a
b x y x xy y
− +
+ − − +
2, Rút gọn :
2
6 9
( )
3
x x
f x
x
− +
=
−
Trang số 2
3, Tính giá trị biểu thức
. 27 12 75 147
1 1
.
4 3 2 4 3 2
a
b
− + −
−
− +
(Đề kiểm tra HKI, Tp.HCM)
4, Tính :

8 2 15 8 2 15
− − +
(Đề thi tuyển 10 LHP)
5, Tính
2
15 8 15 16a a
− +
khi
3 5
5 3
a
= +
(Thi vào 10 PTTH 1991 – 1992)
6, Tính giá trị của biểu thức:
:
a b a b b a
T
a b ab a ab ab b
+ +
 
= + −
 ÷
+ − +
 
khi a =
2 3
+
, b =
2 3
−

7, Chứng minh các số:
3; 7; 3 1
+
là những số vô tỉ
8, So sánh các số sau:
a.
30 2 45
4
−
và
17
b.
5 3
và
3 5
9, Tìm GTNN của các biểu thức
a.
2 2
2 1 2 1x x x x
+ + + − +
b.
2 2
4 4 1 4 12 9x x x x
− + + − +
c.
2 2
49 42 9 49 42 9x x x x
− + + + +
10, Chứng minh đẳng thức:
4 4

49 20 6 49 20 6
3
2
+ + −
=
III. Hướng dẫn giải, đáp số:
1. a. KQ:
7 3
b. KQ:
4 ( 2 )
2 ( 2 )
y x y
x x y
≥


<

2.
( )
1( 3)
1( 3)
x
f x
x
>

=

− <


3. a/
3
−
b/
3 2−
4. -2
3
5. 4
6.
2
7. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
8. Học sinh tự làm
9. a. Min = 2 b. Min = 2 c. Min = 6
Trang số 3
10. Có : 49 + 20
6
=
( )
4
3 2+
49 - 20
6
=
( )
4
3 2−
Từ đó suy ra đpc/m
Trang số 4