Ứng dụng của số phức trong BT Vật lý

Chuyên đề mở:
Biên soạn:

HỒ VĂN ƯNG

Trình bày:

NGUYỄN TẤN HÒA


ỨNG DỤNG CỦA

SỐ PHỨC

TRONG MỘT SỐ
BÀI TOÁN VẬT LÝ


I. MỢT SỚ KHÁI NIỆM:
A. SỚ PHỨC :

Sớ phức là số có dạng

x = a + bi
a: phần thực (Re x = a)
b: phần ảo (Im x = b)
i : đơn vị ảo, i2 = -1


B. BIỂU DIỄN SỐ PHỨC TRÊN MẶT PHẲNG

& DẠNG LƯỢNG GIÁC :

x = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ )
r = a 2 + b 2 : mođun
ϕ : acgumen,

b
tan ϕ =
a

Theo công thức Ơle:

cos ϕ + i sin ϕ = e

b

r
α

iϕ

a

iϕ

⇒ x = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) = r.e = r ∠ϕ


C. BIỂU DIỄN MỘT HÀM BIẾN THIÊN ĐIỀU HÒA
DƯỚI DẠNG SỐ PHỨC:

Hàm điều hòa:

x = A cos(ω.t + ϕ )

(*)

Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay, tại t = 0 ta có:

uu
r
uu | A |
r
t =0
x = A cos(ω.t + ϕ) ¬ → A : 

uuu
r
(Ox, OA) = ϕ

Nhận thấy: a = Acosφ
b = Asinφ

A

b

=> (*) có thể biểu diễn bởi số phức:

φ
a

iϕ

x = a + bi = A(cos ϕ + i sin ϕ ) = A.e = A∠ ϕ


D. CÁCH CHUYỂN MỘT HÀM ĐIỀU HÒA SANG HÀM SỐ
PHỨC BẰNG MÁY fx-570ES

Sử dụng MODE 2(CMPLX), R(radian)

x = A cos(ωt + ϕ ) ↔ x = A∠ϕ ↔ ?
Thao tác bấm máy:

A, [ SHIFT ] , [ (−) ] , ϕ, [ =]

=>được dạng:

a + bi

Thí dụ:
π
5 2 [ ( − )] − [ =]
π
4
1) x = 5 2 cos(10π t − ) ¬ → x = 5 − 5i
4
100 2 [ = ]

2) u = 100 2 cos(100π t ) ¬  u = 100 2

→


E. CÁCH CHUYỂN MỘT HÀM SỐ PHỨC a +bi SANG HÀM
ĐIỀU HÒA BẰNG MÁY fx-570ES

Sử dụng MODE 2(CMPLX), R(radian)

x = a + bi ↔ ?
Thao tác bấm máy:
sẽ có dạng:

a + bi, [ SHIFT ] , [ 2] , [ 3] , [ =]

A∠ϕ ⇒ x = A cos(ωt + ϕ )

Thí dụ: Hãy chuyển hàm số phức:

u = 100 − 100 3i, ω = 100π

sang hàm điều hòa (dạng cos)
[
][ ][ ][ ]
100 − 100 3i ¬  200∠ −
→
SHIFT 2 3 =

π
π
⇒ x = 200 cos(100π t − )

3
3


II.ÁP DỤNG VÀO VẬT LÝ
A. Viết phương trình các dao động điều hòa.
1) Cơ sở lý thuyết:

 x(0) = A cos ϕ = a
 x(0) = A cos ϕ
 x = A cos(ωt + ϕ )


t =0
 
→
⇔  v(0)

= A sin ϕ = b
v = −ω A sin(ωt + ϕ )
v(0) = −ω A sin ϕ
−

 ω
Vậy tại t = 0 có thể viết:

x = A cos(ωt + ϕ ) ¬ → x(0) −

t =0

v(0)

ω

i

2) Áp dụng: vật m DĐĐH tần số góc ω, tại t = 0 nó có li độ x0 , vận tốc v0.
Hãy viết biểu thức li độ theo t

Thao tác:

x(0) −

v(0)

ω

[
][ ][ ][ ]
i ¬  A∠ϕ ⇒ x = A cos(ωt + ϕ )
→
SHIFT

2 3 =


3) Thí dụ:

Thí dụ 1: vật m DĐĐH tần số 0,5Hz, tại t = 0 nó có li
độ x0 = 4cm, vận tốc v0 = 12,56 cm/s, lấy π = 3,14.

Hãy viết biểu thức li độ theo t.
Giải: ω = 2πf = π (rad/s)
Thao tác:

12,56
π
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =]
4−
i ¬  4 2∠ −
→
3,14
4
π
⇒ x = 4 2 cos(π t − )cm
4


3) Thí dụ:
Thí dụ 2: Vật nhỏ m = 250g treo va đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng
đứng, k = 25N/m. Từ VTCB người ta truyền cho m một tốc độ 40
cm/s cho nó DĐĐH. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m
qua VTCB ngược chiều dương. Hãy viết phương trình dao động.

Giải:

k
ω=
= 10rad / s
m
−40

π
π
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =]
−
i ¬  4∠ ⇒ x = 4 cos(10t + )cm
→
10
2
2


B. Tổng hợp các dao động điều hòa.
1) Cơ sở lý thuyết:

x = A1 cos(ω t + ϕ1 ) + A2 cos(ω t + ϕ 2 ) + ... = A cos(ω t + ϕ )

↔ x = x1 + x2 + ... = ( A1∠ ϕ1 ) + ( A2∠ ϕ 2 ) + ... = A∠ ϕ
⇒ x = A cos(ω t + ϕ )
2) Áp dụng: Tìm dao động tổng hợp của 4 DĐĐH sau:

Giải:

π
π
x1 = 10 cos(20π t − )cm, x1 = 6 3 cos(20π t − )cm,
6
2
π
x3 = −4 3 cos(20π t )cm, x4 = 10 cos(20π t + )cm.
6

π
π
π
π
[ SHIFT [ 2] 3] [ = ]
(10∠ − ) + (6 3∠ − ) − (4 3) + (10∠ + ) ¬ ][ 6 6∠ −
→
6
2
6
4
π
⇒ x = 6 6 cos(20π t − )cm
4


B. Tổng hợp các dao động điều hòa.
3) Mở rộng: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động
trên hai đường thẳng song song với trục Ox, PT
của chúng trên Ox lần lượt là:

π
x1 = 3cos(2π t − )cm, x2 = 3 3 cos(2π t )cm.
2

Tìm khoảng cách M1 M2 theo phương Ox.
Giải:

π
M 1M 2 =| x2 − x1 ) |=| 3 3 cos(2π t ) − 3cos(2π t − ) |

2
π
π
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =]
↔ (3 3) − (3∠ − ) ¬  6∠
→
2
6
π
⇒ M 1M 2 =| 6 cos(2π t + ) | cm
6


D. Mạch RLC mắc nối tiếp.
1) Cơ sở lý thuyết:

i = I 0 cos(ωt ) ↔ i = I 0 ; u R = U 0R cos(ωt ) ↔ u = U 0R ;

π
π
π
π
uL = U 0L cos(ωt + ) ↔ u L = U 0L ∠ ; uC = U 0C cos(ωt − ) ↔ uC = U 0C ∠ −
2
2
2
2
Các điện trở phức:

u R U 0R

ZR =
=
= R;
I0
i
ZC =

(U 0C ∠−
I0

π

π

(U 0L ∠ )
uL
2 = Z ∠π = Z i
ZL =
=
L
L
I0
2
i

)

2 = Z ∠− π = −Z i
C
C

2

u = u R + u L + uC = i .R + i Z L + i Z C = i [ R + i (Z L − Z C )]


modul : Z = R + ( Z L − Z C )
u
iϕ

⇒ Z = = R + i ( Z L − Z C ) = Z .e = Z ∠ϕ với 
Z − ZC
i
argument : ϕ , tan ϕ = L



2

2

R


D. Mạch RLC mắc nối tiếp.
2) Áp dụng:
a) Tìm tổng trở và độ lệch pha: Mạch RLC nối tiếp có
R = 100Ω, cuộn dây thuần cảm ZL = 200Ω, ZC = 100Ω. Tìm
tổng trở và độ lệch pha của điện áp so với CĐDĐ.

Chỉ cần thao tác trên máy:

π
100 + 200 i − 100 i ¬      100 2∠
→
4
π
⇒ Z = 100 2Ω , ϕ u / i = rad
4
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ]


D. Mạch RLC mắc nối tiếp.
b) Viết biểu thức:
Mạch RLC nối tiếp cuộn dây có R = 50Ω, ZL = R, ZC =2 ZL, điện
áp hai đầu mạch là u = 100√2cos100πt(V). Viết biểu thức CĐ
dòng điện qua mạch và điện áp hai đầu cuộn dây.

u
(100 2)
π
π
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ]
i = =
¬      2∠ ⇒ i = 2cos(100π t + ) A
→
4
4
Z (50 + 50i − 100i )

π

π
[ SHIFT [ 2] 3] [ = ]
ucd = i Z cd = (2∠ )(50 + 50i ) ¬   ][  100 2∠
→
4
2
π
⇒ ucd = 100 2 cos(100π t + )V
2
Hoặc:

u
(100 2)
π
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ]
ucd = i Z cd = Z cd =
(50 + 50i ) ¬      100 2∠
→
(50 + 50i − 100i)
2
Z


c) Một số trường hợp có thể thay cho giản đồ:

1) Mạch RLC nối tiếp có các giá trị hiệu dụng UR
= 100√3 V, cuộn dây thuần cảm UL = 200V, UC
= 100V. Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu mạch và
độ lệch pha của CĐDĐ so với điện áp ấy.
Giải:

Do u = uR + uL + uC

π
=> 100 3 + 200 i − 100 i ¬      200∠ −
→
2
π
π
⇒ U = 200V , ϕ u / i = − => ϕ i / u = rad
2
2
[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ = ]


c) Một số trường hợp có thể thay cho giản đồ:

2) Mạch điện gồm một cuộn dây có điện trở R mắc nối
tiếp với một tụ C. Mạch được đặt dưới điện áp u luôn
ổn định. Biết giá trị hiệu dụng UC = √3 Ucd , độ lệch
pha của điện áp hai đầu cuộn dây so với CĐ dòng điện
qua mạch là π/3. Tính hệ số công suất của mạch.

Giải:
Coi Ucd bằng 1 (đơn vị) => UC = √3

u = ucd + uC

π

π

[ SHIFT ] [ 2] [ 3] [ =]

π

=> (1∠ ) + ( 3∠− ) ¬  1∠−
→
3
2
3
⇒ U = U cd , ϕu / i = −

π

3

=> cos ϕ = 0,5


TRÂN TRỌNG KÍNH CHÀO


Chuyên đề này được biên soạn
nhằm trình bày cho HĐGV xem.
Nếu cần các thầy cô có thể sửa
sang dạng trắc nghiệm để dạy
cho HS thì hay hơn.