SANG KIEN KINH NGHIEM 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (586.33 KB, 21 trang )
ti sỏng kin kinh nghim
"Rốn luyn gii toỏn cho hc sinh thụng qua bi toỏn gii phng trỡnh nh h phng trỡnh"
Sở giáo dục&đào tạo thanh hoá
Trờng thpt tĩnh gia IV thanh hoá
Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài
"Rốn luyn gii toỏn cho hc sinh thụng qua bi toỏn
gii phng trỡnh nh h phng trỡnh"
Giáo viên: MAI TIN LINH
Tổ : TON
Đơn vị : Trờng THPT Tĩnh gia IV
Tĩnh gia - thỏng 5 nm 2010
A. t vn
1.Lý do chn ti
- 1 -
ti sỏng kin kinh nghim
"Rốn luyn gii toỏn cho hc sinh thụng qua bi toỏn gii phng trỡnh nh h phng trỡnh"
- Khỏt vng v quyt tõm gii c bi toỏn l nhõn t ch yu ca quỏ trỡnh gii
mi bi toỏn.i vi nhng bi toỏn m ó bit trc c phng phỏp gii thỡ
bi toỏn ú cha thc s thu hỳt c tõm trớ v quyt tõm gii n cựng.
- Rốn luyn gii toỏn cho hc sinh nú bao gm c hai ni dung chớnh sau.Mt l
rốn luyn kh nng tỡm li gii.Hai l rốn luyn k nng gii bi toỏn ,trong quỏ
trỡnh rốn luyn, hai ni dung trờn cú th tin hnh ng thi nhng cng cú khi
tỏch thnh 2 quỏ trỡnh riờng bit.Ngi gii toỏn cn nhn thc rừ ý ngha v tỏc
dng ca mi ni dung v mi quan h gia hai ni dung ú.
- Vi bi toỏn gii phng trỡnh mi dng toỏn thỡ cú mt phng phỏp gii khỏc
nhau.Vic gii phng trỡnh c bit l phng trỡnh cha cn thng gõy ra
nhiu khú khn phc tp i vi hc sinh nht l hc sinh yu, kộm bi l nu
gii bi toỏn bng phng phỏp nõng lờn ly tha lm mt du cn thỡ dn n
phng trỡnh bc cao v khụng bit cỏch gii.Tuy nhiờn nu bit cỏch t n ph
mt cỏch thớch hp thỡ cú th chuyn phng trỡnh cha du cn v h phng
trỡnh hai n nờn s dng c cỏch gii quen thuc.Thụng qua bi toỏn ny cú th
rốn luyn cho hc sinh k nng gii phng trỡnh v gii h phng trỡnh
2. Thc trng ca vn
- Đối với chơng trình toán THPT phần giải phơng trình vô tỷ là một phần toán khó
đòi hỏi học sinh phải t duy nhạy bén và có kỹ năng giải bài tập linh hoạt. Mà ở
đây phần lớn các em thờng rất ngại làm những bài tập dạng này lý do là biến đổi
nó phức tạp và việc tìm ra đợc phơng pháp giải tổng quát là không có, tùy vào
dạng toán mà có các phơng pháp giải khác nhau.Cho nên khi đa ra các bài tập liên
quan đến phơng trình dạng này phần lớn các em không làm đợc hoặc có làm đợc
nhng đáp số lại sai.Do vậy để giúp các em giải quyết tốt phần bài tập này tôi nghĩ
cần phải đa ra một hệ thống bài tập và các phơng pháp giải cơ bản trong phạm vi
kiến thức toán các em đã đợc học. Do vy tụi lm đề tài : '' Rốn luyn gii toỏn
cho hc sinh thụng qua bi toỏn gii phng trỡnh nh h phng trỡnh '' dành
cho học sinh cuối cấp chuẩn bị cho thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng. Với sáng
kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phơng pháp giải bài tập toán , giúp các
em có đợc một số kỹ năng, kỹ xảo khi làm bài tập.
3. Gii phỏp
- 2 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
- Ý tưởng của phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế là sử
dụng các phép biến đổi tương đương hay phép biến đổi hệ quả để đưa đến một
phương trình chỉ còn một ẩn số .Tuy nhiên trong đề tài này tôi xin đưa ra quy
trình ngược lại tức là các phương trình đã cho tuy có 1 ẩn, nhưng tính chất phức
tạp của chúng. Để bài toán có thể dễ giải hơn, ta chỉ còn cách phát hiện ra ẩn phụ
để chuyển việc giải bài toán một phương trình một ẩn phụ khó giải thành hệ
phương trình nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán
mà việc giải phương trình dẫn đến giải hệ phương trình.
B.Giải quyết vấn đề :
1. Cơ sở lý luận của phương pháp
• Kiến thức cơ bản mà khi học phần này cần nắm được
- Phương pháp giải phương trình bậc 2, bậc 3( Trong trường hợp tìm được một
nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ), phương trình lượng giác, phương trình mũ,
phương trình logarit,bất phương trình bậc nhất, bậc 2 và tập xác định của hàm số (
chứa căn chẵn)
- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi cơ bản
•
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇔ = ≥
•
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x g x
f x
=
= ⇔
≥
•
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
f x
f x g x h x g x
f x g x f x g x h x
≥
+ = ⇔ ≥
+ + =
- Nắm vững được 2 phương pháp giải hệ đối xứng loại I và loại II.phương pháp
giải loại I và II như sau
• Phương pháp giải hệ đối xứng loại I
Bước 1 : Sử dụng ẩn phụ
.
x y s
x y p
+ =
=
, điều kiện s
2
- 4p
0≥
Bước 2 : Tìm S , p. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : t
2
- st + p = 0
- 3 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
• Phương pháp giải hệ đối xứng loại II
Bước 1 : Trừ 2 vế của 2 phương trình trong hệ bao giờ cũng thu được phương
trình tích : (x - y)(f(x, y)) = 0
( , ) 0
x y
f x y
=
=
Bước 2 : Giải hệ cho từng trường hợp
2. Nội dung chính của đề tài
• Các dạng toán
Dạng 1 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương
trình với 2 ẩn phụ.Tùy theo đặc tính của bài toán đã cho, ta thu được các mối liên
hệ giữa các đại lượng tương ứng, ta có phương trình dạng cơ bản sau
•
( ) ( )
n n
a f x b f x c− + + =
. khi đó ta có thể đặt
( )
( )
n
n n
n
u a f x
u v a b
v b f x
= −
⇒ + = +
= +
.Từ đó dẫn tới hệ phương trình sau :
,
n n
u v a b
u v
u v c
+ = +
⇒ ⇒
+ =
Nghiệm của phương trình
• Các bài toán
Bài 1: Giải phương trình sau :
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
(1)
Giải:
Điều kiện :
3 0
3 6
6 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
(2)
Đặt
2 2
3
u,v 0 u 9
6
u x
v
v x
= +
≥ ⇒ + =
= −
Khi đó phương trình đã cho được chuyển thành hệ phương trình
- 4 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
2 2 2
2
0
u 9 ( ) 2 9
(3 ) 2 9 0
4
3 3
uv
v u v uv
uv uv uv
uv
u v uv u v uv
=
+ = + − =
⇔ ⇒ + − = ⇔ ⇒ =
= −
+ − = + = +
(vì u,v
0≥
)
• Khi
0 3 0 3
0 6
6 0
u x x
v x
x
= + = = −
⇔ ⇔
= =
− =
• Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -3, x = 6
Bài 2: Giải phương trình sau :
3
3 3
1 3 2x x− − − =
Giải :
Đặt
3 3
3 3
1 , v 3 ( 1) (3 )u x x u v x x
= − = − ⇒ + = − + −
.Khi đó ta có hệ phương
trình sau
3
3 3
3
3 3 3
3
2
0
2 2
2
0
0
2 ( ) 3 ( ) 2
2
u
v
u v u v
u v
u
uv
u v u v uv u v
v
=
=
+ = + =
+ =
⇔ ⇔
=
=
+ = + − + =
=
• Với
3
2
3
0
u
x
v
=
⇔ =
=
• Với
3
0
1
2
u
x
v
=
⇔ =
=
• Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 3, x = 1
Bài 3 : Giải phương trình sau
3
3 3
1 3 2x x− − − =
Giải :
Đặt
3 3
1, v 3u x x= − = −
. Khi đó ta có hệ phương trình
- 5 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
3 3
3 3 3 3
2 2 (2)
2 2 (3)
u v v u
u v v u
+ = = −
⇔
− = = −
. Thay (2) vào (3) ta có
3 3 3 2
3 3 3 3
3
2
3 3
3
( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 )( 2 4)
( 2 )(2 2 2 4) 0
u u u u u u
u u u
− = − ⇔ − = − + +
⇔ − − + =
3 3
2 2
3 3
3 3
2 0 2 (4)
2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 (5)
u u
u u u u
− = =
⇔ ⇔
− + = − + =
• Với u =
3
2
0v⇒ =
, phương trình có nghiệm : x = 3
• phương trình (5) có
3 3 3
4 16 4 15 4 0∆ = − = − <
nên phương trình (5) vô
nghiệm
• Vậy phương trình có 1 nghiệm : x = 3
Dạng 2 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương
trình thông thường là hệ đối xứng.Để giải các bài toán loại này ta tiến hành các
bước sau
• Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình
Bước 2 : Biến dổi phương trình về dạng : f[x,
( )x
ϕ
] = 0
Bước 3 : Đặt t =
( )x
ϕ
ta biến đổi phương trình thành hệ phương trình
( )
( , ) 0
t x
f x t
ϕ
=
=
• Các bài toán
Bài 4 : Giải phương trình sau :
3
1 1
1
2 2
x x+ + − =
(1)
Giải :
Điều kiện
1 1
0
2 2
x x− ≥ ⇔ ≤
(*)
Đặt
3 2
3
1 1
, v , v 0 u 1
2 2
u x x v= + = − ≥ ⇒ + =
.Vậy ta được hệ phương trình
sau
- 6 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
3 2 3 2
1 1 (2)
1, 0 1 (3)
u v u v
u v v u v
+ = = −
⇔
+ = ≥ = −
.Thay (2) Vào (3) ta được phương trình sau
(1 -v )
3
= 1 - v
2
2
0 1
(1 ) (1 ) (1 ) 0 ( 1)( 3) 0 1 0
3 2
v u
v v v v v v v u
v u
= =
⇔ − − − + = ⇔ − − = ⇔ = ⇒ =
= = −
• Với u = 1, v = 0 ta được nghiệm : x =
1
2
( Thỏa mãn (*))
• Với u = 0, v = 1 ta được nghiệm : x =
1
2
−
( Thỏa mãn (*))
• Với u = - 2, v = 3 ta được nghiệm : x =
17
2
−
( Thỏa mãn (*))
• Vậy phương trình có 3 nghiệm : x =
1
2
, x =
1
2
−
, x =
17
2
−
Bài 5 : Giải phương trình sau
2
2 2x x− = −
(1)
Giải :
Điều kiện :
2 0 2x x− ≥ ⇔ ≤
Đặt t =
2 (t 0)x− ≥
⇒
2
2x t= −
.(*) Khi đó ta có hệ phương trình sau
2
2
2 (2)
2 (3)
x t
t x
= −
= −
.Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) Ta có
t - x = t
2
- x
2
⇔
t - x = (t -x)(t + x)
⇔
(t - x)( t + x - 1) = 0
⇔
1
t x
t x
=
= −
• Với t = x từ phương trình (*) ta có x = 2 - x
2
⇔
x
2
+ x - 2 = 0
⇔
1
1
2
x
x
x
=
⇒ =
= −
( Vì x
0≥
)
- 7 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
• t = 1 - x khi đó (*) trở thành x
2
- x - 1 = 0
⇔
1 5
1 5
2
2
1 5
2
x
x
x
+
=
−
⇒ =
−
=
( vì
2 - x
2
< 0)
• Kết luận phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 1 ,
1 5
2
x
−
=
Bài 6 : Giải phương trình sau :
3
2 3 2 3 6 5 8 0 x Rx x− + − − = ∀ ∈
(Đề thi đại
học và cao đẳng khối A năm 2009)
Giải :
Điều kiện :
6
5
x ≤
(*)
Đặt
3
3 2 , v 6 5 ,v 0u x x= − = − ≥
(1).Khi đó ta có hệ phương trình sau
3 2
2 3 8 (2)
5 3 8 (3)
u v
u v
+ =
+ =
3 2 2
8 2 8 2
2
3 3
4
15 4 32 40 0 ( 2)(15 26 20) 0
u u
v v
u
v
u u u u u u
− −
= =
= −
⇔ ⇔ ⇔
=
+ − + = + − + =
Thay
vào (1) ta được nghiệm : x = -2 (Thỏa mãn (*)
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -2
Bài 7 : Giải phương trình sau:
4 4
5 71 5 6 1x x+ − + =
Giải:
Tập xác định :
17
5 17 0
6
5
(*)
5 6 0 6
5
5
x
x
x
x
x
≥ −
+ ≥
⇔ ⇔ ≥ −
+ ≥
≥ −
Đặt
4 4
5 71 , 5 6u x v x= + = +
khi đó ta có hệ phương trình sau
- 8 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
4 4 2 2 2 2
65 ( )( )( ) 65 ( )( ) 65 (1)
1 1 1 (2)
0, 0 0, 0 0, 0
u v u v u v u v u v u v
u v u v u v
u v u v u v
− = − + + = + + =
− = ⇔ − = ⇔ = +
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Thay
phương trinh (2) vào phương trình (1) ta có phương trình sau : 2v
3
+ 3v
2
+2v -32
= 0
2v⇔ =
.Vậy với v = 2 ta có
4 4
5 6 5 6 2 5 6 16 5 10 2v x x x x x= + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn điều kiện
(*))
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 2
Bài 8 : Giải phương trình sau :
4 4
97 5 (1)x x+ − =
Giải :
Tập xác định :
0 97x≤ ≤
(*)
Đặt
4 4
, v 97u x x= = −
.Khi đó phương trình (1) đưa về hệ phương trình sau
(1)
⇔
4 4
97 (1)
5 (2)
0, 0
u v
u v
u v
+ =
+ =
≥ ≥
Hệ này là hệ đối xứng nên ta có thể giải bằng phương pháp đặt
.
u v s
u v p
+ =
=
với s
2
4 p≥
(2)
⇔
(s - 2p)
2
-2p
2
= 5
( )
2
2
6
5
s 2p 2p 97
45
6
5 5
5
0, 0 0, 0
45
p
s
p
p
s s
s
u v u v
p
=
=
− − =
=
=
= ⇔ = ⇔
=
≥ ≥ ≥ ≥
=
2
3
u
v
=
⇔
=
hoặc
3
2
u
v
=
⇔
=
. (Vì s
2
4 p≥
)
• Với u = 2
⇒
4
2 16x x= ⇔ =
(Thỏa mãn điều kiện (1))
• Với u = 2
⇒
4
3 81x x= ⇔ =
( Thỏa mãn điều kiện (1))
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 16 và x = 81
- 9 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
Bài 9 : Giải phương trình sau :
2
5 5x x− + =
(1)
Giải :
Đặt
5 (y 0)x y− = ≥
(*)
Điều kiện : x + 5
0 5 (*)x≥ ⇔ ≥ −
.Khi đó phương trình (1) chuyển thành hệ
phương trình
2
2
5 (2)
5 (3)
x y
y x
− =
− =
Trừ theo từng vế (2) và (3) ta có x
2
- y + x - y
2
= 0
( )( 1) 0x y x y⇔ − + + =
0
1 0
x y
x y
− =
⇔
+ + =
• Với : x - y = 0
⇔
x = y thay vào (*) ta có phương trình x
2
- x - 5 = 0
⇔
1 21
2
1 21
2
x
x
−
=
+
=
⇔
1 21
2
x
+
=
thỏa mãn điều kiện (1)
• Với x + y + 1 = 0
⇔
y = -x -1 thay vào (*) ta có phương trình : x
2
+x - 4
= 0
⇔
1 17
2
1 17
2
x
x
− −
=
− +
=
⇔
1 17
2
x
− −
=
thỏa mãn điều kiện (1)
• Vậy phương trình có 2 nghiệm :
1 21
2
x
+
=
;
1 17
2
x
− −
=
Bài 10 : Giải phương trình sau :
(
)
2 2
1 1 1 2 1 (1)x x x+ − = + −
Giải :
Điều kiện :
1 1x− ≤ ≤
(*)
- 10 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
Đặt ẩn phụ :
2
1 (t 0)x t− = ≥
.Phương trình (1) chuyển thành hệ phương trình
sau
2 2
1 = x(1+2t) (2)
1 (3)
t
x t
+
= −
Vì t
0≥
nên từ (2) ta có x
0≥
(2)
⇔
1 + t = x
2
( 1 + 2t )
2
(4), thay (3) vào (4) ta có phương trình : 4t
4
+ 4t
3
- 3t
2
-
3t = 0
⇒
t(t +1)(4t
2
- 3) = 0
⇔
0
0
1
3
2
3
2
t
t
t
t
t
=
=
= − ⇔
=
= ±
(Vì t
0≥
)
• t = 0 ta có
2 2
1
1 0 1 1
1( )
x
x x x
x l
=
− = ⇔ = ⇔ ⇔ =
= −
( vì
0 1x≤ ≤
)
• t =
3
2
ta có
2 2
1
3 1 1
2
1
1
2 4 2
( )
2
x
x x x
x l
=
− = ⇔ = ⇔ ⇔ =
= −
(
0 1x≤ ≤
)
Kết luận : Phương trình có 2 nghiệm : x = 1 và
1
2
x =
Bài 11 : Giải phương trình sau
2 2
6 14 98 35 6x x x x+ − = − −
(1)
Giải :
Đặt t = x
2
+ 6x - 14 ( t
0≥
) (2).Ta có 98 - 35x - 6x
2
= -6(x
2
+ 6x - 14) +x + 14
= x - 6t +14. Khi đó phương trình (1) trở thành :
2
x 6t 14 6 14t t t x= − + ⇔ + − =
(3)
Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình
x - 6t +14
2
2
x 6x 14 (4)
t 6t 14 (5)
t
x
+ − =
+ − =
Trừ theo vế phương trình (4) và (5) ta có
- 11 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
x
2
- t
2
+6(x - t) = t - x
⇔
(x - t)(x + t + 7) = 0
⇔
(6)
7 (7)
x t
x t
=
= − −
• Thay (6) vào (5) ta có t
2
+ 6t - 14 = t
⇔
t
2
+ 5t - 14 = 0
⇔
2
2
7
t
t
t
=
⇔ =
= −
( t
≥
0)
Khi t = 2
⇔
x = 2
• Thay (7) vào (5) ta có t
2
+ 6t - 14 = - t - 7
⇔
t
2
+ 7t - 7 = 0
⇔
7 77
7 77
2
2
7 77
2
t
t
t
− −
=
− +
⇔ =
− +
=
( t
≥
0)
Khi t =
7 77
2
− +
⇔
x =
7 77
2
− +
• Kết luận : phương trình có 2 nghiệm : x = 2 , x
7 77
2
− +
Bài 12 : Giải phương trình sau :
2
2
4 3 5
2 2 5
2
x x
x x
− −
− − =
(1)
Giải :
Đặt 2x
2
- 2x - 5 = y ( y
0≥
).(2) Ta có 4x
2
- 4x - 10 = 2y
⇔
4x
2
- 3x - 5 = 2y +x +
5 Phương trình (1) trở thành : y =
2 2
2 5
2 2 5 2 2 5
2
y x
y y x y y x
+ +
⇔ = + + ⇔ − − =
(3).Từ (2) và (3) ta có hệ
phương trình
2
2
2x 2x 5 y (4)
2y 2y 5 x (5)
− − =
− − =
Trừ theo từng vế hai vế phương trình (4)
và (5) ta có
2(x
2
- y
2
) - 2(x - y ) = y - x
⇔
(x - y )( 2x +2y -1) = 0
⇔
(6)
1
(7)
2
x y
x y
=
= −
- 12 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
• Khi x = y (2)
⇔
2x
2
- 3x - 5 = 0
⇔
1
5
5
2
2
x
x
x
= −
⇔ =
=
( vì x = y
0≥
)
• Khi x =
1
2
y−
(3)
⇔
2y
2
- 2y - 5 =
1
2
y
−
⇔
2y
2
- y -
11
0
2
=
⇔
1 3 5
1 3 5
4
4
1 3 5
4
y
y
y
−
=
−
⇔ =
−
=
( vì y
≥
0).Thay vào (2) ta có
1 3 5
4
x
−
=
• Vậy phương trình có 2 nghiệm :
5
2
x
=
;
1 3 5
4
x
−
=
Bài 13 : Giải phương trình sau :
2 2
2 12 6 2 4 4x x x x+ + = + +
(1)
Giải:
Ta có :
2
2 4 4x x+ +
= x
2
+ ( x + 2 )
2
0≥
với mọi x.Đặt t =
2
2 4 4x x
+ +
(t >0)
⇒
t
2
= 2x
2
+4x +4 (2)
⇔
x
⇔
x
2
+2x +12 =
1
2
t
2
+ 10
⇔
6t =
1
2
t
2
+ 10
⇔
t
2
-12t+
20 = 0
⇔
2
10
t
t
=
=
• t = 2 (2)
⇔
x
2
+ 2x = 0
⇔
0
2
x
x
=
= −
• t = 10 (2)
⇔
x
2
+ 2x - 48 = 0
⇔
6
8
x
x
=
= −
• Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x = 0 ; x = -2 ; x = 6 ; x = -8
Bài 14 : Giải phương trình sau :
2 2
3
2 6 5 3 3 2x x x x− + = − +
(1)
Giải :
Đặt t =
2 3 2 2 3
3
3 2 (2) 3 2 2 6 5 2 1x x t x x x x t
− + ⇒ = − + ⇒ − + = +
- 13 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
Phương trình (1) trở thành 2t
3
+ 1 = 3t (3)
⇔
2t
3
-3t + 1 = 0
⇔
(t - 1)(2t
2
+2t - 1) =
0
⇔
1 (3)
1 3
(4)
2
t
t
=
− ±
=
• t = 1 (2)
⇔
x
2
- 3x + 2 = 1
⇔
x
2
- 3x + 1 = 0
⇔
3 5
2
3 5
2
x
x
−
=
+
=
• t =
1 3
2
− −
ta có (2)
⇔
2
13 3 3
2 6 0
2
x x
+
− + =
vô nghiệm vì
' 4 3 3 0∆ = − − <
• t =
1 3
2
− +
ta có (2)
⇔
2
3 3 3 4
13 3 3
2
2 6 0
2
3 3 3 4
2
x
x x
x
− −
=
−
− + = ⇔
+ −
=
Vậy phương trình có 4 nghiệm :
3 5 3 5
;
2 2
x x
+ −
= =
;
3 3 3 4 3 3 3 4
;
2 2
x x
− − + −
= =
Bài 15 : Giải phương trình sau :
3
3
9 ( 3) 6x x− = − +
(2)
Giải :
b) Đặt u =
3
9; 3x v x− = −
. Từ phương trình(2) ta có : u = v
3
+ 6 (4).Mặt khác ta
lại có u
3
= x - 9
⇒
u
3
+ 6 = x - 3 = v ( 5).Từ (4) và (5) ta có hệ phương trình
sau
3 3
3
3 2 2
6 6 2
2
6
6 ( )( 1) 0
u v
u v u v u
v
u v
v u u v u uv v
=
= + = + = −
⇔ ⇔ ⇔
= −
= +
= + − + + + =
Vì u
2
+ uv + v
2
+1=
2 2
3
( ) 1 0
2 4
v
u v+ + + >
- 14 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
• u = v = -2
⇔
x = 1
• Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 1
Bài 16 : Giải phương trình sau :
3
2 1 3 (1)x x− + + =
Giải :
Điều kiện :
1x ≥ −
(*)
Đặt :
3
2 ; b 1a x x= − = +
(b
0≥
).Từ phương từ phương trình (1) ta có hệ
phương trình
3 3 2
3 3
3 1
1 2
3 ( 1)( 6) 0
a b a b
a b a
a b
a b a a
+ = = −
= − =
⇔ ⇔ ⇔
= =
− = − − + =
• Với b = 2 ta có
1 2 1 4 3x x x+ = ⇒ + = ⇔ =
( Thỏa mãn (*))
• Kết luận : Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Bài 17 : Giải phương trình sau :
2 2
sinx 2 sin sinx. 2 sin 3x x+ − + − =
(1)
Giải :
Đặt u = sinx với điều kiện :
1 1u− ≤ ≤
, v =
2
2 sin x−
với điều kiện
1 2v≤ ≤
(*).Khi đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình sau :
2 2
2
2
1
. 1
3
u v
u v
u v
v v
u v uv
+ =
+ =
⇔ ⇔ = =
=
+ + =
(3) Thay vào (*) : Ta có sinx = 1
⇔
2
2
x k
π
π
= +
Bài 18 : Giải phương trình sau :
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +
Giải :
Đặt
1
1
2 1
u,v >1
2 1
x
x
u
v
−
−
= +
= +
.
Ta có nhận xét sau u.v = (2
x-1
+ 1)( 2
1-x
+ 1) = 2
x -1
+ 2
1-x
+2 = u + v.
- 15 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
Khi đó phương trình (1) trở thành
2
2
8 1 18
8 18
9
.
.
9
8
u
v
u v
u v u v
u
u v u v
u v u v
v
=
=
+ =
+ =
⇔ ⇔
+
=
+ =
+ =
=
• Khi u = v = 2 Ta có
1
1
2 2 1
1
2 2 1
x
x
x
−
−
= +
⇔ =
= +
• Khi u = 9 và
9
8
v =
ta có
1
1
9 2 1
4
9
2 1
8
x
x
x
−
−
= +
⇔ =
= +
• Kết luận phương trình có 2 nghiệm : x = 1 và x = 4
Bài 15 : Giải phương trình sau
2
2 2 6 6
x x
− + =
(1)
Giải :
Đặt 2
x
= u ( u > 0 )
(1)
⇔
2
6 6u u− + =
Đặt
2
2 6 (v 6) 6
x
v v u= + ≥ ⇒ = +
. Khi đó ta có hệ phương trình
2
2 2
2
6
( )( 1) 0
1 0
6
u v u v
u v v u u v u v
u v
v u
= + =
⇒ − = − ⇔ − + + = ⇔
+ + =
= +
• Với u = v ta có u
2
- u - 6 = 0
2
3
3 2 3 log 3
2( )
x
u
u x
u loai
=
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= −
• Với u + v + 1 = 0 ta có u
2
+u - 5 = 0
2
1 21
( )
1 21 1 21 1 21
2
2 log
2 2 2
1 21
2
x
u l
u x
u
− −
=
− + − + − +
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− +
=
- 16 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
• Kết luận : Nghiệm của phương trình là
2
log 3x =
,
2
1 21
log
2
x
− +
=
Bài 20 : Giải phương trình sau
1
3
27 2 3 3 2
x x+
+ = −
(1)
Giải :
Đặt u = 3
x
, u > 0, phương trình (1) Trở thành
3
3
2 3 3 2u u+ = −
(2)
Đặt
3
3
3 2 3 2 (3)v u v u= − ⇒ = −
.
Khi đó phương trình (2) được chuyển thành hệ
3
3
2 3
2 3
u v
v u
+ =
+ =
3 3 2 2
2 2
3( ) ( )( ) 0
0 (vn)
u v
u v u v u v u uv v u v
u uv v
=
⇔ − = − − ⇔ − + + = ⇔ ⇔ =
+ + =
Thay u = v vào phương trình (3) ta có
u
3
- 3u + 2 = 0
⇔
(u - 1)(u
2
+ u - 2) = 0
1
3 1 0
2( )
x
u
x
u l
=
⇔ ⇔ = ⇔ =
= −
• Kết luận : nghiệm của phương trình là x = 0
Bài 21 : Giải phương trình sau
3
2 log 1 log 1x x− = − −
Giải :
Điều kiện :
0 0
10
log 1 0 10
x x
x
x x
> ≥
⇔ ⇔ ≥
− ≥ ≥
(*)
Đặt
3
3 2
2 log
v 0 u 1
log 1
u x
v
v
= −
≥ ⇒ + =
= −
.Khi đó phương trình (1) trở thành hệ
phương trình
3 2
3 2 3 2
0
u 1
(1 ) 1 2 0 1
1
2
u
v
u u u u u u
v v
u
=
+ =
⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ =
+ =
= −
- 17 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải tốn cho học sinh thơng qua bài tốn giải phương trình nhờ hệ phương trình"
3
3
10
3
2 log 0
log 2 100
2 log 1 log 1 10
log 10
10
2 log 2
x
x x
x x x
x
x
x
− =
= =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
=
=
− = −
( Thỏa mãm điều kiện (*))
Kết luận : phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 100, x = 10, x = 10
10
C. Kết luận :
I. Kiểm nghiệm lại kết quả:
1. Kết quả của biện pháp mới:
Ban đầu học sinh chưa làm quen được phương pháp mới, các em còn nhút nhát,
thụ động, đợi đến giáo viên gọi thì các em mới phát biểu. Và các em không tự
mình phân tích được bài giải mà phải có sự gợi ý của giáo viên nên kết quả
tiết dạy không cao. Dần về sau học sinh hoạt động tích cực và có tính tự giác,
các em mạnh dạn đứng lên phân tích và tự mình trình bày bài giải một cách
logíc, có khoa học.
2. Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:
a. Đối với bản thân:
- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỷ về kiến thức chuyên môn và các kiến thức
liên quan đến bài dạy. Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dần
theo thời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên môn
vững vàng.
- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có
nhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống.
b. Đối với học sinh:
- Học sinh học môn không còn gò bó theo khuôn mẫu, mà các em phát huy
được tính cực, độc lập, sáng tạo trong học tập.
- Học sinh học môn từ những bước đi cơ bản vững chắc, dẫn đến đam mê, rồi
các em hiển nhiên trở thành một học sinh giỏi toán
- 18 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải tốn cho học sinh thơng qua bài tốn giải phương trình nhờ hệ phương trình"
c. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:
Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được. Và
đặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem
phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp q báu và đã mạnh
dạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang
lại thành công.
3. Nguyên nhân thành công và tồn tại:
a. Nguyên nhân thành công:
- Bản thân, đã có sự đam mê môn tốn học từ lúc khi còn ngồi dưới ghế nhà
trường phổ thông.
- Được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình của các anh em đồng nghiệp
trong tổ chuyên môn.
- Lớp tôi phụ trách phần lớn học sinh đều có tinh thần vượt khó, tự giác học
tập.
b. Tồn tại:
- Các bài toán có liên quan đến căn thức nên các em khơng có mấy hứng thú vì
nó khó và khơng có định hướng trước để giải được nó.
- Các bài toán liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau đòi hỏi các em phải có
kiến thức vững vàng về phương trình và hệ phương trình nắm được các phương
pháp giải cơ bản các .
4. Bài học kinh nghiệm:
Đối với các bài toán đòi hỏi cần phải có sự tư duy như các dạng tốn ở trên, thì
học sinh đôi lúc phân tích hướng giải không đúng với ý đồ của giáo viên. Khi
đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em, sau đó
chỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra.
- 19 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải tốn cho học sinh thơng qua bài tốn giải phương trình nhờ hệ phương trình"
Theo phương pháp trên làm cho học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực và
giải quyết vấn đề một cách sáng tạo có khoa học. Kết quả thu được góp phần
không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành giáo dục đề ra.
Tơi xin chân thành cảm ơn
Tĩnh gia, ngày : 20/05/2010
Người thực hiện
Mai Tiến Linh
PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH ĐÃ THAM KHẢO
1 Tuyển tập các chun đề luyện thi đại học mơn tốn
đại số sơ cấp - Nhà xuất bản Hà Nội
Trần Phương - Lê
Hồng Đức
2 Các dạng tốn luyện thi đại học - Nhà xuất bản Hà
Nội
Phan Huy Khải
3 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ,
logarit - Nhà xuất bản Hà Nội
Lê Hồng Đức
4 Tuyển chọn theo chun đề Tốn học và tuổi trẻ
quyển 1,2,3,4 - Nhà xuất bản giáo dục
Nhiều tác giả
5 Chun đề nâng cao đại số THPT - Nhà xuất bản giáo
dục
Phạm Quốc Phong
- 20 -
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
- 21 -
