viet pt duong thang dang 2

1

Dạng 2: (đã biết điểm đi qua, cần tìm VTCP )
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;1) , B(2;1;2) , C(5;4;2)
a) Lập phương trình đường cao AH của tam giác ABC .
b) Lập phương trình đường trung trực đoạn BC của tam giác ABC
Giải : a)
AB

= (1; 1; 3) ;
AC

=(4;4;3)
Véc tơ pháp tuyến của mp(ABC) :
ABC
n

=[
AB

,
AC

] = (15; 9;8)
ABC
n

=(15; 9;8)
+ Đường cao AH nằm trong mp(ABC) = >
u



ABC
n


Và đường cao AH vuông góc BC =>
u


BC


Suy ra
u

= [
ABC
n

,
BC

] =(40;24;102)
Phương trình đường cao AH qua A nhận
u

làm VTCP :
x 1 y z 1
40 24 102

 
 
 

b) Đường trung trực đoạn BC đi qua trung điểm I của BC
ta có I(
7
2
;
3
2
;2)
+ Đường trung trực đoạn BC song song với AH
=> nhận
u

=(40;24;102) làm VTCP
Phương trình đường trung trực đoạn AB của tam giác ABC qua I nhận
u

làm
VTCP là :
7
x
2
40

=
3
x

2
24

=
z 2
102



Bài 8: a) Viết phương trình đường thẳng  qua B(1;3;4) và song song với hai
mặt phẳng (α) : xy+3z 2=0 , (β) : 3x z +1=0
b) Viết phương trình đường thẳng 
2
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : xy+3z 2=0 , (β) : 3x z +1=0
Giải : a)
n


=(1;1;3) ;
n


=(3;0;1)
Vì  // (α) =>
u


n




Và  // (β) =>
u


n


;
Do đó
u

=[
n


,
n


]=
1 3 3 1 1 1
; ;
0 1 1 3 3 0
   
 
 
 
= (1;10 ;3)

Pt đường thẳng  qua B nhận
u

làm VTCP :
x 1 y 3 z 4
1 10 3
  
 

2

b) đường thẳng (
2
) :
x y 3z 2 0
3x z 1 0
   


  


có VTCP :
2
u

=[
n



,
n


]=
1 3 3 1 1 1
; ;
0 1 1 3 3 0
   
 
 
 
= (1;10 ;3)
+ Chọn M
0
 (
2
) bằng cách cho x=0 =>
y 3z 2 0
z 1 0
   


  

=> y=1;z=1
Và điểm M
0
( 0;1;1)
Pt đường thẳng 

2
qua M
0
nhận
2
u

làm VTCP :
x y 1 z 1
1 10 3
 
 
Bài 9:a) Viết phương trình đường thẳng  qua K(1;3;4) và  vuông góc với
(d) :
x y 1 z 2
1 5 1
 
 

và song song với mp (α) : xy+3z 2=0
b) Viết phương trình đường thẳng 
2
qua Q(2;3;4) và 
2
vuông góc với (d) :
x 1 y 7 z 3
2 3 1
  
 


và song song với mp Oxy
Giải :a)
d
u

=(1;5;1) ;
n


=(1;1;3)
Vì   (d) =>
u



d
u


Và  // () =>
u



n


;
Do đó
u



=[
d
u

,
n


]=
1 5 5 1 1 1
; ;
1 1 1 3 3 1
   
 
 
 
= (6;14 ; 4)
Pt đường thẳng  qua K nhận
u


làm VTCP :
x 1 y 3 z 4
6 14 4
  
 
 

b)
d
u

=(2;3;1) ;
Oxy
n

=(0;0;1)
Vì 
2
 (d) =>
2
u



d
u


Và 
2
// (Oxy) =>
2
u



Oxy

n

; =>
2
u


=[
d
u

,
Oxy
n

]=(3;2;0)
Pt đường thẳng 
2
qua Q nhận
2
u


làm VTCP :
x 2 3t
y 3 2t
z 4
 



 


 


Bài 10:a) Viết phương trình đường thẳng  qua M(4;1;2) và đồng thời
vuông góc với hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) , với (d
1
) :
x 1
2

=
y 1
1


=
z 3
3



3

và (d
2
) :
x
1
=
y 1
2

=
z
1

b) Viết phương trình đường thẳng 
2
qua B(1;7;9) và đồng thời 
2
vuông
góc với (d) :
x y 4 z 1
2 1 2
 
 
 
và trục y’Oy
Giải :a) Đường thẳng (d
1
) có VTCP
1
u


=(2;1;3) ; (d
2
) có VTCP
2
u

=(1;2;1)
Vì   (d
1
) và   (d
2
) =>
u


=[
1
u

,
2
u

] =(7;1; 5)
Pt đường thẳng  qua M nhận
u


làm VTCP :

x 4 y 1 z 2
7 1 5
  
 


b) Đường thẳng (d) có VTCP
u

=(2;1;2) ; trục y’Oy có VTCP
j

=(0;1;0)
Vì 
2
 (d) và   trục y’Oy =>
2
u


=[
u

,
j

] =(2;0;2)
Pt đường thẳng 
2
qua B nhận

2
u


làm VTCP :
x 1 2t
y 7
z 9 2t
 





  


Bài 11: Trong không gian với hệ tọa đđộ Oxyz , cho đđường thẳng (d ) :
 


 


  

x 2 4t
y 3 2t
z 3 t
và mặt phẳng (P) : x+y+2z +5=0

a) Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .
b) Viết phương trình đđường thẳng (

) nằm trong (P), song song với (d)
và cách (d) một khoảng là
14
.
Giải: a) + (d) qua M
0
(2;3;3) và có VTCP

d
u
=(4;2;1)
+ Mặt phẳng (P) có VTPT
(P)
n

=(1;1;2)
Ta có :

d
u
.
(P)
n

=4 +2+2 =0 và M
0
 mp(P) => d  mp(P)

b) Gọi
u

vectơ chỉ phương của ((d
1
) qua A và vuông góc với (d)
thì

 




 
 
d
P
u u
u n
nên ta chọn
P
d
u [u ,n ]

  
.(3;9;6) =3(1;3;2)
Phương trình của đđường thẳng (
d
1
) :

4


x 2 3t
y 3 9t (t )
z 3 6t
 


  


  



(

) làđđường thẳng qua M và song song với (d ).
Lấy M trên (
d
1
) thì M(2+3t;3

9t;

3+6t) .
Theo đề :     
2 2 2

AM 14 9t 81t 36t 14


    
2
1 1
t t
9 3

+ t =
1
3


M(1;6;

5)
  
   
1
x 1 y 6 z 5
( ):
4 2 1

+ t =
1
3

M(3;0;


1)
 
   
2
x 3 y z 1
( ):
4 2 1

Bài 12: Trong không gian với hệ tọa đđộ Oxyz , cho đ A(2;4;3), đường
thẳng (d ) :

  

 


 

x 1 3t
y 2 t
z 1 t
và mặt phẳng () : xy+z 4=0
Viết phương trình đđường thẳng (

) đi qua A,  vuông góc với (d) và sin
của góc tạo bởi () với mp() bằng
10
5
.
Giải : (d) qua M

0
(1;2;1) có VTCP
d
u

=(3;1;1)
Mp() có VTPT
n


=(1;1;1)
+ Gọi VTCP của đường thẳng () là
u


=(a;b;c) với a
2
+b
2
+c
2
 0
Vì   (d) =>
u


.
d
u


=0 <=> 3a+b+c=0 <=> b=3ac (1)
Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng  và mp ()
=> sin =
u .n
u n




 
 
=
2 2 2
a b c
3 a b c
 
 
(2)
Thay (1) vào (2) ta có : sin =
2 2 2
4a 2c
3 a ( 3a c) c

   
=

5

Mà : sin =
10

5
<=>
2 2 2
4a 2c
3 a ( 3a c) c

   
=
10
5

<=> 25(4a+2c)
2
=30(10a
2
+6ac +2c
2
)
<=> 5(4a
2
+4ac +c
2
) = 3(5a
2
+3ac +c
2
) <=> 5a
2
+11ac +2 c
2

=0
Chọn a=1 => 2c
2
+11c +5 =0 <=>
c 5;b 2
1 5
c ;b
2 2
  



   


Khi
u


=(1;2;5) thì đường thẳng () :
x 2
1

=
y 4
2

=
z 3
5




Khi
u


=(1;
5
2
;
1
2
) thì đường thẳng () :
x 2
1

=
y 4
5/ 2


=
z 3
1/ 2



Bài 13: Cho (d)
x t

y 2
z 4 t






 

và (P) : y z  1 = 0
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng () qua A, () nằm trong (P) và ()
tạo với (d) một góc 30
0
.
Giải : + Giao của (d) và mp(P) :
x t
y 2
z 4 t
y z 1 0






 



  


=> 2(4t) 1=0 <=> t= 3 => x=3; y=2 ; z=1 . Tọa độ A(3;2;1)
b)
d
u

=(1;0;1) ;
P
n

=(0;1;1)
+ Gọi VTCP của đường thẳng () là
u


=(a;b;c) với a
2
+b
2
+c
2
 0
Vì   mp(P) =>
u


.
P

n

=0 <=> bc=0 <=> b= c (1)
Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng  và (d)
=> cos =
d
d
u .u
u u


 
 
=
2 2 2
a c
2 a b c

 
=
2 2
a c
2 a 2c



Mà :  =30
0
<=>
2 2

a c
2 a 2c


=
3
2
<=> 2(a
2
2ac+c
2
) =3(a
2
+2c
2
)
<=> a
2
+4ac+4c
2
=0 <=> a=2c . Chon c=1 ; a=2 và b=1

6

u


=(2;1;1) đường thẳng () :
x 3
2


=
y 2
1


=
z 1
1



Bài 15: Cho (d) :
x y 1 z 1
2 3 1
 
  và () : 2x y +z3=0 Viết phương
trình đường thẳng  đi quaA(3;1;1) ,  vuông góc với (d) và sao cho góc
tạo bởi  và mp() là lớn nhất .
Giải : đường thẳng (d) có VTCP :
d
u

=(2;3;1) ; mp() có
n


=(2;1;1)
Gọi
u



= (a;b;c ) với a
2
+b
2
+c
2
≠ 0
Vì   (d) =>
u



d
u

<=>
u


.
d
u

=0 <=>2a+3b+c=0 <=> c=2a3b
Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng  và () :
Ta có: sin =
2 2 2 2 2 2
2a b c

2 ( 1) 1 . a b c
 
    
=
2 2 2
2a b 2a 3b
6. a b ( 2a 3b)
  
   

=
2 2
4. b
6. 5a 12ab 10b
 
=
2
2 2
4 b
5a 12ac 10b
6  

Xét biểu thức T =
2
2 2
b
5a 12ac 10b
 

+ Nếu a= 0 ; b0 thì T =

1
10

+ Nếu a≠ 0, đặt b= ka thay vào ta có : T=
2 2
2 2 2
k a
5a 12a.ka 10.k a
 

T=
2
2
k
10k 12k 5
 
( coi k là ẩn )
<=> T(10k
2
+12k+5) =k
2
<=> (10T1).k
2
+ 12T.k +5T=0 (*)
Khi: 10T1=0  T=
1
10
pt có nghiệm k= 
5
12

Khi 10T1≠ 0 . Điều kiện pt (*) có nghiệm là ’ 0
36T
2
(5T)(10T1)  0 <=> 14T
2
+5T  0 <=> 0  T 
5
14

Với  (0;
2

) , góc  lớn nhất <=> sin lớn nhất <=> T lớn nhất
Khi đó T =
5
14
. Suy ra k =
5
6
và b= 
5
6
a

7

Chọn a=6 , b=5 và c=3 , VTCP
u



=(6;5;3)
Đường thẳng  cần tìm đi qua A, có VTCP
u


:
x 3 y 1 z 1
6 5 3
  
 


Bài 16: Viết phương trình đường thẳng () qua A(1;3;2) và cắt trục x’Ox
tại điểm M sao cho AM=
22

Giải :+ Theo đề bài M  Ox => M(a;0;0) và AM=
2 2 2
(a 1) ( 3) 2
   

Vì AM=
22
<=> (a1)
2
+13=22 <=> (a1)
2
=9 <=> a=4  a=2
TH1: a=4 => M(4;0;0) , VTCP

AM

=(3;3;2)
Đường thẳng  qua M nhận
AM

làm VTCP là:
x 4 y z
3 3 2

 


TH2: a=2 => M(2;0;0) , VTCP
AM

=(3;3;2)
Đường thẳng  qua M nhận
AM

làm VTCP là:
x 2 y z
3 3 2

 
 

Bài 17: Viết phương trình đường thẳng () qua B(2;1;3) và cắt đường
thẳng (d):
x 1

1

=
y 2
1

=
z
3
tại điểm M sao cho BM=2
11

Giải : Giả sử  cắt (d) tại M(1+t;2+t;3t) ;
BM=
2 2 2
(1 t 2) ( 2 t 1) (3t 3)
        =2
11
<=>
11
2
(t 1)
 =2
11

<=> (t1)
2
=4 <=> t=3  t=1
TH1: t=3 => M(4;1;9) , VTCP
BM


=(2;2;6)
Đường thẳng  qua M nhận
BM

làm VTCP là:
x 4 y 1 z 9
2 2 6
  
 
TH2: t=1=> M(0;3;3), VTCP
BM

=(2;2;6)
Đường thẳng  qua M nhận
BM

làm VTCP là:
x y 3 z 3
2 2 6
 
 
  

Chú ý : Hai trường hợp trên có KQ hai đường thẳng trùng nhau