Tải bản đầy đủ (.pdf) (74 trang)

Tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp 2012 môn toán THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 74 trang )


TRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN AN


T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN





GV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước Sang


Ôn tập Tốt nghiệp
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An




















1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1 Tập xác định:
D = ℝ

2 Tính
y


3 Cho
0y

=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có).
4 Tính hai giới hạn:
lim ; lim
x x

y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.

3 2
( 0)

y ax bx cx d a= + + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y

=

0a > 0a <
0y

= có 2 nghiệm
phân biệt




0y


= có nghiệm kép




0y

= vô nghiệm




Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
4 2
( 0)

y ax bx c a= + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y

=


0a >

0a <

0y

=
có 3 nghiệm
phân biệt


0y

=
có 1 nghiệm duy
nhất




Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x


0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x


3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x

− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k

=
(*)
2 Thay
0
( )y x

vào (*) để tìm
0
x


3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x

− = −


Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với
y ax b= +
có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với
( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1
a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x BT m=


2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao
điểm của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và đường thẳng
: ( )d y BT m=
.
3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An




Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết
quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề.
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:
( )f x ax b= + (*)
2 Lập luận: số giao điểm của
( )C
và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Cho hàm số

3 2
6 9 1y x x x= − + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại giao điểm của
( )C
với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9 0x x x m− + + =

Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 12 9y x x

= − +

 Cho
2

0 3 12 9 0 1y x x x

= ⇔ − + = ⇔ =
hoặc
3x =

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;5)D
, điểm cực tiểu
(3;1)T


Cho 6 12. 0 2 3y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
(2;3)I


 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a > 0)

x
−∞
1 3
+∞

y


+ 0 – 0 +
y
5 +




1
m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … …. ….
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y
1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
(2; 3)I

như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
0 (0) 1x y= ⇒ = .
Giao điểm của
( )C
với trục tung là:
(0;1)A


(0) 9f

=

 Phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại A là:
1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = +

Câu c: Ta có,
3 2 3 2
6 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = −


3 2
6 9 1 1x x x m⇔ − + + = −
(*)
 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị
( )C

đường thẳng

: 1d y m= −
cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔
 
− < >
 
 

Bài 2
: Cho hàm số
2 3
3 2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại các giao điểm của
( )C

với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình:

3 2
4 6 3 0x x a− − =

Bài giải
Câu a: Hàm số
2 3
3 2y x x= −
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm:
2
6 6y x x

= −

 Cho
2
0 6 6 0 0y x x x

= ⇔ − = ⇔ =
hoặc
1x =

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞


 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
−∞
0 1
+∞

y


– 0 + 0 –
y
+∞ 1
0 –∞
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O

Cho
1 1
2 2
6 12 . 0y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1

2 2
( ; )I

 Bảng giá trị:
x

1
2

0
1
2
1
1
2

y
1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
1 1
2 2
( ; )I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
2 3
0 3 2 0y x x= ⇔ − =

3
2
0x
x

=



=



Giao điểm của
( )C
với trục hoành là:
(0;0)O

3
2
( ; 0)B

 Tại
(0;0)O
:
(0) 0f

=
, phương trình tiếp tuyến là:
0y =


 Tại
3
2
( ; 0)B
:
3 9
2 2
( )f

= −
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )y x y x− = − − ⇔ = − +

Câu c: Ta có,
3 2 2 3 2 3
4 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ −
3
2
a= −
(*)
 Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị
( )C

và đường thẳng
3
2

:d y a= −
, do đó ta có bảng kết quả sau đây:
a
3
2
a−

Số giao điểm
của
( )C
và d
Số nghiệm của
phương trình (*)

2
3
a < −

3
2
1a− >

1 1
2
3
a = −

3
2
1a− =


2 2
2
3
0a− < <

3
2
0 1a< − <

3 3
0a =

3
2
0a− =

2 2
0a >

3
2
0a− <

1 1


www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )C
với đường thẳng
3
2
2y x= +

Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2

x x x
y
+ +
=
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
2
x x
y x
+ +

= ≥ ∀ ∈ ℝ
do đó hàm số luôn đồng
biến trên

và không đạt cực trị.
 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Bảng biến thiên:








1
2
3 3 0 1y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )I − −

 Bảng giá trị:
x

3


2−

1−
0 1
y

9

2

1−
1
2

0
7
2

 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm
1
2
( 1; )I − −

Câu b: Tiếp tuyến của
( )C
song song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

có hệ
số góc
3
0
2
( )k f x

= =


2
0 0
3 6 3
2
x x+ +
⇔ =
3
2
2
0
0 0
0
0
3 6 0
2
x
x x
x

=

⇔ + = ⇔

= −



 Với
0

0x =
thì
0
(0) 0y y= =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
0 ( 0)y x y x− = − ⇔ =
(trùng với

)



x
−∞

1−

+∞

y


+ 0 +
y
+∞

–∞
1

2


www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An
 Với
0
2x = −
thì
0
( 2) 1y y= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = +
(song song với

)
 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2y x= +

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và
3
2
2y x= +
là nghiệm
phương trình

3 2
3 3
2
x x x+ +
=
3 2
3
2 3 3 3 4
2
x x x x x+ ⇔ + + = +
3 2 2
1
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2
x
x x x x x
x

=

⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

= −




7
2
1x y= ⇒ =


2 1x y= − ⇒ = −

 Vậy,
( )C

3
2
: 2d y x= +

cắt nhau tại 2 điểm:

( )
7
2
1;A

( 2; 1)B
− −

Bài 4
: a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
2 3y x x
= − −

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )C

tại điểm trên
( )C

có hoành độ x là nghiệm của phương trình
( ) 20f x
′′
=

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm:
4 2
2 0x x m− + =

Bài giải
Câu a:Hàm số
4 2
2 3y x x= − −
 Tập xác định:
D
=



3
4 4y x x

= −
 Cho
3
0 4 4 0 0; 1y x x x x


= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
–∞ –1 0 1 +∞

y


– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
3
− +∞
–4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D −

và hai điểm cực tiểu
1 2
( 1; 4), (1; 4)T T− − −

 Bảng giá trị:
x

2−
–1 0 1
2

y
–3 –4 –3 –4 –3
 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng
qua trục tung như hình vẽ
Câu b:Ta có,
2 2 2
12 4 20 12 24 2 2y x x x x
′′
= − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

 Đáp số:
4 2 11y x= −

4 2 11y x= − −
(học sinh tự giải)
Câu c:Ta có,
4 2 4 2
2 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − −
(*)

 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi
( )C

: 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)
3 3 0
0 1
3 4 1
m m
m
m m
 
 
− − ≤ − ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
 
 
− − > − <
 
 
 

Bài 5
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
4 3y x x= − + −

b) Dùng đồ thị

( )C
biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 0x x m− + =

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:
Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 2 4 2
4 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = −

 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho
m m – 3
Số giao
điểm
của
( )C

và d
Số nghiệm
của
phương
trình (*)
m > 4 m – 3 > 1 0 0
m = 4 m – 3 = 1 2 2
0 < m < 4 – 3 < m – 3 < 1 4 4
m = 0 m – 3 = – 3 3 3
m < 0 m – 3 < – 3 2 2


www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Bài 6 : Cho hàm số
3
– 3 1y x x= +
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm thuộc
( )C
có hoành độ bằng 2.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3
– 3 1 2 0x x m+ + =
.
Bài 7
: Cho hàm số
3 2
1 3
2 2
2y x x= − + −


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
song song với đường thẳng d:
9
2
2y x= − +

c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất:
3 2
3 4 0x x k
− − − =

Bài 8 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x
= + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Viết pttt với

( )C
biết tiếp tuyến song song với
: 12 1d y x= −

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3 2
2 3 2 0x x m+ + =

Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3 5
3 2 2
y x x= − + −
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ x thoả
1y
′′
=

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C


: 2 0d y − =
.
d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
3 2
2 9 6 0
x x
e e m− + =

Bài 10 : Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của
( )C
song song với đường thẳng
8 3y x= −

d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất:

3 2
3 log 0x x a
− − =


www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(*)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Tìm toạ độ giao điểm của
( )C với đường thẳng d:
1y x= − −

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
4 6 1 0x x m− + − =

Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x
= − +
,
m
là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )

C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )
C
vuông góc với đường thẳng d:
1 1
3 3
y x= −

c) Tìm các giá trị của a đường thẳng
2y ax= +
cắt
( )
C
tại ba
điểm phân biệt.
Bài 13
: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x= − + −
có đồ thị ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )

C
tại điểm A(0; –2)
c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
9 4 4 0x y− − =

d) Biện luận theo m số giao điểm của
( )
C

: 2d y mx= −

Bài 14 : Cho hàm số
3
4 3 1
y x x= − −
, có đồ thị là ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Tìm m để phương trình
3
4 3 1
x x m
− − =
có đúng 3 nghiệm.

c) Viết pttt với
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành.
d) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
72
:d y x
= −

Bài 15
: Cho hàm số
3 2
2 6 6 2y x x x= − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
, Ox ,
1, 2x x= =

Bài 16

: Cho hàm số
2 2
(2 )y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
2−

c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm
4 2
2 0x x m− + =

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 11 - THPT Chu Văn An
Bài 17 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 5.

c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:
4 2
2 3 2 0x x m+ + + =

Bài 18 : Cho hàm số
1
2
y =
4 2
3x x− +
3
2
có đồ thị ( )C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8.
c) Tìm
m
để phương trình sau có 4 nghiệm:
4 2
6 log 0
x x m− + =

Bài 19
: Cho hàm số
2 2
(1 ) 6
y x= − −
có đồ thị ( )
C


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2
x x m
− =

c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
24
:d y x= −

Bài 20
: Cho hàm số
1
4
y = −
4 2
2 1x x+ −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tìm m để phương trình

4 2
8 4x x m− + =
có nhiều hơn 2 nghiệm
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
tại điểm trên
( )C

có hoành độ là nghiệm của phương trình
( ) 10y x
′′
=

Bài 21
: Cho hàm số
1
4
y =
4 2
2x x−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
song song với
1
: 15 2012d y x= +
.

c) Viết pttt của
( )C
vuông góc với
2
:d
8
45
2012y x= − +

d) Tìm m để phương trình
4 2
8x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 22
: Cho hàm số
4 2
( 1)y x mx m= − − +
có đồ thị
( )Cm

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm
( 1; 4)M −

b) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi
2m = −
.
c) Gọi
( )H

là hình phẳng giới hạn bởi
( )C
và trục hoành. Tính thể
tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay
( )H
quanh trục hoành.
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 12 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( 0, 0)c ad cb≠ − ≠
ax b
y
cx d
+
=
+

1 Tập xác định:
{ }
\
d
c
D = −ℝ

2 Tính
2
( )
ad cb

y
cx d


=
+
và khẳng định
y

dương hay âm,
d
c
x∀ ≠ −

3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
( ; ),( ; )
d d
c c
−∞ − − +∞
và không đạt cực trị.
4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
 Tính
lim
x
a
y
c
→−∞
=


lim
x
a
y
c
→+∞
=
, suy ra
a
y
c
=
là TCN
 Tính
( )
lim
d
c
x
y

→ −

( )
lim
d
c
x
y

+
→ −
, suy ra
d
x
c
= −
là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.

( 0, 0)


ax b
y c ad cb
cx d
+
= ≠ − ≠
+

0y

>

0y

<






Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt
luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 13 - THPT Chu Văn An
b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x

0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x


3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x


− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k

=
(*)
2 Thay
0
( )y x

vào (*) để tìm
0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x

− = −



Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với y ax b= + có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với
( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1
a
k = −

d) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của
( )C
và d:
( )f x ax b= +
(*)
2 Lập luận: số giao điểm của
( )C
và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23 : Cho hàm số
2 1
1
x
y

x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung
độ bằng
5
2

c) Chứng minh rằng đường thẳng
: 2d y x m= − +
luôn cắt đồ thị

( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài giải
Câu a: Hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=

+
 Tập xác định:
\ { 1}D = −ℝ

 Đạo hàm:
2
1
0, 1
( 1)
y x
x

= > ∀ ≠ −
+
, do đó hàm số đồng biến
trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
,
( 1; )− +∞
và không đạt cực trị.
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 14 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 2 ; lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= = ⇒

y = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒
1x = −
là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x
−∞

1−

+∞

y


+ +
y

+∞
2
2
−∞


 Bảng giá trị:
x
–2
3
2

–1
1
2
0
y
3 4  0 1
 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm
( 1;2)I −
như hình vẽ
Câu b: Với
5
2
y =
thì
2 1 5
2(2 1) 5( 1) 3
1 2
x
x x x
x
+
= ⇔ + = + ⇔ = −
+


 Ta có
2
1 1
4
( 2)
( 3)f


− = =

 Vậy, tiếp tuyến của
( )C
tại
5
2
( 3; )M −
là:
5 1 1 13
2 4 4 4
( 3)y x y x− = + ⇔ = +

Câu c:Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và d là nghiệm phương trình
2 1
2 2 1 ( 2 )( 1)
1
x
x m x x m x
x

+
= − + ⇔ + = − + +
+
, 1x ≠ −
2
2 (4 ) 1 0x m x m⇔ + − + − =
(*) (
1x = −
không thoả (*))
 Biệt thức của phương trình (*):
2 2
4 12 ( 2) 8 0,m m m m∆ = − + = − + > ∀ ∈ ℝ

 Do
0∆ > nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó
( )C
và d
luôn có 2 điểm chung phân biệt.
Bài 24
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3
2
x
y
x

=



b) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
:d y x= −

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị

( )C
tại 2 điểm phân biệt.
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 15 - THPT Chu Văn An
Câu a: Hàm số
3 3
2 2
x x
y
x x
− −
= =
− − +
 Tập xác định:
\ {2}D = ℝ

 Đạo hàm:
2
1
0, 2

(2 )
y x
x


= < ∀ ≠

, do đó hàm số nghịch biến
trên các khoảng
( ;2)−∞
,
(2; )+∞
và không đạt cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 1 ; lim 1
x x
y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒
1y = −
là tiệm cận ngang.

2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
2x =

là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x
−∞
2
+∞

y


− −
y
1−


−∞
+∞


1−

 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y

3
2

–2


0
1
2


 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm
(2; 1)I −
như hình vẽ

Câu b:  Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x= −
nên có hệ số
góc
0
( ) 1k f x

= = −

2
0
1
1
(2 )x

⇔ = −

2
0

(2 ) 1x⇔ − =
0 0
0 0
2 1 1
2 1 3
x x
x x
 
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

 Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là
1y x= − −

3y x= − +

Câu c: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )C
và d:
3
2
x
x m
x


= − +

2
( 3) 2 3 0x m x m⇔ − + + + =
(*)

( )C
và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
0 2 3 0m m⇔ ∆ > ⇔ − − >

( ; 1) (3; )m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

 Vậy với
( ; 1) (3; )m ∈ −∞ − ∪ +∞
thì đồ thị
( )C
và đường thẳng
:d y x m= − +
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 16 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1

x
y
x
+
=


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
7
2

d) Tìm m để
: ( 1) 2d y m x= + +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 26
: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x

+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )H
của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của
( )H
biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
c) Viết pttt với
( )H
tại điểm trên
( )H
có hoành độ bằng
3−
.
d) Tìm m để đường thẳng
1y mx= +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 27
: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x


=


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4


c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số
m
đường thẳng
y x m= −
luôn cắt đồ thị
( )C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 28
: Cho hàm số
3
2
1
y
x

= +


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với đồ thị
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng
:d y m x= −
cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt
Bài 29
: Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=

có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.

b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
3
2


d) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5
4


e) Xác định toạ độ giao điểm của
( )C
và 3 2y x= − +
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 17 - THPT Chu Văn An
Bài 30 : Cho hàm số
2
1
y

x
=
+
có đồ thị là ( )C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
tại các giao điểm
của
( )C
với đường thẳng
: 2 1d y x= −

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
d) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
1 3
2 2
y x= − +

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 31 : Cho hàm số
1

1
x
y
x

=
+
có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến của
( )C
đi qua điểm
M song song với đường thẳng d : y = –2x
Bài 32
: Cho hàm số
2
1
x
y
x

=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.

b) Viết pttt với
( )
C
tại giao điểm của ( )
C
với
: 2 3d y x= −
.
c) Viết pttt của
( )
C
vuông góc với đường thẳng
1
2
2012y x= +

d) Tìm m để đường thẳng d:
2y mx= +
cắt cả hai nhánh của
( )C
.
Bài 33
: Cho hàm số
2 3
1
x
y
x

=



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
, Ox và
2x =
.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3y x= − +
đồng thời tiếp xúc với đồ thị
( )C

Bài 34 : Cho hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C

tại giao điểm của
( )C
với trục tung.
c) Viết pttt với
( )C
tại các giao điểm của
( )C
với
: 2 4d y x= − −

d) Tìm a để đường thẳng
: 3y ax∆ = +
đồ thị
( )C
không giao nhau
e) Tìm tất cả các điểm trên
( )C
có toạ độ đều là các số nguyên.
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 18 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]
1 Hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [a;b].
2 Tính
( )y f x
′ ′
=
.
3 Cho

0y

=
để tìm các nghiệm
[ ; ]
i
x a b∈
(nếu có) và các số
[ ; ]
j
x a b∈ làm cho
y

không xác định (nhớ loại các số
[ ; ]x a b∉
l
)
4 Tính các giá trị ( )
i
f x ,
( )
j
f x

( ), ( )f a f b

(không được tính
f
của các x
l

đã bị loại)
5 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
4. Điều kiện để hàm số có cực trị
(tóm tắt)
 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x



=


′′

<



thì hàm số
( )y f x=
đạt cực đại tại
0
x


 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x



=


′′

>



thì hàm số
( )y f x=
đạt cực tiểu tại
0
x

 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực đại, cực tiểu
0

y

⇔ ∆ >

 Hàm số
4 2
y ax bx c= + +
có cực đại, cực tiểu
. 0a b⇔ <

5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
đồng biến trên


0
0,
0
y
y x
a



∆ ≤


⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔



>





 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
nghịch biến trên


0
0,
0
y
y x
a



∆ ≤


⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔


<






 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định
0, 0y x D ad cb

⇔ > ∀ ∈ ⇔ − >
(không có dấu “=”)
 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định
0, 0y x D ad cb

⇔ < ∀ ∈ ⇔ − <
(không có dấu “=”)
www.VNMATH.com

Dương Phước Sang - 19 - THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a)
3 2
8 16 9y x x x= − + −
trên đoạn [1;3]
b)
2
4 ln(1 )y x x= − − trên đoạn [–3;0]
c)
3 2
2 ln 3 ln 2y x x= − −
trên đoạn
2
[1; ]e

d)
2
( 1)
x
y e x x= − −
trên đoạn [0;2]
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
8 16 9y x x x= − + −
liên tục trên đoạn [1;3]
 Đạo hàm:

2
3 16 16y x x

= − +

 Cho
2
0 3 16 16 0y x x

= ⇔ − + =
loaïi
nhaän
4
3
4 [1; 3] ( )
[1; 3] ( )
x
x

= ∉



= ∈



 Trên đoạn [1;3] ta có:
( )
; ;

4 13
3 27
(1) 0 (3) 6f f f= = = −

 Do
13
27
6 0− < <
nên
[1;3]
min (3) 6
x
y f

= = −

[1;3]
max
x
y

( )
4 13
3 27
f= =

Câu b: Hàm số
2
4 ln(1 )y x x= − −
liên tục trên đoạn [–3;0]


2
4 2 2 4
2
1 1
x x
y x
x x
− + +

= + =
− −

 Cho
(nhaän)
(loaïi)
2
1 [ 3;0]
0 2 2 4 0
2 [ 3; 0]
x
y x x
x

= − ∈ −


= ⇔ − + + = ⇔

= ∉ −




 Trên đoạn [–2;0]:
; ; ( 1) 1 4 ln 2 ( 3) 9 8 ln 2 (0) 0f f f− = − − = − =

 Do
16
1 4 ln 2 ln 0
e
− = <

2
9 8 ln 2 1 8 ln 0
e
− = + >
nên
[ 3;0]
min ( 1) 1 4 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −

[ 3;0]
max ( 3) 9 8 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −


Câu c: Hàm số
3 2
2 ln 3 ln 2y x x= − −
liên tục trên đoạn
2
[1; ]e

 Đặt
lnt x=
thì
2
[1; ] [0;2]x e t∈ ⇔ ∈
, hàm số trở thành
3 2
( ) 2 3 2y g t t t= = − −

2
0 [0;2]
( ) 6 6 0
1 [0;2]
t
g t t t
t

= ∈


= − = ⇔


= ∈



 Trên đoạn [0;2]:

(0) 2 ; (1) 3 ; (2) 2g g g= − = − =

 Do
3 2 2− < − <
nên
2
[1; ]
min (1) 3
x e
y g

= = −

2
[1; ]
max (2) 2
x e
y g

= =

www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 20 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Câu d: Đáp số:
[0;2]
min (1)y f e= = −

2
[0;2]
max (2)y f e= =

Bài 36 : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
3 2
4 3y x mx x= + + +

a) Đồng biến trên

b) Có cực đại và cực tiểu
Bài giải
Câu a:
3 2
4 3y x mx x= + + +
(*)
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 2 4y x mx

= + +

2
12

y
m


∆ = −

 Hàm số (*) đồng biến trên

0,y x

⇔ ≥ ∀ ∈ ℝ

2
3 0
0
2 3
0
12 0
y
a
m
m





>
>




⇔ ⇔ ⇔ ≤
 

 
∆ ≤
− ≤
 





 Vậy, với
2 3 ;2 3m
 
∈ −
 
 
thì hàm số (*) đồng biến trên


Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu
0y

⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt
2

0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )
y
m m


⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

 Vậy với
( ; 2 3) (2 3; )m ∈ −∞ − ∪ +∞
thì hàm số (*) có cực đại và
cực tiểu.
Bài 37
: Tìm điều kiện của m để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +

đạt cực đại tại
0
2x =

Bài giải
Câu a:
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
(*)
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2 2
( ) 3 6 ( 1)y f x x mx m
′ ′

= = − + −


( ) 6 6y f x x m
′′ ′′
= = −


Hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2x =
khi và chỉ khi
2
(2) 0 {1;11}
12 11 0
11
(2) 0 2
12 6 0
f m
m m
m
f m
m

 


 
= ∈
− + =


 

⇔ ⇔ ⇔ =
  
′′
  
< >
− <
  
 
 




Vậy với
11m =
thì hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2x =


www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 21 - THPT Chu Văn An
Bài 38 : Chứng minh rằng nếu
sin
x
x
y

e
=
thì
2 2 0y y y
′′ ′
+ + =

Bài giải
Hàm số
sin
.sin
x
x
x
y e x
e

= =
có tập xác định
D = ℝ


( ) .sin .(sin ) (cos sin )
x x x
y e x e x e x x
− − −
′ ′ ′
= + = −



( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 cos
x x x
y e x x e x x e x
− −
′′ ′ ′
= − + − = −


2 2 2 cos 2 (cos sin ) 2 sin 0
x x x
y y y e x e x x e x
− − −
′′ ′
+ + = − + − + =

 Vậy, với
.sin
x
y e x

=
thì
2 2 0y y y
′′ ′
+ + =


BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây

a)
3 2
( ) 2 3 12 10f x x x x= − − +
trên đoạn
[ 2;0]−

b)
5 4 3
( ) 5 5 1f x x x x= − + +
trên đoạn [–1;2]
c)

4 3 2
( ) 2 1
f x x x x
= − + −

trên đoạn [–1;1]
d)
5 3
( ) 5 10 1f x x x x= − + −
trên đoạn [–2;4]
e)
2
( ) 25f x x= −
trên đoạn [–3;4]
f)
2
( ) 2 5f x x x= + −
trên tập xác định.

g)
4
( ) 1
2
f x x
x
= − + −
+
trên đoạn [–1;2]
h)
3
( ) 3 sin 2 sin 1f x x x= − +
trên đoạn
[0; ]π

i)
( ) cos 2 sin 3f x x x= − +

j)
( ) 2 sin sin 2f x x x= +
trên đoạn
[ ]
3
2
0;
π

Bài 40
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:
a)

2
( )
x x
f x e e

= +
trên đoạn
[ 1;2]


b)
2
( ) ( 1)
x
f x x e

= −
trên đoạn [0;2]
c)
2
( ) ( 1)
x
f x x x e

= − −
trên đoạn
[ 1;1]


d)

2
( ) 2 2
x
f x xe x x= − −
trên đoạn
[0;1]

e)
2
( ) 2( 2) 2
x
f x x e x x= − + −
trên đoạn
[0;2]

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 22 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
f)
2
( ) ln(1 2 )f x x x= − −
trên đoạn
[ 2;0]−

g)
2
( ) 2 4 ln
f x x x x
= − − trên đoạn [1;2]

h)
2
( ) ln( 1)
f x x x
= − + trên đoạn [0;2]
i)
( ) ln 2 2f x x x x= − + trên đoạn
2
[1; ]e
j)
2 2
( ) 2 ln 3f x x x x= − trên đoạn [1;2 ]e
k)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
[ ]
3
1;e
l)
ln
( )
x
f x
x

=
trên đoạn
1
2
[ ;e
2
]e
Bài 41
: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a)
3 2
( 6) 2y x mx m x= − + + −

b)
3 2 2
2( 1) (2 2) 3y x m x m m x m= − − + − + + −

Bài 42
: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau đây luôn nghịch biến
a)
3 2
( 1) (2 1) 3y x a x a x= − + + − + −
b)
7
5 3
ax a
y
x a
+ −
=

− +

Bài 43
: Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a)
3 2 2
2( 1) ( 3 2) 2y x m x m m x= + − + − + +

b)
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+

c)
4 2
( 1) 2 3y m x mx= − − −

Bài 44 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a)
3 2 2
2 ( 1) ( 4) 1y x m x m x m= + + + − − +
đạt cực đại tại
0
0x =


b)
2 3 2
(2 1) (2 3) 2y m x mx m x= − − + + −

đạt cực tiểu tại
0
1x = −

c)
2
6
3
m
y

=
3
1x mx+ +

đạt cực tiểu tại
0
2x =

d)
1
2
y =
4 2
x mx n− +


đạt cực tiểu bằng
2−
tại

0
1
x
=

Bài 45 : Chứng minh rằng
a) Nếu
(cos 2 sin 2 )
x
y e x x
= +
thì
2 5 0y y y
′′ ′
− + =

b) Nếu
4
2
x x
y e e

= +
thì
13 12y y y

′′′ ′
− =

c) Nếu
ln x
y
x
=
thì
2
3 0
y xy x y
′ ′′
+ + =

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 23 - THPT Chu Văn An















 !
 ! !
 !"
""
"

#
##
#

1. Phương trình mũ (đơn giản)
Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với
0, 0a b> >

,m n ∈ ℝ
ta có
( )
.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
n
m n m
n
n
n n
n n

a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+



= =
= =
= =
i i
i i
i i

( )
( ) ( )
( ) .
n
n
n n n
n
a a
b
b
n n
a b
b a

ab a b

=
=
=
i
i
i

a) Phương trình mũ cơ bản: với
0a >

1a ≠
, ta có

x
a b=
vô nghiệm nếu
0b ≤


log
x
a
a b x b= ⇔ =
nếu
0b >

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
0a >


1a ≠
, ta có
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
 Phương pháp giải chung:
0 Biến đổi phương trình theo
( )f x
a
, chẳng hạn:

2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p+ + =


( )
( )
1
. . 0
f x
f x
a
m a n p+ + =


1 Đặt
( )f x
t a=
(kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Đối chiếu nghiệm
0
t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.
 Lưu ý 1: gặp dạng
( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p

+ + =
, ta dùng biến đổi
( )
( )
1
f x
f x
a
a

=


 Lưu ý 2: gặp dạng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
m a n ab p b+ + =
, ta chia 2 vế
phương trình cho
2 ( )f x
b

d) Phương pháp lôgarit hoá: với
0 1a< ≠

0 1b< ≠
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
log log
f x g x f x g x
a a
a b a b
   
= ⇔ =
   
   



www.VNMATH.com

×