SKKN NHỮNG SAI lầm của học SINH KHI học CHƯƠNG ỨNG DỤNG đạo hàm

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH
KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ.
THANH HOÁ NĂM 2013
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
+) Ta có:
( )
( )
2
2

0,
1
f x x D
x
′
= > ∀ ∈
+
+) Bảng biến thiên:
+) Hàm số đồng biến trên
( ) ( )
;1 1;−∞ ∪ +∞

Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán. Chú ý rằng: nếu hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên tập
D
thì với mọi
1 2
,x x D∈
ta có
( ) ( )
1 2 1 2
x x f x f x< ⇒ <
.
Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy
1
2x D= − ∈

và
2
2x D= ∈
thì
1 2
x x<
nhưng
( )
1
3f x =
và
( )
2
1
3
f x =
Lời giải đúng:
Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số
đồng biến trên từng khoảng
( )
;1−∞
và
( )
1;+∞
.
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu của hàm số
( )
2

1 4f x x x= − + −
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
[ ]
2;2D = −
2
+) Ta có:
( )
2
1
4
x
f x
x
′
= −
−
Cho
( )
2 2 2
2
0 1 0 4 4 2
4
x
f x x x x x x
x
′
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ = ±
−
+) Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên khoảng
( 2; 2)-
và nghịch biến trên các khoảng
( 2; 2)- -
và
( 2;2)
.
Phân tích:
Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn
[ ]
2;2−
giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây -
2
không phải là
điểm tới hạn của hàm số.
Mặt khác , đạo hàm không xác định tại
2x
= ±
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
[ ]
2;2D = −
+) Ta có:
( )
2
1
4
x
f x
x

′
= −
−
Đạo hàm không xác định tại
2x
= ±
Cho
( )
2
2 2
2
0
0 1 0 4 2
4
4
x
x
f x x x x
x x
x
≥

′
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇒ =

− =
−

+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng

)
2; 2

−

và nghịch biến trên nửa khoảng
(
2;2


3
2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ
bản). Chứng minh rằng:
tan x x>
, với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Xét hàm số
( )

tanf x x x= −
, với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
.
+) Ta có:
( )
2
2
1
1 tan 0, 0;
cos 2
f x x x
x
π
 
′
= − = > ∀ ∈
 ÷
 
, suy ra hàm số
( )
f x
đồng biến

trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
.
+) Từ
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
hay
tan 0 tan , 0;
2
x x x x x
π
 
− > ⇔ > ∀ ∈
 ÷
 
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau
khi kết luận
( )
f x
đồng biến trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷

 
thì vì sao từ
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
?
Sai lầm ở đây là
0 0;
2
π
 
∉
 ÷
 
.
Nhớ rằng: nếu
( )
f x
đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
(tức là
( )
f x
liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( )
, ;f x x a b
′

> ∀ ∈
) thì
[ ]
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, ; :x x a b x x f x f x∀ ∈ > ⇒ >
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số
( )
tanf x x x= −
, với
0;
2
x
π
 
∈
÷

 
.
+) Ta có:
( )
2
2
1
1 tan 0, 0;
cos 2
f x x x
x

π
 
′
= − = ≥ ∀ ∈
÷

 
, dấu “=” chỉ sảy ra tại
0x
=
suy ra hàm số
( )
f x
đồng biến trên khoảng
0;
2
π
 
÷

 
.
+) Khi đó
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷

 
thì
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
hay
tan 0 tanx x x x
− > ⇔ >
 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm
đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với
, 1x x∀ ∈ > −¡
thì
1
.
x
x e
e
> −
.
4
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số
( )
f x x=
và
( )
x
g x e=
là các hàm đồng biến trên
¡

. Suy ra hàm
số
( )
x
h x xe=
là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên
¡
. Vì vậy ,
từ
( ) ( )
1 1x h x h> − ⇒ > −
hay
1
x
xe
e
> −
.
Phân tích:
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng
biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!).
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số
( )
x
f x xe=
trên
[
)
1;− +∞

+) Ta có
( ) ( )
[
)
1 0, 1;
x x x
f x e xe x e x
′
= + = + ≥ ∀ ∈ − +∞
, dấu "=" xảy ra chỉ tại
1x
= −
.
Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng
[
)
1;− +∞
.
+) Từ
( ) ( )
1 1x f x f> − ⇒ > −
hay
1
.
x
x e
e
> −
.
3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm

 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm của hàm số
( ) ( )
2 1
x
f x x= +
.
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 1 2 1 2 2 1
x x
f x x x x x x
− −
′
′
= + + = +
.
Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng công thức
( )
1
u u u
α α
α
−
′
′
=

. Vận dụng như vậy là sai, vì
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ
α
là một hằng số.
Lời giải đúng là:
+) Điều kiện:
1
2
0
x
x

> −



≠

khi đó
( )
0f x >
+) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 ln ln 2 1
x
f x x f x x x= + ⇔ = +
+) Do đó
( ) ( )
( )
( )

( )
2
ln ln 2 1 ln 2 1
2 1
f x
x
f x x x x
f x x
′
′ ′
= + ⇔ = + +   
   
+
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1 ln 2 1 2 2 1
x x
f x x x x x
−
′
⇔ = + + + +
 Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
5
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức
( )
1
u u u
α α
α
−

′
′
=
,
α
∈¡
, nhưng quên rằng nếu như
α
không nguyên thì công thức
này chỉ đúng khi
u
nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số
( )
3 2
y f x x= =
có đồ thị (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
1x
= −
.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Với
1x
= −
thì
( ) ( )
2
3
1 1 1y f= − = − =

+) Ta có
( ) ( )
2 1
3 2
3 3
2
3
f x x x f x x
−
′
= = ⇒ =

+) Hệ số góc của tiếp tuyến là
( ) ( ) ( )
1
1
2
6
3
2 2 2
1 1 1
3 3 3
k f
−
−
 
′
= − = − = − =
 
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

( )
2
1 1
3
y x− = +
hay
2 5
3 3
y x= +
.
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số
mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết
( )
2
3 2
3
f x x x= =
và
( )
1
3
1
−
−
là
không đúng (!).
Lời giải đúng là:
+) Với
1x
= −

thì
( ) ( )
2
3
1 1 1y f= − = − =
+) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2 2
3
3 4
2 2
3 2
3
3
x
f x x f x x f x f x x f x
x
x
′ ′
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =   
   

+) Hệ số góc của tiếp tuyến là
( )
3
2 2
1
3
3 1

k f
′
= − = = −
−
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
2
1 1
3
y x− = − +
hay
2 1
3 3
y x= − +
.
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

( ) ( )
0, ;f x x a b
′
> ∀ ∈ ⇒
hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;a b
.

( ) ( )

0, ;f x x a b
′
< ∀ ∈ ⇒
hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;a b
.
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( )
3 2
1f x x mx x= − + −
đồng biến trên
¡
.
6
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
D = ¡
.
+) Ta có :
( )
2
3 2 1f x x mx
′
= − +
.
+) Hàm số đồng biến trên
( )
0

0,
0
a
f x x
>

′
⇔ > ∀ ∈ ⇔

′
∆ <

¡ ¡
hay
2
3 0
3 0m
>


− <

3 3m⇒ − < <
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số
( )
3
f x x=
đồng biến trên
¡
, nhưng

( )
2
3 0,f x x x
′
= ≥ ∀ ∈¡
, dấu "=" xảy ra chỉ tại
0x
=
.
Nhớ rằng: nếu hàm số
( )
y f x=
xác định trên khoảng
( )
;a b
,
( ) ( )
0, ;f x x a b
′
≥ ∀ ∈
và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng
( )
;a b
thì hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng
( )
;a b
.

Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
D = ¡
.
+) Ta có :
( )
2
3 2 1f x x mx
′
= − +
.
+) Hàm số đồng biến trên
( )
0
0,
0
a
f x x
>

′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

′
∆ ≤

¡ ¡
hay
2
3 0

3 0m
>


− ≤

3 3m⇒ − ≤ ≤
 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên
rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

( )
( )
0
0
0
0
0
f x
x
f x
′
=

⇒

′′
>



là điểm cực tiểu

( )
( )
0
0
0
0
0
f x
x
f x
′
=

⇒

′′
<


là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số
( )
4
y f x mx= =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đạt cực đại tại

0x
=
?
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có:
( )
3
4f x mx
′
=
và
( )
2
12f x mx
′′
=
+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại
0x
=
là:
( )
( )
0 0
4 .0 0
0 0
12 .0 0
f
m
f
m

′
=
=


⇔
 
′′
<
<



hệ vô
nghiệm
7
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Phân tích:
Chẳng hạn, với
1m
= −
, hàm số có dạng
( )
4
y f x x= = −
.
Ta có:
( )

3
4 0 0y f x x x
′ ′
= = − = ⇔ =
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu
0
x
thỏa mãn
( )
( )
0
0
0
0
0
f x
x
f x
′
=

⇒

′′
<



là điểm cực đại của hàm số, còn
điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu
0
x
là điểm cực đại thì vẫn có thể
( )
0
0f x
′′
=
Lí do là điều kiện
( )
0
0f x
′′
<
chỉ là điều kiện đủ để hàm số
( ) ( )
g x f x
′
=
nghịch biến trong lân cận
( )
0 0
; , 0x h x h h− + >
, khi đó:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0

0 0 0
0, ;
0, ;
f x f x x x h x
x
f x f x x x x h
′ ′
> = ∀ ∈ −

⇒

′ ′
< = ∀ ∈ +


là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
+) Ta có:
( )
3
4f x mx
′
=

+) Nếu
0m
=
thì
( )
0f x

′
=
. Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng
( )
0y f x= =
nên
không cực trị.
+) Nếu
0m
≠
thì
( )
3
4 0 0f x mx x
′
= = ⇔ =
 Với
0m >
ta có bảng biến thiên:
 Với
0m
<
ta có bảng biến thiên:
8
+) Vậy với
0m
<
thì hàm số đạt cực đại tại
0x
=

Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số
( )
4 3
1y f x x mx= = + +
. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
D = ¡
+) Ta có:
( )
3 2
4 3f x x mx
′
= +
và
( )
2
12 6f x x mx
′
= +
+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:
( )
( )
3 2
2
0 0
4.0 3 .0 0

0 0
12.0 6 .0 0
f
m
f
m
′
=

+ =

⇔
 
′′
>
+ >



hệ
trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại
0x
=
.
Phân tích:
Chẳng hạn , với
0m =
, hàm số có dạng
( )

4
1y f x x= = +

Ta có
( )
3
4 0 0f x x x
′
= = ⇔ =
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
0x
=
.
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
D = ¡
+) Ta có:
( ) ( )
3 2 2
4 3 4 3f x x mx x x m
′
= + = +

+) Cho
( ) ( )
2
0
0 4 3 0
3

4
x
f x x x m
m
x
=


′
= ⇔ + = ⇔

= −

trong đó
0x
=
là nghiệm bội bậc
chẵn
9
 Nếu
0m =
thì
0x =
trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến
thiên:
 Với
0m <
thì
3
0

4
m
< −
nên ta có bảng biến thiên:
 Với
0m >
thì
3
0
4
m
> −
nên ta có bảng biến thiên:
+) Vậy với
0m =
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
 Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos cos
f x x x
x x
 

= + + + −
 ÷
 
.
Một số học sinh trình bày như sau:
10
+) Đặt
2 2
2
1 1
cos cos 2
cos cos
x t x t
x x
+ = ⇒ + = −
.
+) Ta được hàm số:
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 4,g t t t t t= + − = + − ≥ − ∀ ∈ ¡
+) Vậy
( )
min 4g t = −
khi
1t
= −
hay
( )
min 4f x = −

khi
1
cos 1
cos
x
x
+ = −
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ
nhất của hàm
( )
f x
không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm
( )
,g t t∀ ∈¡
.
Có thể thấy ngay khi
1t
= −
thì không tồn tại giá trị của
x
để
1
cos 1
cos
x
x
+ = −
(!)
Nhớ rằng, số
( )

( )
( )
0 0
,
min
:
D
f x m x D
m f x
x D f x m
≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =


Lời giải đúng là:
+) Đặt
1
cos
cos
x t
x
+ =
với
\ ,
2
x D k k
π

π
 
∈ = + ∈
 
 
¡ ¢
+) Ta có
2
1 cos 1 1
cos cos 2
cos cos cos
x
t x x
x x x
+
= + = = + ≥
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
cos 1x =

+) Mặt khác
2
2 2 2
2
1 1
cos cos 2
cos cos
x t x t
x x
 

+ = ⇒ + = −
 ÷
 
+) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
2 3g t t t= + −
với
2t ≥
+) Ta có
( )
2 2 0 1g t t t
′
= + = ⇔ = −
+) Bảng biến thiên:
+) Vậy
( )
min 3g t = −
khi
2t = −
hay
( )
min 3f x = −
khi
1
cos 2
cos
x
x
+ = −

cos 1 2 ,x x k k
π π
⇔ = − ⇔ = + ∈¢
6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số
( )
3 2
3y f x x x= = − +
, có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
( )
1;4A −
11
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có:
( )
2
3 6f x x x
′
= − +
.
+) Vì điểm
( ) ( )
1;4A C− ∈
nên suy ra phương
trình tiếp tuyến là:
( ) ( )
4 1 1y f x
′
− = − +

hay
9 5y x= − −
.
Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến
9 5y x= − −
là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
1;4A −
và có hệ số góc
k
là:
( )
1 4y k x= + +
+) Điều kiện để đường thẳng
( )
d
là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có
nghiệm:
( )
3 2

2
3 1 4
3 6
x x k x
x x k

− + = + +

− + =

+) Giải hệ bằng phương pháp thế ta được :
2
0
x
k
=


=

và
1
9
x
k
= −


= −


+) Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình:
4y =
và
9 5y x= − −
7. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.
2 3
1
x
y
x
+
=
−
b.
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
c.
cos siny x x= −
Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
2
2 3x mx

y
x m
+ −
=
−
Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
( )
3
7 5y x x= − +
b.
cos siny x x= −
c.
2
siny x=
Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại
1x =
:

3 2
2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 ÷
 
Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên
¡

:
12

( )
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x
−
= + + −
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.
3 2
3 72 90y x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
5;5−

b.
2sin sin 2y x x= +
trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 

Bài tập 7: Cho hàm số
( ) ( )
2
1 2y x x= + −
, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
( )
2;0M
.
Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.
2
cos 2 ,
2
x
x
e x x x+ ≥ + − ∀ ∈¡
b.
(
)
2
2ln 1 , 0
x x
e e x x x
−
− ≥ + + ∀ ≥
Bài tập 9: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1

1 3 4
3 2
y x m x m x= − − + − +
(m là tham số). Xác
định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
9
3
2
y x= − +
tại 3 điểm phân biệt.
Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
( )
2
2 1x x m x− = −
có 4 nghiệm thực phân biệt.
13