Các dạng toán về tỉ lệ thức

Dạng 1: Từ một d y tỉ số bằng nhau chứng minh một d y tỉ số bằng nhau ã ã
khác.
Trong dạng này chúng ta cần chi thành một số loại điển hình sau:
Loại 1: Nhân cả tử và mẫu của mỗi tỉ số với mẫu tơng ứng.
Ví dụ 1: Cho
cy bz az cx bx ay
x y z

= =
Chứng minh rằng:
a b c
x y z
= =
Lời giải:
Ta có
cy bz az cx bx ay
x y z

= =



2 2 2 2 2 2
0
cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz
x y z x y z
+ +
= = = =
+ +

cy bz
x

= 0

cy-bz = 0

cy = bz

b c
y z
=
(1)
Và
az cx
y

= 0

az = cx

a c
x z
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
a b c
x y z
= =
(ĐPCM)

Ví dụ 2: Cho
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 3
x y z
a b c
= =
Lời giải:
Ta có
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c

= =

2 2 2
2 3 2.3 2 3 3.2
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c

= =
=
2 2 2

2 3 6 2 3 6
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
+ +
+ +
=0

2 3bz cy
a

= 0

2bz-3cy = 0

2 3
y z
b c
=
(1)
Và
3
2
cx az
b

= 0

3cx-az = 0

3
x z
a c
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 3
x y z
a b c
= =
(ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho
4 5 5 3 3 4
3 4 5
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng:
3 4 5
x y z
a b c
= =
Lời giải: Ta có
4 5 5 3 3 4
3 4 5
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Dạng 1: Từ một d y tỉ số bằng nhau chứng minh một d y tỉ số bằng ã ã
nhau khác.
Trong dạng này chúng ta cần chi thành một số loại điển hình sau:
Loại 1: Nhân cả tử và mẫu của mỗi tỉ số với mẫu tơng ứng.
Ví dụ 1: Cho
cy bz az cx bx ay
x y z

= =
Chứng minh rằng:
a b c
x y z
= =
Lời giải:
Ta có
cy bz az cx bx ay
x y z

= =



2 2 2 2 2 2
0
cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz
x y z x y z
+ +
= = = =
+ +

cy bz
x

= 0

cy-bz = 0

cy = bz

b c
y z
=
(1)
Và
az cx
y

= 0

az = cx

a c
x z
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
a b c
x y z

= =
(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 3
x y z
a b c
= =
Lời giải:
Ta có
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c

= =

2 2 2
2 3 2.3 2 3 3.2
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c

= =

=
2 2 2
2 3 6 2 3 6
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
+ +
+ +
=0

2 3bz cy
a

= 0

2bz-3cy = 0

2 3
y z
b c
=
(1)
Và
3
2
cx az
b

= 0

3cx-az = 0


3
x z
a c
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 3
x y z
a b c
= =
(ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho
4 5 5 3 3 4
3 4 5
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng:
3 4 5
x y z
a b c
= =
Lời giải: Ta có
4 5 5 3 3 4
3 4 5
bz cy cx az ay bx

a b c

= =


2 2 2
12 15 20 12 15 20
9 16 25
abz acy bcx abz acy bcx
a b c

= =
= =
2 2 2
12 15 20 12 15 20
9 16 25
baz acy bcx abz ay bcx
a b c
+ +
+ +
= 0


4 5
3
bz cy
a

= 0 và
5 3

4
cx az
b

= 0

4bz -5cy = 0


4 5
y z
b c
=
(1)
Và 5cx -3az = 0

5 3
z x
c a
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
3 4 5
x y z
a b c
= =
(ĐPCM).
Tơng tự ta có thể cho HS làm các bài sau:
1.
3 4 4 2 2 3

2 3 4
cy bz az cx bx ay
x y z

= =
.CMR:
2 3 4
a b c
x y z
= =
2.
7 5 2 7 5 2cy bz az cx bx ay
x y z

= =
. CMR:
2 5 7a b c
x y z
= =
3.
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
.CMR:
x y z
a b c
= =
Loại 2: Đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng hằng số k hoặc
1

k
, sau đó tìm ra các
đẳng thức cùng bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
Lời giải: Ta đặt:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
=k
Ta có:
2
2
4 4
x
k
a b c
y

k
a b c
c
k
a b c

=

+ +


=

+


=

+



2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +

= +


= +



2
2 4 2 2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +


= +


= +

Cộng từng vế ta có: x+2y+z= 9ka

1
2 9
a
x y z k
=
+ +

Lại có
2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +


= +


= +


2 2 4 2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +


= +


= +

Cộng từng vế ta có: 2x+y-z = 9bk


1
2 9
b
x y z k
=
+
Tơng tự ta cũng có
1
4 4 9
c
x y z k
=
+
Khi đó ta có
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + +
Chứng minh rằng:

2 2 4 4
a b c
x y z z y x x y z
= =
+ + +
Lời giải: Ta đặt:
2 2 4 4
x y z
k
a b c a b c a b c
= = =
+ + +
Khi đó ta có:
2
2
4 4
x
k
a b c
y
k
a b c
c
k
a b c

=

+

=




=

+ +


2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=


= + +


2
2 4 2 2
4 4
x ka kb kc

y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=


= + +

Cộng từng vế ta có: x+2y+z = 9ak

1
2 9
a
x y z k
=
+ +
Lại có
2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=

= + +


2 2 4 2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=


= + +

Cộng từng vế ta có: z-y-2x = 9bk

1
2 9
b
z y x k
=

Tơng tự ta có:
1
4 4 9
c

x y z k
=
+ +
Từ các kết quả trên ta có
2 2 4 4
a b c
x y z z y x x y z
= =
+ + +
(ĐPCM)
Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c b a c
= =
+ + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + +
Lời giải: Lời giải: Ta đặt:
2 2 4 4
x y z
k
a b c a b c b a c
= = =
+ + +

Khi đó ta có:
2
2
4 4
x
k
a b c
y
k
a b c
c
k
b a c

=

+ +


=

+


=




2

2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +


= +


=


2
2 4 2 2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +


= +


=

Cộng từng vế ta có: x+2y-z = 9ak

1
2 9
a
x y z k
=
+
Lại có

2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +


= +


=


2 2 4 2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +

= +


=

Cộng từng vế ta có: 2x+y+z = 9bk

1
2 9
b
x y z k
=
+ +
Tơng tự ta có:
1
4 4 9
c
x y z k
=

Từ các kết quả trên ta có
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + +
(ĐPCM)
Bằng cách làm tợng tự ta có thể làm thêm các bài sau:

1. Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
b c a b c a c b a
= =
+
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z z x y z x y
= =
+ + +
2. Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c b c a
= =
+ + + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z y z x
= =
+ + + +
Loại 3. Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc
1
k
nhng phải bình phơng hai vế của
đẳng thức tìm đợc để đi tìm các đẳng thức mà có một vế nh nhau.
Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
a bc b ac c ab
x y z

= =
Lời giải: Đặt
2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
=k
Khi đó ta có:
2
2
2
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=

=



2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
( )
( )
x yz a k
y zx b k
z xy c k

=

=


=


4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
2 (1)
2 (2)
2 (3)
x x yz y z a k

y xy z x z b k
z xyz x y c k

+ =

+ =


+ =

Lại có:
2
2
2
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=


=



2 2 2
2 2 2
2 2 2

( )( )
( )( )
( )( )
x yz y zx abk
x yz z xy ack
y xz z xy bck

=

=


=


2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
(4)
(5)
(6)
x y x z y z xyz abk
x z x y yz xy z ack
y z xy xz x yz bck
+ =
+ =
+ =
Lấy (1)-(6) ta có : x(x
3
+y

3
+z
3
-3xyz) = k
2
(a
2
-bc)


3 3 3 2
2
x y z 3xyz a bc
k x
+ +
=
Lấy (2)-(5) ta có: y(x
3
+y
3
+z
3
-3xyz) = k
2
(b
2
-ac)


3 3 3 2

2
x y z 3xyz cb a
k y
+ +
=
Lấy (3)-(4) ta có: z(x
3
+y
3
+z
3
-3xyz) = k
2
(c
2
-ab)


3 3 3 2
2
x y z 3xyz c ab
k z
+ +
=
Khi đó ta có :
2 2 2
a bc b ac c ab
x y z

= =

(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
a bc b ac c ab
x y z

= =
Lời giải: Đặt
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
x yz y xz z xy
a b c

= =
=k
Khi đó ta có:
2
2
2

6
4 3 2
9 2 3
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=


=



2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( 6 )
(4 3 ) 4
(9 2 ) 9
x yz a k
y zx b k
z xy c k

=

=

=


4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
12 36 (1)
16 24 9 4 (2)
81 36 4 9 (3)
x x yz y z a k
y xy z x z b k
z xyz x y c k

+ =

+ =


+ =

Lại có:
2
2
2
6
4 3 2
9 2 3
x yz ak
y zx bk

z xy ck

=

=


=



2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 6 )(4 3 ) 2
( 6 )(9 2 ) 3
(4 3 )(9 2 ) 6
x yz y zx abk
x yz z xy ack
y xz z xy bck

=

=


=


2 2 3 3 2 2

2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
4 3 24 18 2 (4)
9 2 54 6 3 (5)
36 8 27 6 6 (6)
x y x z y z xyz abk
x z x y yz xy z ack
y z xy xz x yz bck
+ =
+ =
+ =
Mặt khác:
Lấy (1)-(6) ta có : x(x
3
+8y
3
+27z
3
-6xyz) = k
2
(a
2
-6bc)


3 3 3 2
2
x 8y 27z 6xyz a 6bc
k x
+ +

=

Lấy (2)-(5) ta có: 2y(x
3
+8y
3
+27z
3
-6xyz) = k
2
(b
2
-ac)


3 3 3 2
2
x 8y 27z 6xyz 4 3 c
2
b a
k y
+ +
=
Lấy (3)-(4) ta có: 3z(x
3
+8y
3
+27z
3
-6xyz) = k

2
(c
2
-ab)


3 3 3 2
2
x 8y 27z 6xyz 9 2
3
c ab
k z
+ +
=
Khi đó ta có
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
a bc b ac c ab
x y z

= =
(ĐPCM).
Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:
1. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
15 9 5 15 3
3 5
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
15 9 5 25 3
3 5
a bc b ac c ab
x y z

= =
2. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
9 20 16 15 25 12
3 4 5
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
9 20 16 15 25 12
3 4 5
a bc b ac c ab
x y z

= =
3. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
x yz y xz xy z
a b c

+ +
= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
a bc b ac ab c
x y z
+ +
= =
Loại 4: Đặt dãy tỉ số bằng hằng số k hoặc
1
k
sau đó cộng trừ một cách hợp
lý đẳng thức tìm đợc ta sẽ có kết quả của bài toán.
Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
a(y+z) = b(x+z)= c(x+y)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y z z x x y
a b c b c a c a b

= =


Lời giải: Đặt a(y+z) = b(x+z)= c(x+y) = k
Ta có
(1)
(2)
(3)
k

y z
a
k
z x
b
k
x y
c

+ =



+ =



+ =



Lấy (!) - (2) ta đợc: y-x =
( )k b a
ab




x y k
a b ab

=



( )
x y k
c a b abc

=

Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y =
( )
( )
k c b y z k
bc a b c bac

=


Lấy (1) - (3) ta đợc: x-z =
( )
( )
k a c z x k
ac b c a bac

=


Khi đó ta có

( ) ( ) ( )
y z z x x y
a b c b c a c a b

= =

(ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho ba số x,y,z khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
z(a+b) = x(b+c)= y(a+c)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
a b b c c a
z x y x y z y z x

= =


Lời giải: Đặt z(a+b) = x(b+c)= y(a+c) = k
Ta có:
(1)
(2)
(3)
k
a b
z
k
b c
x
k
c a

y

+ =



+ =



+ =


Lấy (1) (2) ta đợc: a-c =
( )
( )
k x z c a k
xz z x y xyz

=

Lấy (2)-(3) ta đợc : b-a =
( )
( )
k y x a b k
xy z x y xyz

=

Lấy (1) - (3) ta đợc: b-c =

( )
( )
k y z b c k
yz x y z xyz

=

Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
a b b c c a
z x y x y z y z x

= =

Ví dụ 3: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
a(y+z) = b(z-x)= c(y-x)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y x y z x z
c b a a b c b c a
+ +
= =

Lời giải: Đặt a(y+z) = b(z-x)= c(y-x) = k
Tacó:
(1)
(2)
(3)
k
z y

a
k
z x
b
k
y x
c

+ =



=



=


Lấy (1) - (2) ta đợc: x+ y =
( )k b a
ab




x y k
b a ab
+
=

( )
x y k
c b a abc
+
=

Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y =
( )
( )
k c b y z k
bc a b c bac

=

Lấy (1) - (3) ta đợc: x+z =
( )
( )
k a c z x k
ac b c a bac

=


Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:
1. Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: a(y+z) = b(x-z)= c(x-y)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )

y x y z x z
c b a a c b b c a
+ +
= =
+ +
2. Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
a(z-y) = b(z+x)= c(x-y)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y z z x x y
c c b b c a c a b
+
= =

Dạng 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau chứng minh một đẳng thức:
Với loại này có rất nhiều laọi song ở đây tôi đề cập đến ba loại mà cách giải khá
quen với HS trong quá trình làm và có thể từ đó HS thấy rằng với cách đó có thể vận
dụng vào các bài toán rất hiệu quả.
Loại 1: Đó là đặt dãy tỉ số bằng k hoặc
1
k
từ đó ta tính giá trị hai vế của đẳng thức và
so sánh:
Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
x y z
a b c
= =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2

( )a b c a b c
x y z x y z
+ +
+ + =
+ +

Lời giải: Đ ặt
x y z
a b c
= =
= k Ta có : x=ka, y=kb và z=kc
Khi đó:
2 2 2
a b c
x y z
+ +
=
2 2 2
a b c a b c
ak bk ck k
+ +
+ + =
(1)

2
( )a b c
x y z
+ +
+ +
=

2
( )
( )
a b c a b c
k a b c k
+ + + +
=
+ +
(2)
Từ (1) và (20 suy ra
2 2 2 2
( )a b c a b c
x y z x y z
+ +
+ + =
+ +
(ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
x y z
a b c
= =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2
1
( )
x y z
ax by cz a b c
+ +

=
+ + + +
Lời giải: Đ ặt
x y z
a b c
= =
= k Ta có : x=ka, y=kb và z=kc
Khi đó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( )
x y z a k b k c k
ax by cz a k b k c k a b c
+ + + +
= =
+ + + + + +

Vậy ta suy ra:
2 2 2
2 2 2 2
1
( )
x y z
ax by cz a b c
+ +
=
+ + + +
(ĐPCM)
Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

3 4 5x y z
a b c
= =
.


1.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
( )
3 4 4 3 4 5
a b c a b c
x y z x y z
+ +
+ + =
+ +

Lời giải: Đ ặt
3 4 5x y z
a b c
= =
= k Ta có : 3x=ka, 4y=kb và 5z=kc
Khi đó:
2 2 2
3 4 5
a b c
x y z
+ +
=
2 2 2

a b c a b c
ak bk ck k
+ +
+ + =
(1)

2
( )
3 4 5
a b c
x y z
+ +
+ +
=
2
( )
( )
a b c a b c
k a b c k
+ + + +
=
+ +
(2)
Từ (1) và (20 suy ra
2 2 2 2
( )
3 4 5 3 4 5
a b c a b c
x y z x y z
+ +

+ + =
+ +
(ĐPCM).
Ví dụ 4: Cho a,b,c thoả mãn:
2002 2003 2004
a b c
= =
Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
Lời giải: Đặt
2002 2003 2004
a b c
= =
= k Ta có: a = 2002k, b = 2003k và c= 2004k
Khi đó 4(a-b)(b-c) = 4(2002k-2003k)(2003k-2004k) = 4k
2
(a-c)
2
= (2002k- 2004k)
2
= 4k
2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
(ĐPCM).
Ví dụ 5: Cho a,b,c thoả mãn:
1 2
a b c
x x x
= =

+ +
Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
Lời giải: Đặt
1 2
a b c
x x x
= =
+ +
= k ta có: a= kx, b= k(x+1) và c = k(x+2)
Khi đó : 4(a-b)(b-c)=
[ ] [ ]
( 1) ( 1) ( 2)kx k x k x k x + + +
= 4k
2
(a-c)
2
=
[ ]
2
( 2)kx k x +
= 4k
2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
(ĐPCM).
Ví dụ 6: Cho a,b,c thoả mãn:
1 1
a b c
x x x

= =
+
Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
Lời giải: Đặt
1 1
a b c
x x x
= =
+
= k ta có: a= k(x-1), b= kx và c = k(x+1)
Khi đó : 4(a-b)(b-c)=
[ ] [ ]
( 1) ( 1)k x kx kx k x +
= 4k
2
(a-c)
2
=
[ ]
2
( 1) ( 1)k x k x +
= 4k
2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
(ĐPCM).

Đôi khi ta cũng có thểỉ dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lí ta cũng có thể đi
đến kết quả một cách dễ dàng

Ví dụ 7: Cho bốn số a,b,c,d khác 0 thoả mãn:
a b c
b c d
= =

Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
Lời giải:
a b c
b c d
= =
=
3 3 3
3 3 3
a b c
b c d
= =
=
3 3 3
3 3 3
a b c
b c d
+ +
=

+ +
3
3
b
c
=
2
2
b b acb a
c c bdc d
= =

Vậy
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
(ĐPCM).
Bằng cách tơng tự có thể giảI các bài toán sau:
1. Cho a,b,c thoả mãn:
1997 1996 1995
a b c
= =

Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
2. Cho x,y,z khác 0 thoả mãn:

1 2 3
x y z
= =
. Chứng minh rằng: (x+y+z)(
1 4 9
) 36
x y z
+ + =
Loại 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau kết hợp với điều kiện của bài toán ta cũng có thể chứng
minh đợc một đẳng thức đúng. Với loại này ta cũng nên đặt dãy tỉ số bằng một hằng số k hoặc
1
k
nào đó.
Ví dụ 1: Cho
2 2 2
1
1
a b c
a b c
x y z
a b c

+ + =

+ + =



= =

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0
Lời giải: Đặt
x y z
a b c
= =
=
1
k
Ta có: xk = a, yk = b và kz = c
Khi đó: a +b + c = 1


xk+ ky + kz =1


k( x +y + z) =1


k
2
( x + y + z)
2
= 1


k
2
( x
2
+ y

2
+ z
2

+ 2xy+2yz +2zx) = 1


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) + 2( xy + yz + zx) =1
Mặt khác :
2 2 2
1a b c+ + =


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) = 1
Suy ra: 1 + 2( xy + yz + zx) =1

xy + yz + zx = 0
Vậy xy + yz + zx = 0 (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho
2 2 2
3
9
a b c
a b c
x y z
a b c

=

+ + =




= =

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0
Lời giải: Đặt
x y z
a b c

= =

=
1
k
Ta có: - xk = a, yk = b và kz = c
Khi đó: a - b - c = 3


- xk- ky - kz =3


- k( x +y + z) =3

k
2
( x + y + z)
2
= 9


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2xy+2yz +2zx) =9

k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) + 2( xy + yz + zx) =9
Mặt khác :
2 2 2
9a b c+ + =


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) = 9
Suy ra: 9 + 2( xy + yz + zx) =9


xy + yz + zx = 0

Vậy xy + yz + zx = 0 (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho
2 2 2
4
16
a b c
a b c
x y z
a b c

+ =

+ + =



= =

Chứng minh rằng: xy + yz = zx
Lời giải: Đặt
x y z
a b c
= =
=
1
k
Ta có: xk = a, yk = b và kz = c
Khi đó: a - b + c = -4

xk- ky + kz = - 4


k( x - y + z) = - 4

k
2
( x - y + z)
2
= 16


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

- 2xy - 2yz + 2zx) =16


k
2
( x
2
+ y
2

+ z
2

) - 2( xy + yz - zx) =16
Mặt khác :
2 2 2
16a b c+ + =


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) = 16
Suy ra: 16 - 2( xy + yz - zx) =16


xy + yz - zx = 0
Vậy xy + yz = zx (ĐPCM).
Tơng tự ta cũng có thể cho HS vận dụng các bài sau một cách tơng tự.
1. Cho
2 2 2
7
49
a b c

a b c
x y z
a b c

+ =

+ + =



= =

Chứng minh rằng: xy = yz + zx
2. Cho
2 2 2
1
1
a b c
a b c
x y z
a b c

+ =

+ + =




= =

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0
Loại 3. Ta có thể chứng minh đồng thời một đẳng thức và một dãy tỉ số: Với dạng này ta
lại không đặt dãy tỉ số bằng hằng số k mà ta nên kết hợp các cặp tạo nên các dẳng thức và
sử dụng phép biến đổi để đI đến đáp số:
Ví dụ1: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
2 1 2 1 1
2
ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a = 2b = c hoặc 4a
2
b
2
c
2
=1.
Lời giải: Từ
2 1 2 1 1
2
ab bc ac
b c a
+ + +
= =

Ta có:
2 1 2 1

2
ab bc
b c
+ +
=


1 1
2
2
a b
b c
+ = +



1 1 2
2
2 2
b c
a b
c b bc

= =
(1)

2 1 1bc ac
c a
+ +
=

1 1
2b c
c a
+ = +



1 1
2
c a
b c
a c ac

= =
(2)
2 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
+ +
= + = + = =
(3)
Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
(a-2b)(2b-c)(a-c) =
2
2

b c
bc

.
c a
ac

.
2
2
b a
ab

=
2 2 2
(2 )( )(2 )
4
b c c a b a
a b c

Suy ra: (a-2b)(2b-c)(a-c) -
2 2 2
(2 )( )(2 )
4
b c c a b a
a b c

= 0

(a-2b)(2b-c)(a-c)
(
1-
2 2 2
1
4a b c
)
= 0


(a-2b)(2b-c)(a-c) = 0 hoặc 1-
2 2 2
1
4a b c
= 0
* Nếu (a-2b)(2b-c)(a-c) = 0
Nếu a = 2b

2b = c

a = 2b = c
Nếu 2b = c

a = c

a = 2b = c
Nếu a = c

2b = a

a = 2b = c
* Nếu 1-
2 2 2
1
4a b c
= 0

4a
2
b
2
c
2
=1.
Vậy a = 2b = c hoặc 4a
2
b
2
c
2
=1. (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
2 1 6 1 3 1
2 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a = 2b = 3c hoặc 36a

2
b
2
c
2
=1.
Lời giải: Từ
2 1 6 1 3 1
2 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =

Ta có:
2 1 6 1
2 3
ab bc
b c
+ +
=


1 1
2
2 3
a b
b c
+ = +

1 1 2 3
2
3 2 6
b c
a b
c b bc

= =

(1)

6 1 3 1
3
bc ac
c a
+ +
=



1 1
2 3
3
b c
c a
+ = +

1 1 3
2 3
3 3
c a
b c
a c ac

= =

(2)

2 1 3 1 1 1 1 1 2
3 3
2 2 2 2
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
+ +
= + = + = =

(3)
Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
(a-2b)(2b-3c)(a-3c) =
2 3
6
b c
bc

.

3
3
c a
ac

.
2
2
b a
ab

=
2 2 2
(2 )( )(2 )
36
b c c a b a
a b c

Suy ra: (a-2b)(2b -3 c)(a - 3 c) -
2 2 2
(2 3 )(3 )(2 )
36
b c c a b a
a b c

= 0


(a-2b)(2b-3c)(a-3 c)
(

1-
2 2 2
1
36a b c
)
= 0


(a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0 hoặc 1-
2 2 2
1
36a b c
= 0
* Nếu (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0
Nếu a = 3c

2b = a

a = 2b = 3c
Nếu a = 2b

2b = 3c

a = 2b = 3c
Nếu 2b = 3c

a = 3c

a = 2b = 3c
* Nếu 1-

2 2 2
1
36a b c
= 0

36a
2
b
2
c
2
=1.
Vậy: a = 2b = 3c hoặc 36a
2
b
2
c
2
=1. (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
12 1 4 1 3 1
4 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng:3 a = 4b = c hoặc 144a
2
b

2
c
2
=1.
Lời giải: Từ
12 1 4 1 3 1
4 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =

Ta có:
12 1 4 1
4
ab bc
b c
+ +
=


1 1
3 4
4
a b
b c
+ = +

1 1 4
3 4
4 4
b c
a b
c b bc

= =
(1)

4 1 3 1
3
bc ac
c a
+ +
=



1 1
4
3
b c
c a
+ = +



1 1 3
4

3 3
c a
b c
a c ac

= =
(2)

12 1 3 1 1 1 1 1 4 3
3 3
4 3 4 3 3 4 12
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
+ +
= + = + = =
(3)
Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
(3a-4b)(4b-c)(3a-c) =
4
4
b c
bc

.
3
3
c a
ac

.
4 3
12
b a
ab

=
2 2 2
(4 )( 3 )(4 3 )
144
b c c a b a
a b c

Suy ra: (3a-4b)(4b - c)(3a - c) -
2 2 2
(4 )( 3 )(4 3 )
144
b c c a b a
a b c

= 0


(3a-4b)(4b-c)(3a- c)
(
1-
2 2 2
1
144a b c
)

= 0


(3a-4b)(4b-c)(3a-c) = 0 hoặc 1-
2 2 2
1
144a b c
= 0
* Nếu (3a-4b)(4b-c)(4a-c) = 0
Nếu 3a = 4b

4b = c

3a = 4b = c
Nếu 4b = c

3a = c

3a = 4b = c
Nếu 3a = c

4b = 3a

3 a = 4b = c
* Nếu 1-
2 2 2
1
144a b c
= 0

144a
2
b
2
c
2
=1.
Vậy: 3a = 4b = c hoặc 144a
2
b
2
c
2
=1. (ĐPCM
Tơng tự ta có thể làm bài toán sau:
1. Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
1 1 1ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a
2005
+
2006
1
b
= b
2005
+

2006
1
c
=
2005
2006
1
c
a
+
2. Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
1 1 1ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a
n
+
1
1
n
b
+
= b
n
+
1
1
n

c
+
=
1
1
n
n
c
a
+
+
(với n là số tự nhiên lẻ)
Dạng 3: Tìm x;y;z trong bài toán tỉ lệ thức: Với dạng này loại bài toán đơn giản là bài
toán cho dãy tỉ số bằng nhau và thêm một điều kiện là một đẳng thức phụ thuộc các biến.
Song ở đây tôI muốn đề cập đến một số bài mang tính nhạy cảm tuy không khó lắm nhng
HS thờng khó sử lý một cách thuộn lợi cho cách giải.


Ví dụ 1: Tìm x;y;z khác không thoả mãn
1 1 1
1
xy zy xz
y z x

= = =
PP: Với loại này ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành một đẳng thức để biến đổi, sau đó
nhân các kết quả ta sẻ tim ra đợc mối quan hệ đặc biệt của x;y;z. Vì dãy tỉ số bằng 1 nên ta sẻ
tìm đợc giá trị của x;y;z.
Lời giải: Từ
1 1 1

1
xy zy xz
y z x

= = =
. Ta có:
*
1 1xy zy
y z

=



1 1
x y
y z
=


1 1 z y
x y
y z yz

= =
*
1 1zy xz
z x

=

1 1
y z
z x
=


1 1 x z
y z
z x xz

= =
*
1 1xy xz
y x

=



1 1
x z
y x
=


1 1 x y
x z
y x xy

= =
Từ các đẳng thức tìm đợc ở trên ta có:
( )( )( )
z y
x y y z x z
yz

=
.
x z
xz

.
x y
xy

=
2 2 2
( )( )( )x y z y x z
x y z


( )( )( )x y y z x z

2 2 2
( )( )( )x y z y x z
x y z

= 0

( )( )( )x y y z x z
(1-
2 2 2
1
x y z
) = 0

( )( )( )x y y z x z
= 0 hoặc 1-
2 2 2
1
x y z
= 0
*Nếu
( )( )( )x y y z x z
= 0
+) Nếu x - y = 0

y = z

x=y=z mà
1
x
y

= 1

x = y= z =
1 5

2
+
; x = y= z =
1 5
2

+) Nếu y-z = 0

x = z

x=y=z mà
1
x
y

= 1

x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5
2

+) Nếu z x = 0

y = x

x=y=z mà

1
x
y

= 1

x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5
2

* Nếu 1-
2 2 2
1
x y z
= 0

x
2
y
2
z
2
= 1

xyz = 1 hoặc xyz = - 1
+) Nếu xyz = 1 Do

1
1
xy
y

=


1
1x
y
=


x =
1
1
y
+
nên (
1
1
y
+
)yz = 1


z + yz = 1 mà
1
1y

z
=
suy ra z + z (1+
1
z
) = 1


2z = 0

z = 0 vô lý vì x;y;z khác 0.
Suy ra không tồn tại x;y;z trong trờng hợp này.
+) Nếu xyz = -1 Do
1
1
xy
y

=


1
1x
y
=


x =
1
1

y
+
nên (
1
1
y
+
)yz = -1


z + yz = -1 mà
1
1y
z
=
suy ra z + z (1+
1
z
) = -1


2z = -2

z = -1 suy ra y = 0 suy ra không tồn tại x.
Vậy x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5

2

.
Ví dụ 2: Tìm x;y;z khác không thoả mãn
2 1 6 1 3 1
1
2 3
xy zy xz
y z x

= = =
Lời giải: Từ
2 1 6 1 3 1
1
2 3
xy zy xz
y z x

= = =
. Ta có:
*
2 1 6 1
2 3
xy zy
y z

=

1 1
2
2 3
x y
y z
=


1 1 3 2
2
2 3 6
z y
x y
y z yz

= =
*
6 1 3 1
3
zy xz
z x

=


1 1
2 3
3
y z
z x

=


1 1 3
2 3
3 3
x y
y z
z x xz

= =
*
2 1 3 1
2
xy xz
y x

=



1 1
3
2
x z
y x
=


1 1 2

3
2 2
x y
x z
y x xy

= =
Từ các đẳng thức tìm đợc ở trên ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 3 2
2 2 3 3
36
z y x z x y
x y y z x z
x y z

=

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2 2 3 3 (1 )
36
x y y z x z
x y z

= 0

( ) ( ) ( )
2 2 3 3 0x y y z x z =
hoặc 1-
2 2 2
1
36x y z
= 0
*Nếu
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 0x y y z x z =
+) Nếu x - 2y = 0

2y = 3z

x=2y=3z mà
1
2
x
y

= 1

x =
1 5
2
+
; y =
1 5
4
+

;z=
1 5
6
+
x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=
1 5
4

+) Nếu 2y-3z = 0

x = 3z

x=3y=3z mà
1
2
x
y

= 1

x =
1 5

2
+
; y =
1 5
4
+
;z=
1 5
6
+
x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=
1 5
4

+) Nếu 3z x = 0

2y = x

x=2y=3z mà
1
2
x

y

= 1

x =
1 5
2
+
; y =
1 5
4
+
;z=
1 5
6
+
x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=
1 5
4

* Nếu 1-
2 2 2

1
36x y z
= 0

x
2
y
2
z
2
= 36

xyz = 6 hoặc xyz = - 6
+) Nếu xyz = 6 Do
2 1
1
2
xy
y

=


1
1
2
x
y
=

x =
1
1
2y
+
nên (
1
1
2y
+
)yz = 6


z + 2yz = 12 mà 2
1
1
3
y
z
=
suy ra z + z (1+
1
3z
) = 12



2z =
35

3


z =
35
6


y =
37
70
và x =
72
37
+) Nếu xyz = -6. Do
2 1
1
2
xy
y

=


1
1
2
x
y
=

x =
1
1
2 y
+
nên (
1
1
2 y
+
)yz = -6


z + 2yz = -12 mà
1
2 1
3
y
z
=
suy ra z + z (1+
1
3z
) = -12

2z = -
37
3

z =
37
6

suy ra y =
35
74
và x=
72
35
Vậy x =
1 5
2
+
; y =
1 5
4
+
;z=
1 5
6
+
hoặc x =
1 5
2

; y=
1 5

4

;z=
1 5
4


hoặc z =
35
6
;y =
37
70
và x =
72
37
hoặc z =
37
6

; y =
35
74
và x=
72
35
Tơng tự ta có thể giải các bài toán sau:
1. Tìm x;y;z khác không thoả mãn
1 1 1
1

xy zy xz
y z x

= = =
2. Tìm x;y;z khác không thoả mãn
1 1 1
2
xy zy xz
y z x

= = =
3 . Tìm x;y;z thoả mãn: 4x y
2
= 4y-z
2
= 4z-x
2
= 1
4. Tìm x;y;z thoả mãn: 3x-y
2
= 3y z
2
= 3z x
2
=1
Dạng 4: Từ đẳng thức cho trớc, chứng minh một dãy tỉ số bằng nhau: Với loại toán này
thông thờng chúng ta nên hớng dẫn HS dùng phép biến đổi tơng đơng để đa đẳng thức về
dạng tổng của các số không dơng hoặc không âm.
Ví dụ 1: Cho a;b;c thoả mãn (a+2b)(2b+3c)(3c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 2 3 3 2
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Chứng minh rằng:
6 3 2
a b c
= =
Lời giải: Do (a+2b)(2b+3c)(3c+a) 0
Nên
2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 2 3 3 2
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +




a
4
+16b
4
+81c
4

= 9a
2
c
2
+4a
2
b
2
+36b
2
c
2


2(a
4
+16b
4
+81c
4
) = 2(9a
2
c
2
+4a
2
b
2
+36b
2

c
2
)


(a
4
-8b
2
a
2
+16b
4
) +( 16b
4
-72b
2
c
2
+81c
4
)+ (81c
4
-18a
2
c
2
+a
4
) = 0

(a
2
- 4b
2
)
2
+(4b
2
-
2
9c
)
2
+ (
2
9c
- a
2
)
2
= 0 (*)
Do (a
2
- 4b
2
)
2
0 , (4b

2
-
2
9c
)
2
0 và (
2
9c
- a
2
)
2
0 nên
(*)


2 2
2 2
2 2
4 0
4 9 0
9 0
a b
b c
c a

=

=

=




2 2
2 2
2 2
4
2
4 9 2 3
3
9
a b
a b
b c b c
c a
c a

=
=



= =


=

=





6 3 2
a b c
= =
Vậy Nếu (a+2b)(2b+3c)(3c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 2 3 3 2
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Thì
6 3 2
a b c
= =
(ĐPCM).

Ví dụ 2: Cho a;b;c thoả mãn (a- b)(b+2c)(2c-a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
a b c a b c

a b b c a c b c a c a b
+ = + +
+ +
Chứng minh rằng:
2 2 1
a b c
= =
Lời giải: Do (a- b)(b+2c)(2c-a) 0
Nên
2 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
+ = + +
+ +

a
4
+b
4
+ 16c
4
- 4a
2
b
2
- 4b
2
c

2
a
2
b
2
= 0

2a
4
+2b
4
+ 2.16c
4
- 8a
2
b
2
- 8b
2
c
2
8a
2
b
2
= 0

(a
2
-b

2
)
2
+ (a
2
- 4c
2
)
2
+ (b
2
- 4c
2
)
2
= 0 Do (a
2
-b
2
)
2
0; (a
2
- 4c
2
)
2
0 và (b
2
- 4c

2
)
2
0


2 2
2 2
2 2
0
4 0
4 0
a b
a c
b c

=

=


=



2 2
2 2
2 2
4
4

a b
a c
b c

=

=


=




2
2
a b
a c
b c
=


=


=

2 2 1
a b c
= =
Vậy (a- b)(b+2c)(2c-a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
+ = + +
+ +
thì
2 2 1
a b c
= =
(ĐPCM).
Tơng tự có thể giải các bài toán sau:
1. Cho a;b;c thoả mãn (2a+3b)(3b+4c)(2c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 8 4 9 16
2 3 3 4 2 3 4 2 4 2 3
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Chứng minh rằng:
6 4 2
a b c

= =
2. Cho a;b;c thoả mãn (a- 2b)(2b- 3c)(3c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 3 2 3 2
a b c a b c
a b b c c a c b a c a b
+ = + +
+ +
Chứng minh rằng:
6 3 2
a b c
= =

3. Cho a;b;c thoả mãn (a+ b)(b+c)(c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Chứng minh rằng: a=b=c
Dạng 5: Tính giá trị của một biểu thức từ một dãy tỉ số bằng nhau: Với loại này ta nên h-
ớng dẫn HS áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lí hoặc mỗi tỉ số tách
thành tổng hoặc hiệu hai phân thức. Cũng có thể áp dụng tính chất tỉ lệ thức cũng có thể
đi đến kết quả:

Ví dụ 1: Cho a; b; c khác 0 và
a b c a b c b c a

c b a
+ + +
= =
Tính giá trị của biểu thức A =
( ) ( ) ( )
a b b c a c
abc
+ + +
Lời giải: Ta có:
a b c a b c b c a
c b a
+ + +
= =



1 1 1
a b a c b c
c b a
+ + +
= =



2 2 2
2
a b a c b c a b c
c b a a b c
+ + + + +
= = = =

+ +



2
2
2
a b c
b c a
a c b
+ =


+ =


+ =

Suy ra A =
( ) ( ) ( )
2 .2 .2
8
a b b c a c
a b c
abc abc
+ + +
= =
Vậy A = 2 (ĐPCM).
Vídụ 2: Cho a; b; c khác 0 và
b c a a b c b c a

c b a
+ + + +
= =
Tính giá trị của biểu thức A =
( ) ( ) ( )
b a c b a c
abc
+
Lời giải: Ta có:
b c a a b c b c a
c b a
+ + + +
= =


1 1 1
b a a c b c
c b a
+
+ = + = +


2
b a a c b c b a a c a c
c b a c b a
+ +
= = = =
+
2
2

2
b a c
a c b
c b a
=


+ =


=

Suy ra A =
( ) ( ) ( )
2 .( 2 ).( 2 )
8
b a a c c b
a b c
abc abc
+

= =
Vậy A = 8
Ví dụ 3: Cho x;y;z thoả mãn:
x y z t
y z t z t x x t y x y z
= = =
+ + + + + + + +
tính giá trị của P =
x y y z z t t x

z t t z x y z y
+ + + +
+ + +
+ + + +
Lời giải: Ta có
x y z t
y z t z t x x t y x y z
= = =
+ + + + + + + +



1 1 1 1
x y z t
y z t z t x x t y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +




x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x t y x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +


y+z+t = z+t+x = x+t+y = x+y+z

x = y = z = t
Suy ra: P = 4