Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Cộng hoà x hội chủ nghĩa Việt Namã
Độc lập Tự do Hạnh phúc
-----------o0o-----------
S YU Lí LCH
H v tờn: V TH LAN
Ngy, thỏng, nm sinh: 06/ 04 / 1980
Nm vo nghnh: 2002
Chc v: Giỏo viờn
n v cụng tỏc: Trng THCS Cao Viờn
Trỡnh chuyờn mụn: i hc toỏn
H o to : Chớnh quy
B mụn ging dy: Môn toán
Ngoại ngữ: Anh văn
Trình độ chính trị: Sơ cấp
Khen thởng :
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 2003
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 2004
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 2007
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 2008
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2009 2010
- Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 -2004
- Sáng kiến kinh nghiệm loi C cấp thành phố năm học 2007 2008
- Sáng kiến kinh nghiệm loại B cấp thành phố năm học 2009 2010
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
phần thứ nhất

A. mở đầu
1.Lý do ch n t i
a, C s lí lun:
Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao. Chính vì vậy,
việc giảng dạy trong nhà trờng phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lợng
toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nớc có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân
cách, có khả năng t duy, sáng tạo, t duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri
thức khoa học. Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó. Việc hình
thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính không thể
thiếu đợc của ngời thầy, rèn luyện cho các em có khả năng t duy sáng tạo, nắm
chắc kiến thức cơ bản, gây đợc hứng thú cho các em yêu thích môn Toán. Môn
Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trờng phổ thông, có khả năng to lớn giúp
học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ .Toán hc l m t môn khoa
hc gây nhiu hng thú cho hc sinh, nó l m t môn hc không th thiu trong
quá trình hc tp, nghiên cu v c trong cuc sng h ng ng y. M t nh toán
hc có nói: Toán hc c xem nh l m t khoa hc chng minh .
Thật vậy, do tính chất trừu tợng, tính chính xác, t duy suy luận logic. Toán
học đợc coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng
tạo. Trong cỏc mụn hc trng ph thụng, Toỏn hc c coi nh l mt mụn
hc c bn, l nn tng cỏc em phỏt huy c nng lc bn thõn, gúp phn to
iu kin cỏc em hc tt cỏc mụn khoa hc t nhiờn khỏc.
Vy dy nh th no hc sinh khụng nhng nm chc kin thc c bn
mt cỏch cú h thng m cũn phi c nõng cao phỏt trin cỏc em cú hng
thỳ say mờ hc tp l mt cõu hi m mi thy cụ luụn t ra cho mỡnh. Tuy
nhiờn hc tt mụn toỏn thỡ ngi giỏo viờn phi bit cht lc ni dung kin
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

2

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
thc, phi i t d n khú, t c th n tru tng v phỏt trin thnh tng
quỏt giỳp hc sinh cú th phỏt trin t duy toỏn hc, lm cho cỏc em tr lờn yờu
thớch toỏn hn t ú cỏc em cú ý thc hc tp m bo yờu cu ca thi i mi.
b)C s thc tin:
L mt giỏo viờn dc phõn cụng ging dy lp 7A, 7C vi i tng
hc sinh khỏ gii, cỏc em cú t duy nhy bộn v nhu cu hiu bit ngy cng
cao, lm th no phỏt huy c ht kh nng ca cỏc em ú l trỏch nhim
ca cỏc giỏo viờn chỳng ta. Qua ging dy chng trỡnh toỏn lp 7 tụi nhn thy
ti v Tỉ lệ thức l mt ti tht lý thỳ, phong phỳ a dng khụng th thiu
mụn đại s lp 7.
Vic gii bi toỏn v tỉ l thc l mt dng toỏn hay, vi mong mun cung
cp cho cỏc em mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v t l thc, giỳp cỏc em
lm bi tp tt hn nhm tớch cc hoỏ hot ng hc tp, phỏt trin t duy, do ú
trong nm hc ny tụi chn ti Mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v tỉ l
thc thc hin trong chng trỡnh toỏn lp 7.
2)Mc ớch nghiờn cu
- Cỏc phng phỏp thng dựng gii cỏc bi toỏn v tỉ l thc
- Rốn k nng vn dng kin thc khi gii bi toỏn v tỉ l thc, học sinh nắm
vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong hình học 8 phần
Định Lí Ta-let và tam giác đồng dạng.
- Cng c v h ng dn hc sinh l m b i t p nhằm nâng cao chất lợng giờ
dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó
giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy
môn Toán ở trờng THCS đạt hiệu quả cao.
- Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức
và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận đợc.
3.Nhim v nghiờn cu:
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

3
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
- Nhim v khỏi quỏt: Nờu nhng phng phỏp gii bi toỏn tỉ l thc theo
chng trỡnh mi.
- Nhiờm v c th:
- Tỡm hiu thc trng hc sinh.
- Nhng phng phỏp thc hin.
- Nhng chuyn bin sau khi ỏp dng.
- Bi hc kinh nghim.
4. i tng nghiờn cu.
- ti nghiờn cu qua cỏc tit dy v t l thc trong SGK toỏn 7 tp 1, qua
nh hng i mi phng phỏp dy toỏn 7.
- i tng kho sỏt: HS lp 7A, 7C trng THCS Cao Viờn.
5.Phng phỏp nghiờn cu:
- Phng phỏp nghiờn cu ti liu SGK, sỏch tham kho.
- Phng phỏp kim tra, thc hnh.
- Phng phỏp phỏt vn ,m thoi nghiờn cu vn .
- Tng kt kinh nghim ca bn thõn v ca ng nghip khi dy phn tỉ l
thc
PHN TH HAI
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

4
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
B.NI DUNG
I.THC TRNG CA VN NGHIấN CU.

I. 1 . c im tỡnh hỡnh lp :
Lp 7A, 7C cú s lng hc sinh khụng ng u v mt nhn thc gõy
khú khn cho giỏo viờn trong vic la chn phng phỏp phự hp.Nhiu hc
sinh cú hon cnh khú khn do ú vic u t v thi gian v sỏch v b hn ch
v nh hng khụng nh n nhn thc v s phỏt trin t duy ca cỏc em. a
s cỏc em hay tho món trong hc tp, cỏc em cho rng ch cn hc thuc lũng
cỏc kin thc trong SGK l . Chớnh vỡ vy m cỏc em tip thu kin thc mt
cỏch th ng, khụng t my mũ, khỏm phỏ kin thc mi.
H u h t cỏc em u h p t p khi gi i cỏc b i t p d ng n y.
VD: L i gi i c a em Lờ Th Thu - L p 7A
(B i 62 trang 31 SGK NXBGD 2003): Tỡm hai s x, y bi t:

; 10
2 5
x y
xy
= =
HS gii: Ta có:
459.5y
189.2x
9
10
90
5.2
xy
5
y
2
x
==

==
====
Lời giải đúng: Đặt



=
=
==
k5y
k2x
k
5
y
2
x
Mà xy = 90 2k . 5k = 90 10k
2
= 90
k
2
= 9



=
=
3k
3k
* Với k = 3 x = 2.3 = 6

Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

5
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
y = 5.3=15
* Với k = -3 x = 2.(-3) = -6
y = 5.(-3) = -15
Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
(H c sinh m c sai l m do ch a hi u rừ tớnh ch t của dãy tỉ số bằng nhau).
Qua m t th i gian tụi ó ti n h nh i u tra c b n v thu c k t qu nh
sau:
+ L p 7A: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 50%, s h c
sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 30%.
+ L p 7C: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 85%, s h c
sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 10%.
I. 2 .Nguyờn nhõn:
Nguyờn nhõn c a v n trờn l do cỏc em ch a cú ý th c t giỏc h c t p,
ch a cú k ho ch th i gian h p lý t h c nh , h c cũn mang tớnh ch t l y
i m, ch a n m v ng hi u sõu ki n th c toỏn h c, khụng t ụn luy n th ng
xuyờn m t cỏch h th ng, khụng ch u tỡm tũi ki n th c m i qua sỏch nõng cao,
sỏch tham kh o, cũn hi n t ng d u d t, khụng ch u h c h i b n bố, th y cụ.
ng tr c th c tr ng trờn tụi th y c n ph i l m th n o kh c ph c
tỡnh tr ng trờn nh m nõng cao ch t l ng h c sinh, l m cho h c sinh thớch h c
toỏn h n V y tụi thi t ngh t i c a tụi nghiờn c u v v n n y l b c
i ỳng
n v i tỡnh tr ng v s c h c c a h c sinh hi n nay
II.BI N PH P GI I QUY T V N NGHIấN C U.
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

6
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
t c hi u qu khi gi i cỏc b i toỏn núi chung v gi i cỏc b i
toỏn v t l thc núi riờng. Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi đã cho
học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất cơ bản,
tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, ca i lng t l thun
v i lng t l nghch, sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng
loại để tìm ra một định hớng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời
giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản
đến phức tạp .
II 1. Tỉ lệ thức
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
=
(hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d đợc gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài
hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay còn gọi là trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
d
c
b
a

=
thì
bcad
=
Tính chất 2: ( Điều kiện để 4 số lập thành các tỉ lệ thức)
Nếu
bcad
=
và a, b, c, d
0

thì ta có các tỉ lệ thức sau:

d
c
b
a
=
;
d
b
c
a
=
;
a
c
b
d
=

;
a
b
c
d
=
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II 2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Tính chất: Từ
d
c
b
a
=
suy ra:
db
ca
db
ca
d
c
b
a


=
+
+
==
- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

7
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011

f
e
d
c
b
a
==
suy ra:
...
=
+
+
=
++
++
===
fdb
cba
fdb
cba
f
e
d

c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
Chú ý: Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
Sau khi h c sinh ó n m ch c c lý thuy t thỡ vi c v n d ng lý
thuy t v o gi i b i t p l vụ cựng quan tr ng, do v y ng i giáo viờn khụng
ch n thu n cung c p l i gi i m quan tr ng h n l d y cho cỏc em bi t suy
ngh tỡm ra con ng h p lý gi i b i toỏn nh nh toỏn h c Pụlia ó núi
Tỡm c cỏch gi i m t b i toỏn l m t i u phỏt minh .
Tuy nhiờn khi gi i b i t p d ng n y tụi khụng mu n d ng l i nh ng
b i t p SGK m tụi mu n gi i thi u thờm m t s b i t p i n hỡnh v m t s
ph ng phỏp gi i cỏc b i t p ú.
Các dạng toán và phơng pháp giải:
Dạng I: LP Tỉ L THC:
Bi toỏn 1: Cỏc t s sau õy cú lp thnh cỏc t l thc hay khụng?
a) 0,5 : 15 v 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 v 1,71 : 15,39
Gii:
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

8
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
a) Ta cú: 0,5 : 15 =

0,5 1
15 30
=
v 0,15 : 50 =
0,15 3
50 1000
=
Vỡ
3 1
1000 30

nờn các tỉ số 0,5 : 15 v 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức
b) Ta có : 0,3 : 2,7 =
0,3 1
2,7 9
=
v 1,71 : 15,39 =
1,71 1
15,39 9
=
Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 v 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có đợc từ các số sau.
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; 8
Giải :
( Sử dung tinh chất 2: điều kiện để 4 số lập thành tỉ lệ thức)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập đợc các tỉ lệ thức sau:
0,16 0,4
0,32 0,8

=
;
0,16 0,32
0,4 0,8
=
;
0,32 0,8
0,16 0,4
=
;
0,4 0,8
0,16 0,32
=

b) Tơng tự ta có : 1. 8 = 2 . 4( = 8)
Suy ra ta lập đợc các tỉ lệ thức sau:
1 4
2 8
=
;
1 2
4 8
=
;
2 8
1 4
=
;
4 8
1 2

=

Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ lệ thức :
10 :15;16 : ( 4);14: 21; 5 :15;12 : ( 3); 1,2 :3,6

Bài 2: Có thể lập đợc một tỉ lệ thức từ 4 trong các số sau không (mỗi số chọn một
lần). Nếu có lập đợc bao nhiêu tỉ lệ thức?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

9
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Dạng II: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
Bài toán 1:Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
15
)
2 3
) 1,5: 4,5: 0,3
x
a
b x
=
=
Giải:
( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thành phần cha biết của tỉ
lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm đợc số hạng còn lại trong
tỷ lệ thức.

b
da
c
c
da
b
a
cb
d
d
cb
a
.
;
.
;
.
;
.
====
a) Ta có:

15 2.15 30
10
2 3 3 3
x
x
= = = =

Vậy x = 10
b) -1,5 : x = 4,5 : 0,3


4,5 . x = -1,5 . 0,3


4,5 . x = - 0,45


x = - 0,45 : 4,5


x = - 0,1 .
Vậy x = 0,1
Bài toán 2: Tìm hai số x và y biết
32
yx
=
và
20
=+
yx
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

10

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Đặt
k
yx
==
32
, suy ra:
kx 2
=
,
ky 3
=
Theo giả thiết:
4205203220
===+=+
kkkkyx

Do đó:
84.2
==
x

124.3
==
y
KL:
12,8
==
yx
Cách 2 : ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
5
20
3232
==
+
+
==
yxyx
Do đó:
84
2
==
x
x
;
124
3
==
y
y
KL:
12,8
==
yx
Cách 3: (phơng pháp thế)
Từ giả thiết
3
2

32
y
x
yx
==

mà
1260520
3
2
20
===+=+
yyy
y
yx
Do đó:
8
3
12.2
==
x
KL:
12,8
==
yx
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết:

43
yx
=

,
53
zy
=
và
632
=+
zyx
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:
12943
yxyx
==
(1) ;
201253
zyzy
==
(2)
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Từ (1) và (2) suy ra:
20129
zyx
==
(*)
Ta có:

3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129
==
+
+
======
zyxzyxzyx
( áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó:
273
9
==
x
x

363
12
==
y
y

603

20
==
z
z
KL:
60,36,27
===
zyx
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
k
zyx
===
20129
( sau đó giải nh cách 1 của
VD1).
Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
5
3
53
z
y
zy
==
;
20
9
4
5
3

.3
4
3
43
z
z
y
x
yx
====


mà
6060
10
6
5
3
.3
20
9
.2632
===+=+
z
z
z
zz
zyx
Suy ra:
36

5
60.3
==
y
,
27
20
60.9
==
x
KL:
60,36,27
===
zyx
Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng:
52
yx
=
và
40.
=
yx
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt
0
2 5
x y
k
= =

, suy ra
kx 2
=
,
ky 5
=
Theo giả thiết:
244010405.240.
22
=====
kkkkkyx
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

12
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
+ Với
2
=
k
ta có:
42.2
==
x

102.5
==
y
+ Với

2
=
k
ta có:
4)2.(2
==
x
;
10)2.(5
==
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
==
yx
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x
0

Nhân cả hai vế của
52
yx
=
với x ta đợc:
8
5

40
52
2
===
xyx

4
16
2
=
=
x
x
+ Với
4
=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
===
y
y
+ Với
4
=
x

ta có
10
2
5.4
52
4
=

==

y
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
==
yx
Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách 3 của ví dụ 1
Bài toán 5: Tìm x, y, z biết
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:
Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã
nhắc các em lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến
tính chất của đẳng thức. Từ đó các em có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải

sau:
Ta có: 3x = 5y
24
y
40
x
hay
8
1
.
3
y
8
1
.
5
x
3
y
5
x
===
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

13
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
5y = 8z
15

z
24
y
hay
3
1
.
5
z
3
1
.
8
y
5
z
8
y
===

2
79
158
152440
zyx
15
z
24
y
40

x
==
++
++
===
x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số
chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán nh sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z
120
1
.z8
120
1
.y5
120
1
.x3
==
Hay
2
79
158
152440
zyx
15

z
24
y
40
x
==
++
++
===
(Tơng tự nh trên có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thơng. Điều đó đã h-
ớng cho các em tìm ra cách giải sau:
Từ 3x = 5y = 8z
240
120
79
158
8
1
5
1
3
1
zyx
8
1
z
5
1

y
3
1
x
==
++
++
===
x =
80240.
3
1
=
y =
48240.
5
1
=
z =
30240.
8
1
=
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

14
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011

Qua ba hớng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các
em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát
huy thêm hớng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
Để giải đợc phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu các em phải có
t duy một chút để tạo lên tích trung gian nh sau:
+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)
+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)
Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z

840
210
15
60
15
1
.7
21
1
.5
10
1
.3
y7z5x3
21
1
z
15
1
y
10

1
x
==
+
+
===
x =
84840.
10
1
=
y =
56840.
15
1
=
z =
40840.
21
1
=
Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu đợc: Các em đã tìm hớng giải cho phần c và tự cho đợc ví dụ về
dạng toán này.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biết rằng
a)
12zy2xvà
2
2z
3

2y
5
1x
=+

=

=

\ b)
50zy3x2và
4
3z
3
2y
2
1x
=+

=

=

Để tìm đợc lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để
xuất hiện đợc tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10
Với phơng pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

15
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
hớng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời
giải của bài toán nh sau:
a) Ta có :
1 2 2 2( 2) 2 4
5 3 2 2.3 6
x y z y y

= = = =

1 2 4 ( 2) 2 3 12 3
1
5 6 2 9 9
x y z x y z
+ +
= = = =
+
x - 1 = 5 x = 6
x - 2 = 3 y = 5
z - 2 = 2 z =4
Cách 2: Dùng phơng pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:
Đặt
k
2
2z
3
2y
5

1x
=

=

=

x - 1 = 5k x = 5k + 1
y - 2 = 3k y = 3k + 2
z - 2 = 2k z = 2k + 2
Ta có: x + 2y - z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
9k + 3 = 12
k = 1
Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y = 3 . 1 + 2 = 5
z = 2 . 1 + 2 = 4
Với các phơng pháp cụ thể của từng hớng đi các em đã vận dụng để tự
giải phần (b) và của bài toán 5.
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

16
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:
zyx
1
z
3yx
y

2zx
x
1zy
++
=
+
=
++
=
++
Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ
kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải t duy có chọn lọc để xuất hiện
x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng
nhau và đã có lời giải của bài toán nh sau:
Giải:
Điều kiện : x, y, z 0
Ta có:
2
zyx
)zyx(2
zyx
3yx2zx1zy
z
3yx
y
2zx
x
1zy
=
++

++
=
++
+++++++
=
+
=
++
=
++

2
zyx
1
=
++
x + y + z =
5,0
2
1
=
x + y = 0,5 z
y + z = 0,5 x
x + z = 0,5 y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
+)
1 0,5 1
2 2
y z x
x x

+ + +
= =

0,5 - x + 1 = 2x
1,5 = 3x
x = 0,5
+)
2 0,5 2
2
x z y
y y
+ + +
=
2,5 - y = 2y
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

17
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
2,5 = 3y
y =
6
5
+)
3 0,5 3
2 2
x y z
z z
+

= =
-2,5 - z = 2z
-2,5 = 3z
z =
6
5

Vậy (x; y; z) = ( 0,5;
6
5
; -
6
5
)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
21610
zyx
==
và
2825
=+
zyx
b)
43
yx
=
,
75

zy
=
và
12432
=+
zyx

c)
5
4
4
3
3
2 zyx
==
và
49
=++
zyx
d)
32
yx
=
và
54
=
xy

e)
35

yx
=
và
4
22
=
yx
f)
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++=
+
=
++
=
++
211
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
zyyx 57,23
==
và
32
=+
zyx

b)
4
3
3
2
2
1

=

=

zyx
và
5032
=+
zyx

c)
zyx 532
==
và
95
=+
zyx
d)
532
zyx
==
và

810
=
xyz
Dạng 3. Chứng minh tỷ lệ thức
Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò rất
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

18