De HSG Tinh Ha Tinh 20102011.pdf

Diễn đàn THPT Phúc Trạch phuctrach.net
Chuyên mục Đề thi
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 5/4/2011

Bài 1. a) Giải phương trình:
2 3
3 3
2sin sin cos
4 2
0
sin cos
x
x x
x x

 
 
 
 


.
b) Tìm m để phương trình
2 2

4 2
cos cos 0
1 1
x x
m
x x
  
 
có nghiệm.
Bài 2. Tam giác ABC có ba góc thoả mãn hệ thức:


8cos sin sin 4 3 sin cos cos 17 0
A B C A B C
    
. Hãy tính các góc của tam giác đó.
Bài 3. a) Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển:


10
2
1 2 3x x  .
b) Tính tổng:
0 1 2
1 2 3 1 1
2 3 4 2 2 2

k n

n n n n n
k n
n n n n k n
C C C C C
S
C C C C C
 
     
       . (với
*
n 

)
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A’B’, BC, DD’ sao cho
A’M=BN=DP. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đường thẳng cố
định khi M, N, P thay đổi.
Bài 5. Dãy số thực (a
n
) thoả mãn điều kiện:
1
2
*
1
2
1
2
,
1

n
n
n n
a
a
a n
a a







  

 



Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1
1
n
i
i
a


