DE THI HOC SINH GIOI HUYEN NAM 2010-2011

Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút

Câu1:
Cho biểu thức: P =








+


+

+

6
9
3
2
2
3
:
9
3
1
xx
x
x
x
x
x
x
xx
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P > 1.
Câu2:
a/ Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh
9
16

+
abc

ba
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
22
2
22
2
)()( baa
b
bab
a
++
+
++
Câu3:
1. Cho a =
2
26 +
và b =
2
26
. Tính S =
55
11
ba
+
.
2. Tìm nghiệm nguyên dơng của:
z
yx
=+

11
Câu4:
Cho tứ giác ABCD có AB =
3
, BC = 3, CD = 2
3
, DA = 3
3
và

A = 60
0
.
Tính các góc còn lại của tứ giác ABCD ?
Câu5:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB =
2
3
AD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE
cắt đờng thẳng DC tại F. Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho
MN vuông góc với AE. Đờng phân giác của

DAE cắt CD tại P. Chứng
minh rằng:
a) MN =
3
2
BE + DP.
b)
222

9
411
AFAEAB
+=
.

Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 2100
Môn Toán
Câu1:
Tổng 5
điểm
a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x

4, x

9
Qui đồng và rút gọn đợc: P =
2
3
x

b) P > 1 =>
2
3
x
> 1 =>
2
3
x

- 1 > 0 =>
2
5


x
x
> 0
Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x

9 thì P > 1
(Nếu quên không kết hợp với điều kiện thì trừ 1 điểm ở câu b)
1 điểm
2 điểm
1 điểm
1 điểm
Câu2:
Tổng: 4
đ
a/ (2đ) Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh
9
16

+
abc
ba
(1)
(1)

9(a+b)

abc16
Ta có
abcbacabba 16)(44)(
22
++
Ta chứng minh 9(a+b)

4c(a+b)
2

0)32(09124)3(49)(49
22
++ cccccbac
luôn đúng
Vậy 9(a+b)
abc16

Hay
9
16

+
abc
ba
2 điểm
b/ (2đ) B =
22
2
22
2

)()( baa
b
bab
a
++
+
++
Ta có (a+b)
2


2(a
2
+b
2
)
B

)(2)(2
222
2
222
2
baa
b
bab
a
++
+
++

=
22
2
22
2
23)32 ba
b
ba
a
+
+
+
B+2

22
222
22
222
23
23
32
32
ba
bab
ba
baa
+
++
+
+

++
= 3 (a
2
+b
2
)(
2222
23
1
32
1
baba +
+
+
)
=
( ) ( )
[ ]






+
+
+
+++
2222
2222

23
1
32
1
2332
5
3
baba
baba
( )( )
( )( )
5
12
2332
1
2.23322.
5
3
2222
2222
=
++
++
baba
baba

B
5
2
2

5
12
=
Vậy B
5
2

Dấu = xảy ra khi a=b
2 điểm
Câu3
Tổng:
4đ
1. Theo bài ra ta có : a + b =
6
và ab = 1
Mà: S =
55
11
ba
+
=
55
55
ba
ba +
= a
5
+ b
5
(vì ab = 1)

Mặt khác: a
5
+ b
5
= (a + b)
5
5(a
3
+ b
3
) -10a
2
b
2
(a + b)
Biến đổi và thay: a + b =
6
và ab = 1 vào đợc S = 11
6
2 điểm
2. 2. Ta có: x + y = xyz. Vì vai trò của x, y nh nhau nên giả sử : x

y
=> xy z = x + y

y + y = 2y => xz

2. Vì x, z nguyên dơng nên có thế xẩy
ra: x = 1, z = 1 hoặc x = 1, z = 2 hoặc x = 2, z = 1.
Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2)

1 điểm
1 điểm
Câu4:
Hình vẽ:
1
2
1
3
3
2 3
3
3
2
3
3
3
E
B
C
H
D
A
Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE =
3
=> ED = 2
3
Ta có:

ABE cân ở A có

A = 60
0
=>

ABE đều.
Kẻ DH

BE =>

EDH vuông ở H có ED = 2
3
và

E
1
=

E
2
= 60
0
=>

D
1
= 30
0
=> EH = ED/2 =
3
=> BH = 2

3
=> Tứ giác BCDH là hình chữ nhật.
Từ đó tính đợc:

C = 90
0
,

D =60
0
,

B = 150
0
.
Tổng:
2,5 đ
1điểm
1,5điểm
Câu5
Tổng:
4,5 đ
Hình vẽ:

0,5
®iÓm
a) Qua A kÎ vu«ng gãc víi AE c¾t tia CD t¹i Q.
V×
∠
A

2
=
∠
A
3
nªn
∠
A
1
=
∠
A
4
=>
∆
ADQ ®ång d¹ng víi
∆
ABE (g.g)
=>
3
2
===
AB
AD
BE
DQ
AE
AQ
(1) Mµ MN // AQ => MN = AQ.
Ta l¹i cã:

∠
A
34
=
∠
A
12
=
∠
APQ =>
∆
APQ c©n ë Q
=> AQ = QP = MN (2)
Tõ (1), (2) => MN = QP = QD + DP =
3
2
BE + DP (§PCM)
2,5
®iÓm
b) Theo §L 4 cho
∆
AQF vu«ng ë A cã AD
⊥
QF ta ®îc:
222
111
AFAQAD
+=
mµ AD =
3

2
AB, AQ =
3
2
AE =>
222
9
411
AFAEAB
+=
1,5
®iÓm
Chó ý: HS lµm theo c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a