Đề luyện thi Đại học môn Toán và đáp án

ĐỀ LUYỆNTHI ĐẠI HỌC
ĐỀ 2
( Thời gian làm bài 150 phút )
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số :
)(
12
2
C
x
x
y
+
+−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
)(C
, trục
Ox
và trục
Oy
.
c) Xác định
m
để đường thẳng
mxyd 2:)( +=
cắt đồ thị

)(C
tại hai điểm phân
biệt.
Câu 2. (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
a) I=
2
2
0
cos 2 .sinx xdx
π
∫
b) J=
∫
+
1
0
2
3
)
1
( dx
x
x
Câu 3. (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) ,
C(0 ; 0 ; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với
đường thẳng OA.
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt

phẳng(ABC).
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình
đóI)
I)Theo chương trình chuẩn.
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

43
23
+−−= xxy
trên đoạn [-3;2].
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ;
1), B(2 ; 0 ; 3 )
và có tâm I thuộc đường thẳng (d):
1 2 3
2 1 2
x y z− + −
= =
− −
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

52
2
++= xxy
trên đoạn [-3;2].
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1),
B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.
HẾT
1

HƯỚNG DẨN ĐỀ 2
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số :
)(
12
2
C
x
x
y
+
+−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
Tập xác định :
}
2
1
{\R −
Sự biến thiên.
. chiều biến thiên :
2
1
,0
)12(
5
'

2
−
≠∀<
+
−
= x
x
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
);
2
1
()
2
1
;( +∞
−−
−∞ và
Hàm số không có cực trị
Tiệm cận :
2
1
12
2 −
=
+
+−
=
±∞→±∞→

x
x
LimyLim
xx
+∞=−∞=
+−
−
→
−
→
yLimvàyLim
xx
2
1
2
1
Đường thẳng
2
1−
=y
là tiệm cận ngang
Đường thẳng
2
1−
=x
là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên
Đồ thị cắt trục
Oy
tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục

Ox
tại điểm ( 2 ; 0 )
Vẽ đồ thị .
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
)(C
, trục
Ox
và trục
Oy
Giao điểm với trục
Ox
: ( 2 ; 0 )
Giao điểm với trục
Oy
: ( 0 ; 2 ).
Vì
0
12
2
≥
+
+−
=
x
x
y
với
]2;0[∈x
nên diện tích hình phẳng cần tìm :

∫∫
++
−
=
+
+
−
=
+
+−
=
2
0
2
0
2
0
)12
4
5
2
1
()
12
2/5
2
1
(
12
2

xLnxdx
x
dx
x
x
S
S =
5
4
5
1 Ln+−
( đvdt)
C)Xác định
m
để đường thẳng
mxyd 2:)( +=
cắt đồ thị
)(C
tại hai điểm phân
biệt.
Hoành độ giao điểm của
)(d
và đồ thị (
C
) thỏa phương trình :
y’
y
−
−
x -1/2- +

+
-1/2
−∞
-1/2
2
2 2
2
2 2
2 1
2 ( )
2 1 2
2 4 2 2 2 0 (2 1) 1 0
1 1
2( ) 2 1 2 2 0 1 2 0
2 2
(2 1) 1 0 4 5 0,
x
x m x
x
x mx x m x m x m
m m
x m x m có m m
− + −
= + ≠
+
 
+ + + − = + + + − =
 
⇔ ⇔
 

−
− − + − ≠ − − ≠
 
 
+ + + − = ∆ = + > ∀
Vậy với mọi
m
đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt
Câu 2 Tính các tích phân : a) I=
2
2
0
cos 2 .sinx xdx
π
∫
Vậy I =
2
2
1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 16
0
0
( cos 2x- cos 4 ) ( sin 2 sin 4 )
8
x dx x x x
π
π
π
− = − − = −
∫

b) J=
∫∫
+
=
+
1
0
23
2
1
0
2
3
)1(
)
1
( dx
x
x
dx
x
x
Đặt
dxxduthìxu
23
31 =+=
Ta có :
x
= 0 thì
1

=
u
;
x
= 1 thì
2
=
u
Vậy J=
6
1
3
1
6
1
3
1
3
2
1
2
1
2
=+
−
=−=
∫
u
u
du

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với
đường thẳng OA.
Ta có
)3;2;0( −=BC
;
)0;0;1(=OA
Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp tuyến là :
)2;3;0(=n
Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến
)2;3;0(=n
nên có phương trình : (y – 2)3 + 2z = 0
⇔
3y + 2z – 6 = 0
b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt
phẳng(ABC).
Phương trình mp(ABC) :
062361
321
=−++⇔=++ zyx
zyx

Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của
mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )
Phương trình tham số của đường thẳng OH:






=
=
=
2tz
3ty
6tx

H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :







=++
=
=
=
06-2z3y6x
2tz
3ty
6tx
Giải hệ trên ta được H (
)
49
12
;
49
18

;
49
36
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn.
3
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
43
23
+−−= xxy

43
23
+−−= xxy
xác định và liên tục trên R

2
' 3 6 ' 0 0; 2y x x y x x= − − ⇒ = ⇔ = = −
thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ])
Xét trên trên đoạn [-3;2]:
Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2.
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1),
B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):






+=
=
=
6t1z
3ty
t-2x
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của
AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto
)2;4;4(AB −=
→
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
02zy2x2 =++−⇔
Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp
trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :







=++−
+=
=
−=
02z2y2x
6t1z
3ty

t2x
Giải hệ trên ta được I (
)22;
2
21
;
2
3
−
Bán kính mặt cầu (S) : IB =
2
967
19)
2
21
()2
2
3
(
222
=++−−
Phương trình mặt cầu ( S )
2
967
)22()
2
21
()
2
3

(
222
=−+−++ zyx
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

52
2
++= xxy
trên đoạn [-3;2].
Ta có tập xác định của hàm sô là R
Hàm số liên tục trên R.

2
1
' ' 0 1 [ 3;2]
2 5
x
y y x
x x
+
= ⇒ = ⇔ = − ∈ −
+ +
Ta có y(-3) =
8
; y(-1) =2 ; y(2) =
13
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
13
, đạt tại x = 2

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1),
B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của
AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto
)2;4;4(AB −=
→
4
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
02zy2x2 =++−⇔
( 1 )
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC.
Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )
Vecto
)4;2;2(BC −−=
→
Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0
022yx =+−+−⇔ z
(2)
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)
Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được I( -1 ; 1 ;
2). Bán kính mặt cầu ( S ) : IA =
11
Vậy phương trình mặt cầu ( S ):
11)2()1()1(
222
=−+−++ zyx
………………………………

5
ĐỀ:3
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

3 2
x 3x k 0− + =
.
Câu II ( 3,0 điểm )
a. Giải phương trình
3x 4
2x 2
3 9
−
−
=
b. Cho hàm số
2
1
y
sin x
=
. Tìm ngun hàm F(x ) của hàm số , biết rằng đồ thị của hàm

số F(x) đi qua điểm M(
6
π
; 0) .
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y x 2
x
= + +
với x > 0 .
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
6
và đường cao h = 1 . Hãy tính
diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
x 2 y z 3
1 2 2
+ +
= =
−
và mặt
phẳng (P) :
2x y z 5 0+ − − =

a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .

b. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua A , nằm trong (P) và vng góc với (d) .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
1
y lnx,x ,x e
e
= = =
và trục hồnh .
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
x 2 4t
y 3 2t
z 3 t

= +

= +


= − +

và mặt phẳng
(P) :
x y 2z 5 0− + + + =

a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng (
∆

) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một
khoảng là
14
.
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm căn bậc hai cũa số phức
z 4i= −
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
6
HƯỚNG DẪN ĐỀ 3
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a. (2d)

b. (1đ) pt
3 2
x 3x 1 k 1⇔ − + − = −

Đây là pt hồnh độ điểm chung của (C) và đường thẳng
(d): y k 1= −
Căn cứ vào đồ thị , ta có :
Phương trình có ba nghiệm phân biệt
1 k 1 3 0 k 4⇔ − < − < ⇔ < <
Câu II ( 3,0 điểm )
a. ( 1đ )
3x 4 3x 4
2x 2 2(2x 2)
2 2
x 1
8

3 9 3 3 3x 4 4x 4 x
7
(3x 4) (4x 4)
− −
− −
≥


= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ ⇔ =

− = −


b. (1đ) Vì F(x) =
cotx + C−
. Theo đề :
F( ) 0 cot C 0 C 3 F(x) 3 cot x
6 6
π π
= ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = −
c. (1đ) Với x > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cơsi :

1
x 2
x
+ ≥
. Dấu “=” xảy ra khi
x 0
2
1

x x 1 x 1
x
>
= ⇔ = → =

y 2 2 4⇒ ≥ + =
.
Vậy :
(0; )
Miny y(1) 4
+∞
= =
Câu III ( 1,0 điểm )
Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC .
Khi đó : SO là trục đường tròn đáy (ABC) . Suy ra : SO
⊥
(ABC) .
Trong mp(SAO) dựng đường trung trực của cạnh SA , cắt SO tại I .
Khi đó : I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
Tính bán kính R = SI .
Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên :
SJ.SA SI.SO=
⇒
SI =
SJ.SA
SO
=
2
SA
2.SO

∆
SAO vuông tại O . Do đó : SA =
2 2
SO OA+
=
6
2
1
3
+
=
3
⇒
SI =
3
2.1
=
3
2
Diện tích mặt cầu :
2
S 4 R 9= π = π
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
a. (0,5 đ) A(5;6;
−
9)
b. (1,5đ) + Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) :
u (1; 2;2)

d
= −
r
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) :
n ((2;1; 1)
P
= −
r
x
−∞
0 2
+∞
y
′

−
0 + 0
−
y
+∞
3

1−

−∞
7
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng (
∆
) :
u [u ;n ] (0;1;1)

d P
= =
∆
r r r
+ Phương trình của đường thẳng (
∆
) :
x 5
y 6 t (t )
z 9 t

=

= + ∈


= − +

¡
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
+ Diện tích :
1 e
S lnxdx lnxdx
1/e 1
= − +
∫ ∫
+ Đặt :
1
u lnx,dv dx du dx,v x
x

= = ⇒ = =
+
= − = − +
∫ ∫
lnxdx xlnx dx x(lnx 1) C
+
1
1 e
S x(lnx 1) x(lnx 1) 2(1 )
1/e 1
e
= − − + − = −
3. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a. (0,5đ) Chọn A(2;3;
−
3),B(6;5;
−
2)
∈
(d) mà A,B nằm trên (P) nên (d) nằm trên (P) .
b.(1,5đ) Gọi
u
r
vectơ chỉ phương của (
d
1
) qua A và vuông góc với (d) thì
u u
d

u u
P

⊥


⊥


r r
r r
nên ta chọn
u [u,u ] (3; 9;6) 3(1; 3;2)
P
= = − = −
r r r
. Ptrình của đường thẳng (
d
1
) :
x 2 3t
y 3 9t (t )
z 3 6t

= +

= − ∈


= − +


¡

(
∆
) là đường thẳng qua M và song song với (d ). Lấy M trên (
d
1
) thì M(2+3t;3
−
9t;
−
3+6t) .
Theo đề :
1 1
2 2 2 2
AM 14 9t 81t 36t 14 t t
9 3
= ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ±
+ t =
1
3
−
⇒
M(1;6;
−
5)
x 1 y 6 z 5
( ):
1

4 2 1
− − +
⇒ ∆ = =
+ t =
1
3
⇒
M(3;0;
−
1)
x 3 y z 1
( ):
2
4 2 1
− +
⇒ ∆ = =
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Gọi x + iy là căn bậc hai của số phức
z 4i= −
, ta có :

2 2
x y
2
x y 0
(x iy) 4i
2xy 4
2xy 4



 =
− =
+ = − ⇔ ⇔
 
= −
= −



hoặc
x y
2xy 4

= −

= −


x y
2
2x 4

=

⇔

= −


(loại) hoặc

x y
2
2x 4

= −


− = −


x y
x 2;y 2
2
x 2;y 2x 2


= −
 = = −
⇔ ⇔


= − ==



Vậy số phức có hai căn bậc hai :
z 2 i 2 , z 2 i 2
1 2
= − = − +

8
ĐỀ 4
( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số
x 3
y
x 2
−
=
−
có đồ thị (C)
c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
d. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt .
Câu II ( 3,0 điểm )
d. Giải bất phương trình
ln (1 sin )
2
2
2
e log (x 3x) 0
π
+
− + ≥

e. Tính tìch phân : I =
2
x x
(1 sin )cos dx

2 2
0
π
+
∫
f. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
e
y
x
e e
=
+
trên đoạn
[ln2 ; ln4]
.
Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều
bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
theo a .
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó .
4. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 2 2t
(d ): y 3
1
z t
= −



=


=

và
x 2 y 1 z
(d ):
2
1 1 2
− −
= =
−
.
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng
(d ),(d )
1 2
vuông góc nhau nhưng không cắt nhau .
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của
(d ),(d )
1 2
.
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tìm môđun của số phức
3
z 1 4i (1 i)= + + −
.
5. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (
α

) :
2x y 2z 3 0− + − =
và hai đường thẳng (
d
1
) :
x 4 y 1 z
2 2 1
− −
= =
−
, (
d
2
) :
x 3 y 5 z 7
2 3 2
+ + −
= =
−
.
a. Chứng tỏ đường thẳng (
d
1
) song song mặt phẳng (
α
) và (
d
2
) cắt mặt phẳng (

α
) .
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng (
d
1
) và (
d
2
).
c. Viết phương trình đ th(
∆
) song song với m phẳng (
α
) , cắt đường thẳng (
d
1
) và (
d
2
) lần lượt tại M và N sao cho MN = 3 .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm nghiệm của phương trình
2
z z=
, trong đó
z
là số phức liên
hợp của số phức z .
9
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN ĐỀ 4

I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ


b) 1đ Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng
y mx 1= +
:

x 3
2
mx 1 g(x) mx 2mx 1 0 , x 1
x 2
−
= + ⇔ = − + = ≠
−
(1)
Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm phân
biệt khác 1
⇔
m 0
m 0
m 0
2
m m 0 m 0 m 1
m 1
g(1) 0 m 2m 1 0


≠

≠


  <
′
∆ = − > ⇔ < ∨ > ⇔
 

>

 
≠ − + ≠



Câu II ( 3,0 điểm )
a) 1đ pt
⇔
ln 2
2 2
2 2
e log (x 3x) 0 2 log (x 3x) 0 (1)− + ≥ ⇔ − + ≥
Điều kiện : x > 0
x 3∨ < −

(1)
⇔
2 2 2 2

2
log (x 3x) 2 x 3x 2 x 3x 4 0 4 x 1+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
So điều kiện , bất phương trình có nghiệm :
4 x 3 ; 0 < x 1− ≤ < − ≤
b) 1đ I =
2 2
x x x x 1 x 1
2
(cos sin .cos )dx (cos sinx)dx (2sin cosx)
2 2 2 2 2 2 2
0
0 0
π π
π
+ = + = − =
∫ ∫

2 1 1
2. 2
2 2 2
= + = +
c) 1đ Ta có :
x
e
y 0 ,x [ln2 ; ln4]
x 2
(e e)
′
= > ∈
+

x
−∞
2
+∞

y
′
+ +

+∞
1
1
−∞
10
+
2
miny y(ln2)
2 e
[ln2 ; ln4]
= =
+
+
4
Maxy y(ln4)
4 e
[ln2 ; ln4]
= =
+
Câu III ( 1,0 điểm )


2 3
a 3 a 3
V AA'.S a.
lt ABC
4 4
= = =
 Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp

ABC , A'B'C'∆ ∆
thí tâm của mặt cầu (S) ngoại
tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm
I của OO’ .
Bán kính
a 3 a a 21
2 2 2 2
R IA AO OI ( ) ( )
3 2 6
= = + = + =
Diện tích :
2
a 21 7 a
2 2
S 4 R 4 ( )
mc
6 3
π
= π = π =

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó .

1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Thay x.y.z trong phương trình của (
d
1
) vào phương trình của (
d
2
) ta được :

2t 3 1 t
(t 1) (t 4)
1 1 2
− −
= = ⇔ = − ∧ = −
−
vô nghiệm .
Vậy
(d )
1
và
(d )
2
không cắt nhau .
Ta có :
(d )
1
có VTCP
u ( 2;0;1)
1

= −
r
;
(d )
2
có VTCP
u (1; 1;2)
2
= −
r

Vì
u .u 0
1 2
=
r r
nên
(d )
1
và
(d )
2
vuông góc nhau .
b) 1đ Lấy
M(2 2t;3;t) (d )
1
− ∈
,
N(2 m;1 m;2m) (d )
2

+ − ∈
Khi đó :
MN (m 2t; 2 m;2m t)= + − − −
uuuur

MN vuông với
(d ),(d )
1 2
MN.u 0
t 0
5 4 2
1
M(2;3;0), N( ; ; )
m 1/ 3
3 3 3
MN.u 0
2

=
=

−

⇔ ⇔ ⇒
 
= −
=




uuuur
r
uuuur
r

x 2 y 3 z
(MN) :
1 5 2
− −
⇒ = =
là phưong trình đường thẳng cần tìm .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Vì
3 3 2 3
(1 i) 1 3i 3i i 1 3i 3 i 2 2i− = − + − = − − + = − −
.
Suy ra :
2 2
z 1 2i z ( 1) 2 5= − + ⇒ = − + =

2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a) 0,75đ

qua A(4;1;0) qua B( 3; 5;7)
(d ): , (d ): ,
1 2
VTCP u (2;2; 1) VTCP u (2;3; 2)
1 2
 

− −
 
= − = −
 
r r
 
 
( )α
có vtpt
n (2; 1;2)= −
r
11
Do
u .n 0
1
=
r r
và
A ( )∉ α
nên (
d
1
) // (
α
) .
Do
u .n 3 0
2
= − ≠
r r

nên (
d
1
) cắt (
α
) .
b) 0,5 đ Vì
[u ,u ] ( 1;2;2) , AB ( 7; 6;7)
1 2
= − = − −
uuur
r r

⇒

[u ,u ].AB
1 2
d((d ),(d )) 3
1 2
[u ,u ]
1 2
= =
uuur
r r
r r
c) 0,75đ phương trình
qua (d )
1
mp( ): ( ):2x y 2z 7 0
// ( )



β ⇒ β − + − =

α





Gọi
N (d ) ( ) N(1;1;3)
2
= ∩ β ⇒
;
M (d ) M(2t 4;2t 1; t),NM (2t 3;2t; t 3)
1
∈ ⇒ + + − = + − −
uuuur
Theo đề :
2
MN 9 t 1= ⇔ = −
.
Vậy
qua N(1;1;3)
x 1 y 1 z 3
( ): ( ):
1 2 2
VTCP NM (1; 2; 2)


− − −
∆ ⇒ ∆ = =

− −
= − −

uuuur



Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Gọi z = a + bi , trong đó a,b là các số thực . ta có :
z a bi= −
và
2 2 2
z (a b ) 2abi= − +
Khi đó :
2
z z= ⇔
Tìm các số thực a,b sao cho :
2 2
a b a
2ab b


− =

= −



Giải hệ trên ta được các nghiệm (0;0) , (1;0) ,
1 3
( ; )
2 2
−
,
1 3
( ; )
2 2
− −
.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
12