Ma trận ngẫu nhiên và ứng dụng

Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Kiến thức cơ bản của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Tập trung độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Các khái niệm cơ bản về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Các dạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Vết của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Ma trận ngẫu nhiên 16

2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) . 16
2.1.2 Tập hợp các ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE) . . . 18
2.1.3 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) . 20
2.2 Phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Phân bố chính xác (với n hữu hạn) . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Định lí Wigner và luật bán nguyệt (với n lớn) . . . . . . . 24
2.2.3 Luật Tracy Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Ma trận hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Luật Marchenko-Pastur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp độc lập cùng
phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4
2.3.3 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp không phải độc
lập cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Tích của hai ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Toán tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1 Phương pháp ε lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.2 Phương pháp đối số đối xứng (tùy chọn) . . . . . . . . . . 53
2.5.3 Phương pháp tập trung độ đo. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4 Phương pháp moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Ứng dụng 62
3.1 Trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Định nghĩa và kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2 Vật lý hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Truyền thông không dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1 Mô hình kênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.4 Mô hình chung DS-CDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Kết luận 77
Phụ lục 78
Tài liệu tham khảo 79
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu về những ma trận có các phần
tử là các biến ngẫu nhiên (hay nghiên cứu về các biến ngẫu nhiên lấy giá trị
trong không gian các ma trận). Vì vậy, trong chương này chúng tôi trình bày
một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và ma trận mà sẽ được dùng ở
các chương sau của luận văn.
1.1 Kiến thức cơ bản của xác suất
Xét không gian xác suất cơ sở (Ω, F, P), trong đó:
Ω là không gian mẫu gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu
nhiên. Mỗi kết quả w ∈ Ω gọi là một điểm mẫu hay là một biến cố sơ cấp. Ta
còn có thể gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp.
F là σ - đại số (σ - trường) các biến cố. Tức F là một họ các tập con của Ω
thỏa mãn 3 điều kiện:

• Ω ∈ F
• Nếu E ∈ F thì Ω \ E = E
c
= E ∈ F
• Nếu E
1
, E
2
, . . . ∈ F và E
i
∩ E
j

= ∅(i = j) thì

∞
n=1
E
n
∈ F
Mỗi tập E ∈ F gọi là biến cố.
P là độ đo xác suất xác định trên F. Tức là ánh xạ P : F → R thỏa mãn 3
điều kiện sau:
• P(E) ≥ 0 với mọi E ∈ F
• P(Ω) = 1

6
• Nếu E
1
, E
2
, . . . ∈ F và E
i
∩ E
j
= ∅(i = j) thì P(

∞

n=1
E
n
) =

∞
n=1
P(E
n
)
1.1.1 Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. (Biến ngẫu nhiên) Cho (R, R) là không gian đo được (tập R

được trang bị σ - đại số các tập con của R). Biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong R
(biến ngẫu nhiên R - giá trị) là một ánh xạ X đo được từ không gian mẫu đến
R, tức là một hàm X : Ω → R sao cho X
−1
(S) là một biến cố với mọi S ∈ R.
Chúng ta xét một vài ví dụ về biến ngẫu nhiên:
• Biến ngẫu nhiên rời rạc, trong đó R là tập đếm được và R = 2
R
là σ-đại
số rời rạc gồm tất cả các tập con của R. Ví dụ điển hình của R là tập con
đếm được các số thực hoặc phức. Nếu R = {0, 1}, chúng ta nói các biến
ngẫu nhiên là Boolean, nếu R = {c} chúng ta nói các biến ngẫu nhiên là

tất định.
• Các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, trong đó R là đường thẳng thực và R
là σ-đại số Borel, được tạo ra bởi các tập mở của R.
• Các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, nhận giá trị trong mặt phẳng phức
với σ - đại số Borel. Khi xét các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, các biến
cố {|X − z| < r} với số phức z và r > 0 (nhỏ) có vai trò quan trọng.
• Biến ngẫu nhiên giá trị vector trong không gian vector hữu hạn chiều, có
giá trị trong R
n
hoặc C
n
với σ-đại số Borel. Ta có thể xem biến ngẫu nhiên

giá trị vector X = (X
1
, . . . , X
n
) là biến ngẫu nhiên đồng thời của các biến
ngẫu nhiên vô hướng thành phần X
1
, . . . , X
n
.
• Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận hoặc ma trận ngẫu nhiên, nhận giá
trị trong không gian M

n×p
(R) hoặc M
n×p
(C) các ma trận có giá trị thực
hoặc phức cấp n ×p, với σ-đại số Borel, trong đó n, p ≥ 1 là các số nguyên
(thường tập trung vào trường hợp n = p). Ta có thể xem biến ngẫu nhiên
có giá trị ma trận X = (X
ij
)
1≤i≤n;1≤j≤p
là biến ngẫu nhiên đồng thời của
các biến vô hướng thành phần X

ij
. Có thể áp dụng tất cả các phép toán
ma trận thông thường (ví dụ như tổng, tích, định thức, vết, nghịch đảo,
vv) trên ma trận ngẫu nhiên để có được biến ngẫu nhiên mới.
7
Định nghĩa 1.2. (Ký hiệu tiệm cận) Kí hiệu X = O(Y ), Y = Ω(X), X  Y ,
hoặc Y  X để biểu thị |X| ≤ CY với C không phụ thuộc n và n ≥ C. Kí hiệu
X = o(Y ) nếu |X| ≤ c(n)Y với c → 0 khi n → ∞. Nếu X  Y  X thì kí hiệu
X ∼ Y hay X = Θ(Y ) .
Cho biến cố E = E
n
phụ thuộc vào tham số n, Ta có:

• Biến cố E là chắc chắn (hay đúng) nếu nó bằng biến cố Ω, ∅.
• Biến cố E là hầu chắc chắn (hoặc với xác suất đầy đủ) nếu nó xảy ra với
xác suất 1, P(E) = 1.
• Biến cố E có xác suất áp đảo (Overwhelming probabitily) nếu với mọi A > 0
cố định, nó xảy ra với xác suất 1 − O
A
(n
−A
) (tức là P(E) ≥ 1 − C
A
n
−A

với
C
A
độc lập với n).
• Biến cố E có xác suất cao (Hight probabitily) nếu có xác suất 1 −O(n
−c
)
với c > 0 độc lập với n (tức là P(E) ≥ 1 − Cn
−c
với C độc lập với n).
• Biến cố E là tiệm cận hầu chắc chắn nếu nó có xác suất 1 −o(1), do đó xác
suất tiến đến 1 khi n → ∞.

1.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản
Với X là biến ngẫu nhiên, chúng ta có một số khái niệm:
• X bị chặn chắc chắn nếu tồn tại M > 0 sao cho |X| ≤ M chắc chắn.
• X bị chặn hầu chắc chắn nếu tồn tại M > 0 sao cho |X| ≤ M hầu chắc
chắn.
• X dưới Gauss (Subgaussian) nếu tồn tại C, c > 0 sao cho P(|X| ≥ λ) ≤
C exp(−cλ
2
) với mọi λ > 0.
• X có đuôi dưới mũ (Sub-exponential tail) nếu tồn tại C, c, a > 0 sao cho
P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλ
a

) với mọi λ > 0.
• X có moment cấp k hữu hạn với k ≥ 0 nếu tồn tại C sao cho E|X|
k
≤ C.
• X khả tích tuyệt đối nếu E|X| < ∞.
• X hữu hạn hầu chắc chắn nếu |X| < ∞ hầu chắc chắn.
8
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Markov [8])
Với X là biến ngẫu nhiên không âm, ta có:
P(X ≥ λ) ≤
1
λ

EX (1.1)
Với X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, ta có
P(|X| ≥ λ) ≤
1
λ
E|X| (1.2)
Hệ quả 1.1. (Bất đẳng thức Chebyshev [8])
P(|X − E(X)| ≥ λ) ≤
Var(X)
λ
2
(1.3)

Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Jensen [8]) Cho F : R → R là hàm lồi (tức là
F ((1 − t)x + ty) ≥ (1 − t)F(x) + tF(y) với mọi x, y ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1 ) và X là biến
ngẫu nhiên bị chặn giá trị thực. Thì EF (X) ≥ F(EX).
Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Bernstein trong trường hợp đơn giản nhất [8])
Nếu X
1
, . . . , X
n
là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập nhận giá trị +1 và −1
với xác suất 1/2, thì với mọi số thực dương ε ta có
P







1
n
n

i=1
X
i






> ε

≤ 2 exp

−
nε
2

2(1 + ε/3)

.
1.1.3 Sự hội tụ
Giả sử X
1
, X
2
, . . . là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian
xác suất. Để cho gọn ta dùng kí hiệu (X
n
) để chỉ dãy biến ngẫu nhiên.

Hội tụ hầu chắc chắn: Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
) được gọi là hội tụ hầu chắc
chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho
X
n
(w) → X(w), w /∈ A
hoặc tương đương:
P(lim sup |X
n
− X| > ε) = 0
Sự hội tụ hầu chắc chắn được kí hiệu là: X

n
a.s
→ X.
Hội tụ theo xác suất: Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
) được gọi là hội tụ theo xác
suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > 0 bất kì
lim
n→∞
P(|X
n
− X| > ε) → 0

9
Sự hội tụ theo xác suất được kí hiệu là: X
n
P
→ X.
Trong lí thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính là hội
tụ theo độ đo.
Hội tụ theo phân bố: Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
) được gọi là hội tụ phân bố
đến X nếu, với mỗi hàm liên tục bị chặn F : R → R, có
lim

n→∞
EF (X
n
) = EF (X)
1.1.4 Tính độc lập
Định nghĩa 1.3. Một họ (X
α
)
α∈A
các biến ngẫu nhiên (có thể là hữu hạn, vô
hạn đếm được, hoặc vô hạn không đếm được) được gọi là cùng độc lập nếu phân
bố của (X

α
)
α∈A
là độ đo tích của các phân bố thành phần X
α
.
Một họ (X
α
)
α∈A
là độc lập từng cặp nếu (X
α

, X
β
) là cùng độc lập với mọi
α.β ∈ A phân biệt. Tổng quát, (X
α
)
α∈A
là độc lập k-cặp nếu (X
α
1
, . . . , X
α

k

) là
cùng độc lập với mọi 1 ≤ k

≤ k và mọi α
1
, . . . , α
k

phân biệt.
1.1.5 Tập trung độ đo

Giả sử ta có số lượng lớn biến ngẫu nhiên độc lập vô hướng X
1
, , X
n
. Nếu
mỗi X
i
thay đổi trong khoảng O(1), thì dĩ nhiên tổng của chúng S
n
= X
1
+. . .+X

n
thay đổi trong khoảng O(n). Tuy nhiên hiện tượng tập trung độ đo, khẳng định
rằng nếu có đủ số lượng các biến độc lập thành phần X
1
, , X
n
, thì tổng này tập
trung mạnh trong một phạm vi hẹp hơn nhiều, thường là trong khoảng O(
√
n).
A. Tổ hợp tuyến tính và phương pháp moment
Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên bị chặn:

Phương pháp moment cấp 0 đưa ra giới hạn trên thô khi S khác không,
P(S
n
= 0) ≤
n

i=1
P(X
i
= 0). (1.4)
Phương pháp moment cấp một đưa ra giới hạn E|S
n

| ≤
n

i=1
E|X
i
|. Kết hợp
bất đẳng thức Markov (1.2) ta có bất đẳng thức độ lệch lớn
P(|S
n
| ≥ λ) ≤
1

λ
n

i=1
E|X
i
| (1.5)
10
Bây giờ xét phương pháp moment cấp hai. Ta có: E|S
n
|
2

=
n

i=1
n

j=1
EX
i
X
j
. Do

đó: VarS
n
=
n

i=1
Var(X
i
).
Kết hợp với bất đẳng thức Chebyshev (1.3) đưa ra bất đẳng thức độ lệch lớn
P(|S
n

− ES
n
| ≥ λ) ≤
1
λ
2
n

i=1
Var(X
i
). (1.6)

Bây giờ chúng ta chuyển sang những moment cấp cao hơn. Giả sử chuẩn hóa
X
i
có trung bình 0, phương sai không quá 1 và độ lớn bị chặn hầu chắc chắn
bởi K, |X
i
| ≤ K (a.s). Để đơn giản, ta giả sử X
i
có giá trị thực, trường hợp giá
trị phức là tương tự. Giả sử rằng X
1
, , X

n
là độc lập k-cặp với k là số nguyên
dương chẵn. Chúng ta tính moment cấp k:
E|S
n
|
k
=

1≤i
1
≤i

k
≤n
EX
i
1
. . . X
i
k
Nếu các X
i
j
chỉ xuất hiện một lần, thì kỳ vọng là 0 (do X

i
j
có trung bình 0). Vì
vậy có thể giả sử mỗi X
i
j
xuất hiện ít nhất hai lần. Do đó sẽ có nhiều nhất k/2
X
i
j
xuất hiện riêng biệt.
• Nếu có chính xác k/2 xuất hiện, thì từ giả thiết phương sai đơn vị chúng

ta thấy rằng kỳ vọng có độ lớn tối đa là 1.
• Nếu có k/2 − r xuất hiện, thì từ giả thiết phương sai đơn vị và giới hạn
trên bởi K chúng ta thấy kỳ vọng có độ lớn tối đa là K
2r
.
Điều này dẫn đến giới hạn trên E|S
n
|
k
≤
k/2


0
K
2r
N
r
. Với N
r
là số cách gán số
nguyên i
1
, . . . , i
k

trong {1, . . . , n}, sao cho mỗi i
j
xuất hiện ít nhất hai lần và có
chính xác k/2 −r số nguyên xuất hiện.
Sử dụng giới hạn thô: Có

n
k
2
− r

≤

n
k/2−r
(k/2 −r)!
cách lựa chọn (k/2 − r) số
nguyên từ {1, . . . , n}. Mỗi số nguyên i
j
lấy từ một trong (k/2 −r) số nguyên, dẫn
đến giới hạn thô:
N
r
≤
n

k/2−r
(k/2 −r)!
(k/2 −r)
k
Theo công thức Stirling n! ≥ n
n
e
−n
(xem [5]) đưa ra
N
r
≤

n
k
2
−r
(
k
2
− r)
k
2
−r
e

−(
k
2
−r)
(
k
2
− r)
k
= (en)
k
2

−r
(
k
2
− r)
k
2
+r
≤ (en)
k
2
−r

(
k
2
)
k
2
+r
11
Do đó: E|S
n
|
k

≤ (en
k
2
)
k/2
k/2

0
(
K
2
k

en
)
r
.
Nếu chúng ta giả sử: K
2
≤ n/k. Thì: E|S
n
|
k
≤ (enk/2)
k/2

k/2

0
1
e
r
.
Do
k/2

0
1

e
r
≤ 2 nên: E|S
n
|
k
≤ 2(enk/2)
k/2
.
Điều này dẫn đến bất đẳng thức độ lệch lớn:
P(|S
n

| ≥ λ
√
n) ≤
E|S
n
|
k
(λ
√
n)
k
= 2(


ek/2
λ
)
k
. (1.7)
Khá phức tạp khi chúng ta kiểm soát những moment lớn E|S
n
|
k
. Tuy nhiên
có phương pháp Chernof thực hiện dễ dàng hơn thông qua moment lũy thừa:

Lấy φ(x) = e
tx
. Thì: P(X ≥ a) = P(e
tX
≥ e
ta
) ≤
Ee
tX
e
ta
Bổ đề 1.1. (Bổ đề Hoefding [8]) Cho X là biến vô hướng lấy giá trị trong [a, b],

với t > 0 bất kỳ
Ee
tX
≤ e
tEX
(1 + O(t
2
Var (X) exp(O(t(b −a))))). (1.8)
Đặc biệt
Ee
tX
≤ e

tEX
exp(O(t
2
(b −a)
2
)). (1.9)
Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Chernof [8]) Cho X
1
, . . . , X
n
là các biến ngẫu nhiên
vô hướng độc lập, |X

i
| ≤ K hầu chắc chắn với trung bình µ
i
và phương sai σ
2
i
.
Thì với mọi λ ≤ 0, có:
P(|S
n
− µ| ≥ λσ) ≤ C max(exp(−cλ
2

), exp(−cλσ/K)). (1.10)
trong đó C, c > 0, µ :=
n

i=1
µ
i
và σ
2
:=
n


i=1
σ
2
i
.
Với các biến ngẫu nhiên X
1
, . . . , X
n
, độc lập cùng phân bố với kỳ vọng µ
phương sai σ
2

, bất đẳng thức Chernof khẳng định rằng S
n
tập trung mạnh trong
phạm vi nµ + O(σ
√
n).
✸
B. Phương pháp chặt cụt
Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên không bị chặn ta sử dụng phương pháp
chặt cụt. Kí hiệu:
X
i,≤N

:= X
i
I(|X
i
| ≤ N)
12
X
i,>N
:= X
i
I(|X
i

| > N)
khi đó ta chia biến ngẫu nhiên X
i
thành X
i
= X
i,≤N
+ X
i,>N
với N là tham số
chặt cụt được tối ưu hóa sau (phụ thuộc n). Tương tự chia S
n

= S
n,≤N
+ S
n,>N
,
với
S
n,≤N
= X
1,≤N
+ . . . + X
n,≤N

S
n,>N
= X
1,>N
+ . . . + X
n,>N
Chúng ta ước tính phần đuôi của S
n,≤N
và S
n,>N
bằng hai phương pháp khác
nhau. Với S

n,≤N
, biến X
i,≤N
bị chặn, do đó sử dụng bất đẳng thức độ lệch lớn.
Với S
n,>N
, biến X
i>N
không bị chặn, nhưng chúng tiến đến moment cấp 0 và
cấp một nhỏ, do đó sử dụng phương pháp moment.
Chúng ta sẽ bắt đầu với một ứng dụng của phương pháp này.
Định lý 1.5. (Luật yếu số lớn [8]). Cho X

1
, X
2
, . . . là các biến ngẫu nhiên vô
hướng độc lập cùng phân bố với X, trong đó X khả tích tuyệt đối. Thì S
n
/n hội
tụ theo xác suất đến EX.
Chứng minh.
Bằng cách trừ EX từ X, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng X
có trung bình 0. Chúng ta cần chứng minh: P (|S
n

| ≥ nε) = o(1) với mọi ε > 0 cố
định.
Nếu X có phương sai hữu hạn, thì từ (1.6) có điều cần khẳng định.
Nếu X có phương sai vô hạn, chúng ta thực hiện phương pháp chặt cụt như
sau. Chia X
i
= X
i,≤N
+ X
i,>N
, S
n

= S
n,≤N
+ S
n,>N
(và X = X
≤N
+ X
>N
) như
ở trên và N lựa chọn sau. Biến X
≤N
là bị chặn và do đó phương sai bị chặn, từ

các định lý hội tụ trội chúng ta thấy rằng |EX
≤N
| ≤ ε/4 nếu N là đủ lớn. Từ
(1.6), chúng ta kết luận
P(|S
n≤N
| ≥ εn/2) = o(1)
Trong khi đó, để giải quyết X
>N
chúng ta dùng (1.5):
P(|S
n>N

| ≥ εn/2) ≤
2
ε
E|X
>N
|
Theo định lý hội tụ đơn điệu, chúng ta có thể làm cho E|X
>N
| nhỏ tùy ý (có
thể nhỏ hơn so với δ > 0) bằng cách lấy N đủ lớn. Vậy chúng ta có: P(|S
n
| ≥

nε) =
2
ε
δ + o(1), với mọi δ .
13
✸
Định lý 1.6. (Luật mạnh số lớn [8]) Cho X
1
, X
2
, . . . là các biến ngẫu nhiên vô
hướng độc lập cùng phân bố với X, trong đó X khả tích tuyệt đối. Thì S

n
/n hội
tụ hầu chắc chắn đến EX.
C. Tổ hợp Lipschitz
Trong phần trước, chúng ta xét tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên
độc lập X
1
, . . . , X
n
. Để đơn giản ta kí hiệu X := (X
1
, . . . , X

n
). Bây giờ chúng ta
xét tổ hợp F (X) tổng quát hơn.
Định lý 1.7. (Bất đẳng thức tập trung Talagrand [7]) Cho X
1
, . . . , X
n
là các
biến phức độc lập với |X
i
| ≤ K, K > 0, 1 ≤ i ≤ n. Cho F : C
n

→ R là hàm lồi 1
- Lipschitz. Thì với mọi λ ta có:
P(|F (X) − MF (X)| ≥ λK) ≤ C exp(−cλ
2
). (1.11)
và
P(|F (X) − EF (X)| ≥ λK) ≤ C exp(−cλ
2
). (1.12)
với hằng số C, c > 0, MF (X) là trung vị của F(X).
1.2 Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.2.1 Các dạng ma trận

Cho ma trận:
A =




a
11
a
12
. . . a
1n

a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
. . . a

mn




= (a
ij
)
m×n
ta xét một số loại ma trận sau đây:
Ma trận vuông: là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n).
Ma trận tam giác trên: là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo

chính của ma trận bằng 0.
Ma trận tam giác dưới: là ma trận vuông mà các phần tử phía trên đường
chéo chính của ma trận bằng 0.
14
Ma trận đường chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử ngoài đường
chéo chính bằng 0.
Ma trận đối xứng: là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường
chéo chính bằng nhau a
ij
= a
ji
, với mọi i, j.

Ma trận chuyển vị: là ma trận nhận được bằng cách đổi hàng thành cột và
ngược lại. Thường kí hiệu ma trận chuyển vị của A là A
T
Ma trận trực giao: là ma trận vuông có các phần tử là số thực sao cho ma
trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó, A
T
A = AA
T
= I.
Ma trận phức liên hợp: là ma trận nhận được từ ma trận ban đầu bằng cách
thay phần tử a + ib bởi a −ib. Ký hiệu A
∗

là ma trận phức liên hợp của A.
Ma trận Hermit (ma trận phức đối xứng): là ma trận vuông với các phần tử
trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo
chính là những số phức liên hợp.
1.2.2 Vết của ma trận
Vết của ma trận vuông A cấp n × n được xác định bằng tổng các phần tử
trên đường chéo chính.
tr(A) = a
11
+ a
12
+ . . . + a

nn
=
n

i=1
a
ii
.
Tương đương với vết của ma trận là tổng các giá trị riêng của nó: tr(A) =
n

i=1

λ
i
với λ
i
là giá trị riêng của A. Và vết bất biến khi thay đổi cơ sở.
Vết của ma trận liên hợp: Cho A là ma trận vuông cấp n × n bất kì, P là
ma trận vuông cấp n ×n và khả nghịch. Liên hợp của A theo P là P AP
−1
, khi
đó ta có:
tr(A) = tr(P AP
−1

).
Một số tính chất khác:
tr(A) = tr(A
T
)
tr(AB) = tr(BA)
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(cA) = c.tr(A)
15
Chương 2
Ma trận ngẫu nhiên
2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Xét ma trận vuông M = (M
ij
)
1≤i,j≤n
, với
n là số nguyên dương và M
ij
là các biến ngẫu nhiên xác định trên Ω, nhận giá
thực hoặc phức. Khi đó M được gọi là ma trận ngẫu nhiên.
Có khá nhiều cách phân loại ma trận ngẫu nhiên tuy nhiên cách phân loại
dựa theo phân bố của các ma trận được nhiều người quan tâm. Chính vì vậy
chúng tôi lựa chọn cách phân loại đó trong luận văn này. Sau đây chúng tôi sẽ

đưa ra ba lớp ma trận cơ bản được đề xuất bởi Wigner: tập hợp các ma trận
trực giao có phân bố Gauss (Gaussian orthogonal ensemble) (GOE), tập hợp
các ma trận unita có phân bố Gauss (Gaussian unitary ensemble) (GUE) và tập
hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (Gaussian symplectic ensemble)
(GSE).
2.1.1 Tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE)
Phân bố Gauss với trung bình µ và phương sai σ
2
có hàm mật độ xác suất
được cho bởi:
ρ(x) =
1

√
2πσ
2
e
−
(x −µ)
2
2σ
2
.
Có nhiều cách khác nhau để nói về GOE. Cách thông thường là xét hàm mật
độ xác suất đồng thời của các phần tử trong ma trận.

Xét ma trận đối xứng M = (M
ij
)
n×n
với M
ij
là các biến ngẫu nhiên độc lập
có phân bố như sau: các phần tử nằm trên đường chéo chính có phân bố Gauss
16
với trung bình 0 và phương sai 1:
ρ(M
ii

) =
1
√
2π
e
−M
2
ii
/2
,
các phần tử nằm phía trên đường chéo chính có phân bố Gauss với trung bình
0 và phương sai

1
2
, có hàm mật độ
ρ(M
ij
) =
1
√
π
e
−M
2

ij
.
Do tính đối xứng nên ma trận là hoàn toàn xác định khi ta biết phân bố của
các phần tử ở nửa trên của ma trận kể từ đường chéo chính:
ρ(M
ij
) =






1
√
2π
e
−M
2
ij
/2
i = j
1
√
π

e
−M
2
ij
i < j
(2.1)
Do các phần tử của ma trận là độc lập nên hàm mật độ đồng thời của các
phần tử là tích các hàm mật độ thành phần.
ρ(M) = (

i
ρ(M

ii
))(

i<j
ρ(M
ij
)) (2.2)
Thay (2.1) vào (2.2) ta có
ρ(M) =


i

1
√
2π
e
−M
2
ii
2


i<j
1

√
π
e
−M
2
ij

=

(2π)
−n/2
e

−

i
M
2
ii
/2

π
−n(n−1)/4
e
−


i<j
M
2
ij

(2.3)
= (2
−n/2
π
−n(n+1)/4
)e

−
1
2
(

i
M
2
ii
+

i<j

2M
2
ij
)
Công thức (2.3) đưa ra hàm mật độ xác suất của các ma trận trong GOE.
Do tính đối xứng của ma trận M nên ta có :
tr(M
2
) = (M
2
)
11

+ (M
2
)
22
+ (M
2
)
33
+ (M
2
)
44

+ . . .
= (M
2
11
+ M
2
12
+ M
2
13
+ M
2

14
+ . . .)
+ (M
2
12
+ M
2
22
+ M
2
23
+ M

2
24
+ . . .)
+ (M
2
13
+ M
2
23
+ M
2
33

+ M
2
34
+ . . .) (2.4)
+ (M
2
14
+ M
2
24
+ M
2

34
+ M
2
44
+ . . .)
+ . . .
=

i
M
2
ii

+

i<j
2M
2
ij
17
với (M
2
)
ij
là phần tử nằm trên hàng i, cột j của ma trận M

2
.
Vì vậy, (2.3) có thể viết dưới dạng sau:
ρ(M) =
1
C
e
−
1
2
tr(M
2

)
(2.5)
với C = 2
n/2
π
n(n+1)/4
.
Bất biến dưới biến đổi trực giao
Xét ma trận M và chọn M

là biến đổi tuyến tính:
M


= T
−1
MT (2.6)
biến đổi có nghĩa khi nghịch đảo của ma trận T tồn tại.
Nếu T trong (2.6) là ma trận trực giao, O
T
O = OO
T
= I, thì:
ρ(M


) =
1
C
e
−
1
2
tr(M
2
)
=
1

C
e
−
1
2
tr((O
T
MO)
2
)
(2.7)
Do tr(AB) = tr(BA) nên ta có

tr((O
T
MO)
2
) = tr(O
T
MOO
T
MO) = tr(O
T
M
2

O) = tr(M
2
OO
T
) = tr(M
2
). (2.8)
Suy ra
ρ(M

) = ρ(M).
Như vậy, GOE là tập hợp các ma trận ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất

là:
ρ(M) =
1
2
n/2
π
n(n+1)/4
e
−
1
2
tr(M

2
)
và phân bố của nó bất biến dưới phép biến đổi trực giao.
2.1.2 Tập hợp các ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE)
Xét ma trận ngẫu nhiên Hermit M = (M
ij
)
n×n
với các phần tử là các biến
ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị phức có dạng
M
ij

= x
ij
+ iy
ij
với x
ij
, y
ij
là các biến ngẫu nhiên độc lập. Trong đó y
ii
= 0, x
ii

∼ N(0,
1
2
) và x
ij
,
y
ij
có phân bố Gauss với trung bình 0 và phương sai
1
4
khi i = j.

Do đó M
ii
∼ N(0,
1
2
) có hàm mật độ:
ρ(M
ii
) =
1
√
π

e
−M
2
ii
18
Và M
ij
∼ N(0,
1
4
) + iN(0,
1

4
), i < j có hàm mật độ:
ρ(M
ij
) =
2
π
e
−2|M
ij
|
2

=
2
π
e
−2(x
2
ij
+y
2
ij
)
i < j

Ta có M
ij
= M
ji
nên
ρ(M
ij
) =
2
π
e
−2|M

ij
|
2
i > j.
Như vậy
ρ(M
ij
) =



1

√
π
e
−M
2
ij
, i = j
2
π
e
−2|M
ij

|
2
, i < j.
Do tính liên hợp của các phần tử ở hai bên đường chéo chính nên ma trận
là hoàn toàn xác định khi ta biết phân bố của các phần tử ở nửa trên của ma
trận kể từ đường chéo chính. Do các phần tử của ma trận là độc lập nên hàm
mật độ đồng thời là tích các hàm mật độ thành phần
ρ(M) =
2
n(n−1)/2
π
n

2
/2
n

i=1
e
−M
2
ii

1≤i<j≤n
e

−2|M
ij
|
2
=
2
n(n−1)/2
π
n
2
/2
exp(−

n

i,j=1
|M
ij
|
2
)
=
2
n(n−1)/2
π

n
2
/2
exp(−
n

i,j=1
M
ij
M
ij
)

=
2
n(n−1)/2
π
n
2
/2
exp(−tr(MM
+
))
=
2

n(n−1)/2
π
n
2
/2
exp(−tr(M
2
)).
Bất biến dưới biến đổi Unita
Xét ma trận M

= U

+
MU với U
+
= (U
∗
)
T
. Trong trường hợp U là ma trận
unita, UU
+
= U
+

U = I, ta có
ρ(M

) = ρ(U
+
MU) =
2
n(n−1)/2
π
n
2
/2

exp(−tr(U
+
MUU
+
MU))
=
2
n(n−1)/2
π
n
2
/2

exp(−tr(M
2
)) = ρ(M).
Như vậy, GUE là tập các ma trận ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất là:
ρ(M) =
2
n(n−1)/2
π
n
2
/2
e

−tr(M
2
)
và phân bố của nó bất biến dưới phép biến đổi unita.
19
2.1.3 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE)
Định nghĩa 2.1. Quaternion q được xác định bởi:
a.1 + bi
1
+ ci
2
+ di

3
, với a, b, c, d ∈ R
trong đó i
1
, i
2
, i
3
là Quaternion đơn vị thỏa mãn đẳng thức:
i
2
1

= i
2
2
= i
2
3
= i
1
i
2
i
3

= −1
Liên hợp của q xác định bởi
¯q = a.1 −bi
1
− ci
2
− di
3
.
Chuẩn của q được định nghĩa bởi
||q||
2

= q¯q = ¯qq = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
.
Đối ngẫu (chuyển vị liên hợp) Q
+
= (q

+
jk
) của ma trận Quartenion Q = (q
jk
) =
a
jk
.1 + b
jk
i
1
+ c

jk
i
2
+ d
jk
i
3
xác định bởi q
+
jk
= q
kj

.
Ma trận Q là tự đối ngẫu nếu như Q = Q
+
.
Nhóm đối xứng S
p
(n) là tập các ma trận Quaternion cấp n ×n sao cho:
SS
+
= S
+
S = I.

Định nghĩa 2.2. Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) là tập
các ma trận Quaternion tự đối ngẫu Q = (q
jk
)
n×n
có các phần tử là biến ngẫu
nhiên chuẩn độc lập có hàm mật độ xác suất
ρ(q
jk
) =





2
π
e
−2q
2
jj
nếu j = k
16
π
2

e
−4||q
jk
||
2
nếu j < k.
Tương tự như của GOE và GUE, ta có:
ρ(Q) =
2
n(4n−3)/2
π
n(2n−1)/2

exp(−2trQ
2
).
Nếu kí hiệu
β =



1 với các ma trận thuộc GOE
2 với các ma trận thuộc GUE
4 với các ma trận thuộc GSE
20

thì hàm mật độ xác suất của ma trận ngẫu nhiên thuộc 3 tập hợp kể trên có
dạng
ρ(M) = C
β
exp(−
β
2
tr(M
2
)). (2.9)
Để cho ngắn gọn, chúng tôi kí hiệu G
β

n
− Gauss là tập hợp các ma trận trực
giao có phân bố Gauss (GOE) với β = 1, tập hợp các ma trận unita có phân
bố Gauss (GUE) với β = 2 và tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss
(GSE) với β = 4.
21
2.2 Phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên
Trong phần trước chúng ta đã biết phân bố của các ma trận ngẫu nhiên
thuộc G
β
n
−Gauss có dạng (2.9) nên các phân bố này chỉ phụ thuộc vào các giá

trị riêng của ma trận. Do đó mối quan tâm đặc biệt của RMT là dáng điệu ngẫu
nhiên của phân bố các giá trị riêng và cực biên của các giá trị riêng có phân bố
như thế nào. Sau đây, chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu phân bố chính xác của các giá
trị riêng khi kích thước ma trận nhỏ và phân bố giới hạn các giá trị riêng của
ma trận khi kích thước tiến tới vô cùng (luật bán nguyệt) cùng với việc đưa ra
phân bố của giá trị riêng lớn nhất theo luật Tracy - Widom.
2.2.1 Phân bố chính xác (với n hữu hạn)
Định lý 2.1. [6] Giả sử M ∈ G
β
n
−Gauss thì phân bố các giá trị riêng của M là:
ρ(λ

1
, . . . , λ
n
) = c
β
n

i<j
|λ
i
− λ
j

|
β
exp(−
β
2

λ
2
i
)
với c
β

n
là hằng số.
Chứng minh
Viết ma trận (Hermit) M bởi M = UΛU
∗
với Λ là ma trận đường chéo và U
là ma trận trực giao; các cột của U là vecto riêng của M.
Cho F : U(n) ×R
n
→ G
β
n

được cho bởi F (U, Λ) = UΛ
∗
U; thì trên mọi điểm M
với giá trị riêng phân biệt, cấu trúc của F là T
n
×S
n
. Đặc biệt, chúng ta có thể
định nghĩa đẳng cấu địa phương F : (U(n)/T
n
) ×(R
n

/S
n
) → G
β
n
.
Bổ đề 2.1. [4] Tập hợp các ma trận Hermit cấp n ×n với các giá trị riêng phân
biệt là mở, trù mật và có độ đo đầy đủ.
Lấy λ
i
, . . . , λ
n

, ρ
1
, . . . ρ
n
2
−n
là tham số địa phương trên (R
n
/S
n
) × (U(n)/T
n

).
Chúng ta có thể tính Jacobian: det

∂M
ij
∂λ
α
,
∂M
ij
∂ρ
β


Chuẩn hóa và viết M như phần tử của R
n
2
. Đặt
φ(M) =

M
11
√
2
M

22
√
2
. . .
M
11
√
2
ReM
12
ImM
12

ReM
13
ImM
13
. . . ReM
n−1,n
ImM
n−1,n

Chú ý rằng:
|φ(M)|
2

= tr(
1
2
M
2
)
22
Do đó, biến đổi
L
U
: R
n

2
→ R
n
2
, L
U
(y) = φ(U
∗
φ
−1
(y)U)
là đẳng cự (vì sự liên hợp bởi ma trận unita bảo toàn vết) tức là, det L

U
= 1).
Chúng ta sẽ tính det

L
U

∂M
ij
∂λ
α
,

∂M
ij
∂ρ
β


,mà bằng với det

∂M
ij
∂λ
α

,
∂M
ij
∂ρ
β

.
Ta thấy:
L
U

∂M

∂λ
i

= L
U

U
∂Λ
∂λ
i
U
∗


=
∂Λ
∂λ
i
là vecto với mọi tọa độ n
2
trừ thành phần thứ i là bằng 0.
Tiếp theo:
L
U


∂M
∂ρ
β

= L
U

∂U
∂ρ
β
ΛU
∗

+ UΛ
∂U
∗
∂ρ
β

= U
∗
∂U
∂ρ
β
Λ + Λ

∂U
∗
∂ρ
β
U
Mà U là ma trận unita, nghĩa là U
∗
U = I. Lấy vi phân theo ρ
β
có:
∂U
∗

∂ρ
β
U + U
∗
∂U
∂ρ
β
= 0
Do đó ta viết:
L
U


∂M
∂ρ
β

= U
∗
∂U
∂ρ
β
λ −ΛU
∗
∂U

∂ρ
β
và:

L
U

∂M
∂ρ
β

ij

= (S
β
)
ij
(λ
j
− λ
i
)
với S
β
≡ U

∗
∂U
∂ρ
β
.
Nên L
U

∂M
ij
∂λ
α

,
∂M
ij
∂ρ
β

có dạng:




I

n
0 0 0 . . .
0 Re(S
1
)
12
(λ
2
− λ
1
) Im(S
1

)
12
(λ
2
− λ
1
) Re(S
1
)
13
(λ
3

− λ
1
) . . .
0 Re(S
2
)
12
(λ
2
− λ
1
) Im(S

2
)
12
(λ
2
− λ
1
) Re(S
2
)
13
(λ

3
− λ
1
) . . .
. . .




Tính định thức có:

i<j

(λ
i
− λ
j
)
2
det


Re(S
1
)

12
Im(S
1
)
12
. . .
Re(S
2
)
12
Im(S
2

)
12
. . .
. . .


tức là,

i<j
(λ
i
− λ

j
)
2
f(ρ
β
) với hàm f chúng ta không cần quan tâm.
23
Kết hợp với ρ
β
đưa ra hàm mật độ giá trị riêng của GUE là:
ρ(λ) = c
n


i<j
(λ
i
− λ
j
)
2
exp(−
1
2


λ
2
i
)
Với M ∈ G
β
n
− Gauss, hàm mật độ xác suất đồng thời các giá trị riêng của M
cho bởi:
ρ(λ
1
, . . . , λ

n
) = c
β
n
n

i=1
exp(−
β
2
λ
2

i
)

i<j
|λ
i
− λ
j
|
β
(2.10)
với c

β
n
là hằng số chuẩn hóa:
c
β
n
=
β
n/2+βn(n−1)/4
(2π)
n/2
n


i=1
Γ(1 + β/2)
Γ(1 + β
j
/2)
(2.11)
phụ thuộc vào n và β.([6], p.58).
✸
2.2.2 Định lí Wigner và luật bán nguyệt (với n lớn)
Chúng ta xét giới hạn phân bố xác suất giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên
Wigner M cấp n × n khi n tiến đến vô cùng.

A. Trường hợp ma trận Wigner thực:
Định nghĩa 2.3. ([2], p.6) Cho {Z
ij
}
1≤i<j
và {Y
i
}
1≤i
là hai họ biến ngẫu nhiên
giá trị thực độc lập cùng phân bố trung bình 0 sao cho EZ
2

12
= 1, với mọi số
nguyên k ≥ 1,
r
k
:= max

E|Z
k
12
|, E|Y
k

1
|

< ∞ (2.12)
thì ma trận Wigner là ma trận có dạng:
M
ij
= M
ji
=

Z

ij
/
√
n i < j
Y
i
/
√
n i = j
(2.13)
Định nghĩa 2.4. ([2], p.7) Phân bố thực nghiệm (empirical distribution) (ESD)
của ma trận M xác định bởi:

F
M
(x) :=
1
n
#{k ≤ n, λ
k
≤ x}
với λ
1
(M), . . . , λ
n

(M) là các giá trị riêng của M, #{.} là lực lượng của tập hợp.
24
Với độ đo µ và hàm f:

µ, f

=

f(x)dµ(x)
Đặc biệt,

F

M
, f

=
1
n
n

i=1
f(λ
i
)

Định nghĩa 2.5. ([2], p.10) Hàm phân bố F
M
là kì vọng của F
M
:

F
M
, f

= E


F
M
, f

Phương pháp moment ([3], p.10)
Cho M là ma trận Hermit ngẫu nhiên cấp n ×n và λ
1
≤ . . . ≤ λ
n
là các giá
trị riêng của M. Thì moment cấp k của F
M

:
m
k
(F
M
) =

x
k
F
M
(dx) =

1
n
tr(M
k
)
Phân bố giới hạn phổ (Limiting spectral distribution) (LSD) ([3], p.10)
Để chứng minh F
M
tiến tới giới hạn F nào đó ta thường sử dụng định lý hội
tụ moment (Moment convergency theorem) (MCT), nghĩa là:
m
k

(F
M
) → m
k
(F ) =

x
k
F (dx)
theo xác suất hoặc hầu chắc chắn và điều kiện Carleman
∞


k=1
m
−1/2k
2k
= ∞
Do đó, MCT được áp dụng để biểu thị sự tồn tại LSD của một dãy các ma trận
ngẫu nhiên.
Luật bán nguyệt
Định nghĩa 2.6. ([2], p.7) Phân bố (luật) bán nguyệt (Semicircular distribution)
là phân bố µ
sc
(x)dx trên R với mật độ:

µ
sc
(x) =
1
2π

4 −x
2
I
|x|≤2
Kí hiệu m
k

(µ
sc
) là moment cấp k của luật bán nguyệt. Chúng ta có bổ đề sau:
25
Bổ đề 2.2. ([3], p.16) Với k = 0, 1, 2, . . . chúng ta có:
m
2k
(µ
sc
) =
1
k + 1


2k
k

m
2k+1
(µ
sc
) = 0
Chứng minh. Do luật bán nguyệt là đối xứng nên m
2k+1
(µ

sc
) = 0
m
2k
(µ
sc
) =
1
2π
2

−2

x
2k

4 −x
2
dx =
1
π
2

0
x

2k

4 −x
2
dx
=
2
2k+1
π
1

0

y
k−1/2
(1 −y)
1/2
dy bằng cách đặt x = 2
√
y
=
2
2k+1
π
Γ(k + 1/2)Γ(3/2)

Γ(k + 2)
=
1
k + 1

2k
k

✸
Đặc biệt:
Kì vọng của luật bán nguyệt là:


2
−2
x

4 −x
2
dx = 0
Phương sai của luật bán nguyệt là:

2
−2
x

2

4 −x
2
dx =
1
2
2!
1!.1!
= 1
Hình 2.1: Luật bán nguyệt
26

Định lý 2.2. ([2], p.7) Với ma trận Wigner, phân bố thực nghiệm hội tụ yếu,
theo xác suất đến phân bố bán nguyệt. Hay với mọi hàm liên tục và bị chặn
f ∈ C
b
(R)
P(|

F
M
, f

−


µ
sc
, f

| > ε) → 0
khi n → ∞
Chứng minh. Để chứng minh ta sử dụng định lý hội tụ moment, dựa trên hai
bổ đề: Thứ nhất, khẳng định rằng moment F
M
hội tụ đến moment µ
sc

, thứ hai
khẳng định moment F
M
hội tụ theo xác suất đến moment F
M
.
Bổ đề 2.3. ([2], p.11) Khi n → ∞, với mọi k ≥ 0 ta có:

F
M
, x
k


→

µ
sc
, x
k

Bổ đề 2.4. ([2], p.17) Khi n → ∞, với mọi k ta có:
P(|

F

M
, x
k

−

F
M
, x
k

| > ε) → 0

(điều này đủ để chứng minh phương sai của

F
M
, x
k

hội tụ đến 0)
Sử dụng hai bổ đề trên ta có:
Với f ∈ C
b
(R), M = sup |f(x)| và với mọi đa thức Q:

P(|

F
M
− µ
sc
, f

| > ε)
≤ P(|

F

M
− µ
sc
, Q

| > ε/2) + P(|

F
M
− µ
sc
, f −Q


| > ε/2)
≤ P(|

F
M
− F
M
, Q

| > ε/4) + P(|


F
M
− µ
sc
, Q

| > ε/4)
+ P(|

F
M
− µ

sc
, f −Q

| > ε/4)
(2.14)
Chúng ta cần khẳng định với mọi δ > 0 tồn tại đa thức Q và số nguyên n
0
sao cho ba số hạng trên nhỏ hơn δ với mọi n ≥ n
0
. Với đa thức Q số hạng thứ
nhất và số hạng thứ hai tiến đến 0 khi n → ∞ do sử dụng kết quả của bồ đề 2.3,
2.4 tương ứng.

Để chứng minh số hạng thứ ba tiến đến không, chúng ta sử dụng định lí xấp
xỉ Weiertrass: Cho φ : [a, b] → R là hàm liên tục. Khi đó với mọi  > 0 đều có đa
thức P (x) thỏa mãn:
sup
x∈[a,b]
|φ(x) −P (x)| < .
Tức là có thể lựa chọn Q =

k
k=0
a
k

x
k
sao cho:
sup
|x|≤5
|f(x) −Q(x)| ≤ ε/8 (2.15)
27
Cho A = max{|a
k
|}
Chú ý rằng µ
sc

có giá trên [−2; 2] nên |µ
sc
, f − Q| ≤ ε/8 < ε/4. Do đó cần
chứng minh: với mọi δ > 0, tồn tại n
0
sao cho với mọi n > n
0
thì
P(|

F
M

, f −Q

| > ε/4) ≤ δ (2.16)
Chú ý rằng,
P(|

F
M
, f −Q

| > ε/4) ≤ P(|


F
M
, (f −Q)I
|x|>5

| > ε/8)
≤ P(|

F
M
, I
|x|>5


| >
ε
8M(K + 1)
) +
K

k=0
P(|

F
M

, |x|
k
I
|x|>5

| >
ε
8A(K + 1)
)
Cho C = 8(K + 1) max{M, A} và sử dụng bất đẳng thức Markov:
T
k

= P(|

F
M
, |x|
k
I
|x|>5

| > ε/C)
≤
C

ε
E

F
M
n
, |x|
k
I
|x|>5

≤

C

F
M
n
, x
2k

ε5
k
≤
C

ε

4
5

k
(

F
M
, x
2k


≤ 4
k
[2]) Với mọi số nguyên k ≥ 0 và n ≥ n
0
(k)
Do T
k
là dãy tăng. Với δ > 0 dễ dàng tìm được L ≥ K sao cho:
T
L
≤

δ
K + 1
với mọi n ≥ n
0
= n
0
(L). Thì T
k
≤
δ
K + 1
với mọi k = 0, 1, . . . , K. Tức là:

P(|

F
M
, f −Q

| > ε/4) ≤ δ
✸
Định lý 2.3. ([2], p.22) Giả sử M như trong (2.13) tức là:
M
ij
= M

ji
=

Z
i,j
/
√
n i < j
Y
i
/
√

n i = j
với r
2
< ∞ thay vì r
k
:= max

E|Z
k
12
|, E|Y
k

1
|

< ∞. Thì định lí 2.2 vẫn đúng (tức
là phân bố thực nghiệm của M hội tụ yếu, theo xác suất đến phân bố bán nguyệt).
Chứng minh
Để chứng minh ta thừa nhận bổ đề sau:
28