MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DÒ TÌM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

 GIÁO DC VÀ ÀO TO
TRNG I HC À LT
TRNG CHÍ TÍN
T S PHNG PHÁP DÒ TÌM NGU NHIÊN
VÀ NG DNG
 TÀI KHOA HC CP B (B2005-29-34)
À LT, 2006
 GIÁO DC VÀ ÀO TO
TRNG I HC À LT
T S PHNG PHÁP DÒ TÌM NGU NHIÊN
VÀ NG DNG
 TÀI KHOA HC CP B (B2005-29-34)
Ch nhim  tài: Trng Chí Tín
Các thành viên: ng Phc Huy
Trn Ngc Anh
À LT, 2006
C LC
i mu _______________________________________________________ 1
PHN I. Mt s kt qu v thut gii di truyn và mng nron ____________ 4
1. ng dng chin lc ng trong thut gii di truyn gii mt lp bài toán
i u toàn cc …..……………………………………………………… 5
2. Ci thin kh nng hc ca mng n ron truyn thng nhiu lp ……… 19
PHN II. Mt s kt qu v nung luyn mô phng ___________________ 30
1. S hi t ca thut toán nung luyn mô phng trong trng hp ri rc
…………………………………………………………………………. 31
2. Nung luyn mô phng: mt s nhn xét v s hi t ca xích Metropolis
…………………………………………………………………………. 51
3. Áp dng phng pháp nung luyn mô phng vào bài toán lp lch dòng
công vic ………………………………………………………………. 63
t lun _______________________________________________________ 97
1. Các kt qu chính v lý thuyt, ng dng và sn phm ca  tài …………... 97

2. Các hng m rng ca  tài ……………………………………………….. 99
1
i Mu
Thut gii di truyn (Genetic Algorithms - GA) và nung luyn mô phng
(Simulated Annealing - SA) là hai trong s các phng pháp tìm kim ngu nhiên
khá hiu qu và c ng dng rt nhiu trong thc t.
T nhng nm 50, th k XX, A.S. Fraser ã a ra ý nim v thut gii di
truyn da trên s tin hóa và di truyn ca sinh vt. Nhng phi n nhng nm
70, th k XX, J. H. Holland mi trin khai thành công ý tng và phng thc
gii quyt vn  bng thut gii di truyn. Sau ó, ngày càng nhiu kt qut
n tng lý thuyt cho GA t c bi các tác gi khác nh Kenneth De Jong,
David E. Goldberg, … Cho n nay, GA c áp dng trong rt nhiu lnh vc,
c bit là trong khoa hc t nhiên và k thut.
t trong nhng ng dng ca GA là bài toán ti u hoá. Khi áp dng các
thut gii di truyn cn vào bài toán ti u hoá toàn cc, ta thng gp hn ch
là tc  hi t và  chính xác ca li gii ti u không cao. Vic ci tin các
thut gii di truyn  tng tc  hi t và  chính xác ca li gii, c bit khi
 chiu không gian tìm kim ln, là rt có ý ngha thc t.
 khc phc hn ch trên, trc ht, chúng tôi i tin phng pháp lai
o ng theo xác sut và ng quát hóa phng pháp hiu chnh tuyn tính ca D.
E. Goldberg trong GA nhm nghiên cu t s tính cht hi t ca phân phi xác
sut chn cá th  bin hóa (lai hoc t bin) hoc tái to qun th mi. Trên c
ó, chúng tôi áp dng chin lc ng vào GA, ngha là vic bin hoá và chn
cá th s thc hin theo các cách khác nhau tùy thuc vào tui ca th h tin hoá
i các xác sut thích hp, tùy vào mc tiêu khoanh vùng cc tr toàn cc hay tng
c  hi tn li gii ti u toàn cc ó. Cui cùng,  tng hn na tc  hi
 và  chính xác ca li gii ti u, chúng tôi áp dng phng pháp leo i trên
nhng lân cn bé dn ca li gii ti u ca bc trc.
Các kt qu thc nghim trên mt lp các bài toán ti u toàn cc, vi c
trng có rt nhiu cc tra phng, cho thy thut gii di truyn ng (Dynamic

Genetic Algorithms - DGA) ci tin có tc  hi t và  chính xác ca li gii
cao hn hn thut gii di truyn cn.
Ngoài ra, chúng tôi còn so sánh vic áp dng GA và DGA vào bài toán hc
lut qua mng nron nhân to (Artificial Neural Network - ANN), sau khi i tin
thut toán hc các tham s trong mng n ron. Trên bài toán mi, chúng tôi cng
thu c các kt qu tng t nh trên.
Phng pháp dò tìm ngu nhiên th hai chúng tôi  cp trong  tài này là
nung luyn mô phng - SA. ây là các thut toán ti u toàn cc ngu nhiên c
xây dng t vic bin th ca các thut toán mô phng kiu Metropolis da vào
các tham su khin bin thiên theo chu trình tin hóa ca thut toán. Thut
toán c gii thiu mt cách c lp bi S. Kirkpatrich, C. D. Gellatt, M. P.
Vecchi (1983) và Cerny (1985). Tên gi “simulated annealing” xut phát t s
2
ng t vi quá trình nung luyn ca c th trong mt b nhit ca vt lý cht
n. Các tên gi khác cho thut toán, chng hn là: nung luyn Monte Carlo
(Monte Carlo annealing- Jepsen và Gelatt, 1983), thut toán xác sut leo i
(Probabilistic hill climbing- Romeo và Sangiovanni- Vincentelli, 1985), làm ngui
thng kê (Statistical cooling- Aarts và Van Laarhoven, 1985; Storer, Becker và
Nicas, 1985)...
 nhng nm u ca thp niên 80 ca th k 20 cho n nay, thut toán
SA ã và ang thu hút s quan tâm ca nhiu ngi nghiên cu c v lý thuyt và
ng dng. S phát trin v lý thuyt ca thut toán gn vi các công trình ca các
tác gi nh: B. Gidas (1985), S. Anily và A. Federgruen (1985, 1986), D. Mitra, F.
Romeo và A. Sangiovanni- Vincentelli (1986), B. Hajek (1988), C. R. Hwang và
S. J. Sheu (1987, 1992), R. Holley, S. Kusuoka và D. Stroock (1989), O. Catoni
(1992, 1998), D. Marquez (1997), P.D. Moral và L. Miclo (1999)... . Bên cnh ó
SA cng ã c áp dng  gii nhiu bài toán ti u t hp c ln thuc lp NP
- khó, các bài toán thc trong công ngh và kinh t - xã hi.
Trong các áp dng ca SA vào các bài toán thc tin, có nhng áp dng th
hin tính hiu qu ca phng pháp SA nhng cng có không ít các áp dng SA

không em li hiu qu mt cách áng k. Tình hung u thng xy ra i vi
các th hin bài toán mà u kin áp dng kh thi là phù hp vi các u kin lý
thuyt cho s hi t. Tình hung sau phn ln là do c thù riêng ca các bài toán
không hi  các u kin  vn dng c các kt qu hi tã bit. Vic áp
ng thut toán thun túy là da vào các phán oán rút ra t s phân tích d liu
thc nghim mà cha  bo m lý thuyt cho s hi t ca thut toán. Qua ó
cho thy nhiu vn  v s hi t ca SA cn phi c tip tc nghiên cu.
Góp phn vào các vn  quan tâm  trên i vi SA, trong phm vi  tài
này, chúng tôi tp trung nghiên cu  hi t ca thut toán nung luyn mô phng
trong trng hp ri rc. C th, chúng tôi trình bày mt s kt qu liên quan n
 hi t ca thut toán SA thun nht vi các hàm xác sut sinh và chp nhn có
ng tng quát. Nghiên cu nh hng ca tham sóng vai trò nhit  trong
quy trình nung luyn và tác ng ca vic gim nhanh nhit  vào s hi t ca
thut toán SA. Mt s khía cnh v tc  hi tn trng thái cân bng, xem xét
dáng u tim cn n phân b cân bng và vic xp x tùy ý gn phân b cân
ng i vi các xích nung luyn thun nht. M rng kt qu ca D. Mitra, F.
Romeo và A. Sangiovanni-Vincentelli v tính ergodic yu ca thut toán nung
luyn không thun nht  nhn c các kt qu v s hi t ca thut toán
không thun nht. Nhm th nghim, chúng tôi ã áp dng thut toán SA vào mt
p bài toán ti u t hp n hình là lp “bài toán lp lch thc hin công vic-
JSS”.
i dung chính ca  tài:
Phn I trình bày mt s kt qu lý thuyt và ng dng ca thut gii di
truyn ci tin theo xác sut ng ph thuc vào th h tin hoá (DGA) và mng
ron (ANN).
3
Phn II trình bày mt s kt qu lý thuyt v phng pháp nung luyn mô
phng (SA) và ng dng ca SA vào bài toán lp lch dòng công vic.
Nhng thiu sót v mt hình thc ln ni dung trong tp báo cáo tng kt
 tài này s khó tránh khi. Nhóm tác gi rt mong c s góp ý ca ngi c

và trân trng cm n.
Chúng tôi cm n trng i hc à Lt, Khoa Toán - Tin ã to nhiu
u kin thun li  chúng tôi tin hành và hoàn thành  tài này.
à Lt, tháng 3 nm 2007
Nhóm tác gi
4
PHN I
t s kt qu v thut gii di truyn và mng nron
5
ng dng chin lc ng trong thut gii di truyn
gii mt lp bài toán ti u toàn cc
Trng Chí Tín, Trn Ngc Anh
Khoa Toán  Tin, i hc à Lt
E-mail:
Tóm tt: Khi áp dng các thut gii di truyn (GA) cn cho bài
toán ti u toàn cc, quá trình tìm kim li gii ti u thng gp hn
ch là tc  hi t chm và  chính xác ca li gii không cao. 
khc phc hn chó, chúng tôi  ngh áp dng chin lc ng theo
xác sut vào phép lai ci tin và phng pháp hiu chnh tuyn tính
a D.E.. Goldberg c tng quát hóa. Kt qu thc nghim, khi gii
t lp bài toán ti u toàn cc vi c trng có rt nhiu cc tra
phng, cho thy phng pháp mi có u m ni bt là tc  hi
 nhanh và  chính xác ca li gii ti u rt cao.
 khóa: i u toàn cc, GA, hiu chnh tuyn tính, lai.
1. MU
Trong bài này chúng tôi áp dng chin lc ng vào toán t lai và vào phân
phi xác sut chn tp con  bin hóa và tái to qun th mi trong thut gii di
truyn nhm gii bài toán ti u toàn cc sau ây:
Bài toán: Cho hàm s n bin thc f : D → R, vi
∏

=
=
n
i
ii
baD
1
],[ ⊆ R
n
.
Tìm x
opt
∈D: f(x
opt
) = min{f(x), x ∈ D}.
Khi áp dng các phép bin hoá (lai, t bin) và phân phi xác sut chn tp
con  bin hóa và tái to qun th mi cn trc ây thng gp hn ch là
c  hi tn li gii ti u chm và cho  chính xác ca li gii không cao.
 khc phc hn chó, chúng tôi áp dng chin lc ng vào phép lai to và
phng pháp hiu chnh tuyn tính ca D. E. Goldberg ([GOL]) c tng quát
hoá cho phân phi xác sut chn tp con  bin hóa và tái to qun th mi, nhm
c tiêu khoanh vùng cc tr toàn cc  giai n u tin hoá và tng tc  hi
n li gii ti u  giai n cui theo tui ca th h tin hoá.
2. CHIN LC NG TRONG THUT GII DI TRUYN
2.1. Toán t lai to ng
6
i t, T ln lt là th h hin ti và th h cui cùng ca quá trình tin hoá;
F
0
: D → [0; 1] là hàm thích nghi chun hóa ca cá th. Cho 2 cá th tin bi p

1
, p
2
∈ D, không gim tng quát, ta có th g s p
1
là cá th tri (p
1
có  thích nghi F
0
cao hn p
2
: F
0
(p
1
) ≥ F
0
(p
2
)).
Trong phép lai cn theo kiu s hc thì:
ch
1
= p
1
+ *δ’, (2.0)
ch
2
= p
1

+ (1-)*δ’,
trong ó: δ’ = (p
2
– p
1
),  = random(0;1) là mt s ngu nhiên thuc khong (0; 1).
Chúng tôi  ngh toán t lai ng theo xác sut s to ra 2 cá th con ch
1
,
ch
2
nh sau:
ch
1
= p
1
+ θ(t)*δ(t) (2.1)
ch
2
= p
2
- θ(t)*δ(t)
i:



−
=
)(p,),'min().(
)(p-1,'

)(
021
tppsign
t
t
suaátxaùcvôùi
suaátxaùcvôùi
δδ
δ
δ
(2.2)
trong ó: δ’ = (p
2
– p
1
),



≤−
>−
=
121
121
0
if,
if,
pppb
ppap
δ

a = (a
1
, …, a
n
), b = (b
1
, …, b
n
), δ’ = (δ’
1
, …, δ’
n
),
p(t) = End_pLai_Dong + θ(t)*(Beg_pLai_Dong - End_pLai_Dong),
θ(t) = g(t, r), (2.3)
Beg_pLai_Dong và End_pLai_Dong thuc [0; 1], p(t) là xác sut ng lai ngoài
n tin bi, r = random(0; 1) là mt s ngu nhiên thuc khong (0; 1); các
phép toán “+”, “-”, min và quan h hai ngôi “>” trên các vectc thc hin theo
các phép toán và quan h tng ng trên tng ta . Hàm g: [0; T]x[0; 1] →[0;1],
ph thuc tui tin hoá t, c chn sao cho: g(t, .) ↓ 0 khi t → T, chng hn ta
thng chn: g(t, r) = r*(1 – t/T)
γ
hoc
γ
t/T)-(1
r-1r)g(t, = nh trong [2], vi γ là hng
 dng nào ó. Khi ó: ch
1
, ch
2

ln lt s gn cá th tri hoc ln tng ng
khi t → T (giai n cui ca quá trình tin hóa).
2.2. Phng pháp hiu chnh tuyn tính ng
Gi s qun th ban u gm N cá th. F
0
=
{ }
N
i
i
F
1
,0
=
là  thích nghi chun
hoá ca các cá th th i (i = 1..n): 1
1
.0
=
∑
=
N
i
i
F , do ó
{ }
N
i
i
F

1
,0
=
là mt phân phi xác
sut (PPXS).
i P là  thích nghi chun hoá mi (hoc PPXS mi) bng cách hiu chnh
tuyn tính (HCTT)  thích nghi chun hoá F
0
:
P = a*F
0
+ b, (2.4)
sao cho: E(P) = E(F
0
): (E là toán t trung bình) (2.5)
7
P
Max
= C*E(F
0
), (2.6)
i C ∈ (1; C
0
], C
0
là mt hng s ln hn 1 (trong phng pháp HCTT truyn
thng, D.E. Goldberg ln chn C
0
ng 2), a và b là các hng s. Trong phn này,
chúng tơi s kho sát tính cht co, giãn ca PPXS mi P so vi PPXS c F

0
ph
thuc vào tham s C
0
tng qt.
Gi s dãy
{ }
N
i
i
F
1
,0
=
không đồng nhất là hằng, gi:
.,
1
,1,
)1(
,
11
},..1,min{},..1,{
min2
0
0
,1
min
min
0
min0

1
.0,0min,0
0
0
F
C
FCF
FF
FF
F
F
A
C
FCF
TB
N
F
N
FNiFFNiFMaxF
Max
C
MaxMaxMax
C
N
i
iiiMax
−=
−
−
=

−
−
=∆≤=<
−+
=
======
∑
=
ββ
(2.7)
Chn





≥
<
=
)B(if,
)(if,
0
00
2
,1
caseTBF
AcaseTBF
C
CC
β

β
β . (2.8)
 dàng chng minh hai khng nh sau:
nh  1: Gi s dãy
{ }
N
i
i
F
1
,0
=
không đồng nhất là hằng. (2.9)
Nu chn:
)( β+
=
F
F
a
, b = aβ, (2.10)
thì PPXS mi P xác nh theo (2.4) s tha các u kin (2.5) và (2.6).
n t ra là nu áp dng liên tip phép HCTT (2.4) qua các th h tin
hóa, thì vi các u kin xác nh nào, dãy các PPXS mi s hi tn PPXS gii
n ?
t:



=≥∀+==
≡≡

−−
NimbYaYFY
FXY
m
i
m
i
m
i
iii
..1,1,.)(
)1()1()(
,0
)0(
(2.11)
 nay v sau, ta ln gi s các gi thit (2.9) và (2.10) ca mnh  1 c
tha mãn.
nh  2 di ây ch ra mi liên quan gia vic chn các h s a, β vi
tính cht co hoc giãn ca PPXS mi.
nh  2: Vi mi m > 0,
a) Nu a > 1 ⇔ β < 0
8












∆≥
∆<
<
>
⇔
−
−
−
−
caseBC
caseAC
C
X
Y
Y
m
m
m
m
:
:
:
0
)1(
0
)1(
0

0
)1(
max
)1(
min
⇔
)1(
max
)(
max
−
>
mm
YY ⇔
)1(
min
)(
min
−
<
mm
YY
thì: ∀ i = 1..N
)()1()1( m
i
m
i
m
i
YYXXY <<⇔>

−−
)()1()1( m
i
m
i
m
i
YYXXY >>⇔<
−−
Khi ó, cách chn này s làm tng (giãn) hoc gim kh nng chn hn na
cho các cá th có  thích nghi cao hoc thp tng ng.
b) Nu 0 < a < 1
caseA
X
Y
C
m
m
:)(10
)1(
)1(
max
0
−
−
∆≤<<⇔>⇔β
⇔
)1(
max
)(

max
−
<
mm
YY ⇔
)1(
min
)(
min
−
>
mm
YY
thì: ∀ i = 1..N
)()1()1( m
i
m
i
m
i
YYXY >⇔>
−−
)()1()1( m
i
m
i
m
i
YYXY <⇔<
−−

Khi ó, cách chn này s làm gim (co) hoc tng kh nng chn hn na
cho các cá th có  thích nghi cao hoc thp tng ng.
c) a = 1 ⇔ β = 0















∆<=
>





∆=≥
=
⇔
−
−

−
−
−
−
caseA
X
Y
C
Y
caseB
X
Y
C
Y
m
m
m
m
m
m
:)(
0
:
0
)1(
)1(
max
0
)1(
min

)1(
)1(
max
0
)1(
min
Khi ó, F là ánh xng nht (các PPXS mi và c trùng nhau, cn chn C
0
 tránh trng hp này xy ra).
Hai mnh  sau cho thy mt s tính cht ca PPXS mi tùy theo cách chn
C
0
: nu chn C
0
luôn theo mt s qui lut xác nh nào ó thì dãy PPXS mi P s
i t v các PPXS xác nh.
9
nh  3:
Gi s 0
min
)0(
min
>= XY và luôn chn 1,
)(
0
≥∀kC
k
tha mt trong hai trng hp sau:
1)
),1(

)1(
)(
0
X
Y
C
k
Max
k
−
∈ : )1(1
)1(
)(
0
−+=
−
X
Y
C
k
Max
k
θ , vi )1;0(
∈θ nh. Khi ó:
a.
X
k
C
θ
θ

ββ
−
==
1
)(
0
1
, a = )1;0(
∈θ
b. ∞→↓−+==−+=
−
kXXXXYY
k
Max
kk
Max
k
Max
,)1(...)1(
)1()(
θθθθ (2.12)
∞→↑−+==−+=
−
kXXXXYY
kkkk
,)1(...)1(
min
)1(
min
)(

min
θθθθ (2.13)
c.
NikXY
k
i
..1,,
)(
=∀∞→→ . C th hn,
Ni ..1=∀
Nu XX
i
≤ thì 1,
)(
≥∀≤ kXY
k
i
và ∞→↑ kXY
k
i
,
)(
Nu XX
i
≥ thì 1,
)(
≥∀≥ kXY
k
i
và ∞→↓ kXY

k
i
,
)(
d. ∞→→∆=−≡∆ kaYY
ijkk
j
k
i
ij
k
,0
0
)()(
, Nji ..1, =∀ . Không gim tng quát,
ta có th gi s rng
N
ii
X
1
}{
=
là dãy tng, khi ó
N
i
k
i
Yk
1
)(

}{,1
=
≥∀ cng là dãy
ng và
∞→→−=∆=−
+
−
=
∑
kXXaYY
N
kii
k
N
i
kk
N
,0)(
1
,1
1
1
)(
1
)(
e. ,1
)(
0
→
k

C
∞→k
2. ),(
)1(
)1(
)(
0
−
−
∆∈
k
k
Max
k
X
Y
C :
)1(
min
)1(
min
)1(
)1(
−
−−
−
−
−
=∆
k

kk
Max
k
YX
YY
)(
)(
)(
)1(
min
)1()1(
min
)1()1(
)1(
)1(
)(
0
−
−−−−
−
−
−
−
+=−∆+=
k
k
Max
kk
Max
k

Max
k
k
Max
k
YXX
XYY
X
Y
X
Y
X
Y
C λλ
, vi )1;0(
∈λ 
nh.
Khi ó:
a.
)1(
min
)1(
min
1
)(
)1(
)(
0
−
−

−−
−
==
k
k
C
k
YX
YX
k
λ
λ
ββ
,
);1(1
)1(
min
)1(
min
)1(
min
)(
−−
−
−
∈
−
+=
kk
k

k
YX
X
YX
Y
a λ
b. t )1;0(1
∈−=λθ , khi ó: ∀i =1..N
∞→=↓==
∞−
kYXYY
kkk
,0
)(
minmin
)1(
min
)(
min
θθ (2.14)
∞→−
−
≡→
∞
kXX
XX
X
YY
ii
k

i
),(
min
min
)()(
(2.15)
10
c bit:
∞→∆=−
−
≡↑
∞
kXXX
XX
X
YY
MaxMax
k
Max
,)(
)0(
min
min
)()(
, (2.16)
c.
Ni ..1=∀
:
)(k
i

Y hi t khi
∞→k
; c th hn:
Nu
XX
i
≥ thì
)(k
i
Y i tn u tng (v mt tr ≥ X ) khi
∞→k
.
Nu
XX
i
≤ thì
)(k
i
Y i tn u gim (v mt tr≤ X ) khi
∞→k
.
d.
X
Y
C
Max
k
)(
)(
0

∞
→ , 1
)(
↓
k
a , 0
)(
→
k
β ,
∞→k
Chng minh:
1) . Các kt lun 1.a và 1.b là d dàng chng minh.
. Kt lun 1.c c suy ra t tính cht ca gii hn kp và phng pháp chng
minh phn chng.
. Kt lun 1.d là d dàng chng minh.
. Kt lun 1.e c suy ra tnh ngha ca
)(
0
k
C và kt lun 1.b.
2) . Kt lun 2.a là d dàng chng minh.
.  chng minh kt lun 2.b, trc tiên ta nhn xét rng vi:
)1(
min
)1(
min
)(
)(
)(

−
−
−
−
=
+
=
k
k
k
k
k
YX
Y
X
λ
β
β
η thì:
∞→↓====
<=−=−+=∆+=
−
−−−−−−−
kXYYY
YYYYXYYY
kkkk
kkkkkkkkk
,0....
)1()(
min

)0(
min
)1(
min
)(
min
)1(
min
)1(
min
)1(
min
)1(
min
)()1(
min
)1(
min
)1(
min
)(
min
θθθ
θλη
ng t: ∀ i
0
= 1..N:
k
k
ik

k
i
kk
i
k
i
k
i
k
i
BYA
YXYYY
+=
−+=∆+=
+++
)(
0
)(
0
)1()(
0
)1(
0
)(
0
)1(
0
)(η
i:
min

min
)(
min
)(
min
min
min
1
)(
min
)(
min
,
XX
XX
YX
YX
B
XX
XX
YX
YX
A
k
k
k
k
k
k
k

k
k
k
θ
θ
λ
λ
θ
θθ
−
−=
−
−=
−
−
=
−
−
=
+
 dàng suy ra:







−
−







−
−
−=
++=
+
−
=
+==
+
∑
∏∏
min
minmin
min
0
min
1
1
0
1
0
0
)1(
0

~
)(
)()(
XX
XXCXX
XX
X
XX
BBAXAY
k
k
k
i
k
k
j
kj
k
ji
ii
k
i
i
k
i
θ
θ
λλθ
θ
i:

11
∞→→>
−
==
∑
∏
−
=
+
=
jkhiv
XX
vvC
j
k
j
j
ji
i
j
jj
k
,0,0
)(
,
~
1
0
1
min

θ
θ
θ
Do:
∞→<→
+
jkhi
v
v
j
j
,1
1
θ
nên chui sau hi t : ∞<=
∑
∞
=0
0
j
j
vC và do ó:
∞→−
−
=→
∞
kCXX
XX
X
XYY

i
i
k
i
),(
min
min
0
)(
0
)(
0 θ
λ
u chn i
0
c bit: x
i0
= x
min
thì:
)(
1
0
min
)(
0
XXX
CY
i
−

=⇒=
∞
λ
θ
=> (2.15) và (2.16)
(Cng có th suy ra kt qu trên tu kin:
∑
=
∞
=
N
i
i
Y
1
)(
1)
. Kt lun 2.c c suy ra t tính cht hi tn u, b chn.
. Kt lun 2.d c suy ra t các kt lun 2.a và 2.b.
nh  4: Gi s 0
min
0
min
>= XY và luôn chn 0,,
)12(
0
)2(
0
≥∀
+

kCC
kk
luân phiên nh
sau:
+ 0
)2(
min
>
k
Y , chn:
)2()2(
0
kk
C ∆= ,
)1(
)2(
)2(
min
)2(
min
)2(
)2(
>>
−
−
=∆
X
Y
YX
YY

k
Max
k
kk
Max
k
)1,0(
2
)2(
min2
)2(
><−==
k
kk
aYββ
Khi ó:





≥∀
>∆=∆=
<=
+
+
)182.(
)172.(
0,
)(

)(0
)2()0()2()12(
)2(
min
)12(
min
k
YXXY
YY
k
Max
kk
Max
kk
Ngha là: các dãy ch s lng vi
)(
min
)(
,
kk
Max
YY là các dãy hng.
+ Tip tc, chn:
)1;0(),1(1:
12
)12(
12
)12(
0
)12(

)12()12(
0
∈−+==∆<
+
+
+
+
+
++
k
k
Max
k
k
k
Max
kk
X
Y
C
X
Y
C θθ
1
)12(
0
)12(
0
)12(
1

)12(
)12(
0
−
−
==
+
++
+
+
k
kk
Max
C
k
C
XCY
k
ββ
. Khi ó: 10
1212
<=<
++ kk
a θ
Khi ó: