Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Mở đầu 5
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 19
2.1 Độ đo trên không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tính chất của hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Định lý kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Tiêu chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Nguyên lý ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Mối quan hệ giữa các loại hội tụ . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân . . . . . 44
1
2.3.6 Qua giới hạn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.7 Độ đo tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1 Tính compact tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng 62
3.1 Hội tụ yếu và tính chặt trong C . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Tính chặt và tính compact trên C . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Độ đo Wiener và định lý Donsker . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1 Độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2 Cấu trúc của độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3 Định lý Donsker và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . 80
3.3.2 Luật Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.3 Cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Bất đẳng thức cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Cực đại của các tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát hơn . . . . . . . . . . . . . . 94
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đo
xác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó. Hội tụ yếu
(hay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu-hội tụ, đây là tên thích hợp hơn theo
quan điểm giải tích hàm nhưng ít được sử dụng) là một trong các loại hội tụ
liên quan đến sự hội tụ của các độ đo.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương một là mở đầu. Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ cho
các chương sau của luận văn. Bên cạnh đó, chương một sẽ nhắc lại về sự hội
tụ yếu trên đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]).
Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric.
Trong chương hai chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết chung về khái niệm hội tụ
yếu trong không gian metric và xem xét nó khi ta hạn chế trong nhiều trường
hợp khác nhau. Mở đầu bằng các khái niệm cơ bản về hội tụ yếu và các tính
chất của nó. Từ đó ứng dụng vào trong việc xét sự hội tụ theo phân phối và
xác suất của các độ đo. Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một

họ các độ đo xác suất.
Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng.
Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] với
tôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1].
Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thật
thú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo
(độ đo Wiener, chuyển động Brown).
3
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng
Hùng Thắng. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -
Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội đã
giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học
một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện
thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.
Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá
ấy.
Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các
bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Hoàng Trung Hiếu
4
Chương 1
Mở đầu
Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của không gian metric sẽ
được sử dụng trong luận văn. Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đo
xác suất trên đường thẳng.
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau.

Định lý 1.1.1 (M−test Weierstrass). Giả sử rằng lim
n
x
nk
= x
k
với mỗi k
và |x
nk
| ≤ M
k
, trong đó

k
M
k
< ∞. Khi đó

k
x
k
và tất cả các

k
x
nk
hội tụ và lim
n

k

x
nk
=

k
x
k
.
Chứng minh. Do

k
M
k
< ∞ nên chuỗi

k
x
nk
hội tụ tuyệt đối.
Ta có
|

k
x
nk
−

k
x
k

| ≤ |

k≤k
0
|x
nk
− x
k
| + 2

k>k
0
M
k
.
Với  cho trước, chọn k
0
sao cho

k>k
0
M
k
< /3 và n
0
sao cho n > n
0
thì
|x
nk

−x
k
| < /3k
0
với k ≤ k
0
. Khi đó với n > n
0
thì |

k
x
nk
−

k
x
k
| < .
5
Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); không
gian metric chính là cặp (S, ρ). Với các tập con A của S, ký hiệu A
−
, A
o
và
∂A = A
−
−A
o

lần lượt là bao đóng, phần trong và biên của A. Khoảng cách
từ x tới A là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy
ra ρ(·, A) liên tục đều. Ký hiệu B(x, r) là r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r};
hình cầu sẽ có nghĩa là hình cầu mở và các hình cầu đóng ký hiệu là B(x, r)
−
.
-lân cận của một tập A là tập mở A

= {x : ρ(x, A) < }.
So sánh các metric. Giả sử ρ và ρ

là hai metric trên cùng không gian
S. Để nói rằng tô pô ρ

là lớn hơn tô pô ρ là để nói các lớp tương ứng O và
O

của các tập mở trong mối quan hệ
O ⊂ O

. (1.1)
Điều này đúng nếu và chỉ nếu với mọi x và r, có một r

sao cho B

(x, r

) ⊂
B(x, r) và trong trường hợp này tô pô ρ


cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ.
Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ

) vào (S, ρ). Khi đó
i là liên tục nếu và chỉ nếu G ∈ O kéo theo G = i
−1
G ∈ O

−nghĩa là nếu và
chỉ nếu (1.1) đúng. Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu
ρ

(x
n
, x) → 0 kéo theo ρ(x
n
, x) → 0.
Đây là cách khác để nói rằng tô pô ρ

là "tốt hơn" tô pô ρ. Metric ρ là rời
rạc nếu ρ(x, y) = 1 với x = y; điều này đưa tới S tô pô tốt nhất có thể.
Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốt
hơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ

) là đồng phôi. Nếu ρ

là tốt hơn ρ thì cả hai có thể
tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" không có nghĩa là "tốt hơn nghiêm
ngặt".
Tính khả ly. Không gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật,

đếm được. Một cơ sở cho S là một lớp các tập mở với tính chất: mỗi tập mở
là hợp của các tập trong lớp đó. Một phủ mở của A là một lớp các tập mở
mà hợp của chúng chứa A.
6
Định lý 1.1.2. Ba điều kiện sau là tương đương:
(i) S là khả ly.
(ii) S có một cơ sở đếm được.
(iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được.
Chứng minh. 1.(i) → (ii). Lấy D đếm được, trù mật và lấy V là lớp các hình
cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Lấy G mở, để chứng minh V là một cơ sở,
chúng ta phải chỉ ra rằng nếu G
1
là hợp của các phần tử của V mà bị chứa
trong G thì G = G
1
. Thật vậy, ta đã có G
1
⊂ G và để chứng minh G ⊂ G
1
ta lấy x ∈ D, d ∈ D và số hữu tỷ r sao cho x ∈ B(d, r) ⊂ G. (Nếu x ∈ G thì
B(x, ) ⊂ G với  nào đó.) Do D là trù mật nên có d ∈ D sao cho ρ(x, d) < /2.
Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ).
2.(ii) → (iii). Lấy {V
1
, V
2
, . . .} là một cơ sở đếm được và giả sử rằng {G
α
}
là một phủ mở của A (α chạy trên một tập chỉ số tùy ý). Với mỗi V

k
mà tồn
tại một G
α
thỏa mãn V
k
⊂ G
α
, lấy G
α
k
là tập nào đó trong G
α
chứa nó.
Khi đó, A ⊂

k
G
α
k
.
3.(iii) → (i). Với mỗi n, {B(x, n
−1
) : x ∈ S} là một phủ mở của S.
Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(x
nk
, n
−1
) : k = 1, 2, . . .}. Tập đếm
được {x

nk
: n = 1, 2, . . .} là trù mật trong S.
Một tập con M của S là khả ly nếu có một tập đếm được D là trù mật
trong M (M ⊂ D
−
). Mặc dù D không nhất thiết là tập con của M, điều này
có thể dễ dàng được sắp xếp: Giả sử rằng {d
k
} trù mật trong M và lấy x
kn
là
điểm chung của B(d
k
, n
−1
) và M (nếu có). Lấy x trong M và  dương, chọn
n và d
k
để ρ(x, d
k
) < n
−1
< /2. Do B(d
k
, n
−1
) chứa điểm x của M, nó chứa
x
kn
và ρ(x, x

kn
) < . Do đó, x
kn
tạo thành một tập con trù, mật đếm được
của M.
Định lý 1.1.3. Giả sử tập con M của S là khả ly.
7
(i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G ∩ M
và G mở thì x ∈ A ⊂ A
−
⊂ G với A nào đó trong A.
(ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindel¨of ).
Chứng minh. 1.(i). Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy A
bao gồm các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Nếu x ∈ G ∩ M và G
mở, chọn  để B(x, ) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < /2 và
cuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2. Suy ra rằng x ∈ B(d, r) ⊂
B(d, r)
−
⊂ B(x, ) ⊂ G.
2.(ii). Lấy A = {A
1
, A
2
, . . .} là lớp của phần (i). Cho một phủ mở {G
α
}
của M, với mỗi A
k
chọn một G
α

k
chứa nó (nếu có). Thì M ⊂

k
G
α
k
.
Tính khả ly là một tính chất tô pô: Nếu ρ và ρ

là hai metric tương đương
thì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ

-khả ly.
Tính đầy đủ. Một dãy {x
n
} là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu
sup
i,j≥n
ρ(x
i
, x
j
) →
n
0.
Một tập M là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong M có giới hạn nằm trong nó.
Tập đầy đủ hiển nhiên là đóng. Một dãy cơ bản là hội tụ nếu nó chứa một
dãy con hội tụ. (Điều này cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra
tính đầy đủ của một dãy.)

Tính đầy đủ không là một tính chất tô pô: S = [1, ∞) là đầy đủ theo
metric thông thường (ρ

(x, y) = |x − y|) nhưng không đầy đủ theo metric
tương đương ρ(x, y) = |x
−1
− y
−1
|. Một không gian metric (S, ρ) là không
gian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo
đó là đầy đủ.
Cho một metric ρ trên S, xác định
b(x, y) = 1 ∧ρ(x, y). (1.2)
8
Do φ(t) = 1 ∧t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ 0
nên b là một metric (tương đương với ρ). Hơn nữa, do φ(t) ≤ t với t ≥ 0 và
φ(t) = t với 0 ≤ t ≤ 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản;
điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ.
Tính compact. Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mở
của A có một phủ con hữu hạn. Một -lưới cho A là một tập của các điểm
{x
k
} với tính chất là với mỗi x trong A có một x
k
sao cho ρ(x, x
k
) < ; A là
hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi  dương, nó có một -lưới (các điểm của nó có
thể không nằm trong A).
Định lý 1.1.4. Ba điều kiện sau là tương đương:

(i) A
−
là compact.
(ii) Mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ (giới hạn nằm trong A
−
).
(iii) A là hoàn toàn bị chặn và A
−
là đầy đủ.
Chứng minh. Hiển nhiên (ii) đúng nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong A
−
có một
dãy con hội tụ tới một điểm trong A
−
và A là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ
nếu A
−
cũng là hoàn toàn bị chặn. Do đó, chúng ta có thể thừa nhận chứng
minh A = A
−
là đóng.
Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii):
(i
1
) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn.
(i
2
) Nếu A ⊂

n

G
n
, ở đó G
n
mở và G
1
⊂ G
2
⊂ ··· thì A ⊂ G
n
với n nào
đó.
(i
3
) Nếu A ⊃ F
1
⊃ F
2
⊃ ···, ở đó F
n
là đóng và khác trống thì

n
F
n
là
khác trống.
Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i
1
), (i

2
), (i
3
), (ii), (iii) là tương đương.
(i
1
) ↔ (i
2
). Hiển nhiên, (i
1
) kéo theo (i
2
).
9
Ngược lại, nếu {G
n
} phủ A, chỉ cần thay thế đơn giản G
n
bởi

k≤n
G
k
.
(i
2
) ↔ (i
3
). Đầu tiên,(i
2

) nói rằng A ∩ D
n
↑ A kéo theo A ∩ G
n
= A với
n nào đó. Và (i
3
) nói rằng A ∩ F
n
↓ ∅ kéo theo A ∩ F
n
= ∅ với n nào đó (ở
đây F
n
không nhất thiết chứa trong A). Nếu F
n
= G
c
n
thì hai phát biểu là
như nhau.
(i
3
) ↔ (ii). Giả sử (i
3
) đúng. Nếu {x
n
} là một dãy trong A, lấy B
n
=

{x
n
, x
n+1
, . . .} và F
n
= B
−
n
. Mỗi F
n
là không trống, do đó nếu (i
3
) đúng thì

n
F
n
chứa x nào đó. Do x là nằm trong bao đóng của B
n
nên có i
n
sao cho
i
n
≥ n và ρ(x, x
i
n
) < n
−1

; chọn i
n
quy nạp sao cho i
1
< i
2
< ··· Khi đó,
lim
n
ρ(x, x
i
n
) = 0: (ii) đúng.
Mặt khác, nếu F
n
là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy
x
n
∈ F
n
và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x ∈

n
F
n
: (i
3
) đúng.
(ii) → (iii). Nếu A không hoàn toàn bị chặn thì tồn tại  và dãy {x
n

}
vô hạn trong A sao cho ρ(x
m
, x
n
) ≥  với m = n. Nhưng khi đó {x
n
} không
chứa dãy con hội tụ và vì thế (ii) kéo theo A hoàn toàn bị chặn. Và A
−
đầy
đủ bởi vì nếu {x
n
} là cơ bản và có một dãy con hội tụ tới x thì toàn bộ dãy
hội tụ tới x.
(iii) → (ii). Sử dụng phương pháp đường chéo. Nếu A hoàn toàn bị chặn
thì với mỗi n có phủ bởi những hình cầu mở hữu hạn B
n1
, . . . , B
nk
n
bán
kính n
−1
. Cho một dãy {x
m
} trong A, đầu tiên chọn một dãy tăng của
các số nguyên m
11
, m

12
, . . . theo cách mà tất cả x
m
11
, x
m
12
, . . . nằm trong
cùng B
1k
(điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu). Sau đó chọn một dãy
m
21
, m
22
, . . ., một dãy của m
11
, m
12
, . . . theo cách mà tất cả x
m
21
, x
m
22
, . . .
nằm trong cùng B
2k
. Tiếp tục như thế nếu r
i

= m
ii
thì tất cả x
r
n
, x
r
n+1
, . . .
nằm trong cùng B
nk
. Nó kéo theo rằng x
r
1
, x
r
2
, . . . là cơ bản và do đó hội tụ
đầy đủ tới điểm nào đó của A.
Do vậy (i
1
) đến (iii) là tương đương. Do (i) kéo theo (i
1
) nên ta có thể
hoàn thành chứng minh bởi (i
1
) và (iii) cùng kéo theo (i).
10
Nhưng nếu A là hoàn toàn bị chặn thì nó rõ ràng là khả ly và nó suy ra bởi
tính chất Lindel¨of rằng một phủ mở bất kỳ của A có một phủ con đếm được.

Và do đó theo (i
1
), nó có một phủ con hữu hạn.
Tính compact là một tính chất tô pô (theo điều kiện (ii) của định lý).
Một tập A là bị chặn nếu đường kính sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} của nó hữu hạn.
Theo nghĩa này, bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn rõ ràng là bị chặn;
điều ngược lại là sai, như ví dụ các hình cầu đóng trong C (Ví dụ 2.1.3) là
không compact. Mặt khác, một tập trong k-không gian Euclid là hoàn toàn
bị chặn nếu và chỉ nếu nó là bị chặn.
Một tập A là compact tương đối nếu A
−
là compact. Điều này tương
đương với điều kiện mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ (giới hạn
của chúng có thể không nằm trong A).
Một kết quả hữu ích: Ảnh liên tục của một tập compact là compact. Giả
sử rằng f : S → S

là liên tục và A là tập compact trong S. Nếu {f(x
n
)} là
một dãy trong f(A), chọn {n
i
} sao cho {x
n
i
} hội tụ tới một điểm x của A.
Bằng tính liên tục, {f(x
n
i
)} hội tụ điểm tới f(x) của f(A).

Tích các không gian metric. Giả sử (S
i
, ρ
i
), i = 1, 2, . . . là các không
gian metric và xét tích Descartes S = S
1
× S
2
× ···. Khi đó rõ ràng
ρ(x, y) =
∞

i=1
2
−i
(1 ∧ ρ
i
(x
i
, y
i
)) (1.3)
là một metric.
Nếu mỗi S
i
là khả ly thì S là khả ly. Giả sử D
i
là tập trù mật đếm được
trong S

i
và xét tập đếm được D trong S chứa các điểm có dạng
x = (x
1
, . . . , x
k
, x
o
k+1
, x
o
k+2
, . . .), (1.4)
trong đó k ≥ 1, x
i
là một điểm biến đổi của D
i
với i ≤ k và x
o
i
là điểm cố
định của S
i
với i > k. Với  cho trước và y ∈ S, chọn k sao cho

i>k
2
−i
< ,
sau đó chọn các điểm x

i
của D
i
sao cho ρ
i
(y
i
, x
i
) < .
11
Khi đó, (1.4) thỏa mãn ρ(y, x) < 2.
Nếu mỗi S
i
đầy đủ thì S là đầy đủ. Thật vậy, giả sử rằng x
n
= (x
n
1
, x
n
2
, . . .)
là các điểm của S tạo thành một dãy cơ bản. Khi đó, mỗi dãy x
1
i
, x
2
i
, . . . là

dãy cơ bản trong S
i
và do đó ρ
i
(x
n
i
, x
i
) →
n
0 với các x
i
nào đó thuộc S
i
.
Theo M-test thì ρ(x
n
, x) → 0.
Nếu A
i
compact trong S
i
thì A
1
× A
2
× ··· compact trong S. Do với dãy
các điểm x
n

= (x
n
1
, x
n
2
, . . .) thuộc A cho trước, với mỗi i ta xét dãy x
1
i
, x
2
i
, . . .
trong A
i
. Vì A
i
compact thì tồn tại dãy các số nguyên n
1
, n
2
, . . . sao cho
x
n
k
i
→
k
x
i

với x
i
nào đó thuộc A
i
. Nhưng theo phương pháp đường chéo,
chuỗi {n
k
} có thể được chọn để x
n
k
i
→
k
x
i
với mỗi i tại cùng thời điểm. Và
khi đó x
n
k
→
k
(x
1
, x
2
, . . .).
Phạm trù Baire. Một tập A trù mật trong B nếu B ⊂ A
−
. Và A trù
mật khắp nơi nếu S = A

−
, điều này đúng nếu và chỉ nếu A trù mật trong
mọi hình cầu mở B. Và A được xác định để là không đâu trù mật nếu không
tồn tại hình cầu mở B mà nó trù mật trong đó. Ví dụ, tập Cantor là một tập
không đâu trù mật trong khoảng đơn vị nhưng một tập không đâu trù mật
có thể hoàn toàn tầm thường: Một đường thẳng là không đâu trù mật trong
mặt phẳng.
Nói A không đâu trù mật là để nói rằng với mỗi hình cầu mở B, A không
trù mật trong B, tức là B chứa x nào đó sao cho với  nào đó, hình cầu
B(x, ) ⊂ A
c
. Nhưng vì B mở nên B(x, ) ⊂ B với  đủ nhỏ:
B(x, ) ⊂ B ∩A
c
. (1.5)
Vì vậy, A là tập không đâu trù mật nếu và chỉ nếu mỗi hình cầu mở B đều
chứa một hình cầu mở B(x, ) thỏa mãn (1.5). Bằng cách lấy  đủ nhỏ, ta có
thể nâng (1.5) thành B(x, 
−
) ⊂ B ∩A
c
.
Định lý 1.1.5 (Trù mật Baire). Nếu S đầy đủ thì nó không thể được biểu
diễn như là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật.
12
Chứng minh. Giả sử rằng A
1
, A
2
. . . là các tập không đâu trù mật. Khi đó,

tồn tại x
1
∈ S sao cho B(x
1
, 
1
)
−
⊂ S ∩A
c
1
với 
1
nào đó. Và B(x
1
, 
1
) chứa
x
2
sao cho B(x
2
, 
2
)
−
⊂ B(x
1
, 
1

)∩A
c
2
với 
2
nào đó. Tiếp tục quá trình đó ta
có thể chọn 
n
sao cho 
n
< 2
−n
. Do ρ(x
n
, x
n+1
) < 2
−n
nên dãy {x
n
} là dãy
cơ bản và do đó nó hội tụ tới x nào đó. Với mỗi k, x nằm trong B(x
k
, 
k
)
−
nên nó nằm ngoài A
k
. Vậy S =


k
A
k
là không thể.
Nửa liên tục trên. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (nltt) tại x
0
nếu với mỗi , tồn tại δ sao cho ρ(x
0
, y) < δ thì f(y) < f(x
0
) + . Dễ thấy f
là nửa liên tục trên (nltt tại mọi điểm) nếu và chỉ nếu với mỗi số thực α thì
{x : f(x) < α} là tập mở.
Định lý 1.1.6 (Định lý Dini). Nếu f
n
(x) ↓ 0 với mỗi x và nếu mỗi f
n
là
nửa liên tục trên thì sự hội tụ này là đều trên mỗi tập compact.
Chứng minh. Với mỗi , các tập mở G
n
= {x : f
n
(x) < } phủ S.
Nếu K compact thì K ⊂ G
n
với n nào đó và do đó f
n
hội tụ đều đến 0.

Hàm Lipschitz. Một hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên một tập
con A của S có thể được mở rộng cho toàn bộ không gian.
Định lý 1.1.7. Giả sử hàm f trên S thỏa mãn: |f(x) − f(y)| ≤ Kρ(x, y)
với x, y ∈ A. Tồn tại một mở rộng g của f thỏa mãn điều kiện tương tự
|g(x) − g(y)| ≤ Kρ(x, y) với x và y thuộc S. Nếu f thỏa mãn |f| ≤ a trên A
thì có thể lấy g để thỏa mãn |g| ≤ a trên S.
Chứng minh. Cố định z thuộc A. Nếu y ∈ A thì với mọi x ∈ S
f(y) + Kρ(x, y) = f(z) + Kρ(x, y) + (f(y) −f(z))
≥ f(z) + Kρ(x, y) −Kρ(y, z) ≥ f(z) − Kρ(x, z).
Do đó, hàm g(x) = inf
y∈A
(f(y) + Kρ(x, y)) được định nghĩa tốt trên S.
Nếu x, y nằm trong A thì f(y) + Kρ(x, y) ≥ f(x), dấu bằng xảy ra tại
13
y = x : g(x) = f(x) với x ∈ A.
Cho x, x

là các điểm của S. Với  > 0 cho trước, chọn y ∈ A sao cho
g(x) ≥ f(y) + Kρ(x, y) − . Khi đó
g(x

) − g(x) ≤ f(y) + Kρ(x

, y) −[f(y) + Kρ(x, y) − ]
= K[ρ(x

, y) −ρ(x, y)] +  ≤ Kρ(x

, x) + ,
nên g(x


) −g(x) ≤ Kρ(x

, x). Đổi chỗ x

và x để có điều kiện Lipschitz cho g.
Nếu |f| ≤ a thì |g| ≤ a.
Tô pô và tính đo được. Một σ-trường Borel S đối với (S, ρ) là σ-trường
được sinh bởi các tập mở. Lấy (S

, ρ

) là không gian metric thứ hai với σ-
trường S

. Nếu h : S → S

liên tục thì nó là S/S

đo được (tức là A

∈ S

thì
A ∈ S).
Lấy (Ω, F) là một không gian đo được và h
n
, h là các ánh xạ từ Ω vào S.
Nếu mỗi h
n

là F/S đo được và nếu lim
n
h
n
x = hx với mỗi x thì h cũng là
F/S đo được. Thực tế, h
−1
F ⊂ lim inf
n
h
−1
n
F

⊂ h
−1
F
2
. Nếu F đóng thì
h
−1
F =


lim inf
n
h
−1
n
F


và nằm trong F.
D
h
là tập các điểm nằm trong S mà h không liên tục. Điều này đúng
cho dù là h không là S/S

đo được. Để chứng minh, lấy A
δ
là tập các x
trong S mà có các điểm y và z trong S thỏa mãn ρ(x, y) < δ, ρ(x, z) < δ và
ρ

(hy, hz) ≥ . Khi đó A
δ
mở và D
h
∈ S vì D
h
=



δ
A
δ
.
Không gian con. Tập con S
0
của S là không gian metric. Nếu O và O

0
là
lớp các tập mở trong S và S
0
thì O
0
= O ∩ S
0
(= {G ∩ S
0
: G ∈ O}), từ đó
σ-trường trong S
0
là
S
0
= S ∩ S
0
. (1.6)
Nếu S
0
nằm trong S thì
S
0
= {A : A ⊂ S
0
, A ∈ S}. (1.7)
Không gian tích. Lấy S

và S


là các không gian metric ρ

và ρ

và các
σ-trường S

và S

. Xét không gian tích T = S

× S

. Tô pô tích trong T có
14
thể được xác định bởi nhiều tô pô như
t((x

, x

), (y

, y

)) =

[ρ

(x


, y

)]
2
+ [ρ

(x

, y

)]
2
(1.8)
và
t((x

, x

), (y

, y

)) = ρ

(x

, y

) ∨ ρ


(x

, y

). (1.9)
Đối với cả hai metric này đều tồn tại sự hội tụ (x

n
, x

n
) → (x

, x

) trong T
nếu và chỉ nếu x

n
→ x

trong S

và x

n
→ x

trong S


. Đối với metric (1.9)
ta có
B
t
((x

, x

), r) = B
ρ

(x

, r) × B
ρ

(x

, r). (1.10)
Xét phép chiếu π

: T → S

và π

: T → S

xác định bởi π


(x

, x

) = x

và π

(x

, x

) = x

đều là các ánh xạ liên tục. Nếu T
0
đếm được và trù mật
trong T thì π

T
0
và π

T
0
là đếm được và trù mật trong S

và S

. Mặt khác,

nếu S

0
và S

0
đếm được và trù mật trong S

và S

thì S

0
×S

0
đếm được và
trù mật trong T . Do đó: T khả ly khi và chỉ khi S

và S

đều khả ly.
Lấy T là σ-trường Borel trong T . Ta cũng xét tích σ-trường S

× S

−
được sinh bởi hình chữ nhật đo được, các tập A

×A


với A

∈ S

và A

∈ S

.
Hình chữ nhật này là (π

)
−1
A

∩ (π

)
−1
A

; vì hai ánh xạ chiếu là liên tục
nên chúng tương ứng là T /S

và T /S

đo được và suy ra rằng hình chữ nhật
nằm trong T . Do đó, S


× S

⊂ T . Mặt khác, nếu T khả ly thì mỗi tập mở
trong T là hợp đếm được các tập trong (1.10) và do đó nằm trong S

× S

.
Suy ra
S

× S

= T (1.11)
nếu T là khả ly.
Định lý Scheffé’s. Giả sử rằng y
n
m
là không âm và

m
y
n
m
=

m
y
m
(hữu hạn) với mọi n và y

n
m
→
n
y
m
với mọi m. Khi đó chuỗi

m
|y
n
m
− y
m
| →
n
0.
15
Nếu f là hàm thực liên tục và bị chặn thì

m
y
n
m
f(y
n
m
) →
n


m
y
m
f(y
m
).
Nếu f bị chặn bởi M thì
|

m
y
n
m
f(y
n
m
) −

m
y
m
f(y
m
)|
≤

m
|y
n
m

− y
m
| · |f(y
n
m
)| +

m
y
m
|f(y
n
m
) − f(y
m
)|
≤ M

m
|y
n
m
− y
m
| +

m
y
m
|f(y

n
m
) − f(y
m
)|.
Bất đẳng thức Etemadi. Nếu S
1
, . . . , S
n
là các tổng của biến ngẫu
nhiên độc lập thì
P

max
k≤n
|S
k
| ≥ 3α

≤ 3 max
k≤n
P

|S
k
| ≥ α

.
Để chứng minh điều này, xét các tập B
k

ở đó |S
k
| ≥ 3α mà |S
j
| < 3α với
j < k. Do B
k
là rời nhau nên
P

max
k≤n
|S
k
| ≥ 3α

≤ P

|S
n
| ≥ α

+

k≤n
P

B
k
∩


|S
n
| < α

≤ P

|S
n
| ≥ α

+

k≤n
P

B
k
∩

|S
n
− S
k


> 2α

= P


|S
n
| ≥ α

+

k≤n
PB
k
· P

|S
n
− S
k
| > 2α

≤ P

|S
n
| ≥ α

+ max
k≤n
P

|S
n
− S

k
| ≥ 2α

≤ P

|S
N
≥ α

+ max
k≤n

P

S
n
≥ α

+ P

|S
k
| ≥ α

≤ 3 max
k≤n
P

|S
k

| ≥ α

.
16
1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng
Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đã
được biết. Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suất
thường được nhắc tới. Hội tụ yếu của độ đo xác suất được tổng quát hóa từ
hội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực.
Cho F
n
, n ∈ N và F là các hàm phân phối. Ta nhắc lại rằng F
n
hội tụ
yếu tới F khi n → ∞ nếu
lim
n→∞
F
n
(x) = F (x),
với mọi điểm liên tục x của F . Nếu hàm giới hạn F là liên tục thì hội tụ bên
trên kéo theo với mọi x.
Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được viết lại dưới độ đo xác suất.
Cho P
n
và P là các độ đo xác suất sinh bởi các hàm phân phối F
n
và F ,
được xác định bởi
P

n
(−∞, x] = F
n
(x), P (−∞, x] = F (x).
Hàm F(x) liên tục tại x nếu và chỉ nếu P ({x}) = 0. Do đó, F
n
hội tụ yếu tới
F nếu và chỉ nếu
lim
n→∞
P
n
(−∞, x] = P (−∞, x], (1.12)
với P ({x}) = 0. Lấy A = (−∞, x] thì khi đó (1.12) tương đương với quan hệ
lim
n→∞
P
n
(A) = P (A) (1.13)
nếu P (∂A) = 0. Do đó, hội tụ yếu của F
n
tới F là tương đương với (1.13) với
mọi tập Borel A mà P (A) = 0. Quan hệ (1.13) được gọi là hội tụ yếu của P
n
tới P khi n → ∞.
Vậy, với độ đo xác suất trên (R, R) (R được ký hiệu là lớp các tập Borel của
R), hội tụ yếu của độ đo xác suất trùng với hội tụ yếu của các hàm phân
phối.
17
Do trên không gian metric tổng quát ta không định nghĩa hàm phân phối

nên hội tụ yếu của các độ đo xác suất vẫn là phương pháp tiệm cận chủ yếu
của các định lý giới hạn.
Trong chương 2 sẽ nghiên cứu về hội tụ yếu của độ đo xác suất trong
không gian metric. Trình bày các tính chất của hội tụ yếu, xem xét sự hội tụ
trong phân phối và xác suất, hội tụ yếu với các ánh xạ, đặc biệt là định lý
Prohorov. Bên cạnh đó là một số ứng dụng sẽ được đưa ra.
18
Chương 2
Sự hội tụ yếu trong không
gian Metric
2.1 Độ đo trên không gian Metric
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu độ đo xác suất trên không gian
metric S tổng quát.
Và ký hiệu S là một σ-trường Borel sinh bởi các tập mở, với các phần tử
là các tập Borel. Một độ đo xác suất trên không gian S là một hàm tập P
cộng tính đếm được, không âm và thỏa mãn P S = 1.
Định nghĩa 2.1.1 (Hội tụ yếu). Ta nói rằng độ đo xác suất P
n
là hội tụ
yếu tới độ đo xác suất P (ký hiệu P
n
⇒ P ) nếu:
P
n
f =

S
fdP
n
→


S
fdP = P f với mọi hàm thực f liên tục, bị chặn trên S.
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về các định lý và tính chất cơ
bản của sự hội tụ yếu, cùng với đó là các khái niệm liên quan tới sự hội tụ
theo phân phối. Đầu tiên chúng ta sẽ đưa ra môt vài tính chất đặc biệt của
độ đo trên (S, S). Mặc dù đôi khi ta cũng giả thiết S là không gian khả ly
19
hoặc đầy đủ. Hầu hết các định lý trong chương này đều được phát biểu trong
không gian metric.
2.1.1 Độ đo và tích phân
Định lý 2.1.1. Mọi độ đo xác suất P trên (S, S) là chính quy, tức là:
Với mỗi S-tập A và với mọi  tồn tại một tập đóng F và một tập mở G
sao cho F ⊂ A ⊂ G và P (G − F ) < .
Từ đó suy ra: Với mỗi tập Borel A, ta có
P A = sup
F ⊂A
P F = inf
G⊃A
P G.
Chứng minh. Ta ký hiệu metric trên S bởi ρ(x, y) và khoảng cách từ x tới A
bởi ρ(x, A).
Nếu A là tập đóng, ta có thể lấy F = A và G = A
δ
= {x : ρ(x, A) < δ}
với δ nào đó.
Do A
δ
giảm tới A khi δ ↓ 0 nên ta cần chỉ ra rằng lớp G của các S-tập
với các tính chất đã được khẳng định là một σ-trường.

Lấy các tập A
n
trong G, chọn các tập đóng F
n
và các tập mở G
n
sao cho
F
n
⊂ A
n
⊂ G
n
và P(G
n
− F
n
) < /2
n+1
. Nếu G =

n
G
n
và nếu F =

n≤n
0
F
n

, với n
0
được chọn sao cho P (

n
F
n
−F ) < /2 thì F ⊂

n
A
n
⊂ G
và P (G − F) < . Do đó G là đóng đối với phép hợp đếm được. Vì nó hiển
nhiền đóng đối với phép lấy phần bù nên G là σ-trường.
Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng P là hoàn toàn xác định bởi giá trị của P F với
các tập đóng F. Định lý tiếp theo chỉ ra rằng P cũng được xác định bởi giá
trị của P f với hàm f liên tục bị chặn. Việc chứng minh định lý dựa trên sự
xấp xỉ chỉ số I
F
bởi một hàm f. Xét hàm f(x) = (1 −ρ(x, F )/)
+
bị chặn và
liên tục (thậm chí là liên tục đều, vì |f(x) −f(y)| ≤ ρ(x, y)/). Và với x ∈ F
thì f(x) = 1, trong khi đó với x /∈ F

thì ρ(x, F ) ≥  và do đó f(x) = 0. Vậy
I
F
(x) ≤ f(x) = (1 −ρ(x, F )/)

+
≤ I
F

(x) (2.1)
20
Định lý 2.1.2. Độ đo xác suất P và Q trên S trùng nhau nếu P f = Qf với
mọi hàm thực f liên tục đều và bị chặn.
Chứng minh. Với hàm f liên tục đều, bị chặn được xác định trong (2.1),
P F ≤ P f = Qf ≤ QF

.
Cho  ↓ 0 ta được P F ≤ QF , với F là tập đóng.
Do tính đối xứng và áp dụng Định lý 2.1.1, ta có P = Q.
Bởi vậy, ta có thể làm việc với độ đo P A hoặc với tích phân P f (bất cứ
cái nào cũng đơn giản hơn hay tự nhiên hơn). Ta định nghĩa hội tụ yếu theo
quan điểm sự hội tụ của tích phân của hàm số. Trong phần tới, ta sẽ mô tả
đặc điểm của nó theo quan điểm sự hội tụ của độ đo trên tập hợp.
2.1.2 Tính chặt
Khái niệm dưới đây về tính chặt đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết
về sự hội tụ yếu và ứng dụng của nó.
Định nghĩa 2.1.2 (Tính chặt). Một độ đo xác suất P trên (S, S) được gọi
là chặt nếu với mỗi , tồn tại một tập compact K sao cho PK > 1 − .
Từ Định lý 2.1.1, ta thấy P là chặt nếu và chỉ nếu PA là cận trên đúng
của P K, với mọi tập con compact K của A ∈ S.
Định lý 2.1.3. Nếu S là không gian khả ly và đầy đủ thì mỗi độ đo xác suất
trên (S, S) đều chặt.
Chứng minh. Gọi P là độ đo xác suất bất kì trên (S, S).
Từ giả thiết S là khả ly nên với mỗi k, tồn tại một dãy A
k1

, A
k2
, . . . của 1/k-
hình cầu mở phủ S.
Chọn n
k
đủ lớn để P (

i≤n
k
A
ki
) > 1 − /2
k
.
Theo giả thiết về tính đủ của không gian S, ta sẽ được tập bị chặn

k≥1

i≤n
k
A
ki
21
có bao đóng compact K.
Do đó P K > 1 −  hay P là chặt.
Trước khi xét một vài ví dụ, ta sẽ nhắc tới một số khái niệm.
Định nghĩa 2.1.3 (Lớp khả ly). Một lớp con A của S được gọi là lớp khả
ly nếu hai độ đo xác suất mà đồng nhất trên A thì cũng đồng nhất trên S,
tức là với A ∈ A thì các giá trị P A là đủ để khả ly P từ tất cả các độ đo xác

suất trên S.
Dễ thấy, từ Định lý 2.1.1 thì các tập đóng tạo thành một lớp khả ly.
Định nghĩa 2.1.4 (π-hệ thống). Một lớp A được gọi là một π-hệ thống nếu
nó là đóng đối với phép giao hữu hạn.
Từ định nghĩa về π-hệ thống thì A là lớp khả ly nếu nó là một π-hệ thống
sinh ra σ-trường S.
Ví dụ 2.1.1. Xét không gian Euclide k-chiều R
k
với metric thông thường
|x − y| =


k
i=1
(x
i
− y
i
)
2
. Và ký hiệu R
k
là lớp các tập Borel k-chiều.
Hàm phân phối tương ứng của một độ đo xác suất P trên R
k
là
F (x
1
, x
2

, . . . , x
k
) = P {y : y
i
≤ x
i
, i ≤ k}. (2.2)
Vì tập hợp ở vế phải của (2.2) lập thành một π-hệ thống sinh ra R
k
nên
chúng tạo thành một lớp khả ly. Do đó, F hoàn toàn xác định P .
Theo Định lý 2.1.3, mỗi độ đo xác suất trên (R
k
, R
k
) là chặt. Nhưng tính
chặt trong trường hợp này là hiển nhiên vì không gian là σ-compact − là một
hợp đếm được của các tập compact.
Ví dụ 2.1.2. Giả sử R
∞
là không gian của dãy các số thực x = (x
1
, x
2
, . . .)
−tích của đếm được các bản sao của R
1
.
Nếu b(α, β) = 1 ∧ |α − β| thì b là một metric trên R
1

tương đương với
22
metric thông thường và hiển nhiên R
1
là hoàn toàn khả ly.
Metric hóa R
∞
bởi
ρ(x, y) =

i
b(x
i
, y
i
)/2
i
.
Hiển nhiên, nếu ρ(x
n
, x) →
n
0 thì b(x
n
i
, x
i
) →
n
0 với mỗi i. Do đó, R

∞
có
tôpô của hội tụ điểm: x
n
→
n
x nếu và chỉ nếu x
n
i
→
n
x
i
với mỗi i.
Xét phép chiếu tự nhiên
π
k
: R
∞
→ R
k
π
k
(x) = (x
1
, . . . , x
k
)
Từ sự hội tụ trong R
∞

, suy ra π
k
liên tục và do đó các tập
N
k,
(x) = {y : |y
i
− x
i
| < , i = 1, . . . , k} (2.3)
là mở. Hơn nữa, nếu y ∈ N
k,
(x) thì ρ(x, y) <  + 2
−k
.
Cho số dương r, chọn  và k sao cho  + 2
−k
< r thì N
k,
(x) ⊂ B(x, r).
Nghĩa là, các tập trong (2.3) tạo thành một cơ số đối với tôpô của R
∞
hay
R
∞
khả ly: một tập con trù mật, đếm được bao gồm các điểm chỉ có hữu
hạn các tọa độ khác không, mỗi tọa độ đó đều là các số hữu tỷ. Nếu {x
n
} là
cơ bản thì mỗi {x

n
i
} là cơ bản và do đó hội tụ tới x
i
nào đó và dĩ nhiên x
n
hội tụ điểm với các tọa độ x
i
. Do đó, R
∞
cũng là không gian đủ.
Vì R
∞
là không gian khả ly và đủ nên theo Định lý 2.1.3 thì mỗi độ đo
xác suất trên R
∞
là chặt.
Giả sử R
∞
f
là lớp các tập hữu hạn chiều hay các tập dạng π
−1
k
H với k ≥ 1
và H ∈ R
k
. Vì π
k
liên tục nên nó là R
∞

/R
k
đo được và R
∞
f
⊂ R
∞
. Hơn
nữa, do π
−1
k
H = π
−1
k+1
(H × R
1
) nên tập các chỉ số khi liệt kê một R
∞
f
-tập
luôn có thể được mở rộng và nó kéo theo hai tập A và A

trong R
∞
f
có thể
biểu diễn A = π
−1
k
H và A


= π
−1
k
H

với cùng giá trị k.
Có A ∩A

= π
−1
k
(H ∩H

) làm cho ta thấy rõ là R
∞
f
là một π-hệ thống (thậm
chí là một trường). Hơn nữa, vì tập hợp (2.3) hình thành một cơ sở và đều
23
nằm trong R
∞
f
, nó xảy ra bởi tính khả ly, tức là mỗi tập mở là hợp của các
tập đếm được trong R
∞
f
, do đó tạo ra σ-trường R
∞
: R

∞
f
là một lớp khả ly.
Nếu P là một độ đo xác suất trên (R
∞
, R
∞
) thì các phân phối hữu hạn
chiều của nó là các độ đo P π
−1
k
trên (R
k
, R
k
), k ≥ 1 và vì R
∞
f
là một lớp
khả ly nên các độ đo này hoàn toàn xác định P .
Ví dụ 2.1.3. Giả sử C = C[0, 1] là không gian các hàm liên tục x = x(·)
trên [0, 1].
Ta xác định chuẩn của x như sau x = sup
t
|x(t)| và đưa vào C một
metric đều
ρ(x, y) = x −y = sup
t
|x(t) − y(t)|. (2.4)
Do ρ(x

n
, x) → 0 nghĩa là x
n
hội tụ đều đến x nên nó kéo theo hội tụ điểm.
Nhưng dĩ nhiên điều ngược lại là không đúng: xét hàm z
n
tuyến tính tăng từ
0 đến 1 trên [0, n
−1
], tuyến tính giảm từ 1 về 0 trên [n
−1
, 2n
−1
] và vẫn bằng
0 ở bên phải của 2n
−1
; tức là
z
n
(t) = ntI
[0,n
−1
]
(t) + (2 − nt)I
(n
−1
,2n
−1
]
(t). (2.5)

Khi đó, z
n
hội tụ điểm tới hàm 0, trong khi ρ(z
n
, 0) = 1.
Không gian C là khả ly. Cho D
k
là tập các hàm đa giác−các hàm tuyến
tính trên mỗi đoạn con I
ki
= [(i − 1)/k, i/k] và có các giá trị hữu tỷ tại các
điểm cuối. Khi đó

k
D
k
là đếm được và hơn nữa nó là trù mật. Thật vậy, với
mỗi x và  bất kì, chọn k để |x(t) − x(i/k)| <  với t ∈ I
ki
, 1 ≤ i ≤ k thì bởi
tính liên tục đều ta chọn được một y thuộc D
k
sao cho |y(i/k) − x(i/k)| < 
với mỗi i. Ta có
|y(i/k) −x(t)| < 2 và |y((i − 1)/k) − x(t)| < 2.
Vì y(t) là một tổ hợp lồi của y((i−1)/k) và y(i/k) nên ta cũng có |y(t)−x(t)| <
2 hay ρ(x, y) ≤ 2.
C là một không gian đầy đủ do: Nếu x
n
là cơ bản có nghĩa là 

n
=
sup
m>n
ρ(x
n
, x
m
) →
n
0 thì với mỗi t, {x
n
(t)} là cơ bản trên đường thẳng và
24
do đó có giới hạn x(t). Cho m → ∞ trong bất đẳng thức |x
n
(t) −x
m
(t)| ≤ 
n
ta được |x
n
(t) − x(t)| ≤ 
n
; do đó x
n
(t) hội tụ đều tới x(t), x liên tục và
ρ(x
n
, x) → 0.

Vậy C là một không gian khả lý và đầy đủ, do đó theo Định lý 2.1.3 thì
mỗi độ đo xác suất trên σ-trường Borel C là chặt.
Với 0 ≤ t
1
< t
2
< . . . < t
k
≤ 1, ta xác định một phép chiếu tự nhiên:
π
t
1
t
k
: C → R
k
π
t
1
t
k
(x) = (x(t
1
), . . . , x(t
k
)).
Trong C, các tập hữu hạn chiều có dạng π
−1
t
1

, ,t
k
H, H ∈ R
k
và chúng nằm
trong C vì các phép chiếu là liên tục. Tương tự như trong ví dụ đã xét, tập
chỉ số xác định một tập hữu hạn chiều có thể luôn được mở rộng.
Giả sử, chúng ta muốn mở rộng t
1
, t
2
thành t
1
, s, t
2
(trong đó t
1
< s < t
2
)
Xét ánh xạ chiếu ψ : R
3
→ R
2
xác định bởi ψ(u, v, w) = (u, w).
Ta có π
t
1
t
2

= ψπ
t
1
st
2
và do đó π
−1
t
1
t
2
H = π
−1
t
1
st
2
ψ
−1
H và dĩ nhiên ψ
−1
H ∈ R
3
nếu H ∈ R
2
.
Với ý tưởng tương tự ta sẽ chứng minh được lớp C
f
của các tập hữu hạn
chiều là một π-hệ thống. Hơn nữa, ta có B(x, )

−
=

r
{y : |y(r)−x(r)| ≤ },
trong đó r là tất cả các số hữu tỷ nằm trong [0, 1]. Do đó, σ-trường σ(C
f
)
sinh bởi C
f
chứa trong các hình cầu đóng nên chứa trong hình cầu mở hay
tập mở. Từ C
f
là một π-hệ thống và σ(C
f
) = C nên C
f
là một lớp khả ly.
2.2 Tính chất của hội tụ yếu
Chúng ta có định nghĩa P
n
⇒ P nghĩa là P
n
f → P f với mỗi hàm thực
f liên tục bị chặn trên S. Lưu ý rằng, tích phân Pf hoàn toàn xác định
P (Định lý 2.1.2), một dãy đơn {P
n
} không thể hội tụ yếu tới hai giới hạn
khác nhau. Mặc dù điều đó là không quan trọng tới chủ đề này, nó dễ dàng
25