Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

Danh mục các kí hiệu ii
Danh mục các kí hiệu
N Tập các số tự nhiên
R Tập các số thực
R
n
Không gian thực n - chiều
C
n
Không gian phức n - chiều
a ∈ A a thuộc A
∀a ∈ A Với mọi a thuộc A
A ⊂ B A là tập con của B (A bị chứa trong B)
{x ∈ X : x ∈ P } Tập các phần tử x ∈ X, có tính chất P
f(A) Ảnh của A qua f
f
−1
(B) Nghịch ảnh của B qua f
(x
n
) = {x
n
} Dãy ( số hoặc dãy các phần tử)

i
a
i
Tổng các số a
i

i

a
i
Tích các số a
i
| x | Giá trị tuyệt đối của x
∥x∥ Chuẩn của x
f := g Định nghĩa f là g
f : X → Y Ánh xạ f từ X vào Y
x
n
→ x Dãy x
n
hội tụ đến x
(Ω, F, P ) Không gian xác suất
P (A) Xác suất của A
P (A | F) Xác suất có điều kiện của A đối với F
EX Kỳ vọng của X
E(X | F) Kỳ vọng có điều kiện của X đối với F
 Kết thúc chứng minh .
Mục lục
Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất 1
1.1 Định lý Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Hàm công suất capacity . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Tập compact ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tính đo được và sự lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Hàm đa trị trên không gian metric . . . . . . . . 9
1.2.2 Sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên . . . . 12

1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 15
1.3.1 Tính bất biến và tính dừng . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách được . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Phép tính với hàm công suất . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Tích phân Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất 22
1.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất . . . . 26
2 Kỳ vọng lựa chọn 29
2.1 Lựa chọn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
2.2 Kỳ vọng lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Tập ngẫu nhiên khả tích . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Tính chất của lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Bổ đề Fatous cho tập bị chặn trong R
d
. . . . . . 38
2.3.2 Bổ đề Fatous đối với tập ngẫu nhiên không bị chặn 39
2.3.3 Sự hội tụ đơn điệu và sự hội tụ yếu . . . . . . . . 40
2.4 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Tính chất của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . 43
3 Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên 46
3.1 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên . . . . . . 46
3.2 Định lý Shapley - Folkman-Starr . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian Euclide . 49
3.4 Luật mạnh số lớn trong không gian Banach . . . . . . . 52
4 Định lý giới hạn trung tâm cho trung bình Minkowski 53

4.1 Định lý giới hạn trung tâm đối với các biến ngẫu nhiên . 53
4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide . . . 54
4.3 Định lý giới hạn trung tâm trong không gian Banach . . 58
5 Một số kết quả xa hơn liên quan tới tổng Minkowski 60
5.1 Luật loga lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Định lý ba chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Định lý ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Lời nói đầu v
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến sự phát triển của cấu trúc
toán học để nghiên cứu các chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể hiện của
chúng là các tập. Các chủ đề như vậy xuất hiện cách đây một khoảng
thời gian dài trong thống kê và trong toán kinh tế dưới hình thức của
một khoảng tin cậy mà có thể được miêu tả như các tập ngẫu nhiên.
Ý tưởng đầu tiên của tập ngẫu nhiên dưới hình thức một khoảng phụ
thuộc vào sự xuất hiện tình cờ trong Kolmogorov (1950) mà được công
bố đầu tiên năm 1933.
Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên
cứu về đề tài " Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan". Trong
khuôn khổ hạn chế, luận văn chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn
đề tập ngẫu nhiên.
Bố cục luận văn gồm 5 chương:
Chương 1: Tập ngẫu nhiên và hàm công suất.
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về tập ngẫu nhiên, hàm
công suất ( định nghĩa, định lý), sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu
nhiên, các dạng hội tụ.
Chương 2: Kỳ vọng lựa chọn.
Mục đích của chương này là đưa ra định nghĩa, tính chất của kỳ vọng

lựa chọn, sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn và kỳ vọng có điều kiện.
Chương 3: Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên.
Chương này đưa ra luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian
Euclidean và không gian Banach.
Chương 4: Định lý giới hạn trung tâm đối với tập ngẫu nhiên
Mục đích của chương này là trình bày định lý giới hạn trung tâm
trong trường hợp không gian Euclidean và không gian Banach.
Lời nói đầu vi
Chương 5: Một số kết quả xa hơn liên quan tới tông Minkowski.
Chương này giới thiệu một số các kết quả như: Luật loga lặp, định lý
ba chuỗi, định lý ergodic.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên
luận văn không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý
của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chương 1
Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công
suất
1.1 Định lý Choquet
1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập
Vì họ của tất cả các tập là rất rộng nên chúng ta thường xét các
tập đóng ngẫu nhiên như các yếu tố ngẫu nhiên trong không gian các
tập con đóng của không gian topo E nào đó. Họ các tập con đóng của
không gian E được kí hiệu là F, K và G được kí hiệu tương ứng là họ
của tất cả các tập con compact và tập con mở của E. Thường giả sử
rằng E là không gian topo compact Hausdoff địa phương đếm được thứ
hai ( không gian LCHS) ( locally compact Hausdoff second countable
topologial space). Không gian Euclidean R
d
là ví dụ chung của không
gian E. Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) mà được sử dụng để xác

định yếu tố ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.1.1 ( Tập đóng ngẫu nhiên).
Một ánh xạ X : Ω → F được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên nếu với
mọi tập compact K trong E ta có
{w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F (1.1)
1.1. Định lý Choquet 2
Điều kiện (1.1) nói rằng ánh xạ X : Ω → F là đo được như một ánh
xạ giữa không gian xác suất cơ bản và không gian F được trang bị σ−
đại số B(F) được sinh bởi {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} với K thuộc họ K các
tập con compact của E. Chú ý rằng B(F) được gọi là σ− đại số Effros.
Chúng ta viết
F
K
= {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅}
σ− đại số được sinh bởi F
K
với mọi K ∈ K bao gồm
F
K
= {F ∈ F : F ∩ K = ∅}
Hơn nữa, với mọi G thuộc họ G các tập mở ta có
F
G
= {F ∈ F : F ∩ G ̸= ∅} = ∩
n
F
K
n
trong đó {K
n

, n ≥ 1} là một dãy các tập compact sao cho K
n
↑ G ( ở
đây tính compact địa phương của E là cần thiết). Do đó, F
G
∈ B(F) với
mọi G ∈ G. Chú ý rằng topo Fell trên Fđược sinh bởi các tập mở F
G
với G ∈ G và F
K
với K ∈ K. Khi đó, σ− đại số sinh bởi F
K
với K ∈ K
trùng với σ− đại số Borel sinh bởi không gian Fell trên F. Có thể đưa
ra định nghĩa tương tự với định nghĩa 1.1.1 như sau
Định nghĩa 1.1.1’ Ánh xạ X : Ω → F được gọi là tập đóng ngẫu nhiên
nếu X là đo được đối với σ− đại số Borel trên F theo topo Fell, tức là
X
−1
(χ) = {w : X(w) ∈ χ} ∈ F
với mỗi χ ∈ B(F).
Khi đó (1.1) có thể được viết lại như sau
X
−1
(F
K
) = {w : X(w) ∈ F
K
} ∈ F (1.2)
Vì σ− đại số B(F) là σ− đại số Borel đối với topo trên F nên ta có

f(X) là một tập đóng ngẫu nhiên nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên và
ánh xạ f : F → F là liên tục hoặc nửa liên tục .
1.1. Định lý Choquet 3
Ví dụ 1.1.2 ( Ví dụ đơn giản về tập đóng ngẫu nhiên)
(i) Nếu ξ là một yếu tố ngẫu nhiên trên E (đo được đối với σ− đại số
Borel trên E) thì có duy nhất X = {ξ} là một tập đóng ngẫu nhiên.
(ii) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên thì X = (−∞, ξ] là một tập đóng ngẫu
nhiên trên đường thẳng E = R
1
. Thật vậy, {X ∩ K ̸= ∅} = {ξ ≥ inf K}
là đo được đối với mọi K ⊂ E. X = (−∞, ξ
1
] ×···×(−∞, ξ
d
] là một tập
con đóng ngẫu nhiên của R
d
nếu (ξ
1
, ··· , ξ
n
) là một vector ngẫu nhiên
d- chiều.
Ví dụ 1.1.3 ( Biến ngẫu nhiên liên kết với tập đóng ngẫu nhiên).
(i) Dễ dàng thấy rằng chuẩn ||X|| = sup{||x|| : x ∈ X} đối với một
tập đóng ngẫu nhiên X trên E = R
d
là một biến ngẫu nhiên (có thể giá
trị vô hạn).
(ii) Với mọi x ∈ E thì hàm chỉ tiêu 1

X
(x) ( bằng 1 nếu x ∈ X và
bằng 0 nếu x ̸∈ X) là một biến ngẫu nhiên.
Nếu hai tập đóng ngẫu nhiên X và Y có cùng phân phối thì chúng ta
viết X
d
∼ Y . Điều này có nghĩa là P {X ∈ χ} = P {Y ∈ χ} với mọi họ
độ đo của các tập đóng χ ∈ B(F).
1.1.2 Hàm công suất capacity
Phân phối của một tập đóng ngẫu nhiên X được xác định b ởi P (χ) =
P {X ∈ χ} với mọi χ ∈ B(F). Sự chọn lựa riêng của χ = F
K
và
P {X ∈ F
K
} = P {X ∩ K ̸= ∅} là hữu ích vì họ F
K
, K ∈ K sinh ra
σ− đại số Borel B(F).
Định nghĩa 1.1.4 (Hàm công suất)
Hàm T
X
: K → [0, 1] được cho bởi
T
X
(K) = P {X ∩ K ̸= ∅}, K ∈ K (1.3)
được gọi là hàm công suất của X. Chúng ta viết T (K) thay cho T
X
(K).
Ví dụ 1.1.5 ( Hàm công suất của biến ngẫu nhiên đơn)

1.1. Định lý Choquet 4
(i) Nếu X = {ξ} là một tập ngẫu nhiên duy nhất thì T
X
(K) = P {ξ ∈
K} tức là hàm công suất là phân phối xác suất của ξ.
(ii) Cho X = (−∞, ξ] là một tập đóng ngẫu nhiên trên R, trong đó ξ
là một biến ngẫu nhiên. Khi đó, T
X
(K) = P {ξ > inf K} với mọi K ∈ K.
Từ định nghĩa của hàm công suất ta có các tính chất sau:
T (∅) = 0,
và
0 ≤ T(K) ≤ 1, K ∈ K
Vì F
K
n
↓ F
K
khi K
n
↓ K nên tính liên tục của độ đo xác suất P kéo
theo tính chất T là nửa liên tục trên, tức là
T (K
n
) ↓ T(K) khi K
n
↓ K trong K.
Dễ dàng thấy rằng hàm công suất T là đơn điệu, tức là
T (K
1

) ≤ T(K
2
) nếu K
1
⊂ K
2
.
Hơn nữa, T thỏa mãn tính đơn điệu mạnh. Với mọi hàm T xác định
trên họ các tập compact, chúng ta định nghĩa
∆
K
1
T (K) = T(K) − T(K ∪ K
1
),
∆
K
n
···∆
K
1
T (K) = ∆
K
n−1
··· ∆
K
1
T (K)
− ∆
K

n−1
···∆
K
1
T (K ∪ K
n
),
với n ≥ 2 và K, K
1
, K
2
, ··· , K
n
∈ K.
Nếu T xác định trong (1.3) là hàm công suất của X thì
∆
K
1
T (K) = P {X ∩K ̸= ∅} − P {X ∩(K ∪ K
1
) ̸= ∅}
= −P {X ∩ K
1
̸= ∅, X ∩ K = ∅}.
1.1. Định lý Choquet 5
Từ đó ta có
−∆
K
n
···∆

K
1
T (K) = P {X ∩K = ∅, X ∩ K
1
̸= ∅, i = 1, ··· , n}
= P {X ∈ F
K
K
1
···K
n
},
trong đó
F
K
K
1
···K
n
= {F ∈ F : F ∩ K = ∅, F ∩ K
1
̸= ∅, ··· , F ∩K
n
̸= ∅}
Do đó ta có
∆
K
n
···∆
K

1
T (K) ≤ 0
với mọi n ≥ 1 và K, K
1
, ··· , K
n
∈ K.
Một hàm giá trị thực φ trên K thỏa mãn các điều kiện trên được gọi
là hàm công suất. Hàm công suất là một hàm trên K nhận giá trị trong
[0,1], bằng 0 trên tập rỗng và là nửa liên tục trên và đan dấu đầy đủ
trên K.
Định nghĩa 1.1.6 (Hàm đan dấu đầy đủ completely alternating
). Cho D là họ các tập mà đóng với phép hợp hữu hạn ( tức là M
1
∪M
2
∈
D nếu M
1
, M
2
∈ D) . Một hàm φ giá trị thực xác định trên D được gọi
là đan dấu đầy đủ completely alternating nếu
∆
K
n
···∆
K
1
φ(K) ≤ 0, n ≥ 1, K, K

1
, ··· , K
n
∈ D.
Nếu bất đẳng thức trên xảy ra với mọi n ≤ m thì φ được gọi là đan
dấu bậc m.
Hàm φ xác định trên K có thể được mở rộng lên họ P các tập con
của E mà giữ được tính đan dấu hoặc tính đơn điệu bởi φ. Đặt
T
∗
(G) = sup{T (K) : K ∈ K, K ⊂ G}, G ∈ G
T
∗
(M) = inf{T
∗
(G) : G ∈ G, G ⊃ M}, M ∈ P
Định lý 1.1.7 (Tính nhất quán của sự mở rộng).
(i) T
∗
(K) = T(K) với mỗi K ∈ K.
1.1. Định lý Choquet 6
(ii) Với mỗi tập Borel B ta có
T
∗
(B) = sup{T (K) : K ∈ K , K ⊂ B}.
Chứng minh. Phát biểu thứ nhất có được dựa vào tính nửa liên tục trên
của T. Chú ý rằng T
∗
(K) là giới hạn của T
∗

(G
n
) đối với một dãy của các
tập mở G
n
↓ K. Tại các thời điểm giống nhau T (K
n
) ↓ T(K) vì T là nửa
liên tục trên trong khi bằng cách chọn K
n
∈ K sao cho K ⊂ K
n
⊂ G
n
ta có T (K
n
) ↓ T
∗
(K).
Vì mở rộng T
∗
trùng với T trên K nên phần sau chúng ta sử dụng kí
hiệu T thay cho mở rộng, tức là T(G) hoặc T(B) là kí hiệu giá trị của
mở rộng T trên tập mở bất kỳ G và trên tập Borel B. Từ định lý 1.1.7
và tính liên tục của độ đo xác suất ta có T(B) = P {X ∩B ̸= ∅} với mọi
tập Borel B.
Vì σ− đại số B(F) là rất lớn nên rất khó để gán giá trị một độ đo
tới các yếu tố của chúng. Tuy nhiên, vì σ− đại số B(F) được sinh bởi
họ F
K

, K ∈ K nên giả sử rằng hàm công suất trên K xác định duy nhất
phân phối của một tập đóng ngẫu nhiên. Định lý cơ bản sau đây đưa ra
công suất đan dấu đầy đủ nửa liên tục trên mà tương ứng với phân phối
của các tập đóng ngẫu nhiên. Phần tính duy nhất dễ dàng thấy được từ
việc σ− đại số B(F) được sinh bởi F
K
với K ∈ K.
Định lý 1.1.8( Định lý Choquet). Cho E là không gian LCHS. Một
hàm T : K → [0, 1] sao cho T (∅) = 0 là hàm công suất của một tập đóng
ngẫu nhiên ( cần thiết là duy nhất) trên E nếu và chỉ nếu T là nửa liên
tục trên và đan dấu đầy đủ.
Kết quả sau đây được suy ra từ tính duy nhất của định lý Choquet.
Mệnh đề 1.1.9. Cho E là không gian LCHS.
(i) Hàm công suất T
X
của một tập đóng ngẫu nhiên X là một độ đo
xác suất nếu và chỉ nếu X là một tập ngẫu nhiên duy nhất.
1.1. Định lý Choquet 7
(ii) T
X
là độ đo xác suất dưới ( tức là một độ đo với tổng khối lượng
mass không vượt 1) nếu và chỉ nếu X bao gồm nhiều nhất một điểm đơn
với xác suất 1, tức là P {card(X) > 1} = 0.
(iii) Một tập đóng ngẫu nhiên X là tất định nếu và chỉ nếu T
X
(K)
chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 với mỗi K ∈ K.
Mệnh đề 1.1.9 (iii) ( và phần tính duy nhất của định lý Choquet)
không xảy ra trong không gian E tùy ý ( ví dụ không gian không phải
là compact địa phương). Ví dụ như, nếu E = R với metric rời rạc thì

các tập compact không nhất thiết là hữu hạn tức là T
X
(K) = 0 với mỗi
K ∈ K nếu X = {ξ} là một tập ngẫu nhiên duy nhất với phân phối phi
nguyên tử.
Định lý Choquet chứng minh rằng một độ đo xác suất trên B(F) có
thể được xác định bởi giá trị của nó trên F
K
với K ∈ K, tức là hàm
công suất trên K. Kí hiệu
B
k
= {B ∈ E : clB ∈ K}
là họ tất cả các tập Borel compact tương đối trên E.
Định nghĩa 1.1.10( Lớp tách được). Lớp A ⊂ B
k
được gọi là tách
được nếu ∅ ∈ A và với mọi K ∈ K và G ∈ G với K ⊂ G thì tồn tại
A ∈ A sao cho K ⊂ A ⊂ G.
Cho φ : A → [0, ∞] là một hàm tăng trên lớp tách được A. Định
nghĩa mở rộng ngoài của nó φ
−
như sau
φ
−
(K) = inf{φ(A) : A ∈ A, K ⊂ IntA}, K ∈ K.
Nếu φ
1
là hạn chế của φ trên lớp con tách được A
1

⊂ A thì φ
−
1
= φ
−
.
1.1.3 Tập compact ngẫu nhiên
Nếu E là compact địa phương thì họ K các tập compact là một lớp
con đo được của F, tức là K ∈ B(F). Thật vậy,
K = ∪
n≥1
{F ∈ F : F ⊂ K
n
},
1.1. Định lý Choquet 8
trong đó {K
n
, n ≥ 1} là một dãy các tập compact sao cho K
n
↑ E khi
n → ∞. Chú ý rằng K ∈ B(F) đối với không gian metric tách được tổng
quát E với B(F) là σ− đại số Effros vì
K = ∩
m≥1
∪
n≥1
∪
x
1
,···,x

n
∈Q
{F ⊂ F : F ⊂ ∪
n
i=1
B
1/m
(x
i
)}
trong đó Q là tập trù mật đếm được trên E, B
r
(x) là hình cầu đóng bán
kính r có tâm tại x.
Định nghĩa 1.1.11 ( Tập compact ngẫu nhiên)
Một tập đóng ngẫu nhiên X với giá trị compact h.c.c ( tức là X ∈ K
h.c.c) được gọi là một tập compact ngẫu nhiên.
Có thể xây dựng một tập compact ngẫu nhiên trực tiếp như một yếu
tố ngẫu nhiên K− giá trị. Topo myopic trên K ( hoặc metric Hausdoff nếu
E là không gian metric) sinh ra σ− đại số Borel B(K) trên K mà có thể
xác định một tập compact ngẫu nhiên như một ánh xạ đo được K− giá
trị
X
: Ω
→ K
.Ta có
σ
−
đại số
B

(
K
)
được sinh bởi
{
K
∈ K
:
K
∩
G
̸
=
∅}
với G ∈ G. Nếu E là compact địa phương thì mọi tập mở có thể xấp xỉ
bởi các tập compact do đó B(K) = B(F)∩K, tức là σ− đại số Borel trên
K trùng với vết của B(F) trên K. Trong trường hợp không gian topo
tổng quát E, định nghĩa 1.1.11 thường được sử dụng để xác định các
tập compact ngẫu nhiên. Nếu K không thuộc B(F) thì điều kiện X ∈ K
h.c.c được hiểu như sau:
sup{P {X ∈ Y} : Y ∈ B(F), Y ⊂ K} = 1.
Kết quả sau đây là định lý "tính kín" (tightness) cho phân phối của
các tập compact ngẫu nhiên.
Định lý 1.1.12 ( Tính kín cho tập compact ngẫu nhiên)
Cho X là một tập compact ngẫu nhiên trong không gian Polish E.
Với mọi ε > 0 tồn tại K ∈ K sao cho P {X ⊂ K} ≥ 1 −ε.
Chứng minh. Cho Q = {x
k
, k ≥ 1} là một tập con đếm được trù mật
1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 9

trong E. Chú ý rằng
lim
n→∞
P {X ⊂ ∪
n
k=1
B
1/m
(x
k
)} = 1.
Chọn n = n
m
sao cho
P {X ⊂ ∪
n
k=1
B
1/m
(x
k
)} ≥ 1 −
ε
2
m
.
Định nghĩa tập compact K như sau
K = ∩
m≥1
[∪

n
m
k=1
B
1/m
(x
k
)].
Khi đó
P {X ̸⊂ K} = P {X ∩ ∪
m≥1
[∪
n
m
k=1
B
1/m
(x
k
)]
c
̸= ∅}
≤

m≥1
P {X ̸⊂ [∪
n
m
k=1
B

1/m
(x
k
)]} ≤ ε

m≥1
2
−m
= ε.
Chúng ta định nghĩa hàm xa hơn mà liên kết với tập đóng ngẫu nhiên
X.
Định nghĩa 1.1.13 Cho tập đóng ngẫu nhiên X. Khi đó,
C
X
(F ) = P {X ⊂ F}, F ∈ F
được gọi là hàm bao gồm containment.
1.2 Tính đo được và sự lựa chọn
1.2.1 Hàm đa trị trên không gian metric
Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất. Ánh xạ X : Ω → F từ Ω
vào không gian F các tập con đóng của E được gọi là hàm đa trị (giá
trị đóng) hay hàm giá trị tập. Như phần trước thì F là họ của các tập
1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 10
con đóng của E nhưng bây giờ không gian E được giả sử là không gian
Polish ( metric tách được đầy đủ).
Định nghĩa 1.2.1 (Tính đo được Effros)
Một ánh xạ X : Ω → F được gọi là đo được Effros nếu
X
−
(G) = {w : X(w) ∩G ̸= ∅} ∈ F
với mỗi G ∈ G, tức là với mỗi tập G mở . σ− đại số Effros trên F được

sinh bởi họ F
G
với mọi G ∈ G.
Một hàm đa trị đo được Effros được gọi là đo được yếu nếu thỏa mãn
X
−
(F ) = {w : X(w) ∩F ̸= ∅} ∈ F với mọi tập đóng F.
Có thể xem một hàm đa trị X bao gồm các hàm đo được giá trị đơn
mà " fit inside" X. Những hàm như vậy được gọi là lựa chọn của X.
Chú ý rằng một yếu tố ngẫu nhiên E− giá trị ξ là một ánh xạ đo được
ξ : Ω → E trong đó độ đo được hiểu theo nghĩa σ− đại số Borel thông
thường B trên E.
Định nghĩa 1.2.2 (Sự lựa chọn đo được). Một yếu tố ngẫu nhiên
ξ với giá trị trong E được gọi là một lựa chọn (đo được) của X nếu
ξ(w) ∈ X(w) với hầu hết tất cả w ∈ Ω. Họ tất cả sự lựa chọn của X
được kí hiệu bởi S(X).
Định lý đo được cơ bản
Nếu E là compact địa phương thì một hàm đa trị đo được Effros
là một tập đóng ngẫu nhiên. Thật vậy, mọi tập mở trong không gian
compact địa phương có thể được xấp xỉ bởi một dãy các tập compact
tức là X
−
(G) ∈ F với mọi tập mở G nếu và chỉ nếu X
−
(K) ∈ F với mọi
K ∈ K.
Định lý 1.2.3 (Định lý đo được cơ bản cho hàm đa trị). Cho E
là không gian metric tách được. Xét các phát biểu sau:
(1) X
−

(B) ∈ F với mọi B ∈ B(E).
(2) X
−
(F ) ∈ F với mọi F ∈ F.
1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 11
(3) X
−
(G) ∈ F với mọi G ∈ G, tức là X là đo được Effros.
(4) Hàm khoảng cách ρ(y, X) = inf{ρ(y, x) : x ∈ X} là một biến
ngẫu nhiên với mỗi y ∈ E.
(5) Tồn tại một dãy {ξ
n
} của sự lựa chọn đo được của X sao cho
X = cl{ξ
n
, n ≥ 1}
(6) Đồ thị của X
Graph(X) = {(w, x) ∈ Ω ×E : x ∈ X(w)}
thuộc F ⊗B(E) ( σ− đại số tích của F và B(E)).
Khi đó ta có các kết quả sau:
(i) (1) => (2) => (3) <=> (4) => (6).
(ii) Nếu E là không gian Polish ( tức là E là đầy đủ) thì (3) <=> (5).
(iii) Nếu E là không gian Polish và không gian xác suất (Ω, F, P ) là
đầy đủ thì (1)- (6) là tương đương.
Một ánh xạ đo được X : Ω → F được gọi là một tập đóng ngẫu
nhiên trên E. Vì có thể giả sử E là Polish và không gian xác suất là
đầy đủ nên theo định lý 1.2.3, các định nghĩa đo được (1)- (6) là tương
đương tức là nếu X thỏa mãn một trong các điều kiện trên thì X có thể
đo được. Trừ khi E là compact địa phương thì không đủ để giả sử rằng
X

−
(K) = {w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F với mọi tập compact K.
Định nghĩa 1.2.4 ( σ− đại số được sinh bởi X) . σ− đại số cực
tiểu F
X
sinh bởi một tập đóng ngẫu nhiên X là được sinh bởi X
−
(G) =
{w ∈ Ω : X(w) ∩G ̸= ∅} với G ∈ G.
Rõ ràng, F
X
là σ− đại số cực tiểu trên Ω mà đảm bảo X là độ đo
Effros. Nếu E là compact địa phương thì F
X
được sinh bởi X
−
(K), K ∈
K.
Chúng ta có thể xét các tính chất đo được dựa trên tính xấp xỉ của
các tập đóng ngẫu nhiên bởi các tập ngẫu nhiên với nhiều nhất là một
1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 12
số hữu hạn các giá trị.
Định nghĩa 1.2.5 ( Tập ngẫu nhiên đơn). Một tập đóng ngẫu nhiên
X được gọi là đơn nếu giả sử tại nhiều nhất một số hữu hạn các giá trị
thì tồn tại một phân hoạch đo được hữu hạn A
1
, ··· , A
n
của Ω và các
tập F

1
, ··· , F
n
∈ F sao cho X(w) = F
i
với mọi w ∈ A
i
, 1 ≤ i ≤ n.
Chúng ta biết rằng không gian F là tách được trong topo Fell nếu
E là LCHS. Trong trường hợp này, tính tách đượ c của F đảm bảo rằng
mỗi tập đóng ngẫu nhiên là một giới hạn h.c.c ( trong topo Fell) của các
tập ngẫu nhiên đơn. Đối với không gian metric tách được tổng quát thì
điều này không phải luôn luôn là như vậy.
1.2.2 Sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên
Nhắc lại rằng S(X) là kí hiệu của họ các lựa chọn ( đo được) của X.
Định lý đo được cơ bản của hàm đa trị kéo theo định lý tồn tại cho lựa
chọn sau đây.
Định lý 1.2.7 ( Định lý lựa chọn cơ bản). Nếu X là hàm đa trị
không rỗng h.c.c giá trị đóng đo được Effros trong không gian Polish E
thì S(X) ̸= ∅.
Định lý lựa chọn cơ bản có thể được chứng minh trực tiếp bởi cách
xây dựng một dãy các yếu tố ngẫu nhiên ξ
n
với giá trị trong tập con đếm
được trù mật của E sao cho ρ(ξ
n
, X) < 2
−n
và ρ(ξ
n

, ξ
n−1
) < 2
−n+1
với
mọi n ≥ 1 trên một tập độ đo đủ.Tính đầy đủ của E quyết định dãy ξ
n
có giới hạn hầu chắc chắn mà trở thành yêu cầu lựa chọn của X. Chứng
minh đầy đủ có thể tìm thấy trong Kuratowski and Ryll-Nardzewski[11]
hoặc Aubin and Frankowska[4].
Định nghĩa 1.2.8 ( Biểu diễn Casting). Một họ đếm được các
lựa chọn ξ
n
∈ S(X), n ≥ 1 đượ c gọi là biểu diễn Casting của X nếu
X = cl{ξ
n
, n ≥ 1}.
Mô tả phân phối của tập ngẫu nhiên bởi sự lựa chọn của chúng
1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 13
Họ các sự lựa chọn S(X) không chỉ phụ thuộc vào X mà còn phụ
thuộc vào không gian xác suất cơ bản. Ví dụ, tập gồm hai điểm xác định
X = {0, 1} chỉ có hai sự lựa chọn tầm thường nếu F = {∅, Ω} là σ− đại
số tầm thường. Nếu F có nhiều hơn thì biến ngẫu nhiên với giá trị có
thể 0 và 1 xuất hiện như sự lựa chọn.
Định lý 1.2.9 ( Sự lựa chọn của phân phối đồng nhất identically
các tập ngẫu nhiên)
Xét hai không gian xác suất không nguyên tử? ( non- atomic) (Ω, F, P )
và (Ω
′
, F

′
, P
′
) và hai tập đóng ngẫu nhiên X và Y trong không gian Pol-
ish E xác định tương ứng trên Ω và Ω
′
. Nếu X và Y là phân phối đồng
nhất thì tính đóng yếu của S(X) và S(Y ) là trùng nhau.
Định nghĩa 1.2.10 ( Phân phối lựa chọn ). Phân phối xác suất µ
trên E là lựa chọn đối với phân phối ν trên F nếu có một tập đóng ngẫu
nhiên X với phân phối ν và một lựa chọn ξ ∈ S(X) với phân phối µ. Họ
tất cả độ đo xác suất trên E mà là lựa chọn đối với độ đo xác suất ν
trên F được kí hiệu là S(ν).
Định lý 1.2.11 ( Sự lựa chọn của tập ngẫu nhiên đóng). Đối với
mỗi độ đo xác suất trên K thì họ S(ν) là tập compact lồi đối với sự hội
tụ yếu của độ đo và phép cộng số học của chúng.
Vì chúng ta luôn giả sử rằng E là Polish và không gian xác suất là
đầy đủ nên định lý 1.2.3 đưa ra một số các định nghĩa tương đương của
hàm đa trị đo được để đưa ra cách chứng minh tính đo được của các
phép toán với các tập đóng ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.12 ( Tính đo được của các phép toán lý thuyết tập).
Nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên trong không gian Polish E thì các
hàm đa trị sau là các tập đóng ngẫu nhiên:
(i) co(X), bao lồi đóng của X;
(ii) αX nếu α là một biến ngẫu nhiên;
Nếu X và Y là hai tập đóng ngẫu nhiên thì
1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 14
(iii) X ∪ Y và X ∩ Y là các tập đóng ngẫu nhiên;
(iv) cl(X + Y ) là một tập đóng ngẫu nhiên ( nếu E là không gian
Banach);

(v) Nếu cả X và Y là bị chặn thì ρ
H
(X, Y ) là một biến ngẫu nhiên;
Nếu {X
n
, n ≥ 1} là một dãy các tập đóng ngẫu nhiên thì
(vi) cl(∪
n≥1
X
n
) và ∩
n≥1
X
n
là các tập đóng ngẫu nhiên.
Chứng minh. (i) Không giảm tổng quát, giả sử rằng X ̸= ∅. Xét biểu
diễn Casting {ξ
n
, n ≥ 1} của X. Khi đó, họ đếm được các tổ hợp lồi của
{ξ
n
, n ≥ 1} với hệ số hợp lý là trù mật trong co(X), tức là co(X) nhận
biểu diễn Casting của nó và do đó co(X) là đo được.
(ii) Kết quả được suy ra trực tiếp từ việc {αξ
n
, n ≥ 1} là biểu diễn
Casting của αX.
(iii) Là trường hợp đặc biệt của (vi).
(iv, v) Nếu {ξ
n

, n ≥ 1} và {η
m
, m ≥ 1} lần lượt là biểu diễn Casting
của X và Y thì {ξ
n
+ η
m
, n, m ≥ 1} là biểu diễn Casting của cl(X + Y ).
Do đó, cl(X + Y ) là đo được. Hơn nữa
ρ
H
(X, Y ) = ρ
H
({ξ
n
, n ≥ 1}, {η
m
, m ≥ 1})
là đo được.
(vi) Vì G ∈ G nên
{cl(∪
n≥1
X
n
) ∩ G ̸= ∅} = ∪
n≥1
{X
n
∩ G ̸= ∅} ∈ F,
mà thỏa mãn tính đo được của cl(∪

n≥1
X
n
).Từ tính đo được của phép
giao đếm được trên ta thấy
Graph(∩
n≥1
X
n
) = ∩
n≥1
Graph(X
n
),
Do đó, ∩
n≥1
X
n
là đo được theo định lý 1.2.3.
1.3. Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 15
1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng
ngẫu nhiên
1.3.1 Tính bất biến và tính dừng
Nếu g là một hàm ( hoặc một phép biến đổi) nào đó tác động lên E
thì phân phối của X được gọi là bất biến theo g ( hoặc g- bất biến ) nếu
X
d
∼ g(X), tức là X và ảnh của nó dưới tác động g có cùng phân phối.
Nếu X là g - bất biến với mỗi g thuộc nhóm các phép biến đổi G mà tác
động lên X thì X được gọi là G- bất biến. Các trường hợp cụ thể xuất

hiện nếu E = R
d
là không gian Euclidean và G hoặc là nhóm các biến
đổi trên R
d
hoặc là nhóm tất cả các phép quay hoặc nhóm tất cả các
chuyển động cố định.
Định nghĩa 1.3.1 ( Tính dừng và tập ngẫu nhiên đẳng hướng
isotropic )
(i) Một tập ngẫu nhiên X trên R
d
được gọi là dừng nếu
X
d
∼ (X + a) (1.4)
với mọi a ∈ R
d
, tức là phân bố của X là bất biến dưới tất cả các phép
tịnh tiến không ngẫu nhiên. Nếu (1.4) xảy ra với mọi a thuộc không gian
con tuyến tính H ⊂ R
d
thì X được gọi là H- dừng.
(ii) Một tập đóng ngẫu nhiên X trong R
d
được gọi là đẳng hướng nếu
X
d
∼ (gX) với mỗi phép quay xác định g.
Mệnh đề 1.3.2 ( Tính dừng kéo theo tính không bị chặn). Một
tập đóng ngẫu nhiên không rỗng h.c.c dừng X trong R

d
là không bị chặn
với xác suất 1 và co(X) = R
d
h.c.c đối với bao lồi đóng co(X) của X.
Chứng minh. Vì X là không rỗng h.c.c nên hàm hỗ trợ của nó h(X, u)
không nhận giá trị −∞ với h(X, u) = sup{< x, u >: x ∈ X} trong đó
< x, u > là giá trị của hàm tại x. Tính dừng của X kéo theo h(X, u)
d
∼
1.3. Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 16
(h(X, u)+ < a, u >) với mọi a ∈ R
d
. Cho a = u thì ta thấy h(X, u) là vô
hạn với xác suất một đối với mọi u ̸= 0 . Áp dụng phương pháp này cho
một tập đếm được trù mật của u trên mặt cầu đơn vị ta có co(X) = R
d
h.c.c , do đó X là không bị chặn h.c.c.
Mệnh đề 1.3.2 kéo theo một tập lồi dừng hoặc là rỗng h.c.c hoặc bằng
cả không gian h.c.c.Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định lý
Choquet.
Mệnh đề 1.3.3( Tính chất bất biến của hàm công suất).
(i) Một tập đóng ngẫu nhiên X là bất biến nếu và chỉ nếu hàm công
suất của nó là tịnh tiến bất biến, tức là T
X
(K + a) = T
X
(K) với mọi
K ∈ K và a ∈ R
d

.
(ii) Một tập đóng ngẫu nhiên X là đẳng hướng nếu và chỉ nếu hàm
công suất của nó là phép quay bất biến, tức là T
X
(gK) = T
X
(K) với
mọi K ∈ K và mọi phép quay g.
1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách được
Xét một hàm ngẫu nhiên ζ
x
, x ∈ E với giá trị nhận được chỉ là 0 hoặc
1. Khi đó ζ
x
là hàm chỉ tiêu 1
Z
(x) của tập (không cần thiết là tập đóng)
Z ⊂ E . Theo định lý Kolmogorov mở rộng thì phân phối của ζ
x
được
xác định bởi phân phối hữu hạn chiều
P {ζ
x
= 1, x ∈ K, ζ
y
= 0, y ∈ L} = P {K ⊂ Z, L ∩Z = ∅}
với K và L thuộc họ J các tập con hữu hạn của E.
Định lý 1.3.4 ( Mở rộng của hàm công suất trên các tập hữu
hạn). Cho E là không gian LCHS. Một hàm đan dấu đầy đủ T : J →
[0, 1] thỏa mãn T(∅) = 0 là hàm công suất của một tập đóng ngẫu nhiên

nếu và chỉ nếu T là nửa liên tục trên trên J , trong đó phần sau được
trang bị với topo cảm sinh bởi topo myopic trên họ K các tập compact.
1.3. Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 17
Chứng minh. Chúng ta chỉ chứng minh điều kiện đủ. Mở rộng T lên họ
G các tập mở và họ các tập compact bởi
T
∗
(G) = sup{T (L) : L ⊂ G, L ∈ J, G ∈ G}
T
∗
(K) = inf{T
∗
(G) : K ⊂ G, G ∈ G, K ∈ K}
Khi đó T
∗
(K) trở thành hàm nửa liên tục trên đan dấu đầy đủ trên K,
tức là từ định lý Choquet kéo theo sự tồn tại của một tập đóng ngẫu
nhiên với hàm công suất T
∗
. Nó còn chỉ ra rằng T
∗
trùng với T trên J.
Cho G
n
↓ L và T
∗
(G
n
) ↓ T
∗

(L) khi n → ∞. Khi đó, có một dãy
{L
n
, n ≥ 1} ⊂ J sao cho T (L
n
) ↓ T
∗
(L) và L
n
↓ L khi n → ∞. Vì L
n
hội tụ tới L trong topo myopic trên J nên tính nửa liên tục trên của
T kéo theo lim sup T (L
n
) ≤ T (L). Do đó, T
∗
(L) ≤ T (L). Mà bất đẳng
thức T
∗
(L) ≥ T(L) là hiển nhiên nên chứng minh được hoàn thành.
Định nghĩa 1.3.5 (Tính tách được và cái phân tách ( sepa-
rant)) Một tập ngẫu nhiên đóng X được gọi là tách được nếu tồn tại
tập trù mật đếm được Q ⊂ E sao cho X trùng với cl(X ∩Q) h.c.c . Mọi
tập Q như vậy được gọi là cái phân tách của X.
Định nghĩa 1.3.5 dựa vào cl(X ∩Q) là một tập ngẫu nhiên đóng. Thực
vậy, với mọi tập mở G thì
{cl(X ∩ Q) ∩ G = ∅} = {(X ∩ Q) ∩ G = ∅} = {X ∩ B = ∅} ∈ F
trong đó B = Q ∩ G.Định lý sau đưa ra sự tồn tại của một tập đóng
ngẫu nhiên tách được xác định bằng một hàm đan dấu đầy đủ trên J.
Mệnh đề 1.3.6 ( Phân phối của một tập ngẫu nhiên tách được).

Giả sử rằng E là không gian LCHS. Cho T là hàm đan dấu đầy đủ(
completely alternating functional) trên J với giá trị trên đoạn [0, 1] sao
cho T (∅) = 0 và cho T
∗
là mở rộng của T xác định bởi
T
∗
(G) = sup{T (L) : L ⊃ G, L ∈ J}, G ∈ G
1.3. Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 18
T
∗
(K) = sup{T
∗
(G) : K ⊃ G, L ∈ J}, K ∈ K.
(i) Khi đó tồn tại một tập ngẫu nhiên đóng X sao cho T
X
(K) = T
∗
(K)
với mọi K ∈ K và T
X
là hàm công suất nhỏ nhất sao cho T (L) ≤ T
X
(L)
với mọi L ∈ J.
(ii) Hàm ngẫu nhiên X là tách được. Nếu Q là cái phân tách của X
thì X = cl(Z ∩Q) h.c.c với hàm ngẫu nhiên Z ( không cần thiết là đóng)
xác định bởi giá trị của T trên J.
(iii) Tập đóng ngẫu nhiên X sao cho T
X

(L) = T (L) với mọi L ∈ J
tồn tại nếu và chỉ nếu
T
∗
({x}) = T({x}), x ∈ E,
Trong trường hợp này cl{X ∩Q} là tập ngẫu nhiên đóng tách được duy
nhất mà hàm công suất của nó trùng với T trên J.
Với T
X
là hàm công suất của X. Kí hiệu p
X
(x) = T
X
({x}), x ∈ E.
Định nghĩa 1.3.7 ( P- liên tục). Một tập đóng ngẫu nhiên X được
gọi là P - liên tục tại x
0
∈ E nếu p
X
(x) = P {x ∈ X} là liên tục tại x
0
như một hàm của x. Hơn nữa, X được gọi là P − liên tục nếu nó là P −
liên tục tại mọi x
0
∈ E.
Tập ngẫu nhiên liên tục h.c.c
Định nghĩa 1.3.8 ( Liên tục h.c.c) Một tập đóng ngẫu nhiên X được
gọi là liên tục h.c.c nếu P {x ∈ ∂X} = 0 với mọi x ∈ E.
Chú ý rằng ∂X ( biên của X ) là một tập đóng ngẫu nhiên. Nếu thay
đổi công thức cho hàm chỉ tiêu của X thì định nghĩa 1.3.8 có nghĩa rằng

hàm chỉ tiêu là không liên tục tại điểm nào đó cho trước với xác suất
không. Tính chất của X là liên tục h.c.c có thể được kiểm tra lại bằng
việc sử dụng hạn chế của hàm công suất trên họ các tập hữu hạn.
Mệnh đề 1.3.9( Tính liên tục h.c.c và tính tách được h.c.c)
(i) Một tập đóng ngẫu nhiên X là liên tục h.c.c nếu và chỉ nếu X là
P − liên tục và cl(X ∩ Q) là liên tục h.c.c với tập trù mật đếm được
1.4. Phép tính với hàm công suất 19
Q ⊂ E nào đó.
(ii) Nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên liên tục h.c.c thì cl(Int(X)) =
cl(X ∩ Q) h.c.c với mọi tập đếm được trù mật Q và cl(Int(X)) là tập
đóng ngẫu nhiên mà được xuất hiện trong mệnh đề 1.3.6(i) với phân
phối được suy ra từ T
X
(L) với L ∈ J. Nếu thêm điều kiện X là tách
được thì X = cl(Int(X)) h.c.c, tức là X là đóng chính quy.
Chứng minh. (i) Nếu X là liên tục h.c.c thì X là P − liên tục vì
{x ∈ ∂X} ⊃ ∩
n≥1
∪
m≥n
{x ∈ X, y
m
̸∈ X}
với mọi dãy y
n
→ x, do đó
lim
x→x
0
P {x

0
∈ X, x ̸= X} = 0
Nếu Y = cl(X ∩Q) thì
∂Y ⊂ ∂X ⊂ (∂Y ) ∪ (Y
c
∩ X),
Do đó Y là liên tục h.c.c.
Nếu X là P − liên tục thì hàm công suất của X và Y trùng nhau
trên J.Do đó, P {x ∈ (∂Y ) ∪ (Y
c
∩ X)} = 0 với mọi x ∈ E. Từ đó
P {x ∈ ∂X} = P {x ∈ ∂Y } = 0.
(ii) Nếu X là liên tục h.c.c thì (X ∩Q) ⊂ IntX h.c.c với mọi tập đếm
được trù mật Q. Do đó, cl(X ∩Q) ⊂ cl(Int(X)) h.c.c. Điều ngược lại là
hiển nhiên. Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
1.4 Phép tính với hàm công suất
1.4.1 Tích phân Choquet
a, Định nghĩa và tính chất cơ bản
Xét hàm f ánh xạ từ E vào R
+
= [0, ∞). Nếu φ là một hàm xác định
1.4. Phép tính với hàm công suất 20
trên các tập con của E sao cho φ({x : f ≥ t}) là định nghĩa tốt với mọi
t > 0 thì tích phân Choquet của f theo φ được xác định như sau

fdφ =
∞

0
φ({x : f ≥ t})dt (1.5)

Tích phân này có thể được hạn chế trên tập con M ⊂ E như sau

M
fdφ =

f1
M
dφ =
∞

0
φ({x ∈ M : f ≥ t})dt.
Trong trường hợp cụ thể, định nghĩa của tích phân Choquet được áp
dụng nếu f là một hàm đo được và φ là một trong các hàm được xác
định bởi một tập đóng ngẫu nhiên X, ví dụ như hàm công suất T
X
hoặc
hàm bao gồm containment functional C
X
.
Định lý 1.4.1 (Tích phân Choquet đối với phân phối của các
tập ngẫu nhiên). Cho X là một tập đóng ngẫu nhiên không rỗng h.c.c.
Với mọi hàm f không âm ta có

fdT
X
= E sup f(X) (1.6)

fdC
X

= E inf f(X) (1.7)
trong đó f(X) = {f(x) : x ∈ X}. Nếu X rỗng với xác suất dương thì
(1.6) xảy ra với sup ∅ = 0.
Chứng minh. Chứng minh dựa vào định lý Fubini vì

fdT
X
=
∞

0
T
X
({x : f(x) ≥ t})dt
=
∞

0
P {α ≥ t}dt
= Eα.