Về một số không gian hàm thường gặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 92 trang )
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI NÓI ĐẦU 1
Chương I. Các kiến thức cơ sở 3
1.1 Khônggianmetric 3
1.2 KhônggianđovàĐộđo 4
1.3 ĐộđoLebesgue 5
1.3.1ĐộđoLebesguetrên
5
1.3.2ĐộđoLebesguetrên
k
6
1.4 Hàmsốđođược 6
1.4.1Cấutrúccủahàmsốđođược 6
1.4.2Cácdạnghộitụ 7
1.5Khônggianđịnhchuẩn 7
1.6TíchphânLebesgue 9
1.7Khônggiantôpô 10
Chương II. Các không gian hàm 12
2.1Khônggianℒ
vàL
12
2.1.1Khônggianℒ
12
2.1.2Tínhchấtcơbản 12
2.1.3KhônggianL
13
2.1.4CấutrúctuyếntínhcủaL
13
2.1.5CấutrúcthứtựcủaL
14
2.1.6CáctínhchấtquantrọngcủaL
15
2.1.7CấutrúcnhâncủaL
18
2.1.8HoạtđộngcủacáchàmBoreltrênL
19
2.1.9KhônggianL
phức 19
2.2KhônggianL
20
2.2.1KhônggianL
20
2.2.2CấutrúcthứtựcủaL
21
2.2.3ChuẩncủaL
21
2.2.4. L
làmộtkhônggianRiesz 24
2.2.5Nhắclạivềkỳvọngcóđiềukiện 26
2.2.6 L
nhưlàmộtsựhoànchỉnh 28
2.2.7KhônggianL
phức 32
2.3KhônggianL
∞
33
2.3.1CấutrúcthứtựcủaL
∞
34
2.3.2ChuẩncủaL
∞
35
2.3.3TínhđốingẫugiữaL
∞
vàL
37
2.3.4MộtkhônggiancontrùmậtcủaL
∞
41
2.3.5Kỳvọngcóđiềukiện 42
2.3.6KhônggianL
∞
phức 43
2.4Khônggian L
43
2.4.1CấutrúcthứtựcủaL
44
2.4.2ChuẩncủaL
44
2.4.3MộtsốkhônggiancontrùmậtcủaL
48
2.4.4TínhđốingẫucủacáckhônggianL
50
2.4.5Thứtự-đầyđủcủaL
54
2.4.6Kỳvọngcóđiềukiện 54
2.4.7KhônggianL
55
2.4.8KhônggianL
phức 56
Chương III. Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều 57
3.1Hộitụtheođộđo 57
3.1.1Cácđịnhnghĩa 57
3.1.2Cácnhậnxét 58
3.1.3Hộitụđiểm 58
3.1.4Tínhchấtcủakhônggiantôpôtuyếntính
()đốivớilớpcác
khônggianđo 61
3.1.5Mộtmôtảtươngtựcủatôpôcủasựhộitụtheođộđo 65
3.1.6NhúngL
vàoL
66
3.1.7KhônggianL
phức 70
3.2Khảtíchđều 70
3.2.1Địnhnghĩa 70
3.2.2Cáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớpcủacáctậpkhả
tíchđềutrongℒ
hayL
. 71
3.2.3Mộtsốmôtảtươngtựcủatínhkhảtíchđều. 74
3.2.4Mốiliênhệgiữatínhkhảtíchđềuvàtôpôcủasựhộitụtheođộ
đo. 78
3.2.5Khônggianℒ
vàL
phức 80
3.3HộitụyếutrongL
80
KẾT LUẬN 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO 88
LỜI CẢM ƠN
Trướckhitrìnhbàynộidungchínhcủaluậnvăn,tácgiảxinbàytỏlòngbiết
ơnchânthànhvàsâusắccủamìnhtớithầygiáo:PGS.TSPhanViếtThư,ngườiđã
tậntìnhgiúpđỡ,hướngdẫnvàđónggópnhiềuýkiếnquýbáu.Tácgiảcũngxin
chânthànhcảmơntậpthểcácthầycôgiáo,cácnhàkhoahọccủatrườngĐạihọc
KhoahọcTựnhiên–ĐHQGHàNội,xincảmơnbạnbèđồngnghiệp,cảmơngia
đìnhđãgiúpđỡ,độngviênvàtạođiềukiệnchotácgiảhoànthànhluậnvănnày.
Trongquátrìnhhoànthànhluậnvăn,mặcdùdướisựchỉđạoâncầnchuđáo
của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi
nhữnghạnchế,thiếusót.Vìvậy,tácgiảrấtmongnhậnđượcsựgópý,giúpđỡcủa
cácthầycô,cácbạnđểbảnluậnvănnàyđượchoànchỉnhhơn.Tácgiảxinchân
thànhcảmơn!
HàNộingày20tháng10năm2014
Họcviên
VũThịTuyển
1
LỜI NÓI ĐẦU
Bản luận văn giớithiệu vềcác không gian hàm
p
L
. Cáckhông gian
p
L
làcác
khônggianhàmđượcđịnhnghĩathôngquaviệcsửdụngmộtchuẩntổngquáthóa
mộtcáchtựnhiêntừchuẩnpcủakhônggianvéctơhữuhạnchiều(nhiềukhichúng
đượcgọilàcáckhônggianLebesgue).TheoBourbaki,chúngđượcđưarađầutiên
bởiRieszFrigyes(nhàtoánhọcgốcHungary).Cáckhônggian
p
L
lậpnênmộtlớp
quantrọngcủacáckhônggianBanachtronggiảitíchhàm,khônggianvéctơtôpô,
chúngcó ứng dụngquan trọng trongvậtlí, xác suấtthốngkê,toántàichính, kỹ
thuậtvànhiềulĩnhvựckhác.
Mặcdùlàlớpkhônggianhàmquantrọngvàcónhiềuứngdụngnhưngtrongcác
giáotrìnhgiảitíchhàmcũngnhưlíthuyếtđộđovàtíchphâncơbản,cáckhông
giannàychưađượcmôtảchi tiết.Vớimong muốn trình bàycác ýtưởngchung
cũngnhưđisâunghiêncứuvềcáckhônggian
,nhằmgiúpchoviệcsửdụngcác
khônggiannàymộtcáchcóhệthốngvàthuậntiện,tácgiảđãchọnđềtàiluậnvăn
củamìnhlà:
“Về một số không gian hàm thường gặp”.
Luậnvănđượcchiathành3chương:
ChươngI:Cáckiếnthứccơsở.
ChươngII:Cáckhônggianhàm.
ChươngIII:Mộtsốdạnghộitụquantrọngvàkhảtíchđều.
TrongchươngI,tácgiảnêu cáckháiniệmvàcácđịnhlícơbảncủa giảitích
hàm.Đólàkháiniệmvềkhônggianmetric,khônggianđovớikháiniệmvềđộđo,
hàmđođượccùngvớicáctínhchấthộitụvàkhảtích,kháiniệmvềkhônggian
địnhchuẩn,cáckháiniệmtrongkhônggiantôpô.Đâylànhữngkiếnthứccơsởsẽ
đượcsửdụngtrongchươngIIvàchươngIIIcủaluậnvănnày.
2
Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm
,1
p
L p
vàcáctínhchất.Điềuđặcbiệtlàtacoicáckhônggianđólàkhông
giancon của mộtkhônggian lớn hơn
gồmcáclớptương đươngcủa các hàm
(hầunhư)đođược.Chínhvìvậy,cáckhônggianhàmlầnlượtđượctrìnhbàylà
khônggian
,khônggian
(khônggiancáchàmđođượckhảtích),khônggian
(khônggiancáchàmbịchặncốtyếu),khônggian
(khônggiancáchàmsốcó
lũythừabậcpcủamôđunkhảtíchtrênX).Cáckhônggiannàyđượctrìnhbàymột
cáchhệthốngtheotừngnộidung:xâydựngkháiniệm,chỉracấutrúcthứtự,xét
chuẩntrongnó,xéttínhđốingẫu,chỉramộtvàikhônggiancontrùmậtquantrọng,
ápdụngvàolíthuyếtxácsuất(xétkìvọngcóđiềukiện)vàcuốicùngluônlàmở
rộngchokhônggian
phức.
TrongchươngIII,tácgiảmôtảmộtsốdạnghộitụquantrọngtrongcáckhông
gianL
.ĐólàsựhộitụtheođộđotrongL
vàhộitụyếutrongL
.Ngoàiratrong
chươngnày,tácgiảcũngchỉracáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớp
cáctậpkhảtíchđềutrongℒ
hayL
.
Dothờigiancóhạncũngnhưviệcnắmbắtkiếnthứccònhạnchếnêntrongkhóa
luậnkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Rấtmongđượcsựchỉbảotậntìnhcủacác
thầycôvàsựgópýchânthànhcủacácbạnđọc.
HàNộingày10tháng11năm2014
Họcviên
VũThịTuyển
3
Chương I. Các kiến thức cơ sở
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1. GiảsửXlàmộttậpkhácrỗng,mộtmetrictrongXlàmộtánhxạ
:d X X
cácsốthực,thỏamãncácđiềukiện:
i)
(x,y) 0 x y
d
ii)
(x,y) (y,x) x,y X
d d
iii)
(x,y) (x,z) d(z,y) x,y,z X
d d
TậphợpXcùngvớikhoảngcáchdđãchotrongX,đượcgọilàkhônggianmetric,
kíhiệulà(X,d).
Hàm
(x,y) x,y X
d x y
làmộtmetrictrongtập
(khoảngcáchthông
thường).Khônggianmetrictươngứnggọilàđườngthẳngthực.
Định nghĩa 1.2.
a) Dãy
n
n
x
trongkhônggianmetricXgọilàdãycơbảnnếu:
suyra
b) KhônggianmetricXgọilàkhônggianmeticđầyđủnếumọidãycơbảncủa
khônggianXđềuhộitụđếnmộtphầntửnàođócủakhônggiannày.
Chẳnghạn,khônggianEuclide làkhônggianđầyđủ.Khônggian là
khônggianđầyđủ.
Định nghĩa 1.3. GiảsửElàmộttậpconcủaX.Tậphợptấtcảcácđiểmdínhcủa
E,đượcgọilàbaođóngcủatậphợpE,kíhiệu
Định nghĩa 1.4 GiảsửElàmộttậpconcủaX.TậpEgọilà:
i) TậpđóngnếutậpEchứatấtcảcácđiểmtụcủanó
ii) Tậpmởnếumọiđiểmcủanóđềulàđiểmtrong.
TậphợptấtcảcácđiểmtrongcủaEgọilàphầntrongcủaE,kíhiệu
iii) TậphợpEđượcgọilàtrùmậttrêntậphợpAnếunhưbaođóngcủaE
chứaA.
Đặcbiệt,nếutậpEtrùmậttrongkhônggianXthìEgọilàtrùmậtkhắpnơitrong
X.
0, ( ), m,n N
N
,
(x x )
m n
d
n
,a b
C
E
int E
4
1.2 Không gian đo và Độ đo
Định nghĩa 1.5.
1)Chotập
X
rỗng,mộthọ
cáctậpconcủaXđượcgọilàmột
σ
-đạisốnếunó
thỏamãncácđiềukiệnsau:
i.
X
vànếu
A
thì
c
A
trongđó
\
C
A X A
ii.HợpcủađếmđượccáctậpthuộcΣ cũngthuộcΣ.
2) Nếu
là
σ
-đạisốcáctậpconcủaXthìcặp
( , )
X
gọilàmộtkhônggianđo
được(đođượcvới
hoặc
-đođược)
Định nghĩa 1.6. Cho mộtkhônggianđođược
( , )
X
1) Mộtánhxạ
: 0,
đượcgọilàmộtđộđonếu:
i)
( ) 0
ii)
cótínhchất
σ
–cộngtính,hiểutheonghĩa:
1
1
(A ) ,( , ) (A )
n n n m n n
n
n
A A n m A
2) Nếu
làmộtđộđoxácđịnhtrên
thìbộba
( , , )
X
gọilàmộtkhông
gianđo.
Định nghĩa 1.7. Cho
( , , )
X
làmộtkhônggianđo.Khiđó
a)
làđộđođủ,hay
( , , )
X
làkhônggianđođủ(Carathéodory)nếuvớimọi
A E
và
( ) 0
E
thì
A
nghĩalàmọitậpconbỏquađượccủaXlà
đođược.
b)
( , , )
X
làkhônggianxácsuấtnếu
( ) 1.
X
Trongtrườnghợpnày,
gọilàmộtxácsuấthayđộđoxácsuất.
c)
làđộđohoàntoànhữuhạn,hay
( , , )
X
gọilàkhônggianđohoàntoàn
hữuhạnnếu
( ) .
X
d)
làđộđo
-hữuhạn,hay
( , , )
X
gọilàkhônggianđo
-hữuhạnnếu
tồntạidãy
n
n
A
saocho:
1
n
n
X A
,
*
(A ) , n
n
e)
làđộđonửahữuhạn,hay
( , , )
X
làmộtkhônggianđonửahữuhạn
nếuvớimọi
E
và
( )E
thìtồntại
F E
thỏamãn
F
và
0 ( )F
.
f)
làđộđokhảđịaphươnghóa,hay
( , , )
X
làmộtkhônggianđo khảđịa
phươnghóanếunólànửahữuhạnvàvớimọi
E
,tồntạimột
H
thỏa
mãn:
(i)
\E H
làbỏquađượcvớimọi
E E
5
(ii) Nếu
G
và
\E G
làbỏquađượcvớimọi
E E
thì
\H G
làbỏqua
được.
SẽthuậntiệnhơnnếutagọitậpHnhưtrênlàessentialsuppremumcủa
E
trên
.
g) Mộttập
E
gọilàmộtnguyêntửđốivới
hay
-nguyêntửnếu
( ) 0
E
vàvớimỗitậpFthỏamãn
F
,
F E
thì
\E F
làbỏqua
được.
Định nghĩa 1.8. Mộtánhxạ xácđịnhtrên
đượcgọilàmộtđộđongoàinếuthỏamãncácđiềukiện
i)
ii)
*
( ) 0
iii) Nếu
1
n
n
A A
thì
* *
1
(A) (A ).
n
n
Định lí 1.1 (Carathéodory). Giảsử
*
làmộtđộđongoàitrênXvà
làlớptất
cảcáctậpconAcủaXsaocho:
* * *
(E) (E A) (E\ A) E X
(*)
Khiđó
làmột
σ
-đạisốvàhàmtập
(thuhẹpcủa
*
trên
)làmột
độđo
trên
.
Độđo
gọilàđộđocảmsinhbởiđộđongoài
*
.TậpAthỏamãnđiều
kiện(*)gọilàtập
*
-
đođược.
Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giảsửmlàmộtđộđotrênđạisố ⊂ ().Với
mỗi ,tađặt
∗
(
)
=
{
∑
(
)
:
{
}
∈ℕ
⊂ , ⊂
⋃
}
.
thì
*
làmộtđộtrênXvà
∗
(
)
=
(
)
, ∀ ⊂ đồngthờimọitậpthuộc
σ
-đại
sốℱ()đều
*
đođược.
1.3 Độ đo Lebesgue
1.3.1 Độ đo Lebesgue trên
Tồntạimột
σ
-đạisố
cáctậpconcủa
màmỗi
A
gọilàmộttậpđo
đượctheoLebesgue(hay(L)–đođược)vàmộtđộđo
xác định trên
(gọilà
độđoLebesguetrên
)thỏamãncáctínhchấtsau:
i) Cáckhoảng(hiểutheonghĩarộng),tậpmở,tậpđóng…là(L)–đođược.
NếuIlàkhoảngvớiđầumúta,b(
a b t
)thì
(I) b a
ii) Tậphữuhạnhoặcđếmđượclà(L)–đođượcvàcóđộđoLebesguebằng
0
*
: 0,
(X) :
P A A X
*
(A) 0, A
*
A X
6
iii) Tập
A
là(L)–đođượckhivàchỉkhivớimọi
0
tồntạitậpđóng
F,tậpmởGsaocho
F A G
,
(G\ F)
iv) NếuAlàtập(L)–đođượcthìcáctập
,x A xA
cũnglàtập(L)–đo
đượcvà
(x A) (A)
,
(xA) (A)
x
v) ĐộđoLebesguelàđủvà
σ
–hữuhạn.
1.3.2 Độ đo Lebesgue trên
k
TrongkhônggianEuclidkchiều
k
độđomcóthểkhuếchthànhđộđo
k
trênmột
σ
-đạisố
(C ) C .
k k k
F
Độđo
k
nàygọilàđộđoLebesguetrên
k
vàcáctập
hợpthuộclớp
k
gọilàtậpđođược(L)trong
.
k
chínhlà
σ
-đạisốBoreltrong
.
k
1.4 Hàm số đo được
Định nghĩa 1.9. ChomộtkhônggianX,một
σ
-đạisố
nhữngtậpconcủaX,và
mộttập
A
.Mộthàmsố
(x) :Xf
gọilàđođượctrêntậpAđốivới
σ
-đạisố
nếu
( ), : (x) aa x A f
Khi trên
σ
-đạisố
cómộtđộđoμtanóif(x)đođượcđốivớiđộđoμhayμ
–đođược.
Trongtrườnghợp
,
k k
X B
(
σ
-đạisốBoreltrong
k
)thìtanóif(x)làđo
đượctheonghĩaBorel,hayf(x)làmộthàmsốBorel.
1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được
Định nghĩa 1.10. ChomộttậpbấtkìAtrongkhônggianX,tagọihàmchỉtiêu
củaAlàhàmsố
(x)
A
xácđịnhnhưsau:
Định nghĩa 1.11. Mộthàmsốf(x)gọilàhàmđơngiảnnếunóhữuhạn,đođược
vàchỉlấymộtsốhữuhạngiátrị.Gọi
(i 1,2, n)
i
làcácgiátrịkhácnhaucủanó
vànếu
: (x)
i i
A x f
thìcáctập
i
A
đođược,rờinhauvàtacó
1
(x) (x)
i
n
i A
i
f
Ngượclại,nếuf(x)códạngđóvàcáctập
i
A
đođược,rờinhauthìf(x)làmột
hàmđơngiản
Định lí 1.3. Mỗihàmsốf(x)đođượctrêntậpđođượcAlàgiớihạncủamộtdãy
hàmđơngiản
(x)
n
f
,
(x) lim (x)
n
n
f f
(C )
k
F
0
(x)
1
A
khi x A
khi x A
7
Nếu
(x) 0
f x A
thìcóthểchọncác
n
f
saocho và
vớimọinvà
1.4.2 Các dạng hội tụ
Định nghĩa 1.12. TrongkhônggianXbấtkì,chomột
σ
-đạisố
vàmộtđộđoμ
trên
.Tanóihaihàmsốf(x)vàg(x)bằngnhauhầukhắpnơi(h.k.n),viết
. .
(x) (x)
h k n
f g
nếu:
( ) (B) 0
B A
và
\ (x) g(x)
x A B f
Haihàmsốf(x), g(x)bằngnhauthìgọilàtươngđươngvớinhau.Dĩ
nhiên,haihàmsốcùngtươngđươngvớimộthàmsốthứbathìchúngcũng
tươngđươngvớinhau.
Định lí 1.4. Nếuμ làmộtđộđođủthìmọihàmsốg(x)tươngđươngvớimộthàm
sốđođượcf(x)cũngđềuđođược.
Định nghĩa 1.13. Dãyhàm
n
f
gọilàhôitụhầukhắpnơivềhàmsốf(x)trên
nếutồntại saocho vớimọi
Định nghĩa 1.14. Chonhữnghàmsố
(x)(n 1,2, )
n
f
vàf(x)đođượctrênmộttập
A.Tanóidãy
(x)
n
f
hộitụtheođộđoμ tớif(x)vàviết
(x) (x),
n
f f
nếu
0,lim : (x) f(x) 0
n
n
x A f
Giảthiếtμ làmộtđộđođủ,tacóđịnhlísaunóivềsựliênhệgiữahộitụtheo
độđovàhộitụhầukhắpnơi
Định lí 1.5. Nếumộtdãy
(x)
n
f
đođượctrênmộttậpAhộitụhầukhắpnơitớimột
hàmsốf(x)thìf(x)đođượcvànếu
(A)
thì
(x) (x)
n
f f
1.5 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.15. GiảsửElàkhônggianvectơtrêntrườngvôhướngK,cácsố
thực
haycácsốphức
.Hàm
xácđịnhtrênEgọilàmộtchuẩntrênEnếunó
thỏamãncácđiềukiệnsau:
i)
(x) 0 x E
và
(x) 0 x 0
ii)
( x) (x)
vớimọi
,K x E
iii)
(x y) (x) (y), x,y E
Định nghĩa 1.16. KhônggianvéctơEcùngvớimộtchuẩn
trênnólàmộtkhông
gianđịnhchuẩn.
CóthểchứngminhkhônggianđịnhchuẩnElàmộtkhônggianmetricvới
khoảngcáchsinhbởichuẩn
(x) 0
n
f
1
(x) (x)
n n
f f
x A
A
, , (B) 0
B A B
lim (x) (x)
n
n
f f
\x A B
8
(x,y) (x y),(x,y E)
d
Chú ý:Takíhiệu
x
thaycho
(x),(x E)
vàgọilàchuẩncủavéctơx.
NếukhônggianmetricnàylàđầyđủthìEgọilàkhônggianBanach.
Ví dụ:Khônggiancáchàmliêntụctrênđoạnhữuhạn
,a b
,kíhiệu
,a b
C
là
mộtkhônggianBanachvìnólàđầyđủđốivớichuẩn:
,
sup (x) : , ,
a b
f f x a b f C
Định lí 1.6 (Hausdorff). TậpconXtrongkhônggianBanachElàcompactnếuvà
chỉnếuXlàđóngvàhoàntoànbịchặn.
Định nghĩa 1.17. KhônggianđịnhchuẩnEgọilàkhảlynếuEcómộttậpconđếm
đượctrùmậttrongE,nghĩalàtồntạimộtdãy
n
x E
saochovớimọi
x E
tồn
tạimộtdãycon
k
n
x x
Định nghĩa 1.18 ChoXlàtậpconcủakhônggianđịnhchuẩnE,tanóiXlà:
i) Tậpbịchặnnếu
sup ,x x X
ii) Hoàntoànbịchặnnếuvớimọi
0
tồntạitậphữuhạn
A E
saocho:
, :x X y A x y
iii) Compắcnếumọidãy
n
n
x X
cómộtdãycon
k
n
x
hộitụtớimột
phầntử
x X
Nhận xét:a)Tậpconhữuhạn
A E
thỏamãn(ii)gọilàmột
-lướihữuhạn
củaX
b)DễchứngminhmọitậphoàntoànbịchặnXlàbịchặn.
Định nghĩa 1.19. ChoXlàmộtkhônggianvectơ.Mộthàmsốf(x)xácđịnhtrênX
vàlấygiátrịlàsố(thựchoặcphức,tùytheoXlàkhônggianthựchoặcphức)gọilà
mộtphiếmhàmtrênX.Phiếmhàmđógọilàtuyếntínhnếu:
i)
1 2 1 2
( ) ( ) ( )f x x f x f x
vớimọi
1 2
, .x x X
ii)
( ) ( )f x f x
vớimọi
x X
vàmọisố
Giảsử Xlàmộtkhônggianđịnhchuẩn,khiấy,mộtphiếmhàmtuyếntínhfgọi
làbịchặnnếucómộthằngsố
0K
đểcho
( )
f x K x x X
Số
0K
nhỏnhấtthỏamãnđẳngthứctrênđượcgọilàchuẩncủaphiếmhàmvàkí
hiệulà
f
.Dễdàngchứngminh
0 1
( )
sup sup ( )
x x
f x
f f x
x
9
Trongnhiềuvấnđềquantrọng,ngườitathườngxétkhônggianđịnhchuẩnlập
thànhbởi tậphợptấtcảcácphiếmhàmtuyếntínhliêntụctrênXgọilàkhônggian
đốingẫu(haycòngọilàkhônggianliênhợp)củaX,vàđượckíkýhiệuX*.
DễthấyX*làmộtkhônggianvectơvớicácphéptoánthôngthường.Ngoàira,
vớimỗiphầntửfthuộcX*,đặt
, 1
sup (x)
x X x
f f
thìX*trởthànhmộtkhônggian
địnhchuẩn.HơnnữaX*cònlàkhônggianBanach.
Định nghĩa 1.20. Cho
( , , )
X
làmộtkhônggianđovà
:
làmộtphiếm
hàmcộngtínhhữuhạn
a)
đượcgọilàliêntụctuyệtđốiđốivới
(thườngviết
)nếu
0
,tồn
tại
0
thỏamãn
E
vớimọi
F
và
( ) .
E F
b)
đượcgọilàthựcsựliêntụcđốivới
nếu
0
,tồntại
E
,
0
thỏa
mãn
E
làhữuhạnvà
F
với
.E
1.6 Tích phân Lebesgue
Định nghĩa 1.21. ChoAlàtậpđođược, làhàmđơngiản,đo
đượctrênA.Gọi làcácgiátrịkhácnhauđôimộtcủaf(x).Đặt
và
1
(x)
i
n
k A
i
f f x A
Khiđótíchphâncủahàmđơngiảnf(x)trênAvớiđộđo
làsố
1
(x)d (A )
n
k k
k
A
f f
Định lí 1.7. ChoAlàtậpđođượcLebesgue,hàm
: 0,f A
làhàmđođược.
Khiđó,tồntạidãyđơnđiệutăngcáchàmđơngiảnđođược
(x) 0
n
f
hộitụh.k.n
vềf(x)trênA.
Định nghĩa 1.22. Tíchphâncủahàmf(x)khôngâmtrênAđốivớiđộđo
là:
(x)d lim (x)d
n
n
A A
f f
Định nghĩa 1.23. ChoAlàtậpđođượcLebesgue,hàm
:f A
làhàmđođược
trênA.Khiđótacó:
(x) f (x) f (x)
f
với
f (x),f (x) 0
Cáchàmsố
f (x),f (x)
cótíchphântươngứngtrênAlà
(x)d
A
f
,
(x)d
A
f
: A ,
f
1 2 3
, , , ,
n
f f f f
: (x) f , 1,2, ,
k k
A x A f k n
1
n
k
A
10
Nếuhiệu
(x)d (x)d
A A
f f
cónghĩathìtíchphâncủaf(x)trênAlà:
(x)d (x)d (x)d
A A A
f f f
Cácđịnhlísauchotacácđiềukiệnquagiớihạndướidấutíchphân(đốivới
tíchphânLebesgue)
Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi). Nếu
(x) 0
n
f
và
(x)
n
f
đơn
điệutăngđếnf(x)trênAthì
lim (x)d (x)d
n
n
A A
f f
Định lí 1.9 (định lí Dini). Nếu
(x)
n
f
làdãyhàmliêntục,đơnđiệu,hộitụđiểm
đếnmộthàmf(x)liêntụctrên
thì
(x)
n
f
hộitụđềuđếnf(x).
Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou). Nếu
(x) 0
n
f
thì
lim (x)d lim (x)d
n n
n n
A A
f f
Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Nếu
(x) (x)
n
f g
,g(x)khảtích
và
(x) f(x)
n
f
(hộitụh.k.n)hayhộitụtheođộđotrênAthì
lim (x)d (x)d
n
n
A A
f f
1.7 Không gian tô pô
Định nghĩa 1.24. ChomộttậpXbấtkì.Tanóimộthọ
G
nhữngtậpconcủaXlà
một tô pô(hayxác định một cấu trúc tô pô)trênXnếu:
i) Haitập
, X
đềuthuộc
G
ii)
G
kínđốivớiphépgiaohữuhạn,nghĩalàgiaocủamộtsốhữuhạntập
thuộchọ
G
thìcũngthuộchọđó.
iii)
G
kínđốivớiphéphợpbấtkì,nghĩalàhợpcủamộtsốbấtkì(hữuhạn
hoặcvôhạn)tậpthuộchọ
G
thìcũngthuộchọđó.
TậpXcùngvớimộttôpô
G
trênXgọilàkhônggiantôpô
,
X
G
(haykhônggian
tôpôX).Cáctậpthuộchọ
G
gọilàtậpmở.
Định nghĩa 1.25. ChoX, Ylàhaikhônggiantôpô.MộtánhxạfđitừXvàoYgọi
làliêntụctại
0
x
nếuvớimọilâncận
0
y
U
củađiểm
0 0
( )y f x
đềucómộtlâncận
0
x
V
củađiểm
0
x
saocho
0 0
( )
x y
f V U
,nghĩalà
0 0
( ) .
x y
x V f x U
Ánhxạfgọi
làliêntụcnếunóliêntụctạimọi
.x X
11
Hiểnnhiênđịnhnghĩanàybaohàmđịnhnghĩavềánhxạliêntụctừmộtkhông
gianmetricvàomộtkhônggianmetrickhác.
Định lí 1.12. MộtánhxạfđitừkhônggiantôpôXvàokhônggiantôpôYlà
liêntụckhivàchỉkhinóthỏamãnmộttronghaiđiềukiệnsau:
(i) Nghịchảnhcủamộttậpmở(trongY)làmộttậpmở(trongX)
(ii) Nghịchảnhcủamộttậpđóng(trongY)làmộttậpđóng(trongX)
ChoflàmộtánhxạđitừtậpXvàoY.NếutrênYchomộttôpô
thìdotoántử
1
f
bảotoàncácphéptoántậpnên
1
( )
y
f G
sẽlàmộttôpôtrênX.NếuXvốnđãcó
sẵnmộttôpô
x
G
thìđịnhlí1.12chobiếtrằngflàánhxạliêntụckhivàchỉkhi
1
( )
y x
f G G
nghĩalàkhinghịchảnhcủatôpôtrênY(tức
1
( )
y
f G
)yếuhơntôpô
trên
x
X G
.Cũngtừđótathấy,nếutrênYcómộttôpômàtrênXchưacótôpô
thìcóthểbiếnXthànhkhônggiantôpôbằngcáchgánchonótôpô
1
( ),
y
f G
đólà
tôpôyếunhấtđảmbảochosựlientụccủaánhxạf.
Sựhộitụcủadãyđiểmtrongtôpôđượcđịnhnghĩatươngtựnhưtrongkhông
gianmetric.Tuynhiên,ởđâycầnđưavàomộtkháiniệmrộnghơnkháiniệmdãy
hộitụ.
MộthọS nhữngtậpconkhôngrỗngcủamộttậpXgọilàmộtlọctrênXnếu:
(i)
,A B S A B S
(ii)
,A S A B B S
BâygiờchomộttôpôX.TanóimộtlọcStrênXhội tụ tới x nếumỗilâncận
củax đềubaohàmmộttậpthuộcS.Mộtánhxạf đitừmộtkhônggiantôpôX
vàokhônggiantôpôYliêntụctạixkhivàchỉkhivớimọilọc
S x
tađềucó
( ) ( ).f S f x
Chúýrằngtrongkhônggianmetric,giớihạncủamộtdãy(nếucó)làduynhất,
cònvớitôpôthìkhôngnhấtthiết.Muốnđảmbảotínhduynhấtcủagiớihạnta
xétcáckhônggiantôpôđặcbiệt,thỏamãntiênđềtáchsauđây:Vớimọicặp
điểm
1 2
,
x x X
đềucóhailâncận
1 2
,V V
của
1 2
,x x
saocho
1 2
.
V V
Một
khônggiantôpôthỏamãnđiềukiệnđógọilàkhônggianHousdorff(không
giantách),tôpôcủanógọilàtôpôHousdoff(tôpôtách).
Định lí 1.13. Trong khônggiantôpôHousdorff,mộtlọcchỉcóthểhộitụtới
nhiềunhấtmộtđiểm.
Định nghĩa 1.26.MộtkhônggiantôpôXgọilàcompactnếumỗilọcStrênXđều
cómộtlọcmạnhhơnhộitụ.
12
Chương II. Các không gian hàm
Mụcđíchchínhcủachươngnàylàthảoluậnvềcáckhônggian
1
L
,
L
và
p
L
trongbamụctươngứngdướiđây.Mộtđiểmthuậnlợilàtacoicáckhônggianđólà
cáckhônggianconcủamộtkhônggianlớnhơn
0
L
gồmcáclớptươngđươngcủa
cáchàm(hầunhư)đođược.
2.1 Không gian
và
Nguyên tắcgần nhưđầu tiêncủa lýthuyết độđo chínhlà cáctập cóđộ đo
không thường được bỏ qua. Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể
thường(khôngluônluôn!)đượcxemnhưlàđồngnhấtvớinhau.Ýtưởngcủaphần
nàylàthànhlậpkhônggiangồmcáclớptươngđươngcủacáchàmsố,vànóirằng
haihàmsốlàtươngđươngnếuvàchỉnếuchúngtrùngnhaungoàimộttậpbỏqua
được.
2.1.1 Không gian
Định nghĩa 2.1. Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ.Taviết
0
L
,hay
0
( )
L
,làkhônggiancủacáchàmnhậngiátrịthựcxácđịnhtrênphầnbùcủacác
tậpconbỏquađượccủa
X
,Nghĩalà:
Nếu
E X
,
C
E
làtập
-khôngthìhạnchếcủaftrênE,kíhiệu
E
f
là
-đo
được(đođượcđốivới
-đạisốbổsungtheo
)
2.1.2 Tính chất cơ bản
Nếu
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ,khiđóchúngtacónhữngđiềusau
đây,tươngứngvớinhữngtínhchấtcơbảncủahàmđođươc.
(a)Mộthàmhằngnhậngiátrịthựcxácđịnhhầukhắpnơitrong
X
thuộcvào
0
L
(b)
0
f g
L
vớimọi
0
,f g
L
(nếu
F
f
và
F
g
,thì
( )
( ) ( ) ( )
F G F G
f g f g
làđo
được).
(c)
0
cf
L
vớimọi
0
,f c
L
.
(d)
0
f g
L
vớimọi
0
,f g
L
.
(e)Nếu
0
f
L
và
:h
làBorelđođược,thì
0
hf
L
.
(f)Nếu
( )
n n
f
làmộtdãytrong
0
L
và
lim
n
n
f f
đượcxácđịnh(nhưlàmộthàm
nhậngiátrịthực)hầukhắpnơitrong
X
,thì
0
f
L
.
13
(g)Nếu
( )
n n
f
làmộtdãytrong
0
L
và
sup
n
n
f f
đượcxácđịnh(nhưlàmộthàm
nhậngiátrịthực)hầukhắpnơitrong
X
,thì
0
f
L
.
(h)Nếu
( )
n n
f
làmộtdãytrong
0
L
và
inf
n
n
f f
đượcxácđịnh(nhưlàmộthàm
nhậngiátrịthực)hầukhắpnơitrong
X
,thì
0
f
L
.
(i)Nếu
( )
n n
f
làmộtdãytrong
0
L
và
limsup
n
n
f f
đượcxácđịnh(nhưlàmộthàm
nhậngiátrịthực)hầukhắpnơitrong
X
,thì
0
f
L
.
(j)Nếu
( )
n n
f
làmộtdãytrong
0
L
và
liminf
n
n
f f
đượcxácđịnh(nhưlàmột
hàmnhậngiátrịthực)hầukhắpnơitrong
X
,thì
0
f
L
.
(k)
0
L
thựcchấtlàtậpcáchàmnhậngiátrịthực,xácđịnhtrêncáctậpconcủa
,X
bằngnhauhầukhắpnơiđốivớimộthàm
-đođượctừ
X
vào
nàođó.
2.1.3 Không gian
Định nghĩa 2.2.Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ.Khiđó“
. .h k n
“là
mộtquanhệtươngđươngtrên
0
.L
Viết
0
L
,hoặclà
0
( )
L
,làtậpcáclớptương
đươngtrong
0
L
dướiquanhệ“
. .h k n
“.Với
0
,
f
L
viết
f
làlớptươngđương
trong
0
.L
2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của
Giảsử
( , , )
X
làkhônggianđobấtkỳ,vàđặt
0 0
( )
L L
,
0 0
( )
L L
.
(a)Nếu
0
1 2 1 2
, , ,f f g g
L
và
.1 .
2
,
h k n
f f
.
1 2
.h k n
g g
thì
.
1 1 2 2
.h k n
f g f g
.Tươngtự
chúngtacóthểđịnhnghĩaphépcộngtrong
0
L
bởicáchđặt
( )f g f g
với
tấtcả
0
,f g
L
(b)Nếu
0
1 2
,f f
L
và
.
1 2
.h k n
f f
thì
.
1 2
.h k n
cf cf
vớimọi
c
.Tươngtựchúngta
cóthểđịnhnghĩaphépnhânvôhướngtrên
0
L
bởicáchđặt
( )cf cf
vớitấtcả
0
,
f
L
.
c
(c)
0
L
làmộtkhônggiantuyếntínhtrên
,vớiphầntửkhông
,
0
ởđây
0
làhàm
cótậpxácđịnhlà
X
vànhậngiátrị
0
,vàphầntửđối
(
.)f f
Thậtvậy
(i)
( ) ( )f g h f g h
vớitấtcả
0
, ,f g h
L
,
vìvậy
( ) ( )
u v w u v w
vớitấtcả
0
, ,
u v w L
.
(ii)
f f
0 0
vớimọi
0
f
L
,
vìvậy
u u u
0 0
vớimọi
0
.u L
14
(iii)
. .
( )
h k n
f f
0
vớimọi
0
,
f
L
vìvậy
( )f f
0
vớimọi
0
.
f
L
(iv)
f g g f
vớimọi
0
, ,
f g
L
vìvậy
u v v u
vớimọi
0
, .u v L
(v)
( )
c f g cf cg
vớitấtcả
0
,f g
L
và
,
c
vìvậy
( )
c u v cu cv
vớimọi
0
,
u v L
và
c
.
(vi)
( )
a b f af bf
vớitấtcả
0
, , ,
f a b
L
vìvậy
( )
a b u au bu
vớitấtcả
0
, , .
u L a b
(vii)
( ) ( )ab f a bf
vớitấtcả
0
, , ,
f a b
L
vìvậy
( ) ( )ab u a bu
vớitấtcả
0
, , .
u L a b
(viii)
1
f f
vớitấtcả
0
,
f
L
vìvậy
1
u u
vớitấtcả
0
.u L
2.1.5 Cấu trúc thứ tự của
Giảsử
( , , )
X
làkhônggianđobấtkỳvàđặt
0 0 0 0
( ), ( ).
L L
L L
(a)Nếu
0
1 2 1 2
, , ,f f g g
L
,
1 2 . 2
. 1
,
h k h k nn
f f g g
và
.
1 1
.h k n
f g
,thì
.2 .
2
.
h k n
f g
Vìvậy
chúngtacóthểxácđịnhmộtquanhệ
trên
0
L
bằngcáchnóirằng
f g
nếuvà
chỉnếu
. .
.
h k n
f g
(b)
làmộtthứtựmộtphầntrên
0
.L
Thậtvậy,nếu
0
, ,f g h
L
và
. .h k n
f g
và
. .h k n
g h
,thì
. .
.
h k n
f h
Tươngtự
u w
với
0
, ,
u v w L
và
, .u v v w
Mặtkhác,nếu
0
f
L
thì
. .
;
h k n
f f
do
u u
vớimọi
0
.u L
Cuốicùng,nếu
0
,f g
L
và
. .h k n
f g
và
. .
,
h k n
g f
thì
. .
,
h k n
f g
vìvậynếu
u v
và
v u
thì
.u v
(c)
0
,L
với
,
làmộtkhônggiantuyếntínhthứtựmộtphần,nghĩalà,mộtkhông
giantuyếntínhvớimộtthứtự
thỏamãn:
(i)nếu
u v
thì
u w v w
vớimọi
,w
(ii)nếu
0
u
thì
0
cu
vớimọi
0.
c
Thậtvậy,nếu
0
, ,f g h
L
và
. .
,
h k n
f g
thì
. .
.
h k n
f h g h
Nếu
0
f
L
và
. .
0,
h k n
f
thì
. .
0
h k n
cf
vớimọi
0.
c
(d)
0
L
làmộtkhônggianRieszhaydànvéctơ,nghĩalà,mộtkhônggiantuyếntính
thứtựmộtphầnthỏamãn
sup{ , }, inf{ , }u v u v u v u v
đượcxácđịnhvớitấtcả
0
, .u v L
Chứng minh:
15
Lấy
0
,f g
L
saocho
• •
, .f u g v
Khiđó
f g
,
,f g
taviết
( )( ) max( ( ), ( )), ( )( ) min( ( ), ( ))f g x f x g x f g x f x g x
với
dom domx f g
(domflàmiềnxácđịnhcủahàmsốf).
Với
0
h
L
bấtkỳ,tacó
. . . . . .
và ,
h k n h k n h k n
f g h f h g h
. . .
và ,
a e a e a e
h f g h f h g
Suyravới
0
w L
bấtkỳ,tacó
( ) và ,f g w u w v w
( ) và .w f g w u w v
Dovậy
( ) sup{ , } ,f g u v u v
( ) inf{ , }
f g u v u v
trong
0
.L
(e)Vớibấtkỳ
0
u L
tacó
| | ( )u u u
;vànếu
0
f
L
thì
| | | | .f f
Nếu
0
,
,
f g
L
c
thì
1
| | | || |, ( | |)
2
,
cf c f f g f g f g
. .
1
( | |), | | | | | |,
2
h k n
f g f g f g f g f g
vìvậy
1
| | | || |, ( | |)
2
,
cu c u u v u v u v
1
( | |),
2
u v u v u v
| | | | | |u v u v
vớitấtcả
0
, .u v L
(f)Nếu
f
làmộthàmnhậngiátrịthực,đặt
( ) max( ( ),0), ( ) max( ( ),0)
f x f x f x f x
với
dom ,x f
suyra
, | | ,f f f f f f f f
tấtcảcáchàmnàyđềuxácđịnhtrên
dom .f
Tươngtựtrong
0
,L
đặtcáctoántử
0, 0,
u u u u
vàtacó
, | | , 0.
u u u u u u u u u u
(g)Hiểnnhiên,nếu
0
u
trong
0
,L
tồntạimột
0
f
trong
0
L
saocho
.f u
Thật
vậylấy
0
g
L
bấtkỳsaocho
•
,u g
vàđặt
0
f g
thì
0.
f
2.1.6 Các tính chất quan trọng của
Định nghĩa 2.3.
16
(a)MộtkhônggianRiesz
U
làÁc-si-métnếuvớibấtkỳ
, 0
u U u
(nghĩalà,
0
u
và
0
u
),
,v U
cómột
n
saocho
.nu v’
(b)MộtkhônggianRiesz
U
làDedekind
-đủ(hay
-thứtự-đủ,hay
đủ)nếu
vớimọitậpkhácrỗngđếmđược
A U
bịchặntrênđềucóítnhấtmộtcậntrênnhỏ
nhấtởtrong
.U
(c)MộtkhônggianRieszlàDedekindđủ(haythứtựđủ,hayđủ)nếuvớimọitập
khácrỗng
A U
bịchặntrêntrong
U
đềucóítnhấtmộtcậntrênnhỏnhấtởtrong
.U
Định lý 2.1.Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđo.Đặt
0 0
( ).
L L
(a)
0
L
làÁc-si-métvàDedekind
-đủ.
(b)Nếu
( , , )
X
lànửa-hữuhạn,thì
0
L
làDedekindđủnếuvàchỉnếu
( , , )
X
là
khảđịaphươnghóa.
Chứng minh:
Đặt
0 0
( ).
L L
(a) (i)Nếu
0
,
u v L
và
0
u
,viết
u
nhưlà
f
và
v
nhưlà
g
trongđó
0
, .
f g
L
Khiđó
{ : dom , ( ) 0}
E x x f f x
làkhôngbỏquađược.Khiđótồntại
n
saocho
{ : dom dom , ( ) ( )}
n
E x x f g nf x g x
làkhôngbỏquađược,vì
.
dom
n
n
E g E
Mặtkhác
.nu v’
Vì
u
và
v
làtùyýnên
0
L
làÁc-si-mét.
(ii)Giảsử
0
A L
làmộttậpkhácrỗngđếmđượccómộtcậntrên
w
trong
0
.L
Viết
A
nhưlà
{ : }
n
f n
trongđó
( )
n n
f
làmộtdãytrong
0
,L
và
w
nhưlà
h
trongđó
0
.
h
L
Đặt
sup
n
n
f f
.Khiđótacó
( )f x
xácđịnhtrên
tạiđiểmbấtkỳ
dom dom
n
n
x h f
saocho
( ) ( )
n
f x h x
vớimọi
,
n
nghĩalà,vớihầuhết
x X
;
vìvậy
0
.
f
L
Đặt
0
.u f L
Nếu
0
v L
,lấy
v g
trongđó
0
,
g
L
khiđó
n
u v
vớimọi
n
vớimỗi
,
n
. .n h k n
f g
vớihầuhết
, ( ) ( )
n
x X f x g x
vớimỗi
n
. .
.
h k n
f g u v
Dovậy
sup
n
n
u u
trong
0
.L
VìAlàbấtkỳ,
0
L
làDedekind
-đủ.
(b) (i)Giảsửrằng
( , , )
X
làđịaphươnghóa.
0
A L
làmộttậpkhácrỗngbấtkỳcócậntrên
0
0
.w L
Đặt
17
{ :A f
f
làmộthàmđođượctừXvào
,
•
,f A
khiđómọiphầntửcủa
A
códạng
•
f
với
f
A
nàođó.Vớimỗi
,
q
q
E
làhọ
cáctậpconcủaX cóthểbiểudiễndướidạng
{ : ( ) }x f x q
với
f
A
nàođó;khiđó
.
q
E
Do
( , , )
X
làđịaphươnghóanêncómộttập
q
F
làmộtcậntrênđúngchủyếu
cho
.
q
E
Với
,x X
đặt
•
( ) sup{ : , },
q
g x q q x F
chấpnhận
làcậntrênđúngcủamộttậpbịchặntrên,và
là
sup
.Khiđó
*
,
{ : ( ) }
q
q q a
x g x a F
vớimỗi
.
a
Nếu
f
A
,thì
.
*
.h k n
f g
.Thậtvậyvớimỗi
,
q
đặt
{ : ( ) } ;
q q
E x f x q
E
thì
q q
E F
‚
làbỏquađược.Đặt
( ).
q q
q
H E F
‚
Nếu
x X H
‚
,thì
*
( ) ( ) ,f x q g x q
suyra
*
( ) ( )f x g x
vàdovậy
. .
*
.
h k n
f g
Nếu
:h X
làđođượcvà
•
u h
vớimỗi
,u A
thì
.
*
.
.
h k n
g h
Đặt
{ : ( ) }
q
G x h x q
vớimỗi
.
q
Nếu
q
E
E
,cómột
f
A
saocho
{ : ( ) };E x f x q
bâygiờ
. .h k n
f h
,vìvậy
{ : ( ) ( )}
q
E G x f x h x
‚
làbỏquađược.
Vì
q
F
làmộtcậntrênđúngcốtyếucủa
,
q
E
nên
q q
F G
‚
làbỏquađượcvớimỗi
q
.Dẫnđến
*
{ : ( ) ( )}
q q
q
x h x g x F G
‚
làbỏquađược,và
.
*
.
.
h k n
g h
ChúýrằngchúngtađanggiảsửAkhácrỗngvàA cómộtcậntrên
0
0
.w L
Lấy
0
f
A
bấtkỳvàmộthàmđođược
0
:h X
saocho
•
0 0
h w
;khiđó
.
0
.h k n
f h
vớimỗi
f
A
,vìvậy
*
0 0
. . . .h k n h k n
f g h
,và
*
g
phảihữuhạnhầukhắp
nơi.Đặt
*
( ) ( )g x g x
khi
*
( ) ,
g x
tacó
0
g
L
và
. .
*
,
h k n
g g
vìvậy
. . . .h k n h k n
f g h
Trongđó
,f h
làcáchàmđođượctừ
•
,
X f A
và
•
h
làmộtcậntrêncủa
A
;
nghĩalà,
•
u g w
với
u A
và
w
làmộtcậntrêncủa
A
.
18
Điềunàycónghĩalà
•
g
làcậntrênnhỏnhấtcủa
A
trong
0
.L
Do
A
làbấtkỳ,nên
0
L
làDedekindđủ.
(ii)Giảsửrằng
0
L
làDedekindđủ,
( , , )
X
lànửa-hữuhạn,
E
làmộttậpcontùyý
của
.
Đặt
• 0
{0} {( ) : } .A E E L
E
Khiđó
A
bịchặntrênbởi
•
( )X
vìvậycómộtcậntrênbénhất
0
.w L
Biểu
diễn
w
nhưlà
•
h
trongđó
:h X
làđođược,vàđặt
: 0 .
F x h x
Khiđó
F
làmộtcậntrênđúngcốtyếucủa
E
trong
.
Thậtvậy,
( )
Nếu
,
E
E
thì
•
( )
E w
vìvậy
. .h k n
E h
,nghĩalà,
( ) 1
h x
vớihầuhết
,x E
và
{ : , ( ) 1}
E F x x E h x
‚
làbỏquađược.
( )
Nếu
G
và
E G‚
làbỏquađượcvớimỗi
,
E
‚ E
thì
. .h k n
E G
vớimỗi
,
E
E
nghĩalà,
• •
( ) ( )E G
vớimỗi
;
E
E
vìvậy
•
( )w G
,nghĩalà,
. .h k n
h G
.Tươngtự
{ : ( ) ( )( )}F G x h x G x
‚
làbỏquađược.
Do
E
tùyýnên
( , , )
X
làđịaphươnghóa.
2.1.7 Cấu trúc nhân của
Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ,
0 0 0 0
( ), ( ).
L L
L L
(a)Nếu
0
1 2 1 2
, , ,f f g g
L
và
1 2 2
. . . .1
,
h k n h k n
f f g g
thì
.1 .
1 2 2
.
h k n
f g f g
Tươngtự,ta
địnhnghĩaphépnhântrong
0
L
bằngcáchđặt
• • •
( )f g f g
vớitấtcả
0
, .
f g
L
(b)Vớimọi
0
, ,
u v w L
và
,
c
dễdàngkiểmtra
( ) ( ) ,u v w u v w
• •
,u u u
1 1
trongđó
1
làhàmhằngnhậngiátrị1,
( ) ,c u v cu v u cv
( ) ( ) ( ),u v w u v u w
( ) ( ) ( ),u v w u w v w
,u v v u
| | | | | |,u v u v
u v
0
nếuvàchỉnếu
| | | | 0,
u v
| | | |u v
nếuvàchỉnếucómột
w
saocho
•
| |
w
1
và
.u v w
19
2.1.8 Hoạt động của các hàm Borel trên
Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđovà
:h
làmộthàmBorelđođược.
Khiđó
0 0
( )
hf
L L
vớimọi
0
f
L
và
. .h k n
hf hg
nếu
. .h k n
f g
.Vìvậy,tacó
mộthàm
0 0
:
h L L
đượcxácđịnhbằngcáchđặt
• •
( ) ( )h f hf
vớimỗi
0
.
f
L
Vídụ,nếu
0
u L
và
1p
,taxét
| | ( )
p
u h u
trongđó
( ) | |
p
h x x
với
.
x
2.1.9 Không gian
phức
Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđo.
(a)Viết
0 0
( )
L L
chokhônggiancủacáchàmnhậngiátrịphứcfthỏamãn
domf
làmộttậpconcóphầnbùbỏquađượccủaXvàcómộttậpconcóphầnbù
bỏquađược
E X
thỏamãn
E
f
làđođược;nghĩalà,ImfvàRefcùngthuộc
0
( )
L
.Tiếptheo,
0 0
( )
L L
sẽlàkhônggiangồmcáclớptươngđươngtrong
0
L
dướiquanhệtươngđương“
. .h k n
“.
(b)Tươngtự2.1.4,dễdàngmôtảphépcộngvàphépnhânvôhướngtrong
0
L
.
Cùngvớihaiphéptoánđó,
0
L
làmộtkhônggiantuyếntínhtrên
.
Chúngkhông
cócấutrúcthứtự,nhưngchúngtacóthểxácđịnhmột`phầnthực',là
• 0
{ :f f
L
làthựchầukhắpnơi},
hiểnnhiênxácđịnhđượckhônggiantuyếntínhthực
0
L
,vàcácánhxạtươngứng
( )u Re u
,
0 0
( ):
u Im u L L
saocho
( ) ( )u Re u iIm u
vớimỗiu, Re(u)làphần
thựccủa u, Im(u) làphầnảocủa u.
Hơnnữa,chúngtacómộtkýhiệucủa`trịtuyệtđối',viếtlà
• •
| | | |f f
vớimỗi
0
,
f
L
thỏamãn
| | | || |,| | | | | |cu c u u v u v
với
0
,
u v L
và
c
.
Hiểnnhiên,tavẫncònmộtphépnhântrong
0
L
thỏamãntấtcảcáccôngthức
trong2.1.7.
(c) Vớibấtkỳ
0
u L
,ulàcậntrênđúngtrong
0
L
của
{ ( ) : ,| | 1}.
Re u
Thậtvậy,nếu
| | 1
,thì
( ) | | | |Re u u u
vì
| |u
làmộtcậntrêncủa
{ ( ) :| | 1}
Re u
.Hơnnữa,nếu
0
v L
và
( )Re u v
với
| | 1
,tabiểudiễnu,
vlà
• •
,f g
trongđó
:f X
và
:g X
làđođược.Vớimỗi
,
q x X
đặt
( ) ( ( )).
iqx
q
f x Re e f x
Khiđó
.
.
q a e
f g
Tươngtự
{ : ( ) ( )
q
H x f x g x
vớimỗi
}
q
làcóphầnbùbỏquađược.Dĩnhiên
{ :| ( ) | ( )},H x f x g x
dođó
. .
| |
h k n
f g
và
| | .u v
Vìvbấtkỳ,
| |u
làcậntrênnhỏnhấtcủa
{ ( ) :| | 1}
Re u
.
20
2.2 Không gian
L
làcáclớptươngđươngcủacáchàmkhảtích.Khônggiannàymôtảrất
nhiềucácđịnhlývềcáchàmkhảtích.Nócũngcóthểxuấthiệnnhưlàmộtkhông
giantựnhiênmàtrongđócóthểtìmranhiềulờigiảichomộtlớprấtlớncác
phươngtrìnhtíchphân,vànhưlàphầnbổsungchokhônggiancáchàmliêntục.
2.2.1 Không gian
Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ.
(a)Giảsử
1 1
( )
L L
làtậpcáchàmnhậngiátrịthực,xácđịnhtrêncáctậpconcủa
X,khảtíchtrênX.Khiđó
1 0 0
( )
L L L
,nhưđãđịnhnghĩatrong2.1.1,vàvới
0
f
L
,chúngtacó
1
f
L
nếuvàchỉnếucómột
1
g
L
saocho
. .
| |
h k n
f g
;nếu
1
f
L
,
0
g
L
và
. .h k n
f g
,thì
1
g
L
.
(b)Định nghĩa 2.4.
1 1 0 0
( ) ( )
L L L L
làtậpgồmcáclớptươngđươngcủacác
phầntửcủa
1
L
.Nếu
1
,f g
L
và
. .h k n
f g
thì
f g
.Tươngtựchúngtacóthể
xácđịnhmộthàm
f
trên
1
L
bằngcáchviết
•
f f
vớimỗi
1
.
f
L
(c)Taviết
A
u
với
1
,
u L A X
(xácđịnhbằngcáchviết
•
A A
f f
vớimỗi
1
f
L
).Thậtvậy,tachỉcầnkiểmtrarằngnếu
. .h k n
f g
thì
A A
f g
;và
điềunàylàdo
A A
f g
hầukhắpnơitrên
A
.□
Nếu
1
,
E u L
thì
•
( )
E
u u E
do
E
f f E
vớimỗihàmkhảtíchf.
(d)Nếu
1
,u L
thìtồntạimộthàm
-đođược,
-khảtích
:f X
saocho
•
.f u
Vìnhưđãchúýtrong2.1.2,cómộthàmđođược
:f X
saocho
•
f u
;
nhưngtấtnhiênflàkhảtíchbởivìnóbằngnhauhầukhắpnơivớimộthàmkhả
tíchnàođó.
Định lý 2.2.Giảsử
( , , )
X
làkhônggianđobấtkỳ.Khiđó
1
( )
L
làmộtkhông
giancontuyếntínhcủa
0
( )
L
và
1
: L
làmộthàmtuyếntính.
Chứng minh:Nếu
1 1
, ( )
u v L L
và
, ,c f g
làcáchàmkhảtíchsaocho
• •
,
u f v g
;khiđóf + gvàc flàkhảtích,vìvậy
•
( )u v f g
và
•
( )cu cf
thuộcvào
1
L
.Ngoàira
u v f g f g u v
và
21
.cu cf c f c u
2.2.2 Cấu trúc thứ tự của
Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ.
(a)
1 1
( )
L L
cómộtcấutrúcthứtựđượcsuyratừ
0 0
( )
L L
(2.1.5);nghĩalà,
• •
f g
nếuvàchỉnếu
f g
hầukhắpnơi.Làmộtkhônggiancontuyếntínhcủa
0
L
,
1
L
phảilàmộtkhônggiantuyếntínhsắpthứtựmộtphần(haiđiềukiệncủa
2.1.5clàhiểnnhiêntheotínhchấtcủakhônggiancontuyếntính).
Chúýrằngnếu
1
,
u v L
và
u v
thì
u v
,bởivìnếu
,f g
làcáchàmkhả
tíchvà
. .h k n
f g
thì
.f g
(b)Nếu
0 1
,
u L v L
và
| | | |u v
thì
1
u L
.Thậtvậy,giảsử
0 0
( ),
f
L L
1 1
( )
g
L L
saocho
•
u f
,
•
v g
;thìglàkhảtíchvà
. .
| | | |
h k n
f g
,vìvậyf
khảtíchvà
1
u L
.
(c)Đặcbiệt,
1
| |u L
với
1
u L
,và
max , ( ) | |,u u u u
bởivì
, | | .u u u
(d)Do
1
| |
u L
vớimỗi
1
,u L
1 1
( | |), ( | |)
2 2
u v u v u v u v u v u v
thuộcvào
1
L
vớitấtcả
1
,
u v L
.Nhưngnếu
1
,w L
chắcchắnlàchúngtacó
,w u w v w u v
w u w v w u v
bởivìđiềunàyđúngvớimọi
0
w L
,vàvì
sup{ , }u v u v
,
inf{ , }u v u v
trong
1
L
.Dovậy
1
L
làmộtkhông
gianRiesz.
(e)Chúýrằngnếu
1
u L
,thì
0
u
nếuvàchỉnếu
0
E
u
vớimỗi
E
;điềunày
làbởivìnếuflàmộthàmkhảtíchtrênXvà
0
E
f
vớimỗi
,
E
thì
. .
0
h k n
f
.
Tổngquáthơn,nếu
1
,
u v L
và
E E
u v
vớimỗi
E
,thì
u v
.Cuốicùngnếu
1
,
u v L
và
E E
u v
vớimỗi
E
,thì
u v
.
(f)Nếu
0
u
trong
1
L
,cómộthàmkhôngâm
1
f
L
saocho
•
f u
.
2.2.3 Chuẩn của
Giảsử
( , , )
X
làmộtkhônggianđobấtkỳ.
