tóm tắt luận án toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Đào Văn Dương
TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2013
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Minh Chương
Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng
Học viện Quản lý giáo dục
Phản biện 2: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát
Viện Toán học
Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, vào hồi giờ ngày tháng
năm
Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Thư viện Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát triển
rất mạnh. Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để giải quyết
nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong Khoa học,
Công nghệ nói chung. Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết
toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-Zygmund hay
lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian phiếm hàm, từ đó
đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian phiếm hàm quan trọng

như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO, Ngược lại, cũng có
thể sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt
trong việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc. Ngày nay, sự
phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các toán tử giả vi phân
và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính khoa học và tính ứng dụng
của chúng ngày càng cao.
Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết
sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong những công
cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Toán học, Vật lý,
Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, địa chấn, nén dữ liệu,
sinh học, y học, thị trường chứng khoán Đã có nhiều nhà toán học như
Yves Meyer, Ingrid C. Daubechies, David L. Donoho, Ronald R. Coifman,
Nguyễn Minh Chương, P. R. Massopust, A. Rieder, R. S. Pathak, G. Strang
tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình về lĩnh vực lý thuyết
sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ.
Năm 2004, Ram S. Pathak đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ xác
định bởi (W
ψ
φ)(b, a) =

R
n
φ(t)ψ

t−b
a

dt
a
n

, trong đó a là một số thực dương
và b ∈ R
n
. Nếu φ, ψ ∈ L
2
(R
n
) thì bởi đẳng thức Parseval của biến đổi Fourier
ta có (W
ψ
φ)(b, a) = (2π)
−n

R
n
e
iωb
ˆ
ψ(aω)
ˆ
φ(ω)dω. Từ biểu thức này, ta thấy
1
2
toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi phân với biểu trưng
σ(a, ω) =
ˆ
ψ(aω). Với nhận xét tinh tế này, Ram S. Pathak đã sử dụng lý
thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ trên
không gian các phân bố. Ngày nay do nhu cầu của thực tiễn ứng dụng, lý
thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên trường số thực, phức mà đã được

chuyển sang nghiên cứu trên trường số p-adic, hoặc tổng quát hơn trên các
trường địa phương. Năm 2002, các tác giả C. Minggen, G. Gao và P. Chung
đã nghiên cứu các kết quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên
trường p-adic mà ý tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực.
Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue, Sobolev
(kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các hàm suy rộng,
trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính
đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận, cho toán tử tích phân sóng nhỏ. Tính bị
chặn của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyến
tính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và có
nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một số trường
hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, nghiệm của phương
trình. Thậm chí Charles Fefferman đã đưa ra được một chứng minh mới cho
sự hội tụ từng điểm của chuỗi Fourier trong không gian L
q
[0, 2π] (q > 1)
bằng cách nghiên cứu tính bị chặn của một lớp toán tử cực đại. Đối với toán
tử tích phân sóng nhỏ, việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng
điệu tiệm cận ứng với tham biến a nhỏ, trên một số không gian hàm đang
là vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trường
thực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu. Một trong những toán tử quan trọng trong giải tích điều
hòa là toán tử Hardy-Littlewood. Năm 1920, G. H. Hardy đã thiết lập một
bất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thức tích phân Hardy),
từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý về chuỗi kép của Hilbert.
Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết phương
trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các không gian phiếm hàm. Năm
1984, các tác giả C. Carton-Lebrun và M. Fosset đã giới thiệu toán tử tích

phân Hardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood
3
từ một chiều lên nhiều chiều. Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood có trọng
đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trong đó các
nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho
hàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bị chặn trên các không
gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin và đánh giá chuẩn của toán
tử Hardy-Littlewood có trọng trong các không gian hàm, Trên trường
p-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood có
trọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian hàm
như L
q
, BM O, Hardy, H¨older, Morrey, Herz (trong không gian Herz chỉ mới
nghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1). Đặc biệt, gần đây toán tử
tích phân Hardy-Cesàro có trọng cũng được nghiên cứu trên các không gian
Lebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và có thể áp dụng chúng để
nghiên cứu các bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực.
Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyển
sang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic. Tuy nhiên đối với lý thuyết
các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988, V. S.
Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier,
tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic D
α
. Đến năm 1994, các tác giả
V. S. Vladimirov, I. V. Volovich và E. I. Zelenov đã đề cập một cách có hệ
thống giải tích p-adic và vật lý toán. Như đã nói ở trên, việc nghiên cứu và
phát triển một số kết quả từ trường thực sang trường p-adic đã được nhiều
nhà toán học trên thế giới quan tâm. Tuy nhiên đối với giải tích điều hòa
p-adic, còn rất nhiều bài toán quan trọng chưa được nghiên cứu. Chẳng hạn,
mở rộng nghiên cứu các bất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phân

Hardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trên
trường p-adic.
Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng,
thâm nhập lẫn nhau. Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ dị (giả
vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ, đã có rất nhiều
công trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng. Ở đây, chúng tôi chỉ
giới thiệu mối quan hệ giữa toán tử tích phân D
α
với một cơ sở sóng nhỏ
p-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này. Cụ thể, năm 2002
nhà toán học người Nga S. V. Kozyrev lần đầu tiên đã phát hiện mối liên quan
đặc biệt giữa giải tích phổ trên trường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường
4
thực nhờ phép biến đổi p-adic liên tục nhưng không 1 − 1 từ Q
p
sang R
+
như sau: ρ : Q
p
→ R
+
, ρ(

∞
i=γ
a
i
p
i
) =


∞
i=γ
a
i
p
−i−1
, ở đó a
i
= 0, , p − 1,
γ ∈ Z. Hơn nữa, ánh xạ ρ là một song ánh từ tập Q
p
/Z
p
(gồm các số p-adic
có dạng

−1
i=γ
x
i
p
i
) vào tập các số tự nhiên gồm cả số không. Ngoài ra, S.
V. Kozyrev còn xây dựng một phép biến đổi unita ρ
∗
: L
2
(R
+

) → L
2
(Q
p
)
xác định bởi ρ
∗
f(x) = f(ρ(x)). Ánh xạ này, với p = 2, đã chuyển một cơ
sở trực chuẩn các sóng nhỏ trong L
2
(R
+
) thành một cơ sở trực chuẩn trong
L
2
(Q
2
) gồm các véctơ riêng của toán tử Vladimirov D
α
. Cũng nhờ ánh xạ
ρ
∗
, S. V. Kozyrev đã định nghĩa được toán tử Vladimirov trên L
2
(R
+
), cụ
thể là ∂
α
p

f(x) = ρ
∗
−1
D
α
ρ
∗
f(x). Như vậy, nhờ toán tử Vladimirov mà S. V.
Kozyrev đã xây dựng được một cơ sở gồm các hàm riêng của D
α
, đặc biệt
với p = 2 tồn tại một song ánh chuyển cơ sở này thành một cơ sở sóng nhỏ
trên trường thực. Bởi lý do này, S. V. Kozyrev gọi cơ sở gồm các hàm riêng
của toán tử D
α
vừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic. Rõ ràng, đây là một
phát hiện rất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán học
khác nhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ. Từ đó giải tích sóng
nhỏ và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song.
Kể từ khi S. V. Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóng nhỏ
và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đã được nhiều
nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S. Albeverio, J.
J. Benedetto, R. L. Benedetto, A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, M.
Skopina, S. V. Kozyrev, Nguyễn Minh Chương , trong đó các nhà toán học
chủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải p-adic, phương trình
lọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic, bài toán Cauchy đối với
phương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả vi phân p-adic và những ứng
dụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ. Việc nghiên cứu, phát triển
lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn các hàm trong những
không gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả vi phân p-adic, đang là

một trong những chủ đề được quan tâm hiện nay.
Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý cho tôi
nghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán tử tích
phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm
riêng của toán tử Vladimirov D
α
trên một số không gian hàm.
5
IV. Bố cục của Luận án
Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,
gồm 4 chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue, trường
số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier. Đây là những kiến thức
cần thiết cho việc trình bày các chương sau.
Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận ứng
với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không
gian Besov, BMO và Hardy H
1
cũng như trên các không gian Besov và BMO
có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để
các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng
là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường
p-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân
Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm
Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic.
Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedy
của hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử Vladimirov D
α
trong không gian L

r
(Q
n
p
) với 1 < r < ∞.
Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của
GS.TSKH. Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả
những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này, tác giả xin
bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận
được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả xin chân
thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy. Tác giả xin chân thành cảm
ơn các Thầy, Cô cùng các anh chị em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán
tử giả vi phân, sóng nhỏ trên các trường thực, p-adic" của Giáo sư Nguyễn
Minh Chương và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu và trong cuộc sống.
Chương 1
Một số khái niệm và kết
quả cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ được
sử dụng trong toàn bộ luận án. Bởi vì luận án nghiên cứu một số kết quả
đồng thời trên trường số thực và trên trường số p-adic, cho nên một số kiến
thức cơ sở như không gian Lebesgue, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng
thức H¨older sẽ được trình bày trên không gian đo được tổng quát và sẽ
được sử dụng cho cả hai trường hợp trên trường số thực và trên trường số
p-adic. Phần còn lại, chúng tôi trình bày sơ lược về trường số p-adic, lý thuyết
tích phân và biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân trên trường số p-adic.
1.3 Trường số p-adic

Cho p là một số nguyên tố, ta định nghĩa chuẩn p-adic | · |
p
như sau. Đặt
|0|
p
= 0. Với mọi số hữu tỷ x ∈ Q khác không có biểu diễn x = p
γ
m
n
, trong
đó m, n là các số nguyên không chia hết cho p, ta đặt |x|
p
= p
−γ
. Dễ thấy
rằng chuẩn p-adic | · |
p
cảm sinh một metric tự nhiên ρ(x, y) = |x − y|
p
trên
trường các số hữu tỷ Q. Làm đầy trường Q bởi metric ρ ta được trường các
số p-adic và ký hiệu là Q
p
. Trường số p-adic có một số tính chất quan trọng
sau đây.
Mệnh đề 1.3.1. (a) Mọi số p-adic khác không đều biểu diễn được duy nhất
dưới dạng chính tắc sau đây
x = p
γ
(x

0
+ x
1
p + x
2
p
2
+ ···), (1.3)
trong đó γ = γ(x) ∈ Z phụ thuộc vào x, x
0
= 0 và x
j
∈ {0, 1, , p − 1}.
(b) Nếu số p-adic x có biểu diễn (1.3) thì |x|
p
= p
−γ
. Chuẩn |·|
p
thỏa mãn
các tính chất sau đây:
(i) |x|
p
≥ 0 với mọi x ∈ Q
p
và |x|
p
= 0 ⇔ x = 0;
(ii) |xy|
p

= |x|
p
|y|
p
với mọi x, y ∈ Q
p
;
6
7
(iii) |x +y|
p
≤ max(|x|
p
, |y|
p
) với mọi x, y ∈ Q
p
. Đặc biệt, trường hợp
khi |x|
p
= |y|
p
ta có đẳng thức |x + y|
p
= max(|x|
p
, |y|
p
).
(c) Q

p
là một trường tôpô compact địa phương, đầy đủ, khả ly, Hausdorff
và hoàn toàn không liên thông.
1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic
Bởi vì (Q
p
, +) là một nhóm tôpô giao hoán và compact địa phương, cho nên
tồn tại một độ đo Haar, đó là độ đo dương dx, bất biến với phép tịnh tiến
d(x + a) = dx. Độ đo Haar dx trên Q
p
được chuẩn hóa bởi

B
0
dx = 1. Cho
n là một số nguyên dương. Ký hiệu Q
n
p
là không gian véctơ n chiều trên Q
p
,
Q
n
p
= {x = (x
1
, , x
n
) : x
j

∈ Q
p
, j = 1, , n}. Với mọi x = (x
1
, , x
n
), y =
(y
1
, , y
n
) thuộc Q
n
p
ta có x + y = (x
1
+ y
1
, , x
n
+ y
n
) và tx = (tx
1
, , tx
n
)
với mọi t ∈ Q
p
. Ký hiệu xy = x

1
y
1
+ ··· + x
n
y
n
là tích vô hướng trong
Q
n
p
. Trên không gian Q
n
p
trang bị chuẩn p-adic |x|
p
= max
1≤j≤n
|x
j
|
p
. Khi đó
chuẩn p-adic | · |
p
trên Q
n
p
cũng có những tính chất như chuẩn p-adic trên
Q

p
. Tôpô tích trên Q
n
p
trùng với tôpô sinh bởi chuẩn |·|
p
. Hơn nữa, (Q
n
p
, +)
cũng là một nhóm tôpô giao hoán, compact địa phương. Độ đo Haar trên
Q
n
p
là dx = dx
1
···dx
n
, ở đây dx
k
là các độ đo Haar chuẩn hóa của không
gian tọa độ thứ k của Q
n
p
. Với mọi t = 0 thuộc Q
p
, ta có d(tx) = |t|
n
p
dx. Ký

hiệu S
γ
(a) =

x ∈ Q
n
p
: |x − a|
p
= p
γ

và B
γ
(a) =

x ∈ Q
n
p
: |x − a|
p
≤ p
γ

là mặt cầu, tương ứng là hình cầu, tâm a bán kính p
γ
. Đặt S
γ
= S
γ

(0) và
B
γ
= B
γ
(0).
Mỗi hàm f ∈ L
1
loc
(Q
n
p
) được gọi là khả tích trên không gian Q
n
p
nếu giới
hạn sau tồn tại
lim
N→+∞

B
N
f(x)dx = lim
N→+∞

−∞<γ≤N

S
γ
f(x)dx. (1.5)

Khi đó giới hạn trong (1.5) được gọi là tích phân của hàm f trên toàn bộ
không gian Q
n
p
và ký hiệu là

Q
n
p
f(x)dx. Nếu f ∈ L
1
loc
(Q
n
p
\{a}) thì tích phân
của hàm f trên Q
n
p
được xác định bởi giới hạn

Q
n
p
f(x)dx = lim
A→−∞
B→+∞

A≤γ≤B


S
γ
(a)
f(x)dx. (1.6)
Chương 2
Toán tử tích phân sóng
nhỏ trên một số không
gian hàm
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của toán tử tích phân
sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và H
1
(R
n
). Hơn nữa, với giả thiết
các sóng nhỏ cơ sở có giá compact nằm trong một hình cầu có tâm tại gốc,
chúng tôi cũng đưa ra tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các
không gian Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa. Từ đó
chúng tôi thu được dáng điệu tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng
với tham biến thang bậc a nhỏ. Nội dung của chương này dựa trên bài báo
thứ nhất thuộc danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án.
2.1 Giới thiệu
Từ lâu, người ta đã ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào lĩnh vực phân
tích và xử lý tín hiệu. Để tìm hiểu về thông tin phổ của tín hiệu, người ta sử
dụng biến đổi tích phân Fourier của hàm f ∈ L
2
(R) (gọi là một tín hiệu có
năng lượng hữu hạn) có công thức

f(ξ) =


R
e
−iξt
f(t)dt, ở đó t, ξ được hiểu
là biến thời gian và tần số tương ứng của tín hiệu. Nếu sử dụng phép biến
đổi Fourier để lấy ra được thông tin về phổ của tín hiệu f thì ta phải quan
sát tín hiệu f trên toàn bộ biến thời gian t, nghĩa là thông tin nhận được từ
việc quan sát tín hiệu trong một khoảng thời gian nào đó không đủ để kết
luận về phổ của tín hiệu.
Để khắc phục nhược điểm của biến đổi Fourier, từ đầu những năm thập
kỷ 40 của thế kỷ trước, Dennis Gabor đã đưa ra phép biến đổi Fourier cửa
sổ (còn gọi là biến đổi Gabor), mục đích là đưa việc nghiên cứu phổ từ chỗ
khắp trên toàn bộ đường thẳng thời gian về một cửa sổ thời gian "tốt" theo
một nghĩa nào đó, bằng cách nhân thêm biểu thức dưới dấu tích phân của
8
9

f(ξ) một hàm Gauss. Khi đó phép biến đổi Gabor có công thức
(G
α
b
f)(ξ) =

R
e
−iξt
f(t)g
α
(t − b)dt, với g
α

(t) =
1
2
√
πα
e
−
t
2
4α
. (2.2)
Phép biến đổi Gabor (G
α
b
f)(ξ) đã địa phương hoá biến đổi Fourier của f
xung quanh thời gian t = b. Hơn nữa từ

R
(G
α
b
f)(ξ)db =

f(ξ) dẫn đến tập
hợp {G
α
b
f : b ∈ R} cho ta một phân tích chính xác về phổ của tín hiệu f.
Tuy nhiên khi sử dụng biến đổi Gabor để nghiên cứu về phổ của tín hiệu,
người ta thấy rằng mặc dù đã đưa về nghiên cứu trên một cửa sổ thời gian,

song cửa sổ thời gian ấy lại có độ rộng không thay đổi với bất kỳ tần số nào.
Do vậy đối với những tín hiệu có tần số thấp hoặc tần số cao việc nghiên cứu
phổ sẽ có hiệu quả thấp. Như vậy, cần phải xây dựng một phép biến đổi mà
sao cho cửa sổ tần số - thời gian linh hoạt, nghĩa là cửa sổ thời gian tự động
giãn ra khi phân tích các tín hiệu có tần số thấp và sẽ co lại đối với các tín
hiệu có tần số cao. Xuất phát từ những ý tưởng đó, C. K. Chui trong quyển
sách chuyên khảo của mình đã giới thiệu khái niệm phép biến đổi tích phân
sóng nhỏ mà được đề xuất bởi A. Grossman, J. Morlet, T. Paul cho các hàm
f ∈ L
2
(R) như sau
(W
ψ
f)(a, b) =
1

|a|

R
f(t)ψ

t − b
a

dt, (2.3)
trong đó a ∈ R\{0} = R
∗
, và ψ là một sóng nhỏ cơ sở, nghĩa là ψ là một hàm
không tầm thường thuộc L
2

(R) thoả mãn điều kiện sau C
ψ
=

R
|

ψ(ξ)|
2
|ξ|
dξ <
∞. Phép biến đổi tích phân sóng nhỏ đã giúp các nhà phân tích tín hiệu giải
quyết được vấn đề đặt ra ở bên trên.
Về mặt toán học W
ψ
là một toán tử tích phân xác định trong không gian
Hilbert L
2
(R), do đó một vấn đề tự nhiên đặt ra là nghiên cứu biến đổi tích
phân sóng nhỏ W
ψ
trong các không gian hàm khác. Năm 1991, A. Rieder đã
mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ W
ψ
trong các không gian
Sobolev và đồng thời cũng đưa ra dáng điệu tiệm cận cho các biến đổi tích
phân sóng nhỏ ứng với các tham số thang bậc a nhỏ. Năm 1996, các tác giả
V. Perrier và C. Basdevant đã mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóng
nhỏ trong các không gian Lebesgue. Đặc biệt, họ đã đưa ra một đặc trưng
mới cho không gian Besov theo các biến đổi tích phân sóng nhỏ. Một điều rất

10
lý thú là gần đây, năm 2004, Ram S. Pathak đã nêu ra mối quan hệ giữa toán
tử tích phân sóng nhỏ và toán tử giả vi phân. Từ ý tưởng mở rộng nghiên
cứu toán tử tích phân sóng nhỏ của các nhà toán học A. Rieder, V. Perrier
và C. Basdevant, Nguyễn Minh Chương, R. S. Pathak, trên các không gian
hàm, chúng tôi cũng nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận của toán
tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO, Hardy và các không
gian Besov, BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa.
Trong chương này, chúng tôi xét các sóng nhỏ cơ sở ψ là các hàm không
tầm thường thuộc không gian L
1
(R
n
). Khi đó toán tử tích phân sóng nhỏ
được xác định bởi
(W
ψ
f)(a, b) =
1

|a|
n

R
n
f(t)ψ

t − b
a


dt, (2.7)
trong đó a là số thực khác không và b thuộc không gian R
n
.
2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian
Besov, BMO và Hardy
Với bất kỳ f ∈ L

(R
n
), 1 ≤  ≤ ∞, L

(R
n
)-môđun liên tục của một hàm f
được định nghĩa bởi ω

(f, h) = f (· + h) − f (·)

.
Định nghĩa 2.2.1. Cho 0 < α < 1, 1 ≤  ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Không gian
Besov B
α,q

(R
n
) được định nghĩa như là tập hợp tất cả các hàm f ∈ L

(R
n

)
sao cho

R
n
[ω

(f, h)]
q
dh
|h|
n+αq
< ∞
với q < ∞, và |h|
−α
ω

(f, h) ∈ L
∞
(R
n
\{0}), với q = ∞, trong đó |h| là
chuẩn Euclide của h trong R
n
. Khi đó không gian Besov B
α,q

(R
n
) là một

không gian Banach với chuẩn xác định bởi
f
B
α,q

= f

+



R
n
[ω

(f, h)]
q
dh
|h|
n+αq


1
q
(2.8)
với q < ∞, và
f
B
α,∞


= f

+ |h|
−α
ω

(f, h)
∞
. (2.9)
11
Với α = 1, không gian B
1,q

(R
n
) cũng được định nghĩa tương tự như trên,
nhưng lúc này L

(R
n
)-môđun liên tục của hàm f là ω

(f, h) = f(· + h) +
f(· − h) − 2f(·)

.
Định lý 2.2.2. Cho 0 < α ≤ 1, 1 ≤ , q ≤ ∞. Khi đó với mỗi a = 0 cố định,
toán tử
W
ψ

: B
α,q

(R
n
) −→ B
α,q

(R
n
)
f −→ (W
ψ
f)(a, ·)
là tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, ước lượng sau là đúng
(W
ψ
f)(a, ·)
B
α,q

≤ |a|
n
2
ψ
1
f
B
α,q


. (2.10)
Nhận xét. Từ Định lý 2.2.2 ta thu được dáng điệu tiệm cận của toán tử tích
phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ trong không gian Besov,
nghĩa là lim
a→0
W
ψ
(a, ·)
B
α,q

→B
α,q

= 0.
Định lý 2.2.4. Nếu ψ, φ là các sóng nhỏ cơ sở và f, g ∈ B
α,q

(R
n
) thì
(W
ψ
f)(a, ·) −(W
φ
g)(a, ·)
B
α,q

≤ |a|

n
2
(ψ −φ
1
f
B
α,q

+ φ
1
f −g
B
α,q

).
Giả sử ϕ là một hàm thuộc không gian Schwartz sao cho tích phân của ϕ
trên toàn bộ không gian R
n
là khác không. Ký hiệu ϕ
t
(x) =
1
t
n
ϕ

x
t

trong

đó t > 0, x ∈ R
n
.
Định nghĩa 2.2.5. Cho 0 <  < ∞. Không gian Hardy H

(R
n
) là tập hợp
tất cả các hàm suy rộng f ∈ S

(R
n
) sao cho
f
H

=



R
n
(sup
t>0
|(f ∗ ϕ
t
)(x)|)

dx



1

< ∞. (2.17)
Định nghĩa 2.2.6. Không gian BMO(R
n
) là tập hợp tất cả các hàm f ∈
L
1
loc
(R
n
) sao cho
f
BM O
= sup
B⊂R
n
1
|B|

B
|f(x) − f
B
|dx < ∞, (2.18)
trong đó |B| là độ đo Lebesgue của hình cầu B trong R
n
và f
B
là giá trị trung

bình của hàm f trên B, nghĩa là f
B
=
1
|B|

B
f(x)dx.
12
Một kết quả kinh điển của Charles Fefferman chỉ ra rằng không gian BMO(R
n
)
là đối ngẫu của không gian Hardy H
1
(R
n
). Có thể nói không gian BMO(R
n
)
là một mở rộng thực sự của không gian L
∞
(R
n
). Chúng ta cũng biết rằng
H
1
(R
n
) là một trong những ví dụ về không gian Banach khả ly và không
phản xạ.

Định lý 2.2.8. Cho ψ ∈ L
1
(R
n
). Khi đó với mỗi a = 0 cố định, toán tử
W
ψ
: H
1
(R
n
) −→ H
1
(R
n
)
f −→ (W
ψ
f)(a, ·)
là tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, ước lượng sau là đúng
(W
ψ
f)(a, ·)
H
1
≤ |a|
n
2
ψ
1

f
H
1
. (2.20)
Hệ quả 2.2.10. Nếu ψ, φ là hai sóng nhỏ cơ sở và f, g ∈ H
1
(R
n
) thì
(W
ψ
f)(a, ·) − (W
φ
g)(a, ·)
H
1
≤ |a|
n
2
(ψ − φ
1
f
H
1
+ φ
1
f − g
H
1
).

Định lý 2.2.11. Cho ψ ∈ L
1
(R
n
) có giá compact. Khi đó với mỗi a = 0 cố
định, toán tử
W
ψ
: BM O(R
n
) −→ BMO(R
n
)
f −→ (W
ψ
f)(a, ·)
là tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, ước lượng sau là đúng
(W
ψ
f)(a, ·)
BM O
≤ |a|
n
2
ψ
1
f
BM O
. (2.21)
Hệ quả 2.2.13. Nếu ψ, φ là hai sóng nhỏ cơ sở có giá compact và các hàm

f, g ∈ BMO(R
n
) thì
(W
ψ
f)(a, ·)−(W
φ
g)(a, ·)
BM O
≤ |a|
n
2
(ψ−φ
1
f
BM O
+φ
1
f −g
BM O
).
Nhận xét. Từ Định lý 2.2.8 và Định lý 2.2.11, ta thu được dáng điệu
tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến a nhỏ trong
các không gian H
1
(R
n
) và BMO(R
n
), nghĩa là lim

a→0
W
ψ
(a, ·)
H
1
→H
1
= lim
a→0
W
ψ
(a, ·)
BM O→BMO
= 0.
13
2.3 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian
Besov, BMO có trọng
Định nghĩa 2.3.1. Một hàm dương k xác định trên không gian R
n
được gọi
là một hàm trọng ôn hoà nếu tồn tại các hằng số dương M,N sao cho
k(x + y) ≤ (1 + M|x|)
N
k(y), ∀ x, y ∈ R
n
. (2.24)
Định nghĩa 2.3.2. Cho 1 ≤  < ∞. Không gian Lebesgue có trọng L

k

(R
n
)
là tập hợp tất cả các hàm đo được giá trị phức trên R
n
với chuẩn được xác
định bởi
f
,k
=



R
n
|f(x)|

k(x)dx


1

< ∞.
Ký hiệu ω
,k
(f, h) = f (· + h) − f (·)
,k
.
Định nghĩa 2.3.3. Cho 0 < α < 1, 1 ≤  < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Không gian
Besov có trọng B

α,q
,k
(R
n
) là tập hợp tất cả các hàm f ∈ L

k
(R
n
) sao cho

R
n
[ω
,k
(f, h)]
q
dh
|h|
n+αq
< ∞, với q < ∞,
và B
α,∞
,k
(R
n
) =

f ∈ L


k
(R
n
) : |h|
−α
ω
,k
(f, h) ∈ L
∞
(R
n
\{0})

.
Trường hợp α = 1, ta có ω
,k
(f, h) = f (· + h) + f (· −h) − 2f(·)
,k
.
Khi đó B
α,q
,k
(R
n
) là một không gian với chuẩn được xác định bởi
f
B
α,q
,k
= f

,k
+



R
n
[ω
,k
(f, h)]
q
dh
|h|
n+αq


1
q
khi q < ∞,
và f
B
α,∞
,k
= f
,k
+ |h|
−α
ω
,k
(f, h)

∞
.
Ký hiệu L
1,k
loc
(R
n
) là tập hợp tất cả các hàm f đo được giá trị phức trên
không gian R
n
thỏa mãn

B
|f(x)|k(x)dx < ∞ với mọi hình cầu B trong R
n
.
Định nghĩa 2.3.4. Không gian BMO có trọng BM O
k
(R
n
) là tập hợp tất cả
các hàm f ∈ L
1,k
loc
(R
n
) ∩ L
1
loc
(R

n
) sao cho
f
BM O
k
= sup
B⊂R
n
1
|B|
k

B
|f(x) − f
B
|k(x)dx < ∞,
14
trong đó supremum lấy trên tất cả các hình cầu B trong không gian R
n
và
|B|
k
=

B
k(x)dx.
Trong mục này, ta giả thiết ψ ∈ L
1
(R
n

) và có giá compact nằm trong một
hình cầu có tâm tại gốc tọa độ và bán kính r cố định.
Định lý 2.3.5. Cho 0 < α ≤ 1, 1 ≤  < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Khi đó với mỗi
a = 0 cố định, toán tử
W
ψ
: B
α,q
,k
(R
n
) −→ B
α,q
,k
(R
n
)
f −→ (W
ψ
f)(a, ·)
là bị chặn. Hơn nữa, ước lượng sau là đúng
(W
ψ
f)(a, ·)
B
α,q
,k
≤ (1 + Mr|a|)
N


|a|
n
2
ψ
1
f
B
α,q
,k
. (2.26)
Định lý 2.3.6. Với mỗi a = 0 cố định, toán tử
W
ψ
: BM O
k
(R
n
) −→ BMO
k
(R
n
)
f −→ (W
ψ
f)(a, ·)
là bị chặn. Hơn nữa, ta có ước lượng sau
(W
ψ
f)(a, ·)
BM O

k
≤ (1 + Mr|a|)
2N
|a|
n
2
ψ
1
f
BM O
k
. (2.31)
Hệ quả 2.3.7. Cho ψ, φ là hai sóng nhỏ cơ sở có giá compact nằm trong
hình cầu có tâm tại gốc tọa độ và có bán kính r.
(i) Nếu f, g ∈ B
α,q
,k
(R
n
) thì
(W
ψ
f)(a, ·) − (W
φ
g)(a, ·)
B
α,q
,k
≤
≤ (1 + Mr|a|)

N

|a|
n
2
(ψ − φ
1
f
B
α,q
,k
+ φ
1
f − g
B
α,q
,k
).
(ii) Nếu f, g ∈ BMO
k
(R
n
) thì
(W
ψ
f)(a, ·) − (W
φ
g)(a, ·)
BM O
k

≤
≤ (1 + Mr|a|)
2N
|a|
n
2
(ψ − φ
1
f
BM O
k
+ φ
1
f − g
BM O
k
).
Nhận xét. Từ Định lý 2.3.5 và Định lý 2.3.6, ta cũng thu được
lim
a→0
W
ψ
(a, ·)
B
α,q
,k
→B
α,q
,k
= lim

a→0
W
ψ
(a, ·)
BM O
k
→BM O
k
= 0.
Chương 3
Toán tử tích phân
Hardy-Littlewood có trọng
trên trường p-adic
Trong chương này, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần và đủ cho hàm
trọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro
có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên
trường p-adic. Đặc biệt, trong mỗi trường hợp, chúng tôi tính được chuẩn
của các toán tử này. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra các điều kiện đủ để các
giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử
Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên các không
gian Morrey-Herz trên trường p-adic. Nội dung của chương này được chúng
tôi viết dựa trên công trình thứ hai thuộc danh mục công trình đã công bố
liên quan đến luận án.
3.1 Giới thiệu
Năm 1984, các tác giả C. Carton-Lebrun và M. Fosset đã định nghĩa toán
tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng. Cho trước một hàm đo được ψ :
[0, 1] → [0, ∞) và f là một hàm giá trị phức đo được trên không gian R
n
.
Khi đó toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng được định nghĩa bởi

U
ψ
f(x) =

1
0
f(tx)ψ(t)dt, x ∈ R
n
. (3.4)
Rõ ràng, khi ψ ≡ 1 và n = 1 thì toán tử U
ψ
trở thành toán tử Hardy-
Littlewood. Với các giả thiết cho trước về hàm ψ, các tác giả C. Carton-
Lebrun và M. Fosset đã đưa ra tính bị chặn của toán tử U
ψ
từ không gian
BM O(R
n
) vào chính nó. Năm 2001, J. Xiao đã đưa ra các điều kiện cần và
đủ cho hàm trọng ψ để toán tử U
ψ
là bị chặn trên L
q
(R
n
) và BM O(R
n
), là
một mở rộng các kết quả trước đó của C. Carton-Lebrun và M. Fosset. Ngoài
15

16
ra, J. Xiao cũng giới thiệu toán tử Cesàro có trọng như sau
V
ψ
f(x) =

1
0
f

x
t

t
−n
ψ(t)dt. (3.5)
Gần đây, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng cũng đã được nghiên
cứu trên các không gian loại Herz, Q
α,q
r
(R
n
), Triebel-Lizorkin, Trên trường
p-adic, năm 2006 các tác giả K. S. Kim và J. Lee đã nghiên cứu toán tử tích
phân Hardy-Littlewood có trọng U
ψ
. Ký hiệu Z
p
= {x ∈ Q
p

: |x|
p
≤ 1} và
Z
∗
p
= Z
p
\{0}. Cho trước một hàm đo được ψ : Z
∗
p
→ [0, ∞) và f là một hàm
giá trị phức đo được trên không gian Q
n
p
. Toán tử tích phân Hardy-Littlewood
có trọng U
ψ
trên Q
n
p
được xác định bởi
U
ψ
f(x) =

Z
∗
p
f(tx)ψ(t)dt.

Các tác giả K. S. Kim và J. Lee cũng đã đưa ra các điều kiện cần và đủ cho
hàm trọng ψ để toán tử U
ψ
là bị chặn trên L
q
(Q
n
p
) và BM O(Q
n
p
). Trên trường
p-adic, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff cũng
đã được nghiên cứu trên các không gian L
q
, BMO, Hardy, Morrey, H¨older,
Herz (trong không gian Herz chỉ nghiên cứu điều kiện đủ trong trường hợp
một chiều). Trong luận án này, chúng tôi cũng mở rộng nghiên cứu các toán
tử U
ψ
và V
ψ
trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường
p-adic. Ở đây, V
ψ
f(x) =

Z
∗
p

f

x
t

|t|
−n
p
ψ(t)dt.
Vào năm 2009, các tác giả Z. W. Fu, Z. G. Liu và S. Z. Lu đã định
nghĩa giao toán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng U
ψ
với một hàm
b ∈ BMO(R
n
) như sau:
[b, U
ψ
]f = bU
ψ
f − U
ψ
(bf). (3.6)
Các tác giả đã đưa ra các điều kiện cần và đủ để giao hoán tử [b, U
ψ
] là bị
chặn trên các không gian Lebesgue. Năm 2011, các tác giả C. Tang, F. Xue
và Y. Zhou đã đưa ra các điều kiện đủ để giao hoán tử [b, U
ψ
] (trong đó b là

một hàm Lipschitz) bị chặn trên các không gian Morrey-Herz. Trong luận án
này, chúng tôi cũng nghiên cứu tính bị chặn của các giao hoán tử [b, U
ψ
] và
[b, V
ψ
] trong các không gian Morrey-Herz trên trường p-adic. Chúng tôi đưa
ra một chứng minh trực tiếp mà không phải thông qua một bổ đề về không
gian Lipschitz như trong chứng minh của C. Tang, F. Xue và Y. Zhou.
17
3.2 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian
Triebel-Lizorkin trên trường p-adic
Định nghĩa 3.2.2. Cho α, β là các số thực dương, 1 ≤ r < ∞, 1 ≤ q < ∞.
Không gian Triebel-Lizorkin F
α,β
r,q
(Q
n
p
) là tập hợp tất cả các hàm f giá trị
phức đo được trên Q
n
p
thỏa mãn
f
F
α,β
r,q
= sup
B⊂Q

n
p
1
|B|
β


B


B
|f(x) − f(y)|
q
|x − y|
n+qα
p
dy

r
q
dx

1
r
< ∞, (3.10)
trong đó |B| là độ đo Haar của hình cầu B trong Q
n
p
.
Định lý 3.2.3. Cho α, β là các số thực dương, 1 ≤r <∞, và 1 ≤q <∞.

(i) Nếu

Z
∗
p
|t|
α−n(
1
r
−β)
p
ψ(t)dt < ∞, (3.11)
thì toán tử U
ψ
là bị chặn từ không gian F
α,β
r,q
(Q
n
p
) vào chính nó.
(ii) Ngược lại, giả sử toán tử U
ψ
là bị chặn từ không gian F
α,β
r,q
(Q
n
p
) vào

chính nó. Khi đó, nếu q ≤ r, hoặc r < q và β >
1
r
−
1
q
, ta có

Z
∗
p
|t|
α−n(
1
r
−β)
p
ψ(t)dt < ∞. (3.12)
Hơn nữa,
U
ψ

F
α,β
r,q
→F
α,β
r,q
=


Z
∗
p
|t|
α−n(
1
r
−β)
p
ψ(t)dt. (3.13)
Định lý 3.2.4. Cho α, β là các số thực dương, 1 ≤ r <∞, và 1 ≤q <∞.
(i) Nếu

Z
∗
p
|t|
−α−n(1+β−
1
r
)
p
ψ(t)dt < ∞, (3.28)
thì toán tử V
ψ
là bị chặn từ không gian F
α,β
r,q
(Q
n

p
) vào chính nó.
(ii) Ngược lại, giả sử V
ψ
là bị chặn từ không gian F
α,β
r,q
(Q
n
p
) vào chính nó.
Khi đó, nếu q ≤ r, hoặc nếu r < q và β >
1
r
−
1
q
, ta có

Z
∗
p
|t|
−α−n(1+β−
1
r
)
p
ψ(t)dt < ∞. (3.29)
18

Hơn nữa,
V
ψ

F
α,β
r,q
→F
α,β
r,q
=

Z
∗
p
|t|
−α−n(1+β−
1
r
)
p
ψ(t)dt. (3.30)
Nhận xét. Trên trường thực, C. Tang phải giả thiết điều kiện α ≤ n(
1
r
−β)
khi nghiên cứu toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Triebel-
Lizorkin. Do sự khác nhau về cấu trúc hình học giữa trường p-adic và trường
thực, nên chúng tôi không cần phải giả thiết thêm điều kiện cho α.
3.3 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian

Morrey-Herz trên trường p-adic
Định nghĩa 3.3.3. Cho α ∈ R, 0 <  < ∞, 0 < q < ∞, và λ là số thực
không âm. Khi đó không gian Morrey-Herz M K
α,λ
,q
(Q
n
p
) được định nghĩa bởi
MK
α,λ
,q
(Q
n
p
) =

f ∈ L
q
loc
(Q
n
p
\ {0}) : f
MK
α,λ
,q
< ∞

,

trong đó
f
MK
α,λ
,q
= sup
k
0
∈Z
p
−k
0
λ

k
0

k=−∞
p
kα
fχ
k


q

1

, (3.35)
χ

k
là hàm đặc trưng của mặt cầu S
k
.
Kết quả chính của mục này là định lý sau.
Định lý 3.3.4. Cho α là một số thực tùy ý, λ ≥ 0, và , q ∈ [1, ∞).
(i) Toán tử U
ψ
là bị chặn từ không gian MK
α,λ
,q
(Q
n
p
) vào chính nó nếu và
chỉ nếu

Z
∗
p
|t|
λ−α−
n
q
p
ψ(t)dt < ∞. (3.36)
Hơn nữa,
U
ψ


MK
α,λ
,q
→MK
α,λ
,q
=

Z
∗
p
|t|
λ−α−
n
q
p
ψ(t)dt. (3.37)
19
(ii) Toán tử V
ψ
là bị chặn từ không gian M K
α,λ
,q
(Q
n
p
) vào chính nó nếu và
chỉ nếu

Z

∗
p
|t|
α−λ−n(1−
1
q
)
p
ψ(t)dt < ∞. (3.38)
Hơn nữa,
V
ψ

MK
α,λ
,q
→MK
α,λ
,q
=

Z
∗
p
|t|
α−λ−n(1−
1
q
)
p

ψ(t)dt. (3.39)
Nhận xét. Khi α = λ = 0,  = q, ta có K
0,q
q
(Q
n
p
) = L
q
(Q
n
p
). Khi đó phát
biểu (i) trong Định lý 3.3.4 chính là kết quả của K. S. Rim và J. Lee (2006)
cho không gian L
q
(Q
n
p
). Cũng vậy, các điều kiện đủ cho tính bị chặn của các
toán tử U
ψ
, V
ψ
trên không gian Herz p-adic (với n = 1 và  ≥ 1) của S. S.
Volosivets (2012) cũng là một trường hợp riêng của Định lý 3.3.4.
3.4 Giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng
trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic
Định nghĩa 3.4.1. Cho γ là một số thực dương. Không gian Lipschitz
Λ

γ
(Q
n
p
) là tập hợp tất cả các hàm f đo được trên Q
n
p
sao cho
f
Λ
γ
(Q
n
p
)
= sup
x,h∈Q
n
p
,h=0
|f(x + h) − f(x)|
|h|
γ
p
< ∞.
Định lý 3.4.3. Cho 1 ≤ q
2
≤ q
1
< ∞, 0 <  < ∞ và b ∈ Λ

γ
(Q
n
p
).
(i) Nếu

Z
∗
p
|t|
λ−α−γ−
n
q
2
p
ψ(t)dt < ∞, (3.56)
thì giao hoán tử [b, U
ψ
] là bị chặn từ không gian MK
α+γ+
n
q
2
−
n
q
1
,λ
,q

1
(Q
n
p
)
vào không gian M K
α,λ
,q
2
(Q
n
p
) khi λ>0, hoặc khi λ= 0 và ∈ [1, ∞).
(ii) Nếu

Z
∗
p
|t|
α−λ−n(1−
1
q
2
)
p
ψ(t)dt < ∞, (3.57)
thì giao hoán tử [b, V
ψ
] là bị chặn từ không gian MK
α+γ+

n
q
2
−
n
q
1
,λ
,q
1
(Q
n
p
)
vào không gian M K
α,λ
,q
2
(Q
n
p
) khi λ>0, hoặc khi λ= 0 và ∈ [1, ∞).
Chương 4
Toán tử tích phân
Vladimirov và cơ sở sóng
nhỏ p-adic trong L
r
(Q
n
p

)
Như trong phần mở đầu, chúng tôi đã nêu một phát hiện rất quan trọng,
lý thú của S. V. Kozyrev về mối liên quan giữa giải tích sóng nhỏ và giải
tích phổ p-adic, giữa toán tử tích phân Vladimirov và sóng nhỏ p-adic. Trong
chương này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn, mở rộng và nghiên cứu các
kết quả ấy. Cụ thể, chúng tôi chứng minh hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các
hàm riêng của toán tử tích phân D
α
lập thành một cơ sở không điều kiện
trong không gian L
r
(Q
n
p
) (1 < r < ∞). Từ đó đưa ra một đặc trưng cho
không gian L
r
(Q
n
p
) theo các hệ số Fourier sóng nhỏ p-adic. Hơn nữa, chúng
tôi cũng chỉ ra rằng các sóng nhỏ p-adic sau khi được chuẩn hóa sẽ tạo thành
một cơ sở Greedy trong không gian L
r
(Q
n
p
). Nội dung của chương này được
chúng tôi công bố trong bài báo thứ ba thuộc danh mục công trình đã công
bố liên quan đến luận án.

4.1 Toán tử tích phân Vladimirov và sóng nhỏ p-adic
Cho α là một số thực dương. Toán tử tích phân Vladimirov D
α
được xác
định bởi biểu thức
D
α
ψ(x) =

Q
p
|ξ|
α
p
χ(−ξx)Fψ(ξ)dξ =
p
α
− 1
1 − p
−α−1

Q
p
ψ(x) − ψ(y)
|x − y|
α+1
p
dy. (4.1)
Toán tử D
α

(với α ∈ R) cũng có thể được định nghĩa trên không gian các
hàm suy rộng trong không gian Q
n
p
. Ký hiệu f
−α
(x) =
|x|
−α−n
Γ
p
(−α)
, Γ
p
(α) =
1 − p
α−n
1 − p
−α
. Giả sử ψ ∈ D

(Q
n
p
), ta định nghĩa D
α
ψ = f
−α
∗ ψ. Khi đó
F(f

−α
)(ξ) = |ξ|
α
p
với mọi số thực α = 0 và α = −n. Do đó ta có thể viết toán
tử D
α
dưới dạng D
α
ψ(x) = F
−1
(|ξ|
α
p
Fψ(ξ))(x).
20
21
Năm 2002, S. V. Kozyrev đã đưa ra một cơ sở trực chuẩn cho không gian
L
2
(Q
p
) gồm các véctơ riêng của toán tử D
α
(α > 0), đó là hệ các hàm
ψ
j
γ,a
(x) = p
γ

2
χ(p
−1
j(p
−γ
x − a))Ω(|p
−γ
x − a|
p
), x ∈ Q
p
, (4.2)
trong đó j = 1, , p − 1, γ ∈ Z, a ∈ I
p
. Cơ sở trực chuẩn trong (4.2)
được gọi là cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic trong L
2
(Q
p
). Ta cũng có
D
α
ψ
j
γ,a
(x) = p
α(1+γ)
ψ
j
γ,a

(x). Đặc biệt, S. V. Kozyrev đã xây dựng một toán
tử unita từ L
2
(R
+
) vào L
2
(Q
p
). Toán tử này, với p = 2, đã chuyển một cơ sở
sóng nhỏ trực chuẩn trong L
2
(R
+
) thành một cơ sở gồm các hàm riêng của
toán tử D
α
. Điều này cho ta một sự tương quan giữa giải tích sóng nhỏ trên
trường thực và giải tích phổ trên trường p-adic (việc khai triển một hàm qua
các hàm riêng của toán tử D
α
), giữa lý thuyết sóng nhỏ p-adic và toán tử
giả vi phân p-adic.
Năm 2008, các tác giả Nguyễn Minh Chương và Nguyễn Văn Cơ cũng
đã đưa ra một cơ sở mới cho không gian L
2
(Q
p
) gồm các véctơ riêng của
toán tử D

α
. Từ đó, áp dụng chúng để giải bài toán Cauchy cho một lớp
các phương trình giả vi phân trên trường p-adic. Ý tưởng này cũng đã được
các tác giả S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov và S. M. Shelkovich sử dụng để
nghiên cứu bài toán Cauchy cho một lớp phương trình giả vi phân parabolic
trên trường p-adic. Tuy nhiên các tác giả S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov và
S. M. Shelkovich đã sử dụng các sóng nhỏ p-adic để tìm nghiệm của bài toán.
Vấn đề then chốt là có thể biểu diễn được các hàm trong những không gian
hàm qua các sóng nhỏ p-adic gồm các véctơ riêng của toán tử giả vi phân
p-adic.
4.2 Cơ sở sóng nhỏ không điều kiện gồm các hàm riêng
của toán tử D
α
trong không gian L
r
(Q
n
p
)
Trong luận án này, chúng tôi chứng minh các sóng nhỏ p-adic gồm các hàm
riêng của toán tử Vladimirov D
α
tạo thành một cơ sở không điều kiện trong
không gian L
r
(Q
n
p
) với 1 < r < ∞.
Xét các sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử D

α
và được sinh
bởi MRA Haar trong không gian n chiều như sau:
Ψ
J
γ,a
(x) = Ψ
j
γ,a
(x) = p
nγ
2
χ(p
−1
j(p
−γ
x − a))Ω(|p
−γ
x − a|
p
),
22
với a ∈ I
n
p
, γ ∈ Z, J =

n
ν=1
j

ν
p
ν−1
, j = (j
1
, . . . , j
n
) = (0, . . . , 0), j
k
=
0, . . . , p −1, k = 1, . . . , n. Để ý rằng, lớp sóng nhỏ này cũng đã được sử dụng
để tìm nghiệm tường minh của bài toán Cauchy cho một lớp phương trình
giả vi phân trên trường p-adic.
Định nghĩa 4.2.5. Giả sử X là một không gian Banach trên trường số thực
hoặc phức và {x
n
}
n∈N
là một dãy bất kỳ trong X. Chuỗi

n∈N
x
n
được gọi là
hội tụ không điều kiện tới một phần tử x trong X nếu

n∈N
x
σ(n)
hội tụ đến x

với mọi song ánh σ đi từ N vào N.
Định nghĩa 4.2.6. Một dãy {x
n
}
n∈N
trong X được gọi là một cơ sở Schauder
nếu với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất một dãy các số phức {α
k
(x)}
n∈N
sao
cho x =

k∈N
α
k
(x)x
k
trong X. Hơn nữa, nếu chuỗi

k∈N
α
k
(x)x
k
hội tụ không
điều kiện thì {x
n
}
n∈N

được gọi là cơ sở không điều kiện trong X.
Kết quả chính của mục này là định lý sau mà cho phép ta khai triển một
hàm tùy ý trong không gian L
r
(Q
n
p
) qua các hàm riêng của toán tử D
α
.
Định lý 4.2.8. Cho 1 < r < ∞. Khi đó hệ các sóng nhỏ p-adic

Ψ
J
γ,a
: J = 1, , p
n
− 1, γ ∈ Z, a ∈ I
n
p

lập thành một cơ sở không điều kiện trong không gian L
r
(Q
n
p
).
Hệ quả 4.2.11. Cho 1 < r < ∞. Tồn tại các hằng số dương m, M sao cho
ước lượng sau là đúng
m f

r
≤








a∈I
n
p

γ∈Z
p
n
−1

J=1



f, Ψ
J
γ,a



2



Ψ
J
γ,a
(x)


2

1
2






r
≤ M f 
r
, (4.19)
với mọi f ∈ L
r
(Q
n
p
).
4.3 Cơ sở Greedy trong không gian L
r

(Q
n
p
)
Giả sử X là một không gian Banach và {x
k
: k ∈ N} là một cơ sở Schauder
trong X thỏa x
k

X
= 1 với mọi k ∈ N. Khi đó với mọi x ∈ X, tồn tại duy
nhất dãy số {c
k
(x)} ⊂ C sao cho x =

k∈N
c
k
(x)x
k
trong X. Một ánh xạ
song ánh ρ từ N vào chính nó được gọi là một hoán vị của N. Trong mục này,
ký hiệu A là lực lượng của tập hợp A.
23
Định nghĩa 4.3.1. (a) Cơ sở {x
k
: k ∈ N} được gọi là một cơ sở Greedy
trong không gian Banach X nếu tồn tại một hằng số dương C sao cho
với mọi x ∈ X, tồn tại một hoán vị ρ của N thỏa



c
ρ(1)
(x)


≥


c
ρ(2)
(x)


≥ ··· ≥


c
ρ(N)
(x)


≥ ···
và






x −
N

k=1
c
ρ(k)
(x)x
ρ(k)





X
≤ C inf
y∈

N
x − y
X
,
với mọi N ∈ N, ở đây

N
=


j∈Λ
α
j

x
j
: α
j
∈ C,  Λ ≤ N, Λ ⊂ N

.
(b) Cơ sở {x
k
: k ∈ N} được gọi là một cơ sở bình đẳng (democratic basis)
trong X nếu tồn tại một hằng số dương C không phụ thuộc vào A, B
sao cho




k∈A
x
k



X
≤ C




k∈B
x

k



X
,
với mọi tập con hữu hạn A, B ⊂ N có cùng lực lượng.
Ta luôn có inf
y∈

N
x − y
X
≤



x −

N
k=1
c
ρ(k)
(x)x
ρ(k)



X
, vì thế nếu

{x
k
: k ∈ N} là một cơ sở Greedy trong X thì



x −

N
k=1
c
ρ(k)
(x)x
ρ(k)



X
≈
inf
y∈

N
x − y
X
. Rõ ràng mọi cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert
khả ly đều là cơ sở Greedy. Các tác giả S. V. Konyagin và V. N. Temlyakov
đã đưa ra một đặc trưng hữu ích cho cơ cở Greedy như sau.
Định lý 4.3.2. (Konyagin và Temlyakov, 1999) Một dãy {x
k

: k ∈ N}
trong X là một cơ sở Greedy nếu và chỉ nếu {x
k
: k ∈ N} là cơ sở không điều
kiện và bình đẳng.
Ký hiệu

Ψ
J
γ,a
(x) =
Ψ
J
γ,a
(x)
Ψ
J
γ,a

r
= p
nγ(
1
r
−
1
2
)
Ψ
J

γ,a
(x).
Kết quả chính của mục này là định lý sau.
Định lý 4.3.3. Dãy {

Ψ
J
γ,a
: J = 1, . . . , p
n
−1, γ ∈ Z, a ∈ I
n
p
} lập thành một
cơ sở Greedy trong L
r
(Q
n
p
), với 1 < r < ∞.