Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Có đáp án Đề Số 9

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1


MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
24
1
x
y
x



có đồ thị
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm trên
 
C
hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
MN
, biết
   
3; 0 , 1; 1MN  
.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình:

33
1
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x  

Câu 3: (1 điểm)
Tính tích phân:
 
2
0
co s
1 sin 2
x
x
I dx
ex





Câu 4: (1 điểm)
Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung
cuộc. Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0. Hỏi xác suất Việt thắng
chung cuộc là bao nhiêu?
Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho mặt phẳng

 
: 2 5 0P x y z   
và điểm
 
2;3; 4A 
,
đường thẳng
3 1 3
:
2 1 1
x y z
d
  

. Gọi

là đường thẳng nằm trên
 
P
đi qua giao điểm của
d
và
 
P
, đồng thời vuông góc với
d
. Tìm trên

điểm
M

sao cho khoảng cách
AM
ngắn nhất.
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
4AD a
, các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
6a
. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng
 
SBC
và
 
SC D
khi thể tích
khối chóp
.S ABCD
là lớn nhất.
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho đường tròn
22
( ) : 2 2 8 0C x y x y    
và đường thẳng

: 2 2 0d x y  
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
 
C
, biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng
d
một góc
45
o
.
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
22
22
3
3
3
0
xy
x
xy
xy
y
xy















ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 9

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2

Câu 9: (1 điểm)
Cho
,,x y z
là các số thực thuộc đoạn
 
0; 2
. Chứng minh bất đẳng thức:
 
24x y z xy yz zx     

HẾT


HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:
1. Tập xác định:

\ { 1}D 
.
Ta có:
2
0,
( 1)
6
y x D
x

   


Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1) 
và
( 1; ) 

Ta có:
lim lim 2
xx
y
     

nên hàm số có tiệm cận ngang
2y 
.

11
lim ; lim

xx
y


     
nên hàm số có tiệm cận đứng
1x 
.
Bảng biến thiên:
x


-1


'y




||



y



2

2



Đồ thị:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3


2.
Phương trình đường thẳng
MN
là:
2 3 0xy  
.
Phương trình đường thẳng
d
vuông góc với
MN
có dạng:
2y x m

Phương trình hoành độ giao điểm của
 
C
và
d
là:

 
2
24
2 2 4 0 1 (*)
1
x
x m x m x m x
x

        


Đường thẳng
d
cắt
 
C
tại 2 điểm phân biệt
,AB

2
8 32 0mm     

Khi đó phương trình
 
*
có 2 nghiệm
12
,xx
, ta có:

12
2
m
xx



Tọa độ
,AB
là
   
1 1 2 2
; 2 , ; 2A x x m B x x m

Tọa độ trung điểm
I
của
AB
là:
12
12
;
2
xx
I x x m






hay
;
42
mm
I





,AB
đối xứng nhau qua
4M N I M N m    

Với
4m 
, ta có tọa độ
,AB
là
   
0; 4 , 2; 0AB

Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị. Trong dạng
bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng
định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến ở đề số
5).
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hàm số
2
1

x
y
x


có đồ thị
()C
. Tìm trên đồ thị
 
C
hai điểm
,BC
thuộc hai nhánh sao cho
tam giác
ABC
vuông cân tại đỉnh
A
với
 
2; 0A
.
Đáp số:
   
1;1 , 3; 3BC


Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4

2. Cho hàm số
1

2
x
y
x



có đồ thị
()C
. Tìm trên đồ thị
 
C
các điểm
,AB
sao cho độ dài đoạn
AB

bằng 4 và đường thẳng
AB
vuông góc với đường thẳng
yx
.
Đáp số:
   
1 2 ; 2 2 , 1 2 ; 2 2AB     


Câu 2:
Phương trình đã cho tương đương với:

   
1
1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x x x   

 
11
1 sin 4 sin 2 cos 2 1 sin 4 0
22
x x x x
   
     
   
   

 
1
1 sin 4 sin 2 co s 2 1 0
2
x x x

    



1
1 sin 4 0
2
sin 2 co s 2 1 0

x
xx





  


sin 2 cos 2 1xx   

 
2 cos 2 1
4
3
4
co s 2 co s
44
2
x
xk
xk
xk








   



  


    







.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình:
2
1 sin 2
1 tan 2
cos 2
x
x
x


.
Đáp số:

,
2
k
xk


.
2. Giải phương trình:
1
tan sin 2 co s 2 2 2 cos 0
co s
x x x x
x

    


.
Đáp số:
42
,
k
xk

  
.

Câu 3:
Ta có:
2

0
cos sin
sin cos
x
xx
Id
e x x









Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5

2
0
cos sin sin cos
.
2
sin cos sin cos
0
xx
x x x x
d
e x x x x e










22
00
sin 1
sin
xx
xdx
xd
ee








 
2
0
sin 1
sin
2

0
xx
x
dx
ee






22
00
22
1 co s 1 1
co s
xx
xd x
xd
ee
ee


  

   




 
22
00
22
1 cos 1 1 sin
cos 1
2
0
x x x
x xdx
dx
e e e
ee



  
     


Từ đó suy ra:
2
2
11
21
2
e
II
e





   

Nhận xét: Kỹ thuật áp dụng liên tiếp phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện lại biểu
thức cần tính tích phân là một kỹ thuật tương đối quen thuộc. Nó thường được áp dụng khi biểu
thức cần tính tích phân có chứa hàm
sin x
(hoặc
co s x
) và hàm số mũ.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Tính tích phân:
66
4
4
sin cos
201 5 1
x
xx
I d x








Đáp số:
32
I



2. Tính tích phân:
4
6
6
sin
2015 1
x
xd x
I








Đáp số:
4 7 3
64
I




3. Tính tích phân:
 
4
0
ln 1 tanI x d x




Đáp số:
ln 2
8
I




Câu 4:
*) Trường hợp 1: Trận đấu có 3 ván.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 6

Xác suất để Việt thắng cả 3 ván là:
3
1
0, 4 0, 0 64P 

*) Trường hợp 2: Trận đấu có 4 ván.
Suy ra: trong 3 ván đầu tiên sẽ có 1 ván Việt thua.

Xác suất để Việt thắng 3 trong 4 ván là:
13
23
.0, 6.0, 4 0,11 52PC

*) Trường hợp 2: Trận đấu có 5 ván.
Suy ra: trong 4 ván đầu tiên sẽ có 2 ván Việt thua.
Xác suất để Việt thắng 3 trong 5 ván là:
2 2 3
34
.0, 6 .0 , 4 0 ,1 38 24PC

Vậy xác suất để Việt thắng chung cuộc là:
1 2 3
0, 31744P P P P   

Nhận xét: Đây là dạng bài tính xác suất mang tính thực tế cao. Trong dạng bài này, chúng ta cần
xác định được tất cả các tình huống có thể xảy ra và tính toán xác suất cho từng tình huống đó.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Một bài kiểm tra có 10 câu hỏi trắc nghiệm 4 phương án, trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu
trả lời đúng sẽ được 5 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên tất cả
các câu hỏi. Tính xác suất để học sinh đó được không quá 10 điểm.
Đáp số:
10 9 2 8 3 7
1 2 3
10 10 10
3 1 3 1 3 1 3 203 391
. . . . . . 0, 7 759
4 4 4 4 4 4 4 262144
P C C C

           
     
           
           
.
2. Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung
cuộc. Biết Việt chơi kém hơn mình nên Nam quyết định ván đầu tiên chắc chắn sẽ để cho Việt
thắng. Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0. Hỏi xác suất Việt
thắng chung cuộc là bao nhiêu?
Đáp số:
0, 5248P 
.

Câu 5:
Gọi
I
là giao điểm của
d
và
 
P
, tọa độ
I
có dạng
 
2 3; 1; 3I t t t  

Vì
 
IP

nên ta có:
   
2 3 2 1 3 5 0 1t t t t        
, hay tọa độ
I
là
 
1; 0; 4I 

Đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương là
 
2;1;1
d
u 

Mặt phẳng
 
P
có vectơ pháp tuyến là
 
1; 2; 1n 

Gọi
u
là vectơ chỉ phương của đường thẳng

.
Ta có:

 
1
, 1;1;1
3
d
u u n

  


Suy ra phương trình đường thẳng

là:
14
1 1 1
x y z



Vì
M
thuộc

nên tọa độ
M
có dạng
   
1 ; ; 4 1 ; 3;M s s s AM s s s      

Nhận thấy

AM
ngắn nhất
   
4
. 0 1 3 0
3
A M AM u s s s s             

Vậy tọa độ điểm
M
cần tìm là:
7 4 1 6
;;
3 3 3
M






Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7

Nhận xét: Dễ dàng nhận ra rằng đánh giá
AM
ngắn nhất
AM 
là đánh giá quan trọng nhất của
bài toán. Các tính toán còn lại trong lời giải đều khá cơ bản và dựa vào đánh giá trên.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

1. Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho hai
điểm
   
1;5; 0 , 3; 3; 6AB
và đường thẳng
11
:
2 1 2
x y z
  

. Tìm tọa độ điểm
M
trên


sao cho
tam giác
MAB
có diện tích lớn nhất.
Đáp số:
 
1;0; 2M
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ
O xyz
, cho
đường

thẳng
:
1 1 1
x y z
d 
và hai điểm
   
0; 0; 3 , 0; 3; 3AB
. Tìm điểm
M
trên
d
sao cho biểu thức
MA M B
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số:
333
;;
222
M



.

Câu 6:
Gọi
O
là tâm của hình bình hành
ABCD

.
Do
6SA S B SC SD a   
nên suy ra
 
SO ABCD
.
Từ đó suy ra:
OA O B O C O D ABC D   
là hình chữ nhật.
Giả sử
AB b
, khi đó:
22
22
16
16
2
ab
B D a b O A

   

Suy ra:
2 2 2 2
2 2 2
88
42
a b a b
S O SA O A SO


    

Từ đó:
2 2 3
22
.
1 1 8 2 8
. . . .4 . . . 8
3 3 2 3 3
S A B C D
a b a a
V A B A D S O a b b a b

    

Dấu bằng xảy ra khi
2ba
.
Chọn hệ trục tọa độ
O xyz
sao cho
 
0; 0; 0O
,
 
0; 0;Sa
,
 
2 ; ; 0B a a

,
 
2 ; ;0C a a
,
 
2 ; ;0D a a
.
Khi đó ta có:
     
2 ; ; , 2 ; ; , 2 ; ;SB a a a SC a a a SD a a a        

Suy ra:
   
2 2 2 2
, 0; 4 ; 4 , , 2 ; 0; 4SB SC a a S C SD a a
   
  
   

Suy ra vectơ pháp tuyến của
 
SBC
là
 
1
0;1; 1n 
, vectơ pháp tuyến của
 
SC D
là

 
2
1; 0; 2n 
.
Gọi

là góc giữa 2 mặt phẳng
 
SBC
và
 
SC D
.
Ta có:
 
1.0 0.1 2 .1
2
cos
2 . 5 1 0

  


Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 8

1. Cho hai hình chữ nhật
ABCD
và

ABEF
không cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa mãn các điều
kiện
,2A B a A D A F a  
, đường thẳng
AC
vuông góc với đường thẳng
BF
. Gọi
,HK
là đường
vuông góc chung của
,AC BF
. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện
ABHK
.
Đáp số:
 
63
6
a
r


.
2. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
vuông cân tại

B
,
2BA BC a
, hình chiếu vuông góc của
S

trên mặt phẳng đáu
 
ABC
là trung điểm
E
của
AB
và
2SE a
. Gọi
,IJ
lần lượt là trung điểm của
,EC SC
,
M
là điểm di động trên tia đối tia
BA
sao cho
, 90
o
EC M


và

H
là hình chiếu vuông
góc của
S
trên
MC
. Tính thể tích khối tứ diện
EH IJ
theo
,a

và tìm

để thể tích đó lớn nhất.
Đáp án:
3
5 sin 2
; 4 5
8
o
a
V



.

Câu 7:
Đường tròn
22

( ) : 2 2 8 0C x y x y    
có tâm
(1;1)I
và bán kính
10R 
.
Gọi
 
;n a b
là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến

cần tìm (
22
0ab
)
Ta có:
   
22
2
11
, 45 co s ,
22
5.
o
ab
dd
ab

      


 
 
   
2
22
3
2 2 5 3 3 0
3
ab
a b a b a b a b
ba


        




Với
3ab
, phương trình

có dạng:
: 3 0x y c   
.
Mặt khác ta có:
 
6
4

, 10
14
10
c
c
d I R
c



    




Với
3ab
, phương trình

có dạng:
: 3 0x y c   
.
Mặt khác ta có:
 
8
2
, 10
12
10
c

c
d I R
c



    




Vậy ta có 4 tiếp tuyến thỏa mãn:
1 2 3
: 3 6 0, : 3 14 0, : 3 8 0x y x y x y           
và
4
: 3 1 2 0xy   
.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
O xy
, cho đường tròn
22
( ) : 6 2 5 0C x y x y    
và đường thẳng
: 3 3 0d x y  
. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
 
C
, biết tiếp tuyến không đi qua gốc

tọa độ và hợp với đường thẳng
d
một góc
45
o
.
Đáp số:
2 10 0xy  
hoặc
2 10 0xy  

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
O xy
, cho đường tròn
22
( ) : 2 0C x y x
. Lập phương trình tiếp
tuyến của đường tròn
 
C
, biết tiếp tuyến này hợp với trục tung một góc bằng
30
o
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 9

Đáp số: Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn là:
12
: 3 2 3 0; : 3 2 3 0x y x y         

;
3
: 3 2 3 0xy    
và
4
: 3 2 3 0xy    


Câu 8:
Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng số phức.
Nhân phương trình thứ hai với
i
và cộng với phương trình thứ nhất ta được:
 
2 2 2 2
33
3 3 3
x y xi yi x yi
x yi x yi i
x y x y
   
       


Đặt
22
1 x yi
z x yi
z x y


   


Phương trình trên trở thành:

3
3
i
z
z



2
3 3 0z z i    

2
1
zi
zi







Với
2zi
, ta có:

2; 1xy
, thỏa mãn.
Với
1zi
, ta có:
1; 1xy  
, thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm
     
 
; 2;1 , 1; 1xy

Nhận xét: Hệ phương trình trên là một hệ tương đối lạ và khó.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải hệ phương trình:
22
22
3 10
1
10 3
2
xy
x
xy
xy
y
xy















Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm.
2. Giải hệ phương trình:
22
22
2
2
2
0
xy
x
xy
xy
y
xy















Đáp số:
     
 
; 0;1 , 2; 1xy


Câu 9:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
   
2 2 4 0y z x y z yz      

Xét
     
2 2 4f x y z x y z yz      
với
 
0; 2x 

Ta có:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10

       
0 2 4 2 2 0f y z yz y z        

 
20f yz  

Từ đó suy ra:
 
0fx
với mọi
 
0; 2x 

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi:
0; 2x y z  

Nhận xét: Bài toán trên sử dụng phương pháp phần tử cực biên (dựa vào tính chất đồ thị của hàm
số).
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho
,,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
1x y z  
. Chứng minh bất đẳng thức:
7
2
27
xy yz zx xyz   

Hướng dẫn: Xét hàm
   
7
12
27
f yz x x yz xyz    
với
 
2
1
0
4
x
yz



2. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thuộc đoạn
 
0;1
. Chứng minh bất đẳng thức:
       
1 1 1 1 1a b c d a b c d        

Hướng dẫn: Xét hàm
         
1 1 1 1 1f a a b c d a b c d         

Ta có:
           
1 0; 0 1 1 1 1f b c d f b c d b c d g b            

Lại có:
   
1 0; g 0 0g c d cd    

Suy ra
 
 
0, 0;1g b b  
, từ đó suy ra điều phải chứng minh.