Tải bản đầy đủ (.doc) (39 trang)

Tổng hợp các đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (529.24 KB, 39 trang )

ĐỀ 1
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x
2
- 26x + 24 c) x
2
+ 6x + 5
b)
1
2
3
4
3
8
1
23
−+− xxx
d) x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
(6
x
+ 7)(2
x
– 3) – (4
x


+ 1)
7
3
4
x
 

 ÷
 
b) Tính giá trị biểu thức P =
x y
x y

+
. Biết
x
2
– 2
y
2
=
x y
(x + y ≠ 0,
y
≠ 0).
c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2015x x x x
+ + + + +
cho đa

thức
2
10 21x x
+ +
.
Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2
4xy 1 1
A :
y 2x y x y xy x
 
= +
 ÷
− − + +
 
a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x
2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1, hãy
tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x
3
- 2x
2
- 5x + 6 = 0 c)
183

9
3
4
2410
2
45
3
222
−+
+=
++
+
++
xxxxxx

b)
5335 −=− xx
d, x
2
– y
2
+ 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương.
Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau
lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh

AQR và

APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là

hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm

SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Bài 6 : (0,5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x
2
+ y
2
+ 4xy - 2y - 16x + 2015
b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a
3
+ b
3
+ ab

2
1
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM
1
BÀI NỘI DUNG
THANG
ĐIỂM
Bài 1
(2
điểm)
a) 5x

2
- 26x + 24 = 5x
2
- 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x
- 4)
0,5 điểm
b)
1
2
3
4
3
8
1
23
−+− xxx
=
32
23
11.
2
1
.31.
2
1
.3
2
1








+













xxx
=
3
1
2
1







−x
0,5 điểm
c) x
2
+ 6x + 5 = x
2
+ x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =
( )( )
51 ++ xx
0,5 điểm
d) x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015 = x
4
+ x
3
+ x
2
– x
3
– x
2
– x + 2015x
2
+
2015x +2015 = x
2

(x
2
+ x + 1) – x(x
2
+ x + 1) + 2015(x
2
+ x + 1) = (x
2
+
x + 1)(x
2
– x + 2015)
0,5 điểm
Bài 2
(1,5
điểm)
a) ( 6
x
+ 7)(2
x
– 3) – (4
x
+ 1)
7
3
4
x
 

 ÷

 
= 12x
2
– 18x + 14x - 21 – 12x
2
+
7x – 3x +
7
4
=
77
4

0,5 điểm
b) x
2
– 2y
2
= xy ⇔ x
2
– xy – 2y
2
= 0 ⇔ (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 ⇔ x = 2y .Khi đó A =
2 1
2 3 3
y y y
y y y

= =

+
0,5 điểm
c)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2015 10 16 10 24 2015P x x x x x x x x x= + + + + + = + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + + ≠ − ≠ −
, biểu thức P(x) được viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2015 2 2000P x t t t t= − + + = − +
Do đó khi chia
2
2 2000t t− +
cho t ta có số dư là 2000
0,5 điểm
Bài 3
(1,25
điểm)
a) Điều kiện: x

±
y; y

0 0,25 điểm
b) A = 2x (x+y) 0,5 điểm
c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị

nguyên dương của A
Từ (gt): 3x
2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1

2x
2
+ 2xy + x
2
– 2xy + y
2
+ 2(x – y) =1

2x(x + y) + (x – y)
2
+ 2(x – y) + 1 = 2

A + (x – y + 1)
2
= 2

A = 2 – (x – y + 1)
2

2≤
(do (x – y + 1)
0≥
(với mọi x ; y)


A

2.
+ A = 2 khi
( )
x y 1 0
2x x y 2
x y;y 0
− + =


+ =


≠ ± ≠




1
x
2
3
y
2

=





=



+ A = 1 khi
( )
2
(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0

− + =

+ =


≠ ± ≠

Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị
của x và y, chẳng hạn:
2 1
x
2
2 3
y
2



=



+

=


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 4 a) x
3
- 2x
2
- 5x + 6 = 0

x
3
- x
2
- x
2
+ x - 6x + 6 = 0

(x - 1)(x
2
- x - 6) 0,5 điểm
2

(2
điểm)
= 0

(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0





=
−=
=

3
2
1
x
x
x
b)
5335 −=− xx

5353 −=−⇔ xx

053
≥−⇔
x

3

5
≥⇔ x
0,5 điểm
c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 2 4 9
1 4 4 6 3 3 6
1 1 1 1 4 1 1
1 4 4 6 3 3 6
3 3 4 1 3 3 1
1 4 1
1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3
4 8 0 4 2 0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
⇔ + = +
+ + + + − +
     
⇔ − + − = + −

 ÷  ÷  ÷
+ + + + − +
     
− + − +
⇔ = + ⇔ = +
+ − + − + − + −
⇒ − = ⇔ − =
⇔ x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình: S =
0,25 điểm
0,25 điểm
d, x
2
– y
2
+ 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương.
x
2
- y
2
+ 2x - 4y - 10 = 0

(x
2
+2x+1) - (y
2
+4y+4) – 7 = 0

(x+1)
2

- (y+2)
2
= 7

(x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vì x, y nguyên dương
Nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0

x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1

x = 3;
y = 1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)
0,5 điểm
Bài 5
(2,75
điểm
Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.
a) a)

ADQ =

ABR vì chúng là hai tam
giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và
DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR,
nên

AQR là tam giác vuông cân. Chứng
minh tương tự ta có:

ABP =


ADS
do đó AP =AS và

APS là tam giác cân tại A.
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam
giác vuông cân AQR và APS nên AN

SP và
AM

RQ.
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Mặt khác :
·
·
PAN PAM
=
= 45
0
nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
c) Theo giả thiết: QA

RS, RC


SQ nên QA và RC là hai đờng cao của

SQR. Vậy P là trực tâm của

SQR.
d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =
2
1
QR

MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực
của AC
3
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm
trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
0,5 điểm
Bài 6
(0,5
điểm
a) A = 13x
2
+ y
2
+ 4xy - 2y - 16x + 2015 = y
2
+ 4xy - 2y + 13x

2
- 16x +
2015
= y
2
+ 2y(2x - 1) + (2x -1)
2
+ 9x
2
- 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)
2
+ (3x - 2)
2
+ 2010
Chứng tỏ A

2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x =
3
2
; y =
3
1

)
Vậy min A = 2010 khi (x =
3
2
; y =
3
1


)
0,25 điểm
b) Ta có a
3
+ b
3
+ ab

2
1
(1)

a
3
+b
3
+ab -
2
1

0

(a+b)(a
2
+ b
2
-ab) + ab-
2
1


0

a
2
+b
2
-
2
1

0 (vì a + b =1)

2a
2
+2b
2
-1
0


2a
2
+2(1-a)
2
-1
0

(vì b
= 1- a)


2a
2
+2 - 4a + 2a
2
- 1
0


4(a
2
- a +
4
1
)
0










2
2
1
4 a

0
a

(2)
đpcm.
0,25 điểm
ĐỀ 2
Thời gian làm bài: 150 phút
4
Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử:
a/ a
2
– 7a + 12
b/ x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015
c/ x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
d/ (x
2
- 8)
2
+ 36

Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết:
a/
2
4 12
3
x + = −
; b/
3 1
: 3
4 4
x+ = −
;
c/
3 5 4x − =
; d/
4 3 2 1
2011 2012 2013 2014
x x x x+ + + +
+ = +
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Cho A =
2
3 2
4 4
2 4 8
a a
a a a
+ +
+ − −
. Tìm

a Z

để A là số nguyên.
b/ Tìm số tự nhiên n để n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và
1 3 5
2 4 6
a b c− + −
= =
.
b/ Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b

0)
Bài 5: (2,0 điểm)
a/ Cho a + b + c = 1 và
1 1 1
a b c
+ +
= 0. Tính
2 2 2
a b c+ +
b/ Cho a + b + c = 2014 và
1 1 1 1
2014a b a c b c
+ + =

+ + +
.
Tính: S =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90
0
. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là
đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là
đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia
DA lấy điểm I sao cho DI = DA. Chứng minh rằng:
a/ AI = FH ; b/ DA

FH
Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình
hành.
Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 4 6 10
x
A x x x x= − − − − +
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (4 điểm)
5

a/ a
2
– 7a + 12 = a
2
– 3a – 4a + 12
= a(a – 3) – 4(a – 3)
= (a – 3)(a – 4)
b/ x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015 = x
4
+ x
3
+ x
2
+ 2014x
2
+ 2014x + 2014 – x
3
+ 1
= x
2
(x
2
+ x + 1) + 2014(x
2
+ x + 1)–(x – 1)(x
2

+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
4
+ 2014 – x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
4
– x + 2015)
c/ x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = (x + y)
3
– 3xy(x + y) + z
3
– 3xyz =
= (x + y + z)
3
– 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y + z)
2
– 3z(x + y) – 3xy]
= (x + y + z)[x
2

+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy]
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx)
d/ (x
2
- 8)
2
+ 36 = (x
2
+ 6x+10)(x
2
-6x +10)
Bài 2: (4 điểm)
a/
2 2
4 12 16 24
3 3
x x x+ = − ⇔ = − ⇔ = −
. Vậy x = -24
b/
3 1 1 15 1 15 1

: 3 : :
4 4 4 4 4 4 15
x x x x
 
+ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
 ÷
 
. Vậy x =
1
15

c/
3 5 4x − =
. Xét 2 trường hợp:
* Nếu x

5/3 ta có: 3x - 5 = 4

3x = 9

x = 3 (t/m ĐK trên)
* Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 4

3x = 1

x = 1/3 (t/m ĐK đang xét)
Vậy x = 3 ; x = 1/3.
d/
4 3 2 1 4 3 2 1
1 1 1 1

2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014
x x x x x x x x+ + + + + + + +
       
+ = + ⇔ + + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( )
2015 2015 1015 2015
2011 2012 2013 2014
1 1 1 1
2015 0
2011 2012 2013 2014
1 1 1 1
2015 0 2015 v 0
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
x x ì
+ + + +
⇔ + = +
 
⇔ + + − − =
 ÷
 
⇔ + = ⇔ = − + − − ≠

Vậy x = - 2015
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Rút gọn A =
1

2a −
Để A nguyên
1
2a


nguyên

1
M


a = 1; a = 3
b/ n
5
+ 1
M
n
3
+ 1

n
2
(n
3
+ 1) - (n
2
- 1)
M
(n

3
+ 1)

(n + 1)(n - 1)
M
(n
3
+ 1)

(n + 1)(n - 1)
M
(n + 1)(n
2
– n + 1)

(n - 1)
M
(n
2
– n + 1) (vì n + 1

0)
+ Nếu n = 1 thì 0
M
1
+ Nếu n > 1 thì (n - 1) < n(n - 1) + 1 < n
2
– n + 1
nên không thể xảy ra n - 1
M

n
2
– n + 1
Vậy giá trị của n tìm được là n = 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a/ Ta có:
( )
1 3 5 5 5 3 9 4 20
2 4 6 10 12 24
5 3 4 5 9 20
1 3 5
2 4 6 10 12 24
a b c a b c
a b c
a b c
− + − − + −
= = = = =
− − − − +
− + −
⇒ = = =
− +
Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên:
6
1 3 5 46 6 52
2
2 4 6 26 26
a b c− + − +
= = = = = −
− −
Suy ra a - 1 = - 4


a = -3;
b + 3 = - 8

b = -11; c - 5 = -12

c = - 7
Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - 7.
b/ Ta có a + b = ab

a = ab - b = b(a-1).
Do đó: a : b = b(a - 1) = a - 1
nên a + b = a - 1

b = -1 và a = -1(a - 1)

a = -a + 1

2a = 1

a = 0,5.
Vậy a = 0,5 ; b = -1.
Bài 5: (2,0 điểm)
a/ Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm
Phân tích
1 1 1
a b c
+ +
Phần nào có a+b+c thì thay = 1
b/ Ta có:

1 1 1 1
2011a b a c b c
+ + =
+ + +
a + b + c = 2014

a = 2014- (b + c);
b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b)
Do đó:
( ) ( ) ( )
2014 2014 2014b c a c a b
S
b c a c a b
− + − + − +
= + +
+ + +

2014 2014 2014
1 1 1
1 1 1
2014 3
b c a c a b
b c a c a b
= − + − + −
+ + +
 
= + + −
 ÷
+ + +
 

=
1
2014. 3 1 3 2
2014
− = − = −
.
Vậy S = - 2.
Câu 6: (3,0 điểm)

a/ - Xét

BDI và

CDA có: DB = DC (gt),

·
·
BDI CDA=
(đối đỉnh), DA = DI (gt)


BDI =

CDA (c.g.c)

BI = CA (2 cạnh tương ứng),
·
·
BID CAD=
(2 góc tương ứng). Mặt khác 2 góc này ở vị trí so le trong nên suy ra BI//AC.

- Xét

ABI và

FAH có:
AB=AF (gt),
·
·
ABI FAH=
(cùng bù với
·
BAC
),
BI = AH (cùng = AC)


ABI =

EAH (c.g.c)

AI = FH (2 cạnh tương ứng).
b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:

·
·
0
90BAI FAK+ =
, mà
·
·

AFH BAI=

7
A
B C
D
I
H
K
F
hay
·
·
AFK BAI=
nên
·
·
0
90AFH FAK+ =
- Xét

AFK có
·
·
0
90AFH FAK+ =
·
0
90FKA AK FK AI FH⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH)

Bài 7: (2 điểm)
a/
- Hình vẽ:
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
ABCD, ta có O là trung điểm của BD.
- Chứng minh BEDF là hình bình hành
- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của
EF
- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O.
b/ Xét

ABD có M là trọng tâm, nên
1
3
OM OA=
- Xét

BCD có N là trọng tâm, nên
1
3
ON OC=

- Mà OA = OC nên OM = ON
- Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành.
Bài 8: (1 điểm)
( )
( ) ( )
2 2
7 6 7 12 10
x

A x x x x= − + − + +
Đặt
2
7 6x x− +
= t
( )
( )
( )
2
2
6 10
6 9 1 3 1 1
t
A t t
t t t
⇒ = + +
= + + + = + + ≥
( )
1
Min
t
A =
đạt được khi t = -3
( )
1
x Min
A⇒ =
đạt được khi
2
7 6x x− +

= -3

x
2
- 7x + 9 = 0

x =
7 13
2
+
; x =
7 13
2

ĐỀ 3
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:
8
/ /
/ /
/ /
//
O
N
M
F
E
D
C
A

B
1) 18x
3
-
8
25
x
2) a(a + 2b)
3
- b(2a + b)
3

3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
Bài 2 (2,5 điểm)
Cho biểu thức: A =
2 2
3 1 3 5
:
1 2 2 2 2 4 4
x x
x x x x
+ +
 
+ −
 ÷
− − + −
 
1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định.
2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của
biến x.

Bài 3 (3,0 điểm)
1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1.
Tính giá trị của biểu thức: A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b b c c a
a b c
+ + +
+ + +
2) (1,5 điểm) Cho
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +


+ = +

.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: x
n
+ y
n
= a
n
+ b
n

Bài 4 (3,0 điểm)
1) Tìm x:
a)
1 3 5 4x x x x+ + + + + =
b) (x
2
– 5x + 6).
1 x−
= 0
2) Tìm x, y biết: 7x
2
+ y
2
+ 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
Bài 5 (3,0 điểm)
1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x
2015
+ x
1945
+ x
1930
- x
2
- x + 1 cho x
2
- 1
2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x
2
+ 3x + 4)
2

Bài 6 (5,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC
cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD.
2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC.
3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F.
Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.
4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB.
HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Câu Nội dung
Biểu
điểm
9
1
1
18x
3
-
8
25
x
= 2x
2
4
9
25
x

 

 ÷
 

0,5

2 2
2 3 3
5 5
x x x
  
= + −
 ÷ ÷
  
0,5
2
a(a + 2b)
3
- b(2a + b)
3
= a[(a + b) + b]
3
- b[a + (a + b)]
3
= a[(a + b)
3
+ 3(a + b)
2
b + 3(a + b)b

2
+ b
3
] - b[a
3
+ 3a
2
(a + b) +
+ 3a(a + b)
2
+ (a + b)
3
= a(a + b)
3
+ 3ab(a + b)
2
+ 3ab
2
(a + b) + ab
3
- a
3
b - 3a
2
b(a + b) –
- 3ab(a + b)
2
- b(a + b)
3
= a(a + b)

3
+ 3ab
2
(a + b) + ab
3
- a
3
b - 3a
2
b(a + b) - b(a + b)
3
= (a + b)[a(a + b)
2
+ 3ab
2
-ab(a - b) - 3a
2
b -b(a + b)
2
] 0,5
= (a + b)(a
3
+ 2a
2
b + ab
2
+ 3ab
2
- a
2

b + ab
2
- 3a
2
b - a
2
b - 2ab
2
- b
3
]
= (a + b) (a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
)
= (a + b)(a - b)
3
0,5
3
Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1
= (x
2
– 7x + 10)(x
2

– 7x + 12) + 1
= (x
2
– 7x + 11 – 1)(x
2
– 7x + 11 + 1) + 1
= (x
2
– 7x + 11)
2
– 1 + 1
= (x
2
– 7x + 11)
2
1,0
x
2
– 7x + 11 = x
2
– 2x.
2
7 7 49
11
2 2 4
 
+ + −
 ÷
 
=

2
2
7 5
2 2
x
 
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
7 5 7 5
2 2
x x
  
+ −
− −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
Vậy A =
2 2
7 5 7 5
2 2
x x
   
+ −

− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0,5
2 1
a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện:
2
2
2
1 0
1
2 2 0
1 1
2 2 0
1
4 4 0
x
x
x
x x
x
x
x

− ≠



− ≠



⇔ ≠ ⇔ ≠ ±
 
+ ≠
 
≠ −


− ≠

0,5
2
Với
1x ≠ ±
, ta có:
A =
2
3 1 3 4 4
.
( 1)( 1) 2( 1) 2( 1) 5
x x x
x x x x
 
+ + −
+ −
 
− + − +
 
=

2
6 ( 1) ( 3)( 1) 4( 1)( 1)
.
2( 1)( 1) 5
x x x x x
x x
+ + − + − − +
− +
=
2 2
(6 2 1 2 3).2
5
x x x x+ + + − − +
= 4 1,0
Vậy khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị
của biến 0,5
3 1 Ta có:
1 + a
2
= ab + bc + ca + a
2
= a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) 0,5
Tương tự: 1 + b
2
= (b + a)(b + c) và 1 + c
2
= (c + a)(c + b) 0,5
10
Do đó: A =
( )

2
2 2
( ) ( )
1
( )( )( )( )( )( )
a b b c c a
a b a c b a b c c a c b
+ + +
=
+ + + + + +
0,5
2
Từ x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2


(x
2
– a
2
) + (y
2
– b
2

) = 0

(x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0 0,25
Bởi vì: x + y = a + b

x – a = b – y, thế vào ta có:
(b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0

(b – y)[(x + a) – (y + b)] = 0 0,25
0b y
x a y b
− =



+ = +

0,25
• Nếu b – y = 0
n n n n
y b x a y a b⇒ = ⇒ = + = +
0,25
• Nếu x + a = y + b
x y b a x b
x y a b y a
− = − =
 
⇒ ⇒
 
+ = + =

 
0,25
Do đó: x
n
+ y
n
= b
n
+ a
n
= a
n
+ b
n
Vậy trong mọi trường hợp, ta có: x
n
+ y
n
= a
n
+ b
n
0,25
4
1.a)

1 3 5 4x x x x+ + + + + =
(1)
Vế trái luôn luôn không âm với mọi x nên 4x


0
0x⇔ ≥
0,25
x

0 nên x + 1 > 0, x + 3 > 0, x + 5 > 0
1 1, 3 3, 5 5x x x x x x⇒ + = + + = + + = +
0,25
Do đó: (1)

x + 1 + x + 3 + x + 5 = 4x

x = 9. Vậy x = 9. 0,5
1.b)
(x
2
– 5x + 6).
1 x−
= 0 (1)
Điều kiện: 1 – x
10 ≤⇔≥ x
(*)
0,25
(1)

x
2
– 5x + 6 = 0 hoặc
x−1
= 0


(x – 2)(x – 3) = 0 hoặc 1 – x = 0

x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 1 0,5
Các giá trị x = 2, x = 3 không thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy x = 1. 0,25
2
7x
2
+ y
2
+ 4xy – 24x – 6y + 21 = 0

y
2
+ 4xy – 6y + 7x
2
– 24x + 21 = 0

y
2
+ 2y(2x – 3) + (2x – 3)
2
+ 3x
2
– 12x + 12 = 0

(y + 2x – 3)
2
+ 3(x

2
– 4x + 4) = 0

(y + 2x – 3)
2
+ 3(x – 2)
2
= 0 0,5
2 3 0
2 0
y x
x
+ − =



− =

(vì (y + 2x – 3)
2


0 và 3(x – 2)
2


0)
0,5
2
1

x
y
=



= −

. Vậy x = 2; y = -1
0,5
5
1
Đặt f(x) = x
2015
+ x
1945
+ x
1930
- x
2
- x + 1 cho x
2
– 1
Gọi thương khi chia f(x) cho x
2
– 1 là Q(x), dư là ax + b.
Ta có: f(x) = (x
2
– 1).Q(x) + ax + b. 0,25
Đẳng thức trên đúng với mọi x nên:

- Với x = 1 ta được: f(1) = a + b

a + b = 2 (1) 0,25
- Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b

-a + b = 0 (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra: a = 1, b = 1. 0,5
Dư phải tìm là x + 1 0,25
2
Ta có: A = x
2
+ 3x + 4 = x
2
+ 2x.
4
9
4
2
3
2
3
2
−+






+

=
4
7
2
3
2
+






+x
0,25
11
Với mọi x, ta có:
4
7
4
7
2
3
0
2
3
22
≥+







+⇒≥






+ xx
> 0
25,12
4
49
2
7
2
==






≥⇒ A
0,25
Dấu “=” xảy ra khi
2

3
0
2
3
−=⇔=+ xx
0,5
Vậy minA = 12,25 khi x = -
2
3
0,5
6
1
1
Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung
điểm của mỗi đường.
0,5
Ta có: AO, BE là trung tuyến của

ABD
Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của

ABD .
0,5
2
Theo câu 1) P là là trọng tâm của

ABD
2 2 1 1
.
3 3 2 3

AP AO AC AC⇒ = = =
Tương tự, ta có:
1
3
CQ AC=
Do đó: PQ = AC – AP – CQ =
1
3
AC
Vậy AP = PQ = QC
0,5
0,5
3
Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM
Ta có: AE = ED, EI = EM

AMDI là hình bình hành

AI // MD (1)
Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.
0,5
0,5
4

KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK

EF là đường trung bình của

KMI

1
EF=
2
KI⇒

KI = 2.EF
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)
BF // AE và AF = AE

Tứ giác ABFE là hình bình hành

EF = AB (5)
Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh CD.
0,5
0,5
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
ĐỀ 4
Thời gian làm bài: 150 phút
12
Câu 1 (3,0 điểm).
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) 12x
3
+ 16x
2
- 5x - 3
b) (x
2
- x + 1)
2

- 5x(x
2
- x + 1) + 4x
2
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Chứng minh rằng: Nếu x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx thì x = y = z
b) Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn:
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
b c a c b a
+ + = + +
.
Chứng minh rằng a = b = c.
Câu 3 (4,0 điểm).
Giải các phương trình:
a)
2 1 2 5x x− + −
= 4 (1)
b)
( )
2
2 2
2

7 9
3 3
6 0
2 2 4
x
x x
x x x

+ −
   
+ − =
 ÷  ÷
− + −
   
Câu 4 (4,0 điểm).
a) Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 2. Chứng minh rằng:
2
2
1 1
8x y
x y
 
 
+ + + ≥
 ÷
 ÷
 
 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2015

3x −
, với x là số nguyên.
Câu 5 (6,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với
BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt
CD ở I. Chứng minh rằng:
a) DK = CI
b) EF // CD
c) AB
2
= CD.EF
HƯỚNG DẪN CHẤM

13
Câu Nội dung Điểm
1
a)
12x
3
+ 16x
2
- 5x - 3
= 12x
3
- 6x
2
+ 22x
2
- 11x + 6x - 3
= 6x

2
(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1)
= (2x - 1)(6x
2
+ 11x + 3)
= (2x - 1)(6x
2
+ 9x + 2x + 3)
= (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)]
= (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1)
1,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b)
A = (x
2
- x + 1)
2
- 5x(x
2
- x + 1) + 4x
2
§Æt x
2
- x + 1 = y, ta cã
A = 4x
2
- 5xy + y

2
= (4x - y)(x - y)
= (4x - x
2
+ x - 1)(x -x
2
+ x - 1) = (x
2
- 5x + 1)(x
2
- 2x + 1)
= (x - 1)
2
(x
2
- 5x + 1)
= (x - 1)
2
5 21 5 21
2 2
x x
  
+ −
− −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
1,5
0,5
0,25

0,25
0,5
2
a)
Ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx


2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
= 2xy + 2yz + 2zx


x
2
– 2xy + y
2
+ y
2
– 2yz + z
2

+ z
2
– 2zx + x
2
= 0


(x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
= 0 (1)
Ta có : (x – y)
2


0, (y – z)
2

0≥
, (z – x)
2

0≥
Do đó: (1)
0
0
0

x y
y z
z x
− =


⇒ − =


− =

.

x y z
⇒ = =
1,0
0,5
0,25
0,25
b) Có thể chứng minh một trong hai cách sau:
Cách 1. Ta có:
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
b c a c b a
+ + = + +


a
4

c
2
+ b
4
a
2
+ c
4
b
2
= abc(a
2
c + c
2
a + b
2
c)
Đặt x = a
2
c, y = b
2
a, z = c
2
b. Ta được:
x
2
+ y
2
+ z
2

= xy + yz + zx
Áp dụng kết quả câu a) ta được:
(x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
= 0


x = y = z


a
2
c = b
2
a = c
2
b


ac = b
2
; bc = a
2
; ab = c
2



a = b = c (đpcm).
Cách 2: Đặt x =
a
b
, y =
b
c
, z =
c
a
. Khi đó xyz = 1.
Từ
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
+ + = + +
b c a c b a
suy ra:
x
2
+ y
2
+ z
2
=
1 1 1 xy + yz + zx
+ + = = xy + yz + zx
x y z xyz
Áp dụng kết quả câu a) ta được:

(x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
= 0


x = y = z

a b c
= =
b c a

2,0
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
14
Ghi chỳ: Nu hc sinh lm cỏch khỏc m ỳng thỡ vn cho im ti a.
5
Thi gian lm bi: 150 phỳt

Cõu 1 (2,0 im).
Rỳt gn biu thc: B =
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z x z

+ + + +
Cõu 2 (4,0 im).
a) Tỡm s d trong phộp chia a thc (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x
2
+ 8x + 12.
b) Tỡm mi s nguyờn x sao cho x
3
- 2x
2
+ 7x - 7 chia ht cho x
2
+ 3.
Cõu 3 (4,0 im).
Gii cỏc phng trỡnh:
a)
( )
3 3
3
1 3
3 4 1 0
4 4

x x x

+ + + =
ữ ữ

b)
3 3
2
1 1
x x
x x
x x


+ =
ữ ữ
+ +

Cõu 4 (4,0 im).
Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
a) A =
3 1 2 4 3x x x+ + + +
b) B =
2
2
14x 8x 9
3x 6x 9
+
+ +
Cõu 5 (4,0 im)

Cho tam giỏc ABC cõn ti A. M, D tng ng l trung im ca BC, AM. H l hỡnh
chiu ca M trờn CD. AH ct BC ti N, BH ct AM ti E. Chng minh rng:
a) Tam giỏc MHD ng dng vi tam giỏc CMD.
b) E l trc tõm tam giỏc ABN.
Cõu 6 (2,0 im): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một
điểm trên đờng chéo AC sao cho
ã
0
90BNM =
. Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng
minh rằng FB

AC.
HNG DN CHM
15
Câu Nội dung Điểm
1
Ta có:
x
3
- y
3
- z
3
- 3xyz = (x - y)
3
+ 3xy(x - y) - z
3
- 3xyz
= (x - y - z)

3
+ 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z)
= (x - y - z)[(x - y - z)
2
+ 3xz - 3yz + 3xy)]
= (x - y - z)(x
2
+ y
2
+ z
2
-2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy)
= (x - y - z)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy - yz + xz)
(x + y)
2
+ (y - z)
2
+ (x + z)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
+ y

2
- 2yz + z
2
+ x
2
+ 2xz + z
2
= 2(x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy - yz + xz)
Vậy B =
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
x y z x y z xy yz xz
2 x y z xy yz xz
− − + + + − +
+ + + − +
=
2
x y z− −

2,0
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
2
a) HS có thể làm một trong các cách sau:
Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9
Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 9
= (x
2
+ 8x + 7)[(x
2
+ 8x + 12) + 3] + 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 12) + 3(x
2
+ 8x + 7) + 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2

+ 8x + 12) + 3(x
2
+ 8x + 12) + 9 – 15
= (x
2
+ 8x + 12)(x
2
+ 8x + 10) - 6
Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x
2
+ 8x + 12 là - 6.
Cách 2. f(x) = (x
2
+ 4x + 3)(x
2
+ 12x + 35) + 9
= x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 12x
3
+ 48x
2
+ 36x + 35x
2
+ 140x
+ 105 + 9

= x
4
+ 16x
3
+ 86x
2
+ 176x + 114
Thực hiện phép chia đa thức x
4
+ 16x
3
+ 86x
2
+ 176x + 114
cho x
2
+ 8x + 12 được thương là x
2
+ 8x + 10 và số dư là - 6.
Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x
2
+ 8x + 12 là - 6.
Cách 3. Bậc của đa thức thương là 2 nên đa thức dư có dạng
ax + b.
Gọi đa thức thương là Q(x), ta có:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9
= (x
2
+ 8x + 12)Q(x) + ax + b
Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + 9 = - 2a + b



- 2a + b = -6
Cho x = - 6, ta có: - 5.(- 3)(-1). 1 + 9 = - 6a + b


- 6a + b = - 6
Ta có (-2a + b) – (- 6a + b) = 0

a = 0
Do đó b = - 6.
Đa thức dư là - 6.
Cách 4. f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 9
= [(x
2
+ 8x + 12)- 5][(x
2
+ 8x + 12) + 3] + 9
= (x
2
+ 8x + 12)
2
- 2(x
2
+ 8x + 12) – 15 + 9

= (x
2
+ 8x + 12)
2
- 2(x
2
+ 8x + 12) – 6
2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25

16
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
ĐỀ 6
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
. b) x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015.
Bài 2: (2,5 điểm)

Cho biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 

 
= + + − +

 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| =
1
2
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình :
18
1
42x13x
1
30x11x
1
20x9x
1
222
=
++
+
++
+
++
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =
3
cba

c
bca
b
acb
a

−+
+
−+
+
−+
Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC
2
.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2 điểm) a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
=
( )

3
3 3 3
x y z x y z
 
 
+ + − − +
 
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
 
+ + + + + + + − + − +
 
=
( )
( )
2
y z 3x 3xy 3yz 3zx
+ + + +
= 3
( ) ( ) ( )
y z x x y z x y
+ + + +
 
 
= 3

( ) ( ) ( )
x y y z z x+ + +
. (1 điểm)
b)x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015 = (x
4
- x) + (2015x
2
+2015x+2015)
= x(x
3
- 1) + 2015 (x
2
+x+1) = x(x -1) (x
2
+x+1) )+ 2015 (x
2
+x+1)
= (x
2
+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x
2
+x+1) (x
2
–x + 2015) (1 điểm)
Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức:
2

2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 

 
= + + − +
 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a) Rút gọn được kết qủa:
1
A
x 2

=

(0,75 điểm)
b)
1
x
2
=

1
x
2

⇒ =
hoặc
1
x
2

=
(0,25 điểm)


A=
3
2
hoặc A=
5
2
(0,75 điểm)
c) A < 0

x - 2 >0

x >2 (0,25 điểm)
17
d) A

Z

Z
2x
1





x-2

Ư(-1)

x-2

{ -1; 1}

x

{1; 3} (0,5 điểm)
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ) x
2
+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x
2
+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x
2
+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;
(0,25 điểm)
ĐKXĐ :
7;6;5;4
−≠−≠−≠−≠
xxxx
(0,25 điểm)
Phương trình trở thành :

18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
=
++
+
++
+
++
xxxxxx


18
1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4

1
=
+

+
+
+

+
+
+

+
xxxxxx

18
1
7
1
4
1
=
+

+
xx
(0,25 điểm)
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; (0,25 điểm)

b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm)
Từ đó suy ra a=
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b
zy +
=
+
=
+
; (0,25 điểm) Thay
vào ta được A=






+++++=
+
+
+
+
+

)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx
x
zy
(0,25 điểm)
Từ đó suy ra A
)222(
2
1
++≥
hay A
3


(0,25 điểm)
Bài 4: (3,5 điểm)
a)Ta có : BE

AC (gt); DF

AC (gt)

BE // DF (0,25 điểm)
Chứng minh :
( )BEO DFO g c g∆ = ∆ − −

BE = DF (0,5 điểm)
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
b) Chứng minh:

ABC=

ADC



HBC=

KDC (0,25 điểm)



CHB ∽


CKD(g-g)
CB.CKCD.CH
CD
CB
CK
CH
=⇒=⇒
(1 điểm)
c)Chứng minh :

AFD ∽

AKC(g-g) (0,25 điểm)

AC.AFAK.AD
AC
AD
AK
AF
=⇒=
(0,25 điểm)
Chứng minh :

CFD ∽

AHC(g-g)

AC
CD
AH

CF
=
(0,25 điểm)
Mà : CD = AB

AC.CFAH.AB
AC
AB
AH
CF
=⇒=
(0,25 điểm)
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(0,25 điểm)
18
O
F
E
K
H
C
A
D
B
ĐỀ 7
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x
3
- 2x - 4) : (x

2
+ 2x + 2)
b) Xác định a sao cho ax
3
- 2x - 4 chia hết cho x - 2
c) Tìm nghiệm của đa thức: x
3
- 2x - 4
Bài 2: a) Tính S =
a b c
(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a)
+ +
− − − − − −
b) Chứng minh
1 1 1 1
(3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5
 
= −
 ÷
+ + + +
 
c) Tính
150 150 150 150

5.8 8.11 11.14 47.50
+ + + +
Bài 3: Giải các phương trình
a)
2 2 4 2
x 1 x 1 2

x x 1 x x 1 x(x x 1)
+ −
− =
+ + − + + +
b)
7 x 5 x 3 x
3
1993 1995 1997
− − −
+ + = −
Bài 4: Cho
ABC∆
vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở
B, ACE vuông cân ở C. CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang
b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN
Bài 5: Cho M là điểm nằm trong
ABC∆
, từ M kẻ MA’

BC, MB’

AC, MC’

AB
(A’

BC; B’


AC; C’

AB). Chứng minh rằng:
a b c
MA' MB' MC'
h h h
+ +
= 1
(Với h
a
, h
b
, h
c
là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của
ABC∆
)
Bài giải
Bài 1:
a) Thực hiện phép chia: (x
3
- 2x - 4) : (x
2
+ 2x + 2) = x - 2
b) Xác định a sao cho ax
3
- 2x - 4 chia hết cho x - 2
Vì ax
3
- 2x - 4 chia hết cho x - 2 nên x = 2 là nghiệm của đa thức ax

3
- 2x - 4 , nên ta có: a.
2
3
- 2. 2 - 4 = 0

8a - 8 = 0

a = 1
c) Tìm nghiệm của đa thức: x
3
- 2x - 4
Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để
19
x
3
- 2x - 4 = 0

(x
2
+ 2x + 2)(x - 2) = 0


2
x 2x 2 0
x 2 0

+ + =

− =


+) x - 2 = 0

x = 2+) x
2
+ 2x + 2

(x
2
+ 2x + 1) + 1 = 0

(x + 1)
2
+ 1 = 0 : Vơ
nghiệm
Vì (x + 1)
2
+ 1 > 0 với mọi x
Bài 2:
a) S =
a b c a(b c) b(c a) c(a b)
(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b)(b c)
− + − + −
+ + =
− − − − − − − − −
=
a(b c) b(c a) c(a b) ab ac bc ab ac bc 0
0
(c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c)
− + − + − − + − + −

= = =
− − − − − − − − −
b) Chứng minh
1 1 1 1
(3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5
 
= −
 ÷
+ + + +
 
Ta có:
1 1 1 1 3n 5 (3n 2) 1 3 1
.
3 3n 2 3n 5 3 (3n 2)(3n 5) 3 (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5)
 
+ − +
 
− = = =
 ÷
 
+ + + + + + + +
 
 
c) Tính :
150 150 150 150

5.8 8.11 11.14 47.50
+ + + +
áp dụng câu b ta tính được
150 150 150 150


5.8 8.11 11.14 47.50
+ + + +
= 9
Bài 3: Giải các phương trình
a)
2 2
2 2 4 2 4 2 4 2 4 2
x 1 x 1 2 x(x 1)(x x 1) x(x 1)(x x 1) 2
x x 1 x x 1 x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1)
+ − + − + − + +
− = ⇔ − =
+ + − + + + + + + + + +
(1)
ĐKXĐ: x(x
4
+ x
2
+ 1)

0

x

0 Vì x
4
+ x
2
+ 1 > 0
(1)


x(x + 1)(x
2
- x + 1) - x(x - 1)(x
2
+ x + 1) = 2

x(x
3
- 1) - x(x
3
+ 1) = 2

x
4
- x - x
4
- x = 2

- 2x = 2

x = - 1
b)
7 x 5 x 3 x 7 x 5 x 3 x
3 1 1 1 0
1993 1995 1997 1993 1995 1997
− − − − − −
+ + = − ⇔ + + + + + =

x = 2000

Bài 4:
Cho
ABC∆
vng tại A. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó các tam giác ABD vng cân ở B,
ACE vng cân ở C. CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang
b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN
Giải
a) Chứng minh
·
·
·
DAB + BAC + CAE
= 180
0

D, A, E thẳng hàng
b) Đặt AB = c, AC = b.
BD // AC (cùng vuông góc với AB)
nên
MC AM AC AM AC
MD MB BD MB + AM AC + BD
= = ⇒ =



AM AC AM AC AC. AB
AM
AB AC + BD AB AC AB AC AB

= ⇒ = ⇒ =
+ +
(1)

AM(AC + AB) = AC. AB

3(4 + AB) = 4 AB

AB = 12 cm

MB = 9 cm
Từ
MC AM MC.MB 5.9
MD 15
MD MB MA 3
= ⇒ = = =
cm
20
N
M
E
D
C
B
A
c) AB // CE (cùng vuông góc với AC) nên
AN AB AN AB
NC CE NC + AN AB + CE
= ⇒ =




AN AB AB. AC
AN
AC AB + AC AB + AC
= ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = AN
Bài 5:
Cho M là điểm nằm trong
ABC∆
, từ M kẻ MA’

BC, MB’

AC, MC’

AB
(A’

BC; B’

AC; C’

AB). Chứng minh rằng:
a b c
MA' MB' MC'
h h h
+ +
= 1

(Với h
a
, h
b
, h
c
là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của
ABC

)
Giải
Kẻ đường cao AH, ta có:
MBC
a ABC
S
MA' MA'
h AH S
= =
(1)
Tương tự:
MCA
b ABC
S
MB'
h S
=
(2) và
MBA
c ABC
SMC'

h S
=
(3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có:

MBC MCA
MBA
a b c ABC ABC ABC
S S
SMA' MB' MC'
h h h S S S
+ + = + +
=
MBC MCA MBA ABC
ABC ABC
S S S S
1
S S
+ +
= =
ĐỀ 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1
a) Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0; ngồi ra còn biết thêm
2
a b (b c)= −
. Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0
b) Cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức A = x
3
+ y

3
+ 3xy
Câu 2: a) Giải phương trình:
x 2 3 1+ − =
b) Giả sử a, b, c là ba số đơi một khác nhau và
a b c
0
b c c a a b
+ + =
− − −
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
0
(b c) (c a) (a b)
+ + =
− − −
Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của
·
BAC
, Ax cắt BC tại E. Trên tia Ex
lấy điểm H sao cho
·
·
BAE ECH=
. Chứng minh rằng:
a) BE. EC = AE. EH
b) AE
2
= AB. AC - BE. EC

Câu 4: Cho tứ giác ABCD. Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ
đường thẳng song song với AD cắt AC tại F.
Chứng minh rằng: EF // DC
híng dÉn gi¶i
21
H
C'
B'
A'
M
C
B
A
C©u 1:
a) V×
2
a b (b c)= −
nªn a

0 vµ b

0 v×
NÕu a = 0

b = 0 hc b = c. V« lÝ
NÕu b = 0

a = 0. V« lÝ

c = 0



a
= b
3

a


0 víi mäi a

b > 0

a < 0
b) V× x + y = 1

A = x
3
+ y
3
+ 3xy = x
3
+ y
3
+ 3xy (x + y) = (x + y)
3
= 1
C©u 2: b) Từ
a b c
+ 0

b - c c - a a - b
+ =



2 2
a b c b ab + ac - c
=
b - c a - c b - a (a - b)(c - a)

+ =


2 2
2
a b ab + ac - c
(b - c) (a - b)(c - a)(b - c)

=
(1) (Nhân hai vế với
1
b - c
)
Tương tự, ta có:
2 2
2
b c bc + ba - a
(c - a) (a - b)(c - a)(b - c)

=

(2) ;
2 2
2
c a ac + cb - b
(a - b) (a - b)(c - a)(b - c)

=
(3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm
C©u 3:
a) Ta cã

BAE

HCE (g.g)


BE AE
BE.EC AE.EH
EH EC
= ⇒ =
(1)
b)

BAE

HCE (g.g)


·

·
ABE = CHE



·
·
ABE = CHA



BAE

HAC (g.g)


AE AB
AB.AC AE.AH
AC AH
= ⇒ =
(2)
Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã :
AB. AC - BE. EC = AE.AH - AE. EH

AB. AC - BE. EC = AE. (AH - EH) = AE. AE = AE
2
C©u 4:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Vì AE // BC



OE OA
=
OB OC
(1)
BF // AD


OB OF
=
OD OA
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
OE OF
=
OD OC


EG // CD
ĐỀ 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: Cho phân thức: P =
2
2 x 4
x x 20

+ −
a) Tìm TXĐ của P b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi
x 5 1,5− =
Bài 2: So sánh A và B biết:

a) A = 2002. 2004 và B = 2003
2
b) A = 3.(2
2
+ 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) và B = 2
64
22
H
E
x
C
B
A
O
F
D
E
C
B
A
Bi 3: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo ln AC. H CE vuụng gúc vi AB, CF
vuụng gúc vi AD v BG vuụng gúc vi AC. Chng minh:

a)

ACE

ABG v

AFC

CBG
b) AB. AE + AD. AF = AC
2
Bi 4: Cho hỡnh thoi ABCD cnh a, cú = 60
0
. Mt ng thng bt k qua C ct tia i
ca tia BA v DA ln lt ti M v N
a) Chng minh: Tớch BM. DN cú giỏ tr khụng i
b) Gi K l giao im ca BN v DM. Tớnh s o gúc BKD
Bi 5:
Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh
4(x + y) = 11 + xy
Gii
Bi 1:
a) kx: x
2
+ x - 20

0

(x - 4)(x + 5)


0

x

4 v x

- 5
b) P =
2
2 x 4 2 x 4
x x 20 (x 4)(x 5)

=
+ +

Nu x > 4

P =
2
x 5+
Nu x < 4

P =
2
x 5

+
c)
x 5 1,5;(x 5) x 6,5
x 5 1,5

5 x 1,5;(x 5) x 3,5
= > =

=

= < =

Vi x = 6,5 thỡ P =
2 2 2 20 4
x 5 6,5 5 11,5 115 23
= = = =
+ +
Vi x = 3,5 thỡ P =
2 2 2 2
x 5 3,5 5 8,5 17

= = =
+ +
Bi 2:
a) A = 2002. 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 2003
2
- 1 < 2003
2


A < B
b) Ta cú:
A = 3.(2
2
+ 1)(2

4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1)
= (2
2
- 1)(2
2
+ 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1)
= (2
4
- 1)( 2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2

32
+ 1) = (2
8
- 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1)
= (2
16
- 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) = (2
32
- 1)(2
32
+ 1) = 2
64
- 1 < 2
64


A < B
Bi 3:
Ta coự


AGB

AEC

AE AC
=
AG AB


AB. AE = AC. AG (1)

CGB

AFC

AF CG CG
=
AC CB AD
=
(vỡ CB = AD)

AF . AD = AC. CG (2)
Coọng (5) vaứ (6) veỏ theo veỏ ta coự:
AB. AE + AF. AD = AC. AG + AC. CG

AB. AE + AF. AD = AC(AG + CG) = AC. AC
Vaọy: AB. AE + AD. AF = AC
2
Bài 4:
23

a) BC // AN


MB CM
=
BA CN
(1)
CD// AM

CM AD
=
CN DN
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
MB AD
= MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN

b)

MBD và

BDN có
·
·
MBD = BDN
= 120
0


MB MB CM AD BD
= =
BD BA CN DN DN
= =
(Do ABCD là hình thoi có
µ
0
A = 60
nên
AB = BC = CD = DA)


MBD

BDN
Suy ra
µ
µ
1 1
M = B
.

MBD và

BKD có
·
·
BDM = BDK

µ

µ
1 1
M = B
nên
·
·
0
BKD = MBD = 120
ĐỀ 9
Thời gian làm bài: 150 phút
C©u 1: Cho
2
2
x 7x 6
A
x 1
− +
=

a) Rót gän A b) T×m x ®Ĩ A = 0 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa x ®Ĩ A cã gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1)
2
= 4(x
2
+ 2x + 1)
C©u 3: Cho a, b, c tho· m·n:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = (a
3
+ b
3
)(b
3
+ c
3
)(c
3
+ a
3
)
C©u 4: Cho

ABC cã
µ
µ µ
A 2B 4C 4= = = α
. Chøng minh:
1 1 1
AB BC CA
= +
C©u 5:
Cho

ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iĨm cđa BC. LÊy D, E theo thø tù thc AB,
AC sao cho:
·
µ

DME B=
a) Chøng minh r»ng: tÝch BD. CE kh«ng ®ỉi
b) Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BDE
c) TÝnh chu vi cđa

ADE nÕu

ABC lµ tam gi¸c ®Ịu
Híng dÉn
C©u 3: Tõ
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +


1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab

(a b). 0 (a + b)(b + c)(c + a) = 0
abc(a b c)
+ + +
+ = Û
+ +

Tõ ®ã suy ra : A = (a
3
+ b
3
)(b
3
+ c
3
)(c
3
+ a
3
) = ( a + b)(b + c)(c + a). B = 0
C©u 4 :
VÏ tia CM (M

AB) sao cho
·
ACM = α
CAM


CBM


lµ c¸c tam gi¸c c©n


AB AB AM AB AM AB BM
1
BC AC CM CM CM CM
+
+ = + = = =
(v× BM = CM)


AB AB 1 1 1
1
BC AC AB BC CA
+ = ⇒ = +
C©u 5 :
a) Ta có
·
·
·
µ
·
DMC = DME + CME = B + BDM
, mà
·
µ
DME = B
(gt)
nên
·

·
CME = BDM
, kết hợp với
µ µ
B = C
(

ABC cân tại A)
suy ra

BDM

CME (g.g)
24


2
BD BM
= BD. CE = BM. CM = a
CM CE

không đổi
b)

BDM

CME


DM BD DM BD

= =
ME CM ME BM

(do BM = CM)



DME

DBM (c.g.c)


·
·
MDE = BMD
hay DM là tia phân giác của
·
BDE
c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của
·
DEC
kẻ MH

CE ,MI

DE, MK

DB thì MH = MI = MK




DKM =

DIM

DK =DI



EIM =

EHM

EI = EH
Chu vi

AED là P
AED
= AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

ABC là tam giác đều nên suy ra CH =
MC
2 2
a
=

AH = 1,5a

P
AED

= 2 AH = 2. 1,5 a = 3a

ĐỀ 10
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 : Giải phương trình: a)
)4(.)2(
2
4
3
2
1
xxx
x
x
x
−−
+

+
+


b) 6x
2
- x - 2 = 0
Câu 2 : Cho x + y + z = 0. Rút gọn :
222
222
)()()( yxxzzy
zyx

−+−+−
++
Câu 3 : Chứng minh rằng khơng tồn tại x thỏa mãn :
a) 2x
4
- 10x
2
+ 17 = 0
b) x
4
- x
3
+ 2x
2
- x + 1 = 0
Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
2
1
=
DC
DB
;
điểm O nằm trên đoạn AD sao cho
OA 3
OD 2
=
. Gọi K là giao điểm của BO và AC.
Tính tỉ số AK : KC.
Câu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H cắt AB, AC
thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác

MPQ cân tại M.
Hướng dẫn giải
Câu 2:
Từ x + y + z = 0

x
2
+ y
2
+ z
2
= - 2(xy + yz + zx) (1)
Ta có: (x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (z - x)
2
= 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) - 2(xy + yz + zx) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (z - x)

2
= - 6(xy + yz + zx) (3)
Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có:
A =
- 2(xy + yz + zx) 1
- 6(xy + yz + zx) 3
=
Câu 3:
a) 2x
4
- 10x
2
+ 17 = 0

2( x
4
- 5x
2
+
17
2
) = 0

2(x
4
- 2.
5
2
x
2

+
25
4
)
2
+
9
2
= 0

2(x
2
-
5
2
)
2
+
9
2
= 0. Vì 2(x
2
-
5
2
)
2
+
9
2

> 0 với mọi x nên khơng tồn tại x để
25
3
α
4
α
α
3
α
2
α
α
M
C
B
A
K
H
I
M
E
D
C
B
A

×