Các thuật toán gần đúng giải bài toán cây khung với chi phí định tuyến nhỏ nhất

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI




PHAN TẤN QUỐC



CÁC THUẬT TOÁN GẦN ĐÚNG GIẢI BÀI TOÁN
CÂY KHUNG VỚI CHI PHÍ ĐỊNH TUYẾN NHỎ NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH













Hà Nội –2015

ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI




PHAN TẤN QUỐC



CÁC THUẬT TOÁN GẦN ĐÚNG GIẢI BÀI TOÁN
CÂY KHUNG VỚI CHI PHÍ ĐỊNH TUYẾN NHỎ NHẤT

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 62480101


LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Hà Nội –2015



i





LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nghiên cứu
được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU SINH



PGS.TS Nguyễn Đức Nghĩa Phan Tấn Quốc

ii

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Đức Nghĩa đã nhiệt tình hướng dẫn tôi học tập, nghiên
cứu và thực hiện luận án này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các chuyên viên Viện Công nghệ Thông tin và Truyền

thông, Viện Đào tạo Sau Đại học - trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã quan tâm, hỗ trợ tôi
trong quá trình tôi làm nghiên cứu sinh tại Trường.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô ở Bộ môn Khoa học máy tính Viện Công nghệ Thông tin
và Truyền thông trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong hơn 5 năm làm nghiên
cứu sinh tại Bộ môn. Các thầy cô đã nhiệt tình hướng dẫn tôi thực hiện các học phần tiến sĩ, các
chuyên đề tiến sĩ, tiểu luận tổng quan; tham dự các buổi seminar định kỳ, các buổi bảo vệ luận
án tiến sĩ các cấp và có những góp ý quý báu để tôi hoàn thiện luận án này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong và ngoài trường đã tham gia đọc và nhận xét luận
án ở các cấp Bộ môn, cấp Cơ sở, cấp phản biện độc lập, cấp Trường; đã cho tôi những ý kiến
quý báu để tôi hoàn thiện luận án này.
Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sài Gòn, các đồng nghiệp tại khoa Công
nghệ Thông tin trường Đại học Sài Gòn và gia đình đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong thời
gian tôi làm nghiên cứu sinh.

Hà Nội, tháng 5-2015
Tác giả luận án



Phan Tấn Quốc




iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vii

DANH MỤC CÁC BẢNG ix
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ xi
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. TỔNG QUAN 5
1.1.BÀI TOÁN MRCST 5
1.1.1.Một số định nghĩa 5
1.1.2.Thuật toán tính chi phí định tuyến của cây khung 7
1.1.3.Đánh giá chi phí định tuyến của cây khung 9
1.2.ỨNG DỤNG 11
1.2.1.Ứng dụng của bài toán MRCST trong lĩnh vực thiết kế mạng 11
1.2.2.Ứng dụng của bài toán MRCST trong lĩnh vực tin sinh học 11
1.3.CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN BÀI TOÁN MRCST 12
1.3.1.Thuật toán giải đúng 12
1.3.2.Thuật toán gần đúng cận tỉ lệ 13
1.3.3.Thuật toán heuristic 16
1.3.4.Thuật toán metaheuristic 18
1.3.5.Danh sách các thuật toán giải bài toán MRCST hiện biết 25
1.4.TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ THUẬT TOÁN 26
1.5.HỆ THỐNG DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM CHUẨN 29
1.5.1.Đồ thị đầy đủ Euclid 30
1.5.2.Đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 30
1.5.1.Đồ thị thưa 31
1.6.KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN MRCST 32
1.6.1.Cấu hình máy tính thực nghiệm các thuật toán 32
1.6.2.Chất lượng lời giải 32
1.6.3.Thời gian tính 34
1.6.4.Hình vẽ minh họa so sánh chất lượng của các thuật toán hiện biết 36

iv
1.7.KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 37

Chương 2. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM LEO ĐỒI 39
2.1.CÂY KHUNG LÂN CẬN 39
2.2.THUẬT TOÁN HCSRI 40
2.2.1.Ý tưởng thuật toán HCSRI 40
2.2.2.Sơ đồ thuật toán HCSRI 41
2.2.3.Độ phức tạp của thuật toán HCSRI 42
2.3.THUẬT TOÁN HCSIR 42
2.3.1.Ý tưởng thuật toán HCSIR 42
2.3.2.Sơ đồ thuật toán HCSIR 43
2.3.3.Độ phức tạp của thuật toán HCSIR 44
2.4.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ 45
2.4.1.Môi trường thực nghiệm 45
2.4.2.Tham số thực nghiệm 45
2.4.3.Chất lượng lời giải 45
2.4.4.Thời gian tính 51
2.4.5.Hình vẽ minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR với các thuật toán khác 53
2.5.KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 55
Chương 3. THUẬT TOÁN DI TRUYỀN 56
3.1.THUẬT TOÁN GST 56
3.1.1.Tạo quần thể ban đầu 56
3.1.2.Phép lai 57
3.1.3.Phép đột biến 60
3.1.4.Phép chọn lọc 62
3.1.5.Sơ đồ thuật toán GST 63
3.1.6.Độ phức tạp của thuật toán GST 64
3.2.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ 64
3.2.1.Môi trường thực nghiệm 64
3.2.2.Tham số thực nghiệm 65
3.2.3.Chất lượng lời giải 65
3.2.4.Thời gian tính 69

3.2.5.Hình vẽ minh họa chất lượng thuật toán GST với các thuật toán khác 70
3.3.KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 73
Chương 4. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM TABU 74

v
4.1.THUẬT TOÁN TST 74
4.1.1.Ý tưởng và một số khái niệm của thuật toán tìm kiếm Tabu 74
4.1.2.Thuật toán TST tìm bước chuyển tốt nhất 75
4.1.3.Thuật toán TST cập nhật danh sách Tabu 76
4.1.4.Chiến lược đa dạng hóa lời giải của thuật toán TST 76
4.1.5.Sơ đồ của thuật toán TST 77
4.1.6.Độ phức tạp của thuật toán TST 79
4.2.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ 79
4.2.1.Môi trường thực nghiệm 79
4.2.2.Tham số thực nghiệm 79
4.2.3.Chất lượng lời giải 80
4.2.4.Thời gian tính 84
4.2.5.Hình vẽ minh họa chất lượng thuật toán TST với các thuật toán khác 86
4.3.KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 88
Chương 5. THUẬT TOÁN BẦY ONG 89
5.1.THUẬT TOÁN BẦY ONG CƠ BẢN 89
5.2.THUẬT TOÁN BST 91
5.2.1.Tạo quần thể ban đầu 91
5.2.2.Phân nhóm các cá thể 92
5.2.3.Tìm cây khung lân cận 93
5.2.4.Chiến lược đa dạng hóa lời giải 95
5.2.5.Sơ đồ của thuật toán BST 96
5.2.6.Độ phức tạp của thuật toán BST 98
5.3.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ 98
5.3.1.Môi trường thực nghiệm 98

5.3.2.Tham số thực nghiệm 98
5.3.3.Chất lượng lời giải 99
5.3.4.Thời gian tính 104
5.3.5.Hình vẽ minh họa chất lượng thuật toán BST với các thuật toán khác 106
5.3.6.Hình vẽ minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán 109
5.4.KẾT LUẬN CHƯƠNG 5 111
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 112
KẾT LUẬN 112
HƯỚNG PHÁT TRIỂN 113

vi
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
114
TÀI LIỆU THAM KHẢO 115
PHỤ LỤC. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM TỪ CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN 119
PL1. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM CÁC THUẬT TOÁN WONG, ADD, CAMPOS 119
PL2. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM CÁC THUẬT TOÁN ESCGA, BCGA 122
PL3. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM CÁC THUẬT TOÁN SHC, PBLS 123
PL4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM CÁC THUẬT TOÁN PABC, ABC+LS 126
PL5. SO SÁNH CHI PHÍ ĐỊNH TUYẾN CỦA CÁC THUẬT TOÁN 128



vii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Từ viết tắt
Tiếng Anh
Tiếng Việt
MRCST
Minimum Routing Cost Spanning

Tree
Cây khung chi phí định tuyến nhỏ nhất
OCST
Optimal Communication
Spanning Tree
Cây khung truyền thông tối ưu
BDMRCST
Benchmark Data For MRCST
Bộ dữ liệu chuẩn cho bài toán MRCST
SPT
Shortest Path Tree
Cây đường đi ngắn nhất
C(T)
Routing Cost
Chi phí định tuyến cây khung T
l(e)
Routing Load
Tải định tuyến của cạnh e
SHC
Stochastic Hill Climber Search
Algorithm
Thuật toán tìm kiếm leo đồi ngẫu nhiên
LS
Local Search Algorithm
Thuật toán tìm kiếm địa phương
TABU
Tabu Search Algorithm
Thuật toán tìm kiếm Tabu
GA
Genetic Algorithm

Thuật toán di truyền
PABC
Artificial Bee Colony Algorithm
Thuật toán bầy ong nhân tạo
ABC+LS
Artificial Bee Colony Algorithm +
Local Search
Thuật toán bầy ong nhân tạo kết hợp với
thuật toán tìm kiếm địa phương.
BEE
Bee Algorithm
Thuật toán bầy ong

Branch and Bound Algorithm
Thuật toán nhánh cận

Column Generation Method
Phương pháp sinh cột
PTAS
Polynomial Time Approximation
Scheme
Sơ đồ xấp xỉ thời gian đa thức

α -Approximation Algorithm
Thuật toán gần đúng cận tỉ lệ α

Network Optimization
Tối ưu hóa mạng
SD
Standard Deviation

Độ lệch chuẩn

Bioinformatics
Tin sinh học
MSA
Multiple Sequence Alignments
So sánh đa trình tự
HCSRI
HCSRI-MRCST
Thuật toán tìm kiếm leo đồi dạng loại
trước-chèn sau giải bài toán MRCST

viii
HCSIR
HCSIR-MRCST
Thuật toán tìm kiếm leo đồi dạng chèn
trước-loại sau giải bài toán MRCST
GST
GA-MRCST
Thuật toán di truyền giải bài toán MRCST
TST
TABU-MRCST
Thuật toán Tabu giải bài toán MRCST
BST
BEE-MRCST
Thuật toán bầy ong giải bài toán MRCST


ix
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Danh sách các thuật toán điển hình giải bài toán MRCST 26
Bảng 1.2.a. Thông tin các đồ thị đầy đủ Euclid trong BDMRCST 30
Bảng 1.2.b. Thông tin các đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên trong BDMRCST 31
Bảng 1.2.c. Thông tin các đồ thị thưa trong BDMRCST 31
Bảng 1.3. Cấu hình máy tính thực nghiệm các thuật toán 32
Bảng 1.4.a. Thời gian tính các thuật toán trước khi quy đổi 35
Bảng 1.4.b. Thời gian tính các thuật toán sau khi quy đổi 35
Bảng 2.1. Kết quả thực nghiệm thuật toán HCSRI, HCSIR trên đồ thị đầy đủ Euclid 48
Bảng 2.2. Kết quả thực nghiệm HCSRI, HCSIR trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 49
Bảng 2.3. Kết quả thực nghiệm các thuật toán HCSRI, HCSIR trên đồ thị thưa 49
Ba
̉
ng 2.4. So sánh chi phí định tuyến thuật toán HCSRI với các thuật toán khác 50
Ba
̉
ng 2.5. So sánh chi phí định tuyến thuật toán HCSIR với các thuật toán khác 51
Bảng 2.6. So sánh thời gian tính thuật toán HCSRI với các thuật toán khác 52
Bảng 2.7. So sánh thời gian tính thuật toán HCSIR với các thuật toán khác 53
Bảng 3.1. Kết quả thực nghiệm thuật toán GST trên đồ thị đầy đủ Euclid 67
Bảng 3.2. Kết quả thực nghiệm thuật toán GST trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 68
Bảng 3.3. Kết quả thực nghiệm thuật toán GST trên đồ thị thưa 68
Bảng 3.4. So sánh chi phí định tuyến thuật toán GST với các thuật toán khác 69
Bảng 3.5. So sánh thời gian tính thuật toán GST với các thuật toán khác 70
Bảng 4.1. Kết quả thực nghiệm thuật toán TST trên đồ thị đầy đủ Euclid 82
Bảng 4.2. Kết quả thực nghiệm TST trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 83
Bảng 4.3. Kết quả thực nghiệm thuật toán TST trên đồ thưa 83
Bảng 4.4. So sánh chi phí định tuyến thuật toán TST với các thuật toán khác 84
Bảng 4.5.a. So sánh thời gian tính của thuật toán TST với các thuật toán dạng cá thể 85
Bảng 4.5.b. So sánh thời gian tính của thuật toán TST với các thuật toán dạng quần thể 85
Bảng 5.1. Kết quả thực nghiệm thuật toán BST trên đồ thị đầy đủ Euclid 101

Bảng 5.2. Kết quả thực nghiệm thuật toán BST trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 102
Bảng 5.3. Kết quả thực nghiệm thuật toán BST trên đồ thị thưa 102
Bảng 5.4. So sánh thực nghiệm của thuật toán BST với các thuật toán đơn lời giải 103
Bảng 5.5. So sánh thực nghiệm của thuật toán BST với các thuật toán đa lời giải 104
Bảng 5.6. Các bộ dữ liệu BST cho lời giải chất lượng tốt hơn thuật toán ABC+LS 104

x
Bảng 5.7. So sánh thời gian tính thuật toán BST với các thuật toán đơn lời giải 106
Bảng 5.8. So sánh thời gian tính thuật toán BST với các thuật toán đa lời giải 106
PL1.a. Thực nghiệm WONG, ADD, CAMPOS trên đồ thị đầy đủ Euclid 120
PL1.b. Thực nghiệm WONG, ADD, CAMPOS trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 121
PL1.c. Thực nghiệm thuật toán WONG, ADD, CAMPOS trên đồ thị thưa. 121
PL2.a. Thực nghiệm thuật toán ESCGA, BCGA trên đồ thị đầy đủ Euclid. 122
PL2.b. Kết quả thực nghiệm ESCGA, BCGA trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 123
PL3.a. Kết quả thực nghiệm thuật toán SHC, PBLS trên đồ thị đầy đủ Euclid. 124
PL3.b. Kết quả thực nghiệm thuật toán SHC, PBLS trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên. 125
PL3.c. Kết quả thực nghiệm các thuật toán SHC, PBLS trên đồ thị thưa 125
PL4.a. Kết quả thực nghiệm thuật toán PABC, ABC+LS trên đồ thị đầy đủ Euclid 126
PL4.b. Kết quả thực nghiệm PABC, ABC+LS trên đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên 127
PL4.c. Kết quả thực nghiệm thuật toán ABC+LS trên đồ thị thưa. 127
PL5. So sánh chi phí định tuyến cho tất cả các thuật toán 129



xi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Minh họa cách tính chi phí định tuyến của một cây theo định nghĩa 6
Hình 1.2. Minh họa cho thuật toán tìm chi phí định tuyến của một cây khung 8
Hình 1.3. Đồ thị vô hướng liên thông có trọng số 14
Hình 1.4. Cây đường đi ngắn nhất xuất phát từ v1. 15

Hình 1.5. Minh họa chất lượng của các thuật toán qua bộ dữ liệu e50-01 36
Hình 1.6. Minh họa chất lượng của các thuật toán qua bộ dữ liệu e100-01 36
Hình 1.7. Minh họa chất lượng của các thuật toán qua bộ dữ liệu e250-01 36
Hình 1.8. Minh họa chất lượng của các thuật toán qua bộ dữ liệu rand100-01 37
Hình 1.9. Minh họa chất lượng của các thuật toán qua bộ dữ liệu rand300-01 37
Hình 2.1. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua e50-01 53
Hình 2.2. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua e100-01 53
Hình 2.3. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua e250-01 54
Hình 2.4. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua rand100-01 54
Hình 2.5. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua rand300-01 54
Hình 2.6. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua steinc-01 55
Hình 2.7. Minh họa chất lượng HCSRI, HCSIR và các thuật toán khác qua steind-01 55
Hình 3.1. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e50-01 70
Hình 3.2. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e100-01 71
Hình 3.3. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e250-01 71
Hình 3.4. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu rand100-01 71
Hình 3.5. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu rand300-01 72
Hình 3.6. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu steinc-01 72
Hình 3.7. Minh họa chất lượng GST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu steind-01 72
Hình 4.1. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e50-01 86
Hình 4.2. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e100-01 86
Hình 4.3. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e250-01 86
Hình 4.4. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu rand100-01 87
Hình 4.5. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu rand300-01 87
Hình 4.6. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu steinc-01 87
Hình 4.7. Minh họa chất lượng TST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu steind-01 88
Hình 5.1. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e50-01 106

xii
Hình 5.2. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e100-01 107

Hình 5.3. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu e250-01 107
Hình 5.4. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu rand100-01 . 107
Hình 5.5. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu rand300-01 . 108
Hình 5.6. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu steinc-01 108
Hình 5.7. Minh họa chất lượng BST và các thuật toán khác qua bộ dữ liệu steind-01 108
Hình 5.8. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu e50-01 109
Hình 5.9. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu e100-01 109
Hình 5.10. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu e250-01 109
Hình 5.11. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu rand100-01 110
Hình 5.12. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu rand300-01 110
Hình 5.13. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu steinc-01 110
Hình 5.14. Minh họa độ lệch chuẩn của các thuật toán qua bộ dữ liệu steind-01 111


1
MỞ ĐẦU
Tối ưu hóa mạng liên quan đến nhiều lĩnh vực như toán ứng dụng, khoa học máy tính, vận trù
học, kỹ thuật, mạng truyền thông,… Nhiều bài toán thực tế trong lĩnh vực mạng truyền thông,
chẳng hạn như bài toán cây khung truyền thông tối ưu (Optimal Communication Spanning
Trees - OCST), bài toán cây Steiner nhỏ nhất (Steiner Minimal Trees - SMT), bài toán cây khung
nhỏ nhất với đường kính bị chặn (Bounded Diameter Minimum Spanning Trees - BDMST) [20],
bài toán cây khung với chi phí định tuyến nhỏ nhất (Minimum Routing Cost Spanning Trees -
MRCST) đã được chứng minh thuộc lớp bài toán NP-khó hoặc NP-đầy đủ.
MRCST là một bài toán tối ưu đồ thị nổi tiếng; bài toán này lần đầu tiên được giới thiệu bởi T.
C. Hu vào năm 1974 qua bài báo “Optimum communication spanning trees” [37]. Bài toán
MRCST được xem là một trường hợp đặc biệt của bài toán cây khung truyền thông tối ưu khi
mà lượng cầu truyền thông giữa tất cả mọi cặp đỉnh của bài toán OCST đều bằng nhau [9,10,37].
Mô hình toán học của bài toán MRCST có thể phát biểu như sau: Cho G là một đồ thị vô hướng
liên thông có chi phí định tuyến không âm trên cạnh. Giả sử T là một cây khung của G. Chi phí
định tuyến cho mỗi cặp đỉnh trên T được định nghĩa là tổng các chi phí định tuyến trên các cạnh

của đường đi đơn nối chúng trên T và chi phí định tuyến của T được định nghĩa là tổng của tất
cả các chi phí định tuyến giữa mọi cặp đỉnh của T. Bài toán MRCST đặt ra là tìm một cây khung
có chi phí định tuyến nhỏ nhất trong số tất cả các cây khung của G [10]. Bài toán MRCST đã
được chứng minh thuộc lớp bài toán NP-khó [10,13,37].
Bài toán MRCST có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực thiết kế mạng truyền thông
[7,10,15,27,31,33], chẳng hạn bài toán xây dựng các hệ thống mạng nhằm tối ưu chi phí đường
đi trung bình giữa các nút mạng; đặc biệt là ở các mạng ngang hàng – khi mà các nút có xác
suất truyền tin và độ ưu tiên là như nhau. Bài toán MRCST cũng tìm được những ứng dụng quan
trọng trong lĩnh vực tin sinh học [10,41].
Việc đề xuất thuật toán dạng metaheuristic giải bài toán MRCST có ý nghĩa quan trọng, một
mặt, nhằm giải quyết những bài toán ứng dụng thực tiễn vừa nêu; mặt khác, còn là cơ sở để giải
quyết những bài toán cây khung tối ưu dạng NP-khó khác trên đồ thị.

2
Bài toán MRCST đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong hơn bốn
mươi năm qua. Hiện nay đã có hàng loạt thuật toán giải bài toán MRCST được đề xuất và có thể
chia chúng làm các hướng tiếp cận sau: Hướng thứ nhất là các thuật toán tìm lời giải đúng.
Hướng tiếp cận giải đúng phát triển trên thuật toán nhánh cận được đề xuất bởi R. Dionne và M.
Florian vào năm 1979 [30], thuật toán nhánh cận kết hợp với phương pháp sinh cột được đề xuất
bởi Matteo Fischetti, Giuseppe Lancia, Paolo Serafini vào năm 2002 [24]. Các thuật toán giải
đúng chỉ có thể giải được bài toán MRCST đối với đồ thị có không quá 40 đỉnh và do đó tính
ứng dụng thực tiễn của nó không cao [1,24,30]. Hướng thứ hai là các thuật toán tìm lời giải gần
đúng cận tỉ lệ, như thuật toán WONG được đề xuất bởi Richard T. Wong vào năm 1980 [31],
thuật toán GENERAL STAR được đề xuất bởi Bang Ye Wu và Kun-Mao Chao vào năm 1999
[8], sơ đồ xấp xỉ thời gian đa thức – PTAS được đề xuất bởi Bang Ye Wu và Kun-Mao Chao
vào năm 2004 [10], thuật toán xấp xỉ xử lý song song được đề xuất bởi Ching-Lueh Chang và
Yuh-Dauh Lyuu vào năm 2008 [12], thuật toán gần đúng cận tỉ lệ được đề xuất bởi Alexandra
Hochuli, Stephan Holzer, Roger Wattenhofer năm 2014 [4]. Ưu điểm của các thuật toán này là
có sự đảm bảo về mặt toán học theo nghĩa lời giải tìm được gần đúng một cận tỉ lệ α nào đó so
với lời giải tối ưu. Hướng thứ ba là các thuật toán heuristic, bao gồm thuật toán ADD được đề

xuất bởi Vic Grout vào năm 2005 [41], thuật toán CAMPOS được đề xuất bởi Rui Campos và
Manuel Ricardo vào năm 2008 [33]. Các thuật toán ADD, CAMPOS có độ phức tạp thời gian
tính tốt nhất trong số tất cả các thuật toán giải bài toán MRCST hiện biết. Thuật toán CAMPOS
tìm được lời giải với chất lượng tốt hơn so với các thuật toán WONG ở một số loại đồ thị cụ thể.
Hướng thứ tư là các thuật toán metaheuristic. Hướng tiếp cận metaheuristic phát triển trên các
thuật toán di truyền, thuật toán tìm kiếm địa phương và thuật toán bầy ong. Hướng tiếp cận này
bao gồm thuật toán di truyền mã hóa dạng cạnh – ESCGA được đề xuất bởi Bryant A. Julstrom
vào năm 2005 [11], thuật toán di truyền mã hóa dạng dãy số Prüfer – BCGA được đề xuất bởi
Bryant A. Julstrom vào năm 2005 [11], thuật toán tìm kiếm leo đồi ngẫu nhiên – SHC được đề
xuất bởi Bryant A. Julstrom vào năm 2005 [11], thuật toán tìm kiếm địa phương có sử dụng
chiến lược đa dạng hóa lời giải – PBLS được đề xuất bởi Alok Singh vào năm 2008 [5], thuật
toán tìm kiếm địa phương– CYCLELS được đề xuất bởi Steffen Wolf và Peter Merz vào năm
2010 [36], thuật toán bầy ong (Artificial Bee Colony - PABC) [6] và thuật toán bầy ong kết hợp
với thuật toán tìm kiếm địa phương (ABC+LS) cùng được đề xuất bởi Alok Singh vào năm 2011
[6] – hai thuật toán này được phát triển dựa vào sơ đồ của thuật toán Artificial Bee Colony
(ABC) [16,17]. Các thuật toán metaheuristic này cho lời giải với chất lượng tốt hơn các thuật
toán giải gần đúng còn lại. Tuy nhiên, hiệu quả của các thuật toán metaheuristic chủ yếu được
đánh giá thông qua thực nghiệm mà chưa chứng minh được về mặt toán học. Thời gian tính các

3
thuật toán metaheuristic là chậm hơn rất nhiều so với các thuật toán WONG [10,31], ADD [41],
CAMPOS [33].
Mục đích của luận án là phát triển một số thuật toán gần đúng dạng metaheuristic giải bài toán
MRCST cho chất lượng lời giải tốt hơn so với các thuật toán có cùng cỡ thời gian tính hoặc đòi
hỏi thời gian tính ít hơn khi so sánh với các thuật toán có chất lượng lời giải tương đương hoặc
đưa ra lời giải tốt nhất mới cho một số bộ dữ liệu thực nghiệm chuẩn.
Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố ở 4 bài báo tạp chí và 2 bài báo hội nghị
chuyên ngành. Các kết quả chính đạt được của luận án là:
Thứ nhất, đề xuất hai thuật toán dạng tìm kiếm leo đồi giải bài toán MRCST là thuật toán
HCSRI-MRCST (viết tắt là HCSRI) và thuật toán HCSIR-MRCST (viết tắt là HCSIR); các đề xuất

này nhằm giải quyết hiệu quả bài toán MRCST ứng với các loại đồ thị thưa và đồ thị đầy đủ ngẫu
nhiên. Các thuật toán HCSRI, HCSIR cho chất lượng lời giải tương đương với các thuật toán
metaheuristic mới nhất nhưng với thời gian tính nhanh hơn; xét trên toàn bộ hệ thống dữ liệu
thực nghiệm chuẩn; các thuật toán HCSRI, HCSIR cho chất lượng lời giải luôn tốt hơn các thuật
toán trước đó WONG, ADD, CAMPOS, ESCGA, BCGA.
Thứ hai, đề xuất một thuật toán dạng thuật toán di truyền giải bài toán MRCST là GA-
MRCST (viết tắt là GST). Thuật toán GST đề xuất phép lai và phép đột biến mới, có định hướng
cao đến chi phí định tuyến; các phép lai và phép đột biến này có tính đa dạng và tính tăng cường
cao hơn so với các thuật toán di truyền đã được công bố trước đó như ESCGA, BCGA. Thuật
toán GST cho lời giải với chất lượng tốt hơn và thời gian tính nhanh hơn các thuật toán di truyền
ESCGA, BCGA; thuật toán GST cho lời giải với chất lượng tốt hơn các thuật toán WONG, ADD,
CAMPOS, SHC.
Thứ ba, đề xuất một thuật toán dạng tìm kiếm Tabu giải bài toán MRCST là TABU-MRCST
(viết tắt là TST); đây là vận dụng đầu tiên của tìm kiếm Tabu vào việc giải bài toán MRSCT.
Thuật toán TST thừa kế được những ưu điểm của thuật toán tìm kiếm Tabu trong việc giải bài
toán tối ưu, thuật toán TST đề xuất một chiến lược đa dạng mới. Thuật toán TST cho chất lượng
lời giải tốt hơn các thuật toán đã được công bố trước đó như WONG, ADD, CAMPOS, SHC,
PBLS, ESCGA, BCGA trên mọi bộ dữ liệu; thuật toán TST cho lời giải chất lượng tương đương
thuật toán PBLS trên các đồ thị đầy đủ Euclid nhưng với thời gian tính nhanh hơn.
Thứ tư, đề xuất một thuật toán dạng thuật toán bầy ong giải bài toán MRCST là BEE-
MRCST (viết tắt là BST). Thuật toán BST đề xuất mới các chiến lược tăng cường hóa và đa dạng
hóa; thuật toán BST là vận dụng đầu tiên của thuật toán bầy ong cơ bản [14] vào việc giải bài

4
toán MRCST. Thuật toán BST cho chất lượng lời giải tốt hơn và thời gian tính nhanh hơn các
thuật toán metaheuristic đã công bố như ESCGA, BCGA, PABC, ABC+LS trên hệ thống dữ liệu
thực nghiệm chuẩn.
Luận án được trình bày trong 5 chương.
Chương 1 trình bày tổng quan về bài toán MRCST, các ứng dụng của bài toán MRCST,
khảo sát các công trình nghiên cứu liên quan và hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn cho bài

toán MRCST.
Chương 2 đề xuất các thuật toán dạng tìm kiếm leo đồi HCSRI, HCSIR giải bài toán
MRCST.
Chương 3 đề xuất thuật toán di truyền GST giải bài toán MRCST.
Chương 4 đề xuất thuật toán tìm kiếm Tabu TST giải bài toán MRCST.
Chương 5 đề xuất thuật toán bầy ong BST giải bài toán MRCST.
Luận án cũng phân tích ưu nhược điểm của từng thuật toán đối với từng loại dữ liệu thực nghiệm
cụ thể và qua đó định hướng phạm vi áp dụng cho từng thuật toán đề xuất. Phụ lục của luận án
ghi nhận kết quả thực nghiệm của các công trình nghiên cứu liên quan cho đến thời điểm hiện
tại.



5

Chương 1. TỔNG QUAN
Chương này giới thiệu tổng quan về bài toán cây khung với chi phí định tuyến nhỏ nhất
(Minimum Routing Cost Spanning Tree – MRCST), các ứng dụng của bài toán MRCST, khảo
sát các thuật toán giải bài toán MRCST, các tiêu chí đánh giá chất lượng một thuật toán giải gần
đúng và hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn được sử dụng cho bài toán MRCST.
1.1.BÀI TOÁN MRCST
1.1.1.Một số định nghĩa
Cho G = (V(G), E(G)) là một đồ thị vô hướng, liên thông, có trọng số không âm trên cạnh; trong
đó V(G) là tập gồm n đỉnh, E(G) là tập gồm m cạnh, w(e) là trọng số của cạnh e, e  E(G).
Trong suốt luận án này, nếu G là đồ thị, thì ký hiệu V(G) sẽ được sử dụng để chỉ tập đỉnh, còn
E(G) sẽ được sử dụng để chỉ tập cạnh của đồ thị G.
Định nghĩa 1.1 [10] (Chi phí định tuyến giữa một cặp đỉnh). Cho T = (V(T), E(T)) là một cây
khung của G, trọng số trên cạnh e được hiểu là chi phí định tuyến của cạnh e, ta gọi chi phí định
tuyến (routing cost) của một cặp đỉnh (u,v) trên T, ký hiệu là d
T

(u,v), là tổng chi phí định tuyến
của các cạnh trên đường đi đơn (duy nhất) nối đỉnh u với đỉnh v trên cây T.
Định nghĩa 1.2 [10] (Chi phí định tuyến của một cây khung). Cho T = (V(T), E(T)) là một cây
khung của G, chi phí định tuyến của T, ký hiệu là C(T), là tổng chi phí định tuyến giữa mọi cặp
đỉnh thuộc cây T, tức là:
, ( )
( ) ( , ).
T
u v V T
C T d u v




(1-1)
Bài toán MRCST: Cho đồ thị G được định nghĩa như trên, bài toán đặt ra là trong số tất cả các
cây khung của đồ thị G cần tìm một cây khung có chi phí định tuyến nhỏ nhất.

6
Bài toán này được đặt tên là bài toán cây khung với chi phí định tuyến nhỏ nhất (Minimum
Routing Cost Spanning Tree-MRCST) [10]. Bài toán MRCST đã được chứng minh thuộc lớp
bài toán NP-khó, nghĩa là ngoại trừ P = NP, không tồn tại thuật toán đa thức để giải nó
[10,13,31].
Ví dụ 1.1. Xét cây T ở hình 1.1.

1Hình 1.1. Minh họa cách tính chi phí định tuyến của một cây theo định nghĩa
Theo công thức (1-1), ta có:
d
T
(v

1
,v
2
) + d
T
(v
1
,v
3
) + d
T
(v
1
,v
4
) + d
T
(v
1
,v
5
) + d
T
(v
1
,v
6
) +
d
T

(v
2
,v
3
) + d
T
(v
2
,v
4
) + d
T
(v
2
,v
5
) + d
T
(v
2
,v
6
) +
d
T
(v
3
,v
4
) + d

T
(v
3
,v
5
) + d
T
(v
3
,v
6
) +
d
T
(v
4
,v
5
) + d
T
(v
4
,v
6
) + d
T
(v
5
,v
6

) = 117.
Do d
T
(v
i
,v
j
) = d
T
(v
j
,v
i
), nên C(T) = 117  2 = 234.
Việc tính chi phí định tuyến của một cây khung trực tiếp theo công thức (1-1) đòi hỏi thời gian
tính O(n
2
) theo cấu trúc dữ liệu ma trận trọng số. Tuy nhiên, trên cơ sở đưa ra khái niệm tải
định tuyến (routing load), công trình [10] đã chỉ ra cách tính chi phí định tuyến của một cây
khung với độ phức tạp tuyến tính theo cấu trúc dữ liệu cây có gốc.
Định nghĩa 1.3 [10] (Tải định tuyến một cạnh của cây khung) Cho T = (V(T), E(T)) là một cây
khung của đồ thị G. Nếu loại khỏi cây T một cạnh e thì T sẽ được tách ra thành hai cây con T
1

và T
2
với hai tập đỉnh tương ứng là V(T
1
) và V(T
2

). Ta gọi tải định tuyến của cạnh e, ký hiệu là
l(T,e), là giá trị 2×V(T
1
)×V(T
2
).
Từ định nghĩa, dễ thấy rằng tải định tuyến của cạnh e chính bằng số lượng đường đi trên cây T
có chứa cạnh e.

7
Định lý 1.1 sau cho ta cách tính chi phí định tuyến của cây khung thông qua tải định tuyến của
các cạnh.
Định lý 1.1 [10]. Cho T là một cây khung của G, ta có:




)(
)(),()(
TEe
eweTlTC
(1-2)
và chi phí định tuyến của cây khung T có thể tính được trong thời gian O(n).
Chứng minh. Định lý này đã được chứng minh trong [10]. Ở đây chúng tôi trình bày một cách
chứng minh dựa trên ý nghĩa của tải định tuyến.
Theo định nghĩa, ta có:



)(,

),()(
TVvu
T
vudTC

Để tính C(T) ta có thể tính xem mỗi cạnh e đóng góp vào tổng ở vế phải của công thức trên bao
nhiêu lần. Rõ ràng con số này chính là số lượng đường đi trên cây khung T có chứa cạnh e, từ
đó suy ra:



)(
)(),()(
TEe
eweTlTC

Công thức (1-2) cho thấy việc tính chi phí định tuyến của cây khung T đòi hỏi thời gian O(n)
nếu ta có tải định tuyến của các cạnh. Việc tính tải định tuyến của các cạnh có thể thực hiện với
thời gian O(n) bằng cách chọn một đỉnh nào đó của T làm gốc và tiến hành duyệt cây T theo
thứ tự sau [5,10]. Thuật toán tính chi phí định tuyến của cây khung được trình bày chi tiết trong
mục tiếp theo.
1.1.2.Thuật toán tính chi phí định tuyến của cây khung
Việc tính chi phí định tuyến của cây khung T dựa theo công thức (1-2) với độ phức tạp tuyến
tính đã được đề cập ở các công trình [5,6,10,33]. Ở đây, chúng tôi trình bày thuật toán tính chi
phí định tuyến của cây khung một cách chi tiết hơn các công trình kể trên ở góc độ kỹ thuật.


8
Thuật toán 1.1 dưới đây cho phép tính chi phí định tuyến của một cây khung.
Algorithm 1.1 Thuật toán tính chi phí định tuyến của một cây khung

RoutingCost(T)
Đầu vào: Cây khung T được biểu diễn là cây có gốc tại v
1

Đầu ra: Chi phí định tuyến của cây khung T
1. if (T = ) return +; // Qui ước cây rỗng có chi phí +
2. Thực hiện duyệt cây T theo chiều sâu (Depth First Search) bắt đầu từ đỉnh v
1
ta thu được
biểu diễn của T dưới dạng cây có gốc tại đỉnh v
1
. Gọi n
u
là số lượng đỉnh của cây con có
gốc là u. Với mỗi đỉnh u của cây T, u  v
1
, ký hiệu e
u
= (p(u)
,
u); trong đó p(u) là cha của u
trong cây T.
3. C=0;
4. for (mỗi đỉnh u  V(T){v
1
}) {
5. l(e
u
) = 2  n
u

 (n  n
u
);
6. C = C + l(e
u
)  w(e
u
);
7. }
8. return C;
Ví dụ 1.2. Tính chi phí định tuyến của cây khung T ở hình 1.1 theo thuật toán 1.1.
Duyệt cây T theo chiều sâu bắt đầu từ đỉnh v
1
, thông tin thu được cho mỗi đỉnh u là cặp (n
u
,
p(u)) được ghi bên cạnh mỗi đỉnh như chỉ ra trong hình 1.2 sau đây:

2Hình 1.2. Minh họa cho thuật toán tìm chi phí định tuyến của một cây khung


9
Vòng lặp for trong thuật toán sẽ thực hiện bước lặp lần lượt với u  {v
2
, v
3
, v
4
, v
5

, v
6
} như sau:
l(v
2
,v
1
) = 2  1  5 = 10, C = C + l(v
2
,v
1
)  w(v
2
,v
1
) = 0 + 10  2 = 20;
l(v
3
,v
1
) = 2  4  2 = 16, C = C + l(v
3
,v
1
)  w(v
3
,v
1
) = 20 + 16  1 = 36;
l(v

4
,v
5
)

= 2  2  4 = 16, C = C + l(v
4
,v
5
)  w(v
4
,v
5
) = 36 + 16  6 = 132;
l(v
5
,v
3
)

= 2  3  3 = 18, C = C + l(v
5
,v
3
)  w(v
5
,v
3
) = 132 + 18  4 = 204;
l(v

6
,v
4
)

= 2  1  5 = 10, C = C + l(v
6
,v
4
)  w(v
6
,v
4
) = 204 + 103 = 234.
Từ đó, thuật toán trả lại chi phí định tuyến của cây khung là C = 234.
RoutingCost là thủ tục quan trọng được sử dụng trong tất cả các thuật toán giải bài toán MRCST.
Các thuật toán giải bài toán MRCST thường xuyên thực hiện thao tác loại một cạnh của cây
khung và sau đó thêm một cạnh khác sao cho kết quả thu được là một cây khung có chất lượng
tốt hơn hoặc là thêm một cạnh vào cây khung và sau đó loại một cạnh trong chu trình vừa mới
hình thành sao cho kết quả thu được là một cây khung có chất lượng tốt hơn. Các thao tác này
mặc dù chỉ đem lại sự thay đổi nhỏ về mặt cấu trúc cây, nhưng để tính chi phí định tuyến của
cây khung thu được sau mỗi thao tác trên vẫn đòi hỏi độ phức tạp O(n).
1.1.3.Đánh giá chi phí định tuyến của cây khung
Mục này trình bày định lý 1.2 cho phép đánh giá cận dưới và cận trên của tải định tuyến một
cạnh của cây khung (cận trên đã được nêu trong công trình [10] - chúng tôi đề xuất cách chứng
minh về cận trên; cận dưới là đề xuất mới của chúng tôi).
Định lý 1.2. Giả sử T là một cây khung của đồ thị G. Khi đó với mọi cạnh e  E(T) ta có:
2
2( 1) ( , ) / 2.n l T e n  
(1-3)

Chứng minh. Khi loại cạnh e, cây T sẽ được tách ra thành hai cây con T
1
và T
2
với hai tập đỉnh
tương ứng là V(T
1
) và V(T
2
). Ký hiệu δ = |V(T
1
)|/ |V(T)|. Do 1 ≤ |V(T
1
)| ≤ n−1, nên 1/n ≤ δ ≤
(n−1)/n.
Tiếp theo do |V(T
1
)| = δ|V(T)|= δn và |V(T
2
)| = |V(T)| − |V(T
1
)| = n − δn = (1− δ)n, ta có
2
11
( , ) 2 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 (1 ) .l T e V T V T V T n

    

Từ đó suy ra

10
2
2
()
11
max ( , ) max 2 (1 ) :
2
e E T
nn
l T e n
nn
  



    


,
và
2
()
11
min ( , ) min 2 (1 ) : 2( 1).
e E T
n
l T e n n
nn
  




     



Vậy định lý 1.2 đã được chứng minh.
Từ định lý 1.1 và định lý 1.2 trên, chúng tôi đề xuất các hệ quả sau:
Hệ quả 1.1. Chi phí định tuyến của cây khung T bất kỳ thỏa mãn bất đẳng thức sau:
22
min max
2( 1) ( ) ( 1) / 2,n w C T n n w   
(1-4)
trong đó
min
min{ ( ): ( )}w w e e E G
và
max
max{ ( ): ( )}w w e e E G

Chứng minh. Theo định lý 1.1 ta có:



)(
)(),()(
TEe
eweTlTC

Từ đó suy ra

min max
( ) ( )
( , ) ( ) ( , )
e E T e E T
l T e w C T l T e w




Sử dụng định lý 1.2, suy ra:
2
min max
( ) ( )
2( 1) ( ) .
2
e E T e E T
n
n w C T w

  


Để ý là |E(T)| = n−1, từ bất đẳng thức cuối cùng ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh trong
hệ quả 1.
Hệ quả 1.2 sau chỉ ra cận dưới cho chi phí định tuyến của cây khung nêu trong hệ quả 1.1 là đạt
được.
Hệ quả 1.2. Đối với đồ thị đầy đủ G với trọng số trên các cạnh đều là w
0
, ta có chi phí định
tuyến của cây khung tối ưu là 2(n−1)

2
w
0
. (1-5)
Chứng minh. Thực vậy, xét cây khung T
min
mà tất cả các cạnh của nó có chung đỉnh, ta có
l(T
min
, e) = 2(n−1), với mọi eE. Từ đó suy ra:

11
min min
2
min min 0 0
( ) ( )
( ) ( , ) ( ) 2( 1) 2( 1)
e E T e E T
C T l T e w e n w n w

    

.
Từ hệ quả 1.1 suy ra cây khung T
min
là cây khung tối ưu.
1.2.ỨNG DỤNG
Có thể tìm thấy các ứng dụng của bài toán MRCST trong các bài toán mạng thiết kế mạng và
trong tin sinh học như đã được chỉ ra ở các công trình [7,10,27,31,33,41].
1.2.1.Ứng dụng của bài toán MRCST trong lĩnh vực thiết kế mạng

Một ứng dụng rõ nhất của bài toán MRCST là trong lĩnh vực thiết kế mạng truyền thông. Chiều
dài của mỗi cạnh biểu diễn chi phí định tuyến dọc theo cạnh đó. Xây dựng MRCST tương đương
với việc xây dựng cây khung sao cho độ dài trung bình giữa mọi cặp đỉnh là nhỏ nhất [10]. Đối
với bài toán thiết kế mạng thì chất lượng của các thuật toán giải bài toán MRCST là quan trọng;
đối với các bài toán vận hành mạng thì thời gian tính của các thuật toán giải bài toán MRCST
là rất cần được xem xét khi đối sánh chất lượng của các thuật toán.
1.2.2.Ứng dụng của bài toán MRCST trong lĩnh vực tin sinh học
Ứng dụng điển hình của bài toán MRCST trong tin sinh học (Bioinformatics) là bài toán so sánh
đa trình tự (multiple sequence alignments-MSA). MSA đóng vai trò quan trọng trong tin sinh
học nói chung và trong lĩnh vực tìm kiếm gene nói riêng [27]. Trong lĩnh vực nghiên cứu phân
tích cấu trúc và chức năng của gene và protein, phân tích trình tự (chuỗi DNA, protein) đóng
vai trò quan trọng. Để đơn giản cho việc nghiên cứu, trình tự DNA và protein sẽ được tuần tự
hóa và nghiên cứu dưới dạng chuỗi các ký tự. Thông thường khi một gene được phát hiện, một
trong những yêu cầu quan trọng là làm thế nào xác định được chức năng của gene này, yêu cầu
tương tự cũng được đặt ra khi phát hiện ra protein mới. Một phương pháp tiếp cận phổ biến đó
là chúng ta sẽ so sánh, đánh giá sự giống nhau của chuỗi DNA, protein này với những chuỗi
DNA, protein đã biết; từ đó có thể đưa ra dự đoán về chức năng cũng như cấu trúc của những
gene mới phát hiện. Do đó việc nhận định sự giống nhau của các đoạn gene là một vấn đề lớn
của tin sinh học. Vấn đề được đặt ra trong phân tích trình tự đó là làm thế nào để có được phép