PP toa do trong khong gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (488.04 KB, 39 trang )
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 1
1. Đònh nghóa và các phép toán
• Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC+=
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC+=
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:
AB AD AA AC
''
++ =
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0IA IB+=
;
2OA OB OI+=
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.
Ta có:
03GA GB GC OA OB OC OG;++ = ++ =
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
Ta có:
04GA GB GC GD OA OB OC OD OG;+++ = +++ =
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
0a và b cùng phương a k R b ka()! :≠ ⇔∃ ∈ =
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý.
Ta có:
1
OA kOB
MA kMB OM
k
;
−
= =
−
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
abc,,
, trong đó
a và b
không cùng
phương. Khi đó:
abc,,
đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:
c ma nb= +
• Cho ba vectơ
abc,,
không đồng phẳng,
x
tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:
x ma nb pc= ++
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
00
0 180AB u AC v u v BAC BAC, (,) ( )= =⇒= ≤≤
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
0uv, ≠
. Khi đó:
uv u v u v. . .cos( , )=
+ Với
00u hoặc v= =
. Qui ước:
0uv. =
+
0u v uv.⊥⇔ =
+
2
uu=
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 2
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
ijk,,
là các vectơ đơn vò, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ
tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý
222
1ijk= = =
: và
0i j ik k j .= = =
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Đònh nghóa:
( )
u xyz u xiyjzk;;= ⇔= + +
b) Tính chất: Cho
123 123
aaaabbbbkR( ; ; ), ( ; ; ),= = ∈
•
1 12 23 3
ab a ba ba b(; ; )±= ± ± ±
•
123
ka ka ka ka(;;)=
•
11
22
33
ab
ab a b
ab
=
=⇔=
=
•
0 000 100 010 001i jk( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= = = =
•
a
cùng phương
0bb()≠
⇔
a kb k R()= ∈
11
3
12
2 2 123
123
33
0
a kb
a
aa
a kb b b b
bb b
a kb
,( , , )
=
⇔ = ⇔== ≠
=
•
11 2 2 33
ab a b a b a b
. .=++
•
11 2 2 33
0a b ab ab ab⊥⇔ + + =
•
2222
123
a aaa=++
•
222
122
a aaa= ++
•
11 2 2 33
222222
123123
ab a b ab
ab
ab
ab
aaabbb
.
cos( , )
.
.
++
= =
++ ++
(với
0ab, ≠
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Đònh nghóa:
M x y z OM x y z(; ; ) (;;)⇔=
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
•
M
∈
(Oxy)
⇔
z = 0; M
∈
(Oyz)
⇔
x = 0; M
∈
(Oxz)
⇔
y = 0
•
M
∈
Ox
⇔
y = z = 0; M
∈
Oy
⇔
x = z = 0; M
∈
Oz
⇔
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
A AA B BB
Ax y z Bx y z( ; ; ), ( ; ; )
•
B A B AB A
AB x x y y z z(;;)=−−−
•
2 22
B A B A BA
AB x x y y z z( )( )( )= − +− +−
• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
1 11
A B A BA B
x kx y ky z kz
M
k kk
;;
− −−
− −−
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
222
A BA BA B
x xy yz z
M ;;
+++
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
3 33
A B CA B CA B C
x x xy y yz z z
G ;;
++ ++ ++
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 3
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4 44
A B C DA B C DA B C C
x x x xy y y yz z z z
G ;;
++ + +++ +++
4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Đònh nghóa: Cho
123
a aa a(, , )=
,
123
b bbb(, , )=
.
[ ]
( )
23 31
12
23 32 31 13 12 21
23 31 12
aa aa
aa
a b a b a b ab ab ab ab a b
b b bb bb
, ;; ; ;
= ∧ = = − − −
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
•
[ ]
i j k jk i ki j,; ,; ,
= = =
•
ab a ab b[, ] ; [, ]⊥⊥
•
( )
ab a b ab[,] sin,=
•
ab,
cùng phương
0ab[, ]⇔=
c) Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
ab,
và
c
đồng phẳng ⇔
0abc[ , ]. =
• Diện tích hình bình hành ABCD:
ABCD
S AB AD,
=
•
Diện tích tam giác ABC:
1
2
ABC
S AB AC,
∆
=
•
Thể tích khối hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
:
ABCD A B C D
V AB AD AA
.''' '
[ , ]. '=
•
Thể tích tứ diện ABCD:
1
6
ABCD
V AB AC AD[ , ].=
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng
minh các vectơ cùng phương.
[ ]
[ ]
0
0
0
a b ab
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
.
,
,, , .
⊥⇔ =
⇔=
⇔=
5. Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
2 2 22
xa yb zc R( )( )( )
−+−+−=
• Phương trình
222
222 0
x y z ax by cz d+ + + + + +=
với
222
0abcd+ + −>
là phương trình
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222
abcd++−
.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 4
VẤN ĐỀ 1: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
•
A, B, C thẳng hàng
⇔
AB AC,
cùng phương
⇔
AB k AC=
⇔
0AB AC,
=
•
ABCD là hình bình hành
⇔
AB DC=
•
Cho
∆
ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
∆
ABC
trên BC. Ta có:
AB
EB EC
AC
.= −
,
AB
FB FC
AC
.
=
•
A, B, C, D không đồng phẳng
⇔
AB AC AD,,
không đồng phẳng
⇔
0AB AC AD,.
≠
Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
• Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
a)
123M(; ; )
b)
3 12M(; ; )−
c)
11 3M( ;; )−−
d)
12 1M(; ; )−
e)
2 57M(; ;)−
f)
22 15 7M( ; ;)−
g)
11 9 10M(; ; )−
h)
367M(;; )
Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M:
• Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy
a)
123M(; ; )
b)
3 12M(; ; )−
c)
11 3M( ;; )−−
d)
12 1M(; ; )−
e)
2 57M(; ;)−
f)
22 15 7M( ; ;)−
g)
11 9 10M(; ; )−
h)
367M(;; )
Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a)
131 012 001AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
b)
111 4 31 951AB C(;;), ( ;;), ( ;;)−−
c)
10 9 12 20 3 4 50 3 4AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −−
d)
1510578 227A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − −
Bài 4. Cho ba điểm A, B, C.
• Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
• Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
• Xác đònh điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
• Xác đònh toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
∆ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.
• Tính số đo các góc trong ∆ABC.
• Tính diện tích ∆ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC.
a)
12 3 037 1250A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−
b)
0 13 21 11 23 17 1 0 19AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−
c)
347 532 123AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −− −
d)
423 21 1 387AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
e)
3 12 12 1 11 3A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −−
f)
414 07 4 31 2AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
g)
( ) ( ) ( )
100 001 211A B C;; , ;; , ;;
h)
1 26 251 184A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:
a)
310A(;; )
,
241B( ;;)−
b)
1 2 1 11 0 7AB( ; ; ), ( ; ; )−
c)
414 07 4AB( ; ; ), ( ; ; )−
d)
3 12 12 1AB( ; ; ), ( ; ; )−−
e)
347 532AB( ; ; ), ( ; ; )− −−
f)
423 21 1AB( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
a)
111 110 31 1AB C(;;), ( ;; ), (;; )−−
b)
324 007 533A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
c)
3 12 12 1 11 3A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −−
d)
0 13 21 11 23 17 1 0 19AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 5
e)
10 2 211 1 3 2AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−
f)
1 26 251 184A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M.
a)
( ) ( )
2 17 45 2A B; ; , ;;−−
b)
43 2 2 11AB(;; ), (; ;)−−
c)
10 9 12 20 3 4AB( ; ; ), ( ; ; )−
d)
3 12 12 1AB( ; ; ), ( ; ; )−−
e)
347 532AB( ; ; ), ( ; ; )− −−
f)
423 21 1AB( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D.
• Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
• Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
• Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
• Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
• Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a)
25 3 100 30 2 3 12A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −−
b)
( ) ( ) ( ) ( )
100 010 001 21 1A B C D; ; , ;; , ; ; , ;;−−
c)
( ) ( ) ( ) ( )
110 0 21 10 2 111A B C D;; , ; ; , ; ; , ;;
d)
( ) ( ) ( ) ( )
200 040 006 246A B C D;;, ;;, ;;, ;;
e)
231 41 2 637 5 48AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−
f)
57 2 31 1 94 4 150A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
g)
241 101 142 1 21AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
h)
324 25 2 1 22 423ABCD( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−
i)
348 121 526 743AB CD(;;), ( ;;), (;;), ( ;;)−−
k)
3 26 244 99 1 001A BCD( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − −
Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
• Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
• Tính thể tích khối hộp.
a)
( ) ( ) ( ) ( )
101 212 1 11 45 5AB D C;;, ;; , ;;,';;−−
b)
25 3 100 30 2 3 12A BC A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − −−
c)
0 21 1 11 000 110AB D A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )−−
d)
0 2 2 012 111 1 2 1A BC C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− −−
Bài 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c) Vẽ SH ⊥ (ABC). Gọi S′ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S′ABC là tứ diện
đều.
Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích các vectơ
OI AG,
theo các vectơ
OA OC OD,,
.
b) Phân tích vectơ
BI
theo các vectơ
FE FG FI
,,
.
Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ
AE
theo các vectơ
AC AF AH,,
.
b) Phân tích vectơ
AG
theo các vectơ
AC AF AH,,
.
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB′. Chứng
minh rằng MN ⊥ A′C.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB′, CD, A′D′
lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B′M = CN = D′P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC′
vuông góc với mặt phẳng (MNP).
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 6
VẤN ĐỀ 2: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S):
2 2 22
xa yb zc R( )( )( )
−+−+−=
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
2 22
A B AB AB
I II
xx yy zz
xyz;;
+ ++
= = =
.
– Bán kính R = IA =
2
AB
.
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
222
222 0x y z ax by cz d+ + + + + +=
(*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
⇒
Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác đònh tâm J và bán kính R
′
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
222
222 0x y z ax by cz d+ + + + + +=
với
222
0abcd+ + −>
thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222
abcd++−
.
Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
222
8 2 10xyz xy+ + − + +=
b)
222
4 8 2 40xyz xyz++++−−=
c)
222
2440
xyz xyz
++−−+=
d)
222
6 4 2 86 0xyz xyz++−+−−=
e)
222
12 4 6 24 0xyz xyz++− +−+ =
f)
222
6 12 12 72 0xyz x y z++−− + +=
g)
222
8 4 2 40xyz xyz+ + − + + −=
h)
222
340xyz xy++−+ =
i)
222
3 3 3 6 3 15 2 0x y z xy z+ + + − + −=
k)
222
6 2 2 10 0xyz xyz
++−+−+=
Bài 2. Xác đònh m, t,
α
, … để phương trình sau xác đònh một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
a)
222 2
2 2 4 2 5 90x y z m x my mz m()
++−++−++=
b)
222 2
23 2 1 2 2 7 0x y z m x m y mz m( )()
++−−−+−+ +=
c)
222
2 1 4 2 2 70xyz xy z(cos ) cos . cos
α αα
+++ + −− + +=
d)
222 2 2
23 2 4 1 2 4 8 0xyz x yz( cos ) (sin ) cos
αα α
+ + + − + − + + +=
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 7
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a)
1 35 3IR( ; ; ),−=
b)
5 37 2IR( ; ; ),−=
c)
1 32 5IR( ; ; ),−=
d)
24 3 3IR( ; ; ),−=
Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a)
24 1 523IA(;; ), (;;)−
b)
03 2 000IA(;; ), (;;)−
c)
3 21 21 3IA( ; ; ), ( ; ; )−−
d)
4 4 2 000IA( ; ; ), ( ; ; )−−
e)
412 124IA( ; ; ), ( ; ; )− −−
Bài 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
a)
24 1 523AB(;; ), (;;)−
b)
03 2 24 1AB( ; ; ), ( ; ; )−−
c)
3 21 21 3AB( ; ; ), ( ; ; )−−
d)
4 3 3 215AB(; ; ), (;;)−−
e)
2 35 41 3AB(; ;), (;; )−−
f)
62 5 407AB( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
a)
( ) ( ) ( ) ( )
110 0 21 10 2 111A B C D;; , ; ; , ; ; , ;;
b)
( ) ( ) ( ) ( )
200 040 006 246A B C D;;, ;;, ;;, ;;
c)
231 41 2 637 5 48AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−
d)
57 2 31 1 94 4 150A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
e)
6 23 016 20 1 410A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
f)
010 231 222 1 12ABC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P)
cho trước, với:
a)
120 113 20 1AB C
P Oxz
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
() ( )
−−
≡
b)
201 132 320ABC
P Oxy
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
() ( )
≡
Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:
a)
222
511
2 4 6 50
I
Tx y z x y z
( ;;)
( ):
−
+ + − + − +=
b)
222
322
2 4 8 50
I
Tx y z x y z
( ;;)
( ):
−
+ + − + − +=
VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
, R
2
).
•
12 1 2
II R R<−
⇔
(S
1
), (S
2
) trong nhau
•
12 1 2
II R R>+
⇔
(S
1
), (S
2
) ngoài nhau
•
12 1 2
II R R= −
⇔
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc trong
•
12 1 2
II R R= +
⇔
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc ngoài
•
1 2 12 1 2
R R II R R− < <+
⇔
(S
1
), (S
2
) cắt nhau theo một đường tròn.
Bài 1. Xét vò trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
222
8 4 2 40
4 2 4 50
xyz xyz
xyz xyz
++−+−−=
+++−−+=
b)
2 22
222
1 2 39
6 10 6 21 0
xy z
xyz x yz
( )( )( )
++−+−=
++−− −−=
c)
222
222
241050
46220
xyz xy z
xyz xyz
+ + − + − +=
+ + − − + −=
d)
222
222
8 4 2 15 0
4 12 2 25 0
xyz xyz
xyz x yz
++−+−−=
+++− −+=
e)
222
222
26450
6 2 4 20
xyz xyz
xyz xyz
+ + − − + +=
++−+−−=
f)
222
222
4 2 2 30
6 4 2 20
xyz xyz
xyz xyz
+++−+−=
++−+−−=
Bài 2. Biện luận theo m vò trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
2 22 2
2 1 3 64
423 2
x yz
xyzm
( )( )( )
( )( )( )( )
− +− ++ =
−+++−=+
b)
2 22
2 22 2
3 2 1 81
123 3
xyz
xy z m
( )( )( )
( )( )( )( )
− ++ ++ =
−+−+−=−
c)
2 22
2 22 2
2 2 1 25
123 1
xyz
xy z m
( )( )( )
( )( )( )( )
+ +− +− =
+++++=−
d)
2 22
2 22 2
3 2 1 16
123 3
xyz
xy z m
( )( )( )
( )( )( )( )
+ ++ ++ =
−+−+−=+
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 8
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Vectơ
0n ≠
là VTPT của (α) nếu giá của
n
vuông góc với (α).
• Hai vectơ
ab
,
không cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (α).
Chú ý:
•
Nếu
n
là một VTPT của (
α
) thì
kn
(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
α
).
•
Nếu
ab
,
là một cặp VTCP của (
α
) thì
[ ]
n ab,=
là một VTPT của (
α
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
222
00
Ax By Cz D với A B C+ + += + + >
• Nếu (α) có phương trình
0Ax By Cz D+ + +=
thì
n ABC(;;)=
là một VTPT của (α).
• Phương trình mặt phẳng đi qua
0 000
Mxyz(;;)
và có một VTPT
n ABC(;;)=
là:
0 00
0Ax x By y Cz z( )( )( )−+ −+ −=
3. Các trường hợp riêng
Chú ý:
•
Nếu trong phương trình của (
α
) không chứa ẩn nào thì (
α
) song song hoặc chứa
trục tương ứng.
•
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
xyz
abc
++=
(
α
) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α):
1111
0Ax By Cz D+ + +=
(β):
2222
0Ax By Cz D
+ + +=
•
(
α
), (
β
) cắt nhau
⇔
111 2 2 2
ABC A B C:: ::≠
•
(
α
) // (
β
)
⇔
111 1
222 2
ABCD
ABCD
= = ≠
•
(
α
)
≡
(
β
)
⇔
111 1
222 2
ABCD
ABCD
= = =
•
(
α
)
⊥
(
β
)
⇔
12 12 12
0AA BB CC
++=
5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
000
0
222
Ax By Cz D
dM
ABC
,( )
α
+++
=
++
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Các hệ số Phương trình mặt phẳng (
α
) Tính chất mặt phẳng (
α
)
D = 0
0Ax By Cz++=
(α) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
0By Cz D+ +=
(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox
B = 0
0Ax Cz D+ +=
(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
C = 0
0Ax By D+ +=
(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
A = B = 0
0Cz D+=
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)
A = C = 0
0By D+=
(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)
B = C = 0
0Ax D+=
(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 9
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (
α
) ta cần xác đònh một điểm thuộc (
α
) và một VTPT của nó.
Dạng 1: (
α
) đi qua điểm
( )
000
M x ;y ;z
có VTPT
( )
n A;B;C=
:
(
α
):
( ) ( ) ( )
0 00
0Ax x By y Cz z−+ −+ −=
Dạng 2: (
α
) đi qua điểm
( )
000
M x ;y ;z có cặp VTCP
ab
,
:
Khi đó một VTPT của (
α
) là
[ ]
n ab,=
.
Dạng 3: (
α
) đi qua điểm
( )
000
M x ;y ;z
và song song với mặt phẳng (
β
): Ax + By + Cz + D = 0:
(
α
):
( ) ( ) ( )
0 00
0Ax x By y Cz z−+ −+ −=
Dạng 4: (
α
) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của (
α
) là:
n AB AC,
=
Dạng 5: (
α
) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
.
– Một VTPT của (
α
) là:
n AM u,
=
Dạng 6: (
α
) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP
u
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
α
).
Dạng 7: (
α
) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Xác đònh các VTCP
ab
,
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
[ ]
n ab,=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 8: (
α
) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác đònh các VTCP
ab
,
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
[ ]
n ab,=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 9: (
α
) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
– Xác đònh các VTCP
ab
,
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
[ ]
n ab,=
.
Dạng 10: (
α
) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (β):
– Xác đònh VTCP
u
của (d) và VTPT
n
β
của (
β
).
– Một VTPT của (
α
) là:
n un,
β
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 11: (
α
) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):
– Xác đònh các VTPT
nn,
βγ
của (
β
) và (
γ
).
– Một VTPT của (
α
) là:
n un,
βγ
=
.
Dạng 12: (
α
) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho
trước:
– Giả sử (
α
) có phương trình:
0Ax By Cz+D++ =
( )
222
0ABC
++≠
.
– Lấy 2 điểm A, B
∈
(d)
⇒
A, B
∈
(
α
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
dM k( ,( ))
α
=
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (
α
) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 10
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của (
α
) là:
n IH=
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT
n
cho trước:
a)
( ) ( )
= −M 3;1;1 , n 1;1; 2
b)
( ) ( )
−=M 2; 7; 0 , n 3;0;1
c)
( ) ( )
−− =M 4; 1; 2 , n 0; 1; 3
d)
( ) ( )
−=M 2;1; 2 , n 1; 0; 0
e)
( ) ( )
= −−M 3; 4; 5 , n 1; 3; 7
f)
( ) ( )
= −M 10;1;9 , n 7;10;1
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
a)
211 2 1 1AB(;;), (; ; )−−
b)
114 205AB( ; ; ), ( ; ; )−−
c)
23 4 4 10AB(;; ), (; ;)−−
d)
11
A ; 1; 0 , B 1; ; 5
22
−−
e)
21 1
A 1; ; , B 3; ; 1
32 3
−
f)
2 56 1 32AB( ; ; ), ( ; ; )− −−
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
ab
,
cho trước, với:
a)
12 3 212 32 1Ma b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−= =−
b)
1 23 3 1 2 034Ma b( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )− = −− =
c)
134 272 324Ma b( ;;), (;;), (;;)−= =
d)
405 6 13 321Ma b( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )− =−=
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
( )
β
cho
trước, với:
a)
( )
( ) ( )
215M Oxy;; ,
β
=
b)
( )
( )
1 21 2 3 0M xy; ;, :
β
− −+=
c)
( )
( )
11 0 2 10 0M x yz;; , :
β
− − +− =
d)
( )
( )
36 5 1 0M xz;; , :
β
− − +−=
e)
2 35 2 5 0M x yz( ; ; ), ( ):
β
− + −+=
f)
111 10 10 20 40 0M xyz( ; ; ), ( ):
β
− + −=
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt
phẳng toạ độ, với:
a)
( )
215M ;;
b)
( )
1 21M
;;
−
c)
( )
110M ;;−
d)
( )
36 5M ;;−
e)
2 35M(; ;)−
f)
111M(;;)
g)
110M( ;; )−
h)
36 5M(;; )−
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước,
với:
a)
124 321 213ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −−
b)
000 2 13 4 21AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
c)
123 2 43 456ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
d)
3 52 1 20 0 37A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
e)
240 517 111A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−−
f)
300 0 50 00 7AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua
hai điểm B, C cho trước, với:
a)
124 321 213ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −−
b)
000 2 13 4 21AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
c)
123 2 43 456ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
d)
3 52 1 20 0 37A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
e)
240 517 111A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−−
f)
300 0 50 00 7AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β)
cho trước, với:
a)
( )
31 1 2 14
2 3 10
AB
xy z
( ; ; ), ( ; ; )
:
β
−−
−+ −=
b)
( )
2 13 4 21
2 3 2 50
AB
xyz
( ; ; ), ( ; ; )
:
β
−− −
+ − +=
c)
( )
2 13 47 9
3 4 8 50
AB
xyz
( ; ; ), ( ; ; )
:
β
− −−
+ − −=
d)
( )
3 1 2 312
2 2 2 50
AB
xyz
( ; ; ), ( ; ; )
:
β
−− −
− − +=
Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (β),
(γ) cho trước, với:
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 11
a)
( ) ( )
125 2 3 10 2 3 10M x y z x yz( ; ; ), : , :
βγ
−− + − += − ++=
b)
( ) ( )
10 2 2 2 0 3 0M xyz xyz( ; ; ), : , :
βγ
− +−−= −−−=
c)
( ) ( )
240 2 3 2 50 3 4 8 50M xyz xyz( ; ; ), : , :
βγ
− + − += + − −=
d)
( ) ( )
517 34360 32530M xyz xyz( ; ; ), : , :
βγ
−++= −+−=
Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P),
(Q) cho trước, với:
a)
( )
( )
( )
123 23 50 32510M P xyz Q: xyz;; , : ,− − +−= − + −=
b)
( )
( )
( )
21 1 4 0 3 1 0M P xyz Q: xyz;; , : ,− −+−= −+−=
c)
( )
( )
( )
3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0M P x y z Q: x y z;; , : ,−−+ = −++=
d)
( )
( )
( )
001 53250 2 10M P x y z Q xyz;; , : , :− + −= −−−=
Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2 40 30 20Py z Qxyz Rxyz( ): ,( ): ,( ):+ −= +−−= ++−=
b)
4 2 50 4 50 2 190Pxyz Qyz Rxy( ): ,( ): ,( ):− + −= + −= −+ =
c)
3 20 4 50 2 70P xyz Qx y R xz( ): ,( ): ,( ):−+−= + −= −+=
Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2 3 40 2 3 50 2 3 20P xy Q yz R xyz( ): ,( ): ,( ):+ −= − −= +− −=
b)
2 40 30 20Py z Qxyz Rxyz( ): ,( ): ,( ):+ −= +−+= ++−=
c)
2 40 2 50 2 3 60Px yz Q xyz Rx y z( ): ,( ): ,( ):+ −−= +++= − − +=
d)
3 20 4 50 2 70P xyz Qx y R xz( ): ,( ): ,( ):−+−= + −= −+=
Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:
a)
2 0 5 13 2 0 1 2 3 2Pxy Q x y z M k( ): , ( ): , ( ; ; ),−−= − + = =
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài 1. Xét vò trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a)
2 3 2 50
3 4 8 50
xyz
xyz
+ − +=
+ − −=
b)
3 4 3 60
3 2 5 30
xyz
xyz
− + +=
− + −=
c)
5 5 5 10
3 3 3 70
xyz
xyz
+ − −=
+ − +=
d)
6 4 6 50
12 8 12 5 0
xyz
xy z
− − +=
− − −=
e)
2 2 4 50
25
5 5 10 0
2
xyz
xy z
− − +=
−− + =
f)
3 2 6 23 0
3 2 6 33 0
xyz
xyz
−−−=
−−+=
Bài 2. Xác đònh m, n để các cặp mặt phẳng sau: • song song • cắt nhau • trùng nhau
a)
3 2 70
7 6 40
x my z
nx y z
+ − −=
+ − +=
b)
5 2 11 0
3 50
x y mz
xnyz
− + −=
+ +−=
c)
2 3 50
6 6 20
x my z
nx y z
+ + −=
− − +=
d)
3 90
2 2 30
x y mz
x ny z
−+ −=
+ + −=
e)
2 3 50
6 6 20
xy z
mx y z
++ −=
− − −=
f)
3 5 30
2 3 10
x y mz
xy z
− + −=
+− +=
g)
20
2 4 30
x my z
x y nz
+ −+ =
++ −=
h)
2 2 10
3 20
x ny z
x y mz
− + −=
−+ −=
i)
3 3 2 50
2 2 10 0
xm y z
m x y mz
()
()
− − + −=
+ −+ −=
Bài 3. Xác đònh m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 12
a)
2 7 20
3 2 15 0
x y mz
xy z
− + +=
+− + =
b)
2 1 3 2 30
1 4 50
m x my z
mx m y z
()
()
− − + +=
+ − + −=
c)
2 12 0
70
mx y mz
xmyz
++ −=
+ ++=
d)
3 3 2 50
2 2 10 0
xm y z
m x y mz
()
()
− − + −=
+ −+ −=
e)
4330
2 7 10
xyz
mx y z
−−=
+ − −=
f)
3 5 30
3 2 50
x y mz
xyz
− + −=
+ + +=
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
•
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
000
0
222
Ax By Cz D
dM
ABC
,( )
α
+++
=
++
•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
•
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P)
⇔
MH n cùng phương
HP
,
()
∈
•
Điểm M
′
đối xứng với điểm M qua (P)
⇔
2MM MH
′
=
Bài 1. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.
• Tính khoảng cách từ M đến (P). • Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).
• Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P).
a)
2 2 6 0 2 35P xy z M( ): , ( ; ; )−+ −= −
b)
5 14 0 1 4 2Pxy z M( ): , (; ; )++ − = −−
c)
6 2 3 12 0 3 1 2P xyz M( ): , ( ; ; )−++= −
d)
2 4 4 3 0 2 34Pxyz M( ): , ( ; ; )− + += −
e)
4 0 21 1Pxyz M( ): , ( ; ; )−+−= −
f)
3 2 0 124P xyz M( ): , (; ; )−+−=
Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
a)
2 3 10
2 3 50
xyz
xy z
− + +=
−+ +=
b)
6 2 10
6 2 30
x yz
x yz
− ++=
− +−=
c)
2 4 50
3 5 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
d)
4 8 10
4 8 50
xy z
xy z
−+ +=
−+ +=
e)
2 4 50
3 5 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
f)
3 6 3 70
2 10
xyz
x yz
+ − +=
+ −+=
Bài 3. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
a)
6 3 2 70 3xyz k,− + −= =
b)
3 2 6 50 4xyz k,− − += =
c)
6 2 3 12 0 2xyz k,−++= =
d)
2 4 4 14 0 3xyz k,−+−= =
Bài 4. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a)
2 3 10
2 3 50
xyz
xy z
− + +=
−+ +=
b)
6 2 10
6 2 30
x yz
x yz
− ++=
− +−=
c)
2 4 50
3 5 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
d)
4 8 10
4 8 50
xy z
xy z
−+ +=
−+ +=
e)
2 4 50
3 5 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
f)
3 6 3 70
2 10
xyz
x yz
+ − +=
+ −+=
Bài 5. Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng k cho trước:
a)
2 2 10 0
2 4 4 30
2
3
xyz
xyz
k
+−−=
+ − +=
=
b)
6 2 10
6 2 30
1
2
x yz
x yz
k
− ++=
− +−=
=
c)
6 3 2 10
2 2 60
4
7
xyz
x yz
k
+ − −=
+ −+=
=
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 13
Bài 6. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P):
a)
2 2 5 0 12 2P x yz N( ): , (; ; )+ +−= −
b)
5 14 0 1 4 2Pxy z N( ): , (; ; )++ − = −−
c)
6 2 3 12 0 3 1 2P xyz N( ): , ( ; ; )−++= −
d)
2 4 4 3 0 2 34Pxyz N( ): , ( ; ; )− + += −
e)
4 0 21 1Pxyz N( ): , ( ; ; )−+−= −
f)
3 2 0 124P xyz N( ): , (; ; )−+−=
Bài 7. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
+−+=
−+−=
b)
2 2 10
2 2 50
xyz
x yz
+ − +=
+ +−=
c)
2 4 50
4 2 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
d)
4 8 10
4 8 50
xy z
xy z
−+ +=
−+ +=
e)
2 4 50
3 5 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
f)
3 6 3 70
2 10
xyz
x yz
+ − +=
+ −+=
Bài 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt
phẳng (Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a)
( )
12 3 2 4 4 0A Q x yz; ;– ,( ): − −+=
. b)
( )
3 1 2 6 2 3 12 0A Q x yz; ;– , ( ): −++=
.
Bài 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách
điểm A một khoảng k cho trước:
a)
2 2 5 0 2 14 4Qx y z A k( ): , ( ; ; ),+ − += − =
b)
2 4 4 3 0 2 34 3Qxyz A k( ): , ( ; ; ),− + += − =
Bài 10. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
a)
3 2 3 0 14Q xy z k( ): ,−+ −= =
b)
4 3 2 5 0 29Qxyz k( ): ,+ − += =
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (
α
), (
β
) có phương trình: (
α
):
1111
0Ax By Cz D+ + +=
(
β
):
2222
0Ax By Cz D+ + +=
Góc giữa (
α
), (
β
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
12
nn,
.
( )
1 2 12 12 12
222222
12
111 222
n n AA BB CC
nn
ABC ABC
.
cos ( ),( )
.
.
αβ
++
= =
++ ++
Chú ý:
•
( )
00
0 90( ),( )
αβ
≤≤
.
•
12 12 12
0AA BB CC() ()
αβ
⊥⇔ + + =
Bài 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
+−+=
−+−=
b)
2 2 10
2 2 50
xyz
x yz
+ − +=
+ +−=
c)
2 4 50
4 2 10
xy z
x yz
−+ +=
+ −−=
d)
4 4 2 70
2 4 50
xyz
xz
+ − +=
+ −=
e)
2 2 30
2 2 12 0
xy z
yz
−− +=
+ +=
f)
3 3 3 20
4 2 4 90
xyz
xyz
− + +=
+ + −=
Bài 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng α cho trước:
a)
0
2 1 3 2 30
1 4 50
90
m x my z
mx m y z
()
()
α
− − + +=
+ − + −=
=
b)
0
2 12 0
70
45
mx y mz
xmyz
α
++ −=
+ ++=
=
c)
0
2 2 50
3 2 30
90
m x my mz
mx m y z
()
()
α
+ + − +=
+ − + −=
=
d)
0
30
21 1 160
30
mx y mz
m xm ym z( )()()
α
−+ +=
++−+−−=
=
Bài 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
γβα
,,
lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng
(ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b)
1coscoscos
222
=++
γβα
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 14
VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (
α
):
0Ax By Cz D+ + +=
và mặt cầu (S):
2 2 22
xa yb zc R( )( )( )
−+−+−=
•
(
α
) và (S) không có điểm chung
⇔
dI R( ,( ))
α
>
•
(
α
) tiếp xúc với (S)
⇔
dI R( ,( ))
α
=
(
α
) là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (
α
).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
α
).
H là tiếp điểm của (S) với (
α
).
•
(
α
) cắt (S) theo một đường tròn
⇔
dI R( ,( ))
α
<
Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (
α
).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
α
).
H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (
α
).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến:
22
r R IH= −
Bài 1. Xét vò trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
222
2 2 10
6 2 4 50
P x yz
Sxyz xyz
( ):
( ):
+ +−=
++−−++=
b)
222
2 3 6 90
13216
P xyz
Sx y z
( ):
( ):( ) ( ) ( )
− + −=
− +− ++ =
c)
222
2 11 0
2 4 2 20
Pxy z
Sxyz xyz
( ):
( ):
+− − =
+++−−+=
d)
222
2 2 50
6 4 8 13 0
Px y z
Sxyz xyz
( ):
( ):
− + +=
++−−−+=
e)
Px y z
Sxyz xyz
222
( ): 2 2 0
( ): 6 2 2 10 0
++=
++−+−+=
f)
Pz
Sx y z x y z
222
( ): 3 0
( ): 6 2 16 22 0
−=
++−+− + =
Bài 2. Biện luận theo m, vò trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
222
2 2 40 2 1 4 4 8 0Pxyz Sxyz m xmyzm( ): ; ( ): ( )−−−= ++− − + ++ =
b)
2 22 2
4 2 4 50 1 2 3 1P x yz Sx y z m( ): ; ( ):( ) ( ) ( ) ( )− + −= − + + + − = −
c)
222 2
3 2 6 70 2 1 1 2Px yz Sx y z m( ): ; ( ):( ) ( ) ( ) ( )+ − += − + − + + = +
d)
222 2
2 3 6 100 4 2 1 2 3 5 40Pxyz Sxyz mx m yz m m( ): ; ( ): ( )−+−= +++ − + −++ + −=
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a)
352 2 3 10I P xy z( ; ; ), ( ):−− −− +=
b)
1 4 7 6 6 7 42 0I Pxyz( ; ; ), ( ): +−+=
c)
112 2 2 3 0I Px y z( ; ; ), ( ): + + +=
d)
211 2 2 5 0I Px y z( ; ; ), ( ):− + − +=
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:
a)
Sx y z
222
( ):( 3) ( 1) ( 2) 24− +− ++ =
tại
130M( ;;)−
b)
Sxyz xyz
222
(): 62450++−−++=
tại
430M(;;)
c)
222
1 3 2 49Sx y z( ):( ) ( ) ( )− ++ +− =
tại
7 15M(; ;)−
d)
222
2 2 2 22 0Sxyz xyz( ): ++−−−−=
và song song với mặt phẳng
326140xyz−++=
.
e)
222
6 4 2 11 0Sx y z x y z( ):
++−++−=
và song song với mặt phẳng
4 3 17 0xz+−=
.
f)
222
2440Sxyz xyz( ): ++−−+=
và song song với mặt phẳng
2 2 50xyz+ + +=
.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 15
g)
222
2 6 2 80Sxyz xyz( ): ++−+++=
và chứa đường thẳng
44 31 1dx t y t z t:,,=+ =+=+
h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –
1), D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu:
011326210
222
=−++−++ zyxzyx
và song song với 2 đường
thẳng:
1
5 1 13
2 32
x yz
d :
+ −+
= =
−
,
1
718
3 20
x yz
d :
+ +−
= =
−
.
Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD.
• Viết phương trình các mặt của tứ diện.
• Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD).
• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
• Tìm toạ độ các điểm A′, B′, C′, D′ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C,
D qua các mặt đối diện.
• Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
• Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác đònh tâm I và bán kính R
của (S).
• Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
• Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a)
( ) ( ) ( ) ( )
513 162 504 406A B C D;; , ;; , ;; , ;;
b)
( ) ( ) ( ) ( )
110 0 21 10 2 111A B C D;; , ; ; , ; ; , ;;
c)
( ) ( ) ( ) ( )
200 040 006 246A B C D;;, ;;, ;;, ;;
d)
231 41 2 637 5 48AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−
e)
57 2 31 1 94 4 150A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− −
f)
010 231 222 1 12ABC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−−
Bài 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 16
1. Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
và có VTCP
123
a aaa(;;)=
:
1
2
3
o
o
o
x x at
d y y at t R
z z at
( ): ( )
= +
=+∈
= +
• Nếu
123
0aa a ≠
thì
0 00
1 23
xx yy zz
d
aaa
( ):
−−−
= =
đgl phương trình chính tắc của d.
2. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d
′
có phương trình tham số lần lượt là:
01
02
03
x x ta
d y y ta
z z ta
:
= +
= +
= +
và
01
02
03
x x ta
d y y ta
z z ta
:
′ ′′
= +
′ ′ ′′
= +
′ ′′
= +
•
d // d
′
⇔
010 1
0 20 2
0 30 3
a a cùng phương
xtaxta
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
ztazta
,
( ,)
′
′ ′′
+=+
′ ′′ ′
+=+
′ ′′
+=+
⇔
0 000
a a cùng phương
Mxyz d
,
(;;)
′
′
∉
⇔
00
a a cùng phương
a M M không cùng phương
,
,
′
′
⇔
[ ]
00
0
0
aa
aMM
,
,
′
=
′
≠
•
d
≡
d
′
⇔
010 1
0 20 2
0 30 3
xtaxta
hệ y ta y t a ẩn t t có vô số nghiệm
ztazta
( ,)
′ ′′
+=+
′ ′′ ′
+=+
′ ′′
+=+
⇔
0 000
a a cùng phương
Mxyz d
,
(;;)
′
′
∈
⇔
00
a a M M đôi một cùng phương,,
′′
⇔
[ ]
00
0aa aMM,,
′′
= =
•
d, d
′
cắt nhau
⇔
hệ
010 1
0 20 2
0 30 3
xtaxta
yta yta
ztazta
′ ′′
+=+
′ ′′
+=+
′ ′′
+=+
(ẩn t, t
′
) có đúng một nghiệm
⇔
00
a a không cùng phương
a a M M đồng phẳng
,
,,
′
′′
⇔
[ ]
[ ]
00
0
0
aa
aa MM
,
,.
′
≠
′′
=
•
d, d
′
chéo nhau
⇔
010 1
0 20 2
0 30 3
a a không cùng phương
xtaxta
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
ztazta
,
( ,)
′
′ ′′
+=+
′ ′′ ′
+=+
′ ′′
+=+
⇔
00
a a M M không đồng phẳng,,
′′
⇔
[ ]
00
0aa MM,.
′′
≠
•
d
⊥
d
′
⇔
aa
′
⊥
⇔
0aa.
′
=
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 17
3. Vò trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (α):
0Ax By Cz D+ + +=
và đường thẳng d:
01
02
03
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
Xét phương trình:
01 02 03
0A x ta B y ta C z ta D( )( )( )+ + + + + +=
(ẩn t) (*)
•
d // (
α
)
⇔
(*) vô nghiệm
•
d cắt (
α
)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
•
d
⊂
(
α
)
⇔
(*) có vô số nghiệm
4. Vò trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
Cho đường thẳng d:
01
02
03
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
(1) và mặt cầu (S):
2 2 22
xa yb zc R( )( )( )
−+−+−=
(2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
•
d và (S) không có điểm chung
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
d(I, d) > R
•
d tiếp xúc với (S)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
⇔
d(I, d) = R
•
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
⇔
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
và điểm M.
0
MMa
dMd
a
,
( ,)
=
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
a
, d
2
đi qua điểm M
2
và có VTCP
2
a
12 12
12
12
a a MM
dd d
aa
,.
(, )
,
=
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với
mặt phẳng (
α
) chứa d
2
và song song với d
1
.
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ
một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (
α
).
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
12
aa,
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
12
aa,
.
( )
12
12
12
aa
aa
aa
.
cos ,
.
=
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
123
a aaa(;;)=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
n ABC(;;)=
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
′
của
nó trên (
α
).
( )
123
2 2 2222
123
Aa Ba Ca
d
ABCaaa
sin ,( )
.
α
++
=
++ ++
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 18
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác đònh một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1: d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
và có VTCP
123
a aaa(;;)=
:
1
2
3
o
o
o
x x at
d y y at t R
z z at
( ): ( )
= +
=+∈
= +
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
Một VTCP của d là
AB
.
Dạng 3: d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
và song song với đường thẳng ∆ cho trước:
Vì d //
∆
nên VTCP của
∆
cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d
⊥
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
•
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A
∈
d: bằng cách giải hệ phương trình
P
Q
()
()
(với việc chọn giá trò
cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d:
PQ
a nn,
=
•
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Vì d
⊥
d
1
, d
⊥
d
2
nên một VTCP của d là:
12
dd
a aa,
=
Dạng 7: d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
, vuông góc và cắt đường thẳng
∆
.
•
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng
∆
.
0
H
MH u
∈∆
⊥
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.
•
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P)
∩
(Q)
Dạng 8: d đi qua điểm
0 000
Mxyz(;;)
và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
:
•
Cách 1: Gọi M
1
∈
d
1
, M
2
∈
d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ
đó suy ra phương trình đường thẳng d.
•
Cách 2: Gọi (P) =
01
Md( ,)
, (Q) =
02
Md( ,)
. Khi đó d = (P)
∩
(Q). Do đó, một VTCP của d
có thể chọn là
PQ
a nn,
=
.
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Tìm các giao điểm A = d
1
∩
(P), B = d
2
∩
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10: d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa
∆
và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau:
•
Cách 1: Gọi M
∈
d
1
, N
∈
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MN d
MN d
⊥
⊥
, ta tìm được M, N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 19
•
Cách 2:
– Vì d
⊥
d
1
và d
⊥
d
2
nên một VTCP của d có thể là:
12
dd
a aa,
=
.
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d
1
, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d
1
.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
1
Pd
n aa,
=
.
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P):
•
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
∆
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
∈
∆
.
– Vì (Q) chứa
∆
và vuông góc với (P) nên
QP
n an,
∆
=
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d
1
và cắt d
2
:
•
Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN
⊥
d
1
, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
•
Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Bài 14. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP
a
cho trước:
a)
Ma(1; 2; 3), ( 1; 3; 5)−=−
b)
Ma(0; 2;5), (0;1;4)−=
c)
Ma(1;3; 1), (1; 2; 1)−=−
d)
Ma(3;1;3), (1;2;0)−− = −
e)
Ma(3; 2;5), ( 2;0;4)−=−
f)
Ma(4; 3; 2), ( 3; 0; 0)−=−
Bài 15. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a)
( ) ( )
23 1 124A , B;; ;;−
b)
( ) ( )
1 10 012A , B; ; ;;−
c)
( ) ( )
315 211
A , B;; ;;
−−
d)
( ) ( )
210 012A , B;; ;;
e)
( ) ( )
12 7 124A , B;; ;;−
f)
( ) ( )
213 42 2A , B;; ; ;−−
Bài 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường
thẳng ∆ cho trước:
a)
( )
32 4A , Ox;;
∆
−≡
b)
( )
2 53 532 21 2A đi qua M N; ; , ( ; ; ), ( ; ; )
∆
−−
c)
23
2 53 3 4
52
xt
A yt
zt
( ; ; ), :
∆
= −
−=+
= −
d)
252
4 22
423
xyz
A( ; ; ), :
∆
+ −−
−==
e)
34
1 32 2 2
31
xt
A yt
zt
( ; ; ), :
∆
= +
−=−
= −
f)
312
52 3
234
x yz
A( ; ; ), :
∆
+ −+
−==
Bài 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng
(P) cho trước:
a)
( )
2 4 3 2 3 6 19 0A , (P) x y z;; :− −++=
b)
( )
1 10A , P các mp toạ độ; ; ( ):−
c)
( )
321 2540A Pxy; ; ,( ): − +=
d)
2 3 6 2 3 6 19 0A P xyz( ; ; ), ( ):− −++=
Bài 18. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
cho trước:
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 20
a)
6 2 2 30
3 5 2 10
Pxyz
Qxyz
( ):
( ):
+ + +=
− − −=
b)
2 3 3 40
2 30
P xyz
Qx yz
( ):
( ):
− + −=
+ −+=
c)
3 3 4 70
6 2 60
Pxyz
Qx y z
( ):
( ):
+ − +=
+ + −=
d)
2 30
10
P xyz
Qxyz
( ):
( ):
+−+=
+ +−=
e)
10
20
Pxz
Qy
( ):
( ):
+−=
−=
f)
2 10
10
P xyz
Qxz
( ):
( ):
+ +−=
+−=
Bài 19. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường
thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
12 1
105 3 2 2
1 13
x t xt
A d y td y t
zt z t
( ; ; ), : , :
=+=−
=−=+
=+=−
b)
12
1 13
2 11 2 2
33
xt x t
A dytdyt
z zt
( ; ; ), : , :
=+=+
− =−+ =−+
= = +
c)
12
11
1 23 2 2 2
33 3
xt x
A d y td y t
z t zt
( ; ; ), : , :
=−=
− =−− =−+
=−=+
d)
12
73 1
414 4 2 9 2
4 3 12
x t xt
A d y td y t
zt z t
( ; ; ), : , :
=−+ =+
= − =−+
=+ =−−
e)
12
13 2
213 1 34
22 2
x t xt
A dy t d y t
z t zt
( ; ; ), : , :
=+=
−− =+ =−+
=−+ = −
f)
12
31 4 1 1 2
20
xt xt
A d y td y t
zt z
( ; ; ), : , :
= =
−=−=−
=−=
Bài 20. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường
thẳng ∆ cho trước:
a)
12 2 1
2
xt
A yt
zt
( ; ; ), :
∆
=
−=−
=
b)
32
4 24 1
14
xt
A dy t
zt
( ; ; ), :
=−+
−− =−
=−+
c)
13
213 1
22
xt
A yt
zt
( ; ; ), :
∆
= +
−− =+
=−+
d)
31 4 1
2
xt
A yt
zt
( ; ; ), :
∆
=
−=−
= −
e)
1
1 23 2 2
33
xt
A yt
zt
( ; ; ), :
∆
= −
− =−−
= −
f)
1
2 11 2
3
xt
A yt
z
( ; ; ), :
∆
= +
− =−+
=
Bài 21. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1
,
d
2
cho trước:
a)
12
12 1
105 3 2 2
1 13
x t xt
A d y td y t
zt z t
( ; ; ), : , :
=+=−
=−=+
=+=−
b)
12
1 13
2 11 2 2
33
xt x t
A dytdyt
z zt
( ; ; ), : , :
=+=+
− =−+ =−+
= = +
c)
12
13 22
4 53 3 2 1 3
2 15
x tx t
A d y td y t
zt z t
( ; ; ), : , :
=−+ = +
− − =−− =−+
=−=−
d)
12
13
21 1 2 4
35 2
x t xt
A d y td y t
z t zt
( ; ; ), : , :
=+=−
− =−+ =
=−+ =
e)
12
2 43
23 1 1 2 1
13 23
xt x t
A d y td y t
zt z t
( ; ; ), : , :
= + =−+
−=− =+
=+ =−+
f)
12
33 32
3 25 1 4 1
22 23
x tx t
A d y td y t
zt zt
( ; ; ), : , :
=−+ = +
−=+ =−
=+=−
Bài 22. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai
đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
20
2
1
42
1 14
1
Py z
xt
x yz
d dy t
z
( ):
: ,:
+=
= −
−
= = = +
−
=
b)
12
6 2 2 30
12 1
32 2
1 13
Pxyz
x t xt
d y td y t
zt z t
( ):
: ,:
+ + +=
=+=−
=−=+
=+=−
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 21
c)
12
2 3 3 40
73 1
42 92
4 3 12
P xyz
x t xt
d y td y t
zt z t
( ):
: ,:
− + −=
=−+ =+
= − =−+
=+ =−−
d)
12
3 3 4 70
11
22 2
33 3
Pxyz
xt x
d y td y t
z t zt
( ):
: ,:
+ − +=
=−=
=−− =−+
=−=+
Bài 23. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng ∆ và cắt cả hai
đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
1
2
11
212
11
12 1
213
321
xy z
x yz
d
x yz
d
:
:
:
∆
−−
= =
−
+−
= =
−
− ++
= =
b)
1
2
15
311
122
143
47
5 91
xy z
xy z
d
xyz
d
:
:
:
∆
−−
= =
−
−+−
= =
++
= =
c)
1
2
122
:
143
122
:
143
47
:
5 91
−+−
∆==
−+−
= =
++
= =
xy z
xy z
d
xyz
d
d)
1
2
132
3 21
2 21
3 41
739
12 1
xyz
xyz
d
xyz
d
:
:
:
∆
++−
= =
−−
−+−
= =
− −−
= =
−
Bài 24. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
32 23
14 4
24 12
xt xt
d y td y t
z tzt
: ,:
=−=+
=+=−
=−+ =−
b)
12
12 23
3 12
23 44
xtx t
d y td y t
ztz t
: ,:
=+ =−+
=−+ =+
= + =−+
c)
12
22 1
13
3 12
x t xt
d y td y t
zt z t
: ,:
=+=+
=+=+
=−=+
d)
12
23 12
3 12
12 2
x tx t
d y td y t
z t zt
: ,:
= + =−+
=−− =−
=+=+
Bài 25. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng ∆ trên mặt
phẳng (P) cho trước:
a)
2 31
2 13
2 2 30
xyz
P xy z
:
( ):
∆
+ −−
= =
−
−+ +=
b)
322
12 3
3 4 2 30
xyz
Pxyz
:
( ):
∆
−−+
= =
−
+ − +=
c)
113
12 2
2 2 30
xyz
P x yz
:
( ):
∆
+−−
= =
−
− +−=
d)
1
21 1
10
x yz
Pxyz
:
( ):
∆
−
= =
−
+−+=
e)
2 21
3 41
2 3 40
xyz
Px y z
:
( ):
∆
−+−
= =
+ + +=
f)
12
1 21
2 3 50
xy z
P xy z
:
( ):
∆
−−
= =
−−
−− +=
g)
5 4 2 50
2 20
2 10
xyz
xz
P xyz
:
( ):
∆
− − −=
+ −=
−+−=
h)
10
2 20
2 10
xyz
xz
Px yz
:
( ):
∆
−−−=
+ −=
+ −−=
Bài 26. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng
d
1
và cắt đường thẳng d
2
cho trước:
a)
12
1
12
011
3 11
1
x
xy z
A d d yt
zt
( ; ; ), : , :
= −
−−
= = =
= +
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 22
b)
12
2
11
111 1 2
2 11
1
x
xyz
A d dy t
zt
( ; ; ), : , :
=
−+
= = = +
−
=−−
c)
12
14 113
12 3
6 23 3 2 5
xy z xyz
Ad d( ; ; ), : , :
+− −+−
−− = = = =
−− −
Bài 27. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình
tham số của các đường thẳng sau:
a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
Bài 28. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến:
1
3
2
6
2
3
:)(
1
−
=
−
=
−
−
zyx
d
,
1
2
4
2
1
4
:)(
2
−
=
−
−
=
− zyx
d
. Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:
a) Chứa các cạnh của tam giác ABC.
b) Đường phân giác trong của góc A.
Bài 29. Cho tam giác ABC có
311 127 5143A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − − −
. Viết phương trình tham số
của các đường thẳng sau:
a) Trung tuyến AM. b) Đường cao BH.
c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong ∆ABC.
Bài 30. Cho bốn điểm
12 1 34 1 141 321S A BC(;; ), (;; ), (;;), (;;)−−
.
a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp.
b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.
Bài 31. Cho bốn điểm
1 23 2 23 1 13 1 25S A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−−
.
a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện.
b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 23
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường
thẳng.
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
Bài 32. Xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
{
12
124
1 23
21 3
xy z
d d x ty tz t: ; : ;;
−+−
= = =−+ =− =−+
−
b)
{ {
12
52 1 5 32 3 1d x ty tz t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + =− = − = + =−− =−
c)
{ {
12
22 1 1 1 1 3d x t y t z d x y t z t: ; ;; : ; ;
=+ =−+= ==+=−
d)
12
123 765
963 642
xy z x y z
dd
: ;:
−−− − −−
= = = =
e)
12
153 613
214 321
xy z x yz
dd
: ;:
−+− − ++
= = = =
f)
12
2 1 72
4 6 8 6 9 12
x yz x y z
dd
:;:
− + −−
= = = =
−− −
g)
12
2 2 20 2 20
2 2 40 2 10
x y z xyz
dd
xy z xy z
: ;:
− + − = +−+ =
+ − + = − + −=
h)
{
12
2 3 3 90
95 3
2 30
xyz
d x ty tz t d
x yz
: ;; ; :
− − −=
= = = −
− ++=
Bài 33. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông
góc chung của chúng:
a)
{ {
12
12 3 23 2 1 32
dx ty tz tdxty tz t
: ; ; ; : '; '; '=− = + =−− = =+ = −
b)
{ {
12
12 22 2 53 4
dx ty tztdxty tz
: ; ; ; : '; ';
=+=−=− = =− =
c)
{ {
12
32 14 4 2 23 4 12d x ty tz t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '
=− =+ =− =+ =−=−
d)
12
2 1 11
3 22 1 2 4
x y z xy z
dd
: ;:
− + −+
= = = =
−
e)
12
7 39 311
1 2 1 723
x yz x yz
dd
: ;:
− −− − −−
= = = =
−−
f)
12
2 13 311
2 1 2 2 21
x yz x yz
dd
: ;:
− −− − +−
= = = =
−−
g)
12
2 2 20 2 20
2 2 40 2 10
x y z xyz
dd
xy z xy z
: ;:
− + − = +−+ =
+ − + = − + −=
Bài 34. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
a)
{ {
12
3 12 3 1 2 4d x ty tz t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= =−=+ =+= =+
b)
{
12
30
1 23
2 10
xyz
d d x ty tz t
xy
: ; :; ;
+++=
=+ =−+ = −
−+=
c)
12
2 40 20
2 60 2 70
x yz xz
dd
xyz y z
: ;:
− −− = −− =
+++= + +=
d)
12
2 10 3 30
10 2 10
xy xyz
dd
xyz xy
: ;:
++= +−+=
−+−= −+=
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 24
Bài 35. Tìm m để hai đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng:
a)
{ {
12
1 12 1 22 3d x mt y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '=+ = =−+ =− = + = −
b)
{
{
12
1 32 2 1 23
dxty tzmt dx tytz t
: ; ; ; : '; '; '=−=+ =+ =+ =+ =−
c)
12
2 40 2 30
30 2 60
xyz x ymz
dd
xy xyz
:;:
+−−= + + −=
+−= ++−=
VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của
mặt phẳng.
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 1. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của
chúng:
a)
{
2 1 3 10 0d x ty tz t P x y z: ; ; ; ( ):= =− =+ ++− =
b)
{
32 14 45 4 3 650d x t y tz t P x y z: ; ; ; ( ):= − =− = − − − −=
c)
12 9 1
3 5 20
4 31
x yz
d P x yz: ; ( ):
− −−
= = + −−=
d)
11 3
3 3 2 50
2 43
x yz
d Pxyz: ; ( ):
+−
= = − + −=
e)
13 1 4
2 4 10
8 23
x yz
d Px y z: ; ( ):
− −−
= = + − +=
f)
357160
5 40
2 60
xyz
d P xz
xyz
: ; ( ):
+++=
−−=
−+−=
g)
2 3 6 10 0
4 17 0
50
xyz
d Py z
xyz
: ; ( ):
++−=
++=
+++=
Bài 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ⊥ (P). iv) d ⊂ (P).
a)
123
3 2 50
21 2
xy z
d Px y z
mm
: ; ( ):
−++
= = + − −=
−
b)
131
3 2 50
22
xy z
d Px y z
mm
: ; ( ):
+− −
= = + + −=
−
c)
3 2 30
2 3 20
4 3 4 20
x yz
d P xy m z
xyz
: ; ( ): ( )
− ++=
−+ + −=
− + +=
d)
{
34 14 3 1 2 4 9 0d x ty tz t P m x y z n: ; ; ; ( ):( )=+ =− =−+ − + − +−=
e)
{
32 53 22 2 3 3 50d x ty tz t P m x n y z: ; ; ; ( ):( ) ( )=+ =− =− + + + + −=
Bài 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
a)
{
23d x m ty tz t: ;;=+=−=
cắt
2 50P xyz( ): −+−=
tại điểm có tung độ bằng 3.
b)
2 30
2 50
xy
d
yz
:
− −=
+ +=
cắt
2 22 0P xy z m( ): ++ − =
tại điểm có cao độ bằng –1.
c)
2 30
3 2 70
xy
d
xz
:
+ −=
− −=
cắt
0Pxyzm( ): +++ =
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian
Trang 25
VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.
Bài 1. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của
chúng:
a)
222
12
2 4 10
21 1
xy z
d Sxyz xz: ; ( ):
−−
= = + + − + +=
−
b)
2 22
2 10
1 2 16
2 30
xyz
d Sx y z
xz
: ; ( ):( ) ( )
+ −−=
− +− +=
− −=
c)
222
2 10
2 2 14 0
20
x yz
d Sx y z x y
xy
: ; ( ):
− −−=
++−+−=
++=
d)
222
2 10
4 2 10 8 0
20
x yz
d Sxyz xy z
xy
: ; ( ):
− −−=
+++−− −=
++=
e)
{
222
2 3 2 4 2 20dx tytz t Sxyz xyz: ; ; ; ( ):=−− = =− ++−−+−=
f)
{
222
12 2 3 2 4 6 2 0dx ty tz t Sxyz xyz: ; ; ; ( ):=− =+ =+ ++−−+−=
g)
{
222
1 2 4 2 4 6 20dx ty tz Sxyz xyz: ; ; ; ( ):=− =− = ++−−+−=
Bài 2. Biện luận theo m, vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S):
a)
2 22
20
1 2 18
20
x yzm
d Sx y z
xy
: ; ( ):( ) ( ) ( )
− −+ =
− +− ++ =
++=
b)
{
222
1 2 2 4 10d x t y m t z t S x y z x z: ; ; ; ( ):=− = + = + + + − + +=
c)
222
2 30
224 0
2 10
xy
d Sxyz xyzm
xz
: ; ( ):
− −=
+++−++=
+−=
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d:
a)
{
121 14 32 4 2I d x ty tz t( ; ; ); : ; ;− =+=−=−
b)
{
12 1 1 2 2I d x ty z t( ; ; ); : ; ;− =−= =
c)
2 11
42 1
212
x yz
Id( ; ; ); :
− +−
−==
d)
12
12 1
2 13
x yz
Id( ; ; ); :
−−
−==
−
e)
2 10
12 1
10
xy
Id
z
( ; ; ); :
− −=
−
−=
Bài 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của
(S), biết:
a) d đi qua A(0; 0; 5) ∈ (S) và có VTCP
122a (; ; )=
.
b) d đi qua A(0; 0; 5) ∈ (S) và vuông góc với mặt phẳng:
3 2 2 30xyz( ): .
α
− + +=
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với:
a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3).
b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0).
c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1).
d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2).
