Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC








ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH



Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 1. 01. 01



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007




Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

WX


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ HOÀN HOÁ


Phản biện 1: GS. TSKH. PHẠM KỲ ANH

Trường Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội

Phản biện 2: GS. TSKH. NGUYỄN CANG
Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Phản biện 3: PGS. TSKH. ĐỖ HỒNG TÂN
Viện Toán Học







Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước
họp tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc giờ ngày tháng năm 2007






Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích,
với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912),
Banach (1922), Schauder (1930). Đây là một lý thuyết phong phú, đa dạng bao gồm
nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn,
ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ
đa trị, với sự phát triển không ngừng trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến
phân Ekland, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, v.v. Chính từ sự phát triển đó

mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên
cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoá
học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết này để chứng minh tồn tại ng hiệm
của các phương trình vi phân và tích phân được mở đầu bằng những kết quả nổi
tiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đó xét bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân với vế phải thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard)
hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano). Ứng với hai bài toán vừa nêu, hai định lý
điểm bất động Bana ch và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu. Kết hợp hai định
lý đó, Krasnosel’skii đã chứng minh định lý Krasnosel’skii và từ đó các định lý điểm
bất động kiểu Krasnosel’skii được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều công trình,
như [Avramescu, Electronic J. Qualitative Theory of Diff. Equat., 5 (2003), 1-15],
[Hoá, Schmitt, Results in Math., 25 (1994), 290-314]. Áp dụng định lý Schauder,
Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder,
trong đó nguyên lý loại trừ là công cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồn
tại nghiệm của một số bài toán giá trị biên [Donal O’Regan, Theory of singular
boundary problems, 1994].
Ý nghĩa quan trọng của các định lý điểm bất động trong ứng dụng đã được trình
bày ở nhiều tài liệu, như [Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applica-
tions I], và được thể hiện qua nhiều công trình nghiên cứu của nhiều tác giả như:
Avramescu, Burton, Liu, Raffoul, Sehie Park, Đ. H. Tân (nguồn MathSciNet), v.v.,
trong đó các tác giả hoặ c nghiên cứu sâu sắc về lý thuyết điểm bất động, hoặc đã
vận dụng các định lý điểm bất động để giải các bài toán đặt ra. Còn có thể tìm thấy
nhiều công trình khác đăng trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước đã sử dụng
phương pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình.
Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003,
22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 19, 21, 22, 24 thuộc Vol. 2006, trong "Electronic J. Dif-
ferential Equations" làm ví dụ, ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định
lý Krasnosel’skii trên một nón, định lý Darbo, v.v., được áp dụng. Ngoài ra, còn có
các tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, như "Fixed Point
Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of Fixed

Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer.
Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa
về mặt lý thuyết và áp dụng.
1
Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý
luận về tính compact thô ng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên
quan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân
và đạo hàm riêng sau đây: Bài toán liên quan đến phương trình tích phân phi tuyến
dạng Volterra; Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm
cấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa
toán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị.
Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danh
mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chúng tôi
thu được cho ba bài toán nêu trên sẽ được trình bày lần lượt trong các chương 1, 2
và 3 với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasno sel’skii và định lý này
được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm
cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt được mạnh hơn những
kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng
trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính compact, liên thông của tập nghiệm
của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra về
phương trình có ít nhất hai nghiệm, khi đó sẽ có một lực lượng continuum của các
nghiệm chứa hai nghiệm này.
Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder và nguyên lý ánh
xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai có
đối số chậm. Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên
với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng
được nghiên cứu. Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập

nghiệm không những khác rỗng, mà còn là tập compact và liên thông.
Trong chương 3, sử dụng một hệ quả của nguyên lý á nh xạ co và phương pháp
xấp xỉ Galerkin, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff đồng thời
xây dựng được dãy lặp tuyến tính (hoặc phi tuyến) hội tụ mạnh cấp một ( hoặc cấp
hai) về nghiệm đó trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp. Ngoài ra, một
khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số nhiễu xuất hiện trong số hạng
Kirchhoff ở vế trái và số hạng phi tuyến ở vế phải của phương trình sóng đến một
cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện cũng được chỉ ra.
Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong [N2-N6] và gửi công bố
trong [N7, N8]. Ngoài ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu trong luận án
cũng được thể hiện và vận dụng cho các phương trình dạng khác trong [N1, N9,
N10]. Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trong
các hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp. HCM, 22/12/2002,
- The International Conference on Diff. Equat. and Appl., HCM City 22-25/08/2004,
- Hội nghị toàn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Toán học, Hà Nội 23-25/12/2005.
2
Chương 1
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN
1.1 Giới thiệu.
Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến:
x(t) = q(t) + f(t, x(t)) +

t
0
V (t, s, x(s))ds +

t
0

G(t, s, x(s))ds, t ∈ R
+
, (1.1.1)
ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R
+
= [0, ∞), q : R
+
→ E; f : R
+
×E →
E; G, V : ∆ ×E → E được giả sử là liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R
+
×R
+
, s ≤ t}. Đây
là bài toán tổng quát hoá các bài toán đã được nghiên cứu bởi Hoá-Schmitt (1994),
với f = 0, V (t, s, x) = V (s, x), và Avramescu-Vladimirescu (E. J. Diff. Equat., 2005,
126, 1-10), với E = R
d
và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba.
Chương 1 gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Kras-
nosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Trong mục 1.5,
với giả thiết như ở mục 1.3, tập nghiệm của (1.1.1) được chứng tỏ là tập compact,
liên thông. Các ví dụ minh hoạ đã được nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở
rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại
nghiệm của phương trình:
x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) +

t

0
V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds
+

t
0
G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R
+
,
(1.1.2)
và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact, liên
thông của tập nghiệm của (1.1.2) cũng được trình bày.
Nội dung của chương được công bố trong [N4], riêng kết quả về cấu trúc tập nghiệm
thì được công bố trong [N3] như một trường hợp riêng và gửi công bố trong [N8].
1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii.
Định lý 1.2.1. Giả sử (X, |.|
n
) là không gian Fréchet và U, C : X → X là hai toán
tử thoả mãn các điều kiện:
(i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||
n
tương đương với họ nửa chuẩn |.|
n
.
3
(ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập
compact tương đối.
(iii) lim
|x|
n

→∞
|Cx|
n
|x|
n
= 0, ∀n ∈ N
∗
.
Khi đó U + C có điểm bất động.
1.3 Sự tồn tại nghiệm.
Giả sử X = C(R
+
; E) là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R
+
vào E.
Trên X xét họ nửa chuẩn |x|
n
= sup
t∈[0,n]
{|x(t)|}, n ≥ 1. Khi đó (X, |x|
n
) là không
gian metric đầy đủ với metric d(x, y) =

∞
n=1
2
−n
|x−y|
n

1+|x−y|
n
và (X, |x|
n
) là không gian
Fréchet. Xét trên X một họ nửa chuẩn khác là ||x||
n
được định nghĩa như sau: ||x||
n
=
|x|
γ
n
+ |x|
h
n
, n ≥ 1, ở đây |x|
γ
n
= sup
t∈[0,γ
n
]
{|x(t)|}; |x|
h
n
= sup
t∈[γ
n
,n]

{e
−h
n
(t−γ
n
)
|x(t)|},
γ
n
∈ (0, n) và h
n
> 0 là các số tuỳ ý. Hai họ nửa chuẩn |x|
n
, ||x||
n
là tương đương.
Ta thiết lập các g iả thiết sau:
(A
1
) Tồn tại hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
|f(t, x) −f(t, y)| ≤ L|x −y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R
+
.
(A
2
) Tồn tại hàm liên tục ω
1
: ∆ → R
+
thoả mãn

|V (t, s, x) − V (t, s, y)| ≤ ω
1
(t, s)|x −y|, ∀x, y ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆.
(A
3
) G là hoàn toàn liên tục sao cho G(t, ., .) : I × J → E liên tục đều theo t trên
mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý, với bất kỳ các tập bị chặn I ⊂ [0, ∞) và J ⊂ E; nghĩa
là: Trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0, ∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao
cho với mọi t
1
, t
2
cùng thuộc đoạn bị chặn đó,
|t
1
− t
2
| < δ ⇒ |G(t
1
, s, x) − G(t
2
, s, x)| < ε, ∀(s, x) ∈ I × J.
(A
4
) Tồn tại hàm liên tục ω
2
: ∆ → R
+
sao cho lim
|x|→∞

|G(t,s,x)|−ω
2
(t,s)
|x|
= 0,
đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆.
Định lý 1.3.1. Giả sử (A
1
) − (A
4
) đúng. Khi đó phương trình (1.1.1) có ít nhất
một nghiệm trên [0, ∞).
1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận.
Định nghĩa: Một hàm

ξ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) nếu
với bất kỳ nghiệm x của (1.1.1), lim
t→∞
|x(t) −

ξ(t)| = 0.
Chú ý 1.1. (i) Trong định nghĩa trên, nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) không
nhất thiết là nghiệm của (1.1.1).
4
(ii) Nếu có một hàm

ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) thì mọi nghiệm x của
(1.1.1) đều là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1).
Trong mục này, giả sử (A
1

) −(A
4
) đúng và giả sử thêm các điều kiện
(A
5
) V (t, s, 0) = 0, với mọi (t, s) ∈ ∆.
(A
6
) Tồn tại hai hàm số liên tục ω
3
, ω
4
: ∆ → R
+
sao cho
|G(t, s, x)| ≤ ω
3
(t, s) + ω
4
(t, s)|x|, ∀(t, s) ∈ ∆.
Định lý 1.4.1. Giả sử (A
1
) −(A
6
) đúng. Nếu
lim
t→∞
2a
2
(t) + b(t)e


t
0
b(s)ds

t
0
2e
−

s
0
b(u)du
a
2
(s) ds = 0, (1.4.1)
ở đây
a(t) =
1
1 −L

t
0

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s)


|ξ(s)|ds +
1
1 −L

t
0
ω
3
(t, s)ds,
b(t) =
2
(1 −L)
2

t
0

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s)

2
ds,
thì tồn tại hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Hơn nữa, mỗi nghiệm của
(1.1.1) cũng là một nghiệm ổn định tiệm cận.
Chú ý 1.2. Với các giả thiết sau thì điều kiện (1.4.1) đúng.
(H
1

)

+∞
0
|q(s)|
2
ds < +∞,

+∞
0
|f(s, 0)|
2
ds < +∞;
(H
2
) lim
t→∞

t
0
ω
3
(t, s)ds = 0,

+∞
0


s
0

ω
3
(s, u)du

2
ds < +∞;
(H
3
) Tồn tại các hàm số g
i
, h
i
: R
+
→ R
+
, i = 1, 4 sao cho:
(i) ω
i
(t, s) = g
i
(t)h
i
(s), ∀(t, s) ∈ ∆,
(ii) lim
t→∞
g
i
(t) = 0,
(iii)


+∞
0
g
2
i
(s)ds < +∞,

+∞
0
h
2
i
(s)ds < +∞.
Chú ý 1.3. Nếu g
i
: R
+
→ R
+
, i = 1, 4 liên tục đều thì H
3
(ii) : lim
t→∞
g
i
(t) = 0, được
suy ra từ H
3
(iii)

1
:

+∞
0
g
2
i
(s)ds < +∞.
Chú ý 1.4. Chúng tôi xin nêu ví dụ minh hoạ về sự tồn tại nghiệm và tồn tại
nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) trong đó f = 0, V (t, s, x) không tuyến tính
theo biến thứ ba và E là không gian Ba nach tổng quát, cho thấy kết quả đạt được
mạnh hơ n kết quả trước đó.
Ví dụ. Giả sử E = C([0, 1]; R) với chuẩn thông thường |u|
E
= sup
ζ∈[0,1]
{|u(ζ)|}.
Xét phương trình (1.1.1) với các hàm q, f, V, G được cho như sau:
5
Với mỗi x ∈ X = C

R
+
; E

, với mọi t, s ≥ 0 (s ≤ t), ∀ζ ∈ [0, 1],
q(t)(ζ) ≡ q(t, ζ) =
1 −k
e

t
+ ζ
e
−2t
; f(t, x)(ζ) =
k
e
t
+ ζ
e
−2t
sin

π
2
(e
t
+ ζ)x(ζ)

;
V (t, s, x)(ζ) =
1
e
t
+ ζ
e
−2s
(e
s
+ ζ)|x(ζ)|; G(t, s, x)(ζ) =

1
e
t
+ ζ
e
−2s
√
e
s

|x|
E
,
ở đây k <
2
π
là một hằng số dương. Rõ ràng q, f, V, G thoả (A
1
) −(A
6
), trong đó
ω
1
(t, s) = e
−t
e
−2s
(e
s
+ 1), ω

2
(t, s) = 0, ω
3
(t, s) = ω
4
(t, s) =
1
2
e
−t
e
−2s
√
e
s
.
Hơn thế nữa, (H
1
) − (H
3
) đúng. Từ đó ta nhận được các kết quả như trong phát
biểu của hai định lý 1.3.1 và 1.4.1. Chẳng hạn, (1.1.1) có ít nhất một nghiệm là x,
với: x(t)(ζ) =
1
e
t
+ζ
, ∀ζ ∈ [0, 1], ∀t ∈ R
+
. Đây cũng chính là một nghiệm ổn định tiệm

cận của (1.1.1).
1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm.
Tính chất này của tập nghiệm đã được xét trong [N3] cho phương trình tích
phân xem như là một trường hợp riêng của (1.1.1), trong đó lý thuyết bậc tôpô của
trường vectơ compact được vận dụng. Với phương pháp tương tự, mục này đề cập
đến tính compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình (1.1.1). Áp dụng
định lý Krasnosel’skii - Perov và các bổ đề 1.5.1, 1.5.2, chúng tôi chứng minh định
lý 1.5 .3. Kết quả thu được đã gửi công bố trong [N8].
Định lý Krasnosel’skii - Perov:(Krasnosel’skii, Zabreiko, Geometrical Methods
of Nonlinear Analysis, 1984)
Cho (E, | · |) là không gian Banach thực, D là tập con mở và bị chặn của E với
biên ∂D và bao đóng D . Giả sử T : D → E là toán tử hoàn toàn liên tục thoả các
điều kiện:
(i) T không có điểm bất động trên ∂D và deg(I − T, D, 0) = 0.
(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại toán tử hoàn toàn liên tục T
ε
sao cho |T
ε
(x) −T(x)| < ε,
với mọi x ∈ D, và sao cho với mỗi h mà |h| < ε, phương trình x = T
ε
(x) + h có
nhiều nhất một nghiệm trên D.
Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là khác rỗng, compact và liên thông.
Bổ đề 1.5.1. (Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I, 1986)
Giả sử M là tập con đóng khác rỗng của không gian metric X, Y là một không gian
định chuẩn và f : M → Y là toán tử liên tục. Khi đó tồn tại một toán tử liên tục
g : X → Y sao cho
(i) g(X) ⊂ cof(M), ở đây cof(M) là bao lồi của f(M);
(ii) g(x) = f(x), ∀x ∈ M.

6
Bổ đề 1.5.2. (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985) Giả sử E, F là các
không gian Banach, D là một tập con mở của E và f : D → F liên tục. Khi đó với
mỗi ε > 0, tồn tại một ánh xạ Lipschitz địa phương f
ε
: D → F sao cho
|f(x) − f
ε
(x)| < ε, ∀x ∈ D
và f
ε
(D) là tập con của bao lồi đóng của f(D).
Định lý 1.5.3. Giả sử (A
1
) −(A
4
) đúng. Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình
(1.1.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông.
Chú ý 1.5. Từ chứng minh của định lý 1.5.3 ta suy ra rằng nếu cho thêm giả thiết
G là Lipschitz địa phương thì (1.1.1) có duy nhất nghiệm.
Chú ý 1.6. Chúng tôi trình bày một ví dụ thoả các điều kiện của định lý 1.5.3 và
có ít nhất hai nghiệm, ở đây G không là Lipschitz địa phương. Trong trường hợp
này có một continuum các nghiệm khác nhau của (1.1.1) chứa hai nghiệm đã cho.
Ví dụ. Cho E = R. Xét phương trình (1.1.1), trong đó q(t) = 0; V (t, s, x) = −
3
2
x;
G(t, s, x) = x
1
3

; f(t, x) =

1
2
xsin(t −ln
3
2
), nếu 0 ≤ t ≤ ln
3
2
,
0, nếu t > ln
3
2
.
Khi đó (1.1.1) có dạng: x(t) = f(t, x(t)) −
3
2

t
0
x(s)ds +

t
0
[x(s)]
1
3
ds, t ∈ R
+

.
Rõ ràng, (1.1.1) có các nghiệm x
1
, x
2
, với
x
1
(t) =


− e
−t
+
2
3

3
2
, nếu t > ln
3
2
,
0, nếu 0 ≤ t ≤ ln
3
2
,
và x
2
(t) = −x

1
(t).
Dễ thấy x
1
, x
2
= 0. Ngo ài ra, x
3
= 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.
1.6 Một trường hợp tổng quát.
Xét phương trình sau
x(t) = q(t) +

f(t, x(t), x(π(t))) +

t
0
V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds
+

t
0
G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R
+
,
(1.6.1)
ở đây q : R
+
→ E;


f : R
+
×E ×E → E; G, V : ∆ ×E ×E → E là các hàm liên
tục và ∆ = {(t, s) ∈ R
+
×R
+
, s ≤ t}, đồng thời các hàm số π, σ, χ : R
+
→ R
+
cũng
là các hàm liên tục. Ta thành lập các giả thiết:
(I
1
) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
|

f(t, x, u) −

f(t, y, v)| ≤
L
2

|x −y| + |u −v|

, ∀x, y, u, v ∈ E, ∀t ∈ R
+
.
(I

2
) Tồn tại hàm liên tục ω
1
: ∆ → R
+
sao cho
|V (t, s, x, u)−V (t, s, y, v)| ≤ ω
1
(t, s)

|x−y|+|u−v|

, ∀x, y, u, v ∈ E, ∀(t, s ) ∈ ∆.
7
(I
3
) G hoàn toàn liên tục sao cho G(t, ., ., .) : I × J
1
× J
2
→ E liên tục đều theo
t trên mọi đoạn bị chặn tuỳ ý, với bấ t kỳ các tập con bị chặn I ⊂ [0, ∞) và
J
1
, J
2
⊂ E.
(I
4
) Tồn tại một hàm liên tục ω

2
: ∆ → R
+
sao cho lim
|x|+|u|→∞
|G(t,s,x,u)|−ω
2
(t,s)
|x|+|u|
= 0,
đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆.
(I
5
) 0 ≤ π(t) ≤ t, 0 ≤ σ(t) ≤ t, 0 ≤ χ(t) ≤ t, ∀t ∈ R
+
.
Định lý 1.6.1. Giả sử (I
1
) −(I
5
) đúng. Khi đó (1.6.1) có nghiệm trên [0, ∞).
Tiếp theo, ta xét sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1) được định nghĩa
như trong mục 1.4. Ở đây, g iả sử (I
1
) −(I
5
) đúng và giả sử thêm
(I
6
) π(t) = t, ∀t ∈ R

+
.
(I
7
) V (t, s, 0, 0) = 0, ∀(t, s) ∈ ∆.
(I
8
) Tồn tại hai hàm liên tục ω
3
, ω
4
: ∆ → R
+
sao cho
|G(t, s, x, u)| ≤ ω
3
(t, s) + ω
4
(t, s)(|x| + |u|), ∀(t, s ) ∈ ∆, ∀x, u ∈ E.
Định lý 1.6.2. Giả sử (I
1
) −(I
8
) đúng. Giả sử thêm
lim
t→∞
2e
2
(t) + p(t)e


t
0
p(s)ds

t
0
2e
−

s
0
p(u)du
e
2
(s) ds = 0, (1.6.2)
ở đây
p(t) =
2
(1 −L)
2

t
0

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s)
+ ω

1
(σ(t), s) + ω
4
(σ(t), s) + ω
1
(χ(t), s) + ω
4
(χ(t), s)

2
ds,
e(t) =

t
0
θ(t, s)

|ξ(s)| + |ξ(σ(s))| + |ξ(χ(s))|

ds
+
1
1 −L

t
0

ω
3
(t, s)ds + ω

3
(σ(t), s) + ω
3
(χ(t), s)

ds,
θ(t, s) =
1
1 −L

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s) + ω
1
(σ(t), s) + ω
4
(σ(t), s) + ω
1
(χ(t), s) + ω
4
(χ(t), s)

.
Khi đó tồn tại hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1). Hơn nữa mọi nghiệm
của (1.6.1) cũng là nghiệm ổn định tiệm cận.
Cuối cùng, ta cũng có kết quả sau đây về cấu trúc tập nghiệm của (1.6.1).
Định lý 1.6.3. Giả sử (I
1

) − (I
6
) đúng. Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình
(1.6.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông.
 Ta có lưu ý rằng định lý Krasnosel’skii -Perov là một công cụ mạnh để nghiên
cứu đặc trưng tôpô của tập nghiệm trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên nó chưa
đủ tinh để nhận được các tính chất đẹp hơn như tính liên thông đường, liên thông
đường gấp khúc hoặc tính lồi của tập nghiệm trong trường hợp cụ thể.
8
Chương 2
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY-SCHAUDER VÀ NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ
CO VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ CHẬM
2.1 Giới thiệu.
Giả sử C = C

[−r, 0]; R), với r > 0 cho trước, là không gian Banach gồm tất cả
các hàm liên tục φ : [−r, 0] → R, với chuẩn ||φ|| = sup{|φ(θ)| : −r ≤ θ ≤ 0}. Với
mỗi hàm liên tục u : [−r, 1] → R và với mỗi t ∈ [0, 1], ta ký hiệu u
t
để chỉ một phần
tử thuộc C được xác định bởi u
t
(θ) = u(t+ θ), θ ∈ [−r, 0]. Xét phương trình vi phân
hàm cấ p hai có đối số chậm sau
u

+ f(t, u
t
, u


(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (2.1.1)
ở đây f : [0, 1] ×C × R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện biên
u
0
= φ, u(1) = u(η), (2.1.2)
u
0
= φ, u(1) = α[u

(η) − u

(0)], (2.1.3)
hoặc với điều kiện đầu
u
0
= φ, u

(0) = 0, (2.1.4)
trong đó φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R.
Các bài toán này là sự tổng quát hoá bài toán ba điểm biên được nghiên cứu bởi
Ma (1998) và Sun (2004), trên cơ sở các bài toán ba điểm biên và hai điểm biên
được nghiên cứu bởi Ntouyas (1995) và Zhang (1995).
Chương 2 gồm có 5 mục. Mục 2.2 trình bày các ký hiệu và các kiến thức chuẩn bị.
Áp dụng định lý của Leray-Schauder "Nonlinear alternative", các định lý về sự tồn
tại nghiệm của bài toán ba điểm biên (2.1.1)-(2.1.2) được trình bày trong mục 2.3.
Ngoài ra, tính duy nhất nghiệm - dựa trên nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm cũng được thiết lập. Các mục 2.4, 2.5 được xem như là một á p
dụng của các phương pháp đã sử dụng trong các chứng minh của mục 2.3, ở đây
chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.1.1) với điều kiện biên
hỗn hợp (2.1.3) hoặc với một điều kiện đầu (2.1 .4). Đối với bài toán giá trị đầu

(2.1.1)-(2.1.4), sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng được
xét. Từ đó, áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov, tập nghiệm của bài toán giá trị
đầu được chứng tỏ là khác rỗng, compact và liên thông. Toàn bộ các kết quả của
chương đã được công bố trong [N2].
9
2.2 Các kiến thức chuẩn bị.
Chứng minh trong các mục tiếp theo cần đến định lý và các bổ đề sau:
Định lý 2.2.1. (" Leray-Schauder nonlinear alternative ") Cho E là không gian
Banach, Ω là một tập con mở và bị chặn của E với 0 ∈ Ω. Giả sử T : Ω → E là
toán tử hoàn toàn liên tục. Khi đó, hoặc tồn tại x ∈ ∂Ω sao cho Tx = λx, với một
số λ nào đó mà λ > 1, hoặc T có một điểm bất động x ∈ Ω.
Bổ đề 2.2.2. [Ma] Cho trước η ∈ (0, 1) và giả sử y ∈ C[0, 1]. Khi đó bài toán
u

+ y(t) = 0, t ∈ (0, 1),
u(0) = 0, u(1) = u(η),
có một nghiệm duy nhất được cho bởi:
u(t) = −

t
0
(t −s)y(s)ds −
t
1 −η

η
0
(η −s)y(s)ds+
t
1 −η


1
0
(1−s)y(s)ds, t ∈ [0, 1].
Bổ đề 2.2.3. Cho tr ước η ∈ (0, 1) và α, β ∈ R. Giả sử y ∈ C[0, 1]. Khi đó bài toán
giá trị biên hỗn hợp
u

+ y(t) = 0, t ∈ (0, 1),
u(0) = 0, u(1) = α(u

(η) − u

(0)) + β,
có một nghiệm duy nhất được cho bởi:
u(t) = −

t
0
(t −s)y(s)ds −αt

η
0
y(s)ds + βt + t

1
0
(1 −s)y(s)ds, t ∈ [0, 1].
Bổ đề 2.2.4. Giả sử y ∈ C[0, 1]. Khi đó bài toán giá trị đầu
u


+ y(t) = 0, 0 < t ≤ 1,
u(0) = 0, u

(0) = 0,
có một nghiệm duy nhất cho bởi: u(t) = −

t
0
(t −s)y(s)ds, t ∈ [0, 1].
Chứng minh các bổ đề này không khó khăn, trong đó bổ đề 2.2.2 được nêu trong
[Ma, Electronic J. Diff. Equat., 1998, 34, pp. 1-8].
2.3 Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.2).
Định lý 2.3.1. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm số
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] sao cho
(H1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u + q(t)|v| + r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] × C × R,
(H2)
2−η
1−η

1
0
(1 −s)p(s)ds +
1
1−η

η
0

(η −s)p(s)ds < 1,
(H3)

1
0
[p(s) +q(s)]ds +
1
1−η

1
0
(1 −s)[p(s)+ q(s)]ds +
1
1−η

η
0
(η −s)[p(s)+ q(s)]ds < 1.
10
Khi đó bài toán giá trị biên (2.1 .1)-(2.1.2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 2.3.2. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm số
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số thực k, l ∈ [0, 1] sao cho (H2) đúng và
(
˜
H1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k
+ q(t)|v|
l

+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] ×C × R,
(
˜
H3) Q(k)A
2
+ Q(l)B
2
< 1,
ở đây
A
2
=

1
0
p(s)ds +
1
1 −η

1
0
(1 −s)p(s)ds +
1
1 −η

η
0
(η −s)p(s)ds,
B
2

=

1
0
q(s)ds +
1
1 −η

1
0
(1 −s)q(s)ds +
1
1 −η

η
0
(η −s)q(s)ds,
và Q(µ) =

0, 0 ≤ µ < 1,
1, µ = 1.
Khi đó bài toán giá trị biên (2.1.1) − (2.1 .2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 2.3.3. Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và thoả mãn điều
kiện Lipschitz trên [0, 1] × C × R như sau:
|f(t, u, v) −f(t, u, v)| ≤ θ(u − u + |v −v|),
với θ là hằng số không âm.
Nếu 2(1 +
2
1−η
)θ < 1, thì bài toán (2.1.1)-(2.1.2) có nghiệm duy nhất.

Chú ý rằng định lý 2.3.3 vẫn còn đúng đối với bài toán giá trị biên
u

+ f(t, u
t
, u

(t), λ) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,
u
0
= φ, u(1) = u(η),
(2.3.1)
trong đó λ là tham số thực và trên [0, 1]×C ×R ×R, hàm f liên tục đồng thời thoả
mãn điều kiện
|f(t, u, v, λ) −f(t, u, v, λ)| ≤ θ(u − u + |v −v|), (2.3.2)
ở đây θ là hằng số không âm sao cho
2(1 +
2
1 −η
)θ < 1. (2.3.3)
Hay nói một cách khác, nếu (2.3.2), (2.3.3) đúng thì theo định lý 2.3.3 , bài toán giá
trị biên (2.3.1) có một ng hiệm duy nhất u(t) = u(t, λ) với mỗi giá trị của λ. Định
lý sau chứng tỏ rằng nghiệm của bài toán (2.3.1) phụ thuộ c liên tục vào tham số λ,
nếu với mọi λ
1
, λ
2
ta c ó
|f(t, u, v, λ
1

) −f(t, u, v, λ
2
)| ≤ L|λ
1
− λ
2
|, (2.3.4)
ở đây L là hằng số không âm.
Định lý 2.3.4. Giả sử f : [0, 1] × C × R × R → R là hàm liên tục. Nếu (2.3.2)
-(2.3.4) đúng thì nghiệm của bài toán (2.3.1) phụ thuộc liên tục vào λ.
11
2.4 Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.3).
Định lý 2.4.1. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số k, l ∈ [0, 1] sao cho
(M1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k
+ q(t)|v|
l
+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] ×C × R,
(M2) 2

1
0
(1 −s)p(s)ds + |α|

η
0
p(s)ds < 1,

(M3) Q(k)a
2
+ Q(l)b
2
< 1,
ở đây hàm Q(µ) được cho như trong định lý 2.3.2 và
a
2
=

1
0
(2 −s)p(s)ds + |α|

η
0
p(s)ds, b
2
=

1
0
(2 −s)q(s)ds + |α|

η
0
q(s)ds.
Khi đó bài toán (2.1.1)-(2.1.3) có nghiệm.
2.5 Khảo sát bài toán giá trị đầu có đối số chậm.
Định lý 2.5.1. Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và có các hàm số

không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] sao cho
(I1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u + q(t)|v| + r(t), ∀(t, u , v) ∈ [0, 1] × C × R,
(I2)

1
0
p(s)ds +

1
0
q(s)ds < 1.
Khi đó bài toán (2.1.1)-(2.1.4) có nghiệm.
Định lý 2.5.2. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số k, l ∈ [0, 1] sao cho
(Ĩ1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k
+ q(t)|v|
l
+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] ×C × R,
(Ĩ2) Q(k)

1
0
p(s)ds + Q(l)

1

0
q(s)ds < 1,
ở đây hàm Q(µ) được cho như trong định lý 2.3.2. Thế thì bài toán (2.1.1)-(2.1.4)
có ít nhất một nghiệm.
Định lý 2.5.3. Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và thoả mãn điều
kiện Lipschitz trên [0, 1] × C × R như sau:
|f(t, u, v) −f(t, u, v)| ≤

θ(u − u + |v − v|),
với hằng số không âm

θ. Nếu 2

θ < 1, thì bài toán (2.1.1)-(2.1.4) có duy nhất nghiệm.
Bây giờ ta xét bài toán
u

+ f(t, u
t
, u

(t), λ) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,
u
0
= φ, u

(0) = 0,
(2.5.1)
trong đó λ là tham số thực và trên [0, 1] × C × R × R hàm f liên tục với tính chất
|f(t, u, v, λ) −f(t, u, v, λ)| ≤


θ(u − u + |v − v|), (2.5.2)
12
ở đây

θ là hằng số không âm thỏa mãn
2

θ < 1; (2.5.3)
|f(t, u, v, λ
1
) −f(t, u, v, λ
2
)| ≤

L|λ
1
− λ
2
|, (2.5.4)
với

L là hằng số không âm, các giá trị λ
1
, λ
2
là tuỳ ý.
Định lý 2.5.4. Giả sử f : [0, 1]×C ×R×R → R là hàm liên tục. Nếu (2.5 .2)-(2.5.4)
đúng thì nghiệm của bài toán (2.5.1) phụ thuộc liên tục vào tham số λ.
Mệnh đề 2.5.5. Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và Lipschitz địa

phương tương ứng với tập C × R, nghĩa là với mỗi (t
0
, u
0
, v
0
) ∈ [0, 1] ×C × R, luôn
tồn tại các số thực δ, ρ, σ > 0 và θ ≥ 0 sao cho
|f(t, u, v) −f(t, u, v)| ≤
θ(u − u + |v − v|),
với mọi t ∈ [0, 1], (u, v), (u, v ) ∈ C × R mà
|t −t
0
| ≤ δ, u −u
0
 ≤ ρ, u − u
0
 ≤ ρ, |v −v
0
| ≤ σ, |v − v
0
| ≤ σ.
Khi đó bài toán (2.1.1)-(2.1.4) có nhiều nhất một nghiệm.
Hệ quả 2.5.6 . Cho f : [0, 1] ×C ×R → R là hàm liên tục và Lipschitz địa phương
tương ứng với C ×R. Giả sử có các hàm không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số
k, l ∈ [0, 1] sao cho
(Ĩ1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k

+ q(t)|v|
l
+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] × C × R,
(Ĩ2) Q(k)

1
0
p(s)ds + Q(l)

1
0
q(s)ds < 1,
với Q(µ) được cho như trong định lý 2.3.2.
Khi đó bài toán (2.1.1)-(2.1.4) có nghiệm duy nhất.
Từ cá c kết quả này, ta đi đến định lý sau.
Định lý 2.5.7. Giả sử f : [0, 1] ×C ×R → R là hàm liên tục và thoả các điều kiện
(I1)-(I2) hoặc (Ĩ1)-(Ĩ2). Khi đó tập hợp nghiệm của bài toán giá trị đầu (2.1.1)-
(2.1.4) khác rỗng, compact và liên thông.
 Ta c ó lưu ý rằng, phương pháp điểm bấ t động và các kỹ thuật trong hai
chương 1 và 2 có thể vận dụng để khảo sát bài toán giá trị đầu cho phương trình
vi phân hàm cấp một có chậm. Chẳng hạn trong [N10], áp dụng định lý Schauder
và định lý ánh xạ co , sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định
tiệm cận của bài toán này được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cũng
được chỉ ra nhờ áp dụng hệ quả của định lý điểm bất động Schauder- Tycho noff
và một định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị. Mặt khác, tiếp tục áp dụng định
lý Krasnosel’skii -Perov, tính compact và liên thông của tập hợp nghiệm cũng được
xem xét.
13
Chương 3
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO

PHƯƠNG TR ÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF
3.1 Giới thiệu.
Chương này trình bày sự kết hợp của phương pháp điểm bất động, phương pháp
Galerkin và lý luận về tính compact thông dụng trong khảo sát bài toán hỗn hợp
cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff:











u
tt
− B

t, ||u||
2
0
, ||u
r
||
2
0
, ||u
t

||
2
0

(u
rr
+
1
r
u
r
)
= f(r, t, u, u
r
), 0 < r < 1, 0 < t < T,


lim
r→0
+
√
ru
r
(r, t)


< +∞, u
r
(1, t) + hu(1, t) = 0,
u(r, 0) = u

0
(r), u
t
(r, 0) = u
1
(r),
(3.1.1)
trong đó hằng số h > 0, ||u||
2
0
=
1

0
r|u(r, t)|
2
dr, ||u
r
||
2
0
=
1

0
r|u
r
(r, t)|
2
dr, ||u

t
||
2
0
=
1

0
r|u
t
(r, t)|
2
dr và các hàm số B, f, u
0
, u
1
là cho trước. Đây là bài toán tổng quát
hoá của bài toán được nghiên cứu bởi Long [Electronic J. Diff. Equat., 2005, 138,
pp. 1-18], cũng là sự tiếp nối của các công trình liên quan đến phương trình sóng
của Long và các tác giả . Trong các chứng minh về tồn tại nghiệm của bài toán này,
một hệ quả của nguyên lý ánh xạ co sau đây được sử dụng:
Định lý Banach: (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985)
Cho (Ω, d) là một không gian metric đầy đủ và toán tử F : Ω → Ω. Nếu tồn tại
k ∈ (0, 1) và số tự nhiên m ≥ 1 sao cho d(F
m
x, F
m
y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ Ω thì
F có duy nhất một điểm bất động z và với mỗi x ∈ Ω cho trước, F
n

x → z khi
n → ∞.
Trong chương này, trước hết bài toán (3.1.1) được liên kết với việc xây dựng một
dãy lặp tuyến tính bị chặn trong một không gian hàm thích hợp. Sự tồn tại nghiệm
địa phương được chứng minh dựa vào định lý Banach và lý luận về tính compact
thông dụng. Từ đó, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán. Tiếp theo, bài toán (3.1.1) được xét với f ∈ C
2
([0, 1] ×R) và
B ∈ C
1
(R
+
), b
0
≤ B(z) ≤ d
0
z
p
+

d
0
, |B

(z)| ≤ d
1
z
p−1
+


d
1
, trong đó b
0
> 0, p > 1,
và d
0
,

d
0
, d
1
,

d
1
≥ 0 là các hằng số cho trước. Ở đây, phương trình (3.1.1)
1
được liên
kết với một dãy quy nạp phi tuyến {u
m
}. Khi đó, sự hội tụ bậc hai của dãy {u
m
} về
nghiệm của (3.1.1) sẽ được nhận. Cuối cùng, với B ∈ C
N+1
(R
4

+
), B
1
∈ C
N
(R
4
+
), B ≥
b
0
> 0, B
1
≥ 0, f ∈ C
N+1
([0, 1] × R
+
× R
2
) và f
1
∈ C
N
([0, 1] × R
+
× R
2
), chúng tôi
14
thu được một khai triển tiệm cận theo ε (đủ nhỏ) đến cấp N + 1 của nghiệm yếu

u
ε
(r, t) của bài toán (3.1.1), mà trong đó f được thay bởi f + εf
1
và B được thay
bởi B + εB
1
. Các kết quả trình bày ở đây được công bố trong [N5, N6] và gửi công
bố trong [N7].
3.2 Các không gian hàm và kết quả chuẩn bị.
Đặt Ω = (0, 1). Ta bỏ qua định nghĩa của không gian hàm thông dụng C
m
(Ω).
Với mỗi hàm v ∈ C
0
(Ω) ta định nghĩa v
0
=


1
0
rv
2
(r)dr

1/2
và định nghĩa V
0
là

đầy đủ hoá của không gian C
0
(
Ω) với chuẩn ·
0
. Tương tự, với mỗi hàm v ∈ C
1
(Ω)
ta định nghĩa v
1
=

||v||
2
0
+ ||v

||
2
0

1/2
và định nghĩa không gian V
1
là đầy đủ hoá
của không gian C
1
(Ω) tương ứng với chuẩn ·
1
. Ta chú ý rằng các chuẩn  ·

0
và
 · 
1
có thể được định nghĩa lần lượt từ các tích vô hướng u, v =

1
0
ru(r)v(r)dr
và u, v + u

, v

. Khi đó V
0
và V
1
là các không gian Hilbert với các tích vô hướng
tương ứng như trên. Mặt khác, V
1
được nhúng liên tục và nằm trù mật trong V
0
.
Đồng nhất V
0
với V

0
(đối ngẫu của V
0

), ta có V
1
→ V
0
≡ V

0
→ V

1
. Ngoài ra, ký
hiệu ·, · cũng được dùng để chỉ cặp đối ngẫu giữa V
1
và V

1
. Ta có các kết quả sau:
Bổ đề 3.2.1. Tồn tại hai hằng số dương K
1
và K
2
sao cho với mọi v ∈ C
1
(Ω),
(i) v


2
0
+ v

2
(1) ≥ v
2
0
,
(ii) |v(1)| ≤ K
1
v
1
,
(iii)
√
r |v(r)| ≤ K
2
v
1
, ∀r ∈ Ω.
Chú ý 3.1. Ta có lim
r→0
+
√
rv(r) = 0, ∀v ∈ V
1
, xem [Adams, Sobolev Spaces, 1975].
Mặt khác, với 0 < ε < 1, vì H
1
(ε, 1) → C
0
([ε, 1]) và
√

ε v
H
1
(ε,1)
≤ v
1
, ∀v ∈ V
1
,
nên v|
[ε,1]
∈ C
0
([ε, 1]). Suy ra
√
rv ∈ C
0
(Ω) vớ i mọi v ∈ V
1
.
Bổ đề 3.2.2. Phép nhúng V
1
→ V
0
là compact.
Bây giờ với mỗi h > 0, ta đặt
a(u, v) = hu(1)v(1) +

1
0

ru

(r)v

(r)dr, ∀u, v ∈ V
1
. (3.2.1)
Nhờ định lý Lax-Milgram, tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A :
V
1
→ V

1
sao cho a(u, v) = Au, v với mọi u, v ∈ V
1
. Ta có các bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.3. Dạng song tuyến tính đối xứng a(·, ·) định nghĩa bởi (3.2.1) là ánh xạ
liên tục trên V
1
× V
1
và là ánh xạ bức, nghĩa là với mọi u, v ∈ V
1
,
(i) |a(u, v)| ≤ C
1
u
1
v
1

,
(ii) a(v, v) ≥ C
0
v
2
1
,
ở đây C
0
=
1
2
min{1, h} và C
1
= 1 + (1 +
√
2)h.
15
Bổ đề 3.2.4. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {w
j
} của V
0
gồm các hàm r iêng
w
j
tương ứng với các giá trị riêng λ
j
sao cho
(i) 0 < λ
1

≤ λ
j
↑ +∞ khi j → ∞,
(ii) a( w
j
, v) = λ
j
 w
j
, v với mọi v ∈ V
1
và j ∈ N.
Hơn nữa hệ {w
j
/

λ
j
} cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của V
1
tương ứng với tích
vô hướng a(·, ·).
Mặt khác hàm w
j
cũng thoả mãn bài toán giá trị biên










A w
j
≡
−1
r
d
dr
(r
d w
j
dr
) = λ
j
w
j
trong Ω,




lim
r→0
+
√
r
d w

j
dr
(r)




< +∞,
d w
j
dr
(1) + h w
j
(1) = 0.
Với mỗi v thuộc C
2
(Ω), ta đặt v
2
=

||v||
2
0
+ ||v

||
2
0
+ ||Av||
2

0

1/2
và định nghĩa
V
2
là đầy đủ hoá của không gian C
2
(Ω) đối với chuẩn  · 
2
. Cũng chú ý rằng V
2
cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng u, v + u

, v

 + Au, Av. Mặt
khác V
2
cũng có thể được định nghĩa bởi V
2
= {v ∈ V
1
: Av ∈ V
0
}. Khi đó:
Bổ đề 3.2.5. Phép nhúng V
2
→ V
1

là compact.
Bổ đề 3.2.6. Với mọi v ∈ V
2
, ta có
(i) v


L
∞
(Ω)
≤
1
√
2
Av
0
,
(ii) v


0
≤

3
2
Av
0
,
(iii) v
2

L
∞
(Ω)
≤

2 v
0
+
1
√
2
Av
0

v
0
.
Bổ đề 3.2.7. Với mọi u ∈ V
1
và v ∈ V
0
, ta có

u
2
, |v|

≤ 2(1 +
√
2) u

2
1
v
0
.
Chứng minh bổ đề 3.2.4 có thể tìm thấy trong [Showalter, Hilbert space methods
for partial differential equations, Electronic J. Diff. Equat., Monograph 01, 1994],
bổ đề 3.2.3 dễ dàng chứng minh, còn các bổ đề còn lại có thể tìm thấy trong [Bình,
Định và Long, Ma th. Comp. Modelling, 34 (2001), pp. 541-556].
Với mỗi không gian Banach X, ta sẽ ký hiệu chuẩn trên X là ||.||
X
và X

là đối
ngẫu của X. Ký hiệu L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach gồm tất cả các
hàm đo được u : (0, T ) → X sa o cho
u
L
p
(0,T ;X)
=


T
0
u(t)
p
X

dt

1/p
< ∞ với 1 ≤ p < ∞,
u
L
∞
(0,T ;X)
= ess sup
0<t<T
u(t)
X
với p = ∞.
Ta ký hiệu u(t), u

(t) = u
t
(t) = ˙u(t), u

(t) = u
tt
(t) = ¨u(t), u
r
(t) = ∇u(t), u
rr
(t) để
lần lượt chỉ u(r, t),
∂u
∂t
(r, t),

∂
2
u
∂t
2
(r, t),
∂u
∂r
(r, t),
∂
2
u
∂r
2
(r, t).
16
3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Trong mục này, bài toán (3.1.1) được xét với các giả thiết:
(H
1
) u
1
∈ V
1
và u
0
∈ V
2
,
(H

2
) B ∈ C
1
(R
4
+
) với B(t, ξ, η, λ) ≥ b
0
> 0 với mọi t, ξ, η, λ ≥ 0,
(H
3
) f ∈ C
0
(Ω ×R
+
× R
2
) và ∂f/∂r, ∂f/∂u, ∂f/∂u
r
∈ C
0
(Ω ×R
+
× R
2
).
Với M > 0 và T > 0 cho trước tuỳ ý, ta đặt:
W (M, T ) =

v ∈ L

∞
(0, T ; V
2
) : ˙v ∈ L
∞
(0, T ; V
1
) và ¨v ∈ L
2
(0, T ; V
0
),
với v
L
∞
(0,T ;V
2
)
, ˙v
L
∞
(0,T ;V
1
)
, ¨v
L
2
(0,T ;V
0
)

≤ M

,
W
1
(M, T ) = {v ∈ W(M, T ) :
··
v ∈ L
∞
(0, T ; V
0
)}.
Với sự lựa chọn M > 0 và T > 0 thích hợp, ta sẽ xây dựng một dãy quy nạp tuyến
tính {u
m
} hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (3.1.1). Trước hết ta chọn u
0
≡ 0, giả
sử
u
m−1
∈ W
1
(M, T ), (3.3.1)
và liên kết bài toán (3.1.1) với bài toán biến phân: Tìm u
m
∈ W
1
(M, T ) (m ≥ 1)
sao cho


¨u
m
(t), v + b
m
(t)a(u
m
(t), v) = F
m
(t), v, ∀v ∈ V
1
,
u
m
(0) = u
0
, ˙u
m
(0) = u
1
,
(3.3.2)
ở đây



b
m
(t) = B


t, u
m−1
(t)
2
0
, u
m−1
(t)
2
0
,



·
u
m−1
(t)



2
0

,
F
m
(r, t) = f(r, t, u
m−1
(t), u

m−1
(t)).
(3.3.3)
Khi đó ta có các định lý sau.
Định lý 3.3.1. Giả sử (H
1
) −(H
3
) đúng. Khi đó tồn tại hằng số M > 0 phụ thuộc
vào u
0
, u
1
, B, h và hằng số T > 0 phụ thuộc vào u
0
, u
1
, B, h, f, sao cho với u
0
≡ 0,
tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính {u
m
} ⊂ W
1
(M, T ) xác định bởi (3.3.2) - (3.3.3).
Ý tưởng chứng minh định lý này dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin được giới
thiệu bởi Lions (Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-
linéaires, 1969), trước hết là thiết lập dãy xấp xỉ Ga lerkin {u
(k)
m

}, tiếp đến là đánh
giá tiên nghiệm, cuối cùng qua giới hạn nhờ vào lý luận về tính compact, ta thu
được u
m
∈ W
1
(M, T ) là nghiệm của bài toán (3.3.2) - (3.3.3). Trong đó, ở bước xấp
xỉ Galerkin, ta xét cơ sở trực chuẩn w
j
= w
j
/

λ
j
của V
1
như trong bổ đề 3.2.4 và
đặt:
u
(k)
m
(t) =
k

j=1
c
(k)
mj
(t)w

j
, (3.3.4)
17
trong đó c
(k)
mj
thoả mãn hệ phương trình vi phân tuyến tính






··
u
(k)
m
(t), w
j

+ b
m
(t)a

u
(k)
m
(t), w
j


= F
m
(t), w
j
, 1 ≤ j ≤ k,
u
(k)
m
(0) = u
0k
,
·
u
(k)
m
(0) = u
1k
,
(3.3.5)
ở đây









u

0k
=
k

j=1
α
(k)
j
w
j
→ u
0
mạnh trong V
2
,
u
1k
=
k

j=1
β
(k)
j
w
j
→ u
1
mạnh trong V
1

.
(3.3.6)
Với giả thiết u
m−1
thoả (3.3.1), ta có bổ đề sau mà chứng minh của nó được thực
hiện bởi việc áp dụng định lý Banach nêu trong mục 3.1.
Bổ đề 3.3.2. Giả sử (H
1
) − (H
3
) đúng. Khi đó với các hằng số M > 0, T > 0
cố định, hệ phương trình (3.3 .5)-(3.3.6) có duy nhất một nghiệm u
(k)
m
(t) trên đoạn
0 ≤ t ≤ T .
Định lý 3.3.3. Giả sử (H
1
) −(H
3
) đúng. Khi đó
(i) Tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho bài toán (3.1.1) có duy nhất một
nghiệm yếu u ∈ W
1
(M, T ).
(ii) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {u
m
} xác định bởi (3.3.2)-(3.3.3) hội tụ mạnh
về nghiệm u của bài toán (3.1.1) trong không gian
W

1
(T ) = {v ∈ L
∞
(0, T ; V
1
) :
·
v ∈ L
∞
(0, T ; V
0
)}.
Hơn nữa, ta có ước lượng sau:
u
m
− u
L
∞
(0,T ;V
1
)
+



·
u
m
−
·

u



L
∞
(0,T ;V
0
)
≤
M
1 −k
T
k
m
T
, ∀m ≥ 1,
ở đây hằng số k
T
< 1.
Chú ý 3.2. Trường hợp B ≡ 1, một số kết quả đã nhận được trong các công trình
của [Định, Long (1986), Demonstratio Math., 19, pp. 45-63] và [Long, Diễm (1997),
Nonlinear Anal., 29, pp. 1217-1230]. Trong đó phương trình (3.1.1) được xét bởi
Long, Diễm không chứa số hạng
1
r
u
r
và f ∈ C
1

(Ω ×R
+
× R
2
). Kết quả thu được ở
trên không cần đến giả thiết f ∈ C
1
(Ω ×R
+
× R
2
).
Chú ý 3.3. Kết quả thu được cho thấy sự hội tụ và đánh giá sai số của dãy quy
nạp tuyến tính {u
m
} chỉ là cấp 1. Để tăng tốc độ hội tụ, chúng tôi sẽ tìm kiếm một
điều kiện đủ cho một bài toán kém tổng quát hơn, dĩ nhiên bằng mộ t thuật giải
tinh tế hơn với một dãy lặp được thiết lập kiểu khác theo cách trình bày dưới đây.
3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u), B = B(z).
Trong mục này, bài toán (3.1.1) được xét với f = f(r, u), B = B(z) và các điều
kiện như sau:
18
(H
4
) B ∈ C
1
(R
+
) sao cho tồn tại các hằng số b
0

> 0, d
0
,

d
0
, d
1
,

d
1
≥ 0, p > 1 thoả
mãn
(i) b
0
≤ B(z) ≤ d
0
z
p
+

d
0
, ∀z ≥ 0,
(ii) |B

(z)| ≤ d
1
z

p−1
+

d
1
, ∀z ≥ 0.
(H
5
) f ∈ C
2
(Ω ×R).
Với các hằng số M > 0 và T > 0 thích hợp sẽ được chọn sau, ta xây dựng dãy lặp
{u
m
} bởi quy tắc sau: Cho trước u
0
≡ 0, giả sử rằng
u
m−1
∈ W
1
(M, T ), (3.4.1)
và liên kết bài toán (3.1.1) với bài toán biến phân: Tìm u
m
∈ W
1
(M, T ) (m ≥ 1)
sao cho



··
u
m
(t), v

+ b
m
(t)a(u
m
(t), v) =  F
m
(t), v ∀v ∈ V
1
,
u
m
(0) = u
0
,
·
u
m
(0) = u
1
,
(3.4.2)
ở đây

b
m

(t) = B

∇u
m
(t)
2
0

,
F
m
(r, t) = f
m
(r, t, u
m
) = f(r, u
m−1
) + (u
m
− u
m−1
)
∂f
∂u
(r, u
m−1
),
(3.4.3)
với f
m

(r, t, u) = f(r, u
m−1
) + (u −u
m−1
)
∂f
∂u
(r, u
m−1
).
Định lý 3.4.1. Giả sử (H
1
) và (H
4
) −(H
5
) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số dương
M, T và một dãy quy nạp phi tuyến {u
m
} ⊂ W
1
(M, T ) xác định bởi (3.4.2) - (3.4.3).
Chứng minh định lý này được thực hiện tương tự như với định lý 3.3.1, thông
qua hai bổ đề (Bổ đề 3.4.2 , 3.4.3). Ở đây trong bước xấp xỉ Galerkin định lý Banach
được sử dụng lần nữa để chứng minh bổ đề thứ nhất về tồn tại nghiệm địa phương.
Sau đó, bằng cách giải một bất phương trình Voltera phi tuyến, bổ đề còn lại được
chứng minh và bước đánh giá tiên nghiệm hoàn thành. Kết quả sau đây cho ta sự
hội tụ cấp hai của dãy {u
m
} về nghiệm yếu của bài toán (3.1.1).

Định lý 3.4.2. Giả sử (H
1
), (H
4
) − (H
5
) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0
và T > 0 sao cho
(i) Bài toán (3.1.1) có duy nhất một nghiệm yếu u ∈ W
1
(M, T ).
(ii) Mặt khác, dãy quy nạp phi tuyến {u
m
} xác định bởi (3.4.2), (3.4.3) hội tụ cấp
hai về nghiệm u của bài toán (3.1.1) mạnh trong không gian W
1
(T ) theo nghĩa
u
m
− u
W
1
(T )
≤ C u
m−1
− u
2
W
1
(T )

, (3.4.4)
ở đây C là một hằng số thích hợp. Hơn nữa ta cũng có ước lượng
u
m
− u
W
1
(T )
≤
1
µ
T
(1 −β)
−1
β
2
m
với mọi m, (3.4.5)
trong đó µ
T
là hằng số hoàn toàn xác định được và β = 2Mµ
T
< 1.
19
Chú ý 3.4. Định lý 3.4.2 đã tổng quát hoá kết quả trong [Bình, Định và Long
(2001), Math. Comp. Modelling, 34, pp. 541-556] với B ≡ 1 và trong [Long (20 05 ),
Electronic J. Diff. Equat., 138, pp. 1-18] với B(z) = z +

d
0

, trong đó

d
0
> 0 là một
hằng số cho trước.
3.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé.
Trong mục này, ngoài giả thiết (H
1
) −(H
3
), ta thành lập thêm các giả thiết sau
(H
6
) B
1
∈ C
1
(R
4
+
) với tính chất B
1
(t, ξ, η, λ) ≥ 0 với mọi t, ξ, η , λ ≥ 0,
(H
7
) f
1
thoả giả thiết (H
3

).
Xét bài toán nhiễu sau, ở đây ε là một tham số đủ nhỏ, |ε| ≤ 1 :
(P
ε
)




























u
tt
− B
ε
(t, u
2
0
, u
r

2
0
, u
t

2
0
)

u
rr
+
1
r
u
r

= F

ε
(r, t, u, u
r
),
0 < r < 1, 0 < t < T,




lim
r→0
+
√
ru
r
(r, t)




< ∞, u
r
(1, t) + hu(1, t) = 0,
u(r, 0) = u
0
(r), u
t
(r, 0) = u
1
(r),

F
ε
(r, t, u, u
r
) = f(r, t, u, u
r
) + εf
1
(r, t, u, u
r
),
B
ε

t, u
2
0
, u
r

2
0
, u
t

2
0

= B


t, u
2
0
, u
r

2
0
, u
t

2
0

+εB
1

t, u
2
0
, u
r

2
0
, u
t

2
0


.
Định lý 3.5.1. Với các giả thiết (H
1
) − (H
3
), (H
6
), (H
7
), tồn tại các hằng số
M > 0 và T > 0 sao cho với mỗi ε, |ε| ≤ 1, bài toán (P
ε
) có duy nhất một nghiệm
yếu u
ε
∈ W
1
(M, T ) thoả mãn một đánh giá tiệm cận
u
ε
− u
0

L
∞
(0,T ;V
1
)
+




·
u
ε
−
·
u
0



L
∞
(0,T ;V
0
)
≤ C |ε|, (3.5.1)
ở đây u
0
là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P
0
) ứng với ε = 0 thoả u
0
∈ W
1
(M, T )
và C là một hằng số không phụ thuộc vào ε.
Kết quả tiếp theo sẽ cho một khai triển tiệm cận đến cấp N +1 theo ε của nghiệm

yếu u
ε
của bài toán (P
ε
). Ta sử dụng thêm các ký hiệu:
f[u] = f(r, t, u, u
r
), B[u] = B(t, ||u(t)||
2
0
, ||u
r
(t)||
2
0
, ||
·
u(t)||
2
0
);
f = f(r, t, u, u
r
), D
1
f = ∂f/∂r, D
3
f = ∂f/∂u, D
4
f = ∂f/∂u

r
;
B = B(t, ξ, η, λ), D
2
B = ∂B/∂ξ, D
3
B = ∂B/∂η, D
4
B = ∂B/∂λ,
và bổ sung thêm cá c giả thiết sau:
(H
8
) B ∈ C
N+1
(R
4
+
), B
1
∈ C
N
(R
4
+
), B(t, ξ, η, λ) ≥ b
0
> 0, B
1
(t, ξ, η, λ) ≥ 0, với mọi
t, ξ, η, λ ≥ 0,

(H
9
) f ∈ C
N+1
(
Ω ×R
+
× R
2
), f
1
∈ C
N
(Ω ×R
+
× R
2
).
20
Gọi u
0
∈ W
1
(M, T ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P
0
) ứng với ε = 0. Giả sử
u
1
, u
2

, , u
N
∈ W
1
(M, T ), trong đó các hằng số M > 0 và T > 0 được chọn thích
hợp, lần lượt là các nghiệm yếu duy nhất của các bài toán (Q
i
), i = 1, 2, , N dưới
đây.
(Q
i
)









··
u
i
+ B[u
0
]Au
i
=


F
i
[u
i
], 0 < r < 1, 0 < t < T,




lim
r→0
+
√
ru
ir
(r, t)




< +∞, u
ir
(1, t) + hu
i
(1, t) = 0,
u
i
(r, 0) =
·
u

i
(r, 0) = 0, i = 1, 2, , N,
trong đó

F
i
[u
i
] = π
i
[f] + π
i−1
[f
1
] −
i

k=1
(ρ
k
[B] + ρ
k−1
[B
1
]) Au
i−k
, (3.5.2)
với π
0
[f] = f[u

0
], ρ
0
[B] = B[u
0
] và π
i
[f] = π
i
[f, u
0
, u
1
, , u
i
], ρ
i
[B] = ρ
i
[B, u
0
, u
1
, , u
i
],
1 ≤ i ≤ N được định nghĩa theo công thức quy nạp sau:
π
i
[f] =

i−1

k=0
i −k
i
{π
k
[D
3
f]u
i−k
+ π
k
[D
4
f](u
i−k
)
r
}, (3.5.3)
ρ
i
[B] =
2
i
i−1

k=0
i−k−1


j=0
(i −k −j){ρ
k
[D
2
B] u
j
, u
i−k−j

+ ρ
k
[D
3
B]

u
jr
, (u
i−k−j
)
r

+ ρ
k
[D
4
B]

·

u
j
,
·
u
i−k−j

}.
(3.5.4)
Giả sử u
ε
∈ W
1
(M, T ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P
ε
). Ta suy ra v =
u
ε
−
N

i=0
ε
i
u
i
≡ u
ε
− U thoả bài toán biến phân














··
v + B
ε
[v + U]Av = F
ε
[v + U] − F
ε
[U]
−(B
ε
[v + U] − B
ε
[U] ) AU + E
ε
(r, t), 0 < r < 1, 0 < t < T,





lim
r→0
+
√
rv
r
(r, t)




< ∞, v
r
(1, t) + hv(1, t) = 0,
v(r, 0) =
·
v(r, 0) = 0,
(3.5.5)
ở đây
E
ε
(r, t) = F
ε
[U] − f[u
0
] −(B
ε
[U] − B[u
0

]) AU −
N

i=1
ε
i

F
i
[u
i
]. (3.5.6)
Khi đó ta có hai bổ đề sau.
21
Bổ đề 3.5.2. Các hàm π
i
[f], ρ
i
[B], 0 ≤ i ≤ N định nghĩa như trên thoả
π
i
[f] =
1
i!
∂
i
∂ε
i
(f[U])





ε=0
, 0 ≤ i ≤ N, (3.5.7)
ρ
i
[B] =
1
i!
∂
i
∂ε
i
(B[U] )




ε=0
, 0 ≤ i ≤ N. (3.5.8)
Bổ đề 3.5.3. Giả sử (H
1
), (H
2
), (H
8
) và (H
9
) đúng. Khi đó tồn tại một hằng số


K sao cho
E
ε

L
∞
(0,T ;V
0
)
≤

K |ε|
N+1
, (3.5.9)
ở đây

K là hằng số hoàn toàn được xác định.
Ngoài ra, dễ dàng chứng minh được:
Bổ đề 3.5.4. Cho dãy {ζ
m
} thoả mãn
ζ
m
≤ σζ
m−1
+ δ với mọi m ≥ 1, ζ
0
= 0, (3.5.10)
trong đó 0 ≤ σ < 1, δ ≥ 0 là các hằng số cho trước. Khi đó

ζ
m
≤ δ/(1 − σ) với mọi m ≥ 1. (3.5.11)
Từ đó, ta thu được định lý sa u.
Định lý 3.5.5. Giả sử các giả thiết (H
1
), (H
2
), (H
8
) và (H
9
) đúng. Khi đó tồn tại
các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho với mọi ε mà |ε| ≤ 1, bài toán (P
ε
) có duy nhất
một nghiệm yếu u
ε
∈ W
1
(M, T ), thỏa mãn một đánh giá tiệm cận đến cấp N + 1
như sau
||
·
u
ε
−
N

i=0

ε
i
·
u
i
||
L
∞
(0,T ;V
0
)
+ ||u
ε
−
N

i=0
ε
i
u
i
||
L
∞
(0,T ;V
1
)
≤ C
T
|ε|

N+1
, (3.5.12)
trong đó C
T
là hằng số thích hợp, u
0
, u
1
, , u
N
lần lượt là các nghiệm yếu của các
bài toán (P
0
), (Q
1
), , (Q
N
), tương ứng.
 Ta có lưu ý rằng, phương pháp điểm bất động thường được áp dụng để tìm
nghiệm xấp xỉ Galerkin của cá c bài toán biên phi tuyến và tuỳ theo dạng cụ thể
của các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán mà các định lý điểm bất động
Brouwer, Banach, Schauder, v.v. sẽ được lựa chọn thích hợp. Bằng phương pháp
này, ngoài việc xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm như trong chương 3, ta còn có
thể xét cấu trúc tập nghiệm của bài toán. Chẳng hạn, áp dụng định lý Schauder và
định lý Krasnosel’skii - Perov, chúng tôi đã chứng minh được tập các nghiệm của
các bài toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng trong [N3, N9] là tập khác
rỗng, compact và liên thông.
22
KẾT LUẬN
Trong luận á n này, chúng tôi sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với

lý luận về tính compact thông dụng để khảo sát các bài toán thuộc lý thuyết phương
trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng. Đó là phương trình tích phân phi tuyến
dạng Volterra ở chương 1, bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi
phân hàm cấp hai có đối số chậm ở chương 2 và ở chương 3 là bài toán hỗn hợp cho
phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị.
Những kết quả mới thu được trong luận án bao gồm:
1. - Chứng minh một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii.
- Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii ở trên để chứng minh sự tồn
tại nghiệm và hơn nữa là sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích
phân phi tuyến dạng Volterra sau đây
x(t) = q(t) + f(t, x(t)) +

t
0
V (t, s, x(s))ds
+

t
0
G(t, s, x(s))ds, t ∈ R
+
.
- Chứng tỏ tập nghiệm của phương trình tích phân đang xét là tập compact, liên
thông.
- Minh họa các kết quả thu được qua các ví dụ.
- Cho các điều kiện để nhận được sự tồn tại nghiệm, s ự tồn tại nghiệm ổn định
tiệm cận và tính compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình tích phân
phi tuyến dạng Volterra trong trường hợp tổng quát hơn như sau
x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) +


t
0
V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds
+

t
0
G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R
+
.
2. - Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục
của nghiệm của bài toá n ba điểm biên sau đây cho phương trình vi phân hàm cấp
hai có đối số chậm
u

+ f(t, u
t
, u

(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,
u
0
= φ, u(1) = u(η),
trong đó φ ∈ C, 0 < η < 1.
- Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bà i toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn
hợp cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm thuộc dạng
u

+ f(t, u
t

, u

(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,
u
0
= φ, u(1) = α[u

(η) − u

(0)],
với φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R.
- Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục
23