Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN VIẾT CHIẾN
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA
CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN
Hà Nội – Năm 2015
Mục lục
Mở đầu 2
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . 12
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất
bị hút bám với điều kiện biên Neumann. 24
2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
Mở đầu
Năm 1990, Jakubith đã nghiên cứu quá trình oxy hóa phân tử CO trên bề
mặt nguyên tử Pt(110). Ông khám phá ra rằng trên bề mặt nguyên tử Pt, quá
trình các phân tử CO hấp thụ nguyên tử O để tạo ra phân tử khí Cacbonic diễn
ra rất phức tạp. Vì vậy, để hiểu được cơ chế của các hiện tượng trên, Hildebrand
- Kuperman - Wio - Mikhailov - Ertl [2] và Hildebrand - Ipsen - Mikhailov - Ertl
[1] đã trình bày một mô hình động lực học đơn giản của phản ứng đó có tên gọi
là mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám. Nội dung của luận văn
là nghiên cứu mô hình trên với điều kiện biên Neumann.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số khái niệm
và kết quả bao gồm: Định nghĩa về các không gian hàm cơ bản; Định nghĩa toán
tử quạt và tính chất liên quan; Các định lý nhúng; Bài toán Cauchy cho phương
trình tiến hóa tựa tuyến tính.
Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha
của chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann. Nội dung của chương
này là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình hiệu ứng biến đổi
pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann, gồm hai bước: Đầu tiên,
ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương bằng cách viết lại mô hình trên về
dạng bài toán Cauchy trừu tượng. Sau đó, ta xây dựng đánh giá tiên nghiệm
cho các nghiệm địa phương, sử dụng đánh giá đó chứng minh sự tồn tại nghiệm
toàn cục của mô hình đã cho.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[3] và [5].
2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc
của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Viết Chiến
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên
quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sử
dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Cuối
cùng, ta trình bày bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính.
Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [5].
1.1 Những không gian hàm cơ bản
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các không gian Banach, và tập mở Ω ⊂ X . Ta
có định nghĩa các không gian hàm cơ bản sau.
R
n
=


x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n

.
R
n
+
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n, x
i
> 0

.

C([a, b]; X) =

f : [a, b] → X : f liên tục trên [a, b]

.
C
m
([a, b]; X) =

f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m

.
L(X, Y ) =

f : X → Y : f tuyến tính liên tục

.
L
p
(Ω) =

f đo được trên Ω :

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞

, p ≥ 1.
L

∞
(Ω) =

f đo được trên Ω : ess sup
Ω
|f| < +∞

,
với ess sup
Ω
|f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω.
L
p
loc
(Ω) =

f đo được trên Ω : f ∈ L
p
(Ω

), ∀Ω

compact
⊂ Ω

.
4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian Banach.
a) Kí hiệu B ([a, b] ; X) =


u : [a, b] → X : u bị chặn trên [a, b]

. Khi đó B ([a, b] ; X)
là không gian Banach với chuẩn
u
B
= sup
a≤t≤b
u(t) , ∀u ∈ B ([a, b] ; X) .
b) Cho η > 0, không gian B
−η
{a}
((a, b] ; X) =

u : (a, b] → X : (t − a)
η
u ∈ B ((a, b] ; X)

.
Không gian trên được trang bị chuẩn
u
B
−η
{a}
= sup
a<t≤b
(t − a)
η
u(t) =



(t − a)
η
u


B
.
Định nghĩa 1.3. Cho Ω ⊂ R
n
là một tập mở.
a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|
γ
, x, y ∈ Ω; 0 < γ ≤ 1.
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
b) Không gian C

¯
Ω

=

u : Ω → R : u bị chặn và liên tục trên Ω

với chuẩn
u
C(Ω)

:= sup
x∈Ω
|u(x)|.
c) Cho m = 0, 1, 2, và số mũ σ thỏa 0 < σ < 1, không gian
C
m,σ
([a, b] , X) =

u ∈ C
m
([a, b] , X) : u
(m)
(t) liên tục H¨older bậc σ

.
Không gian trên được trang bị chuẩn
u
C
m,σ
= u
C
m
+ sup
a≤s<t≤b


u
(m)
(t) − u
(m)

(s)


|t − s|
σ
.
d) Cho 0 < σ < 1, không gian
C
σ
{a}
([a, b] ; X) =

u : [a, b] → X : u liên tục H¨older bậc σ tại x = a

.
Ta định nghĩa chuẩn của không gian trên là
u
C
σ
{a}
= u
C
+ sup
a<t≤b
u(t) − u(a)
(t − a)
σ
, ∀u ∈ C
σ
{a}

([a, b] ; X) .
Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F
β,σ
((a, b]; X).
Cho (X, .) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1. Không gian
F
β,σ
((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:
5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(1) Khi β < 1, (t − a)
1−β
F (t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)
1−β+σ
, nghĩa là
sup
a≤s<t≤b
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
= sup
a≤t≤b
sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)

(t − s)
σ
< ∞.
(3) Khi t → a thì
ω
F
(t) = sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
→ 0.
Không gian F
β,σ
((a, b]; X) cùng với chuẩn
F 
F
β,σ
= sup
a≤t≤b
(t − a)
1−β
F (t) + sup
a≤s<t≤b
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)

σ
là một không gian Banach.
Sau đây, ta sẽ định nghĩa lớp không gian Sobolev. Trước tiên, chúng ta tìm
hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử thuộc không gian L
1
loc
(Ω).
Định nghĩa 1.4. Với một hàm u ∈ L
1
loc
(Ω), ta nói rằng v ∈ L
1
loc
(Ω) là đạo hàm
yếu của u ứng với biến x
j
, ký hiệu v = D
j
u, nếu

Ω
vφ dx = −

Ω
u
∂φ
∂x
j
dx,
với mọi φ ∈ C

∞
c
(Ω). Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa
đạo hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L
1
loc
(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu
cấp α của u, viết là v = D
α
u, nếu

Ω
D
α
uφ dx = (−1)
|α|

Ω
uD
α
φ dx,
với mọi φ ∈ C
∞
0
(Ω).
Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau
W
k,p
(Ω) =


u : D
α
u ∈ L
p
(Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k

,
với chuẩn
u
W
k,p
=



0≤|α|≤k
D
α
u
p
L
p


1/p
.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Không gian Sobolev W
k,p

(Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach
khả ly. Trường hợp p = 2, ký hiệu H
k
(Ω) = W
k,2
(Ω). Người ta chọn ký hiệu này
vì H
k
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau
(u, v)
H
k
=

0≤|α|≤k
(D
α
u, D
α
v)
L
2
, u, v ∈ H
k
(Ω).
Khi đó, chuẩn của H
k
(Ω) được xác định bởi công thức
u
H

k
=



0≤|α|≤k
D
α
u
2
L
2


1
2
.
Tiếp tục, ta định nghĩa không gian H
s
p
(Ω) với s là một số không âm. Khi Ω = R
n
H
s
p
(R
n
) =

u ∈ S(R

n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s/2
Fu] ∈ L
p
(R
n
)

,
ở đây S(R
n
)

là không gian các hàm suy rộng, F và F
−1
lần lượt là biến đổi
Fourier và biến đổi ngược Fourier trên S(R
n
)

. Không gian H
s
p

(R
n
) là không gian
Banach với chuẩn
u
H
s
p
= F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s/2
Fu
L
p
, u ∈ H
s
p
(R
n
).
Hơn nữa, khi s = k thì H
k
p
(R
n
) = H
s

p
(R
n
). Khi Ω = R
n
+
hoặc Ω là một miền bị
chặn trong R
n
với biên Lipschitz, ta định nghĩa
H
s
p
(Ω) =

u ∈ L
p
(Ω) : ∃U ∈ H
s
p
(R
n
), U
|Ω
= u,

.
Không gian H
s
p

(Ω) là không gian Banach với chuẩn
u
H
s
p
(Ω)
= inf
U∈H
s
p
(R
n
),U
|Ω
=u
U
H
s
p
(R
n
)
.
1.1.2 Định lý nhúng
Định lý 1.1 (Định lí 1.36 [5]). Giả sử Ω là R
n
, R
n
+
hoặc một miền bị chặn với

biên Lipschitz. Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞.
1. Nếu 0 ≤ s <
n
p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục, (1.1)
ở đây p ≤ r ≤
pn
n − ps
.
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
2. Nếu s =
n
p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục, (1.2)
ở đây p ≤ r < ∞.
3. Nếu s >
n

p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂







C(R
n
)(tương ứng C(R
n
+
)) khi Ω = R
n
(tương ứng R
n
+
),
C(Ω) khi Ω bị chặn .
(1.3)
Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục.
Từ Định lý 1.1, Định lý 1.37 [5] và bất đẳng thức H¨older trong không gian
L
p

, ta thu được các đánh giá thường được dùng sau. Giả sử Ω là R
n
, R
n
+
hoặc
một miền bị chặn với biên Lipschitz. Cho 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thỏa
1
p
+
1
q
=
1
r
, ta có
đánh giá
uv
L
r
≤ u
L
p
v
L
q
, u ∈ L
p
(Ω), v ∈ L
q

(Ω). (1.4)
Khi 0 ≤ s < 1, H
s
(Ω) ⊂ L
p
(Ω), 1/p = (1 − s)/2 ta có ước lượng
u
L
p
≤ Cu
H
s
, u ∈ H
s
(Ω) ∩ L
p
(Ω) . (1.5)
Khi s = 1, H
1
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) với 2 < q < ∞ thỏa mãn
u
L
q
≤ C
p,q
u
1−(p/q)
H

1
u
p/q
L
p
, u ∈ H
1
(Ω) ∩ L
q
(Ω) . (1.6)
Khi 1 ≤ p < q < ∞, s > 1, H
s
(Ω) ⊂ C(
¯
Ω) ta đưa vào ước lượng
u
C
≤ Cu
H
s
, u ∈ H
s
(Ω) ∩ C

Ω

. (1.7)
Với 0 < θ ≤ 1 ta có
uv
H

1+θ
≤ C
θ
u
H
1+θ
v
H
1+θ
, u, v ∈ H
1+θ
(Ω). (1.8)
1.2 Toán tử quạt
1.2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là không gian Banach với chuẩn ., A : D(A) ⊂
X → Y . D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A.
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử
đóng, tức là
G
A
= {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong
không gian Banach X. Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) =

λ ∈ C : (λ − A)
−1

∈ L(X)

.
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)
−1
được gọi là giải thức.
• Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A).
Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính đóng
và xác định trù mật trên X.Giả sử phổ của A nằm trong miền
Σ
ω
= {λ ∈ C : |argλ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.9)
và giải thức thỏa mãn đánh giá


(λ − A)
−1


≤
M
|λ|
, ∀λ /∈ Σ
ω
, (1.10)
trong đó M ≥ 1. Khi đó, A được gọi là là toán tử quạt.
Định nghĩa 1.9. Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X. Kí hiệu
ω
A
= inf

ω
{σ(A) ⊂ Σ
ω
}
được gọi là góc của A. Khi đó với mọi ω
A
< ω ≤ π luôn tồn tại M
ω
> 1 sao cho


(λ − A)
−1


≤
M
ω
|λ|
, ∀λ /∈ Σ
ω
.
a) Hàm mũ sinh bởi toán tử quạt
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc ω
A
<
π
2
và với góc
ω

A
< ω <
π
2
ta có
σ(A) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : | arg λ| < ω}, ω
A
< ω <
π
2
, (1.11)
và
(λ − A)
−1
 ≤
M
ω
|λ|
, λ /∈ Σ
ω
, ω
A
< ω <
π
2
. (1.12)
9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chúng ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e
−tA
bởi tích phân
Dunford trong không gian L(X) như sau
e
−tA
=
1
2πi

Γ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ, 0 < t < ∞.
Trong đó Γ là đường cong vô hạn thuộc ρ(A), bao quanh σ(A) theo hướng ngược
chiều kim đồng hồ. Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ
+
, trong đó, Γ
±
: λ =
re
±iω
, 0 ≤ r < ∞ định hướng từ ∞e
iω
tới 0 và từ 0 tới ∞e
−iω

. Tích phân trên hội
tụ vì


e
−tλ
(λ − A)
−1


≤


e
−tλ




(λ − A)
−1


≤


e
−tλ



M
|λ|
≤


e
−tλ


M
r
. Mà


e
−tλ


=


e
−tr(cosω±isinω)


=


e
−trcosω



= e
−trcosω
. Từ đó, ta suy ra


e
−tλ
(λ − A)
−1


≤
M
e
−trcosω
r
. Do vậy tích phân trên hội tụ. Khi đó, họ các toán tử e
−tA
được gọi là
hàm mũ sinh bởi −A. Họ toán tử trên thỏa mãn tính chất
e
−tA
e
−t

A
= e
−t


A
e
−tA
= e
−(t+t

)A
.
Từ đó, ta mở rộng toán tử e
−tA
thành e
−zA
được cho bởi công thức
e
−zA
=
1
2πi

Γ
e
−zλ
(λ − A)
−1
dλ, z ∈ Σ
π
2
−ω
.

Định lý 1.1 (Mệnh đề 2.5 [5]). Cho φ bất kì thỏa 0 < φ <
π
2
− ω, khi đó tồn tại
số mũ δ
φ
> 0 và hằng số C
φ
> 0 sao cho


e
−zA


≤ C
φ
e
−δ
φ
|z|
, z ∈
¯
Σ
φ
− {0}.
Định lý 1.2 (Mệnh đề 2.6 [5]). Cho φ bất kì thỏa 0 < φ <
π
2
− ω. Với mọi

z ∈
¯
Σ
φ
− {0}, toán tử e
−zA
hội tụ mạnh về 1 trên X khi z → 0.
b) Lũy thừa phân số của toán tử quạt
Cho (X, .) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X với
góc 0 ≤ ω
A
< π. Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử A
n
được định nghĩa như sau.
Khi n > 0 thì A
n
là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì
A
n
= (A
−1
)
−n
= (A
−n
)
−1
là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A
0
= 1

(toán tử đồng nhất trên X). Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho
số mũ thực x ∈ R bất kỳ.
Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ω
A
< ω < π. Với mỗi số phức z thỏa
mãn Rez > 0, ta định nghĩa A
−z
bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau
A
−z
=
1
2πi

Γ
λ
−z
(λ − A)
−1
dλ, (1.13)
Trong đó, Γ là một chu tuyến bao quanh σ(A) theo hướng ngược chiều kim đồng
hồ trong C − (∞, 0] ∩ ρ(A). Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ
0
∪ Γ
+
thỏa mãn
Γ
±

: λ = ρe
±iω
, δ ≤ ρ < ∞, và Γ
0
: λ = δe
iϕ
, −ω ≤ ϕ ≤ ω,
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
trong đó ω
A
< ω < π và 0 < δ < A
−1

−1
. Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞e
iω
tới
δe
iω
, từ δe
iω
tới δe
−iω
và từ δe
−iω
tới ∞e
−iω
. Do



λ
−z


=


e
−z log λ


=



e
−z(log ρ±iω)



= e
±(Imz)ω
ρ
−Rez
, λ ∈ Γ
±
,
nên tích phân (1.13) hội tụ trong L(X).
Ta có một số tính chất của toán tử A

−z
như sau.
• Với bất kỳ 0 < φ <
π
2
, khi z → 0 với z ∈ Σ
φ
− {0}, A
−z
hội tụ mạnh tới 1
trong X.
• Hàm A
−z
nhận giá trị trong L(X) là một nửa nhóm giải tích xác định trong
nửa mặt phẳng {z ∈ C; Rez > 0}.
• A
−z
là khả nghịch với mỗi Rez > 0 và nghịch đảo của nó A
z
là một toán tử
tuyến tính đơn trị của X và được định nghĩa là: A
z
= (A
−z
)
−1
, Rez > 0. Do
D(A
z
) trù mật trong X nên A

z
là một toán tử tuyến tính, đóng, xác định
trù mật trong X.
Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ A
x
của A đã được định
nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.
(1) A
x
là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A
0
= 1 và A
x
là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞.
(2) D(A
x
2
) ⊂ D(A
x
1
) với 0 ≤ x
1
< x
2
< ∞.
(3) A
x
A
x


= A
x

A
x
= A
x+x

với −∞ < x, x

< ∞.
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, A
θ
là một toán tử quạt của X với góc ≤ θω
A
. Và A
θ
thỏa
mãn bất đẳng thức năng lượng sau
A
θ
U ≤ CAU
θ
U
1−θ
, U ∈ D(A). (1.14)
và với 0 ≤ α < β < γ ≤ 1, ta có



A
β
U


≤ CA
γ
U
β−α
γ−α
A
α
U
γ−β
γ−α
, U ∈ D(A
γ
). (1.15)
Ta đưa vào không gian
D
θ
(A) =

U ∈ X; sup
0<ρ<∞
ρ
θ
A(ρ + A)
−1
U < ∞


, 0 ≤ θ ≤ 1.
Khi đó, D
θ
(A) là không gian định chuẩn với chuẩn
U
D
θ
(A)
= sup
0<ρ<∞
ρ
θ
A(ρ + A)
−1
U.
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.2 (Định lý 2.24 [5])). Với mọi 0 < θ < 1, A
θ
là toán tử quạt của X
với miền xác định D(A
θ
) ⊂ D
θ
(A), và thỏa mãn đánh giá
U
D
θ
(A)

≤ CA
θ
U, U ∈ D(A
θ
).
Mặt khác, với 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 ta có
t
θ
A
θ
e
−tA
hội tụ mạnh về 0 trên X.
Tương tự, với 0 ≤ θ < 1, khi t → 0 ta có
t
−θ

e
−tA
− 1

A
−θ
hội tụ mạnh về 0 trong X. (1.16)
Từ đó, ta rút ra các đánh giá chuẩn của A
θ
e
−tA
sau đây
A

θ
e
−tA
 ≤ Ct
−θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞, (1.17)
và
[e
−tA
− 1]A
−θ
 ≤ Ct
θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ ≤ 1. (1.18)
1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính
a) Bộ ba không gian
Cho X, Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là .
X
và .
Y
. Một
hàm giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng
song tuyến tính trên X × Y nếu thỏa mãn

αF + β
˜
F , G

= α F, G + β


˜
F , G

, α, β ∈ C, F,
˜
F ∈ X, G ∈ Y,

F, αG + β
˜
G

= α F, G + β

F,
˜
G

, α, β ∈ C, F ∈ X, G,
˜
G ∈ Y.
Hơn nữa, một dạng song tuyến tính trên X × Y được gọi là tích đối ngẫu nếu
thỏa mãn
| F, G | ≤ F 
X
G
Y
, F ∈ X, G ∈ Y,
F 
X
= sup

G
Y
≤1
| F, G |, F ∈ X,
G
X
= sup
F 
X
≤1
| F, G |, G ∈ Y.
Khi đó Y được gọi là một không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .. Nếu
Y là liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
thì X là liên hợp của Y với tích
đối ngẫu G, F
Y ×X
= F, G
X×Y
. Khi đó ta nói hai không gian X và Y là một
cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Cho Z và X là hai không gian Hilbert với tích ((., .)) và (., .) và chuẩn . và |.|
tương ứng, Z ⊂ X là nhúng liên tục và trù mật. Giả sử rằng tồn tại một không
gian Banach Z
∗
trang bị chuẩn .
∗
thỏa mãn

1. Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là nhúng liên tục và trù mật.
2. {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
3. Tích đối ngẫu ., . thỏa mãn
U, F  = (U, F ) U ∈ Z, F ∈ X.
Khi đó Z
∗
được gọi là không gian ngoại suy của Z ⊂ X và Z ⊂ X ⊂ Z
∗
được gọi
là bộ ba không gian (Z
∗
được xác định duy nhất từ Z và X).
b) Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính
Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là một bộ ba không gian, {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp, với
tích đối ngẫu ., .
Z
∗
×Z
, điều đó có nghĩa ., .
Z
∗
×Z

= ., .
Z×Z
∗
. Giả sử a(U, V ) là
một hàm giá trị phức với (U, V ) ∈ Z × Z thỏa mãn
a(αU + β
˜
U, V ) = αa(U, V ) + βa(
˜
U, V ), α, β ∈ C, U,
˜
U, V ∈ Z,
a(U, αV + β
˜
V ) = αa(U, V ) + βa(U,
˜
V ), α, β ∈ C, U, V,
˜
V ∈ Z.
Khi a(U, V ) thỏa mãn điều kiện
|a(U, V )| ≤ MUV , U, V ∈ Z, (1.19)
với M là hằng số, ta nói a(U, V ) là dạng nửa song tuyến tính liên tục.
Xét dạng nửa song tuyến tính a(U, V ) xác định trên Z × Z (viết ngắn gọn là
trên Z). Với mỗi U ∈ Z, tồn tại duy nhất Φ ∈ Z
∗
sao cho a(U, V ) = Φ, V  với
mọi V ∈ Z. Khi đó A : U → Φ là một toán tử tuyến tính từ Z vào Z
∗
. Toán tử
A này được gọi là toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(U, V ). Vì vậy

a(U, V ) = AU, V  với mọi U, V ∈ Z. (1.20)
Hơn nữa, A là toán tử bị chặn vì
AU
∗
= sup
V ≤1
| AU, V  | ≤ MU , U ∈ Z.
Do đó A
L(Z,Z
∗
)
≤ M.
Thêm nữa, ta nói a(U, V ) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Re a(U, V ) ≥ δU
2
, U ∈ Z, (1.21)
với hằng số δ > 0. Ta có định lý sau.
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.3 (Định lý 1.24 [5]). Cho a(U, V ) là dạng nửa song tuyến tính liên
tục và thỏa mãn các điều kiện (1.19), (1.21). Giả sử A là toán tử tuyến tính liên
kết với a(U, V ). Khi đó A là một phép đẳng cấu từ Z vào Z
∗
với δU ≤ AU
∗
≤
MU và là một toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong Z
∗
.
Ta có hạn chế của A trong X và Z lần lượt là A

|X
và A
|Z
. Khi đó, toán tử A,
A
|X
, và A
|Z
là các toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong Z
∗
, X và Z
tương ứng.
Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính
a(U, V ) − λ(U, V ), U, V ∈ Z,
thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z. Do đó A là một phép đẳng
cấu từ Z vào Z
∗
. Hơn nữa, ta có những đánh giá sau đây:
|λ|(λ − A)
−1
Φ
∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)Φ
∗
, Φ ∈ Z
∗
,
|λ||(λ − A)

−1
F | ≤ (Mδ
−1
+ 1)|F |, F ∈ X,
|λ|(λ − A)
−1
U ≤ (Mδ
−1
+ 1)U, U ∈ Z.
Từ những đánh giá này ta thu được kêt quả sau.
Định lý 1.4 (Định lý 2.1 [5]). Cho a(U, V ) là một dạng nửa song tuyến tính
trên Z thỏa mãn (1.19) và (1.21). Khi đó A, A
|X
, và A
|Z
tương ứng là các toán
tử tuyến tính của Z
∗
, X và Z được xác định từ a(U, V ), chúng thỏa mãn (1.9) và
(1.10) với góc ω =
π
2
và hằng số
M + δ
δ
. Do đó chúng là các toán tử quạt của
Z
∗
, X và Z tương ứng, với góc nhỏ hơn
π

2
.
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
Cho miền Ω ⊂ R
n
. Xét dạng song tuyến tính xác định trên H
1
(Ω)
a(u, v) =
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx +

Ω
c(x)u
vdx, u, v ∈ H
1
(Ω). (1.22)
Ở đây a
ij

(x), 1 ≤ i, j ≤ n, là các hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện
a
ij
∈ L
∞
(Ω), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.23)
và với mọi ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
ta có
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ δ|ξ|
2
, hầu khắp nơi x ∈ Ω, (1.24)
14
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với hằng số δ > 0. Thêm nữa, c(x) là hàm giá trị thực thỏa mãn
c ∈ L
∞

(Ω) và c(x) ≥ c
0
> 0, hầu khắp nơi x ∈ Ω. (1.25)
Rõ ràng a(u, v) thỏa mãn (1.19) với M = max


i,j
a
ij

L
∞
, c
L
∞

. Ngoài ra,
từ (1.22) ta suy ra
Re a(u, v) =
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)[(Re D
i
u)(Re D
j

u)
+ (im D
i
u)(im D
j
u)]dx +

Ω
c(x)|u|
2
dx
≥ δ∇u
2
L
2
+ c
0
u
2
L
2
.
Do đó a(u, v) cũng thỏa mãn (1.21).
Ta xét một bộ ba không gian H
1
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) ⊂ H
1
(Ω)

∗
và một toán tử A liên
kết với (1.22). Vì
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx =

−
n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u], v

H
1∗

×H
1
suy ra
Au = −
n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u] + c(x)u trong H
1
(Ω)
∗
.
Định lý 1.5 (Định lý 2.4 [5]). Cho miền Ω ⊂ R
n
. Giả sử (1.23), (1.24) và
(1.25) được thỏa mãn. Khi đó toán tử A liên kết với dạng song tuyến tính (1.22)
thỏa mãn (1.19), (1.21) với ω =
π
2
và M được xác định bởi a
i,j

L
∞

, c
L
∞
, δ, c
0
.
Điều này nghĩa là A là toán tử quạt của H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), H
1
(Ω) tương ứng, với góc
nhỏ hơn
π
2
.
Khi đó A, A tương ứng là các toán tử quạt của H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), với các góc <
π
2
.
Chú ý. Khi a

ij
(x) ≡ δ
ij
, toán tử vi phân ∆ =

n
i=1
D
2
i
được gọi là toán tử
Laplace và điều kiện biên
∂u
∂v
≡

n
i=1
v
i
(x)D
i
u = 0 trên ∂Ω được gọi là điều kiện
biên Neumann.
Định lý 1.6 (Định lý 16.7[5]). Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
với biên C
2
hoặc
lồi và a(., .) là dạng nửa song tuyến tính cho bởi (1.22). Kí hiệu A là toán tử

quạt liên kết với a(., .) và hạn chế của A trong L
2
(Ω) là A = A
|L
2
. Giả sử (1.23),
(1.24), (1.25) được thỏa mãn và a
ij
(x) ∈ C
1
(Ω), 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó
D(A
θ
) =



H
2θ
(Ω) , khi 0 ≤ θ <
3
4
,
H
2θ
N
(Ω) =

u ∈ H
2θ

(Ω) :
∂u
∂n
= 0 trên ∂Ω

, khi
3
4
< θ ≤ 1,
15
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với chuẩn tương đương
C
−1
u
H
2θ
≤ A
θ
u
L
2
≤ Cu
H
2θ
, u ∈ D(A
θ
)
trong đó C > 0.
Do đó với 1 < θ ≤ 2 và θ =

7
4
, ta có kết quả sau
D(A
θ
) =



H
2θ
N
=

u ∈ H
2
N
(Ω); ∆u ∈ H
2(θ−1)
(Ω)

, khi 1 ≤ θ <
7
4
,
H
2θ
N
2
=


u ∈ H
2
N
(Ω); ∆u ∈ H
2(θ−1)
N
(Ω)

, khi
7
4
< θ ≤ 2.
(1.26)
1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính
Ta xét bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa tựa tuyến tính trừu
tượng trong không gian Banach X như sau



dU
dt
+ A(U)U = F(t), 0 < t < T,
U(0) = U
0
.
(1.27)
Ta giả thiết Z là không gian Banach chứa trong X, và K là tập đóng trong Z
xác định bởi
K = {U ∈ Z : U

Z
≤ R} , 0 < R < ∞.
Giả sử Y , W là hai không gian Banach thỏa W ⊂ Z ⊂ Y ⊂ X. Tiếp theo, ta giả
thiết toán tử A(U) như sau. Với mỗi U ∈ K, A(U) là toán tử quạt trong X với
góc ω
A(U)
<
π
2
, và miền xác định của nó là D(A(U )). Phổ của toán tử A(U) nằm
trong miền
σ(A(U)) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : |arg λ| < ω} , U ∈ K, (1.28)
với 0 < ω <
π
2
, và giải thức thỏa mãn đánh giá


(λ − A(U))
−1


L(X)
≤ M/|λ|, λ /∈ Σ
ω
, U ∈ K, (1.29)
với hằng số M ≥ 1. Ta cũng giả thiết D(A(U)) phụ thuộc U ∈ K, nhưng luôn tồn
tại số mũ 0 < v ≤ 1 thỏa

D(A(V )) ⊂ D(A(U)
v
), U, V ∈ K. (1.30)
Mặt khác, giả sử A(U) thỏa mãn điều kiện Lipschitz nhờ công thức


A(U)
v

A(U)
−1
− A(V )
−1



L(X)
≤ NU − V 
Y
, U, V ∈ K (1.31)
16
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với N > 0 cố định. Thêm nữa, ta giả sử tồn tại các hằng số 0 ≤ α < β < η < v ≤
1, 1 + α < β + v sao cho D(A(U)
α
) ⊂ Y , D(A(U)
β
) ⊂ Z và thỏa mãn đánh giá














˜
U


Y
≤ D
1


D(A(U)
α
)
˜
U


X
;
˜

U ∈ D(A(U)
α
); U ∈ K


˜
U


Z
≤ D
2



D(A(U)
β
)
˜
U



X
;
˜
U ∈ D(A(U)
β
); U ∈ K



˜
U


W
≤ D
3


D(A(U)
η
)
˜
U


X
;
˜
U ∈ D(A(U)
η
); U ∈ K
(1.32)
D
i
> 0 (i = 1, 2, 3) là các hằng số.
Cuối cùng, ta giả sử
F ∈ F
β,σ

((0, T ] ; X) , 0 < σ < β − α + v − 1, (1.33)
và U
0
∈ K thỏa mãn
U
0
∈ D

A(U
0
)
β

. (1.34)
Ta có kết quả sau.
Định lý 1.3 (Định lý 5.1 [5]). Cho bài toán Cauchy (1.27) và giả sử các điều
kiện (1.28), (1.29), (1.30), (1.31), (1.32), (1.33), (1.34) thỏa mãn. Khi đó tồn
tại duy nhất nghiệm địa phương U trên

0, T
F,U
0

trong không gian



U ∈ C

0, T

F,U
0

; Z

∩ C
β−α

0, T
F,U
0

; Y

∩ C
1

0, T
F,U
0

; X

,
A(U)
β
U ∈ C

0, T
F,U

0

; X

;
dU
dt
, A(U)U ∈ F
β,σ

0, T
F,U
0

; X

,
(1.35)
với T
F,U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào F và U
0
. Hơn nữa, U thỏa mãn đánh giá



A(U)
β
U




C
+




dU
dt




F
β,σ
+ A(U)U
F
β,σ
≤ C
F,U
0
, (1.36)
với và hằng số C
F,U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào F và U
0
.

Bây giờ ta xét bài toán Cauchy cho phương trình tựa tuyến tính trong không
gian Banach X có dạng như sau



dU
dt
+ A(U)U = F(U) , 0 < t < T,
U(0) = U
0
,
(1.37)
Ta giả thiết các không gian Banach chứa trong X và toán tử A(U) như trên.
Tiếp theo, ta cũng giả thiết hàm F thỏa điều kiện Lipchitz sau
F (U) − F (V )
X
≤ ϕ(U
Z
+ V 
Z
) [U − V 
W
+ (U
W
+ V 
W
)
×U − V 
Z
] , U, V ∈ W,

(1.38)
17
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với ϕ(.) là hàm liên tục tăng. Đặc biệt khi V = 0, ta có
F (U)
X
≤ F (0)
X
+ ϕ (U
Z
) (1 + U
Z
) U
W
, U ∈ W. (1.39)
Với các giả thiết như trên, ta có kết quả sau.
Định lý 1.7. Cho bài toán Cauchy (1.37) thỏa mãn các điều kiện (1.28), (1.29),
(1.30), (1.31), (1.32), (1.38). Cho giá trị ban đầu U
0
∈ D(A(U
0
)
γ
), với β < γ ≤ 1,
0 < σ < min {β − α + v − 1 , 1 − η}. Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm địa phương
U trên [0, T
U
0
] trong không gian




U ∈ C ([0, T
U
0
] ; Z) ∩ C
γ−α
([0, T
U
0
] ; Y ) ∩ C
1
((0, T
U
0
] ; X) ,
A(U)
γ
U ∈ C ([0, T
U
0
] ; X) ;
dU
dt
, A(U) ∈ F
γ,σ
((0, T
U
0
] ; X) ,

(1.40)
với T
U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào


A(U
0
)
γ
U
0


X
. Hơn nữa, U thỏa mãn đánh giá


A(U)
γ
U


C
+





dU
dt




F
γ,σ
+ A(U)U
F
γ,σ
≤ C
U
0
, (1.41)
với hằng số C
U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào


A(U
0
)
γ
U
0


X

.
Chứng minh.
Ta định nghĩa các hàm:
ω
F
(t) = sup
0≤s<t
s
1−β+σ
F (t) − F (s)
X
(t − s)
σ
, (1.42)
ω
U
0
(t) = sup
0≤s≤t




e
−sA(U
0
)
− 1

A(U

0
)
β
U
0



X
, (1.43)
ω
F,U
0
(t) = sup
0≤s≤t



s
β−1

e
−sA(U
0
)
− 1

A(U
0
)

β−1
s
1−β
F
s



X
. (1.44)
Bước 1 . Với mỗi 0 < S ≤ T , ta đặt không gian Banach
W(S) = B
−ρ
{0}
((0, S] ; W ) ∩ B ((0, S] ; Z) ∩ C
µ
{0}
([0, S] ; Y )
với số mũ µ và ρ thỏa 1 − v + σ < µ < γ − α , 1 − σ − γ < ρ < 1 − γ. Từ đó, ta suy
ra
η − γ < 1 − σ − γ < ρ < 1 − γ < 1 − µ − α. (1.45)
Thêm nữa, ta đặt tập con đóng khác rỗng F(S) của W(S) như sau
F(S) =

U ∈ W (S) : U(0) = U
0
, sup
0≤t≤S
U(t)
Z

< R
1
, sup
0<t≤S
t
ρ
U(t)
W
≤ 1,
sup
0≤s<t≤S
s
k
U(t)−U(s)
Z
(t−s)
σ
≤ 1, sup
0≤s<t≤S
s
ρ+σ
U(t)−U(s)
W
(t−s)
σ
≤ 1

.
18
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ở đây, k là số mũ thỏa
0 < k < σ + 1 − γ − ρ, (1.46)
và R
1
là hằng số thỏa U
0

Z
< R
1
< R.
Bước 2 . Xây dựng ánh xạ Ψ. Ta có
ω
U
0
(t) ≤ sup
0≤s≤t




e
−sA(U
0
)
− 1

A
β−γ
A(U

0
)
γ
U
0



X
≤ Ct
β−γ


A(U
0
)
γ
U
0


X
.
Với mỗi V ∈ F(S), ta đặt F
V
(t) = F (V (t)), 0 < t ≤ S. Từ (1.39), ta có
t
1−γ
F
V

(t)
X
≤ t
1−γ
F (0)
X
+ ϕ(R
1
)(1 + R
1
)
1−γ−ρ
, 0 < t ≤ S.
Từ đó, F
V
(t) là một hàm liên tục trên X thỏa lim
t→0
t
1−γ
F
V
(t) = 0. Tương tự,
ω
F
V
(t) = sup
0≤s<1
s
1−γ+σ
F

V
(t)−F
V
(s)
X
(t−s)
σ
≤ ϕ(2R
1
) sup
0≤s<1
s
1−γ+σ
[
V (t)−V (s)
W
+s
−ρ
V (t)−V (s)
Z
]
(t−s)
σ
≤ 2ϕ(2R
1
)t
1+σ−k−γ−ρ
.
Nhờ (1.46), ta có lim
t→0

ω
F
V
(t) = 0. Từ đó, F
V
∈ F
γ,σ
((0, S] ; X) với đánh giá
F
V
(t)
F
γ,σ
≤ CS
1+σ−k−γ−ρ
. (1.47)
Tương tự ta cũng có
ω
F
V
,U
0
(t) ≤ Ct
1+σ−k−γ−ρ
+ ω
U
0
(t).
Do vậy, với mỗi V ∈ F(S) thì F
V

∈ F
γ,σ
((0, S] ; X), nên ta có bài toán Cauchy
sau



dU
dt
= A(U)U + F
V
(t), 0 < t ≤ S,
U(0) = U
0
.
(1.48)
Theo Định lý 1.3 , bài toán trên có duy nhất nghiệm địa phương U trên đoạn

0, T
F
V
,U
0

. Ở đây, T
F
V
,U
0
phụ thuộc F

V

F
γ,σ
và


A(U
0
)
γ
U
0


X
. Từ đó, ta đặt
inf
V ∈F(S)
T
F
V
,U
0
=
˜
T
U
0
> 0. Cũng từ Định lý 1.3, ta suy ra nghiệm địa phương U

trong không gian nghiệm (1.40) và



U(t)
Z
≤ R
1
, 0 ≤ t ≤
˜
T
U
0
,
U(t) − U(s)
Y
≤ (t − s)
µ
, 0 ≤ s ≤ t ≤
˜
T
U
0
.
(1.49)
19
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Với mỗi nghiệm địa phương U, ta định nghĩa U
U
(t, s) là toán tử tiến hóa của họ

A(U(t)) như sau



U
U
(t, r)U
U
(r, s) = U
U
(t, s), 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤
˜
T
U
0
,
U
U
(s, s) = 1, 0 ≤ s ≤
˜
T
U
0
.
Từ đó, ta có kết quả
U(t) = U
U
(t, 0) +
t


0
U
U
(t, s)F
V
(s)ds, 0 ≤ t ≤ S. (1.50)
Vì vậy, tồn tại ánh xạ Ψ thỏa Ψ(V ) = U, với V ∈ F(S) và U là nghiệm của (1.48).
Bước 3 . Chứng minh ánh xạ Ψ đi từ F(S) vào chính nó. Theo chứng minh
của Định lý 1.27 , ta có
U(t) − U
0

Z
≤ C

t
1+σ−k−γ−ρ
+ ω
U
0
(t)

+Ct
µ+v−1

F
V

F
γ,σ

 + U
0

γ

, 0 ≤ t ≤ S.
Ở đây, U
0

γ
được định nghĩa là


A(U
0
)
γ
U
0


X
. Nên với S > 0 đủ nhỏ, ta có
sup
V ∈F(S)
sup
0≤t≤S
{Ψ(V )} (t)
Z
≤ R

1
.
Theo (1.15) và với γ ≤ θ ≤ 1, ta suy ra



A
U
(t)
θ
U(t)



X
≤ Ct
γ−θ

F
V

F
γ,σ
+ U
0

γ

, 0 ≤ t ≤ S. (1.51)
Hơn nữa từ (1.32), ta có đánh giá

t
ρ
U(t)
W
≤ D
3
t
ρ


A
U
(t)
η
U(t)


X
≤ Ct
ρ+β−η

F
V

F
γ,σ
+ U
0

γ


≤ 1, 0 ≤ t ≤ S,
với S > 0 đủ nhỏ.
Cuối cùng, ta sẽ chứng minh U liên tục H¨older.
U(t) − U(s) = [U
U
(t, s) − 1] U(s) +
t

s
U
U
(t, τ)F
V
(τ)dτ
=

U
U
(t, s) − e
−(t−s)A
U
(s)

+

e
−(t−s)A
U
(s)

− 1

A
U
(s)
−(η+σ)
× A
U
(s)
η+σ
U(s) +
t

s
U
U
(t, τ)F
V
(τ)dτ, 0 ≤ s < t ≤ S.
Từ (1.18) (chú ý rằng η < v ), ta có



A
U
(t)
η

U
U

(t, s) − e
−(t−s)A
U
(s)

A
U
(s)
−(η+σ)



L(X)
≤ C(t − s)
σ+µ+v−1
,



A
U
(s)
η

e
−(t−s)A
U
(s)
− 1


A
U
(s)
−(η+σ)



L(X)
≤ C(t − s)
σ
.
20
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Tiếp theo, ta có
t

s


A
U
(t)
η
U
U
(t, τ)


L(X)
τ

γ−1
dτ ≤ C
t

s
(t − τ)
−η
τ
γ−1
dτ
≤ C(t − s)
σ
t

s
(t − τ)
−η−σ
τ
γ−1
dτ ≤ C(t − s)
σ
t

0
(t − τ)
−η−σ
τ
γ−1
dτ
≤ C(t − s)

σ
t
−γ−η−σ
.
Từ đó, theo (1.32), ta suy ra
U(t) − U(s)
W
≤ C

F
V

F
γ,σ
+ U
0

γ

(t − s)
σ
t
−γ−η−σ
. (1.52)
Vì vậy, nếu S > 0 đủ nhỏ thì
sup
0<s<t≤S
s
ρ+σ
U(t) − U(s)

W
(t − s)
σ
≤ CS
ρ+γ−η

F
V

F
γ,σ
+ U
0

γ

≤ 1.
Tương tự với S > 0 đủ nhỏ, ta cũng có đánh giá
sup
0<s<t≤S
s
k
U(t) − U(s)
Z
(t − s)
σ
≤ CS
k−σ

F

V

F
γ,σ
+ U
0

γ

≤ 1.
Như vậy, với S > 0 đủ nhỏ, Ψ là ánh xạ đi từ F(S) vào chính nó.
Bước 4 . Ta chứng minh Ψ là ánh xạ co đi từ F(S) vào W(S), với S > 0 đủ
nhỏ. Cho V
i
∈ F(S), ta đặt U
i
= Ψ(V
i
), i = 1, 2. Từ (1.50), ta có
U
1
(t) − U
2
(t) = [U
U
1
(t, 0) − U
U
2
(t, 0)] U

0
+
t

0
[U
U
1
(t, s) − U
U
2
(t, s)]F
V
1
(s)ds
+
t

0
U
U
2
(t, s) [F
V
1
(s) − F
V
1
(s)] ds.
Cho 0 ≤ θ < v, theo Bổ đề 5.1 [5], ta suy ra




A
U
1
(t)
θ
[U
U
1
(t, 0) − U
U
2
(t, 0)] U
0



X
≤ C
θ
t
γ−θ+µ+v−1
U
0

γ
U
1

− U
2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
.
(1.53)
và




A
U
1
(t)
θ
t

0
[U
U
1
(t, s) − U
U
2
(t, s)] F
V

1
(s)ds




X
≤ C
θ
t
γ−θ+µ+v−1
U
1
− U
2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
.
(1.54)
21
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nhờ (1.38), ta cũng có




A

U
2
(t)
θ
t

0
U
U
2
(t, s) [F
V
1
(s) − F
V
2
(s)] ds




X
≤ C
t

0
(t − s)
−θ
s
−ρ

[s
ρ
V
1
(s) − V
2
(s)
W
+ V
1
(s) − V
2
(s)
Z
] ds
≤ C
θ
t
−θ−ρ+1

V
1
(s) − V
2
(s)
B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V

1
(s) − V
2
(s)
B([0,S];Z)

.
(1.55)
Chọn θ = α, ta có
t
−µ
U
1
(t) − U
2
(t)
Y
≤ C

U
0

γ
+ 1

S
γ−α+v−1
U
1
− U

2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
+CS
1−µ−α−ρ

V
1
− V
2

B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V
1
− V
2

B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
(1.56)
Tương tự chọn θ = β ta cũng có
U

1
(t) − U
2
(t)
Z
≤ C

U
0

γ
+ 1

S
µ+v−1
U
1
− U
2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
+CS
1−γ−ρ

V
1
− V

2

B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V
1
− V
2

B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
(1.57)
Cuối cùng, chọn θ = η, ta được
t
ρ
U
1
(t) − U
2
(t)
W
≤ C

U
0


γ
+ 1

S
ρ+γ−η+µ+v−1
U
1
− U
2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
+CS
1−η

V
1
− V
2

B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V
1
− V
2


B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
(1.58)
Từ đó, cộng vế với vế các đánh giá (1.56),(1.57) và (1.58), ta có
U
1
(t) − U
2
(t)
W(S)
≤ C

U
0

γ
+ 1

S
µ+v−1
U
1
− U
2

C
µ

{0}
([0,S];Y )
+CS
1−γ−ρ

V
1
− V
2

B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V
1
− V
2

B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
Vì vậy, với S > 0 đủ nhỏ, ta có U
1
(t) − U
2
(t)
W(S)
≤ V

1
(t) − V
2
(t)
F(S)
. Điều
này có nghĩa Ψ là ánh xạ co từ F(S) vào W(S).
22
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Bước 5 . Chứng minh tồn tại nghiệm địa phương. Đặt T
U
0
= S > 0 đủ nhỏ
sao cho Ψ : F(S) → W(S) là ánh xạ co. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm bất động
U ∈ F(S) của Ψ thỏa
U(t) = U
U
(t, 0)U
0
+
t

0
U
U
(t, s)F
U
(s)ds, 0 ≤ t ≤ T
U
0

.
Từ đó, U là nghiệm địa phương của (1.37) trên [0, T
U
0
] trong không gian (1.40)
và thỏa mãn (1.41). Cuối cùng, ta đi chứng minh U là nghiệm địa phương duy
nhất của bài toán trên [0, T
U
0
]. Ta đặt
˜
U là nghiệm địa phương thuộc không gian
nghiệm (1.40) trên

0; T
˜
U

, trong đó T
˜
U
≤ T
U
0
. Ta sẽ chứng minh
˜
U(t) = U(t) với
mọi 0 ≤ t ≤ T
˜
U

. Thật vậy, ta có U
˜
U
(t, s)là toán tử tiến hóa tương ứng với họ toán
tử A
˜
U
(t) = A(
˜
U(t)), 0 ≤ t ≤ T
˜
U
được cho bởi công thức
˜
U(t) = U
˜
U
(t, 0)U
0
+
t

0
U
˜
U
(t, s)F (s)ds, 0 ≤ t ≤ T
˜
U
.

Chứng minh tương tự bước 3, ta có ước lượng


˜
U − U


W(S)
≤ C
˜
U
S
µ+v−1


˜
U − U


W(S)
, 0 < S ≤ T
˜
U
.
Suy ra với S > 0 đủ nhỏ thì
˜
U(t) = U(t), t ∈ [0, S]. Đặt
˜
S = sup


S : U(t) =
˜
U(t), ∀0 ≤ t ≤ S

,
và giả sử
˜
S < T
U
0
. Từ đó, ta có U(S) =
˜
U(
˜
S). Lặp lại suy luận tương tự
như trên với thời điểm ban đầu
˜
S và giá trị ban đầu U(S) =
˜
U(
˜
S), ta suy ra
U(
˜
S + τ) =
˜
U(
˜
S + τ) với hằng số τ > 0. Như vậy, sau hữu hạn bước, ta được
U(t) =

˜
U(t), với mọi 0 < t ≤ T
U
0
.

23
Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu
ứng biến đổi pha của chất bị hút
bám với điều kiện biên Neumann.
Ta xét bài toán biên - ban đầu với điều kiện biên Neumann dưới đây






























∂u
∂t
= a∆u − µ∇. [u(1 − u)∇χ(ρ)] − fe
−αχ(ρ)
u
−gu + h(1 − u) trong Ω × ( 0, ∞),
∂ρ
∂t
= b∆ρ + dρ(ρ + u − 1)(1 − ρ) − v(ρ −
1
2
) trong Ω × ( 0, ∞),
∂u
∂n
=
∂ρ
∂n
= 0 trong ∂Ω × ( 0, ∞),
u( x, 0) = u

0
(x), ρ( x, 0) = ρ
0
(x) trong Ω.
(2.1)
Ý nghĩa vật lý của bài toán như sau: Miền Ω chính là bề mặt kim loại Pt.
Hàm u(x, t) là tỉ lệ bám dính của các phân tử CO trên bề mặt nguyên tử Pt tại
điểm x ∈ Ω và tại t ≥ 0. Hàm ρ(x, t) biểu thị cấu tạo bề mặt nguyên tử Pt tại
điểm x ∈ Ω và tại t ≥ 0. Thêm nữa, a và b là các hệ số khuếch tán, hàm χ(ρ) cho
biết khả năng xảy ra các phản ứng hóa học. Hàm dρ(ρ + u − 1)(1 −ρ) biểu thị giai
đoạn chuyển tiếp của các phản ứng hóa học. Hệ số g và h tương ứng là tỉ lệ nhả
hút bám và hút bám của từng phần tử CO với bề mặt kim loại. Hàm fe
−αχ(ρ)
là tỉ lệ hút bám của phân tử CO phụ thuộc hàm χ(ρ), và −µ∇. [u(1 − u)∇χ(ρ)]
là hàm biểu thị lưu lượng của u trên Ω.
24