Sự tồn tại nghiệm của mô hình phản ứng Belousov - Zhabotinskii với điều kiện biên Neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ LÝ
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN
Hà Nội – Năm 2014
Mục lục
MỞ ĐẦU 2
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Bộ ba không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính . 13
1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . 14
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Toán tử quạt trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 19

2 Mô hình Field-Noyes 28
2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Mô hình Keener-Tyson 38
3.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
MỞ ĐẦU
Vào năm 1968, lần đầu tiên thế giới được biết một phản ứng hóa học rất kỳ
lạ biểu hiện tính tự tổ chức do hai nhà khoa học Nga, Belousov và Zhabotinsky
thực hiện. Đây là một thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn và đầy thách thức vì nó
không dẫn đến bất kì sự cân bằng hóa chất nào. Khi trộn lẫn một số hóa chất bao
gồm axit malonic CH
2
(CO
2
H)
2
(công thức cấu tạo là HOOC-CH
2

-COOH), kali
bromat KBrO
3
là một chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat
NaBrO
3
, natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH
4
)
2
Ce(NO
3
)
6
, axit
sulfuric H
2
SO
4
là axit vô cơ manh, chất chỉ thị màu Ferroin và nước trong một
bình chứa. Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức nào đó, đột nhiên xuất hiện một cấu
trúc gồm các dao động tuần hoàn di chuyển theo những vòng đồng tâm hay
xoắn ốc, tồn tại bền vững mặc dầu phản ứng không ngừng tác động, và còn tiếp
tục phát sinh nhiều dao động thêm nữa.
Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mô hình toán học mô tả phản ứng
Belousov-Zhabotinskii như sau














∂u
∂t
= a∆u +
1
ε
(qw − uw + u − u
2
) trong Ω × (0, ∞),
∂v
∂t
= b∆v + u − v trong Ω × (0, ∞),
∂w
∂t
= d∆w +
1
δ
(−qw − uw + cv) trong Ω × (0, ∞),
trong đó u là mật độ của HBrO
2
, v là mật độ của Ce
4+

và w là mật độ của Br
−
trong một bình được miêu tả bởi Ω. Với a, b, d là các hề số khuếch tán dương.
Các hằng số dương δ, ε, q, c là các tham số, đặc biệt δ, ε, q được xét là rất nhỏ.
Phát triển từ mô hình của Field-Noyes, Keener-Tyson đã đưa ra mô hình bài
toán đơn giản hơn bằng cách giả sử δ đủ nhỏ so với ω và sử dụng một vài tỉ lệ
thích hợp.
Trong luận văn, ta sẽ nghiên cứu mô hình Field-Noyes và mô hình Keener-
Tyson với điều kiện biên Neumann.
2
MỞ ĐẦU
Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp lý thuyết cơ sở cho
hai chương sau. Bao gồm những không gian cơ bản, tiếp theo là định nghĩa về
toán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính về toán tử quạt, cuối cùng
là bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
Chương 2. Mô hình Field-Noyes. Chương này trình bày mô hình toán
học mà Field-Noyes đưa ra để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii. Ta sẽ
chứng minh sự tồn tại địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm và chứng
minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán.
Chương 3. Mô hình Keener-Tyson. Tương tự như Chương 2, nội dung
của Chương 3 là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình Keener-
Tyson.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[5]. Trong đó có dựa trên đóng góp của những tác giả trong các tài liệu [1], [2],
[3] và [4].
3
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Huy
Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc

mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Lý
4
Bảng kí hiệu
R
n
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n

,
R

n
+
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n − 1, x
n
> 0

,
C([a, b]; X) =

f : [a, b] → X, f liên tục trên [a, b]

,
C
m
([a, b]; X) =

f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m

,
L(X, Y ) =


f : X → Y : f tuyến tính liên tục

,
L
p
(Ω) =

f đo được trên Ω :

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞

, p ≥ 1,
L
∞
(Ω) =

f đo được trên Ω : ess sup
Ω
|f| < +∞

với ess sup
Ω
|f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω,
L
p
loc

(Ω) =

f đo được trên Ω : f ∈ L
p
(Ω

), ∀Ω

compact
⊂ Ω

.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Những không gian hàm cơ bản
1.1.1 Không gian H¨older
Định nghĩa 1.1. Cho tập mở Ω ⊂ R
n
và 0 < γ ≤ 1.
a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|
γ
, x, y ∈ Ω.
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
b) Nếu u : Ω → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa
u
C(Ω)
= sup

x∈Ω
|u(x)|.
c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ của u : Ω → R là
[u]
C
0,γ
(Ω)
= sup
x=y
x,y∈Ω
|u(x) − u(y)|
|x − y|
γ
và chuẩn H¨older bậc γ là
u
C
0,γ
(Ω)
= u
C(Ω)
+ [u]
C
0,γ
(Ω)
.
Định nghĩa 1.2. Không gian H¨older C
k,γ
(Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C
k
(Ω),

mà chuẩn
u
C
k,γ
(Ω)
=

|α|≤k
D
α
u
C(Ω)
+

|α|=k
[D
α
u]
C
0,γ
(Ω)
là hữu hạn.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Như vậy, không gian C
k,γ
(Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm
riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ. Hơn nữa, không gian H¨older
C
k,γ

(Ω) là không gian Banach với chuẩn .
C
k,γ
(Ω)
.
Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F
β,σ
((a, b]; X).
Cho X là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, định nghĩa không
gian hàm F
β,σ
((a, b]; X) gồm các hàm F (t) : (a, b] → X liên tục trên (a, b] (tương
ứng [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau:
1. Khi β < 1, (t − a)
1−β
F (t) có giới hạn hữu hạn khi t → a.
2. F là liên tục H¨older với số mũ σ và với trọng (s − a)
1−β+σ
, nghĩa là
sup
a≤s<t≤b
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
= sup
a≤t≤b
sup
a≤s<t

(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
< ∞.
3. Khi t → a có
ω
F
(t) = sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
→ 0.
Không gian F
β,σ
((a, b]; X) được trang bị với chuẩn
F 
β,σ
F
= sup
a≤t≤b
(t − a)
1−β
F (t) + sup
a≤s<t≤b
(s − a)

1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
(1.1)
Với chuẩn này, không gian F
β,σ
((a, b]; X) trở thành không gian Banach.
1.1.2 Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.3. Với một hàm u ∈ L
1
loc
(Ω), ta nói rằng v ∈ L
1
loc
(Ω) là đạo hàm
yếu của u ứng với biến x
j
, ký hiệu v = D
j
u nếu

Ω
vφ dx = −

Ω
u
∂φ
∂x
j

dx,
với mọi φ ∈ C
∞
0
(Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo
hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L
1
loc
(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp
α của u, viết là v = D
α
u, nếu

Ω
D
α
uφ dx = (−1)
|α|

Ω
uD
α
φ dx,
với mọi φ ∈ C
∞
0
(Ω).
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.4. Cho Ω là một miền trong R, với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, ta

kí hiệu
H
k
p
(Ω) =

u ∈ L
p
(Ω) : D
α
u ∈ L
p
(Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k

.
Khi đó H
k
p
(Ω) trở thành không gian Banach với chuẩn
u
H
k
p
=



0≤|α|≤k
D
α

u
p
L
p


1/p
.
Trường hợp p = 2, ký hiệu H
k
(Ω) = H
k
2
(Ω). Khi đó H
k
(Ω) là một không gian
Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau
(u, v)
H
k
=

0≤|α|≤k
(D
α
u, D
α
v)
L
2

, u, v ∈ H
k
(Ω).
Và chuẩn của H
k
(Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công thức
u
H
k
=



0≤|α|≤k
D
α
u
2
L
2


1/2
, u ∈ H
k
(Ω).
Ta định nghĩa không gian H
s
p
(Ω) với s là một số không âm. Khi Ω = R

n
H
s
p
(R
n
) =

u ∈ S(R
n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s/2
Fu] ∈ L
p
(R
n
)

,
ở đây S(R
n
)

là không gian các hàm suy rộng, F và F

−1
lần lượt là biến đổi
Fourier và biến đổi ngược Fourier trên S(R
n
)

. Không gian H
s
p
(R
n
) là không gian
Banach với chuẩn
u
H
s
p
= F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s/2
Fu
L
p
, u ∈ H
s
p
(R

n
).
Hơn nữa, khi s = k thì H
k
p
(R
n
) = H
s
p
(R
n
). Khi Ω = R
n
+
hoặc Ω là một miền bị
chặn trong R
n
với biên Lipschitz
H
s
p
(Ω) =

u ∈ L
p
(Ω) : ∃U ∈ H
s
p
(R

n
), U
|Ω
= u

.
Không gian H
s
p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
u
H
s
p
(Ω)
= inf
U∈H
s
p
(R
n
),U
|Ω
=u
U
H
s
p
(R
n

)
.
Định lý 1.1 (Định lí nhúng). Giả sử Ω là R
n
, R
n
+
hoặc một miền bị chặn với
biên Lipschitz. Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞.
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1. Nếu 0 ≤ s <
n
p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục, (1.2)
ở đây p ≤ r ≤
pn
n − ps
.
2. Nếu s =
n
p
thì
H

s
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục, (1.3)
ở đây p ≤ r < ∞.
3. Nếu s >
n
p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂



C(R
n
)(tương ứng C(R
n
+
)) khi Ω = R
n
(tương ứng R
n
+
),
C(Ω) khi Ω bị chặn .
(1.4)

Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục.
1.1.3 Bộ ba không gian
Cho X, Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là .
X
và .
Y
. Một
hàm giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng
nửa song tuyến tính trên X × Y nếu thỏa mãn

αF + β
˜
F , G

= α F, G + β

˜
F , G

, α, β ∈ C, F,
˜
F ∈ X, G ∈ Y,

F, αG + β
˜
G

= α F, G + β

˜

F , G

, α, β ∈ C, F ∈ X, G,
˜
G ∈ Y.
Hơn nữa, một dạng nửa song tuyến tính trên X × Y được gọi là tích đối ngẫu
nếu thỏa mãn
| F, G | ≤ F 
X
G
Y
, F ∈ X, G ∈ Y,
F 
X
= sup
G
Y
≤1
| F, G |, F ∈ X,
G
X
= sup
F 
X
≤1
| F, G |, G ∈ Y.
Khi đó Y được gọi là một không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .. Nếu
Y là liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
thì X là liên hợp của Y với tích

9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
đối ngẫu G, F
Y ×X
= F, G
X×Y
. Khi đó ta nói hai không gian X và Y là một
cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
Cho Z và X là hai không gian Hilbert với tích ((., .)) và (., .) và chuẩn . và |.|
tương ứng, Z ⊂ X là nhúng liên tục và trù mật. Giả sử rằng tồn tại một không
gian Banach Z
∗
trang bị chuẩn .
∗
thỏa mãn
1. Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là nhúng liên tục và trù mật.
2. {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
3. Tích đối ngẫu ., . thỏa mãn
U, F  = (U, F ) U ∈ Z, F ∈ X.
Khi đó Z
∗
được gọi là không gian ngoại suy của Z ⊂ X và Z ⊂ X ⊂ Z
∗
được gọi
là bộ ba không gian.
Ta có Z

∗
được xác định duy nhất từ Z và X. Hơn nữa, Z
∗
cũng là không gian
Hilbert với tích
((φ,
˜
φ))
∗
=

Jφ,
˜
φ

, φ,
˜
φ ∈ Z
∗
,
trong đó J : Z
∗
→ Z là một phép đẳng cấu.
1.2 Toán tử quạt
1.2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.5. Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . D(A)
được gọi là miền xác định của toán tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử
đóng, tức là

G
A
= {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.6. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong
không gian Banach X. Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) =

λ ∈ C : (λ − A)
−1
∈ L(X)

.
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)
−1
được gọi là giải thức.
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A).
Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính, đóng,
xác định trù mật trên X. Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền
Σ
ω
= {λ ∈ C : | arg λ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.5)
và giải thức thỏa mãn đánh giá


(λ − A)
−1



≤
M
|λ|
, ∀λ /∈ Σ
ω
, (1.6)
trong đó M ≥ 1. Ta gọi A là toán tử quạt.
Định nghĩa 1.8. Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X. Kí hiệu
ω
A
= inf
ω
{σ(A) ⊂ Σ
ω
}
được gọi là góc của A. Khi đó với mọi ω
A
< ω ≤ π tồn tại M
ω
> 1 sao cho


(λ − A)
−1


≤
M
ω
|λ|

, ∀λ /∈ Σ
ω
.
Hàm mũ
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ω
A
<
π
2
. Ta
định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e
−tA
bởi tích phân Dunford trong
L(X) như sau
e
−tA
=
1
2πi

Γ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ, 0 < t < ∞, (1.7)
trong đó Γ là đường cong nằm trong ρ(A) bao quanh σ(A) theo chiều dương.
Chẳng hạn, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ

+
, trong đó Γ
+
: λ = re
iω
được định hướng
từ ∞e
iω
tới 0, Γ
−
: λ = re
−iω
được định hướng từ 0 tới ∞e
−iω
, 0 ≤ r < ∞. Vì
e
−tλ
(λ − A)
−1
 ≤ |e
−tλ
|(λ − A)
−1
 ≤ |e
−tλ
|
M
|λ|
,
trong đó λ = re

±ω
= r(cos ω ± i sin ω) nên
|e
−tλ
| = e
−t Reλ
= e
−tr cos ω
.
Do ω ≤
π
2
nên cos ω > 0, từ đó suy ra
e
−tλ
(λ − A)
−1
 ≤ e
−tr cos ω
M
|λ|
, λ = re
±iω
.
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Khi đó tích phân (1.7) hội tụ trong L(X). Họ các toán tử e
−tA
được gọi là hàm
mũ sinh bởi −A. Ta có tính chất sau

e
−tA
e
−t

A
= e
−t

A
e
−tA
= e
−(t+t

)A
, 0 < t, t

< ∞.
Hàm lũy thừa
Cho (X, .) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X với
góc 0 ≤ ω
A
< π. Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử A
n
được định nghĩa, thật vậy,
khi n > 0 thì A
n
là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì
A

n
= (A
−1
)
−n
= (A
−n
)
−1
là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A
0
= 1
(toán tử đồng nhất trên X). Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho
số mũ thực x ∈ R bất kỳ.
Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ω
A
< ω < π. Với mỗi số phức z thỏa
mãn Re z > 0, ta định nghĩa A
−z
bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau
A
−z
=
1
2πi

Γ
λ
−z
(λ − A)

−1
dλ, (1.8)
Trong đó, Γ là một đường cong bao quanh σ(A) theo chiều dương trong C −
(∞, 0] ∩ ρ(A). Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ
0
∪ Γ
+
thỏa mãn
Γ
±
: λ = ρe
±iω
, δ ≤ ρ < ∞, và Γ
0
: λ = δe
iϕ
, −ω ≤ ϕ ≤ ω, (1.9)
trong đó ω
A
< ω < π và 0 < δ < A
−1

−1
. Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞e
iω
tới
δe
iω

, từ δe
iω
tới δe
−iω
và từ δe
−iω
tới ∞e
−iω
. Do
|λ
−z
| = |e
−z log λ
| = |e
−z(log ρ±iω)
| = e
±(Im z)ω
ρ
− Rez
, λ ∈ Γ
±
,
nên tích phân (1.8) hội tụ trong L(X).
Ta có một số tính chất của toán tử A
−z
như sau.
• Với mọi 0 < φ <
π
2
, khi z → 0 với z ∈ Σ

φ
− 0, A
−z
hội tụ mạnh tới 1 trong
X.
• Hàm A
−z
nhận giá trị trong L(X) là một nửa nhóm giải tích xác định trong
nửa mặt phẳng {z ∈ C; Re z > 0}.
• A
−z
là khả nghịch với mỗi Re z > 0 và nghịch đảo của nó A
z
là một toán tử
tuyến tính đơn trị của X và được định nghĩa là: A
z
= (A
−z
)
−1
, Re z > 0. Do
D(A
z
) trù mật trong X nên A
z
là một toán tử tuyến tính, đóng, xác định
trù mật trong X.
12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ A

x
của A đã được định
nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.
1. A
x
là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A
0
= 1 và A
x
là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞.
2. D(A
x
2
) ⊂ D(A
x
1
) với 0 ≤ x
1
< x
2
< ∞.
3. A
x
A
x

= A
x


A
x
= A
x+x

với −∞ < x, x

< ∞.
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, A
θ
là một toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn hoặc bằng
θω
A
. Và A
θ
thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau
A
θ
U ≤ CAU
θ
U
1−θ
, U ∈ D(A).
Với mọi 0 < t < ∞ và 0 < θ < ∞, ta nghiên cứu các tính chất khác của A
θ
e
−tA
.
A
θ

e
−tA
= e
−tA
A
θ
=
1
2πi

Γ
λ
θ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ (1.10)
trong đó Γ là đường cong tích phân được cho bởi (1.9) nhưng với ω
A
< ω <
π
2
.
Ta có một vài kết quả đánh giá chuẩn của A
θ
e
−tA
sau đây
A

θ
e
−tA
 ≤ Ct
−θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞.
[e
−tA
− 1]A
−θ
 ≤ Ct
θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ ≤ 1.
1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính
Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là một bộ ba không gian, {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp, với
tích đối ngẫu ., .
Z
∗
×Z
= ., .
Z×Z
∗
. Xét dạng nửa song tuyến tính a : Z × Z → C
thỏa mãn
a(αu + β ˜u, v) = αa(u, v) + βa(˜u, v), α, β ∈ C, u, ˜u, v ∈ Z,
a(u, αv + β˜v) = αa(u, v) + βa(u, ˜v), α, β ∈ C, u, v, ˜v ∈ Z.

Khi a(u, v) thỏa mãn điều kiện
|a(u, v)| ≤ Muv, u, v ∈ Z, (1.11)
với M là hằng số, ta nói a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục.
Xét dạng nửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z. Với mỗi u ∈ Z, tồn tại
duy nhất Φ ∈ Z
∗
sao cho a(u, v) = Φ, v với mọi v ∈ Z. Khi đó A : u → Φ là một
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
toán tử tuyến tính từ Z vào Z
∗
. Toán tử A này được gọi là toán tử liên kết với
dạng nửa song tuyến tính a(u, v). Do đó
a(u, v) = Au, v với mọi u, v ∈ Z. (1.12)
Và A là toán tử bị chặn vì
Au
∗
= sup
v≤1
| Au, v | ≤ Mu, u ∈ Z.
Do đó A
L(Z,Z
∗
)
≤ M.
Ta nói a(u, v) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Re a(u, v) ≥ δu
2
, u ∈ Z, (1.13)
với hằng số δ > 0. Ta có định lý sau.

Định lý 1.2 ([5], Định lý 1.24). Cho a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên
tục và thỏa mãn điều kiện bức trên Z (thỏa mãn (1.11) và (1.13)). Giả sử A là
toán tử tuyến tính liên kết với a(u, v). Khi đó A là một phép đẳng cấu từ Z vào
Z
∗
với δu ≤ Au
∗
≤ Mu và là một toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù
mật trong Z
∗
.
1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính
Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là bộ ba không gian với các chuẩn ., |.|, .
∗
tương ứng.
Tích trong của X là (., .) và tích đối ngẫu trong Z
∗
× Z là ., .. Xét một dạng
nửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z thỏa mãn
|a(u, v)| ≤ Muv, u, v ∈ Z, (1.14)
Re a(u, v) ≥ δu
2
, u ∈ Z, (1.15)
trong đó M là hằng số sao cho M > δ > 0. Gọi A là toán tử tuyến tính liên kết
với dạng nửa song tuyến tính a(u, v), hạn chế của A trong X và Z lần lượt là
A
|X
và A

|Z
. Ta có A, A
|X
, A
|Z
là các toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật
trong Z
∗
, X và Z tương ứng.
Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính
a(u, v) − λ(u, v), u, v ∈ Z,
thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z. Do đó A là một phép đẳng
cấu từ Z vào Z
∗
. Hơn nữa, ta có những đánh giá sau đây:
|λ|(λ − A)
−1
Φ
∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)Φ
∗
, Φ ∈ Z
∗
,
14
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
|λ||(λ − A)
−1

F | ≤ (Mδ
−1
+ 1)|F|, F ∈ X,
|λ|(λ − A)
−1
u ≤ (Mδ
−1
+ 1)u, u ∈ Z.
Từ những đánh giá này ta thu được kêt quả sau.
Định lý 1.3 ([5], Định lý 2.1). Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính
trên Z thỏa mãn (1.14) và (1.15). Khi đó A, A
|X
, và A
|Z
tương ứng là các toán
tử tuyến tính của Z
∗
, X và Z được xác định từ a(u, v), chúng thỏa mãn (1.5) và
(1.6) với góc ω =
π
2
và hằng số
M + δ
δ
. Do đó chúng là các toán tử quạt của
Z
∗
, X và Z tương ứng, với góc nhỏ hơn
π
2

.
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L
2
Xét dạng nửa song tuyến tính xác định trên H
1
(R
n
)
a(u, v) =
n

i,j=1

R
n
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx +

R
n
c(x)uvdx, u, v ∈ H
1
(R
n
). (1.16)

Ở đây a
ij
(x), 1 ≤ i, j ≤ n, là các hàm giá trị thực trong R
n
thỏa mãn điều kiện
a
ij
∈ L
∞
(R
n
), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.17)
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ δ|ξ|
2
, ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
, hầu khắp nơi x ∈ R

n
(1.18)
với hằng số δ > 0 và c(x) là hàm giá trị thực thỏa mãn
c ∈ L
∞
(R
n
) và c(x) ≥ c
0
> 0, hầu khắp nơi x ∈ R
n
. (1.19)
Rõ ràng a(u, v) thỏa mãn (1.14) với M = max


i,j
a
i,j

L
∞
, c
L
∞

. Ngoài ra,
(1.18) kéo theo
Re a(u, v) =
n


i,j=1

R
n
a
ij
(x)[(Re D
i
u)(Re D
j
u)
+ (Im D
i
u)(Im D
j
u)]dx +

R
n
c(x)|u|
2
dx
≥ δ∇u
2
L
2
+ c
0
u
2

L
2
.
Do đó a(u, v) cũng thỏa mãn (1.15).
15
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta xét một bộ ba không gian H
1
(R
n
) ⊂ L
2
(R
n
) ⊂ H
1
(R
n
)
∗
và một toán tử A
liên kết với (1.16). Vì
n

i,j=1

R
n
a
ij

(x)D
i
uD
j
vdx =

−
n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u], v

H
1∗
×H
1
suy ra
Au = −
n

i,j=1
D
j
[a

ij
(x)D
i
u] + c(x)u trong H
1
(R
n
)
∗
.
Theo Định lý 1.3 ta có
Định lý 1.4 ([5], Định lý 2.2). Giả sử (1.17), (1.18) và (1.19) được thỏa mãn.
Khi đó toán tử A liên kết với dạng nửa song tuyến tính (1.16) thỏa mãn (1.5),
(1.6) với ω =
π
2
và M được xác định bởi a
ij

L
∞
, c
L
∞
, δ, c
0
, tức là A là toán tử
quạt của H
1
(R

n
)
∗
, L
2
(R
n
), H
1
(R
n
) tương ứng, với góc nhỏ hơn
π
2
.
Bây giờ cho Ω là một miền bất kì trong R
n
. Trên không gian H
1
(Ω) ta xét
dạng nửa song tuyến tính
a(u, v) =
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)D

i
uD
j
vdx +

Ω
c(x)uvdx, u, v ∈ H
1
(Ω). (1.20)
Như trước, a
ij
(x), 1 ≤ i, j ≤ n là các hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện
a
ij
∈ L
∞
(R
n
), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.21)
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ δ|ξ|
2

, ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
, hầu khắp nơi x ∈ Ω (1.22)
với hằng số δ > 0 và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn
c ∈ L
∞
(Ω) và c(x) ≥ c
0
> 0, hầu khắp nơi x ∈ Ω. (1.23)
Tương tự phần trên ta có a(u, v) thỏa mãn điều kiện (1.14), (1.15) trên H
1
(Ω).
Trong trường hợp này H
1
(Ω)
∗
không là không gian suy rộng, vì thế toán tử
liên kết A không biểu diễn một toán tử khả vi như thông thường. Nhưng nếu
u ∈ D(A
|L
2
), tức là Au ∈ L
2
(Ω) thì theo công thức Green ta có
(Au, v)
L

2
= a(u, v) = −
n

i,j=1

Ω
D
j
[a
ij
(x)D
i
u]vdx
+
n

i,j=1

∂Ω
[ν
j
(x)a
ij
(x)D
i
u]vdS +

Ω
c(x)uvdx, v ∈ H

1
(Ω)
16
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
ở đây kí hiệu ν(x) = (ν
1
(x), , ν
n
(x) là véc-tơ ngoài tại x ∈ ∂Ω. Vì a(u, v) phải
liên tục theo v trong L
2
(Ω) nên tích phân trên ∂Ω phải triệt tiêu. Nói cách khác,
u phải thỏa mãn điều kiện
∂u
∂ν
≡
n

i,j=1

∂Ω
ν
j
(x)a
ij
(x)D
i
u = 0 trên ∂Ω.
Khi đó Au được cho bởi
Au = −

n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u] + c(x)u, trong L
2
(Ω).
Định lý 1.5 ([5], Định lý 2.4). Cho Ω là một miền trong R
n
. Giả sử (1.21),
(1.22) và (1.23) được thỏa mãn. Khi đó, toán tử A liên kết với dạng (1.20) thỏa
mãn (1.5), (1.6) với ω =
π
2
và M được xác định bởi a
ij

L
∞
, c
L
∞
, δ, c
0
, tức là A

là toán tử quạt của H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), H
1
(Ω) tương ứng, với góc nhỏ hơn
π
2
.
Chú ý. Khi a
ij
(x) ≡ δ
ij
, toán tử vi phân ∆ =

n
i=1
D
2
i
được gọi là toán tử
Laplace và điều kiện biên
∂u
∂ν
≡

n

i=1
ν
i
(x)D
i
u = 0 trên ∂Ω được gọi là điều kiện
biên Neumann.
Hệ quả ([5], Hệ quả 2.1). Giả sử các điều kiện (1.21), (1.22), (1.23) được
thỏa mãn và a
ij
(x) = a
ji
(x), 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó, toán tử quạt A liên kết với dạng
(1.20) là một toán tử tự liên hợp xác định dương trong L
2
(Ω).
Ta bổ sung định nghĩa không gian con đóng H
s
N
(Ω) của H
s
(Ω) với
3
2
< s < 2
như sau
H
s
N
(Ω) =


f ∈ H
s
(Ω) :
∂u
∂ν
= 0 trên ∂Ω

.
Xét miền xác định của hàm lũy thừa A
θ
với 0 ≤ θ ≤ 1, khi đó ta nhận được
Định lý 1.6 ([5], Định lý 16.7). Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
với biên C
2
hoặc lồi, a(., .) là dạng nửa song tuyến tính xác định trên H
1
(Ω) có dạng (1.20).
Kí hiệu A là toán tử quạt liên kết với a(., .). Giả sử (1.21), (1.22), (1.23) được
thỏa mãn và a
ij
(x) ∈ C
1
(Ω), 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó
D(A
θ
) =




H
2θ
(Ω) nếu 0 ≤ θ <
3
4
,
H
2θ
N
(Ω) nếu
3
4
< θ ≤ 1,
với chuẩn tương đương
C
−1
u
H
2θ
≤ A
θ
u
L
2
≤ Cu
H
2θ
, u ∈ D(A
θ

)
trong đó C > 0.
17
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.2.5 Toán tử quạt trong không gian tích
Cho (X
1
, .
1
) và (X
2
, .
2
) là hai không gian Banach. Giả sử X là không gian
Banach tích của X
1
và X
2
với chuẩn
F  = f
1

1
+ f
2

2
, F =

f

1
f
2

∈ X.
Cho A
1
, A
2
lần lượt là toán tử quạt của X
1
và X
2
với góc 0 ≤ ω
1
< π và
0 ≤ ω
2
< π. Ta xét một toán tử ma trận có dạng
A =

A
1
0
0 A
2

, (1.24)
D(A) =


u
1
u
2

: u
1
∈ D(A
1
), u
2
∈ D(A
2
)

.
Định lý 1.7 ([5], Định lý 2.16). Giả sử A
k
là toán tử quạt trong X
k
với góc
0 ≤ ω
k
< π, với k = 1, 2. Khi đó toán tử ma trận A xác định bởi (1.24) thỏa mãn
(1.5) và (1.6) với mọi góc ω sao cho ω
A
< ω ≤ π, ở đây ω
A
= max {ω
1

; ω
2
} và
với hằng số M
ω
= max {M
1,ω
; M
2,ω
}. Tức là, A là toán tử quạt của X với góc nhỏ
hơn hoặc bằng ω
A
.
1.3 Bài toán Cauchy
Trong luận văn ta xét toán tử quạt A trong không gian Banach X với góc
0 ≤ ω
A
<
π
2
. Với ω thỏa mãn ω
A
< ω <
π
2
, xác định
σ(A) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : | arg λ| < ω} , ω
A

< ω <
π
2
(1.25)
và


(λ − A)
−1


≤
M
ω
|λ|
, ∀λ /∈ Σ
ω
, ω
A
< ω <
π
2
. (1.26)
1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính
Ta xét bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa tuyến tính trừu tượng
trong không gian Banach X như sau



dU

dt
+ AU = F(t), 0 < t < T,
U(0) = U
0
.
(1.27)
18
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ở đây 0 < T < ∞ là thời gian cố định; A là toán tử quạt trong X với góc
ω
A
<
π
2
thỏa mãn (1.25) và (1.26); F là một hàm được cho trong không gian
F
β,σ
((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1; giá trị ban đầu U
0
được cho trong X.
Khi đó ta có kết quả như sau.
Định lý 1.8 ([5], Định lý 3.4). Cho A thỏa mãn (1.25) và (1.26), với bất kì hàm
F ∈ F
β,σ
((0, T ]; X) và bất kì U
0
∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm U của bài
toán (1.27) trong không gian
U ∈ C((0, T ]; D(A)) ∩ C([0, T ]; X) ∩ C
1

((0, T ]; X),
thỏa mãn đánh giá
U(t) + t




dU
dt
(t)




+ tAU(t) ≤ C(U
0
 + F 
F
β,σ
), 0 < t ≤ T.
Hơn nữa, U được cho bởi công thức
U(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e

−(t−τ)A
F (τ)dτ, 0 ≤ t ≤ T.
1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trừu tượng
trong kông gian Banach X có dạng như sau



dU
dt
+ AU = F(U) + G(t), 0 < t < T,
U(0) = U
0
.
(1.28)
Ở đây, A là toán tử quạt của X thỏa mãn (1.25) và (1.26); F là toán tử không
tuyến tính từ D(A
η
) vào X với 0 < η < 1, F thỏa mãn điều kiện Lipschitz; hàm
G(t) được cho trong không gian F
β,σ
((a, b]; X), 0 < σ < β; giá trị ban đầu U
0
được cho trong X.
Trong đó toán tử F : D(A
η
) → X gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu
F (U) − F (V ) ≤ϕ(U + V )[A
η
(U − V )

+ (A
η
U + A
η
V )U − V ], U, V ∈ D(A
η
),
(1.29)
với
0 ≤ η < 1, (1.30)
19
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
và ϕ(.) là hàm liên tục tăng. Đặc biệt, (1.29) kéo theo đánh giá
F (U) ≤ ψ(U)(A
η
U + 1), U ∈ D(A
η
), (1.31)
với ψ(ξ) = F (0) + ϕ(ξ)(ξ + 1).
Ta nhận được kết quả sau.
Định lý 1.9 ([5], Định lý 4.4). Giả sử các điều kiện (1.25),(1.26),(1.29) và (1.30)
được thỏa mãn. Khi đó, với bất kì hàm G ∈ F
β,σ
((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1 − η,
và bất kì U
0
∈ X, bài toán Cauchy (1.28) có duy nhất một nghiệm địa phương U
trong không gian
U ∈ C((0, T
G,U

0
]; D(A)) ∩ C([0, T
G,U
0
]; X) ∩ C
1
((0, T
G,U
0
]; X), (1.32)
trong đó T
G,U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào chuẩn G
F
β,σ
và U
0
. Hơn nữa, U thỏa
mãn đánh giá
U(t) + t




dU
dt
(t)





+ tAU(t) ≤ C
G,U
0
, 0 < t ≤ T
G,U
0
, (1.33)
với hằng số C
G,U
0
> 0 phụ thuộc vào G
F
β,σ
và U
0
.
Chứng minh. Với mỗi S ∈ (0, T ], ta đặt không gian Banach gồm các hàm liên
tục trên (0, S] như sau
X (S) =

U ∈ C((0, S]; D(A
η
)) ∩ C([0, S]; X) : sup
0<t≤S
t
η
A
η

U(t) < ∞

,
U
X (S)
= sup
0<t≤S
t
η
A
η
U(t) + sup
0≤t≤S
U(t).
Trong X (S) xét tập con K(S) chứa các hàm thỏa mãn
t
η
A
η
U(t) ≤ C
1
, 0 < t ≤ S, (1.34)
U(t) ≤ C
2
, 0 ≤ t ≤ S, (1.35)
với C
1
, C
2
> 0 cố định được xác định sau. Khi đó K(S) là tập con khác rỗng,

đóng trong X (S).
Với U ∈ K(S), định nghĩa hàm
ΦU(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
[F (U(s)) + G(s)]ds, 0 ≤ t ≤ S.
Mục tiêu của ta là chứng minh rằng Φ là ánh xạ co từ K(S) vào chính nó với
S đủ nhỏ và điểm bất động của Φ chính là nghiệm cần tìm của (1.28). Với mục
20
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
tiêu này, ta chia chứng minh thành bốn bước chính. Kí hiệu C
G,U
0
thay thế cho
toàn bộ các hằng số đươc xác định trong suốt quá trình chứng minh.
Bước 1 . Chứng minh Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó. Cho U ∈ K(S), từ
(1.31) ta có
F (U(t)) ≤ ψ(U)(A
η
U + 1),
kết hợp với (1.34), (1.35) suy ra
F (U(t)) ≤ ψ(C
2

)(C
1
t
−η
+ 1), 0 ≤ t ≤ S. (1.36)
Với mọi θ thỏa mãn 0 ≤ θ < 1 ta có
A
θ
ΦU(t) = A
θ
e
−tA
U
0
+

t
0
A
θ
e
−(t−s)A
[F (U(s)) + G(s)]ds,
suy ra
A
θ
ΦU(t) ≤ A
θ
e
−tA

U
0
 +

t
0
A
θ
e
−(t−s)A
 [F (U(s)) + G(s)] ds,
khi đó
t
θ
A
θ
ΦU(t) ≤ t
θ
A
θ
e
−tA
U
0

+ t
θ

t
0

(t − s)
−θ
(t − s)
θ
A
θ
e
−(t−s)A
 [F (U(s)) + G(s)] ds.
Đặt
A
ξ
= sup
0<t≤T
t
ξ
A
ξ
e
−tA
 với 0 ≤ ξ ≤ 1, (1.37)
ta được
t
θ
A
θ
ΦU(t) ≤ A
θ
U
0

 + A
θ
t
θ

t
0
(t − s)
−θ
F (U(s))ds
+ A
θ
t
θ

t
0
(t − s)
−θ
G(s)ds,
từ (1.1) và (1.36 ) nhận được
t
θ
A
θ
ΦU(t) ≤A
θ
U
0
 + A

θ
ψ(C
2
)t
θ

t
0
(t − s)
−θ
(C
1
s
−η
+ 1)ds
+ A
θ
G
F
β,σ
t
θ

t
0
(t − s)
−θ
s
−1
ds.

21
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Đổi biến s = ut, ds = tdu
t
θ
A
θ
ΦU(t) ≤ A
θ
U
0
 + A
θ
ψ(C
2
)

1
0
(1 − u)
−θ
(C
1
(ut)
−η
+ 1)tdu
+ A
θ
G
F

β,σ

1
0
(1 − u)
−θ
u
−1
du
≤ A
θ
U
0
 + A
θ
ψ(C
2
)

C
1
t
−η+1

1
0
(1 − u)
−θ
u
−η

du + t

1
0
(1 − u)
−θ
du

+ A
θ
G
F
β,σ

1
0
(1 − u)
−θ
u
−1
du
≤ A
θ
U
0
 + A
θ
ψ(C
2
)


C
1
t
−η+1
B(1 − θ, 1 − η) + tB(1 − θ, 1)

+ A
θ
G
F
β,σ
B(1 − θ, 0).
Trong đó B(., .) là hàm bêta được xác định như sau
B(x, y) =

1
0
(1 − u)
x−1
u
y−1
du.
Với θ = η ta có
t
η
A
η
ΦU(t) ≤ A
η

U
0
 + A
η
ψ(C
2
)

C
1
t
−η+1
B(1 − η, 1 − η) + tB(1 − η, 1)

+ A
η
G
F
β,σ
B(1 − η, 0).
Với θ = 0 ta có
ΦU(t) ≤ A
0
U
0
 + A
0
ψ(C
2
)


C
1
t
−η+1
B(1, 1 − η) + tB(1, 1)

+ G
F
β,σ
B(1, 0).
Chọn S đủ nhỏ, cố định C
1
, C
2
sao cho
C
1
> A
η
U
0
 + A
η
G
F
β,σ
B(1 − η, 0),
C
2

> A
0
U
0
 + G
F
β,σ
B(1, 0).
Khi đó
t
η
A
η
ΦU(t) ≤ C
1
,
ΦU(t) ≤ C
2
.
Như vậy ΦU thỏa mãn (1.34) và (1.35).
22
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chứng minh ΦU ∈ C((0, S]; D(A
η
)). Với 0 < s < t ≤ S ta có
ΦU(t) = e
−tA
U
0
+


t
0
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
= e
−(t−s)A
e
−sA
U
0
+ e
−(t−s)A

s
0
e
−(s−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
+

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ,
ΦU(s) = e
−sA
U

0
+

s
0
e
−(s−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ.
Suy ra
ΦU(t) − ΦU(s) =

e
−(t−s)A
− 1


e
−sA
U
0
+

s
0
e
−(s−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ

+


t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
=

e
−(t−s)A
− 1

ΦU(s) +

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ.
Sử dụng (1.37) và vì ΦU thỏa mãn (1.34) nên
A
η
[ΦU(t) − ΦU(s)] ≤ 

e
−(t−s)A
− 1

A
−σ
A

η+σ
ΦU(s)
+

t
s
A
η
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−(η+σ)
+ C
G,U
0
A
η

t
s
(t − τ )
−η
(τ
−1

+ 1)dτ.
Ta viết −1 = (η + σ − 1) + (−σ − η)

t
s
(t − τ )
−η
τ
−1
dτ ≤

t
s
(t − τ )
−η
(τ − s)
η+σ−1
s
−σ−η
dτ.
Đổi biến u = τ − s, du = dτ

t
s
(t − τ )
−η
(τ − s)
η+σ−1
s
−σ−η

dτ =

t−s
0
(t − s − u)
−η
(u)
η+σ−1
s
−σ−η
du.
Tiếp tục đổi biến v =
u
t − s
, dv =
du
t − s

t−s
0
(t − s − u)
−η
(u)
η+σ−1
s
−σ−η
du =

1
0

(1 − v)
−η
v
η+σ−1
(t − s)
σ
s
−σ−η
dv
= B(1 − η, η + σ)(t − s)
σ
s
−σ−η
.
23
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Như vậy ta có
A
η
[ΦU(t) − ΦU(s)] ≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−(η+σ)
, 0 < s < t ≤ S. (1.38)
Chứng minh này chỉ ra rằng ΦU ∈ C((0, S]; D(A
η
)).

Tương tự
ΦU(t) − ΦU(s) ≤ 

e
−(t−s)A
− 1

A
−σ
A
σ
ΦU(s)
+

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−σ
+ C
G,U
0


t
s
τ
−1
dτ.
Ta viết −1 = (σ − 1) − σ, khi đó

t
s
τ
−1
dτ ≤

t
s
(τ − s)
σ−1
s
−σ
dτ.
Đổi biến u = τ − s, du = dτ

t
s
(τ − s)
σ−1
s
−σ
dτ =


t−s
0
u
σ−1
s
−σ
du.
Lại đổi biến v =
u
t − s
, dv =
du
t − s

t−s
0
u
σ−1
s
−σ
du =

1
0
v
σ−1
(t − s)
σ
s
−σ

dv
= B(1, σ)(t − s)
σ
s
−σ
.
Suy ra
ΦU(t) − ΦU(s) ≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−σ
, 0 < s < t ≤ S. (1.39)
Theo Định lý 1.8 thì e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
G(s)ds liên tục tại t = 0 trong X. Hơn
nữa, từ (1.36) cho t → 0 ta có


t

0
e
−(t−s)A
F (U(s))ds ≤ C

t
0
(s
−η
+ 1)ds
≤ C(t
1−η
+ t) → 0.
Suy ra ΦU ∈ C([0, S]; X).
Vậy Φ là ánh xạ từ K(s) vào chính nó với S đủ nhỏ.
24