Một Úng dụng của Đạo hàm trong bài toán chứa tham số

Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
MỤC LỤC

1/ Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán cấp THPT hiện nay, các bài toán liên quan đến tham số
cóthể xếp vào nhóm kỷ năng bậc cao trong tư duy và thực hành của học sinh. Do đó
không ít học sinh e ngại khi đúng tới các vấn đề liên quan đến tham số. Để giải các bài
toán dạng : Điều kiện có nghiệm; số nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc K của
phương trình; bất phương trình; hệ phương trình, hệ bất phương trình đòi hỏi học sinh
phải có kiến thức tổng hợp , khả năng suy xét phán đoán và tính chặt chẽ khi giải loại
toán này.
1
Trang
Phần mở đầu 2
1. Lý do chọn đề tài 2
2.Mục đích , nghiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 2
3. Nội dung nghiên cứu 2
Phần A: Cở sở lý thuyết 3
Phần B : Nội dung đề tài 4
I/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của phương trình có chứa tham số 4
1. Phương trình đa thức 4
2. Phương trình vô tỉ 5
3. Phương trình mũ và logarít 9
4. Phương trình lượng giác 10
II/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của bất phương trình có chứa tham số 13
1. Bất phương trình vô tỉ 12
2. Bất phương trình mũ và logarít 13
III/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương
trình có chứa tham số
16
1. Hệ phương trình 16

2. Hệ bất phương trình 17
Phần C: Kết luận 21
Phần D : Hướng nghiên cứu mới 22
Phần đánh giá của hội đồng các cấp 23
Tài liệu tham khảo 25
PHẦN MỞ ĐẦU
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Cách giải loại toán này là thường quy về tam thức bậc hai,biện luận các khả năng
xảy ra rồi sử dụng các điều kiện so sánh nghiệm, xét dấu các nghiệm để đi tìm đáp
số, cũng có thể giải bằng phương pháp đánh giá tuỳ theo từng bài toán. Xong, giải
quyết các bài toán dạng trên chúng ta còn một công cụ rất mạnh nữa là dựa vào chiều
biến thiên của hàm số , giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số thông qua việc ứng
dụng đạo hàm để giải.
Hiện nay, với chương trình phân ban sách giáo khoa viết theo tinh thần giảm tải
cho học sinh đã lït bỏ các nội dung về so sánh một số với các nghiệm tam thức bậc
hai ở chương trình đại số 10, nên việc giải các bài toán liên quan đến so sánh nghiệm
thường quy về xét dấu nghiệm. Cách làm này không né tránh khỏi phức tạp ở đa số bài
toán chứa tham số. Với lý do đó nên khi giảng dạy cho học sinh trong lớp 12 ôn tập
chương trình tôi đã đònh hướng cho học sinh khai thác ứng dụng đạo hàm trong giải toán
, đặc biệt là” Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán có chứa tham số “, nhằm
trang bò thêm cho các em về phương pháp giải và giảm nhẹ mức sai sót cho học sinh khi
giải toán. Huy vọng giúp ích được nhiều cho các em trong quá trình ôn tập kiến thức
2/ Mục đích và nhiệm vụ nghiện cứu
Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và giúp
học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm, nên trong phạm vi của đề tài
này tôi xin trình bày một ứng dụng của đạo hàm trong việc nghiên cứu nghiệm của các
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phương trình đại số có chứa tham
số. Xuất phát từ cơ sở lý thuyết về ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên, giá trò lớn
nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số từ đó giới hạn phạm vi giá trò tham số thoả mãn yêu
cầu, nhiệm vụ của bài toán.

3/ Nội dung
Tài liệu này được trình bày thông qua việc phân loại theo nhóm dạng bài toán:
* Phần A: Cơ sở lý thuyết
* Phần B: Nội dung :
I/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm phương trình có chứa tham số
II/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm của bất phương trình có chứa tham số
III/Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình có
chứa tham số
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
PHẦN A : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Mệnh đề 1: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá
trò nhỏ nhất trên D.
2
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Khi đó hệ phương trình
( )f x
x D
α
=


∈

có nghiệm khi và chỉ khi
min ( ) max ( )
x D
x D
f x f x
α
∈

∈
≤ ≤
Mệnh đề 2: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên
[ ]
;D a b=
và đạt được giá trò lớn nhất,
giá trò nhỏ nhất trên D. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm trên
( )
;a b
Mệnh đề 3: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá
trò nhỏ nhất trên D.
1. Bất phương trình :
( ) ,f x
α
≥
có nghiệm trên D khi và chỉ khi
max ( )
x D
f x
α
∈
≥
2. Bất phương trình :
( ) ,f x
α
≥
nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi
min ( )
x D

f x
α
∈
≥
Mệnh đề 4: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá
trò nhỏ nhất trên D.
1)Bất phương trình :
( ) ,f x
β
≤
có nghiệm trên D khi và chỉ khi
min ( )
x D
f x
β
∈
≤
2) Bất phương trình :
( ) ,f x
β
≤
nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi
max ( )
x D
f x
β
∈
≤
Mệnh đề 5: Cho phương trình f(x) = g(x) với ∀x∈D.
Giả sử trên miền x∈D hàm f(x) luôn luôn đồng biến còn hàm g(x) luôn nghòch biến .

Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm, thì có nghiệm duy nhất
Đònh Lí (Điều kiện đủ của tính đơn điệu)
Giả sử hàm số f có đoạ hàm trên khoảng I
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc I thì hàm số f nghòch biến trên khoảng I
c) Nếu f’(x) =0 với mọi x thuộc I thì hàm số f không đổi trên khoảng I
PHẦN B: NỘI DUNG
I/ DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
1/ Phương trình đa thức:
Ví dụ1: Tìm m để phương trình mx
2
+ 2mx -3 = 0 có nghiệm
[ ]
1;2x ∈
Giải :
Phương trình được viết lại dạng: (x
2
+2x)m = 3 (1)
* Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (1)
* x ≠ 0, chia hai vế phương trình ta được
2
3
2
m
x x
=
+

Xét hàm số
2

3
( )
2
f x
x x
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2
, f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn
[ ]
1; 2
3
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Ta có
( )
[ ]
2
2
6( 1)
'( ) 0, 1; 2
2
x
f x x
x x
− +
= < ∀ ∈
+
⇒ f(x) giảm trên đoạn

[ ]
1; 2
⇒
[ ]
[ ]
1;2
1;2
3
min ( ) (2) ; max ( ) (1) 1
8
x
x
f x f f x f
∈
∈
= = = =
Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn
[ ]
1; 2
khi và chỉ khi

[ ]
[ ]
1;2
1;2
min ( ) max ( )
x
x
f x m f x
∈

∈
≤ ≤

3
1
8
m⇔ ≤ ≤
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2 2
( 2 ) 4 ( 2 ) 3 1 0x x m x x m+ − + + + =
(1)
Giải :
* Đặt
2 2
2 ( 1) 1 1t x x x t= + = + − ⇒ ≥ −

Ta có phương trình theo t:
t
2
- 4mt + 3m +1 = 0 ⇔ t
2
+1 = m(4t-3) (2)
*
3
4
t =
không là nghiệm phương trình, do đó
2

1
(2)
4 3
t
m
t
+
⇔ =
−
(3)
* Xét hàm số
2
1
( )
4 3
t
f t
t
+
=
−
trên
[
)
3
1; \
4
 
− +∞
 

 
Đạo hàm
2
2
2(2 3 2) 1
'( ) ; '( ) 0 2
(4 3) 2
t t
f t f t t t
t
− −
= = ⇒ = − ∨ =
−
Bảng biến thiên t -1
1
2
−

3
4
2 +
∞
f’(t) + 0 - - 0 +

1
4
−
+
∞
+

∞

f(t)

2
7
−
-
∞
1
(1) có nghiệm khi (3) có nghiệm t∈
[
)
3
1; \
4
 
− +∞
 
 
. Dựa vào bảng biến thiên
Ta được
1
1
4
m m≤ − ∨ ≥
Nhận xét: Vớùi cách giải này học sinh né được vấn đề phải so sánh nghiệm mà chương
trình mới không trang bò
2/ Phương trình vô tỉ
Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

2
1 1x m x+ = +
Giải :
* Phương trình xác đònh với mọi số thực x
Chia hai vế phương trình cho
2
1x +
, ta được:

2
1
1
x
m
x
+
=
+
4
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
* Xét hàm số
2
1
( )
1
x
f x
x
+
=

+
, liên tục trên R
*
2
2
1
1
1
lim lim 1
1
1
1
x x
x
x
x
x
→−∞ →−∞
+
+
= = −
+
− +
và
2
2
1
1
1
lim lim 1

1
1
1
x x
x
x
x
x
→+∞ →−∞
+
+
= =
+
+
Ta có
2 2
1
'( )
( 1) 1
x
f x
x x
−
=
+ +
; f’(x) =0 ⇒ x = 1
Bảng biến thiên
x -
∞
1 +

∞
f’(x) + 0 -

2
f(x)
-1 1

Dựa vào bảng biến thiên , số nghiệm của phương trình tuỳ thuộc vào giá trò m
như sau :
m ≤ -1 hoặc m >
2
phương trình vô nghiệm
-1<m≤ 1hoặc m =
2
Phương trình có một nghiệm
1 < m <
2
Phương trình có hai ngiệm phân biệt

Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
1x m m x+ = +
Giải :
* Phương trình xác đònh với mọi x ∈R
Phương trình đưa về dạng
2
( 1 1)x m x= + −

Nhân hai vế phương trình với
2

1 1x + +
ta được :
2 2
( 1 1)x x mx+ + =
(1)
* Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình (1)
* x≠ 0 , chia hai vế x
2
, đưa phương trình về dạng :

2
1 1x
m
x
+ +
=

* Xét hàm số
2
1 1
( )
x
f x
x
+ +
=
, trên
{ }
\ 0R
. Hàm số liên tục trên từng khoảng

xác đònh
* Dễ dàng tính được
lim ( ) 1; lim ( ) 1
x x
f x f x
→−∞ →+∞
= − =
và
0 0
lim ( ) ; lim ( )
x x
f x f x
− +
→ →
= −∞ = +∞

{ }
2
2 2
1 1
'( ) 0, \ 0
1
x
f x x R
x x
− − +
= < ∀ ∈
+

⇒ Hàm số nghòch biến trên các khoảng

( ) ( )
;0 ; 0;−∞ +∞

5
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Bảng biến thiên
x -
∞
0 +
∞
f’(x) - -
-1 +
∞

f(x)
-
∞
1
Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm phương trình 1 tuỳ theo giá trò m như sau:
m< -1 hoặc m > 1 Phưong trình có 1 nghiệm
-1 ≤ m ≤ 1 Phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trò dương của tham số m phương trình sau
luôn có hai nghiệm thực phân biệt
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
( Đề ĐH khối B -2007)
Gi ả i
* Giả thiết m>0 , do đó điều kiện
2x
≥

* Với
2x
≥
⇒ x
2
+2x +8 ≥ 0, bình phương hai vế phương trình ta được:

( ) ( )
2 2
4 2 ( 2)x x m x+ − = −
(1)

( )
2
2
4 ( 2) (2)
x
x x m
=

⇔

+ − =


Phương trình (1) luôn có một nghiệm x= 2
* Xét hàm số f(x) = (x+4)
2
(x-2) = x
3

+ 2x
2
+ 8x - 32 trên ( 2; +∞ ), là hàm số liên tục
Ta có
2
2
2 20
'( ) 3 4 8 3 0,
3 3
f x x x x x
 
= + + = + + > ∀
 ÷
 
⇒ hàm số luôn đồng biến
f(2) = 0,
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
.
Bảng biến thiên :
x 0 2 +∞
f’(x) +
+∞
f(x) 0
-32

Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy với m > 0 đồ thò hàm số y= m cắt đồ thò y = f(x)

tại một điểm duy nhất , do đó với m > 0 phương trình (2) luôn có nghiệm duy nhất .
Vậy, với m > 0 phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt
 Nhận xét : Những bài toán tương tự thế này học sinh thường mắc lỗi khi không xác
đònh giá trò giới hạn của hàm số khi x tiến ra
±∞
hoặc x tiến đến giá trò không xác đònh
6
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
của hàm số . Do đó ta cần nhấn mạnh phải kiểm tra giới hạn của hàm số trước khi lập
bảng biến thiên .
* Tiếp theo ta xét thêm các bài toán phải đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
(1)
Gi ả i:
Nhận xét: Trong một phương trình chứa tổng và tích, thông thường ta đặt t bằng tổng
khi đó tích có thể biểu diễn qua tổng. Điều này có thể khắc sâu trong lối mòn tư duy cho
học sinh. Bài toán trên có thể giải như sau:
* Điều kiện xác đònh của phương trình :
3 6x
− ≤ ≤
* Đặt
3 6t x x= + + −

Vì t là hàm số theo x, nên ngoài cách tìm điều kiện của t qua đánh giá chúng ta
có thể sử dung đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của t
Ta có :
6 3
'( )
2 ( 3)(6 )

x x
t x
x x
− − +
=
+ −
; trên đoạn
[ ]
3; 6−
,
3
'( ) 0 3
2
t x x≥ ⇔ − ≤ ≤
Bảng biến thiên :
x -3
3 2
6
t’(x) + 0 -

3 2
t(x)
3 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện t
3 3 2t≤ ≤

2
1 9
3 6 ( 3)(6 )
2 2

t x x x x t= + + − ⇒ + − = −

Ta có phương trình theo t:
2
1 9
2 2
t t m− + + =
(2)
* Xét hàm số
2
1 9
( )
2 2
f t t t= − + +
trên đoạn
3;3 2
 
 

'( ) 1 '( ) 0, 3;3 2f x t f x t
 
= − + ⇒ < ∀ ∈
 
do đó hàm số nghòch biên trên đoạn
3;3 2
 
 
;
⇒
3;3 2

3;3 2
6 2 9
max ( ) (3) 3; min ( ) (3 2)
2
f t f f t f
 
 
 
 
−
= = = =
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm trên đoạn
3;3 2
 
 
Điều đó có khi
3;3 2
3;3 2
6 2 9
min ( ) max ( ) 3
2
f t m f t m
 
 
 
 
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(1)
Gi ả i:
7
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Nhận xét: Bài toán chứa hiệu và tích của
2 2
1 ; 1x x+ −
. Do đó có thể đặt t bằng
hiệu, tích hoàn toàn có thể biểu diễn qua hiệu.
* Điều kiện:
1 1x− ≤ ≤
* Đặt
2 2
1 1t x x= + − −
; t≥ 0

2 2 2 2
2 2 1 2 2; 2 1 2t x t x t= − − ≤ ⇒ ≤ − = −
Vậy điều kiện theo t :
0 2t≤ ≤
Ta có phương trình theo t : m(t+2) = 2-t
2
+t

2
2
2
t t

m
t
− + +
⇔ =
+
(2)
* Xét
2
2
( )
2
t t
f t
t
− + +
=
+
, trên đoạn
0; 2
 
 
. Hàm số liên tục

( )
2
2
4
'( )
2
t t

f t
t
− −
=
+
⇒ trên
( )
0; 2
, f’(t) < 0 , hàm số nghòch biến trên
( )
0; 2

0; 2
0; 2
min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
 
 
 
 
= = − = =

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn
0; 2
 
 
. Điều đó có khi
0; 2
0; 2
min ( ) max ( ) 2 1 1f t m f t m
 

 
 
 
≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(1)
Giải :
* Điều kiện x ≥ 1

2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −

4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ = − +
+ +

* Đặt
2
4

1 1
(0 1)
1 1
x x
t t t
x x
− −
= ≤ < ⇒ =
+ +
. Ta có phương trình theo t
m =-3t
2
+2t (2)
* Xét f(t) = -3t
2
+2t trên
[
)
0;1
; f’(t)= -6t+2 , f’(t) =0 ⇒
1
3
t =
Bảng biến thiên
x 0
1
3
1
f’(t) + 0 -

1
3
f(t)
0 -1
(1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên nửa khoảng
[
)
0;1
. Dựa vào bảng
biến thiên, điều đó có khi
1
1
3
m− < ≤
8
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
3/ Dạng phương trình mũ và logarít
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình

2
1 1
2 2
( 1) log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m− − − − − + − =
(1)
có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
1 2
2 4x x< ≤ <
Giải :
* Điều kiện x > 2
* Đặt

1
2
log ( 2)t x= −
;
2 4 1x t
< < ⇔ > −
Ta có phương trình theo t: (m-1)t
2
– (m-5)t +m-1 = 0
⇔ (t
2
- t+1)m = t
2
-5t+1
⇔
2
2
5 1
1
t t
m
t t
− +
=
− +
(2)
*Xét hàm
2
2
5 1

( )
1
t t
f t
t t
− +
=
− +
trên khoảng
( )
1;− +∞
.
f(t) là hàm số liên tục và xác đònh trên
( )
1;− +∞

2
2
5 1
1
lim ( ) lim 1
1 1
1
x x
t t
f t
t t
→+∞ →+∞
− +
= =

− +
;
2
2 2
4 4
'( )
( 1)
t
f t
t t
−
=
− +
, trên
( )
1;− +∞
f’(t)=0 ⇒ t=1
Ta có bảng biến thiên
t -1 1 +∞
f’(t) 0 - 0 +

7
3
1
f(t) -3

(1) có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả
1 2
2 4x x< ≤ <
, khi (2) có hai nghiệm t
1,
t
2
thoả
-1< t
1
≤t
2
. Dựa bào bảng biến thiên ta được -3≤ m <1
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
(1)
Giải:
* Điều kiện :
1 1x
− ≤ ≤
* Đặt
2
1 1

3
x
t
+ −
=
, 3≤ t ≤ 9
Ta có phương trình theo t:

2
( 2) 2 1 0t m t m− + + + =

2
2 1 ( 2)t t m t⇔ − + = −
(*)
Vì 3≤ t ≤ 9 nên t-2 ≠ 0 (*)
2
2 1
2
t t
m
t
− +
⇔ =
−

* Xét
2
2 1
( )
2

t t
f t
t
− +
=
−
; trên
[ ]
3;9
. Ta có
2
2
4 3
'( )
( 2)
t t
f t
t
− +
=
−
; f’(t) =0 ⇒ t=1 hoặc t=3
9
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Trên đoạn
[ ]
3;9
, Ta có bảng biến thiên
t 3 9
f’(t) 0 +

f(t)
64
7
4
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t∈
[ ]
3;9
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
64
4
7
m≤ ≤
4/ Dạng phương trình lượng giác
Ví dụ 1: Cho phương trình
2cos .cos 2 .cos3 7 cos 2x x x m x+ =
Xác đònh m để phương trình trên có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn
3
;
8 8
π π
 
− −
 
 
Giải :
* Biến đổi phương trình về dạng :
3 2
2cos 2 cos 2 8cos 2x x x m− − + =
* Với

3 3 2 2
; 2 ; cos 2 ;
8 8 4 4 2 2
x x x
π π π π
 
   
∈ − − ⇒ ∈ − − ⇒ ∈ −
 
   
   
 
* Đặt t = cos2x
2 2
;
2 2
t
 
⇒ ∈ −
 
 
Ta có phương trình theo t: -2t
3
–t
2
+8t = m
* Xét hàm số f(t)= -2t
3
–t
2

+8t ;
2 2
;
2 2
t
 
∈ −
 
 
Ta có f’(t) = -3t
2
-2t +8 ; f’(t) = 0 ⇒ t=1 hoặc t=
4
3
−
Do đó ∀t
4 2 2
'( ) 0, ;1 '( ) 0, ;
3 2 2
f t t f t t
 
 
> ∀ ∈ − ⇒ > ∀ ∈ −
 
 
 
 
⇒ f(t) đồng biến trên đoạn
2 2
;

2 2
 
−
 
 
* Bảng biến thiên:
t
2
2
−

2
2

f’(t) +

7 2 1
2
−

f(t)
10
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

7 2 1
2
− −

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình theo t có đúng một
2 2

;
2 2
t
 
∈ −
 
 
Vì mỗi
2 2
;
2 2
t
 
∈ −
 
 
, tương ứng duy nhất một giá trò x ∈
3
;
8 8
π π
 
− −
 
 
Vậy không tồn tại giá trò m để phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm thuộc
3
;
8 8
π π

 
− −
 
 
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

6 6
2 2
cos sin
2 tan 2
cos sin
x x
m x
x x
+
=
−
Giải:
* Điều kiện
2 2
cos sin cos 2 0x x x− = ≠
* Biến đổi lượng giác ta được

6 6 2 2 2
3
cos sin 1 3sin cos 1 sin 2
4
x x x x x+ = − = −

Do đó phương trình viết thành :

2
3
1 sin 2
sin 2
4
2
cos 2 cos 2
x
x
m
x x
−
=
(1)
* Đặt t= sin2x thì t∈ (-1;1) ( do cos2x ≠ 0 ) và ta có phương trình 3t
2
+8mt -4 = 0 (2)
Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm t∈ (-1;1)
Vì t = 0 không là nghiệm của (2) nên (2)
2
3 4
8
t
m
t
− +
⇔ =

* Xét hàm số
2
3 4
( )
8
t
f t
t
− +
=
trên
( )
1;0 (0;1)− ∪
Đạo hàm
2
3 1
'( ) ( ) 0, ( 1;0) (0;1)
8 2
f t t
t
= − + < ∀ ∈ − ∪
* Ta có bảng biếng thiên:
t -1 0 1
f’(t) - -

1
8
−
+∞

-∞
1
8
Dựa vào bảng biến thiên thì khi
1
8
m >
thì phương trình sẽ có nghiệm
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
11
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
1/ Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình

3 2
18 2 0x x mx m− + − =

Có ba nghiệm dương phân biệt
2/ Tìm m để phương trình : (x
2
+2x)
2
–(m+1) (x
2
+2x)+m +1=0 có 3nghiệm phân biệt x
[ ]
0;3−∈
3/ Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn ba thì phương trình

2 1 2
( 1) 3( 2) 0

n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + =
Vô nghiệm
4/ Tìm các giá trò m để phương trình sau có đung hai nghiệm thực phân biệt:

4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
( ĐH Khối A 2008)
5/ Tìm m để phương trình sau sau có nghiệm
2
1 1x m x x+ = − +
6/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 4
4
4 4 6x x m x x m+ + + + + =
7/ Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 

2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
8/ Tìm m để phương trình :
2 2 2
2 1 4
2

log log 3 (log 3)x x m x+ − = −

có nghiệm thuộc nửa khoảng
[
)
32;+∞

9/ Cho phương trình :
3 2
(4 6 )sin 3(2 1)sin 2( 2)sin cos (4 3)cos 0m x m x m x x m x− + − + − − − =
Xác đònh m để phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
4
π
 
 
 

II/ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA
THAM SỐ
1/ Bất phương trình vô tỉ
Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình :
2
( 2 2 1) (2 ) 0m x x x x− + + + − ≤
(1)
có nghiệm thuộc đoạn
0;1 3
 
+
 

( Đề dự bò ĐH Khối A 2007 )
Gi ả i
* Vì x
2
-2x +2 =(x-1)
2
+1 ≥1 , nên bất phương trình xác đònh với mọi x
Bất phương trình được viết lại dạng
2 2
( 2 2 1) ( 2 2) 2m x x x x− + + ≤ − + −
* Đặt
2
2 2t x x= − +
, (t≥1);
[ ]
0;1 3 1; 2x t
 
∈ + ⇔ ∈
 
Ta có bất phương trình theo t:
2
2
2
( 1) 2
1
t
m t t m
t
−
+ ≤ − ⇔ ≤

+
(2)
* Xét hàm số
2
2
( )
1
t
f t
t
−
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2

Ta có
2 2
2 2
2 2 ( 1) 1
'( ) 0,
( 1) ( 1)
t t t
f t t
t t
− + − +
= = > ∀
+ +
⇒ f(t) đồng biến trên đoạn

[ ]
1; 2
Phương trình (1) có nghiệm trên
0;1 3
 
+
 
⇔ (2) có nghiệm trên đoạn
[ ]
1; 2
12
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Điều đó có khi
[ ]
1;2
2
max ( ) (2)
3
m f t f≤ = =
Ví dụ 2 : Tìm m để bất phương trình
3 2 3
3 1 ( 1)x x m x x+ + ≤ − −
có nghiệm
Giải :
* Điều kiện x ≥ 1
*
3 2 3
3 1 ( 1)x x m x x+ + ≤ − −
⇔
3 2 3

( 3 1)( 1)x x x x m+ + + − ≤
(1)
* Xét các hàm số
+ h(x)= x
3
+3x
2
+1, xác đònh trên
[
)
1; +∞
và h’(x)= 3x
2
+6x ⇒ h’(x) >0 ,∀x∈
[
)
1; +∞
⇒ h(x) đồng biến trên
[
)
1; +∞
+
3
( ) ( 1)g x x x= + −
, xác đinh trên
[
)
1; +∞
,

[
)
2
1 1
'( ) 3( 1) 0, 1;
2 2 1
g x x x x
x x
 
= + − + > ∀ ∈ +∞
 ÷
−
 
⇒ g(x) đồng viến trên
[
)
1; +∞
Do đó hàm số f(x)= h(x).g(x) đồng biến trên
[
)
1; +∞
Bất phương trình (1) có nghiệm ⇔
[
)
1;
min ( ) (1) 5m f x f
+∞
≥ = =
2/ Bất phương trình mũ và logarit
Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trò tham số m để bất phương trình

2
4 ( 1)2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
nghiệm đúng với mọi x thuộc R
Giải
* Bất phương trình các đònh với mọi x thuộc R
* Đặt t = 2
x
, (t >0)
* Ta có bất phương trình theo t: mt
2
+4(m-1)t +m-1 >0 ⇔ (t
2
+ 4t +1)m > 4t+1
Với t >0 thì t
2
+4t+1 >0. Chia hai vế bất phương trình với t ta được
2
4t+1
m >
t + 4t +1
* Xét hàm số
2
4t+1
f(t)=
t + 4t +1

, trên khoảng
( )
0;+∞

Dễ thấy
lim ( ) 0
x
f t
→+∞
=
Ta có
2
2 2
-4t -2t
'( ) 0, (0; )
(t + 4t +1)
f t t= < ∀ ∈ +∞
⇒ f(t) giảm trên
( )
0;+∞
* Bảng biến thiên :
t 0 +
∞
f’(t) -
1
f(t)
0
Dựa vào bảng biến thiên
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ⇔ (2) nghiệm đúng ∀t > 0
Điều đó có khi m >1

13
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

Ví dụ2 : Cho bất phương trình :
2 2 2
2 2 2
.9 (2 1).6 .4 0
x x x x x x
m m m
− − −
− + + ≤
(1)
Tìm tất cả các giá trò tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả
1
2
x ≥
Giải
* Bất phương trình (1) xác đònh ∀x∈R
* Chai hai vế cho
2
2
4
x x−
, ta được

2 2
2
2 2
3 3
(2 1) 0

2 2
x x x x
m m m
− −
 
   
 
− + + ≤
 ÷  ÷
   
 
 
* Xét hàm số g(x) = 2x
2
–x , g’(x) = 4x-1; g’(x) = 0 ⇔ x=1/4

Trên
1 1
; ;
2 2
   
−∞ − ∪ +∞
 ÷
 
   
, ta có bảng biến thiên
x -
∞

1

-
2

1
4

1
2
+
∞

f’(x) - 0 +
+
∞
+
∞

f(x)
1 0

⇒ g(x) ≥ 0, ∀x thoả
1
2
x ≥

* Đặt
2
2
3
2

x x
t
−
 
=
 ÷
 
, vì
1
2
x ≥
nên t≥1
* Ta có bất phương trình mt
2
– (2m+1)t +m ≤ 0 ⇔ (t-1)
2
m ≤ 2t
t=1 là một nghiệm của bất phương trình
t> 1, (t-1)
2
>0. Chia hai vế bất phương trình cho (t-1)
2
ta được

( )
2
2
1
t
m

t
≤
−
(2)
* Xét hàm số
( )
2
2
( )
1
t
f t
t
=
−
, Hàm số f(t) liên tục trên (1; +∞)
*
2 2
1
2 2
lim ; lim 0
( 1) ( 1)
t
t
t t
t t
+
→+∞
→
= +∞ =

− −

( )
3
2( 1)
'( ) 0, 1
1
t
f t t
t
− +
= < ∀ >
−
⇒ Hàm số nghòch biến trên (1; +∞)
14
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
* Bảng biến thiên
t 1 +
∞

f’(t) -
+
∞
f(t)
0

Dựa bào bảng biến thiên
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x thoả
1
2

x ≥

⇔ (2) nghiệm đúng với mọi t≥1. Điều đó có khi m > 0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1/ Tìm m để bất phương trình
2
(4 )(6 ) 2x x x x m+ − ≤ − +

Nghiệm đúng với mọi x thuộc
[ ]
3; 6−

2/ Cho bất phương trình
1
.2 (2 1)(3 5) (3 5) 0
x x x
m m
+
+ + − + + <
Tìm tất cả các giá trò tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x≤ 0
3/ Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a/
3 3
sin cosx x m+ ≥
;
b/
4
4 0x mx m+ + >
c/
2

2 2 2 0x mx x m− + − + >
4/ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả
1x ≤

III/DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
1/ Hệ phương trình
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với m≠0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

2
2
2
2
2
2
m
x y
y
m
y x
x

= +




= +



Giải
* Điều kiện x>0; y>0
15
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

2
2
2
2
2
2
m
x y
y
m
y x
x

= +




= +


2 2 2
2 2 2
2 (1)
2 (2)

x y y m
y x x m

= +

⇔

= +



Lấy (1) Trừ (2) theo vế

2 2 2 2
2 2 ( )(2 ) 0x y y x y x x y xy x y− = − ⇔ − + + =
(3)
Vì x>0, y>0 nên 2xy+x+y>0, do đó (3) ⇔ x-y=0 hay y=x
Thế vào (1) ta được : 2x
3
= x
2
+m
2
⇔ 2x
3
–x
2
= m
2
(4)

* Xét hàm số f(x) = 2x
3
-x
2
trên (0; +∞ )
f’(x) = 6x
2
-2x; f’(x) =0 ⇒ x=0 hoặc x= 1/3
* Bảng biến thiên
x 0
1
3
+∞
f’(x) - 0 +
0 +∞
f(x)

1
3
−
m ≠ 0 ⇒ m
2
> 0 , dựa vào bảng biến thiến ta thấy (4) có nghiệm duy nhất ∀m≠ 0
Vậy ∀m≠ 0 hệ luôn có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 : Tìm giá trò của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm

3 3
3 3
1 1

5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −


( Đề ĐH khối D 2007)
Gi ả i:
* Điều kiện x.y≠ 0

3
3
3 3
3 3
1 1
1 1
5
5
1 1
1 1 1 1

15 10
3 3 15 10
x y
x y
x y
x y
x y m
x x y y m
x y
x x y y


+ + + =
+ + + =


 
⇔
 
   
   
 
+ + + = −
+ − + + + − + = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 

   
   



* Đặt
1
; 2
1
; 2
u x u
x
v y v
y
= + ≥
= + ≥
* Ta có hệ
3 3
5
3( ) 15 10
u v
u v u v m
+ =


+ − + = −


3
5
( ) 3 ( ) 3( ) 15 10
u v
u v uv u v u v m

+ =

⇔

+ − + − + = −


16
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

5
8
u v
uv m
+ =

⇔

= −

⇒ u,v là các nghiệm phương trình : t
2
-5t +8-m =0 ⇔ t
2
-5t +8=m (1)
Xét hàm số f(t)=t
2
-5t+8 trên
(
] [

)
; 2 2;−∞ − ∪ +∞
Ta có f’(t) = 2t-5; f’(t) = 0 ⇒ t=5/2
Bảng biến thiên
t -∞ -2 2
5
2
+∞
f’(t) - - 0 +
+∞ 2 +∞
f(t)
22
7
4
Theo điều kiện của u và v . Hệ có nghiệm khi phương trình (1) có hai nghiệm t
1
;
t
2
thoả
2 1
2t t≥ ≥
. Dựa vào bảng biến thiên ta có
7
2 22
4
m m< ≤ ∨ ≥

2/ Hệ bất phương trình
Ví dụ 1: Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ sau có hai nghiệm phân biệt :

2
3
3 3
2
2
2 5
log ( 1) log ( 1) log 4
log ( 2 5) log 2 5
x x
x x
x x m
− +
+ − − >



− + − =


Giải :
* Điều kiện x >1

2
3
3 3
2
2
2 5
log ( 1) log ( 1) log 4 (1)

log ( 2 5) log 2 5 (2)
x x
x x
x x m
− +
+ − − >



− + − =


Bất phương trình (1)
3 3
2log ( 1) 2log 2( 1) 1 2( 1) 0 1 3x x x x x⇔ + > − ⇔ + > − > ⇔ < <
Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc
khoảng (1;3)
(2)
2
2
2
2
log ( 2 5) 5
log ( 2 5)
m
x x
x x
⇔ − + − =
− +

2 2 2
2 2
log ( 2 5) 5log ( 2 5) 0x x x x m⇔ − + − − + − =
Vì 1<x< 3 ⇒ 4 < x
2
– 2x + 5 < 8 ⇔
2
2
2 log ( 2 5) 3x x< − + <
* Đặt
2
2
log ( 2 5)t x x= − +
; 1 < x < 3 ⇒ 2 < t < 3
* Nhận xét: t
0
∈ (2;3) ⇒ Phương trình
2
2 0
log ( 2 5)x x t− + =
có hai nghiệm thuộc (1;3)
Ta có phương trình theo t: t
2
-5t-m = 0 ⇔ t
2
-5t =m (3)
Xét hàm số f(t) = t
2
– 5t trên (2;3); f’(t) = 2t-5; f’(t) =0 ⇒ t= 5/2

* Bảng biến thiên : t 2
2
5
3
f(‘t) - 0 +
17
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
-6 -6
f(t)

46
25
−
Dựa vào bảng biến thiên
(2) có hai nghiệm thuộc (1;3) ⇔ (3) có một nghiệm thuộc (2;3)
Điều đó có khi
46
25
m = −
Ví dụ 2 : Cho hệ bất phương trình :

( )
2
3
3 2 1 0 1
3 1 0 (2)
x x
x mx

+ − <



+ + <



Với những giá trò nào của m thì hệ có nghiệm
Giải
(1) ⇔
1
1
3
x− < <

(2) ⇔
3
1 3x mx+ < −

Ta thấy x=0 không là nghiệm của bất phương trình
x≠ 0, Bất phương trình trên tương đương

3
3
1 0
1
3
1
0
3
1

3
x
x
m
x
x
x
m
x
 − < <




− −

<






< <





− −



>




Xét hàm số
3
1
( )
3
x
f x
x
− −
=
trên các khoảng
( )
1
1;0 0;
3
 
− ∪
 ÷
 
Ta có
3
3
2

2 1 4
'( ) ; '( ) 0
3 2
x
f x f x x
x
− +
= = ⇒ = −
Ta có bảng biến thiên
x -1
3
4
2
−
0
1
3

f’(x) + 0 - -

3
2 4
3

+∞

f(x)
1
−∞

25
9


Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm trên
các khoảng
( )
1
1;0 0;
3
 
− ∪
 ÷
 
18
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
3
2 4 25
3 9
m m< ∨ >
Ví dụ3: Tìm m để hệ sau có nghiệm :

2 1 2 1
2
7 7 2005 2005
( 2) 2 3 0
x x x
x
x m x m

+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


( Đề dự bò ĐH khối D 2005)
Gi ả i Kí hiệu bất phương trình

2 1 2 1
2
7 7 2005 2005 (1)
( 2) 2 3 0 (2)
x x x
x
x m x m
+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


* Điều kiện : x≥ -1
* Ta có
1
(1) 7 (49 49) 2005(1 ) (3)

x x
x
+
⇔ − ≤ −
* Nếu x >1 , VT(3) >0; VP(3) <0 . Do đó bất phương trình (3) không có nghiệm x>1
Xét -1 ≤ x<1 , VT(3) ≤0; VP(3) ≥ 0 ⇒ (3) nghiệm đúng với mọi x∈ [-1; 1)
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi (2) có nghiệm x∈ [-1; 1)
Ta có (2) ⇔ x
2
- 2x +3 ≥ (x-2)m
[
)
2
2 3
, 1;1
2
x x
m x
x
− +
⇔ ≤ ∀ ∈ −
−
* Xét hàm số
2
2 3
( )
2
x x
f x
x

− +
=
−
trên [-1; 1). Hàm số liên tục
Và
2
2
4 1
'( )
( 2)
x x
f x
x
− +
=
−
;
'( ) 0 2 3 2 3f x x x= ⇒ = − ∨ = +
Trên [-1; 1) ta có bảng biến thiên x -1
2 3−
1
f’(x)
-2 -2
f(x)

2 2 3−


Hệ có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm thuộc [-1; 1)
[

)
1;1
min ( ) 2 2 3m f x m
−
⇔ ≥ ⇔ ≥ −
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1/ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 0
1
x y m
x xy
− − =



+ =


(Đề dự bò ĐH khối D 2007)
2/ Tìm m để hệ sau có nghiệm

2
2
2 7 3 0
0
x x
x mx m

− + ≤



− + ≤


3/ Tìm m để hệ sau có nghiệm

2
3 2
3 0
2 2 20 0
x x
x x x m m

− ≤


− − − − ≥


19
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

IV/ DÙNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC
Bài: Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 4y x x m x m= + + + +
.
Tìm m để hàm số nghòch biến trên khoảng (-1;1)

Bài : Cho hàm số :
3
2
. 1
( 1) 3( 2)
3 3
m x
y m x m x= − − + − +
Tìm m để hàm số đồng biến trên
[
)
2;+∞

Bài ; Cho hàm số
3 2
3( 1) ( 3) 4y x m x m x= − − + + −
Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng chứa x sao cho
1 2x≤ ≤
Bài : Cho hàm số :
2
2 3
1
x x m
y
x
− +
=
−
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )

3; +∞
Bài tập tương tự:
1/ Cho hàm số
3 2
1
(2 1) 2
3
y x mx m x m= − + − − +
. Tìm m để hàm số nghòch biến trên
khoảng (-2;0)
2/ Cho hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + + + + −
. Tìm m để hàm số đồng biến trên
khoảng (0;3)
3/ Cho hàm số
2
2 2x mx m
y
x m
− + +
=
−
. Tìm m để hàm số nghòc biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
20
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán

PHẦN C
KẾT LUẬN

Các em đã được trang bò thêm một tư duy ứng dụng của đạo hàm khi giải các bài
toán chứa tham số khi học xong chương hàm số và ứng dụng đạo hàm của chương trình
giáo khoa lớp 12. Từ đó các em sẽ có những cách giải hợp lí trong quá trình ôn tập và
luyện thi. Biết cách chọn phương án tối ưu để giải bài toán và né tránh sai sót thiếu
trường hợp trong biện luận các khả năng của bài toán.
Trong mỗi phần tôi có bổ sung bài tập có cách giải tương tự được sưu tầm từ các đề
thi đại học trong nhiều năm trước , giúp các em tự rèn trong quá trình tự học.
Đề tài này tôi đã trình bày có hiệu quả trong quá trình giảng dạy cho học sinh, đặc
biệt là các học sinh khá giỏi
Tư liệu này là một kinh nghiệm tổng hợp và giảng dạy nhỏ của bản thân, không
tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự góp ý chân thành từ đồng nghiệp giúp tôi hoàn thiện
hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn !
Đồng Xuân, Ngày 15 tháng 3 năm 2009
Ngøi viết
PHẦN D
HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỚI
Ứng dụng của đạo hàm là một đề tài khá rộng,đặc biệt khi kết hợp với giá
trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất đã tạo ra sự phong phú và đa dạng toán . Do đó khi
trình bày giảng dạy cho học sinh nên phân loại để tạo ra và nhấn mạnh đặc điểm
riêng của từng loại , kích thích sự sáng tạo phong phú trong tư duy giải toán cho
học sinh.
Còn rất nhiều loại toán tham số trong chương trình cấp học mà khi giải kết
hợp với đạo hàm dễ dẫn đến kết quả hơn. Cho nên trong chuyên đề tới tôi có ý
21
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
đònh bổ sung “Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
và các bài toán cực trò “. Nhằm giúp các em học có hiệu quả hơn

PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP

TỔ TOÁN & BAN CHUYÊN MÔN TRƯỜNG
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
BAN CHUYÊN MÔN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
22
TIÊU
CHUẨN
TIÊU CHÍ ĐIỂM
ĐẠT
1
Có đối tượng nghiên cứu mới
1 ĐỔI MỚI 2
Có giải pháp mới và sáng tạo để nâng cao hiệu quả công vụ
3
Có đề xuất hướng nghiên cứu mới
2 LI ÍCH 4
Có chứng cớ cho thấy SKKN đã tạo hiệu quả cao, đáng tin,
đáng khen (phân biệt với SK chưa áp dụng với SK đã áp
dụng)
3
KHOA
HỌC
5
Có phương pháp nghiên cứu, cải tiến phù hợp với nghiệp vụ
và tổ chức hiện nay của đơn vò ( NĐ 20 CP / 08.2.1965)
6
Đạt lôgic, nội dung văn bản SKKN dễ hiểu

4 KHẢ THI 7
Có thể áp dụng SKKN cho nhiều người, ở nhiều nơi
5 HP LỆ 8
Hình thức văn bản theo quy đònh của các cấp quản lý thi đua
đã quy đònh
TỔNG CỘNG :
XẾP LOAI :
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Sách giáo khoa phân ban hiện hành
2/ Sách giáo khoa không phân ban lớp 10-11-12(SGK hợp nhất năm 2000)
3/ Phương pháp biện luận hệ có tham số – Phan Huy Khải
4/ Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp – Phan Phụ Huy
5/ Các đề thi đại học

23