CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN
GV: LÊ MINH HƯỞNG
*****===*****
CHUYÊN ĐỀ:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
NĂM HỌC: 2009-2010
PHƯƠNG TRÌNH-BẤT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
A. MỤC TIÊU :
• Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ
thi THPT
• Không đầu tư nhiều thời gian vào chuyên đề này vì học sinh còn chuẩn bị cho
các bộ môn khác
• Từ bài tập cơ bản nâng lên các bt mức độ cao hơn
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Lũy thừa:
nnn
n
n
n
nmnm
nm
n
m
nmnm

xyyx
y
x
y
x
xx
x
x
x
xxx
)(.
)(
)(
.
.
=
=
=
=
=
−
+
Logarit:
01log
1log
log
1
log
loglog
logloglog

)(logloglog
=
=
=
=
=−
=+
a
a
a
a
aa
aa
aaa
a
xx
xx
y
x
yx
xyyx
α
α
α
α
C. NỘI DUNG CHÍNH:
PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT
Dùng đễ ôn tập trong chương trình bồi dưởng sọc sinh yếu , ôn thi tốt nghiệp THPT
I)Phương trình mũ

Dạng cơ bản
αα
a
xf
xgxf
Logxfa
xgxfaa
=⇔=
=⇔=
)(
)()(
)(
)()(

Tập trung vào bốn dạng thường gặp sau đây:
1)Tích qui về cùng cơ số
Khi giài ta dựa theo dạng cơ bản đễ lấy nghiệm
TD Giải các phương trình sau đây
a) 2
x+1
.4
x-1
.
x
x
16
8
1
1
=

−


2
446
22
433221
=⇔
=−⇔
=⇔
+−−++
x
xx
xxxx
3
2
9
4
2
1
9
4
942
242
422
43
43.3.3
27
4
9.3)

3
333
3
3
22
322
1
LogLogx
LogLogLogx
Logx
Logx
b
x
xxx
x
xx
==⇔
=−=⇔
−=⇔
=+⇔
=⇔
=⇔
=
+
−
−

2) Tổng qui về cùng cơ số
Thông thường ta đưa về cơ số nguyên dương bé nhất và thu gọn thành phương trình bậc
hai

TD Giải các phương trình sau đây ;




−=
=
⇔
=−+
>=
=+
3
2
06:
)0(2
642)
2
t
t
ttptr
ttĐăt
a
x
xx

Do t > 0 nên ta chỉ nhận nghiệm t = 2
Suy ra 2
x
= 2 . KQ x = 1

xxx
b 8.21227)
=+
Chia hai vế cho 8
x
ta được phương trình

2
2
3
2
3
2
8
12
8
27
3
=






+







⇔
=






+






xx
xx
Đặt
x
t






=
2

3
( t > 0 )
Ptr : t
3
+ t - 2 = 0
Ta được nghiệm duy nhất t = 1
1
2
3
=






⇔
x

KQ x = 0
3) Tích chứa cơ số khác nhau
Dùng phương pháp logarit hóa ( Lấy log hai vế theo cơ số thích hợp )
TD Giải các phương trình
a)
12.3
2
=
xx

Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2

Ta được phương trình
023
2
22
=+
xx
LogLog

⇔
03
2
2
=+
xxLog




−=
=
⇔
=+⇔
3
0
0)3(
2
2
Logx
x
xLogx

Đặt t = a
x
( t > 0 )
Suy ra a
nx
= t
n

Nếu a.b = 1
Đặt t = a
x
thì b
x
= 1
/ t
11






−−
=
=
⇔
=−−+⇔
+=+⇔
+=+⇔
=⇔

=
5
51
1
05log1)5(log
5log15log
5252
)5.2()5.2(
105.2)
2
2
2
2
2
22
2
2222
22
2
2
2
Log
Log
x
x
xx
xx
LogLogLogLog
LogLog
b

xx
xx
xx

4) Tổng không đưa về được cùng cơ số
Tính nhẩm tìm nghiệm x
0
của phương trình
Chứng tỏ nghiệm đó là duy nhất
TD Giải các phương trình:
a) 2
x
+ 3
x
= 5
Phương trình nhận nghiệm x = 1
2
x
+ 3
x
= 5
⇔
2
x
+ 3
x
- 5 = 0
Xét hàm số f(x) = 2
x
+ 3

x
– 5 ( xác định với mọi x )
Ta có f
/
(x) = 2
x
ln2 + 3
x
ln3 > 0
)( x
∀
Suy ra đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
b) 2
x
+ 3
x
= 5


x

Phương trình nhận nghiệm x = 1
Chia hai vế của phương trình cho 3
x
xx
xx
xgxf
ptr







=+






=






=+






3
5
)(&1
3

2
)(
3
5
1
3
2
:

Cả hai hàm số đều có tập xác định là R
0
3
5
ln
3
5
)(&0
3
2
ln
3
2
)(
//
>







=<






=
xx
xgxf
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến
Do đó đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại mọt điểm duy nhất
KL phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1

II) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
DẠNG CƠ BẢN :
α
α
axfxfLog
xgxf
xg
xf
xgLogxfLog
aaCho
a
aa
=⇔=






=
>
>
⇔=
≠>
)()(
)()(
0)(
0)(
)()(
1&0

Ta tập trung vào ba dạng sau đây :
1) Tổng qui vế cùng cơ số
Thu gọn về dạng cơ bản
TD Giải các phương trình
a)
6
11
842
=++
xLogxLogxLog
ĐK x > 0. Đưa về cơ số 2 , ta được phương trình

2
1
6

11
6
11
6
11
)
3
1
2
1
1(
6
11
3
1
2
1
2
2
2
222
=⇔
=⇔
=⇔
=++⇔
=++
x
xLog
xLog
xLog

xLogxLogxLog




−=
=
⇔
=−+⇔
=+⇔
=+
>
=++
)(9
3
0276
27)6(
3)6(log:
0:
3)6(log2log)
2
3
93
loaix
x
xx
xx
xxptr
xđk
xb

x
2) Đặt ẩn phụ : Khi trong ptr chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa tích
hoặc thương
TD: giải ptr:
1
log5
1
log1
2
)
=
−
+
+
xx
a
Đk:





≠
≠
>
−
1
5
10
10

0
x
x
x
Đặt t = logx
Ptr :
1
5
1
1
2
=
−
+
+
tt
Thu gọn:
065
2
=+− tt