bất đẳng thức biến phân và ứng dụng 3

C h u'dng 1
Cae ki~n thue ehu~n bi.


Lu~n van thf;Lc81 Toan hQc

Chuang 1 : Cac ki@nthuc chu/in bi

Trang chuang nay chung t6i nhl1c 19>i Qt 86 khai ni~m, tfnh ch§,t cua t~p
m
16i,ham 16i, ham don di~u, anh X9> trt dU<;1c11d\mg trang 1u~n van.
da
8

1.1
1.1.1

T~p 16i. Ham 16i
T~p 16i

Dtnh nghia 1.1.1. Cia SV:X la kh6ng gian tuytn link. M c X dur;cgQi la tf)p

affine ntu thoa man, \la, b E M, \la E R, aa + (1 - a)b E M.
Tf)p affine chV:aOx dur;c gQi la kh6ng gian con cua X.
Dtnh nghia 1.1.2. Cia SV:X la kh6ng gian tuytn link va x, y EX.

[x,y] :={zEX/z=ax+(l-a)y,aE

Tf)p h{fp

[0,1]}

dur;cgQi la do(ln thdng [x,y].
Dtnh nghia 1.1.3. Cia SV:X la kh6ng gian tuytn link. M c X dur;egQi la tf)p
l6i ntu thoa man, \la, b E M, Va E [0,1], aa + (1- a)b E M.
Dtnh nghia 1.1.4. Cia SV:X la kh6ng gian tuytn link. Phitn ham f : X
dur;cgQi la phitn ham tuytn linh ntu thoa man, \Ix, y E X, a, /3 E R,
f(ax

+ /3y) =

R

-7

Y

af(x) + [3f(y).

Dtnh nghia 1.1.5. Cia SV: , Y la cac kh6ng gian tuytn link. Anh X(lT : X
x
dur;egQi la anh X(l tuytn link ntu thoa man, \Ix, y E X, \la, /3 E R,
T(ax

-7

+ [3y) = aT(x) + [3T(y).

Dtnh ly 1.1.1. Cia SV:x, Y la cae kh6ng gian tuytn tinh, A, B la cae tf)p 16i
tmng X va {Ao} la hQ tf)p l6i biu kz tmng X, 1 la mOt sf; th'ljCbiu kz. Kh-i d6

(i) no Ao la tf)p l6i tmng X;
(ii) A + B, 1A la cac tf)p l6i tmng X.
Dtnh 1y 1.1.2. Cia SV: Y la cae kh6ng gian tuy€n linh, T : X
X,

-7

Y la anh X(l

tuy€n tinh, A la tf)p 16itrong X va B la tf)p l6i trong Y. Khi d6 T(A) la tf)p l6i
tmng Y, T-1(B) la cac tf)p l6i trong X.
Trang 3


"

?

Dinh nghla 1.1.6. Gid s'u:X la khong gian tuyen tinh. x E X du(Jc gQi la to
h(Jp tuytn tinh l6i cua Xl, X2, ..., Xm E X ntu tOn tr;liAI, A2, ..., Am > o th6a man
2:7:1 Ai = 1 va X = 2:7:1 AiXi.

Dinh ly 1.1.3. Gid sv: X la khong gian tuytn tinh. A c X la tiJ-plOintu va chi
ntu A ch{ta mQi tif h(Jpl6i cua cac diem dla A.
Dinh nghla 1.1.7. Gid sv: X la kh6ng gian tuytn tinh va A eX.
nhdt ch71a du(JcgQi la baa l6i cua A, ki hieu la coA.
A

TiJ-p nh6
lOi

Nh{in xet 1.1.1. TiJ-p lOikhi va chi khi coA = A.
A
Dinh nghla 1.1.8. Gid sv:X la kh6ng gian tuytn tinh va A eX.
nh6 nhdt ch71a du(JcgQi la baa lOi dong cua A, ki hieu coA.
A

TiJ-p dong
lOi,

Nh{in xet 1.1.2. coA = coA.
1.1.2

Non 16i

Gia 811X la khong gian tuy@n tfnh.
Dtnh nghla 1.1.9.
(i) TiJ-pK

c X dur;cgQi la non (cone) ntu, Vx E K, VA > 0, AX E K.

(ii) TiJ-pK c X dur;c gQi la non co dinh (pointed cone) ntu K la non khong ch71a
bat ki du()ng thiing naG.

c

(iii) TiJ-pK

X dur;c gQi la non lOi ntu K dOng thai la non va t(lp l6i.

Dtnh ly 1.1.4.
(i) TiJ-pK

c

X la non l6i khi va chi khi, VA> 0, AK c K va K + K c K;

(ii) TiJ-p c X la non co dinh ntu dOngthai K la non va K n (-K) = {Ox}.
K
Dtnh ly 1.1.5 (Dtnh ly Carathedory). Gid sv: Y c X la tiJ-p affine co s6
chi€u la n va E c Y. Khi do vdi mQi X E coE, tOn tr;likh6ng qua n + 1 diem
Xl, X2, ..., Xn E E va tOn tr;li cac s6 AI, A2, ..., An > o th6a man 2:~=1 Ai
X

=

= 1 va

2:~=1 Aixi'

Dtnh nghla 1.1.10.

Gid sv: A c X. Kh6ng gian con nh6 nhdt cua X, ch71aA

dur;cgQi la baa tuytn tinh cua A, ki hieu spanA.
Trang 4


D!nh nghla 1.1.11.

Cia 8V:A

c X, Xo E A va X* la khong gian

a6i ng6:u ar,Li86

cua X. Khi do t(ip

NA(XO) := {y E X*/(y,x

(1.1)

- xo)< 0, Vx E A}

du(JcgQ'ila non phap tuytn (normal cone) eua t(ip A tr,LiXo. Ki hi~u (y, x) la gia
tri eua phitn ham y E X* tr,Lix EX.

~

MiJi Y E NA(XO) du(JegQi la phap tuytn eua t(ip A tr,LiXo.
Nh~n xet 1.1.3. Ntu A la t(ip 18i th1,non phap tuytn NA(XO) la t(ip fiJi, dong.
D!nh nghla 1.1.12.

Cia 8V:A

c X la t(ip

18i, khae

cPo

(i) T(ip A du(JegQi la liti xa theo phudng liti xa d E X, d -# Ox ntu thoa miin,
VA > 0,A + Ad c A.
(ii) T(ip giJm caephudng liti xa d va Ox du(Je
gQi la non liti xa eua A, ki hi~u 0+A:

(1.2)

a+A:= {d E X/A + Ad c A, VA > O}.
1.1.3

Ham 16i

Gia 811 la kh6ng gian tuyt!n tfnh, D c X va ham f : D
X
D!nh nghla 1.1.13.

~

R U {::l:oo}.

Ta ki hi~u
damf := {x E D/ f(x) < +oo};
epif:=

{(x, 1) ED x R/f(x)

< 1}.

D!nh nghla 1.1.14. Ham f du

damf -# cPva f(x) > -00, Vx E D.
D!nh nghla 1.1.15. Ham

f

du(JcgQi la ham liJi (tudng 71ng
lam) tren D ntu epif

la t(ip liJi (tudng 71ngt(ip lam) tren X x R.
Nh~n xet 1.1.4. Nt'u f la ham 18i tren D th1,damf la tap liJi tren X.
D!nh Iy 1.1.6. Cia 8V: la ham chinh thudng tren D. Khi do f la ham 18i tren D
f

ntu va chi ntu
VXI,X2 E D, VA E [0,1], f(AX

+ (1 - A)Y) < Af(x) + (1 - A)f(y).
Trang 5

(1.3)


Dinh ly 1.1.7 (B§.t diing thuc Jensen).

Cia sitf la ham chfnh thuiJngtren D.

Khi do f la ham l6i tren D n€u va chi n€u, VX1, X2, ..., Xm E D, VAl, A2, ..., Am >
0: 2::1 Ai

=

1,

m

m

(1.4)

f(Li=l AiXi) LAif(Xi).
< i=l
~

Dinh nghia 1.1.16. Cia sit D c X la tt)p l6i, f : D

R va Xo E D.

-+

(i) Ham f durjc g9i la l6i tq,i Xo n€u, Vx E D, VA E [0,1],

f(AX + (1 -

< Af(x) + (1 - A)f(xo).

A)XO)

(1.5)

(ii) Ham f durjc g9i la l6i ch(j,t (strictly convex) tq,i Xo n€u, Vx E D, x -=IXo,VA E

[0,1],

f(AX + (1 -

< Af(x) + (1 - A)f(xo).

A)O)

(1.6)

(iii) Ham f a'Ltrjcg9i la l6i mq,nh (strongly convex) twi Xo n€u, Vx E D, VA E
[O,l],:3p> 0 th6a man,

f(AX + (1 Ham

f

A)XO)

< Af(x) + (1 - A)f(xo)

-

pA(l

-

A)llx -

xo112.

(1.7)

durjc g9i la l6i ch4t (tuang itng l6i mq,nh) tren D n€u h~ thitc (1.6)

(tuang itng (1.7)) th6a man vdi m9i Xo ED.
Dinh

nghia 1.1.17. Cia sit f: x

-+

RU {:!:oo} va a E [-00;+00].

So: := {x E X/f(x)

Cac tt)p

< a};

S~:= {x E X/f(x) < a};
durjc g9i la cac tt)p mitc cua ham f.

Dinh ly 1.1.8. Cia sit f : x -+ R U {:!:oo} va a E [-00; +00]. N€u f la ham l6i
thi m9i tt)p mitc cua f co dq,ng
So::= {x E X/f(x) < a} va S~{x E X/f(x) < a}
la cac tt)p l6i.

Nh~n xet 1.1.5. N€u m(Jt ham f : X

-+

R U {:l:oo} co cae tt)pmiteSa va S~ la

cae tt)p l6i thi ehua ehile f la ham l6i.

Trang 6


Vi d\l 1.1.1.

Cia sV: X = R, f :

x

-+

R U {::1::00}xae dink nhu sau f(x)

=

Ilxll,\Ix E R \ {O} va f(O) = +00. Khi d6 ham f khang l6i nhung cae t(ip mite la
cae t(ip l6i.

Dtnh nghia 1.1.18. Cia SV: : x
f

-+ R U {::1::oo Ham f du}.

X neu mQi t(ip mite Sa la t(ip l6i.

Dtnh Iy 1.1.9. Ham f : X

{::1::00} ham t7/a l6i khi va chi khi,
la

-+ R U

\lXI, X2 E X, V).. E [0; 1], f()..XI + (1

1.1.4

-

)..)X2) < max{f(xI),

f(X2)}'

Ham lien hQp

Cia s11X 1a khang gian vectcJ tapa 16i dta phl1cJng, X* 1a khang gian d6i ngau

tapa cua X va ham f : X
Dtnh nghia

1.1.19.

-+ R.

Ham f* : X* -+ R xae dink bdi

f*(x*) := sup{ (x*, x)- f(x)},
xEX

(1.8)

du
Tli dtnh nghla (1.1.19) suy ra

f**(x*):= (f*(x*))* = sup {(x*,x)-f*(x*)}.
x' EX'

(1.9)

M~nh d~ 1.1.1.
(i)

f* la ham d6ng yeu* va l6i tren X* .

(ii) f(x) + f*(x*) > (x*,x)\lx E X, \Ix* E X* (Bat ddng thite Young-Fenehel).
(iii) f**(x) < f(x), Vx E X.
Dtnh Iy 1.1.10 (Dtnh Iy Fenchel-Moreau).
Cia SV:X la khang gian vecto
tapa l6i dia phuong Hausdorff va f : X -+ [-00, +00]. Khi d6 f** = f khi va chi
khi f la ham l6i d6ng tren X.

Trang 7

1.1.5 Topo y€u. Topo y€u*
D!nh nghia 1.1.20.
(a) Cia sV:X la khang gian tuy€n fink va p : X

~

R. Ham p du(Jeg9i la nv:aehudn

tren X n€u p thoa man cae di€u ki~n

(i) p(x) > 0, '\Ix E X;
(ii) p(ax) = Iiallp(x), '\Ix E X, Va E R;

(iii) p(x + y) < p(x) + p(y), '\Ix,y

E

X.

(b) Cia sv:X la khang gian tuy€n fink va (foJ la h9 cae nv:a ehudn tren X. Cd sd
tan e{)n eua Ox, ki hi~u ;3(Ox), la h9 cae t{)p co d(lng

n f;;l( -E; E) := {x E X/llfa(x)11

< E,'\Ia E I},

aEI

v(ji E la m(5t s6 dudng va I la t{)p hilu h(ln.

?

Tapa tren X sinh bCfih9 ;3(Ox) du(Je g9i la tapa sinh bCfih9 nv:a ehuan f(a).
Gia sti (X, 11.11) khang gian dinh chu§,n va X* la khang gian d6i ngau tapa
la
cua X. Vdi moi f E X* ta dinh nghia

P!(x) := IIf(x)ll, '\Ix E X.
?

Khi d6 hQ (P!)!EX*la mot hQ cae ntia chuan tren X.
TucJng tlj vdi moi x E X, hQ (qX)XEX dinh bdi cang thuc
xac
qx(f) := IIf(x) II,'\If E X*,

la mOt hQ mla chu§,n tren X*.
D!nh nghia

1.1.21.

a) Cia sv: (P!) !EX* la m(5t h9 cae nv:a ehudn tren X. Tapa tren X xae dink bdi h9
nv:a ehudn (P! )!EX* du(Je g9i la tapa y€u tren X.
b) Cia sv: (qx)xEX la m(5t h9 cae nv:a ehudn tren X* . Tapa tren X* xae dink bCfih9
mJ:aehudn (qX)XEX du(Je g9i la tapa y€u* tren X*.

D!nh ly 1.1.11. Cia sv: (X, 11.11) khang gian dink ehudn.
la
Trang 8

Lu~n van th~c 81Toan hQc

Chl1dng 1 : Cac ki~n tlH1c chuiin bl

(i) Tapa ytu tren X la tapa xac dink bdi cd sd fan cQun cua Ox, vdi 13 la h9 cac
{3
tQuP

co dr,mg
U:=

{x E X/llfi(X)11< E,i = 1,2,...,n;E > a}.

(1.10)

{3*cua 0x*, vdi 13*la h9
(ii) Tapa ytu* tren X* la tapa xac dink bdi cd sd fan cQun
cac tQuPco dr,mg

V := {f E X* /IIf(Xi)11 < E,i = 1,2, ..., n;

E>

O}.

(1.11)

(iii) Tapa ytu tren X la tapa ytu nhat ma m9i anh X(L E X* van lien t'(tc.
f
(iv) Cia S71 moi x EX, phitn ham x(.) xac dink tren X* bdi cang th11c

vdi

x(f) := f(x), "If E X*.
Khi do x(.) la m(Jt phitn ham tuytn tinh, lien t'(tc tren X theo tapa chutln. Ntu
ta d6ng nhat moi x E X vdi moi phitn ham x(.) tudng 11ngthi Xc X**. Vdi cac
girl thitt (j tren ta co, tapa ytu* tren X* la tapa ytu nhat ma m9i anh X(L
x(.) van

lien t'(tc.
Dinh ly 1.1.12.
(i) Day BUYr(Jng(fa) C X* h(Jit'(tytu* vi f E X* khi va chi khi, "Ix EX,

(fa,x)-+ (f,x),
vdi (fa, x) va (f, x) tudng 11ng gia tri cua fa
la

va f

t(Li x.

(ii) Day BUYr(Jng(Xa) C X h(Ji t'l)ytu vi x E X khi va chi khi, Vf E X*,

(f,xa)-+ (f,x).
1.1.6

Dinh ly Hahn

-

Banach v~ tach t~p 16i

Dinh ly Hahn-Banach

la illQt trong ba dinh ly cd ban cua giai tich ham. C6
nhi§u d:;tng phat bi~u khac nhau elm dinh ly nay. d day chung t6i trlnh bay dinh
ly Hahn- Banach 0 d1;1ngach ti;tp 16i.
t
Dinh

nghia

1.1.22.

Cia S71X la khang gian tuytn

tinh. TQupH

~X

du(jc 99i la

m(Jt sieu phdng trong X ntu H la tQuP
affine ldn nhat trong X, nghia la khang co
tQuPffine naG khac X ma ch11a
a
hdn H.
Trang 9


/

?

Dinh ly 1.1.13. Cia sit X la m(jt khang gian tuyen tinh va H la m(jt situ phang
tmng X. Khi d6 t6n tr;Li phitn ham tuytn tinh f tren X va m(jt sf; th7/ea sao
m(jt
rho
H = {x E X/(f,x)=

a},

vdi (f, x) la gia tri eua f tr;Li
x.
Dao lr;Li f la m(jt phitn ham tuytn tinh khae 0 tren X va a E It th'i t(ip
ntu
K:= {x E X/(f,x)=

a},

la m(jt situ phdng trong X.
Dinh ly 1.1.14. T6n tr;Li
tuang ilng 1-1 gifta t(ip cae situ phdng khang ehila0 tren
X va cae phitn ham tuytn tinh f E X*\{Ox} saG eho H = {x E X/(f,x)=
I}.
Gia sa X la khang gian vecta tapa. Khi d6 dinh 15'sau la di;ictn1ng cho cae
sieu phiing va khang gian d6i ngau tapa X* cua X.

Dinh ly 1.1.15. Cia S'U: la khangg'ianvecto tapa l6i dia phuong. Khi d6
X
(i) Situ phdng H = {x E X / (f, x)=

nghia la f

E

a} la t(ip d6ng khi va chi khi f lien t7,lC,

X*,.

(ii) Situ phdng H (xac dinh nhu a (i)) khang d6ng khi va chi khi H tru m(it tmng
X.
Dinh ly 1.1.16 (Dinh ly Mazur). Cia sit X la khang gian vecta tapa l6i dfa
phuong, A c la t(ip l6i, ma, khae cPva v la t(ip affine thoa man V n A = cPo Khi
d6 t6n tr;Li
situ phdng d6ng H ehila V sao rho H n A = cP,nghia la
3f E X*, 3/, E R, (f, v)= /,'\Iv E V, (f, x)< /', '\Ix E A.
Dinh nghia 1.1.23. Cia sit X la khang gian vecta tapa l6i dfa phuong va A, B
la cac t(ip con cua X.
(i) T(ip A va B dUr;fe9i la tach dUr;fCtu t6n tr;Li
9
n
phitn ham f E X* saG rho
sup(f,x)<
xEA

inf(f,x).

xEB

Trang 10

(ii) T~p A va B d'u(Jc99i la tach ch(jt n€u t6n tr;Li hi€n ham f E X* sao cho
p
sup(f,x)<
xEA

inf(f,x).

xEB

B6 d~ 1.1.1. Cia SV:X la khang gian vectd tapa l6i dia phudng, M c X la t~p

md va f E X*\{Ox}. Khi d6 f(M) la t~p md.
~

D!nh ly 1.1.17 (D!nh ly tach, d!nh ly Eidelheit). Cia SV:X la khang gian
vectd tapa l6i dia phudng X va A c X, B c X la cac t~p l6i, khac cj; thoa man
di€u ki~n intA -=I- cj; va (intA) n B = cj;. Khi d6 A va B tach du(Jc.
Chitng minh. Vi A la t~p 16i lien intA la t~p 16i. Vi (intA) n B =

cj; lien

t~p

U := intA - B la ti;i,pm0, kh6ng clItia Ox. Theo dinh ly Mazur, t6n t1;ti ieu phllng
s
d6ng H clItia Ox sao clIo (intA - B) n H = cj;. Gia S11phi@n ham f E X* va
f-l(OX)

= H.

Vi intA

-

B la t~p 16i lien f(intA

- B) la khoang md kh6ng clItia

O. Do d6

f(intA - B) < 0;
sup f(x) < inf f(x).

xEintA

xEB

Vi intA tru m~t trong A va f lien t\lC lien SUPxEintA
f(x)
sup

xEA

< inf f(x).
xEB

=

SUPxEAf(x).

V~y

D
?

D!nh nghia 1.1.24.

Cia SV: la khang gian vectd tapa,A c X va XoE A. Diem
X

Xo du(Jc 99i la ditfm t7/a (support point) cua t~p A n€u t6n tr;Liphi€n

ham f

E X*

va s6 th7/c'"'Ithoa man
(i) f(xo) = '"'I;

(ii) f(x) < '"'I,:Ix E A va :3x E A, f(x) < T
\
Khi d6 siev, phiing H := {x E XI (f, x)= '"'I}du(Jc99i la sieu phiing t7/a (support

hyperplane) cua t~p A tr;Li va f au(Jc99i la phi€n ham t7/a (support functional)
Xo
cua t~p A tr;LiXo.
D!nh nghia 1.1.25.

Cia SV: la khang gian vectd tapa va X* la khanggian d6i
X

ngaucuaX. Phi€n ham S : X*

~

R du(Jc la phi€n ham t7/a(supprotfunction)
99i

cua t~p A n€u

rOH.IJ.H.TlJN~~IEN

S(f) = Sup (f, x), \:If EX*.
xEA
Trang 11

i IH!! \!!E~:
":'-.
L ~l 400


D!nh ly 1.1.18.

Cia S'l1X la khanggian vecta tOpal6i dia phuong, Ujp A

c X

l6i, d6ngc6 intA =I cPo Khi d6 m9i diem bien cuaA d€ula diem t7/a.

D!nh ly 1.1.19. Cia S'l1 la khang gian vectd tOpa l6i dia phuong va A eX,
X
B c X la cac t(ip l6i, d6ng thoa man B la t(ip compact va An B = cPo
Khi d6 A
va B tach chijI
~

Ch71ngminh. GQi(3la eo SdIan e~n elm Ox, (3g6m eae t~p 16ituy~t d6i va ma. Gia

S11, E (3,(A+ V)nB
\IV

=I

cPo

Khi d6 hQ{(A + V)nB IV E (3}la hQcac t~p compact

c6 tfnh ch~t la mQi giao huu h1;1n
d~u khac cPo
Suy fa nVE,e (A + V) n B =I Do
d6 t6n t1;1i o E B va Xo E A + V c A + 2V, \IV E (3. Suy ra Xo la di~m t1,lcua A
X
cPo

va Xo E A (do A la t~p d6ng). Tli eae di~u tren suy ra Xo E A n B (mau thuan
voi giii thi@tAn B = cP). Vi;iy t6n tC;Li E (3 SeWcho (A + V) n B = cPo
V
ChQn U

= ~V thl (A+U)n(B+U) =

cPo

Th~t v~y,n~uc6 x E (A+U)n(B+U)

thl t6n t1;1ia E A, b E B va VI,V2 E V sao cho x = a + ~VI = b + ~V2' Suy fa

b= x

-

~V2= a + ~VI - ~V2 E (A + V) n B (mau thuan v6i (A + V) n B = cP).
2
2
2

Vi;iyhai ti;ip A + U va B + U thoa man cac giii thi@t cua djnh If tach Eidelheit,
do d6 A + U va B + U tach dl1<;c, ghla la t6n t1;1i
n
phi~n ham J E X* sao cho

Sup (J, x)<

xEA+U

inf (J, x).

xEB+U

Do d6

sup(J,x)< xEB
inf(J,x).
xEA

D

Nh~n xet 1.1.6. Cia thief v€ tinh compact cua B la can thief ngay ca khi X la
khang gian hiJ:uh(ln chi€u.
Vi dl,l 1.1.2.

Cia S'l1X = R2; A := {(x, y) E R2/y

> x
.!.;x > O} va B :=
{(x, 0)Ix E R}. Khi d6 m9i gia thiet cua dinh ly (1.1.19) d€u thoa tril gia thief
compact cua B. Hai t(ip A va B trong trudng hrjp nay khang tach durjc.

H~ qua 1.1.1. Cia S'l1X la khang gian vectd tapa 16i dia phuong. Khi d6 ta c6
cac khdng dinh sa'u.
(i) M9i t(ip l6i d6ng trong X la giao cua ,tat cd cac n'l1akhang gian d6ng ch71a
n6.

(ii) M 9i t(ip 16i d6ng trong X d€u la t(ip d6ng yeu.
Trang 12


1.2

D~o ham cua anh x~

1.2.1

D~o ham theo huang

Djnh nghia 1.2.1. (Xem [23)) Gid S71 la khong gian vectd va (Y, 11.11) khong
X
la
gian dink chudn, A c X la tt;ipkhac c/J,Xo E A, hEX va anh xq,f : X ~ Y. Neu
?

/

gidi hq,n
f' (xo) (h) := >'---+0+/\ (f(xo + Ah) - f(xo)),
Hm ~

(1.12)

t6n tq,i thi f'(xo)(h) du(Jc99i la dq,o ham theo huang cua anh xq, f tq,i Xo theo
huang h. Ntu vdi m9i hEX gidi hq,n f'(xo)(h) luon t6n tq,i thi f du(Jc99i la khd
vi theo huang tq,iXo.
Djnh ly 1.2.1. Gid s71X la khong gian vectd, A c X la tt;ip l6i, khac c/Jva
f:X~R.
(i) Gid s71Xo E A la diim c7/c tiiu cua f tren A. Ntu anh xq,f co dq,oham theo
huang tq,iXo theo m9i huang x - Xo, vai x E A, th1,
f'(xo)(x

-

xo) > 0, \/x E A.

(1.13)

(ii) Ntu anh xq,f la ham l6i va co dq,oham theo huang tq,iXo E A theo m9i huang
x - Xo, vdi x E A va
f'(xo) (x - xo) > 0, \/x E A,
thi Xo la diim c7/ctiiu cua anh xq,f tren A.
Ch(cng mink.
(i) Tv gia thi§t ant X<;1 co d<;1o
f
ham theo hudng t<;1i o theo mQi hudng x - Xo
X
BUY ra vdi moi x E

A, ta eo

f'(xo) (x - xo) = >'---+0+ (f(xo + A(X- xo)) - f(xo)).
Hm /\
~
Do Xo la di@meve ti@ueua f tren A lien vdi A > 0 du lito, ta co

f(xo + A(X- xo)) > f(xo).
V~y
f'(xo)(x

-

xo) > 0, \/x E A.

Trang 13


(ii) Tli f la ham 16i suy ra v6i mQi x E

A, v6i mQi A E [0,1], ta co

f(xo + A(X - xo» = f(AX + (1 - A)XO)< Af(x) + (1 - A)f(xo).
Do do

1

f(x) > f(xo) + A(f(xo + A(X - xo» - f(xo»).
Vi f co d<;1o
ham theo huang t<;1i o theo mQi huang x
X

-

Xo nen

f(x) > f(xo) + f'(xo) (x - xo).
K@thQp vai gia thi@t f'(xo) (x

xo) > 0,\/x

-

E

A, ta duQc

f(xo) < f(x), \/x E A.
V~y Xo la di@m Qic ti@u cua anh X<;1 tren A.
f

1.2.2

D

D~o ham Gateaux va d~o ham Frechet

Dinh nghia 1.2.2. (Xem [23j) Girl 8U'(X, 11.llx) va (Y, 11.lly) la cac kh6ng gian
dink chuan, A c X la t4p md, khac 4;, Xo E A va anh X(,L : A -t Y. N€u, \/h E X,
f
gidi h(,Ln
.
f'(xo)(h)

1

:= A-->O (f(xo + Ah) - f(xo»),
hm /\\

(1.14)

t6n t(,Liva f' (xo)(h) la anh X(,L
tuy€n link lien t'I,LC tit X VaG Y thz f' (xo)(h) dur;c
gQi la d(,Lo

ham Gateaux cua f t(,Li o va anh X(,L dur;c gQi la khrl vi Gateaux t(,Li o.
X
f
X

Dinh nghia 1.2.3. (Xem [23j) Girl 8U'(X, 11.llx) va (Y, 11.lly) la cac kh6ng gian
dink chuan, A c X la t4p md, khac 4;, Xo E A va anh X(,L : A -t Y. N€u t6n tq,i
f
rinh xq, tuy€n link lien t'I,LC
f'(XO) : X -t Y thoa man

Ilf(xo + h) - f(xo) - f'(xo)(h)11
1.
1m
-t 0 ,
Ilhll-->O

Ilhll

(1.15)

thz f'(XO) dur;c gQi la dq,o ham Frechet cua f tq,i Xo va anh xq,f dur;c gQi la khrl vi
Frechet tq,i Xo.
M5i lien h~ giUa d<;1o
ham Frechet va d<;1o am Gateaux th@ hi~n trong k@tqua
h
sail.
Trang 14

?

D!nh 1:5'1.2.2. Gia sV: (X, 11.llx) va (Y, 11.lly) la cac kh6ng gian dink chuan,

A c X la t(ip l6i, md, khac rjJ,XoE A va anh X(lf : A

Y. Khi d6 n€u f kha vi

~

Fnichet t(li Xo thz f ding kha vi Gateaux t(li Xo va hai d(lo ham nay trung nhau.
M6i lien h~ giila d1;:Loam Frechet va tint
h

lien t1).C,tint

16i cua ant X1;:L hi~n
th@

trong cac dint ly sau.
?

D!nh 1:5'1.2.3. Gia sV: (X, 11.llx) va (Y, 11.lly) la cac kh6ng gian dink chuan,
A c X la t(ip md, khac rjJ,Xo E A va anh X(l f : X ~ Y. Khi d6 n€u f kha vi
Fnichet t(li Xo thz f lien t7;,c t(li Xo.

D!nh 1:5' .2.4. Gia sV:(X, 11.11) kh6ng gian dink chuan, A c X la t(ip Mi, md,
1
la
khac rjJva anh X(l f : A ~ R kha vi Fnichet t(li m9i diim Xo E A. Khi d6 f la ham

l6i n€u va ch:tn€u, Vx, YEA,

f(y) > f(x) + f'(x)(y

-

x).

(1.16)

Chang mink.
(i) Gia S11f la ham 16i. Khi d6 Vx, YEA,

V)'"E [0,1]

f(x + )...(y x) < )...f(y) (1 - )...)f(x).
+
Tli d6 ta c6

1

f(y) > f(x) + )... (f(x) + )...(y x))
VI f kha vi Frechet ti;1imQi x E A nen
f'(x)(y - x)

= A~O+ ~ (f(x
lim
/\

-

f(x)).

+ )...(y- x)) - f(x)).

Do d6 Vx, yEA

f(y) > f(x) + f'(x)(y - x).
(ii) Dao 11;:Li, S11(1.16) thoa man. Do A la t~p 16i nen
gia
f(x)

> f()...x +

(1 - )...)y)+ f'()...x + (1 - )...)y)((l - )...)(x - y))

va

f(y) > f()...x + (1 - )...)y)+ f'()...x + (1 - )...)y)((
-)...)(x - y)).
Trang 15


Vi J'(x)(.)

la anh Xi:L
tuy§n tfnh nell, '\Ix, YEA,

Af(x) + (1 - A)f(y)

VA E (0,1],

> Af(AX + (1 - A)Y)
+ A(1 - A)J'(AX + (1 - A)Y)(X - y)
+ (1 - A)f(AX + (1 - A)Y)
- A(1 - A)f'(AX + (1 - A)Y)(X - y)
- f(AX + (1 - A)Y).

V~y f la ham 16i. D

D!nh ly 1.2.5. Gia sit (X, II.ID la kh6ng gian dink chutin va anh xq,f : X
?,

---t

R.

/

Neu Xo E X la diem c7jCtieu cua f tren X va f kha vi Gateaux tq,iXo thz, Vh E X,
f'(x)(h) = O.

(1.17)

H~ thlic (1.17) la di@uki~n c~n d@Xo la di@mC1!C
ti@u cua anh Xi:L
f.
1.2.3

Du'di vi phan

Gia sa (X, 11.11) kh6ng gian dinh chuiin.
la
D!nh nghia 1.2.4. Gia sit anh xq, f : X

---t

R la ham l6i tren X va X* la kh6ng

gian ddi ngau tap6 cua X. V6i mtJi Xo EX, t4p

8f(xo) := {x* E X* / f(x) > f(xo) + x*(x - xo), '\Ix EX},

(1.18)

dvx;c 99i la du6i vi phan cua anh xq,f tq,i Xo va mtJi phi€n ham x* E 8 f(xo) dUr;fC
99i la du6i gradient cua anh xq,f tq,i Xo.

Vi d\l 1.2.1. Gia sit (X, II.ID la kh6nggian Banach va f(x)
rinh xq,f tq,ix E X dur;fC
tinh nhu sau.

.

= Ilxll. Du6i vi phan

N €u x -# 0 thz
8f(x) = {x* E X* /llx*11= 1, (x*, x)= Ilxll}.

.

N€u x = 0 thz

8f(0) = {x* E X* /llx*11< I}.

Trang 16


Ilxllthi

Dij,c bi~t neu gid siJ:X = R va f(x) =
8f(x)

=

{

{llxll-lx},

Dinh ly 1.2.6. Gid siJ:anh xq, f : x
7

7

diem qtc lieu cua

1.2.4

f

n~u x

(-i,i),
~

neu x

# 0;

o.

-

R la ham lei tren X. Khi d6 Xo E X la

tren X khi va chi khi Ox E 8f(xo).

D~o ham Clarke

Cia S11
(X, 1.11) 80kh6ng
1

gian dinh chu11n.

Dinh nghia 1.2.5. (Xem (23j) Gid siJ:anh xq, f : X

~

R, Xo E X va hEX.

Neu gidi hq,n

f'(xo)(h) = limsup ~ (f(x + Ah) - f(x)),
x ~ Xo
A~
ten tq,i thi

j'

(1.19)

0+

f

(xo) (h) dU(fCgri la dq,o ham Clarke cua

c6 dq,oham Clarke tq,i Xo theo mri hudng hEX

thi

tq,i Xo theo hudng h. Neu f

f

dU(fcgri la kha vi Clarke

tq,i Xo.

Vi d\l 1.2.2. Gid siJ:f : R

R dU(fC
xac dink nhu sau f(x) = Ilxll, "Ix E R Khi
d6 dq,oham Clarke tq,i 0 cua f theo mri hudng h la
~

j'(O)(h) = limsup ~ (11x
x~O

+ Ahll -

Ilxll)= Ilhll.

A ~ 0+

Dinh ly 1.2.7. Gid siJ: : X ~ R la ham l8i, lien t7,lC
f
Lipschitz tq,i Xo EX. Khi
d6 dq,oham Clarke cua f tq,iXova dq,o
ham theohudngcua f tq,i Xo la trung nhau.
1.2.5

Non ti~p

xuc

Dinh nghia 1.2.6. Gid siJ:(X, 11.11) kh6ng gian dink chulin, A c X la t(ip khac
la
q;va Xo E A.

Trang 17


(i) Vectd h du(Jc 99i la vectd ti€p tuytn cua t(j,pA t(LiXo ntu tiJn t(Liday (xn) c A,
day (An) C R+ th6a man
Xo = n->oo Xn, h = n->oo An(xn - xo).
lirn
lirn

(1.20)

(ii) T(j,ph(Jp TxoA cac vetd ti€p tuytn cua A t(LiXo du(Jc 99i la non titp xuc Bouligand theo day cua A t(LiXo ho(ic non contingent cua A t(LiXo.
~

Dinh ly 1.2.8. Cia s'll (X,

11.11) la

kh6ng gian dink chutin va A c X la t(j,pfiJi,

khac cp. Khi do vd'i m9i Xo E A non titp xuc contingent TxoA la t(j,p l6i.

1.3

,

Anh xa. da tri.

1.3.1 MQt 86 khai ni~m

Cia s11X, Y la cac khang gian vecta tapa, L(X,Y) la khang gian cac anh X9tuy@ntinh lien t\lC tti' X vaa Y va F : X ---+ 2Y la anh X9-da trio
Dinh nghia 1.3.1.
(i) Mien hi~u qua cua anh X(Lda tri F la t(j,p

damP := {x E XI F(x) -# cp}.
(ii) DiJ thi cua anh X(Lda tri F la t(j,p

graphF:= {(x,y) E X x Yly E F(x)}.
Dinh nghia 1.3.2. Anh X(Lda tri F du(Jc 99i la liJi ntu graphF la t(j,p liJi tren
X x Y va F du(JC99i la dong ntu graphF la t(j,p dong trong X x Y.

Dinh nghia 1.3.3.
(i) Anh X(Lda tri F du(Jc99i la anh X(Lda tri gia tri liJintu F(x) la t(j,pliJivoi m9i
x E damP.
(ii) Anh X(Lda tri F du(Jc99i la anh X(Lda tri gia tri dong ntu F(x) la t(j,pdong
trong Y voi m9i x E damF.
Dinh nghia 1.3.4. Cia S'U: : X
F

---+

2Y la anh X(Lda trio

Trang 18


(i) Anh xg, F dUf/C 99i la mJ:a lien t'l),C tren (vi~t tiit la u.s. c) tg,i Xo E damP

vdi m9i lan c~n N cila F(xo),

tOn tg,i [(in c~n M cila Xo saD rho F(M)

n~u

c N.

(ii) Anh xg, F duQc 99i la mJ:a lien t'l),Cdudi (vi~t tiit la l.s.c) tg,i Xo E damP n~u

vdi m9i t~p md U c Y thoa man Un F(xo) =Fcp, tOn tg,i lan c~n M cila Xo saD
rho Un F(x)

=F cp, \:Ix

E

M.

~

(iii) Anh xg,F dUf/C99i la nita lien t'l),C
dudi theo day (vi~t tiit la s.l.s.c) tg,i Xo damP,
n~u vdi m9i Y E F(x),

m9i day (xn) c damP va Xn -+ x, tOn tg,i day (Yn) C F(xn)

sao rho Yn -+ y.
(iv)

Anh xg, da tri

F duf/C 99i la hemi lien t'l),Ctren (vi~t tiit la u.h.c) tg,i Xo E damP

n~u vdi m9i x EX,
tren tg,i 0+.

anh xg, da tri a I---tF( ax + (1 - a )xo) la anh xg, nita lien t'l),C

(v) Cia sit t~p A c X va T : A -+ 2L(X,Y) la anh xg, da trio Anh xg, T dUf/C 99i la
hemi lien t'l),ctren suy r{)ng (viti
m9i a E [0,1],

tiit la g.u.h.c) tg,i Xo E A n~u vdi m9i x E A, vdi

+ (1 -

anh xg, da tri a I---t (T(ax

a)xo, x - xo) la anh xg, U.S.C tg,i

0+, trong do (T(x), z) la gia tri cila anh xg, tuy~n tinh T(x) E L(X, Y) tg,i di€m
z E X.

(vi) Cia sit t~p A c X va T : X -+ 2L(X,Y) la anh xg, da trio Anh xg, T duf/C 99i la
hemi lien t'l),Cdudi suy r{)ng (vi~t tiit la g.l.h. c) tg,i Xo E A n~u vdi m9i x E A, vdi
m9i a E

[0,1],

anh xg, da tri a

-+

(T(ax

+ (1 -

a)xo, x - xo) la anh xg, l.s.c tg,i

0+.
Dinh nghia 1.3.5.

Cia sit t~p A eX,

Y la khong gian tuy~n tinh dUf/Cslip bdi

non th(Ctv: C trong d6 C : Y -+ 2Y la anh xg, da tri thoa man, vdi moi Y E Y,

Cry} la non lOi, dong,intO
(i) Anh xg, ddn tri f : A

=F cp.

L(X, Y) duf/C99i la ddn di~u (monotone) tren A n~u

-+

vdi m9i x E A, z E A

(j(z)

- f(x), z - X)E Y\( -intC(x)).

(ii) Anh xg, da tri T : A -+ 2L(X,Y) duf/c 99i la ddn di~u (monotone)

(1.21)
tren A n~u

vdi m9i x E A, z E A, vdi m9i tx E T(x), tz E T(z)
(tz

-

tx, z - X)E

Y\( -intC(x)).

Trang 19

(1.22)


(iii) Anh X(Lda tri T : A ---+2L(X,Y) du(Jc 99i la gid ddn difU (p8eudomonotone)
tren A neu v{ji m9i x E A, z E A
[~s E T(x), (s, Z - X)E Y\( -intC(x))]

=* [Vi E T(z), (t, z

- X)E

(1.23)

Y\( -intC(x))].

(iv) Anh X(Lda tri T : A ---+2L(X,Y) du(Jc99i la gid ddn difU yen (weak p8eudomonotone) tren A neu v{ji m9i x E A, z E A

[~s E T(x), (s, z - X,)E Y\( -intC(x))]
=*

(1.24)

[~t E T(z), (t, z - X)E Y\(-intC(x))].

(iv) Gid 811 : A ---+2L(X,Y) la anh X(Lda tri va f : A x A
T

---+

Y la anh X(Lddn trio

C~p (T, f) du(Jcg9i la c~p gid ddn difU tren A neu, v{ji m9i x E A, z E A,
[~s E T(x), (s, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))]
=* [Vi E

T(x), (t, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))].

(1.25)

(v) Gid 811T : A ---+
2L(X,Y) la anh X(Lda tri va f : A x A ---+ Y la anh X(Lddn trio

C~p (T, f) du(Jc 99i la c~p gid ddn difU yen tren A neu, v{ji m9i x E A, z E A,

=*

[~s E T(x), (s, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))]
[~t E T(x), (t, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))].

(1.26)

Dtnh Iy 1.3.1.
(i) Neu anh X(Lda tri F : X
tren thi F la anh X(Ldong.

---+

2Y la anh X(Lda tri gia tri dong va n11a lien t7j,C

(ii) Neu F(A) la t(ip compact v{ji m9i A c domF la t(ip compact va F la anh X(L
dong thi F la anh X(Ln11a lien t7j,C
tren.
1.3.2

.,

..

Cae dtnh Iy diem bat dQng

Cia 811 la khang gian vecta tapa.
X

Dtnh nghla 1.3.6. (Xem [3J) Gid 811
A

c X va F : A ---+ 2A la anh X(Lda trio

Diim Xo E A du(Jc99i la diem bat d(Jng cua anh xq, da tri F tren A neu Xo E F(xo).
D~c bift neu F la anh X(Lddn tTi thi Xo = F(xo).
Trang 20