tài liệu : BỔ TÚC ĐẠI SỐ (ĐH ĐỒNG THÁP)

Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
BỔ TÚC ĐẠI SỐ
1) Nhóm : Xét tập
G
φ
≠
. Trên
G
xét phép toán
∗
(bao gồm phép cộng và phép
nhân) . Khi đó
G
cùng phép toán
∗
là một nhóm nếu
( , )∗G
thỏa mãn 3 tính chất sau
:
i) Tính kết hợp :
, ,a b c G∀ ∈
ta có
( ) ( )∗ ∗ = ∗ ∗a b c a b c
ii) Có phần tử đơn vị :
, :∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ =a G e G e a a e a
iii) Có phần tử nghịch đảo :
1 1 1
: :
− − −
∃ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ =a G a G a a a a e
Nếu

( , )∗G
có thêm tính chất giáo hoán thì
( , )∗G
lập nên nhóm giao hoán hay còn
gọi là nhóm Abel .
Tức là
,a b G∀ ∈
ta có
∗ = ∗a b b a
Như vậy với các tính chất trên thì ta có :
( , ) ,( , ) ,( , ) ,( , )+ + + +¢ ¤ ¡ £
là nhóm Abel .
* Qui ước :
Phần tử Phép toán nhân Phép toán cộng
Đơn vị
(1, )e
Nghịch đảo
1−
a
Trung hòa
(0, )e
Đối –a
Do ta định nghĩa trên phép nhân nên phần tử
1
a
−
là phần tử nghịch đảo chớ không
phải
1
a

. Việc kí hiệu
( , )O e
,
(1, )e
là những phần tử đại diện chớ không phải đơn
thuần là số 0 hay số 1 .
2) Vành : Xét tập
D
≠
φ
. Trên D trang bị hai phép toán cộng và nhân . Khi đó
( , , )D + g
là một vành nếu
( , , )D + g
thỏa 3 điều kiện sau :
i)
( , )D +
là nhóm Abel tức là D phải thỏa 4 tính chất : kết hợp , có phần tử trung
hòa , có phần tử đối và có tính giao hoán .
ii)
( , )D g
là nửa nhóm hay
( , )D g
có tính kết hợp :
, , D : ( ) ( )∀ ∈ =g g g ga b c a b c a b c

iii) D có tính phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng

, , D∀ ∈a b c
ta có

( )
( )
a b c ab ac
b c a ba ca
+ = +


+ = +


Nếu
( , )D g
có thêm tính giao hoán thì
( , , )D + g
là vành giao hoán .
Nếu
( , )D g
có thêm phần tử đơn vị thì
( , , )D + g
là vành có đơn vị
Nếu
( , )D g
có tính giao hoán và có thêm phần tử đơn vị thì ta gọi
( , , )D + g
là vành
giao hoán có đơn vị .
Như vậy , với các tính chất trên thì
( , ,.),( , ,.),( , ,.),( , ,.)+ + + +¢ ¤ ¡ £
là vành giao hoán
có đơn vị .

1
Phân phối trái
Phân phối phải
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Khi nói đến cấu trúc của môt tập hợp thì chúng ta cần phải chỉ ra được các phần tử :
phần tự không , phần tử đơn vỉ , phần tử nghịch đảo , .
3) Miền Nguyên :

o
D là vành giao hoán có đơn vị
D là miền nguyên nếu
o
1 0≠
(D : phải có 2 phần tử phân biệt 1 và 0)

o
Không có ước của 0 : lấy 2 phần tử bất kỳ thuộc
D thì tích của chúng phải khác 0
VD :
n
¢
là vành giao hoán có đơn vị nhưng không phải là miền nguyên cụ thể khi
n = 6 : Ta có
{ }
6
0,1,2,3, 4,5=¢

Rõ ràng ta có :
2 0
3 0


≠


≠


nhưng
2.3 0=
hay có ước của 0
Vậy
n
¢
là miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố .
4) Trường

o

¡
là vành giao hoán có đơn vị
¡
là trường nếu
o
1 0≠
(
¡
: phải có 2 phần tử phân biệt 1 và 0)

o

0x
∀ ≠
đều có phần tử nghịch đảo
1
x
−

Như vậy , trường là miền nguyên nhưng điều ngược lại không đúng .

n
¢
là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố .
5) Idean :
* Vành con : Cho
A ⊂ ¡

o
A là bộ phận ổn định : tức là khi ta lấy 2
phần tử bất kỳ thuộc A thì tổng và tích của
A là vành con của
( )A ≤¡ ¡
⇔
chúng cũng thuộc A

o
A phải có cấu trúc của một vành .
* Idean: Cho
¡
là vành và
I ≤ ¡

.
Khi dó I là Idean nếu
, :
ax I
a x I
xa I
∈

∀ ∈ ∀ ∈

∈

¡
KH :
I <¡
Nếu
¡
là vành giao hoán thì Idean trái = Idean phải .
Một vành
¡
luôn có 2 Idean tầm thường
{ }
0





¡
6) Idean sinh bởi một tập :

* Định lí : Nếu
1 2
, ,
n
I I I<¡ <¡ <¡
thì
1
n
j
j
I
=
<¡
I
Tổng quát :
{ }
, ,
j j j
j J
j J
I I j J I
∈
∈
∀ ⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈¡ <¡ ¡
I
2
Idean trái
Idean phải
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
* Định nghĩa Idean sinh bởi một tập :

Cho
A
φ
≠ ⊂ ¡
. Xét họ tất cả các Idean của
¡
và chứa A . Xét giao của họ trên : là
một Idean của
¡
và chứa A và được gọi là Idean sinh bởi tập A .
Kí hiệu : <A> . <A> : là Idean nhỏ nhất của
¡
.
* Phương pháp chứng minh B = <A> là Idean nhỏ nhất của
¡
và chứa A ta
chứng minh như sau :
Bước 1 : Kiểm tra
B <¡
Bước 2 : kiểm tra
B A⊃
Bước 3 : Kiểm tra nếu :
C
C A
∃


⊃

<¡

thì ta chứng minh
C B⊃
** Lưu ý : Nếu
¡
giao hoán thì ,
a
∀ ∈
¡
thì <a> = a
¡
: gọi là Idean chính sinh bởi
phần tử a .
7) Bậc của đa thức :
Cho đa thức 1 biến :
[ ]
2
0 1 2
0
( )
n
n i
n i
i
x f x a a x a x a x a x
=
= = + + + + =
∑
¡
Khi đó ta có :
+ phần tử không : là đa thức bậc 0

+ phần tử đối :
( )f x−
là đa thức nhận các hệ số đối của
i
a
+ phần tử đơn vị : là đa thức hằng 1.
* Nếu
0
n
a ≠
thì f(x) là đa thức bậc n
(deg )f n=
* Nếu
0
( ) 0f x a= ≠
: thì f(x) là đa thức bậc 0
* Nếu
0
( ) 0f x a= =
thì f(x) không có bậc .
* Định lí :
{ }
deg( ) max deg ,degf g f g+ ≤
* Định lí :
deg( . ) deg degf g f g≤ +
* Định lí về chia có dư : Cho
k
là trường . Xét
[ ]
xk

.

[ ]
, , 0f g x g∀ ∈ ≠k
luôn
[ ]
( ), ( ) : ( ) ( ). ( ) ( )q x r x x f x g x q x r x∃ ∈ = +k
Nếu
( ) 0 ( ) ( )r x f x g x= ⇒ M
Nếu
( ) 0 deg ( ) deg ( )r x r x g x≠ ⇒ <
* Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia đa thức (bậc nhất)
Giả sử
( ) ( ) 0f x x c f c− ⇔ =M
hay x = c là nghiệm của f(x) khi đó ta có :
a
n
a
n-1
a
n-2
………… a
0
c a
n
c.a
n
+ a
n-1
c. (c.a

n
+ a
n-1
)+a
n-2
f(c)
8) Đa thức đối xứng : Đa thức
1 2 3 1 2 3
( , , ) ( , , )
n n
f x x x x x x x x∈¡
được gọi là đa
thức đối xứng nếu như ta hoán vị hai ẩn bất kì
,
i j
x x
thì ta được đa thức mới không
thay đổi so với đa thức ban đầu .
* Dùng thuật toán phân tích đa thức đối xứng thành các đa thức đối xứng cơ bản :
3
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Bước 1 : Từ đa thức của f(x) ta chọn hạng tử cao nhất (có bậc cao nhất )của f : Ưu
tiên theo thứ tự
1 2 3

n
x x x x→ → → →
(đây là bước quan trọng nhất) Sau đó suy ra
bộ số mũ
1 2 3

( , , )
n
i i i i
. VD trong
[ ]
1 2 3 4
, , ,x x x x¡
ta tìm được hạng tử cao nhất là :
3 2
x x
thì ta được bộ số mũ là
1 2 3 4
( , , , )i i i i
= (3,2,0,0)
Bước 2 : Từ bộ số mũ xác định được ta suy ra hệ thống bộ số mũ có thể có sao cho
thỏa mãn hai điều kiện : thứ nhất là tổng các số phải bằng duy nhất một số , thứ hai
là số bên trái phải lớn hơn hoặc bằng số bên phải .
VD : (3,2,0,0) > (3,1,1,0) > (2,2,1,0) > (2,1,1,1)
Bước 3 : Từ hệ thống bộ số mũ ta vừa lập được ta phân tích f dưới dạng tham số :
2 3 1 2 3 11 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2 1

n n n n n n
i i i i i j j j j ji i j j
n n n n
f m s s s s m s s s s
− −
− − − −− −
− −
= + +

Bước 4 : Tìm
1 2 3
, , ,
n
m m m m
bằng phương pháp hệ số bất định thông qua việc chọn
tùy ý
1 2 3 1 2 3
, , , , , , , 1,
n n i
x x x x s s s s f m i n⇒ ⇒ ⇒ =

Trong đó :
1 1 2 3
1
2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1
1
3
1
1 2 3

. . . . . . .

. .
n
n k
k
n n n i j
i j n
i j k

i j k n
n n
s x x x x x
s x x x x x x x x x x x x x x
s x x x
s x x x x
=
−
≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤

= + + + + =



= + + + + + + =


=




=



∑
∑
∑

Tìm được
1 2 3
, , ,
n
m m m m

ta thế vào
2 3 1 2 3 11 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2 1

n n n n n n
i i i i i j j j j ji i j j
n n n n
f m s s s s m s s s s
− −
− − − −− −
− −
= + +
9) Định lí Viet : Các phần tử
1 2 3
, , ,
n
x x x x

là nghiệm của đa thức
1 2
1 2 0
( )
n n n
f x x a x a x a

− −
= + + + +
nếu và chỉ nếu :

1
1 1 2 3 1 1
1
( 1)
n
n k
k
s x x x x x a a
=
= + + + + = = − = −
∑

2
2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1 2 2
1
. . . . . . . ( 1)
n n n i j
i j n
s x x x x x x x x x x x x x x a a
−
≤ ≤ ≤
= + + + + + + = = = −
∑
……………………………………………………………………………………

1 2

1 2
1
( 1)
k
k
k
k i i i k
i i i n
s x x x a
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
= = −
∑
……………………………………………………………………………………

1 2 3
. . ( 1)
n n n
s x x x x a= = −

2 2 2 2
1 2 3 1 2
2x x x s s
⇒ + + = −

3 3 3 3
1 2 3 1 1 2 3
3 3x x x s s s s
⇒ + + = − +
4
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH

Chương II : Lý thuyết nhân tử hóa trên miền nguyên .
1) Ước và bội : Cho
,a b D∈
b được gọi là ước của a hay a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại
c D
∈
sao cho
.a b c
=
. KH :
\b a
a b



M
* Tính chất : gọi U là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch hay U là tập tất cả các
ức của đơn vị thì khi đó ta có :
+ Nếu
[ ] ( [ ]) ( ) *D x U x U= ⇒ = =¤ ¤ ¤ ¤
+ Nếu
[ ] ( [ ]) ( ) *D x U x U= ⇒ = =¡ ¡ ¡ ¡
+ Nếu
[ ] ( [ ]) ( ) *D x U x U= ⇒ = =£ £ £ £
+ Nếu
{ }
[ ] ( [ ]) ( ) 1D x U x U= ⇒ = = ±¢ ¢ ¢
+ Nếu
n p∈
(p : số nguyên tố )

{ }
*
( ) \ 0
n n n n
D U= ⇒ = =¢ ¢ ¢ ¢
2) Phần tử liên kết : Trong miền nguyên D , phần tử a được gọi là lên kết với
phần tử b nếu
: . :u U a u b KH a b∃ ∈ = :
. Hay chúng sai khác nhau một phần tử
khả nghịch . Khi đó ta cũng nói phần tử b liên kết với phần tử a .
3) Ước thật sự : Cho
*\a D U∈
. Khi đó d gọi là ước thật sự của a khi và chỉ khi : d
là một ước của a , d không khả nghịch(hay d không là ước của 1) và d không liên
kết với a . KH :
d aP
.
4) Phần tử bất khả quy : Phần tử
*\p D U∈
( không khả nghịch) được gọi là bất khả
nghịch nếu p không có ước thật sự . Nếu p có ước thật sự thì p được gọi là phần tử
khả quy .
* Lưu ý :
+ Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy.
+ Trường không có phần tử bất khả quy .
+ Trong miền nguyên
¢
, các số nguyên tố là các phần tử bất khả quy .
5) Ước chung lớn nhất : Ước chung lớn nhất của a,b là ước lớn nhất trong tất cả
các ước chung của a và B tức là : Nếu d \ a, d \ b và c \ a , c \ b thì c \ d khi đó d

là ước chung lớn nhất của a và b KH : d = (a,b)
* Nếu
1
1 2
2
( , )
:
( , )
=

⇒

=

:
d a b
d d
d a b
* Nếu
( , ) ( , )d a b ud a b u U= ⇒ = ∀ ∈
* Nếu (a,b) = 1 thì ta nói a , b nguyên tố cùng nhau .
6) Dạng nhân tử hóa duy nhất : Phần tử a trong miền nguyên D được gọi là có
dạng nhân tử hóa duy nhất nếu a phân tích dược thành tích những phần tử bất khả
quy . Tức là
1 2
. .
s
a u p p p=
. Giả sử như có sự phân tích khác
1

' ' '
2
. .
t
a u p p p=
thì khi
đó chỉ số t = s và từng cặp phải liên kết với nhau .
5
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
** Sự tồn tại dạng nhân tử hóa duy nhất :
+ Nếu trong miền nguyên D mà mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố thì
*\a D U∈
có dạng nhân tử hóa duy nhất (phân tích được thành tích các phần tử bất
khả quy )
+ Nếu miền nguyên D trong đó hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất
thì
*\a D U
∈
có dạng nhân tử hóa duy nhất .
8) Miền nguyên :
a) Miền nguyên Gauss (GD): Miền nguyên Gauss là miền nguyên mà trong đó mọi
phần tử khác 0 và không khả nghịch có dạng nhân tử hóa duy nhất thành những
phần tử bất khả quy .
Trong miền nguyên Gauss mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố .
b) Miền nguyên chính : (PID) Miền nguyên chính là miền nguyên mà mọi Iđean
của nó đều là Iđean chính .
* Trong miền nguyên chính D , nếu p là phần tử bất khả quy thì
a D
∀ ∈
thì ta có

|
( , ) 1


=

p a
p a
* Mọi miền nguyên chính đều là miền nguyên Gauss .
c) Miền nguyên Euclide : (ED) Miền nguyên D là miền nguyên ED nếu có ánh xạ
hàm bậc :
: *D
δ
→
¥
biến điểm
( )a a
δ
→
thỏa :
i) Nếu
, * ( ) ( )a b D b ab
δ δ
∈ ⇒ ≤
ii)
, *, , : , ( ) ( )a D b D q r D a bq r r b
δ δ
∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ = + <
KH :
( , )D

δ
* Trong miền nguyên ED , u là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu
( ) (1)u
δ δ
=
.
* Mọi miền nguyên ED đều là miền nguyên chính .
d) Thuật toán Euclide tìm ước chung lớn nhất : Ta lấy số chia chia liên tiếp cho
phần dư đến khi dư bằng 0 thì khi đó ước chung lớn nhất cần tìm là phần dư cuối
cùng .(tức là nếu dư
1
0
n n
r r
−
= ⇒
là ước chung lớn nhất )
e) Các miền nguyên Gauss đặc biệt :
Ở đây ta chủ yếu nghiên cứu vấn đề về nghiệm và bất khả quy của một số miền
nguyên Gauss đặc biệt .
Miền nguyên Vấn đề nghiệm Vấn đề bất khả quy
[ ]x¢
+ Có công thức tìm nghiệm cho
các đa thức có bậc
4≤
+ Đa thức có bậc
5
≥
không tìm
được nghiệm .

Đa thức bậc nhất có hệ số dẫn
đầu là
±
1 luôn bất khả quy .
[ ]x¤
Đưa về tìm nghiệm của đa thức
hệ số nguyên (giống như
[ ]x¢
)
+ sử dụng tiêu chuẩn Eisentein
(điều kiện đủ)
+ Đa thức bậc nhất bất khả quy .
+ Đa thức bậc 2 ,3 vô nghiệm
thì bất khả quy .
6
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
[ ]x¡
+ Giống như
[ ]x¢
+ đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất
một nghiệm thực .
+ Đa thức bậc nhất bất khả quy .
+ Đa thức bậc 2 vô nghiệm bất
khả quy .
[ ]x£
Đa thức bậc n luôn có n nghiệm
.
+ Đa thức bậc nhất bất khả quy .
+ Đa thức có bậc
2≥

luôn khả
quy .
+ Dạng nhân tử hóa : Phân tích
thành tích các đa thức bậc nhất .
* Tiêu chuẩn Eisenstein : (xét tính khả quy của đa thức )
Cho đa thức
1 2
0 1 2
( ) [ ]
n
n
f x a a x a x a x x= + + + + ∈¢
. nếu ta chỉ ra được một số
nguyên tố p sao cho : p là ước của tất cả các
, 0, 1
i
a i n= −
, p không là ước của
n
a
và
2
p
không là ước của
0
a
thì
1 2
0 1 2
( ) [ ]

n
n
f x a a x a x a x x= + + + + ∈¢
là bất khả
quy .
7
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Chương III : Lý thuyết modun trên vành .
1) Định nghĩa : Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 .

( , )M
φ
≠ +
là nhóm Abel .
Trên M xét hai phép toán :
* Phép cộng : + : M x M
M
→
biến
( , )x y x y+a
.
* Phép nhân vô hướng : . : R x M
M
→
biến
( , )r x rxa
Khi đó M cùng với hai phép toán trên được gọi là modun trái trên R (hay R-
modun) nếu thỏa các tiên đề sau :

1

2
3
4
: :1.
: , : ( ) ( )
: , , : ( )
: , : ( )
M x M x x
M r s rs x r sx
M r x y M r x y rx ry
M r s r s x rx sx
∀ ∈ =
∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ + = +
∀ ∈ + = +
¡
¡
¡
Tương tự ta cũng có modun phải nếu như ta đổi vị trí tác động lại của R đối với M .
Tức là ta có M x R
M→
biến
( , )x r xra
.
2) Tính chất cơ bản của modun :

1. 0 0 , 0 0
2. ( ) , ( )
3. ( )
4. ( )

x r
r x rx r x rx
r s x rx sx
r x y rx ry
= =
− = − − = −
− = −
− = −
3) Modun con : Cho M là R – modun .
A M
φ
≠ ⊂
.
Trên A xét hai phép toán : cộng và nhân vô hướng . Khi đó (A ,+, .) là modun con
của M nếu A là bộ phận ổn định của modun M .
Tức là ta có :
, :
, :
x y A x y A
r x A rx A
∀ ∈ + ∈


∀ ∈ ∀ ∈ ∈

¡
KH :
A M≤
* Tiêu chuẩn xét modun con :
, :

, :
x y A x y A
A M
r x A rx A
∀ ∈ − ∈

≤ ⇔

∀ ∈ ∀ ∈ ∈

¡
4) Modun thương : Cho M là R – modun .
( , ) ( , )A M+ ≤ +
(nhóm con)

{ }
/ :M A x A x M= + ∈
Trong đó
{ }
:x A x a a A+ = + ∈
.
Trên M/A ta trang bị hai phép toán :
* Phép cộng : M/A x M/A
/M A
→
biến
( , ) ( ) ( ) ( )x A y A x A y A x y A+ + + + + = + +a
* Phép nhân vô hướng : R x M/A
/M A→
biến

( , ) ( ) ( )r x A r x A rx A+ + = +a
Khi đó (M/A , + , .) là R – modun và được gọi là modun thương của modun M theo
modun A.
5) Đồng cấu modun : Cho X , Y là các R – modun.
8
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Một ánh xạ
:f X Y→
được gọi là một đồng cấu R – modun nếu :

1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
) , : ( ) ( ) ( )
, : ( ) ( )
) , , , : ( ) ( ) ( )
i x x X f x x f x f x
r x X f rx rf x
ii r r x x X f r x r x r f x r f x
∀ ∈ + = +
∀ ∈ ∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ + = +
¡
¡
9
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
PHẦN II : BÀI TẬP
1) Bài tập chương II :
Cho
α
là số phức sao cho

2
5
α
= −

và
[ ]
{ }
: ,m n m n
α α
= + ∈ ⊂¢ ¢ £
a. Chứng minh rằng
[ ]
α
¢
là vành con của trường số phức
£
chứa
¢
và suy ra
[ ]
α
¢
là một miền nguyên .
b. Với
[ ]
m n
δ α α
= + ∈¢
, định nghĩa chuẩn của

δ
là số nguyên
2 2
( ) 5N m n
δ
= +
.
Kiểm chứng rằng :
1 2 1 2
( . ) ( ). ( )N N N
δ δ δ δ
=
với bất kỳ
[ ]
1 2
,
δ δ α
∈¢
và định nhóm
U
các phần tử khả nghịch của
[ ]
α
¢
. Suy ra quan hệ
:
(liên kết) trong
[ ]
α
¢

.
c. Chứng minh rằng miền nguyên
[ ]
α
¢
thỏa mãn dây chuyền tăng Iđean chính .
d. Kiểm chứng rằng trong
[ ]
α
¢
, các phần tử
3,2 , 2
α α
+ −
đều là bất khả quy và
hai trong ba phần tử này không liên kết . Suy ra không thỏa mãn điều kiện duy nhất
các dạng nhân tử hóa .
Giải :
a. Chứng minh rằng
[ ]
α
¢
là vành con của trường số phức
£
chứa
¢
và suy ra
[ ]
α
¢

là một miền nguyên .
(Để chứng minh
[ ]
α
¢
là vành con của
£

[ ]
( )
α
≤¢ £
ta dựa vào tiêu chuẩn vành
con : Trước tiên ta chỉ ra
[ ]
α
¢
là tập hợp khác rỗng . Sau đó ta kiểm chứng hai điều
kiện :
+
[ ] [ ]
1 2 1 2
,
δ δ α δ δ α
∀ ∈ ⇒ − ∈¢ ¢
+
[ ] [ ]
1 2 1 2
, .
δ δ α δ δ α

∀ ∈ ⇒ ∈¢ ¢
)
* Ta có
[ ] [ ]
1 1 0.
α α φ α
= + ∈ ⇒ ≠ ⊂¢ ¢ £
*
[ ]
1 1 1 2 2 2
,m n m n
δ α δ α α
∀ = + = + ∈¢

[ ]
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )m n m n m m n n
δ δ α α α α
− = + − + = − + − ∈¢
*
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. ( ).( ) . . 5m n m n m m m n n m n n
δ δ α α α α
= + + = − + −

[ ]
1 2 1 2 1 2 1 2
( . 5 ) ( . )m m n n m n n m
α α
= − + + ∈¢

Vậy
[ ]
α
≤¢ £
Ta có :
£
là trường nên
[ ]
α
¢
là miền nguyên vì
[ ]
α
¢
là vành con chứa đơn vị của
£
( áp dụng theo định lí : Vành con chứa đơn vị của trường là miền nguyên )
10
Bài 24 trang 36
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
b. Với
[ ]
m n
δ α α
= + ∈¢
, định nghĩa chuẩn của
δ
là số nguyên
2 2
( ) 5N m n

δ
= +
.
Kiểm chứng rằng :
1 2 1 2
( . ) ( ). ( )N N N
δ δ δ δ
=
với bất kỳ
[ ]
1 2
,
δ δ α
∈¢
và định nhóm
U
các phần tử khả nghịch của
[ ]
α
¢
. Suy ra quan hệ
:
(liên kết) trong
[ ]
α
¢
.
* Chứng minh :
1 2 1 2
( . ) ( ). ( )N N N

δ δ δ δ
=
Ta có :
2 2
( ) 5 ( )( ) .N m n m n m n
δ α α δ δ
= + = + − =
Cách 1:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( . ) ( ).( ) . . . . . ( ). ( )N N N
δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ
= = = =
Cách 2 :
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( . ) ( . 5 ) 5( . ) ( 5 )( 5 ) ( ). ( )N m m n n m n n m m n m n N N
δ δ δ δ
= − + + = + + =
* Định nhóm
U
các phần tử khả nghịch của
[ ]
α
¢
Ta có
( ) 1U N
δ δ
∈ ⇔ =
Chiều thuận : Giả sử
: ': . ' 1U

δ δ δ δ
∈ ∃ =

. ' 0 ( ). ( ') 1
1 (1) ( . ') ( ). ( ')
( ) ( ') 1
N N
N N N N
N N
δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ
⇒ ≠ ⇒ ≥
= = =
⇒ = =
Chiều đảo : Giả sử
( ) 1N
δ
=
ta chứng minh
U
δ
∈
Với
2 2
, ( ) 5m n N m n
δ α δ
= + = +
Theo giả thiết ta có :
2 2

( ) 1 5 ( , )N m n m n
δ
= = + ∈¢

[ ]
{ }
1
1
0
( ) 1
m
U
n
U
δ
α
= ±

⇒ ⇒ = ± ∈

=

⇒ = ±¢
* Suy ra
[ ]
{ }
1 2 1 2 1 2
. , ( ) 1u u U
δ δ δ δ α δ δ
⇔ = ∈ = ± ⇔ = ±: ¢

c. Chứng minh rằng miền nguyên
[ ]
α
¢
thỏa mãn dây chuyền tăng Iđean chính .
Xét dây chuyền tăng I đêan chính trong
[ ]
α
¢
Ta có :
[ ]
0 1 2
0
n
δ δ δ δ α
≠ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ≠¢ ¢ ¢ ¢ ¢
(*)
Ta cần chứng minh
[ ]
α
¢
thỏa acc nghĩa là dãy (*) dừng lại tại 1 điểm náo đó .
Tương ứng với dãy (*) là dãy các phần tử trong
[ ]
α
¢
như sau :

0 1 2 1

n n
δ δ δ δ δ
+
M M M M M M
(**)
Theo câu b ta có :

2 2
( . ) ( ). ( )
( . ) ( )
0 ( ) 5 1
N N N
N N
N m n
δ γ δ γ
δ γ γ
δ γ
=

⇒ ≥

≠ ⇒ = + ≥

Suy ra tương ứng với dãy (**) là dãy các
1
( )N
δ
trong
¥
như sau :

0 1 2
( ) ( ) ( ) N N N
δ δ δ
≥ ≥ ≥ ≥
(***)
là dãy các số tự nhiên giảm dần .Do
0
( )N
δ
là số tự nhiên nào đó nên dãy (***) sẽ
lùi dần và có n để dãy (***) dừng tại n Nên ta suy ra dãy (**) dừng , nghĩa là
1 2

n n n
δ δ δ
+ +
: : :
.
Tương ứng với dãy (**) dừng thì suy ra dãy (*) cũng dừng tức là ta có :
[ ] [ ]
1 2

n n n
δ δ α δ α
+ +
= = =¢ ¢ ¢
11
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Vậy miền nguyên

[ ]
α
¢
thỏa dây chuyền tăng I đean chính .
d. Kiểm chứng rằng trong
[ ]
α
¢
, các phần tử
3,2 , 2
α α
+ −
đều là bất khả quy và hai
trong ba phần tử này không liên kết . Suy ra không thỏa mãn điều kiện duy nhất các
dạng nhân tử hóa .
* Kiểm chứng các phần tử
3,2 , 2
α α
+ −
trong
[ ]
α
¢
à bất khả quy :
** Kiểm chứng 3 là phần tử bất khả quy :
Giả sử :
1 2
3 .
δ δ
=

1 2
1 2
1 2 1
2
(3) ( ). ( )
( ) ( ) 3
9 ( ). ( ) ( ) 1
( ) 9
N N N
N N
N N N
N
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ
⇒ =
= =


⇔ = ⇒ =




=


+ Trường hợp 1:

2 2 2 2
1 2
( ) ( ) 3 5 5 3N N m n p q
δ δ
= = ⇒ + = + =
Vô nghiệm trên
¢
+ Trường hợp 2 :
2
2 2
1
2 2
2
1, 0
( ) 1
5 1
2, 1
( ) 9
5 9
3, 0
m n
N
m n
p q
N
p q
p q
δ
δ


= ± =

=
+ =



⇒ ⇒
= ± = ±

  
=
+ =





= ± =


.
1, 0
3 1.3 ( 1)( 3)
3, 0
m n
p q
= ± =

⇒ = = − −


= ± =

.
1, 0
( 1)( 2 ) 3
2, 1
m n
p q
α
= ± =

⇒ ± ± ± ≠

= ± = ±

Vậy 3 chỉ có sự phân tích tầm thường (không có ước thật sự ) hay 3 là phần tử bất
khả quy .
** Kiểm chứng
2
α
+
là phần tử bất khả quy :
Giả sử ta có :
2 . ' ( , ' ' ' )m n m n
α δ δ δ α δ α
+ = = + = +


(2 ) ( ). ( ')

9 ( ). ( ')
/ (2 ) ( ) / 9 1 2
N N N
N N
N hay
α δ δ
δ δ
δ α δ δ δ α
⇒ + =
⇔ =
+ ⇒ ⇒ = ± +:
Vậy
2
α
+
là phần tử bất khả quy .
** Kiểm chứng
2
α
−
là phần tử bất khả quy :
Giả sử ta có :
2 . ' ( , ' ' ' )m n m n
α δ δ δ α δ α
− = = + = +

(2 ) ( ). ( ')
9 ( ). ( ')
/ (2 ) ( ) / 9 1 2
N N N

N N
N hay
α δ δ
δ δ
δ α δ δ δ α
⇒ − =
⇔ =
− ⇒ ⇒ = ± −:
Vậy
2
α
−
là phần tử bất khả quy .
** Kiểm chứng hai trong ba phần tử trên không liên kết:
Do
[ ]
{ }
'
( ) 1 , '
'
U
δ δ
α δ δ
δ δ
=

= ± ⇔

= −


¢ :
Mà
Ta có :
3 (2 ) 3
α
≠ ± + ⇒
không liên kết với
2
α
+
12
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH

3 (2 ) 3
α
≠ ± − ⇒
không liên kết với
2
α
−

2 (2 ) 2
α α α
+ ≠ ± − ⇒ +
không liên kết với
2
α
−
** Suy ra không thỏa mãn điều kiện duy nhất các dạng nhân tử hóa .
Ta thấy:

9 3.3 (2 )(2 )
α α
= = − +
nên trong
[ ]
α
¢
9 có hai sự phân tích thành tích các
phần tử bất khả quy , các phần tử bất khả quy này đôi một không liên kết với nhau
suy ra 9 có hai dạng nhân tử hóa nên
[ ]
α
¢
không có dạng nhân tử hóa duy nhất
(không là miền nguyên Gauss nên
[ ]
α
¢
cũng không là miền nguyên chính , không
là miền nguyên Euclide)

Xét vành các số nguyên Gauss :
[ ]
{ }
[ ]
: ,i m ni m n m ni i
α
= + ∈ ∀ = + ∈¢ ¢ ¢
Đặt
m ni

α
= −
và
2 2
( )N m n
α
= +
. Chứng minh rằng :
a.
[ ]
( ) ( ). ( ) ,N N N i
αβ α β α β
= ∀ ∈¢
b.
[ ]
i
α
∈¢
là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu
( ) 1N
α
=
. Định nhóm
U
các
phần tử khả nghịch của
[ ]
i¢
c. Nếu
[ ]

trong i
α β
: ¢
thì
( ) ( )N N
α β
=
. Định các
[ ]
i
α
∈¢
sao cho
α α
:
d.
Nếu
( )N
α
là số nguyên tố trong
¢
thì
α
là phần tử nguyên tố trong
[ ]
i¢
e. Một số nguyên tố
p
trong
¢

cũng là nguyên tố trong
[ ]
i¢
nếu và chỉ nếu
[ ]
( )p N i
α α
≠ ∀ ∈¢
f. Một số nguyên tố
p
trong
¢
có dạng
4 3p q= +
thì
p
là nguyên tố trong
[ ]
i¢
.
Giải :
Chứng minh rằng :
a.
[ ]
( ) ( ). ( ) ,N N N i
αβ α β α β
= ∀ ∈¢
Cách 1 :
[ ]
,m ni p qi i

α β
∀ = + = + ∈¢

2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
. ( ) ( )
( . ) ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2
( )( ) ( ). ( )
mp nq mq np i
N mp nq mq np
mp mnpq nq mq np mnpq
m n p q N N
α β
α β
α β
= − + +
= − + +
= − + + + +
= + + =
Cách 2 : Theo định nghĩa ta có :
2 2
( ) ( )( ) .N m n m ni m ni
α α α
= + = + − =

[ ]
,
( ) . . . . ( ). ( )

i
N N N
α β
αβ αβ αβ αβ α β α αβ β α β
⇒ ∀ ∈
⇒ = = = =
¢
13
Bài 49 trang 39
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
b.
[ ]
i
α
∈¢
là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu
[ ]
' i
α
∋ ∈¢
:
. ' 1
α α
=
. Định
nhóm
U
các phần tử khả nghịch của
[ ]
i¢

*
[ ]
i
α
∈¢
là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu
[ ]
' i
α
∋ ∈¢
:
. ' 1
α α
=
+ Chiều thuận :
( . ') 1 ( ) ( ') 1 ( ) 1N N N N
α α α α α
= ⇔ = ⇒ =
+ Chiều đảo : nếu
( ) . ' 1N
α α α
= =
thì
α
là phần tử khả nghịch và có phần tử
khả nghịch là
'
α
.
* Định nhóm

U
các phần tử khả nghịch của
[ ]
i¢
Ta có
m ni
α
= +
là khả nghịch
2 2
1
0
( ) 1 1
0
1
m
n
N m n
m
n
α
 = ±



=


⇔ = ⇒ + = ⇔


=



= ±



Suy ra phần tử khả nghịch của
[ ]
i¢
là
{ }
1,U i= ± ±
c. Nếu
[ ]
trong i
α β
: ¢
thì
( ) ( )N N
α β
=
. Định các
[ ]
i
α
∈¢
sao cho
α α

:
* Nếu
[ ]
trong i
α β
: ¢
thì
( ) ( )N N
α β
=
Ta có :
. ( )u u U
α β α β
⇒ = ∈:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1. ( ) ( ) ( )
N N u N N u N
N N N N
α β α β
α β α β
⇒ = ⇔ =
⇔ = ⇒ =
* Định các
[ ]
i
α
∈¢
sao cho
α α

:
Ta có :
[ ]
: ( ) .( )i u m ni u m ni
α α α α α
∈ ⇔ = ⇔ + = −¢ :
+ Trường hợp 1:
1 0u m ni m ni m ni
α
= − ⇒ + = − + ⇒ = ⇒ =
+ Trường hợp 2 :
1 0u m ni m ni ni m
α
= ⇒ + = − ⇒ = ⇒ =
+ Trường hợp 3 :
( ) ( ) ( ) 0 (1 )u i m ni i m ni m n n m i m n m mi m i
α
= ⇒ + = − ⇒ − + − = ⇒ = ± ⇒ = + = +
+ Trường hợp 4 :
( ) ( ) 0 (1 )u i m ni im n m n n m i m n m mi m i
α
= − ⇒ + = − − ⇒ + + + = ⇒ = − ⇒ = − = −
Vậy tập các
[ ]
i
α
∈¢
:
α α
:

là
{ }
, , ( 1), (1 )T ni m m i m i= + −
d. Nếu
( )N
α
là số nguyên tố trong
¢
thì
α
là phần tử nguyên tố trong
[ ]
i¢
Nếu
α βγ
=
thì
( ) ( ). ( )N N N
α β γ
=
. Do đó nếu
α
khả quy trong
[ ]
i¢
thì
, U
α β
∉
, khi đó

( ), ( ) 1 ( )N N N
β γ α
> ⇒
khả quy nên mâu thuẩn với giả thiết
( )N
α
là nguyên tố .
Vậy nếu
( )N
α
nguyên tố trong
¢
thì
α
là phần tử nguyên tố trong
[ ]
i¢
.
e. Một số nguyên tố
p
trong
¢
cũng là nguyên tố trong
[ ]
i¢
nếu và chỉ nếu
[ ]
( )p N i
α α
≠ ∀ ∈¢

* Chiều thuận :
Giả sử
p
là nguyên tố trên
¢
,
p
không là nguyên tố trên
[ ]
i¢
khi đó ta có :
.p
α β
=
14
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH

2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
N p N N N
p N N p N N
αβ α β
α β α β
⇒ = =
⇔ = ⇒ = =
Mâu thuẩn với giả thiết
[ ]
( )p N i
α α

≠ ∀ ∈¢
. Vậy
p
là nguyên tố trên
[ ]
i¢
* Chiều đảo :
Giả sử
[ ]
: ( ) .i p N
α α α α
∃ ∈ = =¢
Suy ra
p
khả quy trên
[ ]
i¢

⇒

p
không là số nguyên tố trên
¢
nên mâu
thuẩn với giả thiết
p
là số nguyên tố trên
¢
Vậy
[ ]

( )p N i
α α
≠ ∀ ∈¢
f. Một số nguyên tố
p
trong
¢
có dạng
4 3p q= +
thì
p
là nguyên tố trong
[ ]
i¢
.

[ ]
2 2
, ( )m ni i N m n
α α
∀ = + ∈ = +¢
Ta có :
2 2
4 3m n p q+ ≠ = +
Thật vậy :
+ Nếu m chẵn :
2
2 0(mod 4)m k m= ⇒ ≡
+ Nếu m lẻ :
2 2

2 1 4 4 1 1(mod 4)m k m k k= + ⇒ = + + ≡
+ Tương tự với n chẵn ta có :
2
0(mod 4)n ≡
+ với n lẻ :
1(mod 4)n ≡
Trường hợp m chẵn , n lẻ
2 2
1(mod 4) 4 3 3(mod 4)m n p q⇒ + ≡ ≠ = + ≡
Trường hợp m chẵn , n chẵn
2 2
0(mod 4) 4 3 3(mod 4)m n p q⇒ + ≡ ≠ = + ≡
Vậy số nguyên tố
4 3p q= +
cũng là phần tử nguyên tố của
[ ]
i¢
.
Chứng minh rằng đa thức
2
1 x+
là bất khả quy khi xem như đa thức của
[ ]
x¢

nhưng khả quy khi xem như đa thức của
[ ]
5
x¢
Giải :

Giả sử
2
1 x+
là khả quy khi xem như là đa thức của
[ ]
x¢
.
Khi đó :
2
1 .x g h+ =
Vì
[ ]
x¢
là miền nguyên nên
deg deg 2g h+ =
Suy ra một trong hai đa thức g , h phải có một đa thức bậc 0 và một đa thức
bậc 2 hoặc cả hai đa thức đều có bậc là 1 .
* Trường hợp 1 :
2
1 x+
phân tích thành hai đa thức trong đó một đa thức có
bậc là 0 và một đa thức có bậc là 2 .
Khi đó :
2 2
1 ( )x ax bx c d+ = + +
với
0, , , ,a a b c d≠ ∈¢

2 2
1x adx bdx cd⇔ + = + +

15
Bài 22 trang 36
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
a
b
c
ad
d
bd
a
cd
b
c
d
 =




=




=

=



=
 

= ⇒


= −



=


=




= −





= −


Trong cả hai trường hợp
1, 0, 1, 1
1, 0, 1, 1
a b c d
a b c d
= = = =


= − = = − = −

thì
2
1 x+
là bất khả quy.
* Trường hợp 2:
2
1 x+
phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất .
Khi đó :
2
1 ( )( ) ( , 0, , , , )x ax b cx d a c a b c d+ = + + ≠ ∈¢

2 2
1 ( )x acx ad bc x bd⇔ + = + + +
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
1 (1)
0 (2)
1 (3)
ac
ad bc
bd
=


+ =


=

Từ (1) suy ra a , c cùng dấu và
, 0a c ≠
Từ (3) suy ra b ,d cùng dấu và
, 0b d ≠

⇒
ad và bc cùng dấu
1
0 0
1
ac
ad bc ad bc
bd

=


⇒ + ≠ ⇒ + =


=

(vô nghiệm)

⇒

2
1 x+
bất khả quy
Vậy
2
1 x+
là bất khả quy khixem như là đa thức của
[ ]
x¢
* Trên
[ ]
5
x¢
ta có :
2
( ) 1 (2) 0 2f x x f= + ⇒ = ⇒
là nghiệm của f(x)
Khi đó

2
1 ( 3)( 2)x x x+ = + +

Vậy
2
1 x+
là khả quy khi xem như là đa thức của
[ ]
5
x¢
Cho F là một trường . Chứng minh rằng trong miền nguyên F[x] một đa thức
0f ≠
và có bậc 2 hoặc bậc 3 là bất khả quy nếu và chỉ nếu
f
không có nghiệm
trong F .
Giải :
Để chứng minh mệnh đề trên ta sẽ chứng minh mệnh đề phản đảo của nó , tức
là : “ Cho F là một trường , trong miền nguyên F[x] , một đa thức
0f ≠
và có
bậc 2 hoặc bậc 3 là khả quy nếu và chỉ nếu
f
có nghiệm trong F “
Thật vậy ,
16
Bài 23 trang 36
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Do F là trường nên mọi phần tử khác 0 của F đều khả nghịch . Suy ra đa thức
bậc nhất của miền nguyên F[x] đều bất khả quy ( vì trong miền nguyên ta có

các đa thức bậc nhất có hệ tử dẫn đầu khả nghịchđều bất khả quy )
+ Trường hợp , đa thức
0f ≠
của miền nguyên F[x] có bậc 2 khả quy
1 1 1 1
. ( , 0,deg ,deg 2)f a g h a F a g h⇔ = ∈ ≠ ≠
Và
1
1 1 1 1
1
deg 1
deg deg deg 2 deg deg
deg 1
g
f g h g h
h
=

= + ⇔ = + ⇒

=

Khi đó
( )( ) , , , 0 , , , , ,f a bx c dx e a b d a b c d e F= + + ≠ ∈

0
0
0
c
x F

bx c
b
f
dx e e
x F
d

= − ∈

+ =

= ⇔ ⇒


+ =


= − ∈



f⇒
có nghiệm trong F
+ Trường hợp đa thức
0f ≠
của miền nguyên F[x] có bậc 3 khả quy
1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
. . . ( , 0;deg ,deg ,deg 3;deg deg deg deg )f a g h k a F a g h k f g h k⇔ = ∈ ≠ ≠ = + +
2 2 2
2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 4 4 2 2 3 4
3 deg deg deg
( )( ) , , , 0; , , , ,
( )( )( ) , , , , 0
g h k
f a b x c d x e x m a b d c b d e m F
f a b x c b x c b x c a b b b
⇔ = + +

= + + + ≠ ∈
⇒

= + + + ≠

.
1
1 1
2
1
1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 2
1 1 1
0
( )( ) 0
0
0
c
x F

b x c
b
f a b x c d x e x m
d x e x m
d x e x m

= − ∈
+ =


= + + + = ⇒ ⇔


+ + =


+ + =


f⇔
có nghiệm trong F .
.
2
2
2 2
3
2 2 2 3 3 4 4 3 3
3
4 4
4

4
0
( )( )( ) 0 0
0
c
x F
b
b x c
c
f a b x c b x c b x c b x c x F
b
b x c
c
x F
b

= − ∈


+ =



= + + + = ⇒ + = ⇔ = − ∈




+ =



= − ∈



f⇔
có nghiệm trong F .
Vậy “F là một trường , trong miền nguyên F[x] , một đa thức
0f ≠
và có bậc 2
hoặc bậc 3 là khả quy nếu và chỉ nếu
f
có nghiệm trong F “
Suy ra , “F là một trường , trong miền nguyên F[x] , một đa thức
0f ≠
và có
bậc 2 hoặc bậc 3 là bất khả quy nếu và chỉ nếu
f
không có nghiệm trong F “.
Chứng minh rằng trong miền nguyên Gauss , nếu
|a bc
và
( , ) 1a b :
thì
|a c
.
Giải :
Do
, ,a b c
thuộc miền nguyên Gauss

17
Bài 25 trang 36
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Ta có :
31 2
1 1 2 3
. . .
s
s
b u p p p p
α αα α
=
;
31 2
2 1 2 3
. . .
s
s
c u p p p p
β ββ β
=

3 31 1 2 2
1 2 1 2 3
. . . .
s s
s
b c u u p p p p
α β α βα β α β
+ ++ +

⇒ =

31 2
1 2 3
| . . . .
s
s
a b c a u p p p p
γ γγ γ
⇒ =
với
1 1 1
2 2 2

s s s
γ α β
γ α β
γ α β
≤ +


≤ +




≤ +

Do
( , ) 1 0

i
a b
δ
⇒ =:
nếu
1 1
2 2
0 , 1, |

i
s s
i s a c
γ β
γ β
α
γ β
≤


≤

≠ = ⇒ ⇒



≤

Chứng minh rằng vành
[ , ]F x y
các đa thức hai biến có hệ tử thuộc một trường

F , không phải là miền nguyên chính .
Giải:
Xét
, [ , ] [ , ]I x y xF x y yF x y= < > = +

1 [ , ]I I F x y∉ ⇒ ⊆

Giả sử
| 1;
[ , ]: , 1
| 1;
h x h x
h F x y I h x y h
h y h y
⇒ = ± ±

∃ ∈ = < > = < >⇒ ⇒ = ±

⇒ = ± ±


[ , ] [ , ]h F x y I F x y⇒ < > = ⇒ =
mâu thuẩn với
[ , ]I F x y⊆

nên
[ , ]: ,h F x y x y h∃ ∈ < > = < >
Vậy
[ , ]F x y
không phải là miền nguyên chính .

Tìm dạng nhân tử hóa (thành tích những phần tử bất khả quy ) của các số
nguyên Gauss :
5 3 ; 13 18i i+ +
Giải:
Xét vành các số nguyên Gauss :
[ ]
{ }
: ,i m ni m n= + ∈¢ ¢
và ánh xạ :
[ ]
:N i →¢ ¥
Ta có
2 2
( )N m n
α
= +
là số nguyên tố (áp dụng kết quả bài tập 49d) trong
¢
thì
α
là phần tử nguyên tố (bất khả quy) trong
[ ]
i¢

*
2
5 3 (4 4 ) ( ) 4(1 ) (1 ) (1 )(4 )i i i i i i i i i+ = + + − − = + − + = + −
Ta có :
2 2
(1 ) 1 1 2N i+ = + =

là số nguyên tố trong
¢
Suy ra
1 i+
là phần tử bất khả quy trong
[ ]
i¢
Vậy
5 3i+
có dạng nhân tử hóa là
(1 )(4 )i i+ −
*
13 18 8 5 20 2 (8 2 ) (5 20 ) 2(4 ) 5 (4 ) (4 )(2 5 )i i i i i i i i i i+ = + + − = − + + = − + − = − +
18
Bài 28 trang 37
Bài 31 trang 37
2 2
( )m ni N m n
α α
= + → = +
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Ta có :
2 2
(2 5 ) 2 5 29N i+ = + =
là nguyên tố trong
¢
Suy ra
2 5i+
là phần tử bất khả quy trong
[ ]

i¢
Vậy
13 18i+
có dạng nhân tử hóa là
(4 )(2 5 )i i− +
Xét tính bất khả quy trong
[ ]x¤
a)
2 3
9 3 3x x x+ + +

ta có phương trình
2 3
9 3 3 0x x x+ + + =
có nghiệm hữu tỷ là -3
suy ra
2 3
9 3 3x x x+ + +
khả quy trong
[ ]x¤
b)
2 3
6 6 6 3x x x+ + +
Ta thấy tồn tại số nguyên tố p = 2 :
2
2 | 6
2 | 3
2 4 | 6





=

Suy ra đa thức
2 3
6 6 6 3x x x+ + +
bất khả quy trên
[ ]x¤
(theo tiêu chuẩn
Eisenstein)
c)
7
47 x−
Ta thấy tồn tại số nguyên tố p = 47 :
2
47 | 47
47 |1
47 | 47





(xem lại KH)
Đa thức
7
47 x−
bất khả quy trên
[ ]x¤

(theo tiêu chuẩn Eisenstein)
d)
4
15 x+
Ta thấy tồn tại số nguyên tố p = 3 :
2
3|15
3|1
2 |15





(xem lại KH)
Đa thức
4
15 x+
bất khả quy trên
[ ]x¤
(theo tiêu chuẩn Eisenstein)
e)
5
3 15x −

Ta thấy tồn tại số nguyên tố p = 5 :
2
5 |15
5 |3
3 |15






(xem lại KH)
Đa thức
5
3 15x −
bất khả quy trên
[ ]x¤
(theo tiêu chuẩn Eisenstein)
19
Bài 40 trang 38
Bài 41 trang 38
Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH
Tìm dạng nhân tử hóa thành những đa thức bất khả quy trong
[ ]x¤
của các đa
thức sau :
a)
2 3 4 5
1 x x x x+ + + +
Ta có
2 3 4 5 2 3 4 5
1 (1 ) ( ) ( )x x x x x x x x x x+ + + + + = + + + + +

2 4 2 4 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )[(1 ) ]x x x x x x x x x x x= + + + + + = + + + = + + −

2 2
(1 )[(1 ) ][(1 ) ]x x x x x= + + − + +
b)
2 3 4 5 6 7
1 x x x x x x x+ + + + + + +
Ta có :
2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7
1 (1 ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + = + + + + + + +

2 4 6 2 4 6
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )x x x x x x x x x x x= + + + + + + + = + + + +

2 4 6 2 4
(1 )[(1 ) ( )] (1 )(1 )(1 )x x x x x x x= + + + + = + + +
Ta có
4
1 x+
bất khả quy trên
[ ]x¤
Thật vậy : xét
4 2 2 4 3 2
( ) 1 ( 1) 1 ( 2 1) 2 6 2 2f x x f x x x x x x x= + ⇒ + = + + + = + + + +
Ta thấy tồn tại số nguyên tố p = 2 :
2
2 | 2
2 | 6
2 |1
2 | 2








(xem lại KH)
Suy ra
( 1)f x +
bất khả quy trên
[ ]x¤

4
( ) 1f x x⇒ = +
bất khả quy trên
[ ]x¤
Vậy dạng nhân tử hóa của
2 3 4 5 6 7
1 x x x x x x x+ + + + + + +
là
2 4
(1 )(1 )(1 )x x x+ + +
Chứng minh rằng : Trường là miền nguyên chính cũng là miền nguyên Euclide .
Giải :
Gải sử F là một trường .
Xét ánh xạ hằng :
: *F
δ
→ ¥
(
0

( ) *a x a F
δ
= ∀ ∈
)
i) Nếu
0 0
, *: | ( ) , ( ) ( ) ( )a b F a b a x b x a b
δ δ δ δ
∈ ⇒ = = ⇒ ≤
ii)
1
1
*
, *
( )
b F
a F b F
a b ab
−
−

∃ ∈

∀ ∈ ∀ ∈ ⇒

=


Vậy trường là miền nguyên chính cũng là miền nguyên Euclide .
20

0
a x→
Bài 51 trang 39