ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HK2

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TPĐN
TRƯỜNG PTTH PHAN CHU TRINH
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP
MÔN TOÁN LỚP 11 HỌC KỲ II
NĂM HỌC: 2009 - 2010
A. ĐẠI SỐ
I. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
§1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh một mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi
số nguyên dương n, ta thực hiện hai bước sau:
. Bước 1: Kiểm chứng P(n) đúng khi n = 1
. Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n)
cũng đúng với n = k + 1
Vd1: Chứng minh 1
3
+ 2
3
+ + n
3
=
4
)1n(n
22
+
§2. Dãy số
1. Định nghĩa: u: N
*
→ R
n → u
n
= u(n) gọi là dãy số

2. Cách cho dãy số:
a/ Cách 1: Cho bởi công thức
b/ Cách 2: Cho bởi hệ thức truy hồi (qui nạp)
c/ Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng
của dãy số.
3. Dãy số tăng, giảm
4. Dãy số bị chặn
Chú ý: . Để chứng minh dãy (U
n
) tăng, giảm xét U
n+1
- U
n
(hoặc
n
1n
U
U
+
nếu U
n
> 0, ∀n)
. Để chứng minh (U
n
) bị chặn, ta tìm hai số m, M sao cho
m ≤ U
n
≤ M, ∀n.
Vd: Cho (U
n

): U
n
=
2n
1n2
+
+
. Chứng minh dãy số tăng và bị
chặn cần chú ý:
Nếu (U
n
) tăng thì bị chặn dưới bởi U
1
.
Nếu (U
n
) giảm thì bị chặn trên bởi U
1
§3. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: (U
n
) là CSC ⇔ U
n
= U
n-1
+ d, ∀n ≥ 2.
2. Tính chất: (U
n
) là CSC ⇔ U
k

=
2
UU
1k1k +−
+
, ∀k ≥ 2
3. Số hạng tổng quát: U
n
= U
1
+ (n - 1)d
4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
S
n
=
[ ]
2
nd)1n(u2
2
)uu(n
1n1
−+
=
+
§4. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (U
n
) là CSN ⇔ U
n
= U

n-1
. q, ∀n ≥ 2
2. Tính chất: (U
n
) là CSN ⇔
2
k
U
= U
k-1
. U
k+1
, ∀k ≥ 2
3. Số hạng tổng quát: U
n
= U
1
. q
n-1
4. Tổng của n số hạng đầu tiên của CSN
S
n
=
q1
)q1(u
n
1
−
−
(q ≠ 1)

II. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
§1. Dãy số có giới hạn 0
1. Định nghĩa: limU
n
= 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃ N / n > N → U
n
< ε
2. Một số dãy số có giới hạn 0
2
a)
0
n
1
lim =
b)
0
n
1
lim
3
=
. Định lý 1: U
n
 < V
n
, ∀n mà V
n
→ 0 thì U
n
→ 0

Vd1: Chứng minh
0
n
nsin
lim =
. Định lý 2: Nếu q < 1 thì limq
n
= 0
Vd2:
0
2
1
lim
n
=
H: Chứng minh
0
4
3
n
cos
lim
n
=
π
§2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
1. Định nghĩa: limU
n
= L ⇔ lim(U
n

- L) = 0
2. Một số định lý
. Định lý 1: Cho U
n
→ L khi đó
a) U
n
 → L và
3
3
n
LU →
b) Nếu U
n
≥ 0 ∀n thì L ≥ 0 và
LU
n
→
. Định lý 2: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai
dãy số bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
. CSN lùi vô hạn khi công bội q mà q < 1
. S = U
1
+ U
2
+ + U
n
+ =
q1

U
1
−
Vd1: Tính

2
2
2
1
2
1
32
+++
Vd2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777
dưới dạng phân số.
§3. Dãy số có giới hạn vô cực
3
1. Dãy số có giới hạn +∞
Định nghĩa: limU
n
= +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ N / n > N → U
n
> M
2. Dãy số có giới hạn -∞
Định nghĩa: limU
n
= -∞ ⇔ ∀m < 0, ∃ N / n > N → U
n
< m
Định lý: U

n
 → +∞ ⇒
n
U
1
→ 0
3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực
a) QT1: U
n
→ ±∞ → U
n
.V
n
→ ±∞
V
n
→ ±∞
b) QT2: U
n
→ ±∞ → U
n
.V
n
→ ±∞
V
n
→ L (L ≠ 0)
c) QT3:
U
n

→ L (L ≠ 0)
V
n
→ 0 (V
n
≠ 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi)
→
n
n
V
U
→ ±∞
Chú ý: Trên đây chỉ viết tổng quát, trong từng trường hợp
cụ thể, ta phải xác định dấu của U
n
và V
n
khi đó mới có kết quả
cụ thể được.
III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Giới hạn tại 1 điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa:
L)x(flim
o
xx
=
→
⇔ ∀(x
n

): x
n
≠ x
o
(x
n
≠ x
o
) → f(x
n
) → L
Vd1:
x
1
sin.xlim
0x→
b) Giới hạn vô cực
Định nghĩa:
4
±∞=
→
)x(flim
o
xx
⇔ ∀(x
n
): x
n
→ x
o

(x
n
≠ x
o
) → f(x
n
) → ±∞
Vd2: Tìm
2
1x
)1x(
2
lim
−
→
2. Giới hạn tại vô cực
Định nghĩa:
L)x(flim
x
=
+∞→
⇔ ∀(x
n
): x
n
→ +∞ → f(x
n
) → L
L)x(flim
x

=
−∞→
⇔ ∀(x
n
): x
n
→ -∞ → f(x
n
) → L
Vd3: Chứng minh
a)
0
x
1
lim
x
=
+∞→
b)
0
x
1
lim
x
=
−∞→
Nhận xét:
.
0Clim
o

xx
=
→
.



∞−
∞+
=
−∞→
k
x
xlim
.
o
xx
xxlim
o
=
→
.
0
x
1
lim
k
x
=
+∞→

.
+∞=
+∞→x
k
xlim
.
0
x
1
lim
k
x
=
−∞→
3. Một số định lý
a) Định lý: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai
hàm số bằng tổng, hiệu, tích thương các giới hạn của chúng.
KQ1:
k
o
k
xx
axaxlim
o
=
→
b) Định lý 2: Nếu
L)x(flim
o
xx

=
→
thì;
.
L)x(flim
o
xx
=
→
.
3
3
xx
L)x(flim
o
=
→
. Nếu f(x) ≥ 0 ∀x ≠ x
o
thì L ≥ 0 và
L)x(flim
o
xx
=
→
5
nếu k chẵn
nếu k lẻ
IV. GIỚI HẠN MỘT BÊN
1. Giới hạn hữu hạn

ĐN1:
)x(flim
o
xx
+
→
= L ⇔ ∀(x
n
): x
n
→ x
o
(x
n
> x
o
) → f(x
n
) → L

)x(flim
o
xx
−
→
= L ⇔ ∀(x
n
): x
n
→ x

o
(x
n
< x
o
) → f(x
n
) → L
. Nhận xét:
1) f(x) có giới hạn bằng L tại x
o
⇔
)x(flim
o
xx
+
→
=
)x(flim
o
xx
−
→
= L
2) Các định lý 1 và 2 trong mục III vẫn đúng khi thay x →
x
o
bởi x →
+
o

x
hoặc x →
−
o
x
2. Giới hạn vô cực: Định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn
V. MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC
a) Định lý: f(x) → +∞ →
)x(f
1
→ 0
b) Các quy tắc
. Quy tắc 1: f(x) → ±∞
→ f(x) . g(x) → ±∞
g(x) → L (L ≠ 0)
. Quy tắc 2: f(x) → L (L ≠ 0)
→ .
)x(g
)x(f
→ ±∞
g(x) → 0 (g(x) ≠ 0)
Chú ý: Dấu +∞ hoặc -∞ tùy thuộc vào f(x); g(x) hoặc L
VI. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
1.
0
0
và
∞
∞
2. 0 x ∞ 3. ∞ - ∞

VII. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: . f liên tục tại x
o
⇔
)x(flim
o
xx→
= f(x
o
)
. Hàm số không liên tục tại x
o
được gọi là gián đoạn tại x
o
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
6
a) Định nghĩa:
. f liên tục trên khoảng (a, b) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b)
+ f liên tục trên khoảng (a, b)
. f liên tục trên đoạn [a, b] ⇔ +
)x(flim
ax
+
→
= f(a)
+
)b(f)x(flim
bx
=

−
→
b) Kết quả:
. Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm liên tục là một hàm
liên tục
. Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập
xác định của chúng
c. Định lý 1: Các hàm số lượng giác đều liên tục trên tập
xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
. Định lý 2: (Định lý về giá trị trung gian)
Giả sử f liên tục trên đoạn [a, b], nếu f(a) ≠ f(b) thì mọi số
thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao
cho f(c) = M.
Hq: Nếu f liên tục trên [a, b] mà f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.
IV. ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm tại một điểm
. f'(x
o
) =
x
y
lim
x
)x(f)xx(f
lim
xx
)x(f)x(f
lim

0x
oo
0x
o
o
xx
o
∆
∆
=
∆
−∆+
=
−
−
→∆→∆→
2. Qui tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
B1. Tính ∆y = f(x
o
+ ∆x) - f(x
o
)
B2. Tìm
x
y
lim
0x
∆
∆
→∆

7
Chú ý: f có đạo hàm tại x
o
⇒ f liên tục tại x.
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
f'(x
o
) là hsg của tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm
M
o
(x
o
, f(x
o
)) thuộc đồ thị.
4. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại điểm
M
o
(x
o
, f(x
o
)): y = f(x
o
)(x - x
o
) + f(x
o
)
5. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Vận tốc tức thời tại thời điểm t
o
(hay vận tốc tại t
o
) của
một chuyển động có phương trình S = S(t) là v(t
o
) = S'(t
o
)
6. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
. f có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi x ∈ J
. Nếu f có đạo hàm trên J thì hàm số f': J → R.
x → f'(x)
gọi là đạo hàm của f.
7. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
a) y = c → y' = 0
b) y = x → y' = 1
c) y = x
n
→ y' = nx
n-1
(n ∈ N
*
)
d) y =
x2
1
'yx =⇒
8. Các qui tắc tính đạo hàm

a) y = u ± v → y' = u' + v'
. Mở rộng: y = u
1
± u
1
± ± u
n
→ y' = u'
1
± u'
2
± ± u'
n
b) y = u.v → y' = u'v + v'u
. Đặc biệt: y = k . u → y' = k . u' (k là hằng số)
. Mở rộng: y = u.v.w → y' = u' . v. w + u.v'.w + u.v.w'
8
c) y =
2
v
u'vv'u
'y
v
u −
=⇒
Đặc biệt
2
v
'v
'y

v
1
y −=⇒=
d) Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y = f(u(x)) ta có y'
x
= f'(u(x)) . u'(x)
Trong thực hành ta thường viết y'
x
= y'
u
. u'
x
Hệ quả: 1) y = u
n
→ y' = n.u
n-1
. u'
2) y =
u2
'u
'yu =⇒
3) y =
2
u
'u
'y
u
1 −
=⇒

9. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
a)
1
x
xsin
lim
0x
=
→
. Mở rộng
1
)x(u
)x(usin
lim
o
xx
=
→
với
0)x(ulim
o
xx
=
→
b)



=⇒=
=⇒=

ucos'.u'yusiny
xcos'yxsiny
c)



=⇒=
−=⇒=
usin'.u'yucosy
xsin'yxcosy
d)







=⇒=
=⇒=
ucos
'u
'yutany
xcos
1
'yxtany
2
2
e)








−=⇒=
−=⇒=
usin
'u
'yucoty
xsin
1
'yxcoty
2
2
9
10. Vi phân
a) Vi phân của hàm số tại 1 điểm
df(x
o
) = f '(x
o
) ∆x
b) Vi phân của hàm số
d(f(x) = f '(x)dx
11. Đạo hàm cấp cao
a) Đạo hàm cấp hai: f " = (f')'
b) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: gia tốc tại t
o

là:
γ(t
o
) = S"(t
o
)
c) Đạo hàm cấp cao: f
(n)
= [f
(n-1)
]'
B. HÌNH HỌC
I.QUAN HỆ SONG SONG
1. Cho a // b: mp(P) chứa a; mp(Q) chứa b nếu (P) cắt (Q)
theo giao tuyến d thì d// a, d // b hoặc d trùng với một trong hai
đường thẳng đó.
2. Chứng minh đt a // mp(P)
. Cách 1: Ta c/m a ∉ (P); a // b và b ⊂ (P)
. Cách 2: Ta c/m a ⊂ (Q) mà (Q) // (P)
3. Nếu a // (P); mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b
thì b // a.
4. C/m (P) // (Q); Ta chứng minh trong mp này chứa hai
đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
5. Cho (P) // (Q). Nếu (R) cắt (P) thì (R) phải cắt (Q) và
hai giao tuyến song song với nhau.
6. Cho a chéo b, qua đường thẳng này ta dựng được duy
nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
7. Định lý Thales
a. Định lý thuận: Ba mặt phẳng song song chắn trên hai
10

đường thẳng bất kỳ các đoạn tương ứng tỉ lệ
b. Định lý đảo: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trên
a ta lấy 3 điểm A, B, C; trên b ta lấy ba điểm D, E, F. Nếu
FD
CA
FE
BC
DE
AB
==
thì ba đường thẳng AD, BE và CF cùng song
song với một mặt phẳng.
8. Hình lăng trụ và hình hộp
9. Phép chiếu song song
II.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1. Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ
1. Vectơ trong không gian: Vectơ và các phép toán về
vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như
trong mặt phẳng vì vậy ta cần ôn lại các kiến thức đã học ở lớp
10, cụ thể:
+ Phép cộng hai vectơ; Quy tắc ba điểm; Quy tắc hình
bình hành; Quy tắc hình hộp.
+ Phép trừ hai vectơ; Quy tắc hiệu
+ Phép nhân một số với một vectơ, điều kiện để hai vectơ
cùng phương.
+ Quy tắc trung điểm; Quy tắc trọng tâm (tam giác, tứ diện)
+ Tích vô hướng của hai vectơ
+ Góc của hai vectơ
2). Sự đồng phẳng của các vectơ.Điều kiện để ba vectơ
đồng phẳng

a. ĐN: Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ có giá cùng song
song với một mặt phẳng (hoặc có giá nằm trên ba mặt phẳng)
đôi một song song song hoặc trùng nhau).
11
b. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
, Về hình học: Từ 1 điểm O, ta vẽ
aOA =
;
bOB =
;
cOC =
:
a
,
b
,
c
đồng phẳng ⇔ 4 điểm O, A, B, C cùng nằm
trên một mặt phẳng
. Về đại số: Cho ba vectơ
a
,
b
,
c
a) Nếu trong ba vectơ mà có hai vectơ cùng phương thì ba
vectơ đó đồng phẳng.
b) Nếu
a
,

b
, không cùng phương thì
a
,
b
,
c
đồng phẳng
⇔
c
= m
a
+ n
b
c. Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng:
Trong không gian, cho ba vectơ
a
,
b
,
c
không đông phẳng, khi
đó mọi vectơ
d
đều phân tích được theo
a
,
b
,
c

nghĩa là
d
= m
a
+ n
b
+ p
c
với m, n, p ∈ R và duy nhất.
3. Phương pháp giải các bài toán hình học bằng phương
pháp vectơ
Để giải các bài toán hình học bằng phương pháp vectơ,
trước hết ta chọn ba vectơ không đồng phẳng của bài toán làm
cơ sở (nên chọn cùng một điểm gốc) Sau đó biểu diễn các vectơ
cần chứng minh theo ba vectơ cơ sở.
Các dạng toán thường gặp
a) Chứng minh a // b: Trên đường thẳng a ta lấy vectơ
u
;
trên đường thẳng b, ta lấy vectơ
v
rồi chứng minh
u
cùng
phương với
v
tức
u
= k
v

.Sau đó chỉ ra 1 điểm của đường
thẳng này không thuộc đường thẳng kia
b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt
phẳng
12
PP. Ta chứng minh ba vectơ
AD,AC,AB
đồng phẳng tức
chứng minh
ADnACmAB +=
c) Chứng minh đường thẳng a // mp(P)
PP. Trên đường thẳng a, ta lấy vectơ
u
; trên mp(P) ta lấy
hai vectơ không cùng phương
v
và
w
rồi chứng minh
u
,
v
,
w

đồng phẳng (tức
u
= m
v
+ n

w
), sau đó chỉ ra một điểm của a
không thuộc (P).
§2. Hai đường thẳng vuông góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
2. Hai đường thẳng vuông góc: a ⊥ b ⇔ (a, b) = 90
o
§3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. ĐN: a ⊥ (P) ⇔ a vuông góc với mọi đường thẳng của (P)
2. Định lý 1: nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b thuộc (P) thì d ⊥ (P).
Hq: Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam
giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba
3. Các tính chất
a) Có duy nhất một mp (P) đi qua một điểm O cho trước
và vuông góc với một đường thẳng ∆ cho trước.
b) Có duy nhất một dường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho
trước và vuông góc với một mp(P) cho trước.
4. Liên hệ giữa hệ song song và quan hệ vuông góc của
đường thẳng và mặt phẳng.
. Tính chất 3: a)



⊥ a)P(
b//a
⇒ (P) ⊥ b
13
b)






≠
⊥
⊥
ba
)P(b
)P(a
⇒ a // b
. Tính chất 4: a)



⊥ )P(d
)Q//()P(
⇒ d ⊥ (Q)
b)





≠
⊥
⊥
)Q()P(
d)Q(
d)P(

⇒ (P) // (Q)
. Tính chất 5: a)





∉
⊥
)P(d
)P(d
)P//(a
⇒ d ⊥ a
b)





∉
⊥
⊥
)P(d
)d()P(
da
⇒ a // (P)
5. Định lý ba đường vuông góc: Một đường thẳng nằm
trong mặt phẳng vuông góc với một đường xiên khi và chỉ khi
đường thẳng đó vuông góc với hình chiếu cua đường xiên.
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng a và mp(P)
a. ĐN:
. Nếu a ⊥ (P) thì góc của a và (P) là 90
o
. Nếu a không vuông góc với (P) thì góc của a và (P) là
góc của a và hình chiếu a' của a trên (P)
b. Cách xác định góc của đường thẳng và mặt phẳng
. Nếu a // (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc của a và (P) là 0
o
14
. Nếu a cắt (P) tại I, trên đường thẳng a ta lấy 1 điểm M rồi
dựng MH ⊥ (P); góc MIH là góc của a và (P)
§4. Hai mặt phẳng vuông góc
1. Góc giữa hai mặt phẳng
a. ĐN: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b. Cách xác định góc của hai mặt phẳng
. Nếu (P) // (Q) hoặc (P) ≡ (Q) thì góc của (P) và (Q) là 0
o
. Nếu (P) cắt (Q) theo giao tuyến ∆, ta dựng mp(R) ⊥ ∆.
(R) cắt (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Lúc đó góc
giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.
Định lý 1:Gọi S là diện tích của đa giác H
trong mp(P) và S' là diện tích hình chiếu
H' của H trên mp(P') thì S' = Scosϕ, trong
đó ϕ là góc giữa (P) và (P').
2. Hai mặt phẳng vuông góc
a. ĐN: Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90
o
.

b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Định lý 2: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng
vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông
góc với nhau.
c. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Định lý 3: Nếu (P) ⊥ (Q) thì bất cứ đường thẳng nào nằm
trong mp này mà vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt phẳng kia.
Hq1: Nếu (P) ⊥ (Q); A ∈ (P) , đường thẳng d qua A và
d ⊥ (Q) thì d ⊂ (P)
15
a
b
R
c
P
Q
Hq2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một
mặt thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt thứ ba.
Hq3: Qua đường thẳng a không vuông góc với (P), có duy
nhất một mp(Q) ⊥ (P)
3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập
phương
Bài toán: Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật
khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c.
ĐS:
222
cbad ++=
(a, b, c, gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật)
H. Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a bằng bao nhiêu.

4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
a. ĐN: Hình chóp đều là hình chóp có:
. Đáy là đa giác đều
. Các cạnh bên bằng nhau
b.Tính chất hình chóp đều:
. Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
. Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau
- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau
c. Hình chóp cụt đều:
Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với
đáy thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Trong một hình chóp cụt đều, ta có:
. Hai dáy là hai đa giác đều và đồng dạng
. Các cạnh bên kéo dài đồng qui tại 1 điểm đó là đỉnh của
hình chóp đều được cắt ra để tạo nên hình chóp cụt đều.
. Các mặt bên là các hình thang cân và bằng nhau
16
. Đoạn nối tâm của hai đáy là đường cao
§5. Khoảng cách
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến
một đường thẳng
ĐN: Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc
đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H với H là
hình chiếu của M trên (P) (hoặc trên ∆).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa
hai mặt phẳng song song.
ĐN:
. Khoảng cách giữa đường thẳng a // mp(P) là khoảng các
từ 1 điểm của đường thẳng a đến (P).

. Khoảng cách giữa mp(P) // mp(Q) là khoảng cách từ 1
điểm của mp này đến mp kia.
3. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
a) Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b.

Bài toán cho a chéo b. Dựng đường thẳng c cắt a và b
đồng thời c vuông góc với a và b.
Cách dựng:
Bước 1: Dựng mp(P) qua a và song song b
Bước 2: Lấy M ∈ b, dựng MH ⊥ (P)
Bước 3: Qua H, ta dựng b' // b,
b' cắt a tại A.
Bước 4: Qua A ta dựng đường
thẳng c // MH; c cắt b tại B, c là
đường thẳng phải dựng. Gọi là đường
vuông góc chung của a và b
17
P
B
M
b
b'
a
A
b) Khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn vuông góc
chung AB của a và b.
Nhận xét:
1) Do AB = MH nên khoảng cách giữa a và b bằng khoảng
cách giữa b và mp(P) chứa a và song song b.
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng

khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai
đường ấy .
Đặc biệt: Nếu a chéo b và a ⊥ b thì đường thẳng vuông
góc chung của a và b được dựng như sau:
Qua b ta dựng mp(P) ⊥ a; (P) cắt a tại A.
Từ A ta dựng AB ⊥ b; AB là đường
thẳng vuông góc chung của a và b.
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1. Dạng 1: Chứng minh a ⊥ b
Cách 1: Ta chứng minh góc của a và b là 90
o
.
Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với
mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Cách 3: Dùng định lý ba đường vuông góc
2. Dạng 2: Chứng minh mp(P) ⊥ mP(Q):
Ta chứng minh trong mặt phẳng này có chứa một đường
thẳng vuông góc với mp kia.
3.Dạng 3: Dựng mp(P) qua O và vuông góc với một
đường thẳng ∆ cho trước:
PP: Ta dựng hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng vuông
góc ∆ trong đó ít nhất phải có 1 đường thẳng qua O. Trong 2
đường thẳng này, có 1 đường ta dựng trực tiếp trong mp(O; ∆)
18
P
B
b
a
A
b

a
O
∆
còn đường kia ta dựng song song với một đường thẳng mà
đường thẳng này vuông góc với ∆.
Vd1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy
là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Dựng thiết diện của hình chóp với mp
qua A và vuông góc SC.
4. Dạng 4: Dựng đường thẳng ∆ đi qua điểm O vuông góc
với mp(P) cho trước
PP. Qua O ta dựng mp(Q) ⊥ (P)
. Xác định d = (P) ∩ (Q)
. Trong mp(Q) ta dựng đường thẳng
∆ qua O và ⊥ d; ∆ là đường thẳng phải
dựng
5.Dạng 5: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trong
một mặt phẳng.
PP. Ta chứng minh AB, AC, AD cùng vuông góc với một
đường thẳng nào đó. Khi dó AB,AC, AD cùng thuộc mp qua A
và vuông góc với đường thẳng đó.
Đề 1:
Câu 1: Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu bằng 5;
công sai d = 2; số hạng cuối bằng 23. Tính tổng tất cả các số
hạng của cấp số cộng đó.
Câu 2: Tìm các giới hạn sau;
1)
)n1nlim( −+
l
2)

2x3x
1x2
.
2x
3
lim
2
2x
+−
+
−
→
19
P
O
d
Q
∆
Câu 3: 1) Tính đạo hàm của y =
1xx
2
+−
2) Cho f(x) = sin
4
x + cos
4
x
g(x) =
4
1

cos4x
Chứng minh f'(x) = g'(x)
Câu 4: Cho hàm số y = x
3
+ 2x
2
+ 1. Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị trong mỗi trường hợp sau:
a) Hoành độ tiếp điểm bằng 1
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 2
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông
cạnh a, cạnh bên SA = a và SA ⊥ (ABCD)
a) Chứng minh mp(SBC) ⊥ mp(SAB)
b) Tính góc của SC và mp(SAB)
3) Gọi B', C', D' lần lượt là hình chiếu của A là SB, SC,
SD. Chứng minh 4 điểm A, B', C', D' cùng nằm trong một mặt
phẳng và B'D' // BD.
Đề 2:
Câu 1: Chứng minh 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) =
3
)2n)(1n(n ++
Câu 2:
a) Tìm
2x
2x2x
lim
2
2x
−
+−−

→
2) Cho f(x) =





−
−
a
1x
1x
2
. Định a để f liên tục tại x = 1
Câu 3: Tính đạo hàm
a) y = (x
2
- 4x + 3)
5
b) y =
)1xtan( +
20
nếu x ≠ 1
nếu x = 1
Câu 4:
a) Chứng minh phương trình 2cosx + (m + 1)sinx -1 = 0
có nghiệm trên đoạn [-1, 4]
2) Cho hàm số y =
x1
1x2

−
+−
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có tung
độ bằng 1
b) Tìm trên đồ thị các điểm mà tại đó tiếp tuyến tạo với
trục hoành một góc 45
o
.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh a,
góc BAD = 60
o
; các cạnh bên SB, SC, SD bằng nhau và bằng
3a
1) Chứng minh
SDSBSCSA +=+
2) Vẽ SH ⊥ (ABCD); Tính SH và góc của SC và mp(ABCD
3) Tìm điểm O cách đều S, B, C, D. Tính OS
Đề 3:
Câu 1: Cho biết x + 6y, 5x + 2y, 8x + y là cấp số cộng và
x - 1, y + 2, x - 3y là CSN. Tìm x, y
Câu 2:
1) Tìm
2n
n3cos
lim
+
2)
1x2
3x
lim

3
6
x
−
+
−∞→
Câu 3:
a) Tính đạo hàm của y =
xx
1
21
b) Cho f(x) =
8x2x
2
−−
. Giải bpt f'(x) ≤ 1
Câu 4:
a) Cho hai hàm số f(x) =
2x
1
và g(x) =
x
x
2
viết phương
trình tiếp tuyến của hai đồ thị của hai hàm số đã cho tại giao
điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến đó.
b) Cho f(x) =
1n
x

3
x
2
x
x
1n32
+
++++
+
(n ∈ N). Tìm
)x('flim
2x→
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tam giác
vuông tại B; SA ⊥ (ABC) cho SA = AB = a, BAC = 60
o
.
1) Chứng minh SB ⊥ BC
2) Tính góc của SC và mpSAB
3) (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC
tại MN
a) Chứng minh MN // BC
b) Tính diện tích tam giác AMN
Đề 4:
Câu 1: Cho dãy (U
n
):




≥+=
=
+
)1n(8U5U
1U
n1n
n
a) Chứng minh dãy (V
n
): V
n
= U
n
+ 2 là một cấp số nhân
b) Xác định U
n
theo n
Câu 2:
1) Tìm








−
+++
n)1n(

1

3.2
1
2.1
1
lim
2)
9x
x
)3x(lim
2
3x
−
−
+
→
22
Câu 3:
1) Tính f'(x) biết f(x) =
xsinxxcos
xcosxxsin
−
−
2) Cho hàm số y =
x
1
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm
M có hoành độ x
o

= a ≠ 0
b) Tiếp tuyến tại x
o
= a cắt Ox tại A và Oy tại B. Chứng
minh rằng ∆OAB có diện tích không đổi khi M di động trên đồ
thị của hàm số
Câu 4: Chứng minh rằng phương trình
x
3
+ 1000x
2
+ 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm
Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác
vuông tại C, CA = a, Cb = b, mặt bên ABB'A' là hình vuông.
Gọi (P) là mặt phẳng qua C và vuông góc với AB'
a) Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (P), thiết
diện là hình gì
b) Tính diện tích thiết diện .
23