cac bai toan so phuc thi thu 2010-2011

CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ PHỨC NĂM 2010-2011
Câu 1: Tìm phần thực của số phức :
(1 )
n
z i= +
.Trong đó n∈N và thỏa mãn:
( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4n n− + + =
Đáp án: a: Phương trình:
4 5
log ( 3) log ( 6) 4− + + =n n
có nghiệm duy nhất n = 19.
(Vì VT là hàm số đồng biến nên đồ thị cắt đường thẳng y = 4 tại một điểm
duy nhất)
Câu 2 : Cho số phức:
1 3.= −z i
. Hãy viết số z
n
dưới dạng lượng giác biết
rằng n∈N và thỏa mãn:
2
3 3
log ( 2 6) log 5
2 2
2 6 4 ( 2 6)
− +
− + + = − +
n n
n n n n
Đáp án: Đặt

( )
3
3
log 5
log 5
2 2 2
3
log ( 2 6) 2 6 3 ; ( 2 6) 3 5− + = ⇒ − + = − + = =
t t t
n n t n n n n
.
Ta được phương trình: 3
t
+ 4
t
= 5
t
. Phương trình có nghiệm duy nhất t
= 2.
⇒ n
2
– 2n + 6 = 9 ⇔ n
2
– 2n – 3 = 0 ⇔ n =3
Câu 3: Giải phương trình nghiệm phức :
25
8 6z i
z
+ = −
Đáp án: Giả sử z = a +bi với ; a,b ∈ R và a,b không đồng thời bằng 0.

Khi đó
2 2
1 1
;
a bi
z a bi
z a bi a b
−
= − = =
+ +
Khi đó phương trình
2 2
25 25( )
8 6 8 6
a bi
z i a bi i
z a b
−
+ = − ⇔ − + = −
+
⇔
2 2 2 2
2 2 2 2
( 25) 8( ) (1)
(2)
( 25) 6( )

a a b a b
b a b a b


+ + = +


+ + = +


. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có
3
4
b a=
thế
vào (1)
Ta có a = 0 v a = 4
Với a = 0 ⇒ b = 0 ( Loại)
Với a = 4 ⇒ b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i.
Câu 4: Tính tổng:
0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
S C C C C C= + + + + +
.
Đáp án: Ta có:
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009
(1 ) i C iC i C+ = + + +


0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009

( )
C C C C C C
C C C C C C i
− + − + − + +
− + − + − +
Thấy:
1
( )
2
S A B= +
, với
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
A C C C C C C= − + − + − +

0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
B C C C C C C= + + + + +
+ Ta có:
2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i+ = + + = + = +
.
Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của
2009
(1 )i+
nên
1004
2A =
.

+ Ta có:
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 ) x C xC x C x C+ = + + + +
Cho x=-1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C+ + + = + + +
Cho x=1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2C C C C C C+ + + + + + + =
.
Suy ra:
2008
2B =
.
+ Từ đó ta có:
1003 2007
2 2S = +
.
Câu 5: Tính tổng :
1 3 8 1
8 8 8
1 3 (8 1)
n
n n n
C C n C
−
− + − −

Đáp án: Xét khai triển:
8 0 1 2 2 8 8
8 8 8 8
( ) (1 )
n n n
n n n n
f x x C xC x C x C= + = + + +
.
Suy ra:
8 1 1 2 2 3 8 2 8 1 8 1 8
8 8 8 8 8
( ) 8 (1 ) 2 3 (8 1) 8
n n n n n
n n n n n
f x n x C xC x C n x C nx C
− − − −
′
= + = + + + + − +
Cho
x i=
ta được
1 3 8 1
8 8 8
1 3 (8 1)
n
n n n
A C C n C
−
= − + − −

chính là phần thực của khai
triển số phức
8 1
8 (1 )
n
n i
−
+
.
Ta có:
8 1 8 4 4
8 (1 ) 4 (1 ) (1 ) 4 .2 4 .2
n n n n
n i n i i n n i
−
+ = + + = +
.
Vậy
1 3 8 1 4
8 8 8
1 3 (8 1) 4 .2
n n
n n n
A C C n C n
−
= − + − − =
.
Câu 6 : ) Tìm các số thực a, b, c để có:
z i z i z i z ai z bz c
3 2 2

2(1 ) 4(1 ) 8 ( )( )− + + + − = − + +
Từ đó giải phương trình:
z i z i z i
3 2
2(1 ) 4(1 ) 8 0− + + + − =
trên tập số phức.
Tìm môđun của các nghiệm đó.
Đáp án:
Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4
Phương trình ⇔
2
( 2 )( 2 4) 0− − + =z i z z
⇔
2 ; 1 3 ; 1 3= = + = −z i z i z i
⇒
2=z
.
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều
kiện:
2 3z i z i− = − −
. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun
nhỏ nhất.
Đáp án: * Đặt z = x + yi (x; y
∈
R)
|z - i| = |
Z
- 2 - 3i|
⇔
|x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|

*
⇔
x - 2y - 3 = 0
⇔
Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường
thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất
⇔
|
OM
uuuur
| nhỏ nhất
⇔
M là hình chiếu của O trên
∆
*
⇔
M(
3
5
;-
6
5
)
⇒
z =
3
5
-
6

5
i
Chú ý:
HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
Câu 8: Giải phương trình sau trên tập số phức (z
2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)-3z
2
= 0
Đáp án: Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho z
2
và đặt
2
3 6z z
t
z
+ +
=
, Dẫn tới phương trình : t
2
+2t-3 = 0 ⇔t=1 hoặc t=-3.
Với t=1 , ta có : z
2
+3z+6 = z ⇔ z
2
+2z+6 = 0 ⇔ z = -1±

5
i
Với t=-3 , ta có : z
2
+3z+6 = -3z ⇔ z
2
+6z+6 = 0⇔ z = -3 ±
3
Câu 9 : Giải phương trình sau trên tập số phức z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0
Đáp án: z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 ⇔ (z
4
+1)-(z
3
-z)+

2
2
z
=0.
Chia cả hai vế cho z
2
, ta được : (z
2
+
2
1
z
) –(z-
1
z
) +
1
2
=0 ⇔
2
5
0,
2
w w
- + =
(với
1
z
z
w

= -
)
⇔
1 3
,
2 2
i
w
= +
hoặc
1 3
2 2
i
w
= -
+ Phương trình : z-
1
z
=
1
2
+
3
2
i cho nghiệm z
1
=1+i ; z
2
=-
1

2
(1-i)
+ Phương trình : z-
1
z
=
1
2
-
3
2
i cho nghiêm z
3
=-
1
2
(1+i) ; z
4
= 1-i