Các bài toán số học (QVN)

PhÇn 3 C¸c bµi to¸n sè häc:
I. Sè nguyªn tè:
1. LÝ thut:
§Ĩ kiĨm tra mét sè nguyªn a d¬ng cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia sè nguyªn
tè tõ 2 ®Õn
a
. NÕu tÊt c¶ phÐp chia ®Ịu cã d th× a lµ sè nguyªn tè.
VÝ dơ 1 : §Ĩ kiĨm tra sè 647 cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia 647 lÇn lỵt cho c¸c
sè 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. c¸c phÐp chia ®Ịu cã d khi ®ã ta kÕt ln sè
647 lµ sè nguyªn tè.
VÝ dơ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số
tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó.
Gi¶i:
C¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ®ỵc lËp tõ 3 sè 1; 2; 3 lµ: 27 sè
111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133;
211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233
311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;
VÝ dơ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số,
được viết ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia
hết cho 2.
H·y tính các số n, k, m.
Gi¶i:
VÝ dơ 4
Bài 4: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi
2
3
thùng thứ nhất ;
3
4

thùng thứ hai và

4
5
thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau.
Tính số táo lóc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông :
Thùng thứ nhất là 60 Thùng thứ hai là
Thùng thứ ba là
Gi¶i:
Gäi sè t¸o cđa 3 thïng lÇn lỵt lµ: a; b; c (qu¶) §iỊu kiƯn
( )
0 ; ; 240a b c< <
Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:
240
1 1 1
3 4 5
a b c
a b c
+ + =



= =



⇔

240
1 1
3 4
1 1

4 5
a b c
a b
b c


+ + =


=



=



⇔

240
1 1
0 0
3 4
1 1
0 0
4 5
a b c
a b c
a b c



+ + =


− + =



+ − =



Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh nµy ta ®ỵc: a = 60 ; b = 80; c = 100
VËy Thïng thø nhÊt cã 60 (qu¶); Thïng thø hai cã 80 (qu¶); Thïng thø ba cã 100 (qu¶).
II. ¦CLN; BCNN:
1. LÝ thut: §Ĩ t×m ¦CLN, BCNN cđa hai sè A vµ B ta rót gän ph©n sè
A a
B b
=
Tõ ®ã : ¦CLN (A; B)
= A : a

BCNN(A; B) = A .b
=
A × B
UCLN(A,B)
2. VÝ dơ: Cho hai số A = 1234566 và B = 9876546
a) Tìm ƯCLN(A, B) và BCNN(A,B) ?
b) Gọi D = BCNN(A,B) Tính giá trò đúng của D
3

? Tính và ghi kết quả vào ô
vuông.
¦CLN(A, B) = BCNN(A,B) =
D
3
=
a) VÝ dơ 1: T×m ¦CLN; BCNN cđa A = 209865 vµ B = 283935
Gi¶i:
Ta cã:
209865 17
283935 23
A a
B b
= = =

⇒
¦CLN (A; B)
= A : a
= 209865: 17 = 12345
BCNN (A; B)
= A .b
= 209865.23 = 4826895.
 §¸p sè:
(A; B)= 12345
;
[ ]
; 4826895A B
=
Ta cã Gọi D = BCNN(A,B)=
4826895

⇒

3 3
D = 4826895

§Ỉt
a = 4826
⇒

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
2 3
3 3 3 3 3
D = a. 10 + 895 a. 10 3 a. 10 .895 3. a. 10 . 895 895= + + +

b) VÝ dơ 2: T×m UCLN cđa 40096920, 9474372 vµ 51135438
Gi¶i:
(Nªu ®ỵc c¬ së lý thut vµ c¸ch gi¶i 2 ®iĨm; KÕt qu¶ 3 ®iĨm)
Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình
này
để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN)
Ta có :
b
a
B
A
=
(
b

a
tối giản)
ƯSCLN(A;B) = A ÷ a
Ấn
9474372 : 40096920 =

Ta được: 6987
:
29570
ƯSCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 ÷ 6987 = 1356
Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c )
Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 )
Ấn 1356
:
51135438 =
⇒
Ta được: 2
:
75421
Kết luận : ƯSCLN của 9474372 ; 40096920 và 51135438
là : 1356 ÷ 2 = 678
ĐS : 678
c) VÝ dơ 3: Cho ba số A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743
a) Tìm UCLN của A , B , C
b) Tìm BCNN của A , B , C với kết quả đúng.
Gi¶i:
a) Đáp số: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53
b)
( , )E BCNN A B= = ⇒
A × B

= 323569644; BCNN(A,B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384
UCLN(A,B)
Bµi tËp ¸p dơng:
1. Bµi 1: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546
(ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502)
2. Bµi 2: T×m ¦CLN vµ BCNN cđa c¸c cỈp sè sau:
a) 12356 vµ 546738 b) 20062007 vµ 121007 c) 2007 vµ 2008 vµ 20072008.
3. Bµi 3:
Tìm UCLN, BCNN của A = 45563, B = 21791, C = 182252 .
Gi¶i
A : B = 23 : 11
⇒
UCLN(A,B) = A : 23 = D
UCLN( C,D) = 1981

⇒
BCNN(A,B) = 45563x11 = E
BCNN(C,E) = 46109756
UCLN(A,B,C) = 1981
BCNN(A,B,C) = 46109756
4. Bµi 4:
T×m ¦CLN vµ BCNN cđa c¸c cỈp sè sau:
a)12356 vµ 546738 b)20062007 vµ 121007 c)2007 vµ 2008 vµ 20072008.
5. Bµi 5: Cho hai số A = 2419580247 và B = 3802197531
a) Tìm ƯCLN(A, B) ?
b) Tìm BCNN(A,B) ?
Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
ƯCLN(A, B) = . . . . . . . .. .. . . . .. BCNN(A,B) = . . . .. . .. . .. . . .. . .
6. Bµi 6: Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 vµ 51135438.
DS: 678

Gi¶i
Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này để
tìm
Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) Ta tinh :
A a
B b
=
(
a
b
tối giản)
⇒
ƯSCLN : A
÷
a
Ấn 9474372
÷
40096920 = Ta được: 6987
÷
29570

⇒
ƯSCLN (9474372; 40096920) = 9474372 ÷ 6987 = 1356
Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c )
Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 )
n: 1356
÷
51135438 = 2
÷
75421

Kết luận : ƯSCLN ( 9474372 ; 40096920 ; 51135438 )= 1356
÷
2 = 678
ĐS : 678
7. Bµi 7:
a) Tỡm tng cỏc c s l ca s 7677583
b) Tìm ớc số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất của hai số 12705,
26565.
USCLN: 1155 BSCNN: 292215
c) Tìm ớc số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất của hai số 82467,
2119887.
USCLN: 4851 BSCNN: 36.038.079
Giải:
a) Ta có Ư(7677583) =
{ }
83;92501

Tổng các ớc dơng của số 7677583 là: 83 + 92501 = 92584
b) Ta có:
12705 11
26565 23
=


ệSCLN(12705; 26565) = 12705 ữ 11 = 1155
Vậy USCLN: 1155
Ta có
12705 x 26565
( , ) 292215E BCNN A B= = =
A ì B

=
UCLN(A,B) 1155
Vậy BSCNN: 292215
c) Ta có:
82467 17
2119887 437
=


ệSCLN(82467, 2119887) = 82467ữ 17 = 4851
Vậy USCLN: 4851
Ta có
82467 x 2119887
( , ) 36 038 079E BCNN A B= = =
A ì B
=
UCLN(A,B) 4851
Vậy BSCNN: 36.038.079
3. Tìm số d của phép chia A cho B:
a. Lí thuyết: Số d của phép chia A cho B là: :
.
A
A B
B





(trong đó:

A
B



là phần nguyên của thơng A cho B)
b) Ví dụ 1: Tìm số d của phép chia 22031234 : 4567
Ta có:
22031234
4824,005693
4567
A
B
= =

4824
A
B

=





. 22031234 4567.4824 26
A
A B
B

= =


Đáp số : 26
c) Ví dụ 2 : Tìm số d của phép chia 22031234 cho 4567