BÀI GIẢNG TOÁN A2 - CHƯƠNG 0 SỐ PHỨC

CHƯƠNG O
CHƯƠNG O
a = Rez, b = Im z
1. Dạng đại số của số phức :
Biểu thức dạng :
z = a + bi
trong đó a, b là những số thực, i là đơn vò ảo :
hoặc i
2
= - 1, được gọi là số phức,
a được gọi là phần thực, b là phần ảo. Ký hiệu :
(0.1)
SỐ PHỨC

1−=i
(0.2)

Nếu a = 0, số 0 + ib được gọi là thuần ảo.
Nếu a = 0, số 0 + ib được gọi là thuần ảo.
•
Hai số phức z = a + ib và z = a – ib gọi là 2 số
phức liên hợp.
•
Hai số phức z
1
= a
1
+ ib
1
và z

2
= a
2
+ ib
2
gọi là
bằng nhau và viết z
1
= z
2
, nếu a
1
= a
2
và b
1
= b
2
.
Số phức bằng không z = a + ib = 0 nếu và chỉ nếu
a = 0 và b = 0.
Nếu b = 0, ta có số thực a + i0 = a.
Nếu b = 0, ta có số thực a + i0 = a.



2. Biểu diễn số phức bằng hình học :
2. Biểu diễn số phức bằng hình học :

Số phức z = a + ib có thể biểu diễn trong mặt
phẳng Oxy bằng điểm M (a,b) có tọa độ a, b và
ngược lại, mọi điểm M (x, y) của mặt phẳng Oxy
có thể xem là hình ảnh hình học của số phức z = x
+ iy. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là
mặt phẳng phức z. Trục Ox được gọi là trục thực (b
= 0), trục Oy được gọi là trục ảo (a = 0).
Nối điểm A (a,b) với gốc tọa độ ta thu được
vectơ OA. Ta có thể đồng nhất số phức z = a + ib
với vectơ OA.

3. Dạng lượng giác của số phức :
3. Dạng lượng giác của số phức :
Biểu thò ϕ và r (r ≥ 0) là các tọa độ cực của điểm
A (a,b). Ta có :
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.
a + ib = r (cos ϕ + i sin ϕ)
(0.3)
z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
(3) được gọi là dạng lượng giác của số phức z = a +
ib, r và ϕ được gọi tương ứng là module và
argument của số phức, ký hiệu :
zzr arg, ==
ϕ

Ta có :
Ta có :


Vậy :

Hướng dương của argument tính từ hướng
dương của trục Ox quay ngược chiều kim đồng hồ,
nếu quay chiều ngược lại ta có argument âm.
Argument được xác đònh không duy nhất mà sai
khác nhau 2kπ, k là số nguyên.
a
b
arctgbar =+=
ϕ
,
22
a
b
arctgibaz
baibaz
=+=
+=+=
)arg(arg
//
22

4. Các phép toán đối với số phức :
4. Các phép toán đối với số phức :



Cộng hai số phức : z
1
= a
1

+ ib
1
và z
2
= a
2
+ ib
2
.
z
1
+ z
2
= (a
1
+ ib
1
) + (a
2
+ ib
2
)
= (a
1
+ a
2
) + i (b
1
+ b
2

)

Trừ hai số phức : z
1
= a
1
+ ib
1
và z
2
= a
2
+ ib
2
.
z
1
- z
2
= (a
1
+ ib
1
) - (a
2
+ ib
2
)
= (a
1

- a
2
) + i (b
1
- b
2
)

Nhân hai số phức :
Ta có : i
2
= -1, i
3
= -i, i
4
= (-i) i = - i
2
= 1; i
5
= i, …

Một cách tổng quát, với k là số nguyên, ta có :
Một cách tổng quát, với k là số nguyên, ta có :


i
4k
= 1, i
4k+1
= i, i

4k+2
= -1, i
4k+3
= -i.
Áp dụng các kết quả trên, ta có :
z
1
z
2
= (a
1
+ ib
1
) (a
2
+ ib
2
)
= a
1
a
2
+ ib
1
a
2
+ ia
1
b
2

+ i
2
b
1
b
2
= (a
1
a
2
- b
1
b
2
) + i(b
1
a
2
+ a
1
b
2
)
Nếu z
1
,z
2
được cho dưới dạng lượng giác :
z
1

= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
)
z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
)

z
z
1
1
z
z
2
2


= r
= r
1

1
(cos
(cos
ϕ
ϕ
1
1
+ isin
+ isin
ϕ
ϕ
1
1
) r
) r
2
2
(cos
(cos
ϕ
ϕ
2
2
+ isin
+ isin
ϕ
ϕ
2
2
)

)
= r
= r
1
1
r
r
2
2
(cos
(cos
ϕ
ϕ
1
1
cos
cos
ϕ
ϕ
2
2
+ isin
+ isin
ϕ
ϕ
1
1
cos
cos
ϕ

ϕ
2
2
)
)
+ i cos
+ i cos
ϕ
ϕ
1
1
+ sin
+ sin
ϕ
ϕ
2
2
+ i
+ i
2
2
sin
sin
ϕ
ϕ
1
1
sin
sin
ϕ

ϕ
2
2
)
)
= r
= r
1
1
r
r
2
2
[(cos
[(cos
ϕ
ϕ
1
1
cos
cos
ϕ
ϕ
2
2
- sin
- sin
ϕ
ϕ
1

1
sin
sin
ϕ
ϕ
2
2
)
)
+ i (sin
+ i (sin
ϕ
ϕ
1
1
cos
cos
ϕ
ϕ
2
2
+ cos
+ cos
ϕ
ϕ
1
1
sin
sin
ϕ

ϕ
2
2
)]
)]


z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ϕ
2
) + isin (ϕ
1
+ϕ
2
)]
(0.4)
Dễ dàng nhận thấy rằng :
hoặc
2
2
22

))((
zzzz
baibaibazz
==
+=−+=

•
Chia 2 soá phöùc :
C
Caùc chæ tieâu theo doõi :
.0
,,
2
2
2
2
2222111
≠+=
+=+=
ba
zibazibaz
)5.0(
)()(
)()(
))((
))((
22
2112
22
2121

2
1
22
21122121
2222
2211
22
11
2
1
ba
baba
i
ba
bbaa
z
z
ba
babaibbaa
ibaiba
ibaiba
iba
iba
z
z
+
−
=
+
+

=
+
−++
=
−+
−+
=
+
+
=

)'5.0()]sin()[cos(
)sin(cos
)sin(cos
2121
2
1
2
1
222
111
2
1
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
−+−=
+
+
=

i
r
r
z
z
ir
ir
z
z
Trường hợp các số phức được biểu diễn dưới dạng
Trường hợp các số phức được biểu diễn dưới dạng
lượng giác :
lượng giác :


z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
) z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ

2
)
Ta có :
Để kiểm tra kết quả trên, ta nhân thương với số
chia sẽ thu được số bò chia.

Thật vậy,
Từ công thức (0.4), với mọi số nguyên dương n, ta có :
•
Luỹ thừa các số phức :
)sin(cos
)]sin()[cos(
)]sin(
)[cos()sin(cos
111
212212
2
1
2
21
21
2
1
222
2
1
2
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ

ϕϕϕϕ
ir
i
r
r
r
i
r
r
ir
z
z
z
+=
−++−+=
−+
−+=
[r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ) (0.6)

(0.6) là công thức Moivre.
(0.6) là công thức Moivre.
Khi r = 1, ta có :
Khi r = 1, ta có :


(cosϕ + isinϕ)

n
= (cosnϕ + isinnϕ)
Khai triển vế trái (0.7) theo nhò thức Newton
và so sánh phần thực, phần ảo hai vế, ta có thể
biểu thò cosnϕ và sinnϕ thành các hàm của các
luỹ thừa của sinϕ và cosϕ.
Chẳng hạn, cho n = 3, ta có :
(0.5’)
cos
3
ϕ + i3cos
2
ϕsinϕ - 3cosϕsin
2
ϕ - isin
3
ϕ
= cos
3
ϕ + isin3ϕ.

Từ đây ta thu được :
Từ đây ta thu được :


cos3ϕ = cos
3
ϕ - 3cosϕsin
2
ϕ = 4cos

3
ϕ - 3cosϕ.
sin3ϕ = -sin
3
ϕ - 3cos
2
ϕsinϕ = -4cos
3
ϕ - 3sinϕ.

Khai căn các số phức :
Ta gọi căn bậc n của số phức là một số
phức mà khi nâng lên luỹ thừa bậc n của số
phức này, thu được số phức dưới dấu căn, tức là
:
)sin(cos)sin(cos
ψψϕϕ
ipir +=+
Nếu :
)sin(cos)sin(cos
ψψϕϕ
ninpir
n
+=+

Tửứ ủaõy ta coự :

+
+
+
=+
n
k
i
n
k
rir
n
n



2
sin
2
cos
)sin(cos
n
k

rp
knpr
n
n



2
,
2,
+
==
+==
Hoaởc :
Vaọy :
(0.8)

5. Công thức Euler và dạng hàm mũ của số phức :
5. Công thức Euler và dạng hàm mũ của số phức :



Công thức Euler có dạng :
e
iϕ
= cosϕ + i sinϕ
Trong công thức (0.9) thay ϕ bằng -ϕ, ta thu được :
e
-iϕ
= cosϕ - i sinϕ

Từ (0.9) và (0.10) ta thu được biểu thức của sinϕ
và cosϕ :
(0.9)
(0.10)
)11.0(
2
sin,
2
cos
i
eeee
iiii
ϕϕϕϕ
ϕϕ
−−
−
=
+
=

Người ta thường dùng các công thức (0.11) để
Người ta thường dùng các công thức (0.11) để
hạ bậc luỹ thừa của sin
hạ bậc luỹ thừa của sin
ϕ
ϕ
và cos
và cos
ϕ
ϕ

.
.


Thí dụ
Thí dụ
:
:
1.
1.


)2cos1(
2
1
)22cos2(
4
1
)2sin2cos2sin2(cos
4
1
)2(
4
1
2
cos
22
2
2
ϕϕ

ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
+=+=
−++=
++=








+
=
−
−
ii
ee
ee
ii
ii

( )
8
1
4cos
8

1
44
22
sincos
2
2
22
22
22
+−=
−
=








−








+

=
−
−−
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ix
ee
i
eeee
ii
iiii
2.
2.





Dạng hàm mũ của số phức :
Dạng hàm mũ của số phức :


Số phức có dạng lượng giác :
Số phức có dạng lượng giác :
z = r (cos
z = r (cos
ϕ
ϕ

+ isin
+ isin
ϕ
ϕ
)
)


p dụng công thức Euler :
p dụng công thức Euler :
e
e
i
i
ϕ
ϕ
= cos
= cos
ϕ
ϕ
+ isin
+ isin
ϕ
ϕ



Ta biểu diễn số phức dưới dạng hàm mũ :
Ta biểu diễn số phức dưới dạng hàm mũ :

z = re
z = re
i
i
ϕ
ϕ


Thí dụ
Thí dụ
:
:
Biểu thò 1, i, -2, -i dưới dạng hàm mũ :
Biểu thò 1, i, -2, -i dưới dạng hàm mũ :
(0.12)
i
i
i
ik
eii
ei
eii
ekik
2
2
2
2
sin
2

cos
2sin(cos22
2
sin
2
cos
2sin2cos1
π
π
π
π
ππ
ππ
ππ
ππ
−
=






−+







−=−
=+=−
=+=
=+=

Biểu thò số phức dưới dạng hàm mũ ta dễ
Biểu thò số phức dưới dạng hàm mũ ta dễ
dàng thực hiện các phép toán nhân, chia, luỹ thừa
dàng thực hiện các phép toán nhân, chia, luỹ thừa
và khai căn các số phức. Cho z
và khai căn các số phức. Cho z
1
1
= r
= r
1
1
e
e
i
i
ϕ
ϕ
1
1
, z
, z
2
2
= r

= r
2
2
e
e
i
i
ϕ
ϕ
2
2
.
.


z
z
1
1
z
z
2
2
= r
= r
1
1
e
e
i

i
ϕ
ϕ
1
1
r
r
2
2
e
e
i
i
ϕ
ϕ
2
2
= r
= r
1
1
r
r
2
2
e
e
i(
i(
ϕ

ϕ
1+
1+
ϕ
ϕ
2)
2)


(0.13)
(0.13)
(0.14)
(0.14)
(0.15)
(0.15)
(0.16)
(0.16)
)1, ,2,1,01(
)(
)21(
2
2
1
2
2
1
1
2
1
−===

==
−==
=
nrerez
errez
e
r
r
er
er
z
z
n
kn
n
n
i
n
innnin
i
i
i
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ

Các công thức (0.13), (0.14), (0.15), (0,16) trùng

Các công thức (0.13), (0.14), (0.15), (0,16) trùng
với các công thức (0.4), (0.5), (0.6) và (0.8).
với các công thức (0.4), (0.5), (0.6) và (0.8).


6. Đa thức và phương trình đại số :
6. Đa thức và phương trình đại số :





Đònh nghóa :
Đònh nghóa :




Đa thức cấp n là hàm số có dạng :
Đa thức cấp n là hàm số có dạng :
p
p
n
n
(z) = a
(z) = a
n
n
z
z

n
n
+ a
+ a
n-1
n-1
z
z
n-1
n-1
+ …+ a
+ …+ a
1
1
z + a
z + a
0
0
.
.
(0.17)
(0.17)
Trong đó z
Trong đó z
∈
∈
C (tập hợp các số phức), a
C (tập hợp các số phức), a
0
0

, a
, a
1
1
… a
… a
n
n


là các hệ số (nói chung là số phức), hơn nữa a
là các hệ số (nói chung là số phức), hơn nữa a
n
n


≠
≠
0,
0,
n
n
∈
∈
N.
N.

Phương trình đại số cấp n là phương trình có dạng :
Phương trình đại số cấp n là phương trình có dạng :

= a
= a
n
n
z
z
n
n
+ a
+ a
n-1
n-1
z
z
n-1
n-1
+…+ a
+…+ a
1
1
z + a
z + a
0
0
= 0
= 0


Nghiệm của đa thức (0.17) hoặc của phương trình

Nghiệm của đa thức (0.17) hoặc của phương trình
(0.18) là số z
(0.18) là số z
0
0


thỏa p
thỏa p
n
n
(z
(z
0
0
) = 0.
) = 0.



Đònh lý Gauss (đònh lý cơ bản của đại số)
Đònh lý Gauss (đònh lý cơ bản của đại số)
Đa thức bất kỳ cấp khác không có ít nhất một
Đa thức bất kỳ cấp khác không có ít nhất một
nghiệm (nói chung là số phức).
nghiệm (nói chung là số phức).


(0.18)
(0.18)

Số z
Số z
0
0
là nghiệm của đa thức p
là nghiệm của đa thức p
n
n
(z) nếu và chỉ nếu
(z) nếu và chỉ nếu
p
p
n
n
(z) chia hết (không còn số dư) cho nhò thức z –
(z) chia hết (không còn số dư) cho nhò thức z –
z
z
0
0
, nghóa là : p
, nghóa là : p
n
n
(z) = (z – z
(z) = (z – z
0
0

) q
) q
n-1
n-1
(z)
(z)

Trong đó : q
Trong đó : q
n-1
n-1
(z) là đa thức cấp n–1.
(z) là đa thức cấp n–1.


Nếu p
Nếu p
n
n
(z) chia không còn dư cho (z – z
(z) chia không còn dư cho (z – z
0
0
)
)
k
k
, k
, k
≥

≥
0,
0,
nhưng không chia hết cho (z – z
nhưng không chia hết cho (z – z
0
0
)
)
k+1
k+1
, thì z
, thì z
0
0
được gọi
được gọi
là nghiệm bội bậc k của đa thức p
là nghiệm bội bậc k của đa thức p
n
n
(z) và khi đó :
(z) và khi đó :
p
p
n
n
(z) = (z – z
(z) = (z – z
0

0
)
)
k
k
q
q
n-k
n-k
(z)
(z)
trong đó : q
trong đó : q
n-k
n-k
(z)
(z)
≠
≠
0
0
.
.




Đònh lý Gauss có thể phát biểu :
Đònh lý Gauss có thể phát biểu :
Đa thức cấp n có n nghiệm, nếu ứng với mỗi

Đa thức cấp n có n nghiệm, nếu ứng với mỗi
nghiệm bội ta lấy số nghiệm bằng bậc bội.
nghiệm bội ta lấy số nghiệm bằng bậc bội.

Nếu các hệ số của đa thức (0.17) là những
Nếu các hệ số của đa thức (0.17) là những
số thực và z
số thực và z
0
0
= r
= r
0
0
+ iy
+ iy
0
0
là nghiệm của đa thức thì
là nghiệm của đa thức thì
số phức liên hợp z
số phức liên hợp z
0
0
= r
= r
0
0
+ iy
+ iy

0
0
cũng là nghiệm của
cũng là nghiệm của
đa thức, hơn nữa z
đa thức, hơn nữa z
0
0
và z
và z
0
0
có cùng bậc bội.
có cùng bậc bội.


Giả sử đa thức p
Giả sử đa thức p
n
n
(z) có các nghiệm z
(z) có các nghiệm z
1
1
, z
, z
2
2
, …,
, …,

z
z
n
n
(m
(m
≤
≤
n), với các bậc tương ứng k
n), với các bậc tương ứng k
1
1
, k
, k
2
2
, …, k
, …, k
m
m
(k
(k
1
1
+
+
k
k
2
2

, + … + k
, + … + k
m
m
= n).
= n).
Khi đó ta có thể khai triển p
Khi đó ta có thể khai triển p
n
n
(z) thành tích
(z) thành tích
của các nhò thức.
của các nhò thức.
p
p
n
n
(z) = a
(z) = a
n
n
(z-z
(z-z
1
1
)
)
k1
k1

(z-z
(z-z
2
2
)
)
k2
k2
… (z-z
… (z-z
m
m
)
)
km
km
.
.



Nếu tất cả các hệ số của đa thức đều là những
Nếu tất cả các hệ số của đa thức đều là những
số thực, thì sau khi hợp nhất các dấu ngoặc tương
số thực, thì sau khi hợp nhất các dấu ngoặc tương
ứng với các số phức liên hợp, ta thu được khai triển
ứng với các số phức liên hợp, ta thu được khai triển
là tích số các thừa số cấp một và cấp hai với các hệ
là tích số các thừa số cấp một và cấp hai với các hệ
số là số thực.

số là số thực.
7. Một số thí dụ :
7. Một số thí dụ :
Thí dụ 1
Thí dụ 1
:
:
Tính
Tính
.2,2,2.2
3,2,1,0,
4
2
sin
4
2
cos216
16
3210
4
4
izzizz
k
k
i
k
−=−=−==
=







+=
ππ

22
4
7
sin
4
7
cos2
22
4
5
sin
4
5
cos2
22
4
3
sin
4
3
cos2
22
4

sin
4
cos2
3,2,1,0,
4
2
sin
4
2
cos216
16
3
2
1
0
4
4
iiz
iiz
iiz
iiz
k
k
i
k
−=







+=
−−=






+=
+−=






+=
+=






+=
=







+
+
+
=−
−
ππ
ππ
ππ
ππ
ππππ
Thí duï 2
Thí duï 2
:
:
Tính
Tính