CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI GIẢNG TOÁN A2

CHƯƠNG 2
CHƯƠNG 2
ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trong chương này ta xét chủ yếu các ma trận
Trong chương này ta xét chủ yếu các ma trận
vuông cấp n bất kỳ.
vuông cấp n bất kỳ.
Mỗi ma trận vuông cấp n
Mỗi ma trận vuông cấp n
[ ]
njiaA
ij
,1,, ==
[ ]
ij
aA =
theo một quy luật xác đònh,
theo một quy luật xác đònh,
ta đặt tương ứng một số thực, gọi là đònh thức, ký
ta đặt tương ứng một số thực, gọi là đònh thức, ký
hiệu
hiệu
∆
∆
, det A hoặc :
, det A hoặc :
Có thể nói đònh thức là hàm số với miền xác đònh là
Có thể nói đònh thức là hàm số với miền xác đònh là

tập hợp các ma trận vuông và miền giá trò là tập hợp
tập hợp các ma trận vuông và miền giá trò là tập hợp

1. Đònh thức cấp 1, cấp 2, cấp 3 :
các số thực. Đònh thức được ứng dụng để giải hệ
các số thực. Đònh thức được ứng dụng để giải hệ
phương trình gồm n phương trình n ẩn số (quy tắc
phương trình gồm n phương trình n ẩn số (quy tắc
cramer). Khái niệm về hạng của ma trận cũng được
cramer). Khái niệm về hạng của ma trận cũng được
xây dựng nhờ đònh thức. Lý thuyết tổng quát giải hệ
xây dựng nhờ đònh thức. Lý thuyết tổng quát giải hệ
phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình n
phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình n
ẩn số được xây dựng dựa trên khái niệm về hạng
ẩn số được xây dựng dựa trên khái niệm về hạng
của ma trận (Đònh lý Kronecker – Kapelli).
của ma trận (Đònh lý Kronecker – Kapelli).
Ma trận vuông cấp 1 A = [a
Ma trận vuông cấp 1 A = [a
11
11
] chỉ gồm một
] chỉ gồm một
phần tử a
phần tử a
11
11
và trò số của phần tử này là đònh thức cấp
và trò số của phần tử này là đònh thức cấp

1 của ma trận.
1 của ma trận.
Ma trận vuông cấp 2 có
Ma trận vuông cấp 2 có


dạng :
dạng :



Khi đó đònh thức cấp 2 tương ứng với ma trận A là
một số bằng a
11
a
22
- a
12
a
21
.






=
2221
1211

aa
aa
A
(2.1)
Vậy theo đònh nghóa :
21122211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
AA −=






==
Từ công thức (2.1) ta có thể phát biểu : đònh thức cấp
2 tương ứng với ma trận vuông cấp 2 A bằng hiệu các
tích của phần từ đường chéo phụ của ma trận A.

Từ đây về sau ta nói các phần tử hàng, cột,
đường chéo của đònh thức hiểu là các phần tử hàng,
cột, đường chéo của ma trận đã cho.
Xét ma trận vuông cấp 3:
Đònh thức cấp 3 của ma trận A là một số được tính
theo công thức :











=
333231
222221
131211
aaa
aaa
aaa
A






+







−






=∆
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
(2.2
)

Công thức (2.2) chứng tỏ đònh thức cấp 3 được tính

toán nhờ các đònh thức cấp 2. Đặt :






=






=






=
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322

11
;;
aa
aa
M
aa
aa
M
aa
aa
M
và gọi M
11
, M
12
, M
13
là các đònh thức con tương ứng
của các phần tử a
11
, a
12
, a
13
. Đònh thức con M
11
của
phần tử a
11
là đònh thức cấp 2 thu được bằng cách

gạch bỏ hàng 1 cột 1 của đònh thức cấp 3, tương tự
M
12
: gạch bỏ hàng 1 cột 2 của ∆, M
13
: gạch bỏ
hàng 1 cột 3 của ∆. Với khái niệm đònh thức con của
phần tử, có thể viết lại công thức (2.2) :

k
k
k
k
MaMaMaMa
1
1
3
1
1131312121111
)1(
+
=
−=+−=∆
∑
(2.2’)
và gọi A
11
, A
12
, A

13
là các phần phụ đại số tương
ứng của các phần tử a
11
, a
12
, a
13
được xác đònh từ các
đẳng thức :
13
31
1312
21
1211
11
11
)1(;)1(;)1( MAMAMA
+++
−=−=−=
(2.3
)
Với khái niệm phần phụ đại số của phần tử, công
thức (2.2’) có thể viết lại dưới dạng :
k
k
k
AaAaAaAa
1
3

1
1131312121111
∑
=
=+−=∆
(2.4
)

Ta gọi (2.4) là biểu thức khai triển của đònh thức
cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử hàng 1.
k
k
k
AaAaAaAa
2
3
1
2232322222121
∑
=
=+−=∆
(2.5
)
Tương tự ta có các biểu thức khai triển của đònh
thức cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử
hàng 2 và hàng 3 :
Hàng 2 :
k
k
k

AaAaAaAa
3
3
1
3333332323131
∑
=
=+−=∆
(2.6
)
Hàng 3 :

(2.8
)
Ta có thể đònh nghóa đònh thức cấp 3 bằng cách khai
triển theo các phần phụ đại số của phần tử một cột :
Cột 2 :
1
3
1
1313121211111 i
k
i
AaAaAaAa
∑
=
=+−=∆
(2.7
)
Cột 1 :

2
3
1
2323222221212 i
k
i
AaAaAaAa
∑
=
=+−=∆
(2.9
)
Cột 3 :
3
3
1
3333323231313 i
k
i
AaAaAaAa
∑
=
=+−=∆

Trong các công thức (2.4) – (2.9) A
ij
là phần phụ đại
số của phần tử a
ij
được xác đònh qua đònh thức con

M
ij
bằng công thức :
(2.10)
3,2,1,;)1( =−=
+
jiMA
ij
ji
ij
Đònh thức con M
ij
của phần tử a
ij
là đònh thức thu
được từ đònh thức ∆ sau khi gạch bỏ hàng I và cột j.
Dấu của phần phụ đại số A
ij
phụ thuộc vào thừa số
(-1)
i+j
tức là phụ thuộc vào vò trí của phần tử a
ij

trong ma trận A. sự phân bố dấu của A
ij
trong ma
trận A như sau :











+−+
−+−
+−+

Nhận xét :
322311332112
312213322113312312332211
333231
232221
131211
det
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
−−
−++=











==∆
Trong các công thức (2.4) – (2.9) ta khai triển mỗi
đònh thức cấp 2 theo (2.1) rồi thế vào các công thức
đó sẽ thu được một số biểu thi đònh thức cấp 3 :
(2.11)

1. Đối với đònh thức cấp 2 :
3. Mỗi số hạng của (2.11) gồm ba phần tử, các
phần tử được phân bố ở các hàng và các cột khác
nhau, tức là trong mỗi số hạng (2.11) không chứa
hai phần tử có hàng giống nhau hoặc cột giống
nhau.
;;;;
1221211211222211
aAaAaAaA =−===
2. Trong công thức (2.11), đònh thức cấp 3 gồm có 3!
= 6 số hạng và số các số hạng có dấu công bằng số
các số hạng có dấu trừ và bằng 3!/2
2. Có thể xây dựng đònh nghóa đònh thức cấp n bằng
phương pháp quy nạp toán học dựa vào hai ý tưởng :

i. Khai triển theo các phần tử hàng 1 và các đònh
thức con tương ứng của chúng (2.2’).

ii. Biểu thức tính trực tiếp qua các phần tử (2.11)
5. Người ta thường áp dụng quy tắc Sarrus (quy tắc
tam giác) để tính đònh thức cấp 3.
Quy tắc Sarrus được mô tả bằng sơ đồ sau :


















•
•
•
−
•
•
•
−

•
•
•
−=
•
•
•
+
•
•
•
+
•
•
•
+=
•••
•••
•••

2. Đònh nghóa đònh thức cấp n :
Đònh nghóa 1 :
(2.12)
Đònh thức ma trận vuông cấp n
gọi tắt là đònh thức cấp n là
một số bằng :
[ ]
njiaA
ij
,1,, ==

j
j
j
j
Ma
1
3
1
1
1
)1(
∑
=
+
−
và ký hiệu ∆ = det A = /a
ij
/.
Vậy theo đònh nghóa ta có :
∑
=
+
−=













==∆
n
j
j
nnnn
n
n
Ma
aaa
aaa
aaa
A
1
11
1
21
22221
11211
,)1(




det

Đònh thức con M
ij
của các phần tử hàng 1 là đònh
thức cấp n – 1, thu được từ đònh thức cấp n sau khi
gạch bỏ hàng 1 và cột j.
Cũng như trường hợp đònh thức cấp 3, đối với đònh
thức cấp n, ta đònh nghóa phần phụ đại số của các
phần tử hàng 1, ký hiệu A
1j
qua các đònh thức con
M
1j
bằng công thức :
(2.13)
j
j
j
MA
1
1
1
)1(
+
−=
Với (2.13) công thức (2.12) có thể viết lại dưới dạng
j
j
jnn
AaAaAaAaA
1

3
1
11112121111
det
∑
=
=+++==∆
(2.14)

(1.14) được gọi là công thức khai triển đònh thức ∆
theo các phần tử hàng 1 và phần

phụ đại số tương
ứng của chúng.
a. hàng i :
Đònh lý 1 (Đònh lý Laplace) : Đònh thức cấp n bằng
tổng các tích của các phần tử một hàng hoặc bất kỳ
với các phần

phụ đại số tương ứng của chúng.
ij
j
ijininiiii
AaAaAaAaA
∑
=
=+++==∆
3
1
2211

det
(2.15)

Trong các công thức (2.15) và (2.16) sự liên hệ
giữa A
ij
và M
ij
tương tự (2.13)


ij
i
ijnjnjjjjj
AaAaAaAaA
∑
=
=+++==∆
3
1
2211
det
(2.16)
b. cột j :













=∆
nnnn
aaa
aa
a
n


0
0 0
21
2221
11
ij
j
ij
MA
+
−=
1
)1(
(2.13’)
Thí dụ :
Tính đònh thức

tam giác cấp
n :

Khai triển theo các phần tử hàng 1 :


1
11
−∆=∆
nn
a












=∆
−
nnnn
n
aaa
aa
a

0
0 0
21
3332
22
1
Trong đó :
Khai triển ∆
n-1
theo các phần tử hàng 1 :


2221 −−
∆=∆
nn
a

Trong đó

∆
n-2
là đònh thức tam giác cấp n – 2. Tiếp
tục quá trình khai triển này cho đến đinh thức cấp 1
(số a
nn
). Tóm lại, đònh thức tam giác bằng tích của
các phần tử trên đường chéo chính :


Công thức tính đònh thức trực tiếp qua các
phần tử :
nnn
aaa
2211
=∆
Hoán vò cấp n : ánh xạ tương hỗ đơn trò π của
tập hợp n số tự nhiên đầu tiên (1,2,3 …, n) vào chính
nó được gọi là hoán vò cấp n. Hoán vò cấp n bất kỳ
có thể viết dưới dạng :







=
iniii
n
aaaa
iiii


321
321
π
(2.17)
Trong đó

A
ik
= πi
k
là ảnh của phần tử i
k
∈ {1,2,…,n}
qua ánh xạ π.
Đối với mỗi hoán vò xác đònh π, có thể viết nhiều
dạng (2.17) khác nhau bởi sự đánh số các phần tử
hàng thứ nhất. Hoán vò cấp n chính tắc có dạng :






=
n
c
aaaa
n

321
321
π
(2.18)


Nghòch thế : Ta nói cặp các phần tử (i,j) tạo

thành một nghòch thế trong hóan vò π, nếu i < j,
nhưng a
i
> a
j
. Số S (π) tổng tất cả các nghòch thế xác
đònh tính chẵn lẻ của hóan vò. Hoán vò được gọi là
chẵn, nếu S (π) là số chẵn, lẻ nếu S (π) là số lẻ.
Thí dụ : Xác đònh tính chẵn lẻ của hoán vò.






=
14532
42531
π
Lập hoán vò chính tắc :






=
51342
54321
π



Đònh nghóa 2 :
Đònh thức cấp n tương ứng với ma trận vuông.
và đếm số nghòch thế. Nghòch thế tạo bởi các cặp
(1,4), (2,3) (2,4), (3,4), do đó S (π) = 4 và π là hoán
vò chẵn.












=∆
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211

trong đó dấu tổng lấy theo tất cả các hoán vò π cấp
n (=n!) số hạng.
là số :












==∆
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A

det
21
22221
11211
(2.19)
)()2(2)1(1
)(
)1(
nn
S
aaa
ππ
π
π
π
∑
−=
Để minh họa ta áp dụng công thức (2.19) cho
hai trường hợp riêng n = 2 và n = 3.

Khi n = 2 ta có 2 hoán vò :













12
21
21
21
và
Hoán vò thứ nhất có số nghòch thế bằng 0 nên nó là
hoán vò chẵn, hoán vò thứ hai có số nghòch thế bằng
1 nên nó là hoán vò lẻ.
Do đó :
21122211
det aaaaA −=
(2.20)
(2.20) trùng với (2.1).

Khi n = 3, ta có tất cả 6 hoán vò (6 = 3!)



















213
321
132
321
321
321
3 hoán vò đầu có số nghòch thế tương ứng bằng 0,2,2
nên là những hoán vò chẵn, 3 hoán vò sau có số
nghòch thế bằng 3,1,1 nên là những hoán vò lẻ.
Do đó,
322311332112312313
322113312312332211
det
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA
−−−
++=
(2.21)



















231
321
312
321
123
321
và
(2.21) trùng với (2.11).

Hoặc
Tính chất 1 (Đònh lý 2) Khi chuyển vò ma trận, đònh
thức của nó không thay đổi.
(2.22’)
3. Các tính chất cơ bản của đònh thức :
T
AA detdet =

(2.22)
T
AA =
Hoặc
(2.22”)
T
∆=∆
(2.22) được suy trực tiếp từ đònh lý 1. Thật vậy, đònh
thức /A/ khai triển theo các phần phụ đại số của các
phần tử cột 1 trùng với công thức khai triển đònh thức
/A
T
/ theo các phần phụ đại số của các phần tử hàng
1.