Tài liệu CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §1. KHÁI NIỆM CHUNG ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (569.33 KB, 75 trang )
135
CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
§1.KHÁINIỆMCHUNG
Trong chương này chúng ta sẽ xét các phương pháp số để giải các
phươngtrìnhđạisốtuyếntínhdạng:
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 nn n n
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+ +⋅⋅⋅+ =
⎧
⎪
++⋅⋅⋅+ =
⎪
⎨
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎪
⎪
+ +⋅⋅⋅+ =
⎩
Cácphươngtrìnhnàycóthểviếtgọndướidạng:
[A][x]=[b]
Trongđó:
[]
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
aa a
aa a
A
aa a
⋅⋅⋅
⎡⎤
⎢⎥
⋅⋅⋅
⎢⎥
=
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⎢⎥
⎢⎥
⋅⋅⋅
⎣⎦
[]
1
2
n
b
b
b
b
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⋅
⋅⋅
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
[]
1
2
n
x
x
x
x
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⋅⋅⋅
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Tasẽxét3trườnghợp:
)sốphươngtrìnhbằngsốẩnsốnênmatrận[A]làmatrậnvuông
)sốphươngtrìnhnhỏhơnsốẩnsố
)sốphươngtrìnhlớnhơnsốẩnsố
§2.NGHIỆMCỦAHỆPHƯƠNGTRÌNHĐẠI S ỐTUYẾNTÍNH
1.Trườnghợpkhôngsuybiến
:Khisốphươngtrìnhmbằngsốẩnsốn,ma
trận[A]vuôngvàtacó:
[] [ ]
[]
1
xAb
−
= (1)
nếumatrậnAkhôngsuybiến,nghĩalàđịnhthứccủamatrậnkháckhông.
CáclệnhMATLABđểgiảihệlà(
ctsys.m):
clc
A=[12;34];
b=[‐1;‐1];
x=A^‐1*b
%x=inv(A)*b
2.Trườnghợpsốphươngtrìnhíthơnsốẩn(nghiệmcựctiểuchuẩn)
:Nếusố
136
phươngtrìnhmíthơnsốẩnsốnthìnghiệmkhôngduynhất.Giảsửmhàng
củamatrậnhệsố[A]làđộclậpthìvectơnchiềucóthểphântíchthànhhai
thànhphần:
[] [] []
xx x
+−
=+(2)
Trongđómộtmatrậnlàmatrậnkhônggianhàngcủamatrận[A]vàđược
viếtdướidạngtổhợpcủa:
[] [ ][]
T
xA
+
=α(3)
vàmatrậnkialàmatrậnkhônggiankhôngsaocho:
[][]
Ax 0
−
= (4)
Nhưvậy:
[][] []
(
)
[][][][][] [][][]
[]
TT
Ax x AA Ax AA b
+− −
+= α+ = α= (5)
Do[A][A]
T
làmatrậnkhôngsuybiếnm×mcóđượcbằngcáchnhânmatrận
m
×nvớimatrậnn×mnêntacóthểgiảiphươngtrìnhđốivới[ α]đểcó:
[]
[]
1
0
T
AA b
−
⎡⎤
α=
⎣⎦
(6)
Thay(6)vào(3)tacó:
[] [][] [ ]
[]
1
0T0T
T
AAAAb
−
+
⎡⎤
α= α=
⎣⎦
(7)
Điềunàythoảmãnphươngtrình[A][x]=[b].Tuynhiênnókhônglànghiệm
duy nhất vìnếu thêm bấtkì một vectơ[x] thoảmãn (4) thìnó sẽ cũng là
nghiệm.MATLABdùnglệnh
pinvđểgiảihệ(ctpinv.m)
A=[12];
b=3;
x=pinv(A)*b
3.Trườnghợpsốphươngtrìnhnhiềuhơnsốẩn(nghiệmsaisốbìnhphương
bénhất)
:Nếusốphươngtrìnhmlớnhơnsốẩnsốnthìkhôngtồntạinghiệm
thoảmãnđầyđủcácphươngtrình.Tacốgắngtìmvectơnghiệmcósaisố[e]
nhỏnhất.
[] [ ][]
[]
eAxb=−(8)
Vậythìbàitiámcủatalàcựctiểuhoáhàm:
[][]
[]
[][]
[]
[][]
[]
2T
2
J 0.5 e 0.5 A x b 0.5 A x b A x b== −= − −
⎡
⎤⎡ ⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
(9)
TatìmcựctiểucủaJbằngcáchchođạohàmtheoxcủa(9)bằngkhông.
[][][]
[]
[] [][] []
[]
1
T0TT
J
AAxb0 x AA Ab
x
−
∂
⎡⎤
=−==
⎡⎤
⎣⎦
⎣⎦
∂
(10)
137
Chúýlàmatrận[A]cósốhànglớnhơnsốc ộtchonênkhôngnghịchđảo
được.Nghiệmsaisốbìnhphươngbénhấttìmđượcnhớdùnglệnh
pinvhay
phépchiatrái(
ctover.m):
A=[1;2];
b=[2.1;3.9];
x=pinv(A)*b
x=A\b
x=(Aʹ*A)^‐1*Aʹ*b
Để tiện dùng ta viết hàm
pttt()đểgiải hệ phương trình trong cả 3
trườnghợptrên
functionx=pttt(A,B)
%HamnaytimnghiemcuaptAx=B
[M,N]=size(A);
ifsize(B,1)~=M
error(ʹKichthuocAvaBtrongpttt()khongbangnhau!ʹ)
end
ifM==N
x=A^‐1*B;
elseifM<N
x=pinv(A)*B;
else
x=pinv(A)*B;
end
Đểgiảihệphươngtrìnhtadùngchươngtrình
ctpptt.m:
clearall,clc;
a=[134;257;312];
b=[8146]ʹ;
x=pttt(a,b)
§3.CÁCPHƯƠNGPHÁPKHỬ
138
1.PhươngphápkhửGauss:Chúngtabiếtrằngcácnghiệmcủahệkhôngđổi
nếutathaymộthàngbằngtổhợptuyếntínhcủacáchàngkhác.Taxétmộthệ
phươngtrìnhđạisốtuyếntínhcómatr
ận[A]khôngsuybiếnvớim=n=3.
Phươngtrìnhcódạng:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
(1)
)Trướchếttakhửx1rakhỏicácphươngtrình,ngoạitrừphươngtrìnhđầu
tiên,bằngcáchnhânphươngtrìnhđầutiênvớia
i1/a11(ilàchỉsốhàng)vàtrừ
đimỗiphươngtrìnhđó:
(0) (0) (0) (0)
11 1 12 2 13 3 1
(1) (1) (1)
22 2 23 3 2
(1) (1) (1)
32 2 33 3 3
ax ax ax b
ax ax b
ax ax b
⎧
++=
⎪
+=
⎨
⎪
+=
⎩
(2)
Trongđó:
(0)
ij ij
aa=
(0)
ii
b
b
=
vớii=1,j=1,2,3
(0)
(1) ( 0) (0 )
i1
ij ij 1j
(0)
11
a
aa a
a
=−
(0)
(1) ( 0 ) ( 0)
i1
ii 1
(0)
11
a
b
bb
a
=− vớii,j=2,3
Việcnàygọilàlấytrụtạia
11vàphầntửa11gọilàtrụ.
)Tiếptheotakhửx2trongphươngtrìnhthứ3của(2)bằngcáchlấyphương
trìnhthứ2nhânvới
(1) (1)
i2 22
a/a(i=3)vàtrừđiphươngtrìnhthứ3:
(0) (0) (0) (0)
11 1 12 2 13 3 1
(1) (1) (1)
22 2 23 3 2
(2) (2)
33 3 3
ax ax ax b
ax ax b
ax b
⎧
++=
⎪
+=
⎨
⎪
=
⎩
(3)
Trongđó:
(1)
(2) (1) (1)
i2
ij ij 2j
(1)
22
a
aa a
a
=−
(1)
(2) (1) (1)
i2
ii 2
(1)
22
a
b
bb
a
=−
vớii,j=3 (4)
QuátrìnhnàyđượcgọilàthuậttoánkhửGausstiếnvàđượctổngquáthoá
thành:
(k 1)
(k) (k 1) (k 1)
ik
ij ij kj
(k 1)
kk
(k 1)
(k) (k1) (k1)
ik
ii k
(k 1)
kk
a
a a a i,j k 1,k 2, ,m
a
a
b
b b i k 1,k 2, ,m
a
−
−−
−
−
−−
−
=− =++
=− =++
(5)
ĐểthựchiệnthuậttoánkhửGausstadùngđoạnmãlệnh:
139
fork=1:n‐1
fori=k+1:n
ifA(i,k)˜=0
lambda=A(i,k)/A(k,k);
A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)‐lambda*A(k,k+1:n);
b(i)=b(i)‐lambda*b(k);
end
end
end
Saukhicóhệphươngtrìnhdạngtagiáctatìmnghiệmdễdàng.Từphương
trìnhthứ3của(3)tacó:
(2)
3
3
(2)
33
b
x
a
=
(6a)
Thayvàophươngtrìnhthứ2tacó:
(1) (1)
2233
2
(1)
22
b
ax
x
a
−
= (6b)
vàcuốicùngtừphươngtrìnhthứnhấttacó:
3
(0) (0)
111jj
(0)
j2
11
1
xbax
a
=
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑
(6c)
Tacũngcóthểtổngquáthoáquátrìnhtìmnghiệmbằngcáchtính lùivàtìm
nghiệmbằng:
m
(i 1) (i 1)
iiijj
(i 1)
ji1
ii
1
x b a x i m,m 1, ,1
a
−−
−
=+
⎛⎞
=− =−
⎜⎟
⎝⎠
∑
(7)
vàtìmnghiệmbằngđoạnmãlệnh:
fork=n:‐1:1
b(k)=(b(k)‐A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);
end
NhưvậyphươngphápGaussgồmhaibước:
‐khửtheothuậttoánGauss
‐tìmnghiệmcủaphươngtrìnhdạngtamgiác
Đoạnmãlệnhđểtráohàngđượcviếttronghàm
swaprows():
140
functionv=swaprows(v,i,j)
%Traodoihangivahangjcuamatranv.
%Cuphap:v=swaprows(v,i,j)
temp=v(i,:);
v(i,:)=v(j,:);
v(j,:)=temp;
Taxâydựnghàm
gauss()đểthựchiệnthuậttoánkhửGauss
functionx=gauss(A,B)
%KichthuoccuamatranA,BlaNAxNAvaNAxNB.
%HamnaydunggiaiheptAx=BbangphuongphapkhuGauss
NA=size(A,2);
[NB1,NB]=size(B);
ifNB1~=NA
error(ʹAvaBphai
cokichthuoctuongungʹ);
end
N=NA+NB;
AB=[A(1:NA,1:NA)B(1:NA,1:NB)];
epss=eps*ones(NA,1);
fork=1:NA
%ChontruAB(k,k)
[akx,kx]=max(abs(AB(k:NA,k))./
max(abs([AB(k:NA,k+1:NA)epss(1:NA‐k+1)]ʹ))ʹ);
ifakx<eps
error(ʹMatransuybienvanghiemkhongduynhatʹ);
end
mx=k+kx‐1;
ifkx>1%traohangkhican
swaprows(AB,k,mx);
end
%KhuGauss
AB(k,k+1:N)=AB(k,k+1:N)/AB(k,k);
AB(k,k)=1;
form=
k+1:NA
AB(m,k+1:N)=AB(m,k+1:N)‐AB(m,k)*AB(k,k+1:N);%(2.2.5)
141
AB(m,k)=0;
end
end
%Timnghiem
x(NA,:)=AB(NA,NA+1:N);
form=NA‐1:‐1:1
x(m,:)=AB(m,NA+1:N)‐AB(m,m+1:NA)*x(m+1:NA,:);%(2.2.7)
end
Đểgiảihệphươngtrìnhtadùng
ctgauss.m
clearall,clc
A=
[111;2‐1‐1;11‐1];
b=[201]ʹ;
x=gauss(A,b)
2.PhươngphápkhửGauss‐Jordan:XéthệphươngtrìnhAX=B.Khigiảihệ
bằngphươngphápGausstađưanóvềdạngmatrậntamgiácsaumộtloạt
biếnđổi.PhươngphápkhửGauss‐JordancảitiếncáchkhửGauss
bằngcách
đưahệvềdạng:
[E][X]=[B
*
]
vàkhiđónghiệmcủa hệchính là [B
*
].TrongphươngphápGauss‐Jordan
mỗibướctínhphảitínhnhiềuhơnphươngphápGaussnhưnglạikhôngph ải
tínhnghiệm.Đểđưamatrận[A]vềdạngma trận[E]tạibướcthứi
taphảicó
a
ii=1vàaij=0.Nhưvậytạilầnkhửthứitabiếnđổi:
1.a
ij=aij/aii(j=i+1,i+2, ,n)
2.k=1,2, ,n
a
kj=akj‐aijaki(j=i+1,i+2, ,n)
b
k=bk‐biaki
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss‐Jordan ta tạo rahàm
gaussjordan()
functionx=gaussjordan(A,B)
%KichthuoccuamatranA,BlaNAxvaNAxNB.
%HamnaydunggiaiheAx=BbangthuattoanloaitruGauss‐Jordan
NA=size(A,2);
142
[NB1,NB]=size(B);
ifNB1~=NA
error(ʹAvaBphaicokichthuoctuongungʹ);
end
fori=1:NA
ifA(i,i)==0%traohangneucan
swaprows(A,i,mx);
end
c=A(i,i);
forj=i:NA
A(i,j)=
A(i,j)/c;
end
B(i)=B(i)/c;
fork=1:NA
ifk~=i
c=A(k,i);
A(k,i:NA)=A(k,i:NA)‐A(i,i:NA)*c;
B(k)=B(k)‐B(i)*c;
end
end
end
x=B;
vàdùngchươngtrình
ctgaussjordan.mgiảihệ:
clearall,clc
a=[531;2‐11;1‐1‐1];
b=[9;2;‐1];
x=gaussjordan(a,b)
§4.GIẢIHỆPHƯƠNGTRÌNHBẰNGCÁCHPHÂNTÍCHMATRẬN
1.Kháiniệmchung
:Mộtmatrậnkhôngsuybiến[A]gọilàphântíchđược
thànhtíchhaimatrận[L]và[R]nếu:
[A]=[L][R]
Việcphântíchnày,nếutồntại,làkhông duynhất.Nếuma
trận[L]cócác
phầntửnằmtrênđườngchéochínhbằng1,tacóphépphântíchDoolittle.
143
Nếumatrận[R]cócácphầntửnằmtrênđườngchéochínhbằng1,tacóphép
phântíchCrout.Nếu[R]=[L]
T
(hay[L]=[R]
T
)tacóphépphântíchCholeski.
2.PhântíchDoolittle:Taxéthệphươngtrình[A][X]=[B].Nếutaphântích
matrận[A]thànhtíchhaimatrận[L]và[R]saocho:
[A]=[L][R]
trongđó[L]làmatrậntamgiáctráivà[R]làmatrậntam
giácphải.Vởima
trậnbậc3[L]và[R]códạng:
[] []
11 12 13
21 22 23
31 32 33
100 rrr
Ll 10 R0rr
ll1 00r
⎡⎤ ⎡ ⎤
⎢⎥ ⎢ ⎥
==
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎣⎦ ⎣ ⎦
Khiđóhệphươngtrìnhđượcviếtlạilà:
[L][R][X]=[B]
Tađặt[R][X]=[Y]vàhệtrởthành
[L][Y]=[B]
Do[L]làmatrậntamgiácnêntadễdàngtìmđược[Y].Saukhicó
[Y]tatiếp
tụctìm[X].Nhưvậybàitoánđưavềviệcphântíchmatrận[A].
ĐểgiảihệphươngtrìnhbằngcáchphântíchmatrậntheothuậttoánDoolittle
tadùnghàm
doolittlesol():
functionx=doolittlesol(A,b)
%GiaiheAX=B,trongdoA=LU
%nghialaAcodang[L\U].
%Cuphap:x=doolittlesol(A,b)
n=size(A,1);
[l,r]=doolittle(A);
%timnghiemmttamgiactrai
y(1,:)=b(1)/l(1,1);
form=
2:n
y(m,:)=(b(m)‐l(m,1:m‐1)*y(1:m‐1,:))/l(m,m);
end
%timnghiemmttamgiacphai
x(n,:)=y(n)/r(n,n);
form=n‐1:‐1:1
x(m,:)=(y(m)‐r(m,m+1:n)*x(m+1:n,:))/r(m,m);
end
144
Ápdụnghàmdoolittlesol()giảihệphươngtrình:
1
2
3
436x 1
8310x 0
412 10x 0
−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
tadùngchươngtrình
ctdoolitle.m:
a=[4‐36;8‐310;‐412‐10];
b=[1;0;0];
x=doolittlesol(a,b)
3.PhântíchCrout:TươngtựnhưthuậttoánDoolittle,tacó thểphântíchma
trận[A]theothuậttoánCroutthànhtíchcủamatrận[L]và[R].Đểgiảihệ
phươngtrìnhbằngcáchphântíchmatrậntheothuậttoán
Crouttadùnghàm
croutsol():
functionx=croutsol(a,b)
%HamdunggiaiheptAX=BbangthuattoanCrout
%Cuphap:x=croutsol(a,b)
n=size(a,1);
[l,r]=crout(a);
y(1,:)=b(1)/l(1,1);
form=2:n
y(m,:)=(b(m)‐l(m,1:m‐1)*y(1:m‐1,:))/l(m,m);
end
x(n,:)=y(n)/r(n,
n);
form=n‐1:‐1:1
x(m,:)=(y(m)‐r(m,m+1:n)*x(m+1:n,:))/r(m,m);
end
Khigiảiphươngtrìnhtachươngtrình
ctcrout.m:
clearall,clc
a=[4820;61316;2016‐91];
b=[24;18;‐110];
145
x=croutsol(a,b)
4. Phân tích Choleski: Sau khi phân tích ma trận [A] theo thuật toán
Choleski,hệphươngtrình[A][X]=[B]trởthành:
[L][L]
T
[X]=[B]
Trước hêt ta tìm nghiệm của hệ phương trình [L][Y] = [B] và sauđó tìm
nghiệm[X]từhệphươngtrình][L]
T
[X]=[Y].Taxâydựnghàmcholeskisol()
đểthựchiệnthuậttoánnày:
functionx=choleskisol(a,b)
%GiaiheptbangthuattoanCholeski
%Cuphap:x=choleskisol(a,b)
n=size(a,1);
l=choleski(a);
r=lʹ;
y(1,:)=b(1)/l(1,1);
form=2:n
y(m,:)=(b(m)‐l(m,1:m‐1)*y(1:m‐1,:))/l(m,m);
end
x(n,:)=y(n)/r(n,n);
form=n‐1:‐1:1
x(m,:)=(y(m)‐r(m,m+1:n)*x(m+1:n,:))/r(m,m);
end
Đểgiảihệphươngtrình
1
1
1
422x 5
22 4x 10
2411x 27
−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−=−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
tadùngchươngtrình
ctcholeski.m:
clearall,clc
a=
[4‐22;‐22‐4;2‐411];
b=[6;‐10;27];
x=choleskisol(a,b)
146
5.PhântíchQR:Taxéthệphươngtrình[A][X]=[B].Phântíchmatrận[A]
thànhtíchcủahaimatrận[Q]và[R]saocho:
[A]=[Q]*[R]
Trongđó[Q]làmatrậntrựcgiao,nghĩalà[Q]
T
[Q]=[E],và[R]làmatrậntam
giácphải.Nhưvậyphươngtrìnhtrởthành:
[Q]*[R]*[X]=[B]
Nhânhaivêcủaphươngtrìnhvới[Q]
T
tacó:
[Q]
T
[Q]*[R]*[X]=[Q]
T
[B]
hay:
[R]*[X]=[Q]
T
[B]
Hệphươngtrìnhnàydễdàngtìmnghiệmvỉ[R]làmatrậntamgiác.Khigiải
hệphươngtrìnhtadùngchươngtrình
ctqrsol.m:
clearall,clc
A=[1235;4562;4689;9367];
b=[2468]ʹ;
[q,r]=qrdecomp(A);
c=transpose(q)*b;
x=r\c
§5.CÁCMATRẬNĐẶCBIỆT
1.Matrậnđườngchéobậc3
:Taxéthệphươngtrình[A][X]=[B]với[A]là
matrậnđườngchéocódạng:
[]
11
122
233
34
n1 n
de 0 0 0
cde0 0
0cde 0
A
00cd
000 c d
−
⋅
⋅⋅
⎡⎤
⎢⎥
⋅⋅⋅
⎢⎥
⋅⋅⋅
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
M
MMMMOM
L
Talưucácphầntửkhác0của[A]dướidạngvectơ:
[]
[]
[]
1
11
2
22
n1
n1 n1
n
d
ce
d
ce
cd e
d
ce
d
−
−−
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
== =
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
M
MM
147
đểgiảmbớtsốlượngphầntửcầnlưutrữ.
BâygiờtaphântíchmatrậntheothuậttoánDoolittle:
hàngk‐(c
k‐1/dk‐1)×hàngk‐1→hàngkk=1,2,…,n
và: d
k‐(ck‐1/dk‐1)×ek‐1→dk
Đểhoàntấtthuậtviệcphântích,talưuhệsốλ=ck‐1/dk‐1vàovịtrícủack‐1
trướcđó
ck‐1/dk‐1→ck‐1
Nhưvậythuậttoánphântíchmatrậnlà:
fork=2:n
lambda=c(k‐1)/d(k‐1);
d(k)=d(k)‐lambda*e(k‐1)
c(k‐1)=lambda;
end
Sauđótatìmnghiệmcủaphươngtrình[L][R][X]=[B]bằngcáchgiảiphương
trình[L][Y]=[B]vàsauđólàphươngtrình[R][X]=[Y].Phươngtrình[L][Y]=
[B]códạng:
1
1
12
2
23
3
34
4
n1 n
n
1000 0y
b
c100 0y
b
0c 10 0y
b
00c0 0y
b
0000c 1y
b
−
⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
=
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣
⎦
L
L
L
L
MMMMLML
L
đểtìmnghiệm[Y]bằngcáchthaythếtiếntadùngđoạnlệnh:
y(1)=b(1);
fork=2:n
y(k)=b(k)‐c(k‐1)*y(k‐1);
end
Phươngtrình[R][X]=[Y]códạng:
148
11
11
22
22
33
33
44
4
nn
n
xy
de 00 0
xy
0d e 0 0
xy
00de 0
xy
000d 0
xy
00000d
⎡⎤
⎡
⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
=
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦
⎣⎦
L
L
L
L
LL
MMMMLM
đểtìmnghiệm[X]bằngcáchthaythếlùitadùngđoạnlệnh:
x(n)=y(n);
fork=n‐1:‐1:1
x(k)=(y(k)‐e(k)*x(k+1))/d(k);
end
Taxâydựnghàm
band3()đểphântíchmatrậndạngđườngchéo:
function[c,d,e]=band3(c,d,e)
%PhantichmatranA=[c\d \e].
%Cuphap:[c,d,e]=band3(c,d,e)
n=length(d);
fork=2:n
lambda=c(k‐1)/d(k‐1);
d(k)=d(k)‐lambda*e(k‐1);
c(k‐1)=lambda;
end
Taviếthàm band3sol() dùngđểgiảihệ phươngtrìnhcó ma trận [A] dạng
đườngchéo:
functionx=band3sol(c,d,e,b)
%GiaiheA*x=bvoiA=[c\d\e]latichLU
%Cuphap:x=band3sol(c,d,e,b)
[c,d,e]=band3(c,d,e);
n=length(d);
fork=2:n%thaythetien
b(k)=b(k)‐c(k‐
1)*b(k‐1);
149
end
b(n)=b(n)/d(n);%thaythelui
fork=n‐1:‐1:1
b(k)=(b(k)‐e(k)*b(k+1))/d(k);
end
x=b;
Tadùngchươngtrình
ctband3eq.mđểgiảihệphươngtrình:
clearall,clc
c=
[‐1;‐2;3;3];
d=[67875]ʹ;
e=[222‐2]ʹ;
b=[2;‐3;4;‐3;1];
x=band3sol(c,d,e,b);
2.Matrậnđườngchéođốixứngbậc5:Khigiảiphươngtrìnhviphânthường
bậc4tathườnggặpmộthệphươngtrìnhđạisốtuyếntínhdạngbăngđối
xứngcóbềrộngbằng5.Matrận[A]khiđócó
dạng:
[]
111
1222
1233 3
23 4
n4 n3 n2 n2 n2
n3 n2 n1 n1
n2 n1 n
de f 0 0 0 0
ede f 0 0 0
fede f 0 0
0f e d 0
A
00fedef
000fede
0000fed
−− −−−
−−−−
−−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
L
L
MMM M M M O M
L
L
L
vàtalưumatrận[A]dướidạngvectơ:
150
[]
[]
[]
1
1
11
2
2
n2
n2
n1 n2
n1
n
d
e
df
e
f
def
d
e
df
e
d
−
−
−−
−
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
===
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
M
M
M
Tathựchiệnthuậttoánbiếnđổimatrận:
hàng(k+1)‐(e
k/dk)×hàngk→hàng(k+1)
hàng(k+2)‐(fk/dk)×hàngk→hàng(k+2)
Cácsốhạngbịthayđổitheothuậttoánnàylà:
d
k+1‐(ek/dk)ek→dk+1
ek+1‐(ek/dk)fk→ek+1
d
k+2‐(fk/dk)fk→dk+2
vàlưutrữlại:
e
k/dk→ekfk/dk→fk
saukhiđãbiếnđổimatrận,tagiảihệphươngtrìnhcómatrậntamgiác.
Hàm
band5()dùngđểphântíchmatrận:
function[d,e,f]=band5(d,e,f)
%A=[f\e\d\e\f].
%Cuphap:[d,e,f]=band5(d,e,f)
n=length(d);
fork=1:n‐2
lambda=e(k)/d(k);
d(k+1)=d(k+1)‐lambda*e(k);
e(k+1)=e(k+1)‐lambda*f(k);
e(k)=lambda;
lambda=f(k)/d(k);
d(k+2)=d(k+2)‐lambda*f(k);
f(k)=lambda;
end
lambda=e(n‐1)/d(n‐1);
d(n)=d(n)‐lambda*e(n‐1);
e(n‐1)=lambda;
151
Taviếthàmband5sol()đểgiảihệphươngtrình:
functionx=band5sol(d,e,f,b)
%GiaiheA*x=bvoiA=[f\e\d\e\f]
%Cuphap:x=band5sol(d,e,f,b)
[e,d,f]=band5(e,d,f);
n=length(d);
b(2)=b(2)‐e(1)*b(1);
fork=3:n
b(k)=b(k)‐e(k‐1)*b(k‐1)‐f(k‐
2)*b(k‐2);
end
Đểgiảihệphươngtrình
1
2
3
4
5
6
1120 0 0 x 4
1231 0 0 x 7
2332 2 0 x 12
0121 2 1 x 7
0022 2 1x 5
0001 1 1 x 1
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
tadùngchươngtrình
cban5eq.m
clearall,clc
d=[123121]ʹ;
e=[1322‐1]ʹ;
f=[2121]ʹ;
b=[4712751];
x=band5sol(d,e,f,b)
§6.CÁCPHƯƠNGPHÁPLẶPĐỂGIẢIHỆPHƯƠNGTRÌNH
ĐẠISỐTUYẾNTÍNH
Nóichungcóhaiphươngphápgiảihệphươngtrìnhđạisốtuyếntính:
phươngpháptrựctiếpvàphươngpháplặp.Cácbàitoánkĩthuậtthườngđưa
về hệ phương trìnhđại số tuyến tính
có ma trận [A] thưa và lớn nên các
phươngpháplặprấtthíchhợp.
Cácphươngpháplặpđượcchiathànhhailoại:phươngpháplặptĩnh
vàphươngpháplặpđộng.
152
Taxéthệphươngtrìnhđạisốtuyếntính[A][X]=[B].Tađưavềdạng
lặp:
[X]=[C][X]+[D]
Saumỗilầntínhtacósốdư:
[R]=[B]‐[A][X]
Khilặptừphươngtrìnhnày,
cácmatrận[C]và[D]khôngđổi.Vìvậy
nêncácphươngphápxuấtpháttừđâygọilàcácphươngpháplặptĩnh.Các
phươngphápnàydễhiểu,dễlậptrìnhnhưngkhônghiệuqu
ả.
Cácphươngphápnàygồmcó:
•PhươngpháplặpJacobi:Ph ương phápnàytínhgiátrịcủamộtbiến
dựatrêngiátrịcủacácbiếnkhác.Nóhộitụchậmvà rấtcó
thểkhông
hộitụtrongmộtsốtrườnghợp.
•PhươngpháplặpGauss‐Seidel:Nótươngtựnhưphươngpháplặp
Jacobinhưngkhitínhgiátrịcủabiếnthứktadùngcácgiátrịcácbi
ến
vừađượccậpnhật.Phươngphápnàyhộitụnhanhhơnphươngpháp
lặp Jacobi nhưng không nhanh bằngcác phương pháp lặp khôngổn
định.
•PhươngpháplặpcótăngSOR:Ph
ươngphápnàyđưaratừphương
phápGauss‐Seidelbằngcáchđưathêmhệsốngoạisuyω.Vớiωđược
chọntốiưu,phươngphápnàyhộitụnhanhhơnphươngphápGaus‐
Seidel.Khiω=1
phươngphápSORtrởthànhphươngphápGauss‐
Seidel.TốcđộhộitụcủaphươngphápSORphụthuộcvàoω
•PhươngpháplặpcótăngđốixứngSSOR:Phươngphápnàykhôngcó
ưuđiểmnào
trộihơnSOR.
Cácphươngpháplặpkhôngổnđịnhmớiđượcxâydựng,khóhiểu,nhưng
hiệuquảcao.Trongquátrìnhlặp,việctínhtoánbaohàmcácthôngtinthay
đổisaumỗibướ
ctính.
Cácphươngphápnàybaogồm:
• Phương pháp gradient liên hợp CG(Conjugate Gradient): Phương
phápnàytạoramộtdãycácvectơliênhợp(haytrựcgiao)làsốdưcủa
phéplặp.Chúngcũng
làgradientcủamộthàmbậc2màviệctìmcực
tiểu tươngđương với việc giải hệ phương trìnhđại số tuyến tính.
Phương pháp CG rất hiệu quả khi ma trận [A]đố
i xứng, xácđịnh
dương ví chỉ đòi hỏi lưu trữ một số ít phần tử. Tốcđộhội tụ của
phươngphápnàyphụthuộc
sốđiềukiệncủamatrận(sốđiềukiệncủa
matrậnđođộnhạycủanghiệmcủah ệphươngtrìnhđạisốtuyếntính
153
vớisaisốtrongsốliệu.Nóchobiếtđộchínhxáccủakếtquảtừphép
nghịchđảomatrậnvànghiệmcủahệphươngtrìnhđạisốtuyếntính).
•Phươngphápsốdưcựctiểu
MINRES(MinimumResidual)vàphương
phápLQđốixứngSYMMLQ(SymmetricLQ)
•PhươngphápgradientliênhợpdùngchohệthườngCGNE(Conjugate
Gradient on Normal Equations) và CGNR(Conjugate Gradient on
NormalEquationsminimizingtheResidual):Cácphươngphápnàydựa
trênviệcáp
dụngphươngphápCGvàomộttronghaidạnghệphương
trìnhđạisốtuyếntính.
‐CNGRdùnggiảihệdạng[A]
T
[A][X]=[B’]với[B’]=[A]
T
[B]
‐CGNEdùnggiảihệdạng[A][A]
T
[Y]=[B]đốivới[Y]vàsauđó
giảihệ[X]=[A]
T
[Y]
Khimatrận[A]khôngđốixứng,khôngsuybiếnthì[A][A]
T
và[A]
T
[A]
đốixứng,xácđịnhdươngnêncóthểdùngphươngphápCG.
•PhươngphápsốdưcựctiểutổngquátGMRES(GeneralizedMinimal
Residual):PhươngphápGMREStínhtoándãycácvectơtrựcgiaovà
kếthợp
cácnàybằngbàitoánbìnhphươngbénhấtđểgiảivàcậpnhật.
Tuynhiênnóđòihỏilưutoànbộdãy.Dovậyphươngánkhởiđộnglại
được dùngtrongphương pháp này.Phương
phápnày tiệndùng khi
matrậnhệsốkhôngđốixứng.
• Phương pháp gradient liên hợp kép BiCG(Biconjugate Gradient):
PhươngphápnàytạotahaidãyvectơgiốngnhưCG,mộtdựatrênhệ
vớimatr
ận[A]vàmộtd ựatrên[A]
T
.Thayvìtrựcgiaohoámỗidãy,
chúngtrựcgiaotươnghỗhai“trựcgiaokép”.Nórấthữuítkhimatrận
cómatrậnhệsốkhôngđốixứng,khôngsuybiến.
• Phương pháp g
ần như số dư cực tiểu QMR(Quasi‐Minimal
Residual):PhươngphápQMRdùngbìnhphươngtốithiểuđểgiảivà
cậpnhậtsốdưBiCG.Phươngphápnàydùngchohệphươngtrìnhcó
matrậnhệsốkhôngđố
ixứng.
• Phương pháp gradient liên hợp bậc 2 CGS(Conjugate Gradient
Squared):PhươngphápCGSlàmộtbiếnthểcủaBiCG,dùngcậpnhất
dãy[A]và[A]
T
.Phươngphápnàycóưuđiểmlàkhôngcầnnhânvới
matrậnhệsốchuyểnvịvàđượcdùngchohệphươngtrìnhđạisốtuyến
tínhcómatrậnhệsốkhôngđốixứng.
•Phương
phápgradientliênhợpképổnđịnhBiCGSTAB(Biconjugate
GradientStabilized):PhươngphápBiCGSTABcũnglàmộtbiếnthểcủa
154
BiCG.Nóđượcdùngchohệphươngtrìnhcómatrậnhệsốkhôngđối
xứng.
•PhươngphápChebyshev:Phươngphápnàytínhlặpcácđathứcvới
cáchệsốđượcchọnđểc ựctiểuhoáchuẩn
củasốdưtheonghĩamin‐
max.Matrậnhệsốphảixácđịnhdương.Nóđượcdùngchohệphương
trìnhcómatrậnhệsốkhôngđốixứng.
Tabiếtrằngtốcđộhộitụcủaphép
lặpphụthuộcrấtnhiềuvàophổcủama
trận(cácgiátrịriêngcủamatrận).Dovậyphéplặpthườngđưathêmmộtma
trậnthứhaiđểbiếnđổi matrậnhệsốthành
matrậncóphổthíchhợp.Ma
trận biếnđổi như vậy gọi là ma trậnđiều kiện trước(preconditioner). Một
preconditionertốtsẽcảithiệnsựhộitụcủaphươngpháplặp.Nhi
ềutrường
hợp,nếukhôngcópreconditioner,phéplặpsẽkhônghộitụ.Preconditioner
đơngiảnnhấtchínhlàmatrậnđườngchéomàM
i,j=Ai,jnếui=jvàcácphần
tửkhácbằngzero.MatrậnnhưvậygọilàmatrậnđiềukiệntrướcJacobi.
Trongtínhtoán,tồntạihailoạimatrậnđiềukiện
trước:
‐matrận[M]xấpxỉmatrận[A]vàlàmchoviệcgiảihệ[M][X]=[B]dễ
hơngiảihệ[A][X]=[B]
‐matrận[M]xấpxỉ[A]
‐1
saochochỉcầntính[M][B]làcó[X]
Phầnlớncácmatrận[M]thuộcloạithứnhất.
§7.PHƯƠNGPHÁPLẶPJACOBI
XéthệphươngtrìnhAX=F.Bằngcáchnàođótađưah ệphươngtrình
vềdạng
X=BX+G
trongđó:
B=(b
ij)n,n
G=(g
1,g2, ,gn)
T
Chọnvectơ:
X=(x
1
(o)
,x2
(o)
, ,xn
(o)
)
T
làmxấpxỉthứ0củanghiệmđúngvàxâydựngxấpxỉ
X
(m+1)
=BX
(m)
+G(m=0,1, )
Ngườitachứngminhrằngnếuphươngtrìnhbanđầucónghiệmduy
nhấtvàmộttrongbachuẩncủamatrậnBnhỏhơn1thìdãyxấpxỉhộ
itụvề
nghiệmduynhấtđó.ChomộtmatrậnB,chuẩncủamatrậnB,kíhiệu
B là
mộttrong3số:
155
∑
=
=
n
1j
ij
i
1
bmaxB
∑
=
=
n
1j
ij
j
2
bmaxB
2/1
n
1i
n
1j
2
ij
3
bB
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑
==
(Chuẩncủamatrậnquanhệtớisựhộitụcủaphươngpháplặp)
Taxâydựnghàm
jacobi()đểthựchiệnthuậttoántrên:
functionx=jacobi(a,b,x0,kmax)
%TimnghiemcuaptAx=BbangthuattoanJacobi.
%Cuphap:x=jacobi(a,b,x0,kmax)
%hayjacobi(a,b,x0,kmax)
ifnargin<4
tol=1e‐6;
kmax=100;%jacobi(a,b,x0)
elseifkmax<
1
tol=max(kmax,1e‐16);
kmax=100;%jacobi(a,b,x0,tol)
else
tol=1e‐6;%jacobi(a,b,x0,kmax)
end
ifnargin<3
x0=zeros(size(b));end
na=size(a,1);
x=x0;
At=zeros(na,na);
form=1:na
forn=1:na
ifn~=m
At(m,n)=‐a(m,n)/a(m,m);
end
end
Bt(m,:)=b(m,:)/a(m,m);
end
156
fork=1:kmax
x=At*x+Bt;
ifnargout==0,
x
end
ifnorm(x‐x0)/(norm(x0)+eps)<tol
break;
end
x0=x;
end
Đểgiảiphươngtrìnhtachươngtrình
ctjacobi.m:
b=[1‐1]ʹ;
a=[
32;12];
x0=[00]ʹ;
x=jacobi(a,b,x0,20)
§8.PHƯƠNGPHÁPLẶPGAUSS‐SEIDEL
PhươngpháplặpGauss‐SeidelđượccảitiếntừphươngphápJacobi.
Nộidungcơbảncủaphươngpháplàởchỗkhitínhnghiệmxấpxỉthứ(k+1)
củaẩnx
itasửdụngcácxấpxỉthứ(k+1)đãtínhcủacácẩnx1, ,xi‐1.Giảsửđã
chohệ[A][X]=[B]thìtacónghiệm:
n, ,1ixx
j
n
1j
ijii
=α+β=
∑
=
Lấyxấpxỉbanđầutuỳýx
1
(o)
,x2
(o)
, ,xn
(o)
vàtấtnhiêntacốgắnglấychúng
tươngứngvớix
1,x2, ,xn(cànggầncàngtốt).Tiếptheotagiảsửrằngđãbiết
xấp xỉ thứ kx
i
(k)
của nghiệm. Theo Seidel ta sẽ tìm xấp xỉ thứ (k+1) của
nghiệmtheocáccôngthứcsau:
)k(
j
n
1j
ij1
)1k(
1
xx
∑
=
+
α+β=
)k(
j
n
2j
ij
)1k(
1211
)1k(
2
xxx
∑
=
++
α+α+β=
)k(
j
n
ij
ij
1i
1j
)1k(
jiji
)1k(
i
xxx
∑∑
=
−
=
++
α+α+β=
157
)k(
nnn
)1k(
j
1n
1j
ijn
)1k(
n
xxx α+α+β=
+
−
=
+
∑
ThôngthườngphươngphápGauss‐Seidelhộitụnhanhhơnphương
pháp Jacobi nhưng tính toán phức tạp hơn. Dể dễ hiểu phương pháp này
chúngtaxétmộtvídụcụthể:
Chohệphươ
ngtrình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
14x10x2x2
13xx10x2
12xxx10
321
321
321
nghiệmđúngcủahệlà(1,1,1)
Tađưavềdạngthuậntiệnchophéplặp:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−=
−−=
−−=
213
312
321
x2.0x2.04.1x
x1.0x2.03.1x
x1.0x1.02.1x
Lấyx
1
(o)
=1.2;x2
(o)
=0;x3
(o)
=0
SửdụngphươngpháplặpGauss‐Seideltacó:
(1)
1
(1)
2
(1)
3
x 1.2 0.1 0 0.1 0 1.2
x 1.3 0.2 1.2 0.1 0 1.06
x 1.4 0.2 1.2 0.2 1.06 0.948
⎧
=−×−×=
⎪
=−×−×=
⎨
⎪
=−×−× =
⎩
(2)
1
(2)
2
(2)
3
x 1.2 0.1 1.06 0.1 0.948 0.9992
x 1.3 0.2 0.9992 0.1 0.948 1.00536
x 1.4 0.2 0.9992 0.2 1.00536 0.999098
⎧
=−× −× =
⎪
=−× −× =
⎨
⎪
=−× −× =
⎩
vàcứthếtiếptụcchođếnkhihộitụ.Taxâydựnghàm
gausseidel()đểthực
hiệnthuậttoántrên:
functionx=gausseidel(a,b,x0,kmax)
%TimnghiemcuaheAX=BbangcachlapGauss–Seidel.
ifnargin<4
kmax=100;
end
ifnargin<3
158
x0=zeros(size(b));
kmax=100;
end
na=size(a,1);
x=x0;
fork=1:kmax
x(1,:)=(b(1,:)‐a(1,2:na)*x(2:na,:))/a(1,1);
form=2:na‐1
tmp=b(m,:)‐a(m,1:m‐1)*x(1:m‐1,:)‐a(m,m+1:na)*x(m+1:na,:);
x(m,:)=tmp/a(m,m);
end
x(na,:)=(b(na,:)‐a(na,1:na‐1)*x(1:na‐1,:))/a(na,na);
err=sqrt(x‐x0)ʹ*(x‐x0);
iferr<eps
break;
end
x0=x;
end
ifk==kmax
fprintf(ʹKhonghoitusau%dlanlapʹ,kmax);
else
fprintf(ʹHoi
tusau%dlanlapʹ,k);
end
Đểgiảiphươngtrìnhtachươngtrình
ctgausseidel.m:
b=[1‐1]ʹ;
a=[
32;12];
x0=[00]ʹ;
x=gausseidel(a,b,x0,20)
§9.PHƯƠNGPHÁPLẶPRICHARDSON
Trongcácphéplặpnóitrên,matrận[B]khôngthayđổi.Bâygiờtaxét
cácphươngpháplặpcó[B]thayđổi.Phươngphápđơngiảnnhấtlàphương
pháplặpRichardson.Tacócôngthứclặp
sau:
(k 1) (k) 1 (k)
xxPr
+−
=+α
159
Trongđóαlàthôngsốrelaxationvàsốdưr
(k)
đượctínhbằng:
(k) (k)
rbAx=−
Matrậnlặplầnklà:
1
kk
BE PA
−
=−α
Như vậy phéplặp Jacobicũng như phéplặp Gauss‐Seidel làtrường hợp
riêngcủaphéplặpRichardsonvớiα=1,P =DhayP=D+L.Ngườitađã
chứngminhlàphép
lặpRichardsonhộitụkhi:
i
2
i
2Re( )
0
λ
<α<
λ
Taxâydựnghàm
richardsoniter()thựchiệnthuậttoántrên:
functionx=richardsoniter(a,b,x,maxiter,tol)
d=eig(a);
k=length(d);
alfa1=abs(2*real(d(1))/(abs(d(1))^2));
forj=2:k
alfa=abs(2*real(d(j))/(abs(d(j))^2));
ifalfa<alfa1
alfa1=alfa;
end
end
omega=alfa1/2;
fori=1:maxiter
r=b‐a*x;
x=x
+omega*r;
ifnorm(r)<tol
break;
end
end
i
Đểgiảihệphươngtrìnhtadùngchươngtrình
ctrichardsoniter.m
clearall,clc
a=[1011;1102;2210];
b=[121314]ʹ;
