CHƯƠNG 5 TRỊ RIÊNG-VECTƠ RIÊNG - GIÁO TRÌNH TOÁN A2

Chương 5: TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG
1. Trị riêng của phép biến đổi tuyến tính:
Cho f là phép biến đổi tuyến tính trong
n
R
. Số thực
λ
được gọi là giá trị riêng
của f nếu có vectơ x
≠
0 , x
∈
n
R
sao cho f(x)=
λ
x (1)
Vectơ x thoả mãn (1) được gọi là vecto riêng của f ứng với trị riêng
λ
.
2. Trị riêng của ma trận :
Cho A là ma trận vuông cấp n . số
λ
là được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn
tại vectơ X
≠
0 sao cho AX=
λ
X .
Lúc này A gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng
λ

.
Định lí 1: Cho A là ma trận vuông cấp n.
- Số thực
λ
được gọi là giá trị riêng của A nếu thỏa mãn
phương trình:
det (A-
λ
I)=0 (3)
- Vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng
λ
là nghiệm của
hệ phương trình thuần nhất:
(A-
λ
I)X=0 (4)
+ Phương trình (3) gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A
+Vế trái của A gọi là đa thức đặc trưng của A
Định lí 2:Các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau của A thì độc lập
tuyến tính.
Định lí 3: Nếu A là ma trận tam giác cấp n, thì giá trị riêng của A là các phần tử trên
đường chéo chính.
3. Chéo hóa ma trận vuông cấp n:
-Định nghĩa 2:( ma trận đồng dạng)
Hai ma trận vuông cấp n A,B được gọi đồng dạng nếu tồn tại ma trận vuông P cấp n
(det P
≠
0) sao cho:
B=
1

P
−
AP
Khi đó ta kí hiệu A
:
B
Định lí 4: Các ma trận đồng dạng có các trị riêng giống nhau.
Định li 5:Ma trận vuông A cấp n đồng dạng với ma trận chéo nếu và chỉ nếu A có n
vectơ riêng độc lập tuyến tính
Trong trường hợp này nếu đặt P=
1 2

n
X X X
 
 
Thì
1
P
−
AP=
1
2
0 0
0 0

0 0 0
n
λ
λ

λ
 
 
 
 
 
 
 
Trong đó
1
λ
,
2
λ
, ,
n
λ
là các giá trị riêng của A (không nhất thiết phải khác biệt)
tương ứng với các vecto riêng
1
X
,
2
X
, ,
n
X
.
Định nghĩa 3: Ma trận vuông cấp n đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận có
thể chéo hóa .

Định li 6: Nếu ma trận vuông cấp n có n trị riêng khác biệt thì có thể chéo hóa được .
Các bước thực hiện việc chéo hóa ma trận vuông cấp n:
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng det (A-
λ
I)=0 tìm các giá trị riêng
1
λ
,
2
λ
, ,
n
λ
Bước 2: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính
1
X
,
2
X
, ,
n
X
của A tương ứng với
các trị riêng
1
λ
,
2
λ
, ,

n
λ
. Nếu không tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A
không thể chéo hóa được .
Bước 3: Lập ma trận vuông P=
1 2

n
X X X
 
 
.
Bước 4: Ma trận chéo D=
1
P
−
AP có các trị riêng
1
λ
,
2
λ
, ,
n
λ
trên đường chéo
chính . Thứ tự của các vectơ riêng trong ma trận P xác định thứ tự của các trị riêng trên
đường chéo chính của D.
4. Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao:
a. Ma trận đối xứng: Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A=

T
A
(có các phần tử
giống nhau đối xứng nhau qua đường chéo chính).
b. Ma trận trực giao: Ma trận vuông A gọi là trực giao nếu A không suy biến và
T
A
=
1
A
−
Tính chất của ma trận trực giao:
-
A
=
1±
-Tổng bình phương của các phần tử trên mỗi dòng (cột)bằng 1
-Tổng các tích của các phần tử trên một dòng (cột) nhân với các phần tử tương ứng trên
một dòng(cột) khác băng 0, tức là:
ij
1
0
k
kj
i
a a
=
=
∑
i,k =1,2, ,n, i

≠
k
Định lí :Với mỗi ma trận đối xứng A luôn tồn tại ma trận trực giao sao cho
1
P
−
AP là
ma trận chéo