Nhập môn lí thuyết Knot

UBND TỈNH AN GIANG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
FÕG
KHOA SƯ PHẠM
NGÀNH TOÁN











KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
ĐỀ TÀI






( CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC )

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ
( Giảng Viên Tổ Hình học-Khoa Toán- Trường ĐHSP TPHCM )
SVTH: LÊ THÀNH TUẤN








LONG XUYÊN, 5/2008
GVHD:PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khoá Luận Tốt Nghiệp 1

MỤC LỤC
FÏG

MỤC LỤC.............................................................................................................. 1
MỘT SỐ KÝ HIỆU ............................................................................................... 3
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... 4
CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN............................................................................. 6
I. ĐỒNG LUÂN ................................................................................................. 6
1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục................................................. 6
1.1. Kiến thức chuẩn bị ............................................................................ 6
1.2. Định nghĩa......................................................................................... 6
1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: ................. 7
1.4. Định lý............................................................................................... 7
2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô............................................. 8

II.NHÓM CƠ BẢN ........................................................................................... 9
1. Khái niệm đường ........................................................................................ 9
1.1. Định nghĩa.......................................................................................... 9
1.2. Định nghĩa........................................................................................ 10
1.3. Định nghĩa........................................................................................ 10
2. Đường đóng............................................................................................... 11
2.1.Định nghĩa......................................................................................... 11
2.2.Tích các đường đóng......................................................................... 11
2.3. Tính chất........................................................................................... 12
3. Không gian liên thông đường ................................................................... 13
3.1. Định nghĩa 1..................................................................................... 13
3.2. Định nghĩa 2..................................................................................... 13
3.3. Tính chất........................................................................................... 13
4. Nhóm cơ bản ............................................................................................. 13
4.1. Định nghĩa....................................................................................... 13
4.2. Định lý.............................................................................................. 14
5. Tính chất hàm tử của
1
π
............................................................................. 15
5.1 Định lý 1............................................................................................ 15
5.2 Định lý 2............................................................................................ 17
5.3. Định lý 3........................................................................................... 19
CHƯƠNG II: KNOT........................................................................................... 21
I. KNOT ........................................................................................................... 21
II. PHÉP DỊCH CHUYỂN................................................................................ 27
III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT ...................................................................... 30
IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT .......................................................... 37
V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT.......................................................... 46
CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................. 50

I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN ........................................................................... 50
1.
Định lý........................................................................................................ 50
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
2
2. Nhận xét...................................................................................................... 56
3.Hệ quả.......................................................................................................... 57
II. NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT .................................................................... 58
1. Định nghĩa ................................................................................................ 58
2. Đại diện Wirtinger của knot ..................................................................... 59
2.1.Định lý Wirtinger............................................................................... 59
2.2.Chú ý.................................................................................................. 65
3.Ví dụ .......................................................................................................... 66
3.1. Knot tầm thường............................................................................... 66
3.2. Knot ba lá......................................................................................... 66
3.3.Knot hình số 8.................................................................................... 67
Kết Luận............................................................................................................... 68
TÀI LIỆ
U THAM KHẢO………………………………………………………69

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
3

MỘT SỐ KÝ HIỆU

FÂG

Ký hiệu Giải thích



quan hệ đồng luân hay tương đương

≅
đẳng cấu

Z
tập hợp số nguyên


tập hợp số thực

[]
0;1I =⊂
đoạn đơn vị

*f g
đường nối đường
f
và đường
g

f

đường đảo ngược của đường
f

[]
f
lớp các đường đồng luân (cố định) với
f


[]
gfo
phép lấy tích hai lớp đường
[ ]
f
,

[ ]
g


[]
f
*
[ ]
g
phép nối hai lớp đường
[ ]
f
,
[ ]
g


X
Id
ánh xạ đồng nhất trên X

0
()X
π
tập các thành phần liên thông đường của X

10
(,)Xx
π
nhóm cơ bản của

0
(,)Xx



kết thúc một phép chứng minh








GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
4
LỜI NÓI ĐẦU
FÏG


Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất
biến Tôpô, tức là các tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục. Tô pô
đại số là một nhánh lớn của Tôpô mà trong đó người ta dùng công cụ đại số để khảo
sát các bất biến Tôpô. Nói một cách nôm na, Tôpô đại số là “bức tranh” đại số của
“vật thể” Tôpô.
Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tôpô học nói chung, Tôpô đại
số nói riêng. Lý thuyế
t knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng 1835-
1840. Sau đó được một học trò xuất sắc của Gauss là J. B. Listing phát triển và

nghiên cứu như là một đối tượng của Tô pô học. Trong vài ba thập niên gần đây, lý
thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Toán
học cũng như trong vật lý, cơ học. Lý thuyết knot là một bộ phận của Tô pô đại số
vì các công cụ
đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot. Bất biến đầu
tiên của một knot (với tư cách một không gian tôpô) chính là nhóm cơ bản của nó.
Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức
Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman). Hệ các bất biến của knot sẽ giúp
chúng ta phân loại tô pô các knot.
Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết đị
nh
chọn nó làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những
kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh
vực này.
Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa
trên sự mô tả hình học. Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đó
là nhóm c
ơ bản.
Ngoài lời nói đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm ba chương :
1.

Chương I : Nhóm cơ bản
Trong chương này ta trình bày lại một số định nghĩa cơ bản của tôpô đại số
như đồng luân, nhóm cơ bản,…Đồng thời khảo sát một số tính chất của hàm
tử
( )
π
1
X
.

2.

Chương II : Knot
Phần này dành để định nghĩa thế nào là một knot và mô tả hình ảnh cụ thể
của nó trong thực tế bằng ngôn ngữ hình học thông thường. Đồng thời đưa ra
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
5
một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của
một link,…
3.

Chương III : Nhóm cơ bản của knot
Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số-
định lý Van-Kampen. Từ đó chứng minh định lý Wirtinger làm công cụ để
tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản.
Lý thuyết knot là một lý thuyết khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề,
nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nó đang là một đề
tài
nóng bỏng được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi
nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khó trách khỏi những thiếu xót, rất
mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè đồng môn.
Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ bộ môn Toán
những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hôm nay em có cơ
hội
được thực hiện đề tài này .
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ
Lê Anh
Vũ
đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá

trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả
nhưng không có điều kiện liên hệ, thông qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác
giả.
Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như
giúp đỡ em để đề
tài nghiên cứu được hoàn thành.

Long Xuyên, tháng 5 năm 2008
Tác giả






GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
6

CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN

Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về
quan hệ đồng luân
trên không gian các
ánh xạ liên tục
[ ]
,CXY
. Để từ đó đi đến việc giới thiệu sơ lược về một vấn đề cơ
bản của tôpô đại số -
nhóm cơ bản.

Kết thúc chương bằng việc tìm hiểu các tính
chất của nhóm cơ bản.

I. ĐỒNG LUÂN
1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục
1.1. Kiến thức chuẩn bị
Bổ đề dán :
Giả sử không gian tôpô X là hợp hữu hạn các tập đóng của nó (
X =
U
n
i
i
F
1=
) và
:
i
i
FY
f
→
là một họ các ánh xạ liên tục (
ni ,1=
) mà
( ) ( )
FF
f
FF
f

ji
j
ji
i
∩=∩

nji ,1, =∀
. Khi đó ánh xạ f : X
→
Y xác định bởi :
()
i
f F
=
,( 1, )
i
f in=
là ánh xạ liên tục.
1.2. Định nghĩa
Cho
X
và
Y
là hai không gian tôpô. Xét hai ánh xạ liên tục:
:
→
f XY

: →gX Y

Ta nói

f
đồng luân với
g
bởi phép đồng luân
F
( kí hiệu:
()F
f g

) nếu tồn tại ánh
xạ liên tục:
:
×→
F XI Y
(với
[ ]
0,1
=
I
) sao cho
( ) ( )
() ()
,0
,1
=
⎧
⎪
⎨

=
⎪
⎩
F xfx
F xgx

Ví dụ
: Xét
X
là không gian tôpô,

Y
là tập con lồi của
n
R
( tức nếu
y, z
thuộc Y thì toàn bộ đoạn thẳng nối
y và z nằm hoàn toàn trong Y ).
Xét các ánh xạ liên tục sau:
: →
f XY
;
:
o
y
cX Y→


o

x y
a

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
7
Khi đó ta có:
()
o
F
y
f c

.
Thật vậy: Xét ánh xạ:
: × →F XI Y
xác định như sau:
( ) ( ) ( )
,1. ., ,=− + ∀∈ ∀∈
o
F xt t f x ty x X t I

hiển nhiên ta có:
•
F
liên tục.
•
( ) ( )
,0 =F xfx
.

•
( ) ( )
,1
o
y
F xcx=
.

1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục

Hình (a) là trường hợp
f, g
đồng luân. Hình (b)là trường hợp
f, g
không
đồng luân. Hay một cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục
f, g
gọi là đồng luân
nếu
f
có thể biến đổi một cách liên tục thành
g
.

1.4. Định lý
Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương trên không gian
[ ]
,CXY

các ánh xạ liên tục từ
X
đến
Y
( với
X
,
Y
là các không gian tôpô bất kì ).
Y
X
f
g
(a)
Y
X
f

g
(b)
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
8
Chứng minh
•
Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ và tính đối xứng của quan hệ đồng luân.
Thật vậy : ta có
()F
f f

với
( ) ( )
,,= ∀∈
F xt f x x X
;
It ∈∀

() ()FG
f ggf⇒

với
( ) ( )
,,1
Gxt Fx t
= −
,xX tI∀ ∈∀∈

Vì

G(x,0) = g(x) = F(x,1)


G(x,1) = f(x) = F(x,0).
•
Tính bắc cầu :
Giả sử ta có :
()

F
f g
và
()

H
gh
ta sẽ chứng minh:
()H
f h


Xét ánh xạ
:
×→HX I Y


( ) ( )
,,x tHxt
a

xác định như sau:
()
()
()
1
,2 , 0
2
,
1
,2 1 , 1
2
Fx t t
Hxt
Gx t t
⎧
≤ ≤
⎪
⎪
=
⎨
⎪
− ≤≤
⎪
⎩

Dễ thấy
H
liên tục vì
() () ( )
11

,,1 ,0,
22
Hx Fx gx Gx Hx
⎛⎞ ⎛⎞
=== =
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Đồng thời :
( ) ( ) ( )
,0 ,0 ,
Hx Fx fx x X==∀∈
;
( ) ( ) ( )
,1 ,1 ,Hx Gx hx x X==∀∈
;
Nên ta có :
()H
f h


Vậy ta có điều phải chứng minh.


2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô
Cho
X
,
Y
là hai không gian tôpô. Ta nói

X
đồng luân với
Y
(kí hiệu:
XY

) nếu tồn tại các ánh xạ
f
và
g


:
:
f XY
gY X
→
→

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
9
sao cho :
•
f
,
g
liên tục.
•
Y

f gIdo
.
•
X
gf Ido
.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng :
Nếu
X
và
Y
là hai không gian
đồng phôi
thì chúng cũng sẽ là hai không
gian
đồng luân
.

Thật vậy, gọi
:
f XY→
là một song ánh liên tục thì ta có:
1
YY
f fIdId
−
=o

1
X X

f fId Id
−
=o

Do đó :
XY

.
Điều ngược lại thì nói chung là không đúng. Chẳng hạn : R
n
và
{}
0
là đồng luân vì
tồn tại các ánh xạ
{ }
0: →
n
Rf
và
{ }
n
Rg →0:
thỏa mãn :
n
R
gf Id=o


0ax

xa0

và
{}
0
f gId=o
nhưng
n
R
và
{ }
0
không đồng phôi vì tập hợp của chúng không
cùng lực lượng.

Vì vậy, phân loại ( cùng kiểu ) đồng luân là phân loại thô hơn phân loại đồng
phôi ( đồng luân “yếu” hơn đồng phôi ) nên mọi bất biến đồng luân càng là bất biến
đồng phôi. Chính vì thế, ta hy vọng sẽ dễ dàng xét các bất biến đồng phôi thông qua
bất biến đồng luân bằng công cụ đại số.

II.NHÓM CƠ BẢN
1. Khái niệm đường
1.1. Định nghĩa
Cho không gian tôpô X, x,y
∈
X,

[ ]
0,1

I
= ∈
 với tôpô cảm sinh từ tôpô tự
nhiên của

. Ánh xạ liên tục
XIf →:
sao cho
(0)x f=
,
(1)yf=
được gọi là
một đường trong X nối x và y ( hình vẽ ). Điểm x gọi là điểm đầu, y gọi là điểm
cuối.

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
10






Ví dụ : x,y
n
∈

. Ánh xạ liên tục : sao cho
() (2 ) (1 )f tt ty tx= −+−

là
một đường trong
n

nối x và y vì
(0)f x=
và
(1)f y=
.
1.2. Định nghĩa

Cho ánh xạ
XIf →:
là một đường trong X nối x và y. Đường
XIf →:

xác định bởi :
)1( tff −=
được gọi là đường đảo ngược của đường
f
nối y và x .






1.3. Định nghĩa

Cho hai đường

XIgf →:,
thỏa mãn
( ) ( )
01
gf =
. Ánh xạ
XIh →
:
xác định
bởi :

⎩
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
=
12/1),12(
2/10),2(
)(
ttg
ttf
th

thì
h
là ánh xạ liên tục và được gọi là đường nối hai đường
f
với
g

. Kí hiệu :
*
hfg
=
.





:
n
fI→ 
X
x
y
I
f

0 1
I
f
X
x
y
0 1
X
z
x
y

I
g
f

0 1
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
11
2. Đường đóng

2.1.Định nghĩa
- Ánh xạ liên tục
:
f IX
→
sao cho :
( ) ( )
0
01
f fx
= =
được gọi là một
đường đóng
tại
0
x
.

- Với hai
đường đóng
f
và
g
tại
0
x
, ta nói
f
tương đương với
g

khi
f

đồng luân với
g
, kí hiệu :
f g

. Lớp tương đương đồng luân của
đường đóng

f

được kí hiệu là
[ ]
f

.
- Ta đặt
()
10
,
Xx
π
là lớp tương đương đồng luân các
đường đóng
tại
0
x

()
10
,(,)
Xx CIX
π
=

=
[ ]
{
f
/
f
là đường đóng tại
}
0
x

.
2.2. Tích các đường đóng
Cho
f
và
g
là hai đường đóng tại
0
x
trong
X
. Ta định nghĩa
tích
f g
∗
như sau:
:
f gI X
∗→

()
()
()
1
2 ;0
2
1
21; 1
2
ft t

fgt
gt t
⎧
≤ ≤
⎪
⎪
∗=
⎨
⎪
− ≤≤
⎪
⎩






f
0 1
0
x

X

X

0 1
f
0

x

f g
∗

g
I
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
12

f*g
là đường đóng trong X nối hai đường
f
và
g .



2.3. Tính chất

Nếu
11
,, ,
f gfg
là các đường đóng tại
0
x
và
1

1
f f
gg
⎧
⎨
⎩


thì
11
f gfg
∗∗

.

Chứng minh :
Giả sử
()
1
()
1
F
G
f f
gg
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩



( do
1
1
f f
gg
⎧
⎨
⎩



)
Khi đó, dễ thấy, tại
0
tI∈
thì
( ) ( )
00
,, ,
F xt G xt
là các đường đóng tại
0
x
.
Thật vậy : ta xét
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
→×
→
→
YIXF
YXf
YXf
:
:
:
1
thì ta có :
1
0
(0) , 0
(, )
(1) , 1
ft
Fxt
f t
=
⎧
=
⎨
=
⎩

mà
1

,f f
là các đường đóng tại
0
x
nên suy ra
),(
0
txF
là đường đóng tại
0
x
.
Tương tự
1
0
(0) , 0
(, )
(1) , 1
gt
Gxt
gt
=
⎧
=
⎨
=
⎩

mà
1

,gg
là các đường đóng tại
0
x
, nghĩa là:

110
0
(0) (1)
(0) (1)
ggx
ggx
==
==

⇒

10
0
(,0) (0)
(,1) (1)
Gx g x
Gx g x
= =
==

nên suy ra
0
(, )Gxt
là đường đóng tại

0
x
.
Ta xây dựng ánh xạ
:
HI I X× →

thỏa mãn
( ) ( ) ( )
,,,,,
Hxt Fxt Gxt x I t I
=∗ ∀∈∀∈

Dễ thấy :
•

∀∈
tI
,
( )
,Hxt
là một đường đóng tại
0
x

•

H
liên tục trên
×

II
( theo bổ đề Dán )
•

11
(,0) (,0)* (,0) * ()H xFxGx fgxxI==∀∈

•

( ,1) ( ,1) * ( ,1) * ( )H xFxGx fgxxI==∀∈

Vậy
()
11
H
f gfg∗∗

.


GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
13
Từ tính chất trên ta xây dựng phép toán trên
( )
10
,
Xx
π
như sau:

( ) ( ) ( )
1010 10
(): , , ,
Xx Xx Xx
π ππ
∗×→


[ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
, f gfgfg∗ =∗a

gọi là phép nối tiếp hai đường đóng trên
( )
10
,Xx
π
.

3. Không gian liên thông đường

3.1. Định nghĩa 1
Không gian tôpô X được gọi là không gian liên thông đường (hay còn gọi là
không gian liên thông tuyến tính) nếu mọi cặp điểm
Xxx
∈
10
,
đều được nối với

nhau bằng một đường nào đó trong X.
3.2. Định nghĩa 2

Tập con Y của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông đường nếu Y là
liên thông đường với tôpô cảm sinh từ X .
3.3. Tính chất

Không gian liên thông đường có các tính chất sau :
- Cho X,Y là hai không gian tôpô đồng phôi. Khi đó X liên thông đường khi
và chỉ khi Y liên thông đường.
- Giả sử
{ }
j
X
Jj∈
là một họ các tập con liên thông đường của không gian
tôpô X. Nếu
j
jJ
X
φ
∈
≠
I
thì
U
Jj
j
X
∈

cũng liên thông đường.
- X,Y liên thông đường
YX ×⇔
liên thông đường.
- Mọi không gian liên thông đường đều liên thông.

4. Nhóm cơ bản
4.1. Định nghĩa
()
10
,
Xx
π
cùng với phép toán (*) trên nó tạo thành một nhóm và nhóm đó
được gọi là nhóm cơ bản của
X
tại
0
x
(
0
x
được gọi là điểm cơ sở).
Chứng minh
:
Ta dễ dàng kiểm tra những tính chất sau đây:
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
14
•

[ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
f ghf gh∗∗=∗∗

•

()
0
10
,
x
Xx
ec
π
⎡⎤
=
⎣⎦

•

[]
()
[ ]
1
10
,f Xx f f
π

−
⎡ ⎤
∀∈ ⇒∃ =
⎣ ⎦
sao cho

[ ] [ ] [ ] [ ]
0
11
x
f fffc
−−
⎡ ⎤
∗=∗=
⎣ ⎦

với
:f IX→


( ) ( )
1x fx f x=−a

Do vậy nên ta có
( )
10
,Xx
π
là một nhóm với
0

[]
x
c
là phần tử đơn vị, phần tử
nghịch đảo của một đường đóng chính là đường đóng đó nhưng lấy theo chiều
ngược lại.



4.2. Định lý
Cho
01
,
x xX
∈
. Giả sử tồn tại đường liên tục

:uI X→
sao cho
( ) ( )
01
0 ;1uxux= =

Khi đó ta có:
( ) ( )
1011
,,Xx Xx
π π
≅
.

Chứng minh
:
Xét ánh xạ
() ( )
10 11
:, ,uXx Xx
π π
∗
→


[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
**f uf u f u
∗
⎡⎤
=
⎣⎦
a

với
:
uI X
→


( ) ( )
1
x ux u x

=−
a

Ta chứng minh
*
u
là một đẳng cấu. Thật vậy:
(i)

Với mọi
[]
),(
11
xXg
π
∈
ta có :

[] [][] []
()
*** *guuguu
⎡⎤ ⎡⎤
=
⎣⎦ ⎣⎦
=
[ ] [ ]
( )
[ ]
****uuguu
⎡⎤

⎣⎦
=
[][]
()
*
**uu g u
⎡ ⎤
⎣ ⎦

(
[][]
()
10
** (,)u g uXx
π
⎡⎤
∈
⎣⎦
vì nếu H là phép đồng luân của những đường đóng tại
1
x
trong
),(
1
xX
thì
uHu **
là phép đồng luân của những đường đóng tại
0
x

trong
),(
0
xX
).
Suy ra
*
u
là toàn ánh (1).
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
15
(ii)

Với mọi
[ ] [ ]
10
,(,)f gXx
π
∈
sao cho
*
u
[ ]
( )
[ ]
()
*
f ug=
thì

[][] [ ] [ ]
** **ufuugu
⎡⎤ ⎡⎤
=
⎣⎦ ⎣⎦

[] [][]
( )
[] [][]
( )
[]
()
[] []
()
[]
()
[] []
()
[] []
**** ****
**** ****
uufuuuuguu
uu
f uu uu g uu
fg
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
⇒=
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
⇒=

⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
⇒=

Suy ra
*
u
là đơn ánh (2).
(iii)

Với mọi
[][]
11
,(,)f gXx
π
∈
thì :
[]
()
[]
()
[ ] [ ]
()
[ ] [ ]
( )
[] []
()
[][]
**
******
** * **

uf ug u f u u gu
uf uu gu
⎡⎤ ⎡⎤
=
⎣⎦ ⎣⎦
⎡⎤ ⎡⎤
=
⎣⎦ ⎣⎦

=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
*
*** *ufguufg
⎡⎤
=
⎣⎦
.






Vậy
*
u
là đồng cấu (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra
*

u
là đẳng cấu hay
( ) ( )
1011
,,Xx Xx
π π
≅
.
 Từ định lý trên ta có:
Nếu
X
liên thông đường thì
( ) ( )
1011
,,Xx Xx
π π
≅
.
Do đó ta đi đến khái niệm nhóm cơ bản của một không gian
X
liên thông đường.
Ta kí hiệu :
()
1
X
π
.
5. Tính chất hàm tử của
1
π

5.1 Định lý 1
Cho
X
và
Y
là hai không gian tôpô.
(i) Xét ánh xạ liên tục:
:f XY→

( )
00 0
x yfx=
a

X

0
x

1
x

u

u

f

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN

Khóa Luận Tốt Nghiệp
16
Khi đó,
f
cảm sinh một đồng cấu nhóm
( ) ( )
10 10
:, ,f Xx Yy
π π
∗
→

(ii)
( )
()
10
,
X
X x
Id Id
π
∗
=

(iii) Với
:;:f XYgYZ→→
là các ánh xạ liên tục;
0
x X
∈

,
( )
00
yfxY=∈
,
( ) ( )
000
zgfx gy Z==∈o
ta có
[ ]
**
*
fgfg
oo
=
.
Tức là tam giác sau giao hoán:


Chứng minh

(i)

Ta xây dựng
f
∗
như sau:
( ) ( )
10 10
:, ,f Xx Yy

π π
∗
→


[ ] [ ]
( )
[ ]
lflfl
∗
=ao





Ta có:
[ ] [ ]
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
[][] []
()
[]
()
12 12 12 1 2
121 2

f ll fll fll fl fl

fl fl f l f l
∗∗
∗∗
∗= ∗= ∗= ∗
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎣ ⎦⎣ ⎦
=∗= ∗
ooo
oo

Vậy
f
∗
là đồng cấu nhóm.
(ii) Theo cách xây dựng
f
∗
thì ta có:
f
∗

( )
10
,Xx
π

( )
10
,Yy
π

g
∗

()
gf
∗
o

f
X Y
0
x

0
y

0 1
f l
o

l

( )
10
,
Z z
π

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN

Khóa Luận Tốt Nghiệp
17

( ) ( )
[ ] [ ]
XX
Id l Id l l
∗
==
o

Do đó nên ta có :
( )
()
10
,
X
X x
Id Id
π
∗
=

(iii) Trước hết ta xét bổ đề sau:
Cho
,:f gX Y→
,
:hY Z→
là các ánh xạ liên tục và
()


F
f g

Khi đó ta có
hf hg
oo
.
Thật vậy với mỗi
[ ]
0,1t ∈
ta xét ánh xạ

:GX I Z×→
thoả
( ) ( )
( )
,,Gxt hFxt=

Hiển nhiên ta thấy :
•

G
liên tục ( do h liên tục ).
•

() ()
()
( )
( )

( )
,0 ,0Gx hFx hf x h f x===o
.
•

() ()
()
( )
( )
( )
,1 ,1Gx hFx hgx h gx===o .
Do đó
()
G
hf hg
oo

. Vậy bổ đề được chứng minh.


Trở lại phép chứng minh (iii)
[]
()
10
,lXx
π
∀∈
, ta có:

()

[]
()
() ( )
gf l gf l g fl
∗
==
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
ooooo

()
[]
()
[]
( )
( )
gf l g f l gf l
∗
⎡ ⎤
⎡⎤
== =
⎡⎤
⎣⎦
⎣⎦
⎣ ⎦
oo

[]
()
[ ]

( )
( )
( )
[ ]
( )
gf l gf l g f l
∗∗∗ ∗∗
⎡⎤
===
⎣⎦
oo

Do vậy nên
()
gf g f
∗∗
∗
=oo
.


5.2 Định lý 2
(i) Cho
X
và
Y
là hai không gian đồng phôi. Khi đó ta có:

()( )
1010

,,Xx Yy
π π
≅
.
(ii) Cho
X
và
Y
là hai không gian bất kì thì ta có :

()
()
( ) ( )
1001010
,, , ,XYxy Xx Yy
πππ
×≅⊕
Chứng minh

(i) Do
XY
≈
nên tồn tại song ánh liên tục:f XY→
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
18
Xét ánh xạ cảm sinh
( ) ( )
10 10
:, ,f Xx Yy

π π
∗
→


[ ] [ ]

X X
lflao


( ) ( )
10 1 0
:, ,f Yy Xx
ππ
∗
→


[ ]
1

YY
lfl
−
⎡ ⎤
⎣ ⎦
ao

Dễ thấy:

()
()
()
()()
()
π
π
−−
∗∗ ∗ ∗∗
−
∗∗ ∗ ∗∗
⎧
⎡⎤⎡ ⎤
⎡⎤ ⎡⎤
===⇒=
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦⎣ ⎦
⎪
⎨
⎡⎤
⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤
== =⇒=
⎪
⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎩
ooooo
ooooo
10
10

11
,
1
,
YYYY
Yy
XX XX
Xx
ffl f f l ff l l ff Id
ffl f fl f fl l ff Id

Ta chứng minh đồng cấu cảm sinh
*
f
là một đẳng cấu.
Thật vậy :

⊕
Với
[ ]
*
Kerfl
X
∈
ta có
[ ]
( )
[ ]
ε
=

X
lf
*
(với
[ ]
ε
là phần tử đơn vị của
),(
01
yY
π
).

[][] []
()
[ ]
( )
[ ]
[ ]
( )
[][]
ε
εεε
=⇒
=⇒=⇒=⇒
X
XXX
l
flffflfflf
*

**
oooo

Suy ra
*
f
là đơn cấu. (1)

⊕
Với mọi
[]
),(
01
yYl
Y
π
∈
ta có :

[][] []
( )
**
*
YYY
lfflffl
⎡⎤ ⎡ ⎤
==
⎣⎦ ⎣ ⎦
o

(
10
[](,)
Y
f lXx
π
∈o
vì nếu
Y
l
là phép đồng luân của các đường đóng tại
0
y

trong
),(
0
yY
thì []
Y
f lo
là phép đồng luân của các đường đóng tại
0
x
trong
),(
0
xX
).
Do đó

*
f
là toàn cấu. (2)
Từ (1), (2) suy ra
f
∗
là đẳng cấu hay
( ) ( )
1010
,,Xx Yy
π π
≅
.


(ii) Xét ánh xạ:
( )
( )
( ) ( )
1001010
:,, , ,
XYxy Xx Yy
θπ π π
×→⊕


[ ] [ ] [ ]
( )
12
,

lll
ρρ
ao o

trong đó :

()
()
1
2
:
,
:
,
XY X
xy x
XY Y
xy y
ρ
ρ
×→
×→
a
a

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
19
Dễ thấy
θ

là một song ánh và đồng thời là một đồng cấu.
Do vậy nên ta có:
( )
()
( ) ( )
1001010
,, , ,XYxy Xx Yy
πππ
×≅⊕
.


5.3. Định lý 3
(i) Nếu
,:f gX Y→
là các ánh xạ liên tục và
()
F
f g

thì ta có
f g
∗∗
=
.

(ii) Nếu
X
và
Y

là hai không gian liên thông đường và
XY

thì ta có

() ( )
11
XY
π π
≅
.
Chứng minh
(i) Với mỗi
[]
0,1
t
∈
xét ánh xạ
:
FXI Y
∗
× →
thoả
( )()
()
,,
Fxt Flxt
∗
= .
Hiển nhiên ta thấy:

•

F
∗
liên tục.
•

() ()
()
( )
( )
( )( )
,0 ,0
Fx Flx flx fl x
∗
===
o
.
•

() ()
()
( )
( )
( )( )
,1 ,1
Fx Flx glx gl x
∗
===
o

.
Do đó
()F
f lgl
∗
oo

hay nói cách khác
f g
∗ ∗
=
.
(ii) Do
XY

nên tồn tại các ánh xạ liên tục :

:
:
f XY
gX Y
→
→

thỏa mãn tính chất:

Y
X
f gId
gf Id

⎧
⎨
⎩
o
o

Khi đó ta có :

( ) ( )
()
()()
()
1
1
YY
Y
XX
X
f g Id f g f g Id Id
g f Id g f g f Id Id
π
π
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
⇒= ==
⇒= ==
o o o
o o o

Vậy ta có
( ) ( )
11
:
f XY
π π
∗
→
là đẳng cấu (theo phần chứng minh định lý 2i).
Do đó nên
( ) ( )
11
XY
π π
≅
.




GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
20


Tóm lại, chương này chúng ta đã xây dựng thế nào là hai không gian
đồng luân. Từ đó nêu lên mối liên hệ giữa quan hệ đồng luân và đồng phôi:
mọi không gian đồng phôi thì cùng kiểu đồng luân. Mặc khác chúng ta cũng đã
xây dựng định nghĩa nhóm cơ bản của không gian tôpô X tại điểm

0
x
bằng
phép toán nối các đường đóng trên
( )
10
,
Xx
π
.
Qua đó cho ta thấy được rằng
nhóm cơ bản là một bất biến tôpô thông qua việc chứng minh nó là bất biến
đồng luân, tức là hai không gian cùng kiểu đồng luân thì có các nhóm cơ bản
đẳng cấu (điều này cho phép chứng minh tính không đồng phôi của hai không
gian tôpô bằng cách chỉ ra nhóm cơ bản của chúng là không đẳng cấu).

GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
21


CHƯƠNG II: KNOT


Trong phần này ta sẽ nghiên cứu
knot (nút)
– hình ảnh của một knot dây
trong thực tế. Qua đó ta đi đến các khái niệm liên quan như
cung, crossing,
ảnh đối xứng, tích liên thông, mã số,
….


I. KNOT
1. Định nghĩa
1.1. Sự hiểu biết trực quan về knot
Ta lấy một sợi dây rồi thắt một cái gút lỏng trên nó, sau đó nối hai đầu sợi
dây lại ta sẽ được một knot.

Ta hiểu một cách trực quan ban đầu: knot là một đường cong đóng có thắt
gút trong không gian mà nó không cắt nhau tại bất cứ chỗ nào trên nó .
Cùng một knot có rất nhiều hình ảnh khác nhau biểu diễn nó (chẳng hạn như
các hình bên dưới biểu diễn cho cùng knot hình số 8).


Sau đây là cách định nghĩa knot thông qua công cụ tôpô ( phép đồng phôi ).
1.2. Định nghĩa


Một không gian con K của
3
R
được gọi là một knot nếu nó là ảnh đồng phôi
của đường tròn
1
S
. Tức là :
(K là knot)
⇔
(
1
:
f SK
∃ →
là một phép đồng phôi).
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
22
1.3. Ví dụ

Xét
11
:Id S S→

Hiển nhiên
Id
là một phép đồng phôi từ
1
S
lên
1
S
. Do đó ta có
1
S
là một knot. Ta
gọi
1
S
là knot tầm thường ( unknot ).





1.4. Nhận xét

•

Một knot là một đường đóng trong

3
R
.
•

Mọi knot trong
3
R
đều đồng phôi với nhau.
Một vài knot thường gặp
:







Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào chúng ta có thể biết được những knot có
hình biểu diễn khác nhau có phải là những knot khác nhau hay không? Để làm rõ
điều này ta sẽ đi tìm hiểu về đồ thị của knot.

2. Đồ thị của knot
Những hình vẽ dùng để biểu diễn cho knot được gọi là
đồ thị của knot
,
nó là
đại diện trong
2
R

của một vật thể ba chiều.
2.1. Định nghĩa


Knot ba lá
Knot hình số 8
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
23
Một đồ thị của knot trong
2
R
được tạo thành từ một số hữu hạn các cung và
các
crossing
(nơi giao nhau giữa cung dưới và cung trên). Tại mỗi crossing, ta
thu được thông tin về sự chênh lệch độ cao giữa hai cung tương ứng trên knot.




2.2. Chú ý
2.2.1
. Trong đồ thị của một knot
không tồn tại
những hình ảnh sau:

2.2.2
. Trong một đồ thị nếu ta bỏ qua ý nghĩa của crossing thì khi đó đồ thị
trở thành một

vết
trong
2
R
.




2.3. Nhận xét
2.3.1.
Một knot có thể được biểu diễn bởi nhiều đồ thị khác nhau. Chẳng
hạn như ta có ba đồ thị biểu diễn của knot hình số 8.

đồ thị
vết
Cung trên
Cung dưới
Cung dưới
crossing
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp
24
2.3.2.
Số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn một knot
được gọi là
số crossing của knot
đó và được kí hiệu là c(K).
2.3.3
. Dễ thấy rằng không có knot nào có số crossing là 1 và 2. Vì nếu một

knot có một crossing thì nó sẽ có dạng giống như một trong các hình sau.





Khi đó ta có thể dễ dàng tháo crossing đơn này để thu được knot tầm thường.
2.3.4.
Một đồ thị của knot K với số crossing bằng c(K) được gọi là
đồ thị
tối tiểu
của nó.


Ta thấy
1
D
và
2
D
đều là những đồ thị biểu diễn knot 3 lá nhưng số crossing của
1
D

lớn hơn số crossing của
2
D
. Đồng thời do (3) nên
2
D

được gọi là đồ thị tối tiểu của
knot ba lá.
2.4. Ví dụ








1
D

2
D

c(K) =8
c(K) =5
c(K) =8