Một số phương pháp giải bài toán số chính phương

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Lời nói đầu
Muốn giải toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản, còn phải vận
dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khó . Chúng ta thấy bài
tập thì rất nhiều, rất đa dạng, làm thế nào và làm đến đâu thì vừa. Có thể xếp các
bài toán theo những dạng chủ yếu không? Đứng trớc một bài toán có thể xẹm xét
nó thuộc dạng toán nào, vằ có phơng pháp nào giải không? Từ đó mà biết cần vận
dụng kiến thức gì và giải nó theo trình tự nào?
Các bài toán về số chính phơng là một trong những mảng kiến thức khó của
toán số học . Bởi học sinh trụng học cơ sở chỉ có khái niệm cơ bản về số chính ph-
ơng, cha có công cụ để giải vấn đề đó một cách tờng minh. Do đó tôi thiết nghĩ
mình phải tìm ra một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh
học toán số học, thông qua đó giúp đợc các em giải quyết đợc vấn đề này trong các
kì thi, nhất là kì thi học sính giỏi sắp tới. Qua đây mong sao các em học sinh và đội
ngũ giáo viên giảng dạy có đợc một số phơng pháp suy nghĩ để tìm cách giải các
bài toán Số chính phơng. Hy vọng vấn đề trên góp phần xây dựng một phần nền
móng toán học cấp THCS, tạo đà tốt cho các em học tiếp các chơng trình toán học
cao hơn.Đề tài này tôi đã viết rất thận trọng nhng không tránh khỏi thiếu sót, bản
thân tôi rất mong sự chỉ bảo của độc giả.

Xin chân thành cảm ơn sự góp ý của các độc giả.
Tháng 3 năm 2013
1
Kinh nghiệm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Phần I. Đặt vấn đề.
1. Cơ sở lý luận.
Toán học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông nó là nền
móng cho nhiều nghành khoa học khác. Đối với học sinh khá và giỏi môn toán,
học toán hay giải toán là yếu tố thờng nhật trong mọi hoạt động và suy nghĩ. vì
vậy vấn đề bồi dỡng cho học sinh có khả năng t duy sáng tạo, liên hoàn vận

dụng tôt các kiến thức lý thuyết đã học và phát huy tố năng lực của cá nhân là
một vấn đề rất đợc coi trọng và cũng chẳng đơn giản dể dàng gì.
Để quá trình dạy bồi dỡng cho học sinh có kết quả tốt hơn, có chất lợng cao,
ngời thầy phải nắm chắc chơng trình bồi dỡng, vấn đề nào cơ bản trọng tâm, vấn
đề nào cần trình bài kĩ hay lớt qua và đặc biệt phải có một kế hoạch cụ thể, th-
ờng xuyên, liên tục ôn luyện cho cả thầy và trò. Ngời học sinh giỏi toán trớc hết
phải nắm vững kiến thức cơ bản để dựa vào đó suy luận và phát triển thành kiên
thức mới của mình.
Học toán hay giải toán là yêu cầu thờng xuyên trong mọi hoạt động và suy
nghĩ. Để có thể học tốt môn toán hay giải đợc các bài toán, đòi hỏi phải có cái
nhìn hệ thống về mặt kiến thức, áp dụng vào các dạng toán với lời giải đúng
tránh những sai lầm thiếu sót. Hơn nữa để vận dụng giải đợc nhanh ta phải huy
động đợc ngay các kiến thức liên quan đến dạng bài toán đó. Từ đó không
những giúp ta giải quyết tốt bài toán mà còn có thể phát triển sáng tạo thêm các
bài toán mới có phơng pháp giải hoàn toàn tơng tự, đó là công cụ sắc bên nhất
cho ngời học toán.
2. Cơ sở thực tiển.
Là một giáo viên dạy toán, tôi luôn băn khoăn, trăn trở làm thế nào cho học sinh
nắm đợc các phơng pháp giải toán, có hệ thống và vận dụng sắc bén các kiến
thức vào giải các bài toán để có kết quả cao trong các kì thi sắp tới. bởi vậy tôi
luôn thấy đợc trách nhiệm của mình là không ngừng học hỏi, tìm tòi ở đồng
nghiệp, tài liệu tham khảo, tạp chí để hớng dẫn học sinh biết huy động
2
Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
những kiến thức liên quan khi nhận ra dạng bài toán giải đợc cách nhanh nhất, hợp
lý nhất.
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh , tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao
tay nghề , học hỏi đồng nghiệp và những ngời có kinh nghiệm . tôi nhận thấy trong

việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức khó mà học sinh cần phải
biết thêm hơn nữa nh : Các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số , dãy số viết theo
quy luật ,đặc biệt là các bài toán số chính phơng. Đây là dạng toán khó đối với
học sinh THCS . Học sinh rất khó hiểu khi đứng trớc dạng toán này, học sinh rất
lúng túng khi tìm ra phơng pháp giải .
Trong các vấn đề thi học sinh giỏi cũng nh các đề thi vào các trờng chuyên THPT
có rất nhiều bài toán liên quan đến số chính phơng. đối với học sinh khá giỏi nói
riêng và học sinh THCS nói chung khi giải một bài toán về số chính phơng các em
gặp rất nhiều khó khăn . Để giúp các em khắc phục đợc khó khăn đó, tôi mạnh dạn
đa ra Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng . Hy vọng nó giúp đợc
các em trong việc giải loại toán này.
3.Mục đích nghiên cứu
Với bản thân tôi là một giáo viên dạy toán bậc THCS tôi đi sâu nghiên cứu
vấn đề trên, để góp phần nhỏ trong cách định hớng , phơng pháp nhận biết , nhận
dạng từng bài toán số chính phơng và giúp cho giáo viên lựa chọn phơng pháp
hợp lí , phù hợp với từng bài, từng đối tợng học sinh để giúp cho giáo viên và học
sinh giải quyết tốt vấn đề này, nhằm mục đích góp phần đào tạo nhân lực , bồi d-
ỡng nhân tài phục vụ cho đất nớc trong thời kì công nghiệp hóa - hiện địa hóa.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Cơ sở lý thuyết về số chính phơng.
- Cách vận dụng lý thuyết vào từng phơng pháp cụ thể
- Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng. Mỗi phơng pháp cần giải
quyết một số bài toán cụ thể và bài toán tơng t
5. Đối tợng nghiên cứu
Truyền đạt một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh
THCS
6.Thời gian nghiên cứu
Bắt đầu tháng 9 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013
7.Phơng pháp nghiên cứu
+ Phơng pháp đọc sách

+ Phơng pháp nghiên cứu tài liệu
+ Phơng pháp đúc rút kinh nghiệm của giáo viên
+ Phơng pháp khảo sát học sinh
3
Kinh nghiêm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
phần ii : nội dung
Nằm trong khuôn khổ của vấn đề cần đề cần đề cập nên phạm vi bài viết chỉ nêu
một số kiến thức cơ bản đợc rút ra từ số chính phơng để vận dụng trong mỗi bài
toán cụ thể của phần áp dụng giải toán . Để giúp giáo viên và học sinh ở cấp THCS
giải một số bài toán Số chính phơng
i.các kiến thức về lí thuyết
1.Định nghĩa :
Số chính phơng là bình phơng đúng của một số tự nhiên.
2. Các tính chất :
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên
tố với số mũ chẵn , không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
- Số chính phơng chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
- Số chính phơng chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
- Số chính phơng chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25
-Số chính phơng chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
-Số lợng các ớc của một số chính phơng là số lẻ . Đảo lại, một số có số lợng các ớc
là số lẻ thì số đó là số chính phơng.
-Tận cùng của một số chính phơng là một trong các số sau : 0; 1; 4; 5; 6; 9
-Số chính phơng không có tận cùng là các số: 2; 3; 7 ; 8
-Số chính phơng có tận bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn
-Số chính phơng có tận bằng 5 thì chữ số hàng chục là số 2
-Số chính phơng khi chia cho 3 có số d là 0 hoặc 1
- Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1. Còn một số khi chia cho 4 có
số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng.

Chứng minh : Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1. Còn một số khi
chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng.
C M :Với a làsố nguyên, a có dạng a = 2k hoặc a = 2k + 1 ( k C Z )
Với a = 2k suy ra a
2
= 4k chia hết cho 4
Với a = 2k + 1 suy ra a
2
= 4k
2
+ 4k + 1`chia cho 4 có số d là 1
Vậy với a = 4n hoặc a = 4n + 1 suy ra a là số chính phơng
Với a = 4n + 2 hoặc a = 4n + 3 khi chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 nên a
không là số chính phơng
3. Một số bài toán
3.1,Phơng pháp sử dụng chữ số tận cùng
Bài toán 1 : Các tổng sau có phải là số chính phơng không
a, 3.5.7.9.11 + 3
b, 2011 + 2011
2
+ 2011
3
+ 2011
4
+ +2011
2013
c, 2010
2004
+ 2012
2007

Hớng dẫn giải:
a. Xét tổng 3.5.7.9.11 + 3 có tận cùng bằng 8 nên tổng đó không phải là số chính
phơng.
4
Kinh nghiêm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
b. Xét tổng: 2011 + 2011
2
+ 2011
3
+ 2011
4
+ +2011
2013
=
= ( 1) + ( 1) +( 1) + + ( 1) = ( 3)
(Vì tổng trên có 2013 số hạng )
Tổng trên có tận cùng là 3 nên tổng trên không phải là số chính phơng
c. Xét tổng: 2010
2004
+ 2012
2007
= ( 0) + 2012
2004 + 3
= ( 0) + ( 2012
4
)
501
. 2012
3

= ( 0) + ( 6)( 8)
= ( 0) + ( 8) = ( 8)
Tổng trên có tận cùng là 8 nên tổng trên không phải là số chính phơng
Bài toán tơng tự: Các tổng (số) sau có là số chính phơng không?
a. 11 + 11
2
+11
3
+ + 11
2013
b. 2010
2013
+ 2013
2007

c. 20092010201120122013
d. 2000
2013
+ 3
2. Phơng pháp dùng tính chất chia hết
Bài toán 2 : Các tổng, số sau có phải là số chính phơng không ?
a, 5 + 5
2
+ 5
3
+ +5
2013
b, 2004
2013

c , 3 + 3
2
+ 3
3
+ +3
2013
Hớng dẫn giải:
a ,Ta có 5 + 5
2
+ 5
3
+ +5
2013
luôn chia hết cho 5
mà 5 + 5
2
+ 5
3
+ +5
2013
=
= 5 + 5
2
( 1 + 5 + 5
2
+ +5
2011
) không chia hết cho 25
suy ra tổng 5 + 5
2

+ 5
3
+ +5
2013


không phải là số chính phơng
b, Xét số 2004
2013
= 2004.2004
2012
Do 2004 luôn chia hết cho 3 nhng 2004 không chia hết cho 9
suy ra 2004
2013
không phải là số chính phơng
c , 3 + 3
2
+ 3
3
+ +3
2013
( tơng tự câu a )
Bài toán 3 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số , đợc viết bởi các chữ số 3;6;8;8
( Đề thi HSG lớp 6 phòng GD-ĐT Đức Thọ năm học 2003-2004 )
Hớng dẫn giải :
Gọi a
2
là số chính phơng cần tìm
Theo tính chất ta thấy số chính phơng không tận cùng bằng 3 ; 8 do đó a
2

phải tận
cùng bằng 6
Suy ra a
2
= 86 hoặc a
2
= 36
Với a
2
= 86 suy ra a
2
chia hết cho 2 mà a
2
không chia hết cho 4
Vậy số có tận cùng bằng 86 không phải là số chính phơng.
Với a
2
= 36 suy ra a
2
chia hết cho 2 và a
2
cũng chia hết cho 4
nên a
2
có tận cùng bằng 36 là số chính phơng
Vậy số cần tìm là a
2
= 8836
5
Kinh nghiêm năm học 2012 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Bài toán 4 : Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số
chính phơng không ?
Hớng dẫn giải
Giả sử a
2
là số chính phơng gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 .
Theo bài ra ta có a
2
= A0 hoặc a
2
= A06 hoặc a
2
= A66
Với a
2
= A0 có một chữ số 0 nên A0 không thể là số chính phơng.
Với a
2
= A06 suy ra a
2
chia hết cho 2 mà a
2
không chia hết cho 4. Vậy số A06
không thể là số chính phơng.
Với a
2
= A66 suy ra a
2

chia hết cho 2 mà a
2
không chia hết cho 4. Vậy số A66
không thể là số chính phơng.
Vậy không tồn tại số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 không thể là số
chính phơng
Bài toán 5 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống
nhau và hai chữ số cuối giống nhau
( Đề thi vào trờng chuyên Hà Tĩnh vòng 1 Năm học 2000 2001 )
Hớng dẫn giải :
Gọi số chính phơng cần tìm là n
2
= aabb ( a;b C N , 1 <a < 9, 0 < b < 9 )
Ta có n
2
= aabb + 1100a + 11b = 11 ( 100a + b ) = 11 ( 99a + a + b ) (*)
Để n
2
= aabb là số chính phơng thì ( 99a + a + b ) chia hết cho11 nên ( a+ b ) chia
hết cho 11 suy ra ( a + b ) = 11
Thay a + b = 11 vào (*) ta đợc n
2
= 11 ( 99 + 11 ) = 11
2
( 9a + 1 ) . Do đó 9a + 1
phải là số chính phơng
Đặt d
2
= 9a + 1 (**), suy ra 9a = d
2

1 = (d -1)(d+1)
Do (d+1) (d -1) = 2 nên hai số này không có ớc chung là 3. Vậy một thừa số
phải là bội của 9
Mặt khác từ (**) suy ra d là số chỉ có một chữ số ( vì a < 9 hay 9a + 1 < 100 ) .Do
đó d 1 < 9 và d + 1 = 9 nên d = 8
Thay vào (**) ta có a = 7 , b = 11-7 =4
Vậy số cần tìm là n
2
= 7744 = 88
2

Bài toán tơng tự : Tìm số chính phơng có bốn chữ số:
a, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ( ĐS : 2304 = 48
2
)
b, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 4; 7 ( ĐS : 2704 = 52
2
)
c, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 5 ( ĐS: 3025 = 55
2
)
3.3 , Phơng pháp sử dụng ớc số
Bài toán 6 : Viết liên tiếp từ 1 đến 12 đợc số A = 123456789101112 . Số A có thể
có 81 ớc số đợc không ?
( Đề thi khảo sát giáo viên phòng GD-ĐT Can Lộc)
Hớng dẫn giải :
Giả sử số A có 81 ớc số, theo tính chất A là số chính phơng , vì số lợng ớc của số A
là số lẻ.
6
Kinh nghiêm năm học 2012 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Mặt khác theo bài ra ta có A = 123456789101112 có tận cùng là 2 nên A không thể
là số chính phơng. Vậy A không thể có 81 ớc số.
Bài toán tơng tự : a ,Viết liên tiếp từ số 2000 đến số 2013 đợc số
M = 200020012003 20122013. Số M có thể có 2013 ớc số đợc không?
b, Viết liên tiếp từ số 1 đến số 28 đợc số . A = 1234 262728. Số A có thể có
101 ớc số đợc không?
c , Xét số B = 20132014201520162017 . Số B có thể có 99 ớc số đợc không?
3. 4, Phơng pháp dùng ớc số
Bài toán 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho các tổng sau là số chính phơng.
a. n
2
+ 2n + 12
b. n( n + 3)
c. n
2
+ n + 1589
Hớng dẫn giải:
a. Do n
2
+ 2n + 12 là số chính phơng.
Đặt : n
2
+ 2n + 12 = a
2
( a thuộc N)
n
2
+ 2n + 1 + 11 = a
2

( n + 1)
2
+11 = a
2
a
2
( n + 1)
2
= 11
( a- n -1 ) ( a + n + 1) = 11
Suy ra ( a- n -1 ) và ( a + n + 1) là ớc của 11
Do a- n -1 < a + n + 1
Nên
a - n -1 = 1
a + n +1 = 11
Suy ra a = 6 và n = 4
Vậy với n = 4 ta có n
2
+ 2n + 12 = 6
2
b. Do n ( n+ 3) = a
2
là số chính phơng
Đặt n ( n + 3) = a
2
n
2
+ 3n = a
2
4n

21
+ 12n = 4a
2
4n
21
+ 12n +9 = 4a
2
+ 9
(2n + 3)
2
= (2a)
2
+9
(2n + 3 2a) (2n + 3 + a) = 9
Suy ra (2n + 3 2a) và (2n + 3 + a) là ớc của 9
Do: 2n + 3 2a < 2n + 3 + a
Nên: 2n + 3 2a = 1
2n + 3 + 2a = 9
Suy ra: n = 1 và a = 2
Vậy với n =1 ta có n( n + 3) = 2
2
c. Do n
2
+ n + 1589 là số chính phơng
7
Kinh nghiêm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Đặt n
2
+ n + 1589 = a

2
4n
2
+ 4n + 6356 = 4a
2
4n
2
+ 4n + 1 + 6355 = 4a
2
( 2a)
2
- ( 2n + 1)
2
= 6355
(2a 2n -1) (2a + 2n +1) = 6355
Suy ra: (2a 2n -1) và (2a + 2n +1) là ớc của 6355
Ta có Ư( 6355) = ( 1; 5; 31; 41; 155; 205; 1271; 6355)
Do 2a 2n 1 < 2a + 2n + 1
Nên 2a 2n 1 = 1
2a + 2n + 1 = 6355
Hoặc 2a 2n 1 = 5
2a + 2n + 1 = 1271
Hoặc 2a 2n 1 = 31
2a + 2n + 1 = 205
Hoặc 2a 2n 1 = 41
2a + 2n + 1 = 155
Giải ra ta đợc n
1
= 1588; n
2

= 316; n
3
= 43; n
4
= 28;
Bài tập tơng tự:
Tìm số tự nhiên a sao cho tổng sau là số chính phơng
a, a
2
+ a + 43
b, a
2
+ 81
c, a
2
+ 31a + 1984
d, a
2
+ 2004
3.5, Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
Bài toán 8 : Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính ph-
ơng
Hớng dẫn giải :
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là : a; a+1; a+2; a+3; ( a C N )
Ta gọi A = a(a+1)(a+2)(a+3) +1 =
= a(a+3)(a+1)(a+2) +1=
= (a
2
+3a)(a
2

+3a+2) +1
Đặt n = a
2
+ 3a , khi đó ta có
A = n(n+2) +1 = n
2
+ 2n + 1 = ( n+1)
2
=
= ( a
2
+ 3a + 1 )
2
Do a C N nên a
2
+ 3a + 1 C N . Suy ra A là số chính phơng
Bài toán 9 : Chứng minh rằng với các số nguyên a ; b thì
M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b
4
là số chính phơng
Hớng dẫn giải :
Ta có M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b
4
=( a + b )(a+4b)(a+2b)(a+3b) +b
4
=
= (a
2
+5ab + 4b
2

)(a
2
+5ab+6b
2
) +b
4
8
Kinh nghiêm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Đặt a
2
+5ab + 5b
2
= y khi dó ta có
M = ( y b
2
) (y + b
2
) + b
4
=
= y
2
b
4
+ b
4
= y
2
=( a

2
+5ab + 5b
2
)
2
Do a ; b C Z, nên a
2
+5ab + 5b
2
C Z . Suy ra M là số chính phơng
Bài toán 10 : Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) (k C Z)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phơng
Hớng dẫn giải :
Ta có k(k+1)(k+2) =
k (k+1)(k+2) 4
4
k (k+1)(k+2)[(k+3) (k-1)]
4
k (k+1)(k+2)[(k+3) k (k+1)(k+2)(k-1)
4 4
Suy ra
4S =1.2.3.4- 0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4 + + k (k+1)(k+2)[(k+3) - k (k+1)(k+2)(k-1)
= k (k+1)(k+2)[(k+3)
Nên 4S + 1 = k (k+1)(k+2)[(k+3) + 1 là số chính phơng (Theo bài toán 8)
Bài toán 11: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889;
Dãy số trên đợc xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trớc và
đứng sau nó . Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phơng
Hớng dẫn giải
Ta có 444 488 89 = 444 488 8 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8

= 44 4.10
n
+ 8. 11 1 +1
n chữ số 4 n chữ số 1
4(10
n
1)10
n
8(10
n
1)
9 9
4.10
2n
4.10
n
+ 8.10
n
8 + 9
9
4.10
2n
+ 4.10
n
+ 1
9
(2.10
n
+ 1)
2

3
2
Do n C N
*
nên ( 2.10
n
+ 1 ) chia hết cho 3. Suy ra 2.10
n
+ 1) là số tự nhiên
3
Vậy các số có dạng 444 889 là số chính phơng
Bài toán tơng tự :
Chứng minh rằng các số có dạng sau là số chính phơng

9
Kinh nghiêm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
a, A = 111 1 + 444 4 + 1
2n chữ số 1 n chữ số 4
b, B = 111 1 + 11 1 + 66 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số1 n chữ số 6
c, C = 444 4 + 22 2 + 88 8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số2 n chữ số 8
3.6, Phơng pháp quy nạp
Bài toán 12`.Tổng n số lẻ đầu liền là số chính phơng
Hớng dẫn giải :
Theo bài ra ta có:
1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n
2

Với n = 1 ta có 1 = 1
2
( luôn đúng )
n =2 ta có 1 + 3 = 2
2
( luôn đúng)
Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có
1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n
2

Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1
1 + 3 + 5 + + ( 2k + 1) + ( 2 ( k + 1 ) - 1) =
= k
2
+ 2k + 2 1
= ( k
2
+ 2k + 1 )
= ( k + 1)
2
Vậy 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n
2
( đfcm)
Bài toán13 : Chứng minh rằng:
1
3
+ 2
3
+ 3
3

+ + n
3
= ( 1 + 2 + + n)
2
Hớng dẫn giải
Ta có 1 + 2 + 3 + 4 + + n = [n(n+1)] : 2
Với n = 1 ta có 1
3
= 1 = 1
2
( luôn đúng )
n =2 ta có 1
3
+ 2
3
= 9 = ( 1 + 2)
2
( luôn đúng)
Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + n
3
= ( 1 + 2 + 3 + + n)
2
Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1

1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + k
3
+ ( k + 1 )
3
= ( 1 + 2 + + k)
2
+ ( k + 1 )
3
( k ( k + 1) )
2
( k + 1)
3

4 1
k
2
( k + 1)
2
+ 4( k + 1)
3

4
( k + 1)
2

( k
2
+ 4k + 4)
4
( k + 1)
2
( k + 2)
2
4
[( k + 1)( k + 2)]
2

2
2
Vậy 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + n
3
= ( 1 + 2 + + n)
2
(đfcm)
10
Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
4. Khảo sát đối tợng:
Sau khi vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, tôi thấy học sinh

khối THCS áp dụng để giải các bài toán Số chính phơng đợc tăng lên. Hơn nữa
khi trang bị kiến thức này cho học sinh các em có hứng thú hơn, say mê học toán
hơn. Kiến thức bài toán học đợc nâng cao rõ rệt, t duy toán học thực sự phát triển.
Sau đây tôi xin đa ra một số kết quả trong bớc đầu giảng dạy cách vận dụng
một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, trên cho học sinh.
Năm học Tổng số
HS K6
HS đạt
TB trở lên
HS giải đợc
dạng toán trên
HS phat triển đợc
dạng toán trên
Số HS
giỏi
2010-2011
Không áp dụng 185 75% 4% 0% 1%
2011-2012
Có áp dụng 189 82% 45% 22% 15%
Qua điều tra sơ bộ, rỏ ràng kết quả đạt đợc sau khi vận dụng phơng pháp giải
bài toán số chính phơng, cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 6 , đây là
một điều hết sức quan trọng và rất khả quan. t duy bài toán nói chung và kỷ năng
giải toán số chính phơng nói riêng của học sinh đợc tăng lên đáng kể. Vì thế tôi
mạnh dạn viết lên bài viết này với mong muốn các đồng nghiệp cùng nghiên cứu và
tham khảo.
11
Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Phần Iii. kết luận và kiến nghị
Trên là một số bài toán về số chính phơng đợc áp dụng kiến thức lớp 6 để giải.

Với khuôn khổ bài viết chỉ nêu ra những bài toán áp dụng các kiến thức mang tính
cơ bản, trọng tâm nhất. Tôi nghĩ với ngời giải toán chúng ta luôn cần suy nghĩ tìm
tòi những cách làm hay để truyền đạt lại cho học sinh trong quá trình giảng dạy.
Với các phơng pháp giải toán trên, học sinh đợc tiếp tục khai thác sâu thêm
ở chơng trình cấp 3, với những kiến thức cơ bản ở khối THCS. Chỉ áp dụng trực tiếp
vào những bài toàn trọng tâm, cơ bản khá hay để không ngừng nâng cao chất lợng,
hiệu quả cho học sinh đại trà và đặc biệt học là sinh thi học sinh giỏi thi vào cấp 3,
thi vào các chuyên trờng ,lớp chọn Vì đây là dạng toán luôn có trong các kì thi
vào chuyên trờng, lớp chọn, bởi vậy chúng ta cần phải đầu t vào lĩnh vực mũi nhọn
đối với môn toán. Đây là điều kiện khai thác các kỹ năng hết sức quan trọng và cần
thiết của giáo viên và học sinh. Với tôi sau khi đợc đứng vào hàng ngũ những nhà
giáo dục hơn 10 năm trở lại đây tôi đợc giao nhiệm vụ giảng dạy một số lớp toán và
bồi dỡng ôn luyện cho học sinh thi vào cấp 3, vào các trờng chuyên, lớp chọn, tôi
đã áp dụng cách làm này. Tôi tin rằng kết quả thi học sinh giỏi, thi vào cấp 3 trờng
chuyên, lớp chọn của năm 2012 2013 sẽ đạt kết quả cao. Với kiến thức còn hạn
chế của bản thân, rất mong nhận đợc sự trao đổi của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trờng và các đồng chí trong tổ
toán đã giúp đỡ và ủng hộ tôi trong thời gian qua.
Tháng 3 năm 1013
12
Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013