Bài toán quan hệ biên phân và ứng dụng

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưói sự hướng dẫn của GS.
TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo - GS. TSKH. Nguyễn Xuân
Tấn, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi làm luận
văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều
kiện thuận lời cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè cùng học , đã động viên và tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, thảng 5 năm 2013
Lê Danh Tuyên
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn
của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác
Hà Nội, thảng 5 năm 2013
Lê Danh Tuyên
MỤC LỤC
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các bài toán cở bản trong lý thuyết tối ưu là bài toán tối ưu, bài toán cân bằng,
bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bất đắng thức biến phân, và các dạng bài
toán này liên quan tới ánh xạ đa trị. Bài toán: Tìm X G D ,
= min jF(x) \XG D)
trong đó D là tập con của không gian định chuẩn X (được gọi là miền chấp nhận
được), F :D -^R là hàm mục tiêu. Đóng vai trò trung tâm của lý thuyết tối ưu và có
nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế.
Cụ thể, cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, Del là một tập con
khác rỗng. Cho с là một nón trong Y, A Œ Y. Tập các điểm hữu hiệu của A

đối với nón С, kí hiệu là aMinị^A ỉ c), với a = I , P, Pr, w tương ứng là các
loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực sự và điểm
hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trong Chương 1 của luận văn).
Cho F : D -> Y
Bài toán đặt ra: Tìm X e D sao cho e aMinỤ
7
(ơ) / c).
Là mở rộng của bài toán trên cho hàm véctơ F được gọi là bài toán tối iru véctơ
a tương ứng với Д F, с.
Các bài toán tối ưu trên liên quan tới các bài toán điểm cân bằng, bài toán bao
hàm thức biến phân và bài toán cân bằng đa trị. Và các bài toán này có thể đưa được
về bài toán quan hệ biến phân mà ngày nay các nhà toán học
trên thế giới đang quan tâm nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán
học.
Bài toán đó được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S
]
: A ^ A , S
2
: A ^ B , T: A x B ^ Y, là các ánh xạ
2
đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử R(a,b, y)cz A x B x Y là một quan hệ ba ngôi giữa a
e A,b e B, V e F. Neu ba phần tử này có quan hệ R ta nói rằng R(a, b, xảy ra. Xét bài
toán sau, được kí hiệu là (VR).
Tìm a G A sao cho:
1) a là điểm bất động của 5,, tức là ã G 5, (a).
2) £>, y) xảy ra với mọi b G S
2
(ứ), y G T ^ a , b).
Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh xạ đa

trị S
r
S
2
,T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ R thường được
xác định bởi các đẳng thức và bất đắng thức của các hàm thực, hoặc bởi những bao
hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị.
Với mong muốn tìm hiếu sâu hơn về bài toán quan hệ biến phân và ứng dụng
của nó nên tôi chọn đề tài “Bài toán quan hệ biến phân và úng dụng” để làm luận
văn cao học.
2. Mục đích nghiên cún
Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết các kết quả về bài toán quan hệ
biến phân trong bài báo “An abstract problem in variational analysis” của tác giả D.
T. Luc [7]. Đó là định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân và các kết
quả mới cho các bài toán liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cún
Nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân, phát biểu bài toán quan hệ biến phân,
chứng minh một cách chi tiết các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ
biến phân, đồng thời đưa ra một số ứng dụng và ví dụ về các bài toán liên quan.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún
Bài toán quan hệ biến phân, định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ
biến phân, mối liên hệ giữa bài toán quan hệ biến phân và các bài toán tựa tối ưu, bài
toán bao hàm thức tựa biến phân và bài toán cân bằng tống quát.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu qua các bài báo đã được đăng và sách đã in.
- Sử dụng các phương pháp trong giải tích như phương pháp điếm bất động, nguyên lý
KKM
- Tìm những ví dụ minh họa và một số ứng dụng trong các bài toán thực
tế.

6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn trình bày một cách tổng quan về bài toán quan hệ biến phân, các định
lý vê sự tồn tạỉ nghỉậm của bài toán quan hệ biên phân. Sử dụng các định lý này cho
việc chứng minh các định lý về sự tồn tại nghiệm của các bài toán khác trong lý
thuyết tối un.
Chương 1 Môt số kiến thức chuẩn bi • •
Trong chương này ta nêu lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của nón và
ánh xạ đa trị để giúp cho việc trình bày các vấn đề của các chương tiếp theo được hệ
thống.
1.1 Nón - các khái niệm và tính chất liên quan
Ta đã biết trong trường số thực M., hai số bất kì đều có thể so sánh được với
nhau thông qua một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian tuyến tính, ta không
có tính chất như vậy. Tuy nhiên bằng cách sử dụng khái niệm nón trong không gian
tuyến tính, người ta vẫn có thế đưa ra một thứ tự từng phần để so sánh hai phần tử
với nhau. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính, c là một tập con của Y. Ta nói c là
nón có đỉnh tại điểm gốc của Y nếu Í C G C với mọi c G c, t > 0.
4
Trong luận văn này, chúng ta chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại điểm gốc và khi
nói đến nón ta hiểu là nón có đỉnh tại điểm gốc.
Nón c được gọi là nón lồi (đóng) nếu c là tập lồi (đóng). Kí hiệu c ỉ c , int c,
conv(c) tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của c. Kí
hiệu /(C) = Cn(-C) là phần trong tuyến tính của c. Khi đó, nếu c là nón
lồi thì /(c) là không gian con tuyển tính nhỏ nhất nằm trong c.
Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón c trong không gian tôpô tuyến
tính Y như sau: Với X, ỵ e y, X > y nếu - ỵ e c . Đe đơn giản ta
c
viết x > ỵ nếu không có sự nhầm lẫn. Với x , ỵ & Y, x > ỵ nếu X - y e C \ l ( C ) và
X» y nếu X - i n t c .
Ví dụ 1.1.1 i) Xét 7 = K" =!* = (.*,, )|x eM,/ = Với

C = M" =!* = (*,, )|x >0,1 = l, ,w| thì c là nón lồi, đóng trong Y
và được gọi là nón Orthant dương trong M". Với C = ịx = (x
r
x
23
,x
n
)\x
i
> oj thì c là
nón lồi nhưng không đóng trong Y.
Tập c = {x, >0}u{x, =0,x2 >0}u u{x, =Xj = =0,X;I >0} cũng
là một nón trong Y và được gọi là nón từ điển.
ii) Xét Y = !(*,,. ••,*,,•••) có hữu hạn các phần tử X khác oỊ.
Tập c = xn, ) có phần tử khác 0 cuối cùng ĩakhông âmỊ là
nón trong Y và được gọi là nón trải khắp.
Tiếp theo ta xét một số khái niệm về các loại điểm hữu hiệu. Đây là các khái
niệm nền tảng của tối ưu véctơ.
Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón c. Xét
A là một tập con của Y, A ^ 0, Y. Cho ã € A.
5
i) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón c nếu a < a với mọi a
e A. Kí hiệu tập tât cả các điêm hữu hiệu lý tưởng của A đôi với nón c là IMinị^A, c).
Ta có ũ, G. ĨMin(A, c) khi và chỉ khi A^a + C.
ii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c nếu a > b, với b nào
đó, thì b > a. Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c là
Min^A, c). Ta có fleMw(/4,C) khi và chỉ khi
A n ị ã - C ^ = ị a } .
iii) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón с ( int С ф 0 và С ^ Y ) neu
a là điểm hữu hiệu đối với nón C0 = Л \ Ịo}. Kí hiệu

tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là WMin(A, c). Ta có a GWMÌTÌ(A, c) khi và chỉ khi
A n ịã - int с) = 0.
iv) Điểm a được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón с nếu
tồn tại hình nón lồi к khác Y sao cho c\/(c)czint^ và a eMin(A, к). Kí hiệu tập tất cả
các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón с là PrMỉn(A, c). Ta có ciGPrMin(A,C)
khi và chỉ khi = jãỊ.
Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu:
IMỈn(A, c) Ç PrMin(A, c) Ç Мш(л, с) ç WMin(A, с).
1.2 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.1 Cho X, F là hai tập bất kì. Cho F :X y là ánh xạ đa trị
từ X vào Y, tức là một ánh xạ đơn trị từ tập X vào một tập 2
Y
gồm toàn bộ
các tập con của Y. Như vậy, với mỗi xe X, F ( x ) là một tập con của Y và F(x) được
gọi là ảnh của X qua F . Ta nói F có giá trị khác rỗng nếu F (л;) ф 0 với mọi X G
X .
6
Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) dom F và đồ thị Graph F của ánh xạ đa trị F
\ X ^ Y được định nghĩa như sau:
dom F = jx G X : F (x) Ф 0j ;
Graph F = Ị(jc, y) G X X Y : X G dom F, y eF (x)|.
Giả sử X,Y là các không gian véctơ tôpô. Bao lồi, bao đóng của ánh xạ F lần lượt
được kí hiệu là Conv F, Cl F và được định nghĩa bởi:
Corn F = j_y G Y : (x, y) E coịGraph F), Vx G XI,
Cl F = jy e Y : (x, )’) e Graph F, \/x e X j,
trong đó co{Graph F), Graph F lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứa Graph F và bao
đóng của tập Graph F.
Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị Г':У=|Х được xác định bởi:
F w = {xe X : y e vó’i y ^ Y .
Giả sử X,Y là các không gian véctơ tôpô và F :X là một ánh xạ đa trị. Ta nhắc

lại một số định nghĩa sau:
i) F được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu Graph F là tập đóng (mở) trong không gian
tôpô tích X X Y.
ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu /7(^) là tập đóng với mọi
XGX .
iii) Neu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọilà ánh xạ có giá
trị lồi nếu là tập lồi, với mọi X e X .
7
iv) F được gọi là ánh xạ compắc nếu F(*) là tập compắc trong Y với mọi X&x .
Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô, F : X =ị Y là ánh xạ đa trị. Ta có các
tính chất sau:
i) Neu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng.
ii) F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy x
p
—>x, yß và
y
ß
ỵ thì ta có ỵeF (x).
1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương. F : X =ị Y là một ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa sau được đưa ra bởi Berge:
1) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x
ữ
G X nếu với mọi tập mở V CI Y thỏa
mãn F(x0)czV thì tồn tại một lân cận mở ư ŒX của x0 sao cho F ( ư ) ci V . F
được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại
mọi leX.
2) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại JC() ( = . X nếu với mọi tập mở УсУ
thỏa mãn F(i0)ny ^0 thì tồn tại một lân cận mở ư cz X của Jt0 sao cho F(w)nV 7^0,
với mọi U G Ư . F được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) trên X nếu nó là

nửa liên tục dưới tại mọi x e X .
3) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại lel nếu F vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên
tục dưới tại X. Neu F liên tục tại mọi điểm X G X thì ta nói F liên tục trên X .
Khi xét ánh xạ đơn trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới là
trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết. Vĩ dụ sau chỉ ra sự khác nhau
giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị.
8
Ví dụ 1.3.1 Xét F, G : к =4 ж là hai ánh xạ đa trị được xác định như sau:
nếu = 0? nếu X Ф 0.
nếu X = 0, nếu X Ф 0.
Dễ thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại X = 0 nhưng không là nửa liên tục
dưới tại x = 0. Ánh xạ G là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là nửa liên tục
trên tại X = 0.
Ta có các tĩnh chất sau:
i) Cho F : X = X Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy Xp — > X , y
ß
gF|xJ,
Ур — > у thì у е F ( x ) . Ngược lại, nếu F(*) là tập đóng và mọi dãy X ß —» X, y
ß
e F ^ x
ß
^ j kéo theo y
ß
— > y ef(jc) thì F là nửa liên tục trên tại X.
ii) Cho F : X F, F ( x ) là compắc và ^ 0. Khi đó F là nửa liên
tục dưới tại X khi và chỉ khi với mọi dãy đều tồn tại
y »
e F
{
x

f )
để
y
ß
^ > y -
Định nghĩa 1.3.1 Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D là tập
con của X , D ^ 0 . Giả sử с là một nón trong Y và F : X F là một ánh xạ đa trị. Ta có
các định nghĩa sau:
i) F là С - liên tục trên (tương ứng, с - liên tục dưới) tại x
0
G X nếu với mọi lân cận V
của 0 trong Y, tồn tại lân cận и của x0 trong X sao cho:
9
F(x)c=/7’(x0) + V'+ c (tươngứng, F(x0)czF(*) + V-C) với mọi
IEƠ ndom F .
ii) F là С - liên tục tại x
ữ
nếu F đồng thời là с - liên tục trên và là с
- liên tục dưới tại JC
()
.
iii) F là С - liên tục trên, с - liên tục dưới hoặc с - liên tục trên D Œ X nếu F là С - liên
tục trên, с - liên tục dưới hoặc с - liên tục tại mọi XGD .
Chú ý: i) Nếu ánh xạ F là đơn trị khi hạn chế trên D ç ^ x thì tính с - liên tục trên và с
- liên tục dưới của F là trùng nhau, và ta nói F là с - liên tục, tức là: F là С - liên tục
tại x
0
g D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y, tồn tại lân cận u của x
0
trong X sao

cho:
F(x)eF(x0) + y + c (hoặc, F(^c0)eF(x) +V-C), VXGƯ r\domF.
ii) Nếu Y = M, С = = {x e к. : X > 0j thì một ánh xạ đa trị F là с -
liên tục tại x0 G D khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại Jt0, một ánh xạ
đơn trị F là (-C) - liên tục tại x
0
e D khi và chỉ khi F là nửa liên tục trên tại JC0 (ở
đây -С = М_=|л;еМ: x<0}).
Cho F : D^Y là một ánh xạ đa trị và с a Y là một nón lồi, đóng. Khi
đó:
1) Neu F là С - liên tục trên tại JC0 Gcỉom F và F ( x
0
) + C là tập đóng, thì với mọi
dãy x
ß
— > x
0
, y
ß
e F ^ x
ß
^ + C , y
ß
— > y
0
ta có J0ef(j0) + C. Ngược lại, nếu F là
compắc và với mọi dãy
Xß —>x0, y
ß
e ^(*0) + c, y

ß
—» % ta có ỵ
ữ
G F(x0) + с thì F là с - /ỉềw Шс trên
tại JC
0
.
1
2) Neu F(jc0) là compắc và là с - liên tục dưới tại x
ữ
e dom F , thì với mọi dãy x
ß
—»x0,
e F(x0) + C đều tồn tại dãy Ур e F i X ß } và có dãy con Iуд I, sao cho у
ß
- J0 —»c e
с. Ngược lại, nếu F(x0) là tập compắc và mọi dãy Xp —>x
0
và j0gF(x0) + C đều tôn
tại dãy {з^}, y
ß
e ^(х/?) và một dãy con I у
ß
Ị sao cho -
> 0
—» с G с thì F là с - liên
tục dưới tại xữ.
1.4 Tính lồi và tính tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.4.1 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D là tập con lồi của X . Giả
sử С là một nón lồi trong Y, F :X =4 F là một ánh xạ đa trị.

a) F là С - lồi trên (tương ứng с - lồi dưới) nếu
aF (x) + (l - a) F ( y) cz F (ах + (l - а) у) + с
(tươngứng, F { a x + ị\-GÌ)y}<^aF{x) + ị \ - c i ) F ( y ) - C ) , với
mọi x , y G dom F và ae [0,1].
b) F được gọi là с - tựa lồi trên trong D nếu với mọi t G [о, l],
hoặc F(x,)c= F(tx
x
+(l-r)x,) + c, hoặc
F(x,)cF(tx
x
+(l-f)x,) + c luôn đúng với mọi x,,x2gD.
c) F là c - tựa lồi dưới trong D nếu với mọi t e [o,
1
] thì hoặc F{tx
{
+(l-
f)x,ỊcF ( x ^ - C , hoặc F ( t X ị
+ ( 1
-í)*2)^F (
x
i ) ~ c luôn đúng với
mọi x
2
GỠ.
1
Chú ý: i) Nếu F : Z) —» F là một ánh xạ đon trị thì tính c - lồi trên và c -
lồi dưới là trùng nhau và gọi là c - lồi. Nói riêng, với Y =M, c =K thì ta có khái niệm
hàm lồi theo nghĩa thông thường.
ii) Nếu F : D —» F là một ánh xạ đơn trị thì khái niệm c - tựa lồi trên và c - tựa lồi dưới
là trùng nhau và được gọi là c - tựa lồi. Tức là F là c - tựa lồi trong D nếu với mọi

x
]
, x
2
e D , /e[0,
1
] ta có hoặc
^(x,) e F(tx
x

+ ( 1
-í)x2) + c (hay F ( X
ỵ
) > F(tx
ị

+ ( 1
-r)x2)) hoặc
F ( X
2
) E F[tx
x

+ ( 1
-r)x2) + c (hay F(jc2)> F(tx
x
+ (l-r)x2)) luôn đúng.
Trong trường hợp y = M, C = M thì ta có F là c - tựa lồi tức là F(x,) > F(ta,+(
1
-

r)x,) hoặc F(x,) > F(ta,+(
1
-í)x2) với mọi
x
i
, x
ĩ
e D , íe[0,
1
]. Dần đến +(1-í)x2)<M3x|f(x,), F(x2)|, Do đó F là hàm tựa lồi theo
nghĩa thông thường.
1.5 Ánh xạ tựa đơn điệu
Định nghĩa 1.5.1 i) Cho X là một không gian véctơ tôpô lồi địa phương, ĐcX là một
tập con. Hàm số g:DxD—»M được gọi là đơn điệu nếu
g (*, ỵ ) + g ()>, x ) <0 với mọi x , y e D .
ii) Cho X , Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D a X là một tập
con, с là một nón trong Y . Ta nói ánh xạ G : DX D —»y là đơn điệu đối với nón С
nếu G(x, ;y) + G(;y, x ) e - C với mọi X, y e D .
Tiếp theo, ta xét các khái niệm ánh xạ tựa đon điệu, các khái niệm này bao hàm
các khái niệm ánh xạ đơn điệu ở trên:
Định nghĩa 1.5.2 i) Cho X là không gian tuyến tính lồi địa phương, D CI X là một
tập con. Hàm số g : D X D — > ш được gọi là tựa đơn điệu nếu
1
với y)>0 ta suy ra g ( y, x) < 0.
ii) Cho X, F, z là các không gian tôpô tuyến tính, D d X , к Œ Y là các tập con khác
rỗng, с cz z là một nón. Cho ánh xạ đa trị T : D X D =4 к và ánh xạ đon trị F : к
X D x D . Ta nói T được gọi là F - tựa đon điệu trong К đối với nón С nếu với
JC,,x
n
G D và xgco|x,, ,jcJ đều tồn tại /e{l, 2 , s a o cho Vy eĩ(i, x ) , F(y,

X, *) G F(y, X, x ) + c (hay với mọi J6ĩ(x,x), F(y,x,x)>F(;y,*,*)).
1.6 Môt số đinh lý bổ trơ
Mục này ta nhắc lại một số định lý như định lý KKM - Fan, định lý về giao hữu hạn
của một tập compắc, các định lý về điểm bất động, Các định lý này sẽ được sử
dụng trong các chứng minh ở các chương sau.
Định nghĩa 1.6.1 Cho X là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị G : A Œ X ^ X
được gọi là ánh xạ KKM trên A nếu với mọi tập con hữu hạn
{ a
r
a
2
, . . . , a
k
} < ^ A , và với mọi phần tử a trong bao lồi của {a
r
a
2
, ,a
k
} ta
có thể tìm được chỉ số i sao cho fleG(ö ).
Định lý 1.6.1 (Định lý KKM - Fan). [3] Giả sử X là không gian vẻctơ tôpô, A d X là
tập loi khác rông và G : A=ị A là ánh xạ KKM với tập giá trị
đỏng. Nêu À là compẳc thì ta có P)G(x) Ф 0.
Định lý 1.6.2 (Tính chất giao hữu hạn của tập compắc). Cho một họ các tập compẳc
{c. : / e/Ị. Neu với mọi tập hữu hạn các phần tử của họ có điểm chung thì giao của
họ cũng có điềm chung, tức ỉà p|C. ^0, và ta gọi họ
Ịc. : ỉ e /Ị là có tính chất giao hữu hạn.
Định lý 1.6.3 (Định lý điểm bất động của Kakutani - Fan). [3] [6] Cho X là không
gian tôpô tuyến tính loi địa phương, A là tập loi, compắc, khác rông trong X . Ánh

1
xạ F : A ^ A là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, F có giá trị
lồi, đóng, khác rỗng. Khỉ đỏ tồn tại X G A sao cho (tức là X là điểm
bất động của F ).
Định lý 1.6.4 (Định lý điểm bất động của Fan - Browder). [2] Cho X là không gian
véctơ tôpô ỉồi địa phương, A ( z X là tập compắc, lồi, khác rỗng. Cho G : A =4 A là
ánh xạ đa trị với A = ỊJ intG"
1
(a). Khi đó tồn tại ae A
Chương 2 Bài toán quan hệ biến phân
Trong chương này trình bày về bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR)
(Variational relation) được GS. Đinh Thế Lục nghiên cứu trong tài liệu [7]. Bài toán
này cho ta một cách tiếp cận thống nhất để nghiên cứu các mô hình khác nhau của lý
thuyết tối ưu đa trị, lý thuyết cân bằng và bao hàm thức biến phân. Một trong các kết
quả quan trọng của chương 2 là định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ
biến phân (định lý 2.3.2). Định lý này được sử dụng chứng minh một số điều kiện đủ
cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong lý thuyết tối ưu.
2.1 Bài toán quan hệ biến phân
Trong suốt mục này, ta luôn xét A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét 5,: A A,
S
2
\ A = ị B , T : A X B ^ Y là các ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử b, j) cz
A x B x Y là một quan hệ ba ngôi giữa a e A,b e B, y . Nếu ba phần tử này có quan
hệ R ta nói rằng R(a,b, xảy ra. Xét bài toán sau, được kí hiệu là (VR).
Tìm a e A sao cho:
1
sao cho a e coG
1) ã là điểm bất động của S], tức là a G 5, {a}.
2) R^a,b, y) xảy ra với mọi b G y GT^a,b^j.
Bài toán (VR) được gọi là bài toán quan hệ biến phân, trong đó các ánh xạ đa

trị 5,, S
2
, T là các ràng buộc và R là một quan hệ biến phân. Quan hệ
R thường được xác định bởi các đắng thức và bât đắng thức của các hàm thực, hoặc
bởi những bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị.
Tiếp theo ta xét một số ví dụ về nhũng bài toán cơ bản của bài toán quan hệ
biến phân:
2.2 Ví dụ về bài toán quan hệ biến phân
Ví dụ 2.2.1 (Bài toán tối ưu). Giả sử Z,Q, Л là các tập khác rỗng. Cho f : X — > R
và hai họ hàm thực g(x,co),coeQ và А(х,Я),ЯеЛ. Giả sử A = B = Y = X, s,(a) = X,
S2(a) = jxe X :g(*, ứ/)<0, VcoeQ. và h ( x , /l) = 0, VắgAỊ, trong đó Q, Л là hai tập
khác rỗng, r(a, b ) = \ b \ với mọi a , b e X . Bài toán đặt ra là tìm ĩeX sao cho /( y)
~ f (
x
) - 0 với mọi y e X .
Ta định nghĩa một quan hệ R như sau:
R ( a , b , ỵ ) xảy ra nếu và chỉ nếu f ( ỵ ) - f ( a ) > 0.
Khi đó bài toán tối ưu là trường họp riêng của bài toán (VR) với quan hệ R được
định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.2.2 (Bài toán cân bằng). Giả sử X là một tập khác rỗng, ậ : X x X ^ R . Giả
sử A = B = Y = X , S
ì
( a ) = X , S
2
( a ) = X và
T ( a , b ) = { b } với mọi a , b e X . Bài toán đặt ra là tìm Xe X sao cho ф{х, > 0,
với mọi у e X .
Quan hệ biến phân R được định nghĩa như sau:
1
R(a,b, xảy ra nếu và chỉ nếu ф(а, ;y)>0.

Khi đó bài toán cân bằng là trương hợp riêng của bài toán (VR) với quan hệ R được
định nghĩa như trên.
Ví dụ 2.2.3 (Bài toán bao hàm thức biến phân). Cho А, B, Y Ф 0, S
ị
: A =4 Л,
S
2
:A^ В, T : A x B ^ В là các ánh xạ đa trị có tập giá trị khác rỗng. Xét F, G là các
ánh xạ đa trị trên A x B x Y lấy giá trị trong không gian z. Bài
toán bao hàm thức biến phân là: Tìm X G X sao cho X e5j(x) và với
_yeĩỊx,èỊ ta có F|ĩ,bjỊcGỊĩ,ốjỊ.
Quan hệ R được định nghĩa là:
b , y) xảy ra nếu và chỉ nếu F(a, b , y) ÇZ G ( a , b , ,y).
Nhận xét thấy bài toán bao hàm thức biến phân cũng chính là trường hợp riêng của
bài toán (VR) khi ta định nghĩa quan hệ R như trên.
2.3 Các điều kiện tồn tại nghỉệm của bài toán quan hệ biến phân
Đe nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (VR), ta định nghĩa
ánh xạ đa trị P : B ^ A như sau:
p ( b ) = [ A \ s ; ' ( b ) ] u ị a G A : a e Sj (я), /?(a, b , xảy ra V ỵ e T (ứ, Z?)Ị.
Trước hết ta chứng minh một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ
biến phân (VR) dựa trên sự tương giao khác rỗng giữa tập ảnh của ánh xạ p . Việc
chứng minh khá đơn giản, nhưng kết quả của định lý rất tổng quát và hữu ích.
Định lý 2.3.1 Một điếm ae A là lời giải của bài toán quan hệ biến phân (VR) khi và
chỉ khi a G p|p(&).
beB
Chúng minh. (=>) Giả sử a là lời giải của bài toán (VR), ta sẽ chứng minh a G P|
1
p(z?), tức là a e p(b) với mọi b e B . Thật vậy, với mọi b e в thì hoặc
beầ
b & S

2
{ a ^ hoặc b <£ S
2
ịa^j. Nếu b <£ S
2
ị a ) thì ã < £ S2_1 (£>) do đó
a G Á \ S"1 ( b ) hay ã s P ị b ) . Nếu Ò G S
2
ị a ^ , theo giả thiết a là lời giải của bài
toán (VR) nên và Rịã,b,y^ xảy ra với mọi b e S
2
ị a j , y e T ^ a , b Ỵ Lại do
/>(£)=[a\s2-»] u|ứ e A : a e S ^ a ) , /?(<я,b , y) xảy ra \ / y e T ( a , b )I nên ta được a e
p ( b ) . Vậy a G p ( b ) với mọi b G в hay a G P|p(&).
beB
(<=) Ngược lại, giả sử a ep|p(b), ta chỉ ra a là lời giải của bài toán
beB
(VR). Trước hết ta chứng minh Giả sử Do ãeP(Z?),
V b & B nên ta có a G A\s~' (b),\/b G в, dẫn đến a < £ S l ' ( b ) , \ / Ò G B hay b € S2
ịã^j với mọi b e в. Từ S2 ịă^j cổ và b € S2 ịă^j với mọi b G в ta suy ra
Br\S
2
ịã) = 0 , tức S
2
(ứ) = 0. Điều này vô lý. Vậy ta có a € 5, (a).
Та cũng có Rịã, b, y) xảy ra với mọi Ье52|й|, у & T ^ a , b Ỵ Thật vậy, với mọi b
e S
2
ị a ) ta suy ra ßG s ~ ' (z?), tức ÃểA\s ~
l

(b). Lại do ă e p { b ) với mọi b G В
nên a e ị a G A : a G S ị (a) và R ( a , b , y ) xảy ra với mọi
eỉ(ứ,b)Ị. Nói cách khác fl6^Ịaj và R.(a,b,y} xảy ra với mọi y e ĩ ị a , b^j. Vậy a
là lời giải của bài toán (VR).
Ta có hệ quả sau rất hữu ích cho việc thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại lời
giải thông qua định lý điểm bất động ở phần sau:
Hệ quả 2.3.1 Điếm a là một lời giải của bài toán (VR) khi và chỉ khi B \ p ~
l
^ a ^ =
1
0 . Nói riêng, nếu A = B thì bài toán ( V R ) có một lời giải khi thỏa mãn các điều
kiện sau:
ỉ) Ánh xạ a I—» A \ F
-1
(tf), a G A có một điếm bất động khi nó có tập giá trị
khác rỗng.
ii) Với Ũ G A , S
2
(a) ÇZ Sị (ứ).
iii) Neu a là điểm bất động của Sị, thì R ( a
y
a, >) xảy ra với mọi y eĩ(a,ữ).
Chủng minh. (=>) Gọi a e A là một lời giải của bài toán (VR). Ta chứng minh
Z?\/>“'Ịứ) = 0. Giả sử . Lấy b G B \ P ~
l
ị a ^ j thì
b < £ P ~
l
( a \ và như vậy a g p ( b ) , do đó Ểp)p(b). Theo định lý 2.3.1, a
beB

không phải là lời giải của bài toán (VR). Điều này vô lý. Vậy в \ p ~1 ị ^ ã ) = 0.
(<=) Ngược lại, nếu #\P_lítìM = 0, ta chứng minh a e f } p ( b ) . Giả sử
be в
a ë f ) p ( b ) , ta suy ra tồn tại b s B sao cho ã < £ P ( b ) hay b < £ P ~
l
ị a \ tức là
be в
b G В \ p 1 ißi. Điều này mâu thuẫn với в \ p 1 íứì = 0. Vậy ta có a e ç\p(b)
beB
theo định lý 2.3.1 thì ã là lời giải của bài toán (VR).
Nói riêng, với A = B. Giả sử các điều kiện i), ii), iii) được thỏa mãn. Ta chỉ ra tồn tại
ãeA sao cho д\р~'(а) = 0. Giả sử phản chứng
A \ p~
x
0, Vß G A. Theo (i) tồn tại a
0
ΠA sao cho a
0
e Л\Р"'(а0), ta suy ra do
đóа
0
€ Р ( а
0
) tức làa
ữ
(я0) hay a
f ì
e S
2
( a

Q
) .
Theo (ii) thì ô0eS,(a0), tức là a
0
là điểm bất động của S ị . Theo (iii) thì R(a
0
,a
0
, đúng
với mọi }GĨ(ô0,ữ0), ta suy ra a
0
G?(ữ0), điều này mâu thuẫn. Vậy tồn tại a G A sao
1
cho A \ p~' (ã) = 0 tức a là một lời giải của bài toán (VR).
Chú ý rằng định lý 2.3.1 và hệ quả 2.3.1 áp dụng cho những bài toán mà tập
không có cấu trúc tôpô (chỉ đơn thuần về mặt tập họp). Đe chúng có tính thực tiễn
hơn, trong các mục tiếp theo ta giả thiết rằng А, в là các tập con của
không gian véctơ tôpô Hausdorff và ánh xạ đa trị 5,, S
2
, T, quan hệ R có các tính chất
liên tạc theo định nghĩa nào đó đã biết. Do đó các định lý về sự tương giao và định lý
điểm bất động có thể áp dụng được. Ta giả thiết A là tập compắc.
Trong phần tiếp theo ta chỉ ra hai điều kiện đủ cho sự tồn tại lời giải của bài
toán (VR) dựa trên tính chất giao hữu hạn của các tập compắc và định lý giao KKM
- Fan 1.6.1 Ta có định nghĩa:
Định nghĩa 2.3.1 Bài toán (VR) được gọi là có lời giải hữu hạn nếu với mọi tập con
D hữu hạn của в, tồn tại a
0
(= A sao cho với mỗi be D thì hoặc
b ẹ Ẽ S

2
( a
ữ
) hoặc a0e5,(ß0) và R{ci
ữ
,b, y) xảy ra với mọi у e T ( a
ữ
, b ) .
Mệnh đề sau cho ta một điều kiện tương đương để bài toán (VR) có lời
giải:
Mệnh đề 2.3.1 Giả sử A là một tập compắc, p đóng. Bài toán (VR) có một lời giải
khi và chỉ khi nó có lời giải hữu hạn.
Chủng minh. (=>) Giả sử bài toán quan hệ biến phân (VR) có một lời giải là a, theo
định lý 2.3.1, ta có ae p|p(z?), từ đó suy ra với mọi D Œ , B hữu hạn
be в
thì a ep|P(b). Vậy với mọi tập con hữu hạn D Œ B , và mọi b e D , ũ G p { b )
beò
thì hoặc a G A \ 5,'1 (b) hoặc а e |я G Л : a G S ị (a) và R ( a , b , y ) xảy ra với mọi
y G r(a, &)j. Điều này có nghĩa b <£ s
2
ịã) hoặc a e 5, (ã) và Rịã, b, y) xảy ra với
mọi y GTịã.bỴ Vậy bài toán (VR) có lời giải hữu hạn.
1
(<=) Ngược lại, giả sử (VR) có lời giải hữu hạn, ta sẽ chứng minh (VR) có một
lời giải. Thật vậy, (VR) có lời giải hữu hạn dẫn đến với mọi tập con hữu hạn D cz в,
tồn tại a
Q
G A sao cho với mỗi Ò G D , hoặc b Ể S
2
(ứ0) hoặc

a0eS,(a0) và R ( a
0
, b , y ) xảy ra với mọi у e T ( a
0
, b ) . Như vậy ta có
a
0
< £ S ~ ' ( b ) hoặc fl0e5,(fl0) và R ( a
0
, b , y ) xảy ra với mọi y e T ( a
0
, b ) , tức là
a
ữ
e p ( b ) với mọi b e D . Ta suy ra a
0
e p|p(z?). Do p đóng nên theo tính
bei)
chất giao hữu hạn thì a
0
e P|p(b). Vậy bài toán (VR) có lời giải theo định lý 2.3.1.
Định lý tiếp theo cho ta một điều kiện đủ đế bài toán (VR) có lời giải dựa trên
định lý giao KKM - Fan 1.6.1. Ta giả thiết rang X , Y là không gian véctơ tôpô
Hausdorff, A = в là các tập con khác rỗng của X .
Định nghĩa 2.3.2 Quan hệ R được gọi là KKM nếu với mọi tập con hữu hạn
Ịa,, ,a k} của A và với mọi tổ hợp loi a của a
Ị 9
. . .
9
a

k
, ta tìm được chỉ số
ỉ к } sao cho /?(<3, a . , y) xảy ra với mọi у e T ( a , а ).
Định lý 2.3.2 Các điều kiện sau là điều kiện đủ để bài toán (VR) có lời giải:
i) A là tập lồi, compắc, khác rông.
ii) Ánh xạ p là ánh xạ có giá trị đóng.
iii) Với mỗi a G A, bao lồi của S2 (a) chứa trong S', (я).
iv) Quan hệ R là KKM.
Chứng mình. Xét ánh xạ p : A A được cho bởi:
/>(ữ) = [A\5,2l(a)]u|a^G A : a G S ^ Ũ ),/?(«, a , y) xảy ra với mọi
} / e ĩ Ị a , T a sẽ chứng minh р ( а ) ф 0 với mọi йеЛ và p là ánh xạ KKM. Giả
sử tồn tại й0еА sao cho p { a
0
) = 0. Theo định nghĩa của ánh xạ p ta có với mọi a
e A thì a < £ Á \ s ~
]
(a0), điều này dẫn đến a G S'1 ( a
0
) với mọi а . Vậy ta có a
0
2
e S
2
(ứ) với mọi а . Theo (iii), a
ữ
e 5j (a0). Vì R là KKM nên R ( a
ữ
, a
0
, y) xảy

ra với mọi a
0
e s, (a0), yeĩ (a0, a
ữ
Ỵ Điều này chứng tỏ
« 0
e
p
(
a
» ) - mâu thuẫn với
p ( a
ữ
) = 0 . Vậy ta CÓ p { ữ ) ^ 0 với mọi ÍỊỄẨ.
Tiếp theo ta chứng minh p là ánh xạ KKM. Xét a
{
, . .a
k
G A và a e A là tổ
họp lồi của chúng.
Neu tồn tại / e Ịl để a e AVS“1(a )thì ta có C l G p ( a ).
Neu với mọi /e|la Ể A\s~'(ứ.) ta chỉ ra rằng tồn tại /e{ 1, Д} sao cho a e ịàe A
:a ' G S
{
( a R [ a a . , y) xảy ra với mọi yGĩ(fl,ô.) và do đó a e P ( a ) . Thật
vậy, do a<£Á\ s~' (a. ) với mọi i = 1 ,k nên ta có a e S ~ ' ( a . ) với mọi / =
1Д, tức là a.eS2(fl). Do đó a e S
2
( a ) . Theo (iii) thì a e S ^ a ) . Vì R là KKM, nên
tồn tại /e|l, Д} sao cho R ( a , ữ , ỵ ) xảy ra với mọi }Gĩ(a,fl.). Điều này chứng tỏ

a e P ( a ) . Dan đến p là ánh xạ KKM.
Theo (i), (ii) và ánh xạ p là ánh xạ KKM, áp dụng định lý KKM - Fan
1.6.1 ta có pịp(a) Ф 0, tức là tồn tại a e pjp(ứ). Theo định lý 2.3.1 bài toán
aeA U€/1
(VR) có lời giải.
Ví dụ sau chỉ ra rằng nếu các điều kiện (ii), (iv) không được thỏa mãn thì
khắng định trong định lý 2.3.2 không còn đúng nữa:
Ví dụ 2.3.1 Xét bài toán cân bằng được nói ở trên. Với X = [o, l] ÇZ к, ánh xạ ф :
IxX->]R được xác định là ф ( х , ỵ ) = x
2
- x - ỵ + — .
Ta định nghĩa quan hệ R như sau:
R ( a , b , ỵ ) xảy ra khi và chỉ khi ф ( а , у ) > 0.
2
Ta có A = В = X = Y = [ 0 , \ ] , S
]
( a ) = S
2
( a ) = [ 0 , \ ] , T ( a , b ) = { b }
với mọi a , b e [0,1]. Dễ thấy các điều kiện (i), (iii) của định lý 2.3.2 được thỏa
mãn. Ta kiểm tra các điều kiện (ii), (iv).
Ta có Ẩ\S2"1(Z?) = 0 và
2
B = ị a e A : a e 5, (ữ), /?(ữ,y) xảy ra với mọi y e T ( a , Z?)Ị
= Ịfl e[0, l]:a e[0,1], R(a,b, xảy ra với mọi ;y e {&},/? e[0, l]Ị
= |ứ! G [0,1]: ộ(a, b) > 0, với mọi b G [o, l]j.
1 Ị _ ,^3
Do ậ ( a , b ) = a
2
- a - b + — > 0, với mọi b e [ 0,1] nên ta có hoặc a < —

1-^3
hoặc a > —. Điều này chứng tỏ tập B = 0 tức
p(z?)
= 0 với mọi
b e ị o , 1] và do đó điều kiện (ii) được thỏa mãn. Hơn nữa ta có ệ(\, l) = 1-1-1 + —
<0 nên /?(l, 1, l) không xảy ra, do đó điều kiện (iv) không được thỏa mãn. Do p { b )
= 0 với mọi b e [0,1] hay f ) p ( b ) = 0 nên
bài toán (VR) không có lời giải.
Xét ánh xạ
— -y, nẽu0<x< —
2
3
4 Tương tự’ ta dễ kiểm tra được các điều kiện (i), (iii), (iv) của định lý 2.3.2
được thỏa mãn nhưng điều kiện (ii) của định lý này không được thỏa mãn ( p ( \
5) và bài toán (VR) cũng không có lời giải.
6Tiếp theo, ta tìm các điều kiện đế ánh xạ p là ánh xạ đóng và R là KKM,
nghĩa là thỏa mãn các điều kiện (ii), (iv) của định lý 2.3.2.
2
ệ { x , y )
không đóng khi X
7 Định nghĩa 2.3.3 Giả sử b là một điểm cố định của Л . Ta nói rằng quan hệ
R ( . , b ,.) là đóng đối với biến thứ nhất và thứ ba nếu với mọi dãy Ị(<3 , y )Ị
8 hội tụ tới (úf, y) và nếu R ( a , b , ỵ ) xảy ra với mọi a thì R ( a , b , >’) cũng
xảy ra.
9 Đặt E = ị a G A : a G S ị (ứ)j là tập tất cả các điểm bất động của 5,. Giả sử
P
R
( b ) = ị x e A : R ( x , b , ỵ ) xảy ra với mọi ye T ( x , b ) j. Khi đó ta có u(£n
P
K

( b Ỵ ) . Do đó p ( b ) là tập đóng nếu л\52'(/?) và E n P
R
{ b ) là tập đóng.
10 Bổ đề dưới đây cho ta điều kiện để p { b ) là tập đóng:
11 Bỗ đề 2.3.1 Giả sử b e A và
12 ỉ ) A , E là các tập đóng,
13 iỉ) ‘S
,
2
"
l
(^) là tập mở trong A,
iii) r(., b) là nửa liên tục dưới đối với biến thứ nhất,
14 ỉv) /?(., b,.) là đóng đối với biến thứ nhất và biến thứ ba.
15 Khi đỏ p{b) là tập đóng.
16 Chủng minh. Ta chỉ ra rằng A \ s ~ ' ( b ) và Ec\P
R
{b) là các tập đóng. Tập A \
(b) là tập đóng do A là tập đóng, iS“1 (z?) là tập mở trong А. Đe chỉ ra
17 E n P
R
( b ) là tập đóng trong А , xét { а } bất kì trong A, sao cho a hội tụ về
a và R [ a
a
, b , у ) xảy ra với mọi ỵ & т ( а
а
, ь ) . Ta chứng minh a e P
R
( b ) , tức
là R [ a ,b , >’) xảy ra với mọi у e T ( a , b ) . Theo (iii), với mọi ỵ e T ( a , b ) , tồn tại

ỵ e T ( a , b ) sao cho
3
? hội tụ về y và ta suy ra /?(a , b , ỵ ) xảy ra với mọi a . Do
2
(iv), nên R [ a , b , y) xảy ra với mọi y e T ( a , b ) dẫn đến a e P
R
( b ) . Vậy P
R
( b ) là
tập đóng.
18 Từ định lý 2.3.2 và bổ đề 2.3.1 ta rút ra được một điều kiện đủ để bài
toán (VR) có lời giải:
19 Hệ quả 2.3.2 Các điều kiện sau là điều kiện đủ đế bài toán ( V R ) có lời
giải: ì) A là tập lồi, compắc, khác rông, ỉi) E là tập đóng.
20 ỉỉi) s~'(b) là mở trong A với mọi Ò G Á , ba o l ồ i c ủ a S
2
( b }
chứa trong
21 s , { b ) .
22 ỉv) Với mỗi be A, T(., b) là nửa liên tục dưới đối với biến thứ nhất.
v) R là KKM và với mỗi be A, /?(., b,.) là đỏng với biến thứ nhất và biến thứ ba.
23 Chủng minh. Áp dụng bổ đề 2.3.1 và định lý 2.3.2.
24 Tính chất KKM của một quan hệ có thể tìm trong đại bộ phận các bài
báo về bất đắng thức biến phân được phát biếu dưới các dạng khác nhau. Ta xét một
số ví dụ:
25 Ví dụ 2.3.2 (i) Ánh xạ tựa lồi theo đường chéo (Diagonally quasiconvex
maps)
26 Giả sử F : Ax A^Y và G : A ^ Y là các ánh xạ đa trị. Ta nói rằng F là
G - tựa lồi theo đường chéo nếu với mọi tập con hữu hạn D của A và với mọi tổ
họp lồi a của các phần tử của D ta có F [ a , D ) ị G(a).

27 Định nghĩa T: A x A ^ Y , r(a, /?) = Ịz?| và quan hệ R như sau:
28 Rị^ci, b, xảy ra khi và chỉ khi F ( a ,
29 Khi đó F là G - tựa lồi theo đường chéo khi và chỉ khi R là KKM.
2