CÁC ĐỀ THI TOÁN LỚP 11

KY THI OLYMPIC TRUYÊN THÔNG 30/4̀ ̀ ́
LÂN TH XIII TAI THANH PHÔ HUỀ Ứ ̣ ̀ ́ ́
ĐÊ THI MÔN TOÁN ̀ L P 11Ớ
Th i gian lam bai: 180 phútờ ̀ ̀
Chu y:́ ́ Môi câu hoi thi sinh lam trên 01 t giây riêng biêt̃ ̉ ́ ̀ ờ ́ ̣
Câu 1 (4 đi mể ).
Gi i h ph ng trình sau:ả ệ ươ





+++=++
+
+
=
−
1)2yx(log2)6y2x(log3
1y
1x
e
23
2
2

xy
22
Câu 2 (4 đi mể ).
Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng d và s đo c a nh di n [B,SC,D]ề ạ ằ ố ủ ị ệ
b ng 150ằ
0
. Tính th tích c a hình chóp đ u S.ABCD theo d.ể ủ ề
Câu 3 (4 đi m).ể
Cho dãy s d ng (aố ươ
n
).
a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng k :ứ ằ ớ ọ ố ươ
( )








+
++++
+
≤
−
k
1k
k
3

2
3
2
2
1
k
k21
a
k
1k
a
3
4
a
2
3
a2
)1k(k
1
a a.a
b. Bi t ế
∈=
∑
=
∞→
aalim
n
1i
i
n

R. Đ t bặ
n
=
n
n21
3
321211
a aa aaaaaa ++++
v i nớ
1
≥
Ch ng minh r ng dãy (bứ ằ
n
) có gi i h n.ớ ạ
Câu 4 (4 đi m).ể
Cho hàm s f(x) = 2x – sinx.ố
Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h tho mãn đ ng th i các ứ ằ ồ ạ ằ ố ố ả ồ ờ
đi u ki n sau: ề ệ
1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x. ớ ọ ố ự
2) h(x) là hàm s tu n hoàn. ố ầ
3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
Câu 5 (4 đi m).ể
Tìm t t c các s t nhiên m, n sao cho đ ng th c sau đúng:ấ ả ố ự ẳ ứ
8
m
= 2
m
+ n(2n-1)(2n-2)
H T Ế
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả

ĐÁP ÁN TOÁN L P 11Ớ
N I DUNGỘ ĐI MỂ
C âu 1: Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
2 2
2
2
3 2
1
(1)
1
3log ( 2 6) 2log ( 2) 1 (2)
y x
x
e
y
x y x y
−
−
+
=
=
+
+

+
+ + = + + +
+
Đk: x + 2y +6 > 0 và x + y + 2 > 0 0,5
Ph ng trình (1) ươ ⇔ y
2
– x
2
= ln(x
2
+1) – ln(y
2
+1)
⇔ ln(x
2
+1)+ x
2
+1 = ln(y
2
+1)+y
2
+1 (3)
Xét hàm s f(t) = lnt + t v i t ố ớ ≥ 1
Ph ng trình (3) có d ng f(xươ ạ
2
+1) = f(y
2
+1) (4)
Ta có f(t) đ ng bi n trên [1ồ ế ;+
∞

).
Do đó (4) ⇔ x
2
+1 = y
2
+1 ⇔ x = ± y
1
* V i x = -y , t (2) ta đ c ớ ừ ượ
3
log (6 ) 1x− =
, v i x<6ớ
⇔ x = 3 ⇒ y = -3 (th a mãn h )ỏ ệ
0.5
* V i x = y , t (2) ta đ cớ ừ ượ
3 2
3log ( 2) 2log ( 1)x x+ = +
v i x > -1ớ
0.5
Đ t ặ
3 2
3log ( 2) 2log ( 1)x x+ = +
= 6u ⇒
2
3
2 3
1 2
u
u
x
x

x
+ =
+
+ =
+
⇒ 1+2
3u
= 3
2u
⇔
1 8
1
9 9
u u
� � � �
+ =
� � � �
� � � �
(5)
Xét g(u) =
1 8
9 9
u u
� � � �
+
� � � �
� � � �
, g(u) là hàm ngh ch bi n trên R và có g(1) = 1 nênị ế
u = 1 là nghi m duy nh t c a (5).ệ ấ ủ
V i u = 1 suy ra x = y = 7 (th a mãn h )ớ ỏ ệ

1
V y h có 2 nghi m (3ậ ệ ệ ;-3) , (7 ;7)
0.5







N I DUNGỘ ĐI MỂ
C âu 2: Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng d và s đo c a nh di nề ạ ằ ố ủ ị ệ
[B,SC,D] b ng 150ằ
0
. Tính th tích c a hình chóp để ủ ều S.ABCD theo d.
Ta có: BD
⊥
SC . Dựng mặt phẳng qua BD vuoâng goùc vôùi SC
taïi P.
Ta coù :
0
150BPD =∠
1
Ta có: cos150
0
=
2
2
2
22

BP2
BD
1
BP2
BDBP2
−=
−
(1)
0.5
G i M là trung đi m c a BC. Ta có SM .BC = BP.SC.ọ ể ủ
BC = d, g i h là chi u cao hình chóp S.ABCDọ ề
Ta có: SM
2
= h
2
+
4
d
2
; SC
2
= h
2
+
2
d
2
. Suy ra: BP
2
=

)dh2(2
)dh4(d
22
222
+
+
1
(1) tr thành:ở
22
2
dh4
d
2
3
+
−=−
. Suy ra: h =
3
332
2
d −
1
V
S.ABCD
=
6
d
dtABCD.h
3
1

3
=
3
332 −
0.5







N I DUNGỘ
ĐI MỂ
C âu 3 Cho dãy s d ng (aố ươ
n
).
a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng k: ứ ằ ớ ọ ố ươ
( )








+
++++
+

≤
−
k
1k
k
3
2
3
2
2
1
k
k21
a
k
1k
a
3
4
a
2
3
a2
)1k(k
1
a a.a
b. Bi t ế
∈=
∑
=

∞→
aalim
n
1i
i
n
R.
Đ t bặ
n
=
n
n21
3
321211
a aa aaaaaa ++++
v i nớ
1
≥
Ch ng minh r ng dãy (bứ ằ
n
) có gi i h n.ớ ạ
a)Ta có

2 3
1 2 3 1 2 3
2 1
2 3
1 2 3 1 2 3
2 1
2 3

1 2 3
2 1
3 4 ( 1)
( 2)( )( ) ( ) ( 1)
2
3
1 3 4 ( 1)
( 2)( )( ) ( )
1 2
3
1 3 4 ( 1)
( 2) ( ) ( ) ( )
( 1) 2
3
k
k
k
k k
k
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
a a a a a a a a k
k

k
a a a a a a a a
k
k
k
a a a a
k k
k
−
−
−
+
= +a
+
=+
+
� �
+
+ + + +
� �
+
� �
2
b)
T câu a) suy raừ
2
1 2
1
1 1 3 1 1 ( 1) 1
( 2)( ) ( )( ) ( )( )

1.2 ( 1) 2 2.3 ( 1) ( 1)
n
n n
n
n
b a a a
n n n n n n
n
−
+
+ + + + + + + +
+ + +

Do :
1
1n
1
1
1n
1
n
1

3
1
2
1
2
1
1

)1n(n
1

3.2
1
2.1
1
<
+
−=
+
−++−+−=
+
+++
nên
1 2
1 2
1
1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) ( )
1 2
n
n
n n i
i
b a a a e a
n
=
= + + + + + + <
=

v i ớ
n
n
n
1
1lime






+=
∞→
(b
n
) tăng và b ch n trên, do đó có gi i h n. ị ặ ớ ạ
2







N I DUNGỘ ĐI MỂ
C âu 4: Cho hàm s f(x)= 2x – sinx.ố
Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h th a mãn đ ng th iứ ằ ồ ạ ằ ố ố ỏ ồ ờ
các đi u ki n sau :ề ệ
1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x.ớ ọ ố ự

2) h(x) là hàm s tu n hòan.ố ầ
3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự

T đi u ki n 3) cho th y mu n ch ng t t n t i g ch c n ch ng t f cóừ ề ệ ấ ố ứ ỏ ồ ạ ỉ ầ ứ ỏ
hàm s ng c.ố ượ
Chú ý : f đ ng bi n trên (-ồ ế
∞
;+
∞
) nên có hàm s ng c g.ố ượ
Ta có : f(g(x)) = x và g(f(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
1
Đ t : h(x) = g(x) – bx. Ta s ch n b đ h(x) tu n hòan.ặ ẽ ọ ể ầ 0.5
Hàm sinx tu n hoàn chu kì 2ầ
π
.
Ta s ch ng t g(x+ 4ẽ ứ ỏ
π
) = g(x) +2
π
v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
Th t v y : g(x)+2ậ ậ
π
= [f(g(x) +2
π
)] = g[2(g(x)+2
π
) - sin(g(x)+2
π
)]

=g[2g(x)-sin(g(x)) + 4
π
] = g[f(g(x)) + 4
π
] = g( x +4
π
).
1
T đó : h(x+4ừ
π
) = g(x + 4
π
) – b(x+4
π
) = g(x) + 2
π
-bx – 4b
π
= h(x) + 2
π
(1-2b).
1
N u ch n b =ế ọ
2
1
thì h(x + 4
π
) = h(x) v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
0.5

N I DUNGỘ ĐI MỂ
C âu 5: Tìm t t c các s t nhiên m,n sao cho đ ng th c sau đúng : ấ ả ố ự ẳ ứ
8
m
= 2
m
+ n(2n-1)(2n-2) .
Đ t x = 2ặ
m
, y = 2n-1 v i m ,n là các s t nhiên .ớ ố ự
Ta có : (x,y) =1 và 2(x
3
-x) = (y+1)y(y-1)
⇔
y(y
2
-1) = 2x(x
2
-1) (1)
Do m ≥ 0 , n ≥ 0 nên x ≥ 1 và y ≥ -1 .
0.5
+ Tr ng h p x =1: Ta có m = 0 .Lúc đó n = 0 hay n =1 .ườ ợ 1
+Tr ng h p x >1:ườ ợ
T (1) và (x,y)=1 suy ra : yừ

2
-1 chia h t cho x và 2(xế
2
-1) chia h t cho y. Do đóế
2(x
2
-1).(y
2
-1) chia h t cho xy. Nh ng: 2(xế ư
2
-1)(y
2
-1) = 2[x
2
y
2
-2xy-((x-y)
2
-1)]
nên cũng có: 2((x-y)
2
-1) chia h t cho xy (2)ế
0.5
Chú ý: v i x >1 thì t (1) ta có xớ ừ
3
< y
3
< 2x
3
.

Th t v y : (1) ậ ậ
⇔
(y-x)(y
2
+xy+y
2
-1) = x
3
-x.
V i x>1 ta có xớ
3
-x>0.Lúc này y>0 và y
2
+xy+y
2
-1>0,nên y>x.
Ngoài ra: (x
2
-1)(2x
3
-y
3
) = x
2
[2(x
3
-x)] – (x
2
-1)y
3

= x
2
(y
3
-y)-(x
2
-1)y
3

= y(y
2
-x
2
) > 0. Do đó: 2x
3
-y
3
> 0
1
+ T đó: 0<y-x = x(ừ
x
y
-1) < x(
3
2
-1) .Do đó (y-x)
2
<x
2
(

3
2
-1)
2
<
2
1
xy .
Suy ra: 0 ≤ 2((y-x)
2
-1) < xy .
K t h p v i (2) ta có: (y-x)ế ợ ớ
2
-1 =0 hay y = x +1 .
0.5
Thay vào (1), ta có x = 4 và y = 5 .Lúc này m = 2, n = 3.
Các c p (m,n) th a bài tóan là: (0,0) ;(0,1) ;(2,3) .ặ ỏ 0.5