Lý thuyết điều khiển tối ưu

Chng 1 : iu khin ti u
Hc kì 1 nm hc 2005-2006


Chng 1

IU KHIN TI U


Vài nét lch s phát trin lý thuyt điu khin .
- Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange 1766 .
- Tiêu chun n đnh Lyapunov 1892 .
- Trí tu nhân to 1950 .
- H thng điu khin máy bay siêu nh 1955 .
- Nguyên lý cc tiu Pontryagin 1956 .
- Phng pháp quy hoch đng Belman 1957 .
- iu khin ti u tuyn tính dng toàn
phng LQR ( LQR : Linear Quadratic
Regulator ) .
- iu khin kép Feldbaum 1960 .
- Thut toán di truyn 1960 .
- Nhn dng h thng 1965 .
- Logic m 1965 .
- Lut điu khin h thng thích nghi mô hình tham chiu MRAS và b t
chnh đnh STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR :
Self-Tuning Regulator ) .
- H t hc Tsypkin 1971 .
- Sn phm công nghip 1982 .
- Lý thuyt bn vng 1985 .
- Công ngh tính toán mm và điu khin tích hp 1985 .

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 2

1.1 CHT LNG TI U
1.1.1 c đim ca bài toán ti u
1. Khái nim
Mt h điu khin đc thit k  ch đ làm vic tt nht là h luôn  trng
thái ti u theo mt tiêu chun cht lng nào đó ( đt đc giá tr cc tr ) .
Trng thái ti u có đt đc hay không tùy thuc vào yêu cu cht lng
đt ra , vào s hiu bit v đi tng và các tác đng lên đi tng , vào
điu kin làm vic ca h điu khin …
Mt s ký hiu s dng trong chng 1 .

Hình 1.1: S đ h thng điu khin .

H thng điu khin nh hình trên bao gm các phn t ch yu : đi tng
điu khin ( TK ) , c cu điu khin ( CCK ) và vòng hi tip ( K ) .
Vi các ký hiu :
x
0
: tín hiu đu vào
u : tín hiu điu khin
x : tín hiu đu ra
ε
= x
0
– x : tín hiu sai lch
f : tín hiu nhiu
Ch tiêu cht lng J ca mt h thng có th đc đánh giá theo sai lch

ca đi lng đc điu khin x so vi tr s mong mun x
0
, lng quá điu
khin ( tr s cc đi x
max
so vi tr s xác lp
(
)
x
∞
tính theo phn trm ) ,
thi gian quá đ … hay theo mt ch tiêu hn hp trong điu kin làm vic
nht đnh nh hn ch v công sut , tc đ , gia tc … Do đó vic chn mt
lut điu khin và c cu điu khin đ đt đc ch đ làm vic ti u còn
tùy thuc vào lng thông tin ban đu mà ta có đc .
 đây chúng ta có th thy đc s khác bit ca cht lng ti u khi
lng thông tin ban đu thay đi ( Hình 1.2 ) .
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 3


Hình 1.2 :
Ti u cc b và ti u toàn cc .

Khi tín hiu điu khin u gii hn trong min [u
1
,u
2
] , ta có đc giá tr ti
u cc đi

1
J
∗
ca ch tiêu cht lng J ng vi tín hiu điu khin
1
u
∗
.
Khi tín hiu điu khin u không b ràng buc bi điu kin
12
uuu
≤
≤ , ta
có đc giá tr ti u
21
JJ
∗
∗
> ng vi
2
u
∗
. Nh vy giá tr ti u thc s
bây gi là
2
J
∗
.
Tng quát hn , khi ta xét bài toán trong mt min
[

]
,
mn
uu
nào đó và tìm
đc giá tr ti u
i
J
∗
thì đó là giá tr ti u cc b . Nhng khi bài toán
không có điu kin ràng buc đi vi u thì giá tr ti u là
()
i
JextremumJ
∗∗
= vi
i
J
∗
là các giá tr ti u cc b , giá tr J
∗
chính là
giá tr ti u toàn cc .
iu kin tn ti cc tr :
•
o hàm bc mt ca J theo u phi bng 0 :
0=
∂
∂
u

J

• Xét giá tr đo hàm bc hai ca J theo u ti đim cc tr :
0
2
2
>
∂
∂
u
J
: đim cc tr là cc tiu
0
2
2
<
∂
∂
u
J
: đim cc tr là cc đi
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 4

2. iu kin thành lp bài toán ti u
 thành lp bài toán ti u thì yêu cu đu tiên là h thng phi có đc tính
phi tuyn có cc tr .
Bc quan trng trong vic thành lp mt h ti u là xác đnh ch tiêu cht
lng J . Nhim v c bn  đây là bo đm cc tr ca ch tiêu cht lng
J . Ví d nh khi xây dng h ti u tác đng nhanh thì yêu cu
đi vi h

là nhanh chóng chuyn t trng thái này sang trng thái khác vi thi gian
quá đ nh nht , ngha là cc tiu hóa thi gian quá đ . Hay khi tính toán
đng c tên la thì ch tiêu cht lng là vt đc khong cách ln nht
vi lng nhiên liu đã cho .
Ch tiêu cht lng J ph thuc vào tín hiu ra x(t) , tín hiu điu khin u(t)
và thi gian t . Bài toán
điu khin ti u là xác đnh tín hiu điu khin u(t)
làm cho ch tiêu cht lng J đt cc tr vi nhng điu kin hn ch nht
đnh ca u và x .
Ch tiêu cht lng J thng có dng sau :
0
[(),(),]
T
JLxtuttdt=
∫

Trong đó L là mt phim hàm đi vi tín hiu x , tín hiu điu khin u và
thi gian t .
Ly ví d v bài toán điu khin đng c đin mt chiu kích t đc lp
kt
constΦ= vi tín hiu điu khin u là dòng đin phn ng i
u
và tín hiu ra
x là góc quay
ϕ
ca trc đng c .



Hình 1.3 :

ng c đin mt chiu kích t đc lp .

Ta có phng trình cân bng moment ca đng c :
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 5

Mu c q
d
ki M M
dt
ω
−= (1)

d
dt
ϕ
ω
= (2)
trong đó
MM
k C const=Φ= ; M
q
là moment quán tính ;
ω
là tc đ góc ;
ϕ

là góc quay . Gi s b qua ph ti trên trc đng c ( 0
c
M

=
) thì :

2
2
Mu q
d
ki M
dt
ϕ
= (3)
Nu xét theo thi gian tng đi bng cách đt :

/
M
q
tk M
τ
=

thì (3) có dng :

2
2
u
d
i
d
ϕ
τ

=
(4)
T đó ta có :

2
2
dx
u
d
τ
=
(5)
Vy phng trình trng thái ca đng c đin là mt phng trình vi phân
cp hai .
• Bài toán ti u tác đng nhanh ( thi gian ti thiu ) :
Tìm lut điu khin u(t) vi điu kin hn ch
1u
≤
đ đng c quay t v
trí ban đu có góc quay và tc đ đu bng 0 đn v trí cui cùng có góc
quay bng
0
ϕ
và tc đ bng 0 vi mt khong thi gian ngn nht .
Vì cn thi gian ngn nht nên ch tiêu cht lng J s là :

0
[(),(),]
T
JLxtuttdtT

=
=
∫

Rõ ràng t phng trình trên ta phi có [(),(),] 1Lxtutt
=
.
Nh vy , đi vi bài toán ti u tác đng nhanh thì ch tiêu cht lng J có
dng :

∫
==
T
TdtJ
0
1

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 6

• Bài toán nng sut ti u :
Nng sut  đây đc xác đnh bi góc quay ln nht ca đng c trong thi
gian T nht đnh . Khi đó ch tiêu cht lng J có dng :

0
00
[ (), (),] ()
TT
T
JLxtuttdt tdt
ϕϕ ϕ

==−=
∫∫


Do đó [ (), (),] () ()Lxtutt t xt
ϕ
=
=


và ta s có ch tiêu cht lng J đi vi
bài toán nng sut ti u nh sau :
()
0
T
Jxtdt=
∫


• Bài toán nng lng ti thiu :
Tn hao nng lng trong h thng :

0
T
uu
QUidt=
∫

Da vào phng trình cân bng đin áp :

uuu e
UiRk
ω
=
+
và phng trình cân bng moment :

Mu c q
d
ki M M
dt
ω
−=

Ta tính đc :

2
0
00
()
TT
ec
uu T uu
M
kM
QUidt Ridt
k
ϕϕ
== −+
∫∫

 có đc tiêu hao nng lng ti thiu , ta ch cn tìm cc tiu ca J :

2
00
[(),(),]
TT
u
JLxtuttdtidt==
∫
∫

Mà dòng đin phn ng i
u
 đây chính là tín hiu điu khin u . Vì vy ch
tiêu cht lng J đi vi bài toán nng lng ti thiu có dng :
2
0
()
T
Jutdt=
∫


Chng 1 : iu khin ti u
Trang 7
3. Ti u hoá tnh và đng
Chúng ta cn phân bit hai dng bài toán ti u hoá tnh và ti u hóa đng .
Ti u hóa tnh là bài toán không ph thuc vào thi gian . Còn đi vi ti
u hóa đng thì thi gian cng là mt bin mà chúng ta cn phi xem xét

đn .

1.1.2 Xây dng bài toán ti u
1. Ti u hóa không có điu kin ràng buc
Mt hàm ch tiêu cht lng vô hng
()
0
=
uL đc cho trc là mt hàm
ca mt vector điu khin hay mt vector quyt đnh
m
Ru ∈

. Chúng ta cn
chn giá tr ca
u sao cho L(u) đt giá tr nh nht .
 gii bài toán ti u , ta vit chui Taylor m rng cho đ bin thiên ca
L(u) nh sau :

)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++= (1.1)
Vi O(3) có th coi là s hng th 3 . Grad ca L theo u là mt vector m ct :

⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂
∂
Δ
m
u
uL
uL
uL
u
L
L
/
/
/
2

1

(1.2)
và đo hàm cp 2 ca L theo u là mt ma trn m x m ( còn gi là ma trn
Hessian ) :

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
=
∂
∂
Δ
ji
uu
uu
L
u
L
L
2
2
2

(1.3)
L
uu
đc gi là ma trn un .
Mt đim cc tr hoc đim dng xut hin khi s bin thiên dL vi thành
phn th nht tin v 0 vi mi bin thiên du trong quá trình điu khin . Vì
vy , đ có đim cc tr thì :
0
=
u
L (1.4)
Gi s đang  ti đim cc tr , có L
u
= 0 nh (1.4) .  đim cc tr tr
thành đim cc tiu , chúng ta cn có :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 8


)3(
2
1
OduLdudL
uu
T
+= (1.5)
là xác đnh dng vi mi s bin thiên du . iu này đc đm bo nu ma
trn un L
uu
là xác đnh dng :
0>

uu
L (1.6)
Nu L
uu
là xác đnh âm thì đim cc tr chính là đim cc đi ; còn nu L
uu

là không xác đnh thì đim cc tr chính là đim yên nga . Nu L
uu
là bán
xác đnh thì chúng ta s xét đn thành phn bc cao hn trong (1.1) đ xác
đnh đc loi ca đim cc tr .
Nhc li : L
uu
là xác đnh dng ( hoc âm ) nu nh các giá tr riêng ca nó
là dng ( hoc âm ) , không xác đnh nu các giá tr riêng ca nó va có
dng va có âm nhng khác 0 , và s là bán xác đnh nu tn ti giá tr
riêng bng 0 . Vì th nu
0=
uu
L , thì thành phn th hai s không hoàn
toàn ch ra đc loi ca đim cc tr .
2. Ti u hóa vi các điu kin ràng buc
Cho hàm ch tiêu cht lng vô hng
(
)
uxL , , vi vector điu khin
m
Ru ∈
và vector trng thái

n
Rx ∈
. Bài toán đa ra là chn u sao cho hàm
ch tiêu cht lng L(x,u) đt giá tr nh nht và tha mãn đng thi các
phng trình điu kin ràng buc .

(
)
0,
=
uxf (1.7)
Vector trng thái x đc xác đnh t mt giá tr u cho trc bng mi quan
h (1.7) , vì th f là mt h gm n phng trình vô hng ,
n
Rf ∈

.
 tìm điu kin cn và đ ca giá tr cc tiu , đng thi tha mãn
()
0, =uxf , ta cn làm chính xác nh trong phn trc . u tiên ta khai
trin
dL di dng chui Taylor , sau đó xác đnh s hng th nht và th
hai .
Tha s Lagrange và hàm Hamilton .
Ti đim cc tr , dL vi giá tr th nht bng 0 vi mi s bin thiên ca
du khi df bng 0 . Nh vy chúng ta cn có:
0=+= dxLduLdL
T
x
T

u
(1.8)
và:
0
=
+
=
dxfdufdf
xu
(1.9)
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 9
T (1.7) ta xác đnh đc x t giá tr u đã có, đ bin thiên dx đc xác đnh
bi (1.9) t giá tr bin thiên du đã có . Nh vy , ma trn Jacobi f
x
không
k d và :
duffdx
ux
1−
−= (1.10)
Thay dx vào (1.8) ta đc :

duffLLdL
ux
T
x
T
u
)(

1−
−= (1.11)
o hàm riêng ca
L theo u cha hng s f đc cho bi phng trình :

()
x
T
x
T
uu
T
ux
T
x
T
u
df
LffLffLL
u
L
−−
=
−=−=
∂
∂
1
0
(1.12)
vi

()
T
x
T
x
ff
1−−
=
. Lu ý rng :

u
dx
L
u
L
=
∂
∂
=0
(1.13)
 thành phn th nht ca dL bng không vi giá tr du tùy ý khi 0=df ,
ta cn có :

0=−
−
x
T
x
T
uu

LffL
(1.14)
ây là điu kin cn đ có giá tr cc tiu . Trc khi đi tìm điu kin đ ,
chúng ta hãy xem xét thêm mt vài phng pháp đ có đc (1.14) .
Vit (1.8) và (1.9) di dng:

0=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
du
dx
ff
LL

df
dL
ux
T
u
T
x
(1.15)
H phng trình tuyn tính này xác đnh mt đim dng , và phi có mt
kt qu
[]
T
TT
dudx . iu này ch xy ra nu ma trn h s
(
)( )
mnn +
×
+
1

có hng nh hn n+1 . Có ngha là các hàng ca ma trn tuyn tính vi nhau
đ tn ti mt vector
λ
có n s hng nh sau:

[
]
0.1 =
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ux
T
u
T
x
T
ff
LL
λ
(1.16)
Hay:
0=+
x
TT
x
fL
λ
(1.17)

0=+
u
TT
u
fL
λ

(1.18)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 10

Gii (1.17) ta đc
λ
:

1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
(1.19)
và thay vào (1.18) đ có đc (1.14) .
Vector
n
R∈
λ
đc gi là tha s Lagrange , và nó s là công c hu ích
cho chúng ta sau này .  hiu thêm ý ngha ca tha s Lagrange ta xét du
= 0 , t (1.8) và (1.9) ta kh dx đ đc :

dffLdL
x
T
x
1−

=
(1.20)
Vì vy:

()
λ
−==
∂
∂
−
=
T
x
T
x
du
fL
f
L
1
0
(1.21)
Do đó -
λ
là đo hàm riêng ca L vi bin điu khin u là hng s . iu này
nói lên tác dng ca hàm ch tiêu cht lng vi bin điu khin không đi
khi điu kin thay đi .
Nh là mt cách th ba đ tìm đc (1.14) , ta phát trin thêm đ s dng
cho các phân tích trong nhng phn sau . Kt hp điu kin và hàm ch tiêu
cht lng đ tìm ra hàm Hamilton .

(
)
(
)
(
)
uxfuxLuxH
T
,,,,
λλ
+= (1.22)
Vi
n
R∈
λ
là tha s Lagrange cha xác đnh . Mun chn x , u ,
λ
đ có
đc đim dng , ta tin hành các bc sau .
 bin thiên ca H theo các đ bin thiên ca x , u ,
λ
đc vit nh sau :

λ
λ
dHduHdxHdH
TT
u
T

x
++=
(1.23)

Lu ý rng :

),( uxf
H
H =
∂
∂
=
λ
λ
(1.24)
Gi s chúng ta chn các giá tr ca u tha mãn :
0
=
λ
H (1.25)
Sau đó ta xác đnh x vi giá tr ca u đã có bng phng trình điu kin ràng
buc
()
0, =uxf . Trong trng hp này hàm Hamilton tng đng vi
hàm ch tiêu cht lng:
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 11

LH
f

=
=0
(1.26)
Nhc li : nu f = 0 , ta s tìm đc dx theo du t (1.10) . Ta không nên xét
mi quan h gia du và dx đ thun tin trong vic chn
λ
sao cho :
0
=
x
H (1.27)
Sau đó , t (1.23) , đ bin thiên dH không cha thành phn dx. iu này
mang li kt qu
λ
:

0=+=
∂
∂
λ
T
xx
fL
x
H
(1.28)
hay
1−
−=
x

T
x
T
fL
λ
.
Nu gi nguyên (1.25) và (1.27) thì:
duHdHdL
T
u
== (1.29)
Vì H = L, đ có đc đim dng ta phi áp đt điu kin:
0
=
u
H (1.30)
Tóm li , điu kin cn đ có đc đim cc tiu ca L(x,u) tha mãn điu
kin ràng buc f(x,u) = 0 gm có :

0==
∂
∂
f
H
λ
(1.31a)

0=+=
∂
∂

λ
T
xx
fL
x
H
(1.31b)

0=+=
∂
∂
λ
T
uu
fL
u
H
(1.31c)
Vi
()
λ
,,uxH xác đnh bi (1.22) . Cách thng dùng là t 3 phng trình
đã cho xác đnh x ,
λ
, và u theo th t tng ng . So sánh 2 phng trình
(1.31b) và (1.31c) ta thy chúng tng ng vi 2 phng trình (1.17) và
(1.18) .
Trong nhiu ng ng , chúng ta không quan tâm đn giá tr ca
λ
, tuy nhiên

ta vn phi đi tìm giá tr ca nó vì đó là mt bin trung gian cho phép chúng
ta xác đnh các đi lng cn tìm là u , x và giá tr nh nht ca L .
u đim ca tha s Lagrange có th tóm tt nh sau : trên thc t , hai đi
lng dx và du không phi là hai đi lng bin thiên đc lp vi nhau ,
theo (1.10) . Bng cách đa ra mt tha s bt đnh
λ
, chúng ta chn
λ
sao
cho dx và du có th đc xem là hai đi lng bin thiên đc lp vi nhau .
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 12

Ly đo hàm riêng ca H ln lt theo các bin nh trong (1.31) , nh th ta
s có đc đim dng .
Khi đa ra tha s Lagrange , chúng ta có th thay th bài toán tìm giá tr
nh nht ca L(x,u) vi điu kin ràng buc f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
giá tr nh nht ca hàm Hamilton H(x,u,
λ
) không có điu kin ràng buc .

iu kin đã (1.31) xác đnh mt đim dng . Ta s tip tc chng minh đây
là đim cc tiu nh đã thc hin trong phn trc .
Vit chui Taylor m rng cho đ bin thiên ca L và f nh sau :


[] []
)3(
2
1
O

du
dx
LL
LL
dudx
du
dx
LLdL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
=
(1.32)

[]
[]
)3(
2
1
O
du
dx
ff
ff
dudx
du
dx
ffdf
uuux
xuxx
TT
ux
+
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
(1.33)
Vi:

xu
f
f
xu
∂∂
∂
=
Δ
2

 đa ra hàm Hamilton , ta s dng các phng trình sau :

[] [ ] []
)3(
2
1
1 O
du
dx
HH
HH
dudx
du
dx
HH
df
dL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
T
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ

(1.34)
Bây gi , đ có đc đim dng ta cn có 0
=
f , và đng thi thành phn
th nht ca dL bng 0 vi mi s bin thiên ca dx và du . Vì 0=f
nên 0=df , và điu này đòi hi 0
=
x

H và 0
=
u
H nh trong (1.31) .
 tìm điu kin đ cho đim cc tiu , chúng ta xét đn thành phn th hai .
u tiên , ta cn xem mi quan h gia dx và du trong (1.34) . Gi s rng
chúng ta đang  đim cc tr nên 0
=
x
H , 0
=
u
H và 0
=
df . Sau đó, t
(1.33) ta có :
)2(
1
Oduffdx
ux
+−=
−
(1.35)

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 13
Thay vào (1.34) ta đc :

[]
)3(

2
1
1
Odu
I
ff
HH
HH
IffdudL
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
T
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
−=
−
−
(1.36)
 đm bo đây là đim cc tiu , dL trong (1.36) phi dng vi mi s
bin thiên ca du . iu này đc đm bo nu nh ma trn un vi f luôn
bng 0 là xác đnh dng .

[]
uxxx
T
x
T
uuxuxxu
T
x
T
uuu
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
f
uu
f
uu

ffHffffHHffH
I
ff
HH
HH
IffLL
11
1
−−−−
−
−
Δ
+−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
(1.37)
Lu ý rng nu điu kin ràng buc
(

)
0,
=
uxf vi mi x và u thì (1.37)
đc rút li thành L
uu
 phng trình (1.6) .
Nu (1.37) là xác đnh âm ( hoc không xác đnh ) thì đim dng s là đim
cc đi ( hoc đim yên nga ) .

1.1.3 Ví d
Ti u hóa không có điu kin ràng buc
Ví d 1.1 : Không gian toàn phng .
Cho
2
Ru ∈ và :

[]
ussu
qq
qq
uuL
T
21
2212
1211
2
1
)( +
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
(1)

uSQuu
TT
+=
Δ
2
1
(2)
im cc tr đc xác đnh bi :
0
=
+
=
SQuL
u
(3)
SQu
1−∗
−= (4)
vi
u* dùng đ ch bin điu khin ti u.
Loi ca đim cc tr đc xác đnh bng cách xét ma trn hessian
QL

uu
=
(5)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 14

im u* là cc tiu nu L
uu
> 0 ( 0
11
>q và 0
2
122211
>− qqq ) . Là đim cc
đi nu L
uu
< 0 (
0
11
<
q
và 0
2
122211
>− qqq ) . Nu
0<Q
, thì u* là đim
yên nga . Nu
0=Q , thì u* là đim k d , chúng ta không th xác đnh
đc đó là cc tiu hay cc đi t L
uu

.
Bng cách thay (4) vào (2) ta s tìm đc giá tr ca hàm ch tiêu cht lng
nh sau :

SQSSQQQSuLL
TT 111**
2
1
)(
−−−
Δ
−==

SQS
T 1
2
1
−
−=
(6)
Gi s cho L nh sau :

[]
uuuL
T
10
21
11
2
1

+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= (7)
Khi đó giá tr u ti u s là :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

−
−=
1
1
1
0
11
12
*
u (8)
là mt cc tiu , vì L
uu
> 0 . T (6) ta thy rng giá tr nh nht ca L là L* =
-1/2 .
Các đng đng mc ca L(u) trong (7) đc v trong Hình 1.4 , vi u = [u
1

u
2
]
T
. Các mi tên là gradient .

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++

+
=+=
12
21
21
uu
uu
SQuL
u
(9)
Lu ý rng gradient luôn luôn vuông góc vi các đng đng mc và có
hng là hng tng L(u) .
Chúng ta dùng du “*” đ ch giá tr ti u ca u và L cn tìm . Tuy nhiên ta
thng b qua du “*” .
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 15

Hình 1.4 : Các đng đng mc và vector gradient .

Ví d 1.2 : Ti u hóa bng tính toán vô hng .
Phn trên chúng ta đã đ cp phng pháp gii bài toán ti u bng cách s
dng các vector và gradient . Sau đây ta s tip cn bài toán vi mt cách
nhìn khác , xem chúng nh là nhng đi lng vô hng .
 chng minh , ta xét :

2
2
221
2
121

2
1
),( uuuuuuuL +++= (1)
Vi
21
,uu là các đi lng vô hng . im cc tr xut hin khi đo hàm
riêng ca L theo tt c các đi s phi bng 0 :

0
21
1
=+=
∂
∂
uu
u
L
(2a)

012
21
2
=++=
∂
∂
uu
u
L
(2b)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 16

Gii h phng trình trên ta đc :

1,1
21
−
=
=
uu (3)
Vy , đim cc tr là (1 ,-1) .
Biu thc (1) là mt dng m rng ca biu thc (7) trong ví d 1.1 , nh
vy chúng ta va tìm đc mt kt qu tng t bng mt cách khác .

Ti u hóa có điu kin ràng buc
Ví d 1.3 : Không gian toàn phng vi điu kin ràng buc tuyn tính .
Gi s hàm ch tiêu cht lng đc cho bi ví d 1.1 vi các đi lng vô
hng
21
,uu đc thay th bng u
x
, :

[] []
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
u
x
u
x
uxuxL 10
21
11
2
1
),( (1)
Vi điu kin ràng buc :

(
)
03,
=
−

=
xuxf (2)
Hàm Hamilton s là :

)3(
2
1
22
−++++=+= xuuxuxfLH
T
λλ
(3)
vi
λ
là mt đi lng vô hng . iu kin đ có đim dng theo (1.31) là :
03
=
−
=
xH
λ
(4)
0
=
+
+
=
λ
uxH
x

(5)
012
=
+
+
=
uxH
u
(6)
Gii (4) , (5) , (6) ta đc : x = 3 , u = -2 ,
λ
= -1 . im dng là :

(
)
(
)
2,3, −=
∗
ux (7)
 xác đnh (7) là đim cc tiu , tìm ma trn un theo (1.37) :
2=
f
uu
L (8)
0>=
f
uu
L , vì th
(

)
(
)
2,3, −=
∗
ux
là đim cc tiu .
Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc (2) đc v trong
Hình 1.5 .
Grad ca f(x,u) trong h ta đ (x,u) đc vit nh sau:
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 17

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
1
u
x

f
f
(9)
đc v trong Hình 1.4 . Và grad ca L(x,u) :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
12ux
ux
L
L
u
x
(10)
Ti đim cc tiu (3,-2) , grad L(x,u) s có giá tr :

⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
1
u
x
L
L
(11)
Cn lu ý rng gradf và gradL tng đng vi nhau ti đim dng . Có
ngha là đim cc tiu xut hin khi điu kin ràng buc (2) là đng tip
tuyn ca các đng đng mc ca L. Di chuyn hng dc theo đng
thng f = 0 s làm tng giá tr ca L .
Ta tìm đc giá tr ca L t
i đim cc tiu bng cách thay x = 3, u = -2 vào
(1) , ta đc L*=0,5 .
Vì
λ
= -1 , gi nguyên giá tr u = -2 , thay đi điu kin ràng buc df ( dch
chuyn đng thng trong Hình 1.5 v phía phi ) s làm tng L(x,u) vi dL

= -
λ
df = df .
Ví d 1.4 : Hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng vi điu kin ràng
buc tuyn tính - Trng hp vô hng .
Xét hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng :

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
2
2
2
1
),(
b
y
a
x
uxL
(1)
Vi điu kin ràng buc tuyn tính :

(
)
cmuxuxf
−
+
=
, (2)
Các đng đng mc ca L(x,u) là nhng ellip ; nu L(x,u) = F/2 , thì bán
trc chính và bán trc ph là al và bl . iu kin ràng buc f(x,u) là mt h
các đng thng cha thông s c . Xem Hình 1.6 ( lu ý rng u là bin đc
lp , vi x đc xác đnh bi f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :

)(
2
1
2
2
2
2
cmux
b
u
a
x
H −++
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
λ
(3)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 18

Và điu kin đ có đim dng :
0
=
−
+
=
cmuxH
λ
(4)

0
2
=+=
λ
a
x
H
x
(5)

0
2
=+= m
b
u
H
u
λ
(6)

Hình 1.5 :
Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc f(x,u) .


Hình 1.6 : Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc f(x,u).

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 19
 gii h phng trình này , trc ht ta s dng phng trình (6) đ đa
ra bin điu khin ti u theo tha s Lagrange .

λ
mbu
2
−= (7)
Bây gi thay phng trình (7) vào (4) đ kh u , kt hp vi (5) và đc
vit li :

⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
1
1
1
2
22
cx
a
mb
λ

(8)
Gii ra ta đc giá tr ca đim dng :

222
2
mba
ca
x
+
= (9)

222
mba
c
+
−=
λ
(10)
Thay (9) , (10) vào (7) , ta có đc giá tr u ti u :

222
2
mba
mcb
u
+
= (11)
 xác đnh đim dng là cc tiu , dùng (1.37) đ tìm ra ma trn un :

2

2
2
1
a
m
b
L
f
uu
+= (12)
0>
f
uu
L vì vy ta tìm đc mt đim cc tiu .
Thay (9) và (11) vào (1) ta đc giá tr ti u ca hàm ch tiêu cht lng :

222
2
*
2
1
mba
c
L
+
= (13)
 kim chng (1.21) , lu ý rng:

λ
−=

∂
∂
=
∂
∂
=
c
L
f
L
du
*
0
*
(14)

Gradf trong min (u,x) là :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
1
m
f
f
x
u
(15)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 20

đc biu din trong Hình 1.6 . GradL là :

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2

2
a
x
b
u
L
L
x
u
(16)
và ti đim dng (11) , (9) s có giá tr :

222
*
1
mba
c
m
L
L
x
u
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
(17)
iu này tng ng vi (15) , vì vy đim dng xut hin khi f(x,u) = 0 là
đng tip tuyn vi mt đng đng mc ca L(x,u) .
Ví d 1.5 : Hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng vi điu kin ràng
buc tuyn tính .
Bây gi ta tng quát hóa ví d 1.4 vi vector
n
Rx ∈ ,
m
Ru ∈ ,
n
Rf ∈ ,
n
R∈
λ
.
Xét hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng:

RuuQxxL
TT
2
1
2
1

+= (1)
vi điu kin ràng buc tuyn tính :
0
=
+
+
=
cBuxf (2)
vi Q , R và B là các ma trn , c là vector n hàng . Gi s Q ≥ 0 và R > 0
( vi Q , R là ma trn đi xng ) . Các đng đng mc ca L(x,u) là các
đng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là mt phng ct ngang qua
chúng . im dng xut hin khi gradf và gradL song song vi nhau .
Hàm Hamilton là :
)(
2
1
2
1
cBuxRuuQxxH
TTT
++++=
λ
(3)
và các điu kin đ có đim dng là :
0
=
+
+
=
cBuxH

λ
(4)
0=
+
=
λ
QxH
x
(5)
0=+=
λ
T
u
BRuH (6)
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 21
 gii các phng trình trên , đu tiên ta dùng điu kin (6) đ tìm u theo
λ
:

λ
T
BRu
1−
−= (7)
T (5) ta có :
Qx
−
=
λ

(8)
Kt hp vi (4) ta đc :
QcQBu
+
=
λ
(9)
dùng kt qu này thay vào (7) cho ta :
)(
1
QcQBuBRu
T
+−=
−
(10)
hay :
(
)
QcBRuQBBRI
TT 11 −−
−=+

(
)
QcBuQBBR
TT
−=+ (11)
Vì R > 0 và B
T
QB ≥ 0 , chúng ta có th tìm nghch đo ca (R + B

T
QB) và vì
th giá tr u ti u là :
QcBQBBRu
TT 1
)(
−
+−= (12)
So sánh kt qu này vi (11) trong ví d 1.4 .
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr trng thái ti u và tha s Lagrange
ti u :

()
(
)
1
TT
x
IBRBQB BQc
−
=− − + (13)

()
(
)
1
TT
QQBRBQB BQc
λ
−

=− + (14)
Bng b đ ca nghch đo ma trn :

(
)
cBBRQ
T
1
11
−
−−
+=
λ
(15)
nu
0≠Q . Các kt qu trên s rút li thành kt qu ca ví d 1.4 trong
trng hp vô hng .
 xác đnh bin điu khin (12) là mt cc tiu , ta s dng (1.37) đ xác
đnh ma trn un là xác đnh dng vi giá tr ca R và Q đc gii hn .
QBBRL
Tf
uu
+= (16)
S dng (12) và (13) th vào (1) ta có đc giá tr ti u :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 22


(
)
[

]
cQBQBBRQBQcL
TTT
1
2
1
*
−
+−= (17)

λ
T
cL
2
1
* = (18)
Vì th :

λ
=
∂
∂
c
L *
(19)
Ví d 1.6 : Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .
Tìm khong cách nh nht gia parabol :
dbxaxy ++=
2
(1)

vi đng thng :
c
x
y
+
=
(2)
Xem Hình 1.7 .
Trong bài toán này s có hai điu kin ràng buc :
0),(
1
2
11111
=−−−= dbxaxyyxf (3)
Và :
0),(
22222
=
−
−
=
cxyyxf (4)
vi
()
11
, yx là 1 đim trên parabol và
(
)
22
, yx là 1 đim trên đng thng .

Chúng ta chn hàm ch tiêu cht lng là mt na ca bình phng khong
cách gia 2 đim này .

2
21
2
212121
)(
2
1
)(
2
1
),,,( yyxxyyxxL −+−= (5)
 gii bài toán này , ta x lý bng cách đt :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ΔΔΔ
2
1
2
1
2
1
,,
y
y
u
x
x
x
f
f
f
(6)
và s dng cách tip cn vector ; tuy nhiên , s kt hp gia mt điu kin
ràng buc tuyn tính và mt điu kin phi tuyn s làm phc tp thêm bài
toán . Thay vào đó ta s s dng các đi lng vô hng .

Chng 1 : iu khin ti u -

Trang 23

Hình 1.7 :
Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .

a ra mt tha s Lagrange cho mi điu kin ràng buc , hàm Hamilton
là :

)()()(
2
1
)(
2
1
2221
2
111
2
21
2
21
cxydbxaxyyyxxH −−+−−−+−+−=
λλ

(7)
Khi đó , đ có đim dng ta cn có :
02
11121
1
=

−
−
−
=
λ
λ
bxaxxH
x
(8)

0
221
2
=
−
+
−
=
λ
xxH
x
(9)
0
121
1
=
+
−
=
λ

yyH
y
(10)
0
221
2
=
+
+
−
=
λ
yyH
y
(11)
0
1
2
11
1
=−−−= dbxaxyH
λ
(12)
0
22
2
=
−
−
=

cxyH
λ
(13)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 24

Gii (12) đ có đc
1
y nh sau :
dbxaxy ++=
1
2
11
(14)
T (9) và (11) , ta có :

21122
yyxx
−
=
−
=
λ
(15)
và s dng (14) vi
cxy
+
=
22
t (13) có đc kt qu sau :
cxdbxaxxx −−++=−

21
2
112
(16)
Khi đó :

(
)
cdxbaxx −+++=
1
2
12
)1(
2
1
(17)
Theo (10) và (11) ,
λ
1
= -
λ
2
, vy t (15) và (17) ta có :

211
xx
−
=
λ

(
)
cdxbax −+−+−=
1
2
11
)1(
2
1
λ
(18)
Cui cùng , chú ý rng (8) là :

(
)
(
)
012
11
=
−
+
λ
bax (19)
hay :

(
)
(

)
0)1()1(2
1
2
11
=−+−+−+ cdxbaxbax (20)
Phng trình bc 3 (20) đc gii đ có giá tr ti u
*
1
x t giá tr a, b, c, d
cho trc . Nu đng thng ct ngang qua parabol thì giao đim s là kt
qu ti u ( khi đó
λ
1
=
λ
2
=0 ) ; ngc li , s có ch mt cp gn nhau nht
(x
1
,x
2
) , (y
1
,y
2
) . Mt khi tìm đc x
1
thì ta s tìm đc x
2

, y
1
và y
2
ln lt
theo các phng trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá tr ti u này vào (5)
s cho chúng ta khong cách ngn nht là
*2L .







Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 25
1.2 CÁC PHNG PHÁP IU KHIN TI U
1.2.1 Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange
1. Gii thiu
Nhim v ca điu khin ti u là gii bài toán tìm cc tr ca phim hàm
[(),()]Lxt ut bng cách chn tín hiu điu khin u(t) vi nhng điu kin
hn ch ca đi lng điu khin và ta đ pha . Mt trong nhng công c
toán hc đ xác đnh cc tr là phng pháp bin phân c đin
Euler_Lagrange .
ng cc tr là nhng hàm trn còn phim hàm cùng các điu kin hn ch
là nh
ng hàm phi tuyn . Do đó phng pháp này không th áp dng cho
nhng trng hp mà tín hiu điu khin có th là các hàm gián đon .
Trng hp không có điu kin ràng buc

Cho u(t) là hàm thuc lp hàm có đo hàm bc nht liên tc . Trong mt
phng (u,t) cho hai đim (t
0
,u
0
) và (t
1
,u
1
) . Cn tìm qu đo ni hai đim này
sao cho tích phân theo qu đo )(tuu

=
cho bi :

∫
=
1
0
),,()(
t
t
dttuuLuJ

(1.38)
có cc tr .
L là hàm có đo hàm riêng bc mt và bc hai liên tc vi mi bin ca nó .
 thng nht ,  đây ta ly t
0
= 0 và t

1
= T .
Bin đi ca J do
δ
u to nên là :


)()()( uJuuJuuJ
−
+
=
+
Δ
δ
δ


∫∫
−++=
TT
dttuuLdttuuuuL
00
),,(),,(

δδ


dttuuLtuuuuL
T
∫

−++=
0
)],,(),,([

δδ
(1.39)
Phân tích (1.39) theo chui Taylor và ch kho sát thành phn bc mt ca J
ta đc :

dtu
u
tuuL
u
u
tuuL
uuJ
T
])
),,(
()
),,(
([),(
0



δδδ
∂
∂
+

∂
∂
=Δ
∫
(1.40)