Dao động tử Para Boson

MỞ ĐÀU
l. Lý do chọn đề tài:
Đối xứng là đặc tính phố biến trong nhiều hệ vật lí. Việc tìm kiếm nhũng đối
xứng và sự vi phạm nó một cách tuần tự kiếm soát được, cũng như việc tìm kiếm
những đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ đường phố biến trong công
cuộc khám phá các định luật vật lí. Ngôn ngữ toán học của lý thuyết đối xứng là lý
thuyết nhóm. Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tủ' làm cơ sở là một
hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây.
Nhóm lượng tử là các kiểu biến dạng của đại so Lie thông thường mà sẽ thu lại được
khi tham số biến dạng có giá trị bằng đơn vị [1,2]. ứng dụng của nhóm lượng tử trong
vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến
dạng [3,4], chẳng hạn như đã tìm được biểu diễn boson của đại số lượng tử su
q
(2) và
ứng dụng để giải phương trình Yang - Baxter [5]. Đại số lượng tử còn có nhiêu ứng
dụng trõiĩg các ngành vật lý khác, như nghiên cứu vê chuôi spin, các anyoins, quang
lượng tử, sự quay và dao động của hạt nhân nguyên tử và ứng dụng trong lý thuyết
trường conformai. Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, đại số lượng tử có lớp đối xứng
rộng hơn lớp đối xứng Lie và bao gồm đối xứng Lie như trường hợp đặc biệt.
Nhóm lượng tử và đại số biến dạngđược khảo sát thuận lợi trong hình thức
luận dao động tủ’ điều hòa, trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm 1- ợng
tử và đại số biến dạng đ- ợc kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến
các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi -
Dirac nh- thống kê para Bose, para - Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến
dạng , với t- cách là các thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý
nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Nhóm 1- ợng tử và đại số 1- ợng tử đã
đ- a đến một phát triển mới trong lí thuyết hạt cơ bản.
1
Nghiên cún về dao động tử para boson nằm trong hướng nghiên cún trên, đã
thu hút được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà khoa học và đã đạt được nhiều
kết quả có ý nghĩa trong vật lý hạt nhân nguyên tử, trong vật lý hạt cơ bản Vì vậy

đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài “Dao động tử para boson” làm
luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu về dao động tử para boson
3. Nhiệmvụ nghiên cứu:
Đe đạt được mục đích nghiên cún đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ
sau:
- Nghiên cứu và viết tổng quan về hình thức luận dao động tử điều hòa tuyến
tĩnh.
- Nghiên cứu các dao động tử boson và các dao động tử fermion =
Nghiên cứu các dao động tử para boson
4. Phương pháp nghiên cún:
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp lý thuyết nhóm
5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài
- Khảo sát hệ các dao động tử para boson
Chương 1
BIỂU DIỄN SỐ HẠT CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1.1. Dao động điều hòa
Xét chuyến động một chiều theo trục Ox của một hạt có khối lượng m chịu
tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = —kx (k là hệ số chuẩn đàn hồi ).
Trong cơ học cổ điển, chuyển động của hạt được diễn tả bằng phương trình
2
định luật II Newton
<=>- kx = mx "
c=>x"+—x = 0
m
, . 2 ^ 1 1
\ Ầ Ẩ r
với CO = — hay ũ) =, co là tan sô góc.

m
Hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó
x= A.sin(ú)t + ệ),
F = ma
3
= —mA
2
cy
2
sin
2
(cơt+Ф ).
Năng lượng toàn phần E của hạt:
E = T + V
= — mA
2
a>
2
COS
2
(ũ)t+ệ) + — mA
2
co
2
sin
2
(a>t + ậ)
= —mũ)
2
A

2
.
2
Vậy ứng với mỗi giá trị của Cữ , năng lượng có thể có những giá trị liên tục,
tỉ lệ thuận với biên độ A.
Vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ
dx
V = —- = Aú) sin (cot +
Ф) dy
= A o
r*-
2 7Ĩ
Gọi ĩ = — là chu kì dao động. Xác suât mà hạt vĩ mô năm trong khoảng từ ú) '
X—» x+ dx với dx = vdt bằng
dw
CD
ịx)=— =
1.2. Biểu diễn tọa độ của dao động điều hòa
Hệ đang xét được gọi là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là:
Thế năng V :
v=-j
%
Fdx
- —kx
2
2
CD 4
dt dx
2*AJl-ị
4

V(x) = -kx
2
= -nuo
2
x
1
.
2 2
Toán tử Hamiltonian có dạng
H = T + ứ = —fcc
2
2 m 2
_ ù- h
2
d
2 1
I 2
=> H = -
0
+-kx .
2m dx 2
Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm sóng
y/(x) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động của hạt vi
mô)
Hự/(x) = Ey/(x)
[ - T—TT + T V (*)] = Eụ/ (JC). (1.1)
Đặt
p
v
r

V h
-ĨỀ ỊẼ-ĨỄL
h V k hú)
Dùng biến không thứ nguyên: ệ = Ị5x
Thay vào phương trình (1.1) ta được:
/1 n _ r d co m
2l
. . 2mE . .
[^-<r
2
+£]y/(§)=0 p
h
2
d
2
1 —
T-+
—
2 m dx 2
(*)
5
=>[-è-#
2
+s]^(#)=a. (1.2)
dệ
£
với ịị/(ệ) = *//(—) hữu hạn tại ệ = 0 và giới nội khi ặ —> ±00.
Dáng điệu của ỹ(ặ) ở lân cận QO là:
ỹ(ễ): exp(-^)
Nghiệm (1.2) có dạng:

y/(ỹ)=v(#)exp(-^) (1.3)
với v(ệ) là hàm cần xác định. Thay (1.3) vào (1.2) ta được
[^r-í
2
+ff]v(#)exp(-ệ) = 0 dệ 2
»^r[v'(#)exp(-^)- v(ệ)ệ exp(-^)]+ (fi -<f
2
)v(#)exp(-^) = 0
«■ [v"(£)- v(£) + v(£)£
2
- 2v\ệ)ệ + sK^)-í
2
v(í)]exp(-^) = 0 => v"(£) -
2v\ệ)ệ + (e- ì)v(ệ) = 0, (1.4)
trong đó:
,« >,ẺS1
dệ
v"(ệ)= Ể^ễl

.
ệ
dệ
2
Ta tìm hàm v(ệ) dưới dạng chuỗi
/1=0
Từ (1.7) ta có hệ thức truy toán
_ 2n 4-1 - £
а
"*
1

~ (n + 2){n+\)
a
"'
Trên đây là biểu thức về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến
6
tính, với các đặc điếm sau:
+ Đặc điểm 1 : Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ có
thể nhận các giá trị gián đoạn.
+ Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa các mức
năng lượng liền kề nhau là hang so АE = \\CỚ .
+ Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến
tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không”. Mức “không” của năng
c
_hco
lượng là - — >
u
. Năng lượng không tương ứng với dao động “không”
mà ta không thế trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chắng hạn. Nói khác đi, do
có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong
trạng thái nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng
lượng thấp nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tủ’ vẫn thực hiện dao
động. Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng
tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối.
+ Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tủ' điều hòa tuyến tính
không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=l.
Năng lượng thấp nhất của dao động tủ’ điều hòa ứng với 71 = 0 là: E
0
= —hú) được
gọi là năng lượng không. Sự tồn tại của năng lượng thấp
tthât E

ữ
chỉ có thê giải thích được trêii cơ sở lý thuyêt lượng tử.
Thật vậy, nếu gọi độ bất định của năng lượng, xung lượng và tọa độ là
AE,Ap,Ax. Sự tồn tại năng lượng E
ữ
> 0 gắn liền với hệ thức bất định giữa tọa độ và
xung lượng của hạt
7
Vì
8
Quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không E
0
. Khi đó
năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng lượng
hũ)
E = nhcờ.
Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều hòa bằng một
bội nguyên của lượng tử năng lượng hcủ.
Đe xác định dạng tường minh của hàm sóng ụ/(x) ta lưu ý rằng với s = 2n
+ \ phương trình (1.4) trở thành
v\ệ)-2ệv\ệ)+2nv(ệ).
Mặt khác đa thức Hermite lại thỏa mãn phương trình
H, "(<?) - 2ệH
n
\ặ) + 2nH
n
(£) = 0, so sánh hai phương trình
trên ta có
v(ỉ)^v„(ỉ)=N,
l

H„(ỉ),
với N
n
là hệ số chuẩn hóa và do đó
W(x)-*-y/
n
{x)=N
n
H
n
(l3x)ex^{-ẽ-Y-).
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa đối với hàm y/
n
(x)
=> 7|y/„M|
2
dx = №. 7Hl(ệ)e~
4l
dệ = 1, (**)
-00 r*—00
trong đó đa thức Hermite có dạng tường minh
//„(#) = H)V'
2
|^-
f2
.2 «(«- , «(»-l)(»-2)(n-3).„,,^4
= (2ệf - '~(2ệr
4
+
+00

I = j Hl(ệ)e
e
dệ
-00
Đặt:
9
Tính tích phân
+CC +00 J fị
ỉ=\Hl{ệ)e-
e
dệ = (-\Ỵ ịH
n
(ệ)j—e-
e
dẸ,
-cc —co ^
+°° ltĩ-\ trong đó / = (-
1)" I H
n
.
-00
Đặt u = //„(#); dv = d
du = ^H„(ệ)dệ dg
Suy ra
^
1
T n-1
d<Ẹ"-
]
+oc

J J n-1
= rị±H.( i,
Tích phân từng phần tích phân trên n lần ta thu được
=>/ = (-l)"(-l)" Ợ-**)
-oc T?
-ỉ-H
n
(ệ) = n(n-\){n-2) 1.2" = 2».«!
dệ
Áp dụng tích phân Poisson
+00
/
2(
,= JVv“<£t =
-00
-l-QO
ta có I e~^dệ = 4ĨĨ•
-00
Thay các kết quả vào (***) ta được
i = T.n\.4ĩt.
Thay / vào (**) ta có:
1
- 7+ —kx
2
.
í 11I-1 'N
d
1
0
2/. -ax , (2/1-1) n

1
1
T V 2
n \ị 1 ’
í ~p f ra&>v 1
2"ji'.4x~{xh) '^TM\
Vậy
Như vậy, năng lượng E của dao
động tử điều hòa với (n = 0,1,2 )
bị
hú)
lượng tử hóa, năng lượng nhỏ
nhất E^ị = —— khác với lý
thuyết cổ điển
E
CD
= 0.
min
Xác suất dw
lt
n
{x) của hạt
có năng lượng E
n
có thể tìm thấy
trong khoảng từ —» X+dx là:
dw'‘
n
(x) = \ự(x)\
2

dx.
1.3. Biểu diễn số hạt
của dao động điều hòa
N =
met)
■>
™.H„
mũ
)
h
J '4v~n\
£
-ẼÌẾ.
i//
n
(x)=N
n
H
n
(j3x).e
4 1
dt 1 dx
dw
CD
(x)
Phố năng lượng của dao
động tử điều hòa cũng có thế tìm
được bằng phương pháp đại số, sử
dụng các hệ thức giao hoán chính
tắc và biểu thức của Hamiltonian

ta có:
Để thuân tiên hon, thay các toán
tử toa đô X và xung lương -ih—
dx
bằng các toán tử tọa độ và xung
lượng chính tắc mới
X
—
>
=
\f
m
x
Hệ thức giao hoán của p và
q là
ị
p,q] = -ih.
Thật vậy, ta có:
[
p,q]= pq-qp, cho cả
hai vế của biểu thức
trên tác động vào hàm
y/(x)
(M - ập)y
/
(■*) = [- ~r~
-7:
yjm
dx
dx

= ị —ih
—x + i\ứ
-ihị
dx
h d \
[m dx
—> p - -i
—\ụ/(x)
V dx
dx)
=
>
[
p
,
q
]
=

-
i
h
+ Biểu diễn toán tử Hamiltonian
(1.7) theo p, q
ủ
_ h
2
d
2
1

, 2
H = —-
——r + —kx
2m
dx
l
Với k - mũ)
ủ
_ h
2

d
2
1 , 2
=> H = -
———r +
—mũ) X
2 m dx
2
2
= ị(p
2

+ 0
2
q
ĩ
).
\
d

ụ/(x)= -ihi//(x)
-ihx—— /h + ỉhx—
dx dx
d
(1.9)
ì
hú)
P = J~— (â + â )
Đặt
. Ị h f /y A+ \
q = iA-—(a — ả
) \2ũ)
Các toán tủ' â, a xuất hiện ở trên có thế biếu diễn ngược lại qua p, q
(p-ỉcoq) {p + ỉcoq)
ã = ả =
^/ĩhớ) y/ĩhú)
Ta thấy:
[â,a]=\
T TN r A. /V 4- -1 /V /\-f *4- /N
Vì: [a,a J =aa —ả a.
[ ấ , a \
(p- ỉú)q)(p + icoq) (p + icoq)(p - ỉú)q)
2hứ)2h
co
_Ị_
2\\ũ)
[2 iữ(pq-qp)]
[â,ai = —[2iũ)(-ih)] = ì
2ha>
Ta có:

Suy ra:
H - — (2â
+
â + 2ââ
+
)hú)
4
1
я / ^ ^ A A A ^ \ I
= —(a a + Cỉả mũ)
2
// = —[â'ổ + (1 + â
+
â)]h<a
+
o
H = h&> â Â + - 2
(1.12)
Đe nghiên cứu phổ năng lượng của dao động điều hòa ta quy về bài toán tìm
véctơ riêng của ủ . Phương trình (1.12) trong đó ằ,a thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.10).
Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới N - a à (1.13)
Sử dụng hệ thức giao hoán (1.10) kết hợp với định nghĩa (1.13) ta có
[N,â
+
]=Nâ
+
- â
+
N = a àa - a a à — a {àa - a
a)

= a [a,a ]=a .
[/5",«] =Nâ - âN = a àà - àa à = (â
+
â - cia )â
r A A ^ -1 Л A
= -[a,a \a=-a.
Vây: [N,a]=â
+
hay Nä
+
=ß
+
(W + l) (1.14)
|W,â]=- âhay = a (yV - 1) (1.15)
+ Neu ta kí hiệu I«) là véctơ riêng của toán tử N ÚTLg vói trị riêng n
—» N\n)=n\n). (1-16)
Từ phương trình (1.16) ta có:
^/71 TVI/1^ (n\ằ
+
ã\nj
(1.17)
{n I ri)
Vì (n I rij = J|y/
n
(r)|
2
dr > 0.
Và:
(n\N\n)=(n\aâ\n)=ị\âwM
2

dr>V
=> n > 0.
Vậy ta có các giá trị riêng của toán tủ’ N là các số không âm.
Xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử à tác động lên I n)
được ẫ\n). Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử N và sử dụng công thức
(1.15) ta được:
N,â =-â => Nâ=â(N -1)
Nâ\nỳ=â(N -1)|rì)
= â(n — I) IЛ?)
= (n-ì)â\n).
n n
>0.
n
=
Hệ thức vừa thu được có nghĩa là ẫ\n) cũng là một véctơ riêng của toán tử N
nhưng ứng với trị riêng (n-1), Tương tự như vậy ta dễ dàng chứng minh được
â
2
\n), â
3
\n) cũng là các véctơ riêng của toán tủ' N ứng với trị riêng (/1-2), (77-3),
Tiếp theoxét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử a tác động lên I
n). Đó là véctơ trạng thái a I ri). Tác dụng lên véctơ trạng thái này
toán tử N và sử dụng công thức (1.14) ta được:
W,Â
+
]= a => Nâ
+
= â
+

(N +1)
=> Nầ
+
|n} = â
+
(N + l)|w) = â
+
(n + l)|w) = (n + l)â\ny
Hệ thức trên cũng có nghĩa là a I n) cũng là một véctơ riêng của toán tử N
nhưng ứng với trị riêng (n +1). Tương tự như vậy ta cũng dễ dàng chứng minh được
â
+2
\n), â
+3
\n); cũng là các véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n + 2), (n
+ 3),
Vậy ta cọ nếu I«) là một véctơ riêng của toán tử N nhung ứng với trị riêng n
thì với p —1,2,3, ta có â
p
\n)cm\g là một véctơ riêng của toán tử yvứng với trị
riêng (n- p) và â
+p
\n)củng là một véctơ riêng của toán tủ’ Nừng với trị riêng (n +
p) nếu chúng khác 0.
Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của toán tử N thì
chuỗi các số không âm (n-l),(n-2), cũng là trị riêng của toán tử N. Vì chuỗi này
giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất n
m n
.
Xét véctơ trạng thái In

n
-
n
) ứng với trị riêng nhỏ nhất n . . Ta có
â|«
min
) = 0, (1.18)
thật vậy vì khi đó véctơ trạng thái ứng với trị riêng 7i
min
-1 < 0, trái với giả thiết n .
là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.18) ta suy ra
Mặt khác theo định nghĩa của rc
min
ta có N\n
min
) = n
mifì
\n
min
) = 0. So sánh
hai phương trình ta có:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là n
m
-
n
=0. Véctơ trạng thái ứng với trị riêng
của toán tử N được kí hiệu là |0). Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện ổ|0) = 0.
Khi đó:
a |0) tỉ lệ với véctơ riêng |l) của N ứng với trị riêng n= 1, a
1

Ịo) tỉ lệ
với véctơ riêng |2) của N ứng với trị riêng n = 2, a
n
Ịo) tỉ lệ với
véctơ riêng I«) của N ứng với trị riêng n .
năng lượng thấp nhất là E
(ì
. Trạng thái tiếp theo |l) vói năng lượng E
{)
+ \\CỜ cọ thế
xẹm là kết quả của việc thệm một lựợng tử năng lựợng hũ) vào trạng thái Ịo). Trạng
thái tiếp theo |2) với năng lượng E, +Y\CỞ= E
ữ
+ 2\\CŨ có thể được xem là kết quả của việc
thêm một lượng tử năng lượng hỡ) vào trạng thái 11), cũng có nghĩa là thêm hai
lượng tử năng lượng hớ) vào trạng thái |0)
1 \ - . 1
I nj là véctơ riêng của H ứng với trị riêng E
n
= {n + —)hco .
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa haitrạng thái kề
nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tủ’ năng lượng hú). Trạng thái Ịo) có
|lỷ là véctơ riêng của H ứng VỚI tri riêng = (1 + —)hCú,
Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E
0
thì có thể coi |0) là trạng thái không chứa
một lượng tử nào; |l) là trạng thái chứa một lượng tử; |2) là trạng thái chứa hai lượng
tử; ; |rc) là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N có giá trị riêng không âm cách
nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử ẫ khi

tác dụng lên |fl) cho một trạng thái tỉ lệ
với 171 -1) và do đó được đoán nhận là toán tủ’ hủy lượng tử năng lượng. Toán tử â*
khi tác dụng lên ịỉìỳ cho một trạng thái tỉ lệ với \n+ l) và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng
tử năng lượng.
Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số
hạt, à sẽ là toán tủ’ hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó, trạng thái I n) với năng
lượng E
n
= nhũ) sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số
hạt của dao động tử điều hòa.
Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tủ' điều hòa có thể
coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng hớ). Khái niệm “hạt” đưa vào
đây chỉ để cho tiện. Thực chất, đó là các “giả hạt”, một khái niệm quan trọng và hữu
hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong vật lý các môi trường đông đặc.
Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ lệ a
n
, /3
n
,ỵ
n
trong các hệ thức:
â\n)=a
n
\n -1)
a\n)=P
n
\n+\)(\A9)
\
n
)=rẨ"\

ũ
)
Sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa
(m| «) = <?„„
+ Tính a
n
: từ (1.17) và (1.19) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa vừa viết
ta có:
n= (n\â
+
â\nj = (â\n))*(âịrì)) = ỉx
n
a
n
(n —
l\ n — Ỷ] = al => a
n
= \fn.
+ Tính p
n
\ n = (n I a ằ I nj
Vì: [a ,a] = ả ả-ảả = -1 =>a a=aa -1
Nên:
ỉĩ
=
ịỉĩ I âữ
+
— 1172^ = I ââ
+
I I -11 w)

= (a I n))*(à
+
I«})+(-1) = /?*/?„ (n +11 n +1} -1
= #-1 => P
H
= v« + 1.
+ Tính xét trạng thái
â
tn
|0) = â
+(
"‘
,)
â
+
10) =
/
0
o
â
+<
"~
,)
11) = p
0
ẫ
H n
~
2 )
ã* |l) = p

a
p,â*
ị
"~
ĩ)
ẵ* |2)
= /?„/?./?,â*
<
"~
4,
â
+
13
= PiAPvP«-Ẩ
U
'~"~'
)ẵ
*\n)=-Jĩĩl\n).
Do đó:\ = (n\ n)= \r,\
2
(0| ă
a
ă*" I o) = \ỵ,\
2
n\
Coi Y„ là thực -> r„ = -J=
\Ịn\
Như vậy, đối với dao động tử điều hòa chúng ta đã thiết lập được các hệ thức
giao hoán sau cho các toán tử sinh, hủy và toán tủ’ số dao động tử
[â,â

+
]= 1 N
= a ả
[N,â]= - ả
[N,a]=a,
và tác dụng của các toán tử này lên các vecto cơ sở của không gian Fock:
N\n} = nịnỳ â\0) = 0
â\n) - yfn\n-ỶỊ (n = 0,1,2 )
a \n} = yjn + 1 ịn +1)
1.4. Kết luận chương 1
Nội dung chính của chương này là chúng tôi khảo sát hệ dao động điều hòa
trong biếu diễn tọa độ và trong biếu diễn số hạt, tìm được phố năng lượng của hệ
dao động điều hòa tuyến tính. Đặc biệt là đưa ra các toán tử sinh, hủy và toán tử số
dao động tử, tìm các hệ thức giao hoán của các toán tử đó và tác dụng của chúng lên
các vecto cơ sở của không gian Fock.
Các vấn đề đã được trình bày ở chương một, là cơ sở khoa học để chúng tôi
nghiên cứu về dao động tử boson và dao động tử fermion ở chương hai mà chúng
tôi sẽ trình bày sau đây.
Chương2 DAO ĐỘNG TỬ BOSON VÀ DAO ĐỘNG TỬ FERMION
2.1. Các hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy dao động tử
Trong chương 1, chúng ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử
sinh và toán tử hủy dao động tử là [1 ], [2], [5]
â,â' =1
(2.1)
A A A| A+
a, a = a ,a =0.
Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
[â,â;] = 8,
[â„,â ] = [â;,â;] = 0.
Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc tơ cơ sở

riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N
Tác dụng của toán tử â, ấ lên các véc tơ trạng thái ịrộ
â|n) = >/n |n- l)
r— ^
(2
-
2)
ấ |n) = vn + 1 |n + l).
Các hệ thức của toán tử số dao động tử N là
N = ấâ
[N,â]=-â
[N,ấ]=a .
2.2. Các hệ thửc giao hoán của toán tử sinh, hủy boson
Trên cơ sở các hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy dao động tử, bây giờ
chúng ta sẽ xem xét là đối với các hạt boson có spin nguyên thì toán tử sinh và hủy
boson tuân theo các hệ thức giao hoán như thế nào?
Đe trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai boson ở hai trạng
thái khác nhau V và ]Li:
|
v
n} = ää;,|0)
H = â,;â;|o),
trong đó |o) là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Đối với hệ các boson đồng
nhất được mô tả bởi hàm sóng đối xứng, nên
|vn) = |nv),
hay ta có
â~â~ |o) = â*â
+
|o).
Suy ra

â. 'â' = â„ â .
V |i n V
Vậy, trong biểu diễn số hạt, các dao động tử boson được đặc trưng bởi các
toán tử sinh, hủy hạt boson ẩ tuân theo các hệ thức giao hoán â,â
+
= 1
[â,,â;] = s, (2.3)
[â,,â„] = [â,,â
í
] = 0.
Toán tử sổ hạt biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy boson I và tuân theo các hệ thức
giao hoán:
ff = I I, Мч-1 = lí,
[Н;1] = -1,ГМ;Г] = Г
Đại số (1.21) được thực hiện trong không gian Fock có các véctơ cơ sở là véctơ
trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N, thỏa mãn phương trình
&|n)=n|n), 11 = 0,1,2,3,4,
trong đó |n) là trạng thái có n dao động tử thoả mãn điều kiện trực chuấn
(n|m) = ỗ
njll
,
và được xác định bằng cách tác động liên tiếp toán tử sinh dao động tủ’ lên trạng
thái chân không
với m, n nhận các giá trị: 0, 1, 2, Từ (2.7) chúng ta tìm được biểu diễn ma
trận của toán tử CÓ dạng:
0 0 о VnM 0^
Làm tương tự với toán tử hủy hạt ẩ, chúng ta có phần tử a
m n
V™ = (
m

l
a
l
n
) = '/n (
m
|n-
1
> = '/n-
ỗ
m,n-r (2-9)
với m, n nhận các giá trị 0, 1, 2, .Biểu diễn ma trận của toán tử ỉ có dạng:
r
0
7
Ĩ
0 0 . . 0 0
л
0 0 0 . . 0 0
(2.4)
^0 0 0
Vĩ о о
о Æ о
о о 7з
о о
л
о о
о о о о
(2.8)
(2.10)