BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN
THI VÀO CHUYÊN
_____________________________________________________
§ 1 - BẤT ĐẲNG THỨC
A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I) Bất đẳng thức Cauchy
1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Cauchy:
- Nội dung: Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn
trung bình nhân của
chúng. Nghĩa là: a + a + a +…+ a > n với a > 0, a > 0,…,a >
0
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a =…= a
* Chú ý: Chính vì nội dung của bất đẳng thức Cauchy mà khi chứng
minh bất đẳng thức có xuất hiện tổng hoặc tích thì ta nên nghĩ ngay
tới bất đẳng thức Cauchy
- Hệ quả:
1/ Tổng của một số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn
2:
a + > 2 (∀a ∈ R)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 1
2/ Với các số dương a, b ta luôn có: (a+b)( + ) > 4
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
Tổng quát: (a+a +…+a) + +…+ > n
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a = … = a
3/ a + b > 2 > 2ab (∀a, b ∈ R) ⇒ (a + b) > 4ab (∀a, b ∈ R)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
4/ a + b + c > ab + ac + bc (∀a, b, c ∈ R)
⇒ 3(a + b + c) > (a + b + c) > 3(ab + ac + bc) (∀a, b, c ∈
R)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
* Chú ý: Bất đẳng thức Cauchy còn có ý nghĩa về mặt hình học

2- Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng
minh bất đẳng thức:
VÍ DỤ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng
minh:
a) (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc
b) + + > + + (*)
Từ đó hãy chứng minh: + + > (**) với p là nửa chu vi của tam
giác đó
Giải:
Nhận xét đầu tiên cho bài toán này đó là vì a, b, c là ba cạnh của
một tam giác nên ta luôn có các số dương a+b-c ; c+a-b ; b+c-a.
Chính vì vậy ta đã có thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy. Cụ
thể:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương:
(a+b-c) + (c+a-b) > 2 ⇒ 2a > 2
⇒ a > (a+b-c)(c+a-b). Làm tương tự như vậy ta sẽ có:
b > (a+b-c)(b+c-a) , c > (c+a-b)(a+b-c)
Vậy (abc) > ⇒ (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là tam giác đều
* Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách
làm sau đây:
(a+b-c)(c+a-b) = = a - (b-c) < a
Tương tự (a+b-c)(b+c-a) < b , (c+a-b)(b+c-a) < c
Từ đó ta có đccm.
b) Muốn chứng minh bất đẳng thức này ta cần liên tưởng đến một
hệ quả rất hữu dụng của bất đẳng thức Cauchy: +
> (∀x, y ∈ R)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
+ > = = (1)
+ > = = (2)

+ > = = (3)
Cộng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có 2VT > 2VP.
Bất đẳng thức (*) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
Ta dễ dàng nhận thấy:
p-a = - a = = ⇒ =
p-b = - b = = ⇒ =
p-c = - c = = ⇒ =
Do đó: + + = 2( + + ) (***)
Từ (*) và (***) ta có: + + > 2( + + )
Lại áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy + + > (∀x, y, z ∈ R)
Vậy + + > 2. = = (đccm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là tam giác đều
۞ Chú ý: Các bất đẳng thức ở phần a) và b) của VÍ DỤ 1 có thể
được chứng minh bằng phương pháp đặt ẩn phụ rồi biểu diễn bất
đẳng thức qua các biến phụ. Từ đó ta có thể dễ dàng chứng minh.
VÍ DỤ 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh các bất đẳng
thức sau:
a) + + > a+b+c
b) (a+b)(b+c)(a+c) > 8abc
c) (1+a)(1+b)(1+c) >(1+ )
Giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương:
+ > 2 = 2. Tương tự: + > 2a , + > 2c
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được đccm.
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số: a và b, b và c, c
và a rồi nhân các vế của các bất đẳng thức vừa thu được, ta suy ra
đccm.
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
c) Khai triển tích (1+a)(1+b)(1+c) = (1+a+b+ab)(1+c) = 1+(a+b+c)

+(ab+ac+bc)+abc
> 1+ 3 +3 +() = (1+ ) (Theo bất đẳng thức Cauchy)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
II) Bất đẳng thức Bunyakovsky
1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Bunyakovsky:
- Nội dung: Cho 2 bộ n số thực (a, a,…, a) và (b, b, , b). Ta có:
(a + a +…+ a)(b + b +…+ b) > (ab + ab +…+ ab)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k
Bất đẳng thức Bunyakovsky còn có một biến dạng khác là bất đẳng
thức Cauchy - Schwarz hay còn gọi là bất đẳng thức Schwarz hay
bất đẳng thức B.C.S (Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz)
Đó là:
> (bất đẳng thức B.C.S)
- Hệ quả:
1/ Với các số dương a, a,…, a ta có:
n.(a + a +…+a) > (a + a +…+ a)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a = … = a
2/ Với 2 bộ n số thực (a, a,…,a) và (b, b, , b) ta luôn có:
+ +…+ >
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k
2- Một số ví dụ về vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky trong việc
chứng minh bất đẳng thức:
VÍ DỤ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x:
+ > 4 (*)
Giải:
Ta thấy vế trái của (*) gồm có một căn thức và một biểu thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối. Mối liên hệ này làm ta nhớ đến bất đẳng
thức Cauchy - Schwarz.
Ta giải bài này như sau:
= = > =

Do đó + > +
Đến đây, ta áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau: + >
Do đó: + > = =4
Dấu “=” xảy ra ⇔ ⇔ ⇔ x = 0,5
VÍ DỤ 2: Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
+ > (a+b)(c+d)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
= > = ac+bc (do a, b, c > 0)
= > = ad+bd (do a, b, d > 0)
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:
VT > ac+bc+ad+bd = c(a+b) + d(a+b) = (a+b)(c+d) = VP.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ ab = c = d
VÍ DỤ 3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh: + + >
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
( + + ) > (a+b+c)
⇒ VT.2(a+b+c) > (a+b+c) ⇒ VT > = VP
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
III) Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1- Phương pháp xét hiệu:
Cơ sở của phương pháp này chính là A > B ⇔ A - B > 0
VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số a+b
có tổng là một số dương. Chứng minh rằng: a + b > ab(a+b)
Giải:
Xét hiệu - ab = a - ab - ab + b = a(a - b) - b(a - b)
= (a - b)(a - b) = (a-b)(a+b) > 0 (vì (a-b) > 0 ∀a, b và a+b > 0)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a - b = 0 ⇔ a = b

* Chú ý: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phương
pháp biến đổi tương đương hoặc sử dụng tính chất của bất đẳng
thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy.
VÍ DỤ 2:
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a + b + c - 3abc
b) Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh: >
(Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho ba số không âm)
Giải:
a) Ta có: a + b + c - 3abc = (a+b) - 3ab - 3ab + c - 3abc
= - = (a+b+c) - 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a+b+c+2ab-ac-bc) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-
bc)
b) Từ kết quả của phần a) ta có thể chứng minh được với x, y, z
không âm thì:
x + y + z - 3xyz = (x+y+z)(x + y + z - xy - xz - yz)
Mà x, y, z > 0 nên x+y+z > 0 (1)
Và theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy thì: x + y + z > xy + xz + yz
⇒ x + y + z - xy - xz - yz > 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có: x + y + z - 3 xyz > 0 hay x + y + z > 3xyz
Đặt x = , y = , z = thì bất đẳng thức trên tương đương với >
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
* Chú ý: Bài toán trên cho ta một cách chứng minh bất đẳng thức
Cauchy cho ba số bằng phương pháp đặt ẩn phụ để bất đẳng thức
trở thành bất đẳng thức “hữu tỉ” rồi sau đó sử dụng phương pháp xét
hiệu. Ngoài ra ta còn có thể chứng minh bằng cách khác như sau:
Ta nhận thấy với mọi số không âm a, b ta có: >
Thật vậy, - = = > 0 ⇒ >
Áp dụng bất đẳng thức trên cho các số không âm:
a+b > 2 , c+ > 2
⇒ a+b+c+ > 2 + 2 = 2( + )

> 2.2. = 4 = 4
⇒ a+b+c+ > 4 ⇒ a+b+c > 3
2- Phương pháp biến đổi tương đương:
Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng một bất
đẳng thức khác tương đương với nó. Nếu bất đẳng thức đó đúng thì
bất đẳng thức ta cần chứng minh cũng đúng. Trong suốt quá trình
biến đổi ta bắt buộc phải sử dụng kí hiệu
⇔

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: + y + z >
xy + 2yz - xz
Giải:
Ta có: + y + z > xy + 2yz - xz ⇔ + y + z - xy - 2yz + xz > 0
⇔ ( - y + z) > 0 (đúng với ∀x, y, z)
Dấu “=” xảy ra ⇔ + z = y
VÍ DỤ 2: Cho các số a, b, c thỏa mãn a > b > c > 0. Chứng minh:
<
Giải:
Ta có: < ⇔ <
⇔ < ⇔ + < +
⇔ a+b + a-b + 2 < a+c + a-c + 2
⇔ 2a + 2 < 2a + 2 ⇔ a - b < a - c ⇔ -b < -c ⇔ b > c (đúng)
3- Phương pháp sử dụng tính chất của bất đẳng thức:
Trước tiên ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1/ a > b ⇔ b < a
2/ a > b, b > c ⇒ a > c
3/ a > b ⇔ a + c > b + c
4/ a > b, c > d ⇒ a + c > b + d
5/ a > b, c < d ⇒ a - c > b - d
6/ a > b c > 0 ⇒ ac > bc

c < 0 ⇒ ac < bc
7/ a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd
8/ a > b > 0 ⇒ a > b
9/ 0 < a < 1 ⇒ a > a (m, n ∈ N* ; m < n)
a > 1 ⇒ a > a
10/ a > b ⇔ > (n ∈ N*)
11/ a > b, ab > 0 ⇒ <
VÍ DỤ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng:
ab+ac+bc < a + b + c < 2(ab+ac+bc)
Giải:
Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:
a + b + c > ab + ac + bc (1) và a + b + c < 2(ab+ac+bc) (2)
Theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy ta thấy rõ ràng (1) đúng.
Ta chỉ cần chứng minh (2) cũng đúng.
Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
a = a.a < a(b+c) = ab + ac (3)
b = b.b < b(c+a) = bc + ab (4)
c = c.c < c(a+b) = ac + bc (5)
Cộng vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) ta có:
a + b + c < 2(ab+ac+bc)
Dấu “=” ở bất đẳng thức (1) xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là
tam giác đều
VÍ DỤ 2: Cho các số a, b thỏa mãn a+b > 1. Chứng minh: a + b >
Giải:
Theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy ta có:
2(x + y) > (x + y) hay x + y >
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: a + b > ⇒ (a + b) >
Mặt khác: a + b = (a) + (b) > > = >
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b =

* Chú ý: Ta có:
(a - b) > 0 ⇒ a - 2ab + b > 0
(a + b) = 1 ⇒ a + 2ab + b = 1
Do đó: (a - 2ab + b) + (a + 2ab + b) > 1 ⇒ 2(a + b) > 1 ⇒ a + b >
⇒ (a + b) > ⇒ a + 2ab + b >
Mà (a - b) > 0 ⇒ a - 2ab + b > 0
Vậy (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) > ⇒ 2(a + b) > ⇒ a + b >
4- Phương pháp xét phần tử đại diện:
VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 ta có:
S = + + + +…+ không phải là số tự nhiên
Giải:
Ta có: S = 1+ + + +…+ > 1 (1)
Mặt khác ta thấy các hạng tử của S đều có dạng (k ∈ N, 2 < k <
n)
Xét = < = -
Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có:
< 1-
< -
…………………
< +
Do đó: + +…+ < 1 - + - +…+ - = 1 - < 1
⇒ S < 1+1 = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có: 1 < S < 2. Vậy S không phải số tự nhiên.
VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng với
∀
n
∈
N* ta có bất đẳng thức
A = + + +…+ <
Giải:

Ta thấy các hạng tử của A đều có dạng (k ∈ N*)
Xét = < = = ( - )
Cho k nhận các giá trị từ 1 đến n ta có:
< (1- )
< ( - )
…………………
< ( - )
Do đó: A < (1- ) <
5- Phương pháp chứng minh phản chứng:
VÍ DỤ: Cho các số a, b thỏa mãn a + b = 2. Chứng minh a + b < 2
Giải:
Giả sử a + b > 2. Khi đó (a+b) > 8 ⇔ a + b + 3ab(a+b) > 8 ⇔ 2 +
3ab(a+b) > 8
⇔ ab(a+b) > 2 ⇔ ab(a+b) > a + b ⇔ ab > a - ab + b ⇔ a - 2ab + b
< 0 (vô lí)
Do đó giả sử sai. Vậy m + n < 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = 1
* Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh trực tiếp bất đẳng thức trên
như sau:
Vì a + b = 2 > 0 ⇒ a > -b ⇒ a > -b ⇒ a+b > 0
Áp dụng bất đẳng thức a + b > ab(a+b) ta có:
3(a + b) > 3ab(a+b) ⇔ 4(a + b) > a + b + 3ab(a+b) = (a+b)
⇒ 4.2 > (a+b) ⇒ (a+b) < 8 ⇒ a+b < 2
6- Phương pháp qui nạp toán học:
Các bước chứng minh mệnh đề đúng trên tập hợp số tự nhiên N
bằng phương pháp qui nạp toán học:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k > 1 (giả thiết qui nạp), rồi
chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1
- Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n

VÍ DỤ: Chứng minh rằng với
∀
n
∈
N, n > 3 thì: 2 > 2n+1 (1)
Giải:
a) Với n = 3 thì 2 = 8, 2n+1 = 2.3+1 = 7 ⇒ 2 > 2n+1
Do đó mệnh đề đúng với n = 3
b) Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ∈ N, k > 3), tức là 2 > 2k+1
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1:
2 > 2(k+1)+1 hay 2 > 2k+3 (2)
Thật vậy, 2 = 2.2, mà 2 > 2k+1 (giả thiết qui nạp)
Nên 2 > 2(2k+1) = 4k + 2 = (2k+3) + (2k-1)
Vì k > 3 ⇒ 2k-1 > 0 ⇒ 2 > 2k+3
Vậy (2) đúng với mọi k > 3
c) Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số tự nhiên n, n > 3
B) LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng với ∀a, b thỏa mãn ab > 1 ta có: + >
Bài 2: Cho các số dương a, b thỏa mãn a+b < 2. Chứng minh a+b <
2
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm giá trị nhỏ nhất của
tổng
A = cot B + cot C
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có: 4x-5 + > 3
Bài 5: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh:
a) a(1-a) >
b) abc(1-a)(1-b)(1-c) >
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ
BIẾT
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I) Kĩ thuật “cộng thêm” để chứng minh bất đẳng thức
Ta có thể cộng thêm số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy một cách
phù hợp. Tuy nhiên cộng như thế nào cho hợp lí và dẫn ta đến kết
quả của bài toán là một vấn đề không hề đơn giản.
Ta xét một số ví dụ sau đây:
VÍ DỤ: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh: + + >
Giải:
Ta có: + > 2 = 2. = a
Tương tự: + > b , + > c
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có:
+ + + > a+b+c ⇒ đccm
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
* Chú ý: Ở đây ta đặt ra một câu hỏi tại sao ta không “cộng thêm”
vào số dương b+c mà lại cộng với ? Ta thử lật ngược lại vấn
đề: Nếu ta cộng vào số b+c thì: + b+c > 2 =
2a. Làm tương tự như vậy đối với và rồi cộng từng vế các bất đẳng
thức vừa chứng minh ta sẽ có:
+ + + (b+c+c+a+a+b) > 2a + 2b + 2c
⇒ + + > 0, điều này không nói ai cũng biết !!!
Từ đây chúng ta phải có sự định hướng đúng đắn với phương pháp
này.
II) Kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu
Ta có một thắc mắc khi nghe cái tên kì cục này. Đó là “Kĩ thuật bất
đẳng thức Cauchy ngược dấu là gì?”. Thật ra ai cũng biết tới bất
đẳng thức Cauchy - bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân:
Với n số không âm a, a,…, a ta có: >
Theo tính chất của bất đẳng thức:
- Khi lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức mà hai vế đó cùng
dương thì bất đẳng thức đổi chiều

- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm thì bất đẳng thức
cũng đổi chiều
Ta vận dụng những qui tắc này để giải các bài tập về bất đẳng thức
bằng Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu.
VÍ DỤ 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
+ + <
Giải:
Ta có: a+b > 2 ⇒ < ⇒ < = < =
Tương tự: < , <
Do đó + + < =
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
VÍ DỤ 2: Cho các số dương a, b, c có tổng bằng bằng 3. Chứng
minh:
+ + >
Giải:
Những bất đẳng thức cần áp dụng kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy
ngược dấu thì thường vế trái là các phân thức có mẫu là một tổng có
chứa 1.
Phương hướng giải thường là ta đem nhân mẫu của một phân thức
cho tử rồi bớt đi những biểu thức để nó bằng với phân thức đã cho.
Ta quay trở lại với VÍ DỤ 2.
Ta có: = = 1 -
Theo bất đẳng thức Cauchy thì a + 1 > 2a ⇒ < ⇒ - > -
⇒ = 1- > 1-
Tương tự: > 1- , > 1-
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được VT > 3 - = 3 - = = VP
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1
III) Kĩ thuật tách một biểu thức thành tích của hai số để áp dụng
bất đẳng thức Bunyakovsky hoặc Cauchy - Schwarz

VÍ DỤ 1: Cho các số x, y thỏa mãn 4x + y = 1. Chứng minh: 4x + y
>
Giải:
Ta phải tìm cách tách 4x và y một cách thích hợp để tạo ra 4x và y.
Ta có thể tư duy theo cách sau:
4x = 1.4x = 2.2x = . 8x = … , y = 1.y = 2. y = …
Nhưng trong đó chỉ có 2 mới có bình phương bằng 4 và 1 có bình
phương bằng 1.
Chính vì vậy ta sẽ giải bài toán này như sau:
(2 + 1)(4x + y) > (2.2x + 1.y) ⇒ 5(4x + y) > (4x + y) = 1 ⇒ 4x + y
>
Dấu “=” xảy ra ⇔ = ⇔ x = y =
VÍ DỤ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài ba cạnh là BC
= a, AC = b, AB = c. Chứng minh: 5a > 3b + 4c
Giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC = AC + AB ⇒ a = b + c hay
a =
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Scwarz ta có:
> ⇒ 5 > 3b+4c ⇒ 5a > 3b+4c
Dấu “=” xảy ra ⇔ = ⇔
IV) Luyện tập
Bài 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh:
a) + ab > 2a
b) + + > ab+bc+ca
Bài 2: Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3. Chứng minh: + +
>
Bài 3: Cho các số a, b, c khác 0 có tổng bằng 1. Chứng minh: + +
>
Bài 4: Cho các số dương a, b. Chứng minh:
a) <

b) b + a < ab
§ 2 - GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Yêu cầu:
- Nhớ lại các công thức đã học (công thức về lũy thừa, căn thức,…),
các hằng đẳng thức,…
- Nắm vững khái niệm về tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức,…
B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
VÍ DỤ 1: Cho biểu thức: A =
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Rút gọn A
Giải:
a) ĐKXĐ: ⇔ x > 1, x ≠ 2
b) A = 1 ⇒ A = 1 ⇔ x > 2 và A = -1 ⇔ x < 2
VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = f(x) = +
a) Giải phương trình f(x) = 2
b) Tìm giá trị bé nhất của hàm số y = f(x)
Giải:
Hàm số xác định với x > 1
Ta có: y = f(x) = + > 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ ( + 1)(1 - ) > 0 ⇔ 1 < x < 2
Vậy f(x) = 2 ⇔ 1 < x < 2
và min f(x) = 2 ⇔ 1 < x < 2
VÍ DỤ 3: Cho hai số xy thỏa mãn xy > 0. Rút gọn biểu thức:
A = +
Giải:
Ta có bất đẳng thức + >
Dấu “=” ab > 0
Xét ( + )( - ) = - xy = > 0
⇒ + = (1)

Mà xy > 0 ⇒ + = (2)
Từ (1) và (2) suy ra A = +
VÍ DỤ 4: Cho a, b là các số chính phương. Chứng minh rằng biểu
thức sau cũng là một số chính phương: A = -
2b
Giải:
Ta có thể tách biểu thức a + 2ab + 3b theo hai hướng như sau:
a + 2ab + 9b = (a+b) + 8b
= (a+3b) - 4ab
Cách biến đổi thứ nhất chắc chắn sẽ không đem lại kết quả gì cho
ta.
Do đó ta cần nghĩ đến cách biến đổi thư hai.
Ta có: A = - 2b = - 2b
= a + 3b + 2 - 2b = ( + )
Vì a, b là các số chính phương nên , là các số tự nhiên
⇒ + là số tự nhiên. Vậy A là số chính phương.
VÍ DỤ 5: Cho a = xy + và b = x + y
Giả thiết rằng x, y dương. Hãy tính b theo a
Giải:
Chắc chắn ta sẽ nghĩ ngay tới việc bình phương a và b.
Ta có:
a = xy + (1+x)(1+y) + 2xy
= 2xy + x + y + 1 + 2xy
b = x(1+y) + y(1+x) + 2xy
= x + y + 2xy + 2xy
⇒ b = a - 1. Vậy b =
VÍ DỤ 6:
a) Rút gọn biểu thức A = với a > 0
b) Tính giá trị của tổng
B = + + … +

Giải:
a) 1+ + = = =
⇒ A = = 1 - = 1 + -
b) Áp dụng kết quả của phần a) ta có:
B = 1+ - + 1+ - + … + 1+ - = 99 + ( - + - + … + - )
= 100 - =
C) LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: A =
Bài 2: Rút gọn biểu thức: B = +
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực khác 0 và + + =
Tính giá trị biểu thức M = (a - b)(b + c)(c - a)
Bài 4: Cho (x + )(y + ) = 2007. Tính S = x + y
Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) N =
b) P = +
c) Q = (vô hạn dấu căn)
§ 3 - KĨ NĂNG VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÌNH HỌC
A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Có rất nhiều phương pháp vẽ thêm hình (gọi giao điểm, nối hai
điểm có sẵn trong hình, kẻ đường vuông góc hoặc song song, kẻ
đường kính của đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn, vẽ
một góc bằng góc cho trước, phân giác của một góc, đặt một đoạn
bằng đoạn cho trước, lấy điểm đối xứng, vẽ thêm một tam giác bằng
tam giác đã cho, vẽ tam giác vuông cân hoặc hình vuông, tam giác
đều, đường tròn,…).
- Trong số các phương pháp trên không có phương pháp nào là ứng
dụng được trong mọi trường hợp. Tùy từng bài toán mà ta có những
cách vẽ hình phụ khác nhau mang tính sáng tạo của riêng mình sao
cho lời giải bài toán thật ngắn gọn, dễ hiểu, có sức thuyết phục.

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
VÍ DỤ 1: Cho hình thang vuông ABCD ( = = 90) có BC = 2AB =
2AD. Lấy điểm M trên cạnh AD. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc
với MB cắt CD tại N. Chứng minh tam giác BMN vuông cân.
Giải: M
A D

N

H
B
C
Kẻ trung tuyến MH của tam giác BMN.
Ta dễ dàng tính được = 135
Và = 90 ⇒ DH = BH = NH
Tam giác BMN vuông tại M có MH là trung tuyến thuộc cạnh
huyền
⇒ MH = BH = NH
Do đó DH = MH = BH = NH ⇒ Các tam giác MDH, NDH
Ta có: = 360 - (+ +) = 360 - 2 = 360 - 2.135 = 90
Tam giác BMN có trung tuyến MH đồng thời là đường cao nên là
tam giác cân
VÍ DỤ 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài nhau
tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) (B
∈
(O); C
∈
(O’)). Tính BC.
Giải:
B

M
C


Vẽ tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt BC tại M.
Khi đó MB = MA, MC = MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó MA = MB = MC. Vậy tam giác ABC vuông tại A
Mặt khác MO là phân giác , MO’ là phân giác
⇒ MO ⊥ MO’. Tam giác MOO’ vuông tại M cho ta MA = AO.AO’
⇒ MA =
Lại có MA = BC ⇒ BC = 2
VÍ DỤ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định thuộc miền trong
của góc. Một đường thẳng thay đổi vị trí nhưng luôn đi qua M cắt
Ox và Oy thứ tự ở A, B. Gọi S, S là diện tích các tam giác MOA
và MOB. Chứng minh rằng tổng + có giá trị không đổi.
O A

O’
Giải:
A
x


N
M
O
B y
Kẻ MN // Oy (N ∈ OA)
Ta biết, nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai đáy bằng
tỉ số hai diện tích.

Áp dụng vào bài toán này ta có:
= = = ⇒ = ⇒ = = + ⇒ đccm
VÍ DỤ 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Một đường thẳng
song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O.
Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng
Giải:
A

D
N N’ E


O
B
M C
Gọi giao điểm của AM với DE là N, giao điểm của OM với DE là
N’
Ta có:
Vì DE // BC ⇒ = mà BM = CM ⇒ DN = EN ⇒ N là trung điểm
của DE
DE // BC ⇒ = = ⇒ DN’ = EN’ ⇒ N’ là trung điểm của DE
Do đó N ≡ N’ ⇒ (AM) ≡ (OM) hay A, O, M thẳng hàng
VÍ DỤ 5: Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên
tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài. Chứng minh rằng đường cao
hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai
phần có hiệu độ dài bằng 4
Giải:
A

n
n+2
H n+1
B
C
Xét tam giác ABC có AB = n, BC = n+1, AC = n+2 (n ∈ N*) ,
đường cao AH
Ta cần chứng minh CH - BH = 4 (vì AC > AB nên CH > BH)
Theo định lí Pythagore ta có:
BH = AB - AH , CH = AC - AH
Từ đó suy ra CH - BH = AC - AB hay (CH - BH)(CH + BH) =
(n+2) - n
⇒ (CH - BH)(n+1) = (n+2-n)(n+2+n) = 2(2n+2) = 4(n+1) ⇒ CH -
BH = 4
C) LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho D, E, F theo thứ tự là ba điểm nằm trên ba cạnh BC, AC,
AB của ΔABC hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh đó. Chứng
minh rằng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm D, E, F thẳng
hàng là . . = 1
Bài 2: Cho AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Trên
các cạnh AB và AD kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc
CE và CF. Chứng minh:
a) AB.AE + AD.AF = AC
b) Có nhận xét gì khi hình bình hành ABCD trở thành hình chữ
nhật?
§ 4 - CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ
NGUYÊN
A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Yêu cầu:
- Nhớ lại các tính chất chia hết trên tập số nguyên

- Nhớ lại các kiến thức về đồng dư
B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
VÍ DỤ 1: Cho a là số nguyên lẻ, b là số nguyên. Chứng minh rằng
các số a và ab+4 không thể có ước số chung khác
±
1
Giải:
Gọi ƯCLN (a ; ab+4) = d
⇒ a + d và ab + 4 + d (1)
Vì a + d, b ∈ Z nên ab + d (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 + d ⇒ d ∈
Mặt khác a + d, a là số nguyên lẻ ⇒ d là số nguyên lẻ
Do đó d = ± 1
VÍ DỤ 2:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: a + b + c - 3abc
b) Cho a, b, c là ba số cùng tính chẵn lẻ. Chứng minh rằng:
A = (a-b) + (b-c) + (c-a) chia hết cho 24
Giải:
a) Theo VÍ DỤ 2 >> 1- Phương pháp xét hiệu >> III) Các phương
pháp chứng minh bất đẳng thức >> bài BẤT ĐẲNG THỨC ta có:
a + b + c - 3abc = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)
b) Nhận xét rằng nếu a+b+c = 0 thì a + b + c - 3abc = 0 ⇒ a + b + c
= 3abc
Ta thấy:
(a-b) + (b-c) + (c-a) = 0 ⇒ A = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 3(a-b)(b-c)(c-
a)
Mặt khác a, b, c cùng tính chẵn lẻ nên a-b, b-c, c-a đều chia hết cho
2
Do đó A + 3.2.2.2. Ta có đccm
VÍ DỤ 3: Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c

+
6. Chứng
minh tổng a + b + c cũng chia hết cho 6.
Giải:
Theo ví dụ trên ta có:
a + b + c - 3abc = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)
⇒ a + b + c = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) + 3abc
Vì a+b+c + 6 nên trong ba số a, b, c phải tồn tại ít nhất một số chẵn
(ta có thể chứng minh được điều này bằng phản chứng)
⇒ abc + 2 ⇒ - 3abc + 6
Do a+b+c + 6, - 3abc + 6 ⇒ (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) - 3abc + 6 ⇒
a + b + c + 6
VÍ DỤ 4: Chứng minh rằng với n là số nguyên lẻ thì P = n - 10n +
9
+
384
Ta có: P = n - 10n + 9 = (n-1)(n+1)(n-3)(n+3)
Mặt khác n là số nguyên lẻ, do đó n = 2k+1 (k ∈ Z)
Thay n = 2k+1 vào P ta có:
P = (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)
= 2k(2k+2)(2k-1)(2k+4) = 16(k-1)k(k+1)(k+2)
Vì tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! nên P + 16.4! = 384
VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng ta luôn tìm được 10 số tự nhiên liên
tiếp đều là hợp số
Giải:
Đặt a = 10!
Ta có: a = 10! + 2 + 2
a = 10! + 3 + 3
a = 10! + 4 + 4
………………

a = 10! + 11 + 11
Vậy ta luôn tìm được 10 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
C) LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm số tự nhiên x sao cho 1000 < n < 2000 để a = là số tự
nhiên
Bài 2: Cho 4 số nguyên dương a, b, c và d thỏa mãn đẳng thức a + b
= c + d. Chứng minh rằng số a+b+c+d cũng là một hợp số.
Bài 3: Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn x + y + z + 6. Chứng minh
biểu thức
M = (x+y)(y+z)(z+x) - 2xyz chia hết cho 6
Bài 4: Giải bài toán sau:
“Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?”
§ 5 - PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I) Các loại phương trình thường gặp
- Phương trình bậc nhất một ẩn 5x + 6 = 0
- Phương trình tích (x + 1)(2x - 7) = 0
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu + = 6
- Phương trình có chứa tham số mx - 3 = 4x - m - 1
- Phương trình vô tỉ + =
- Phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 6y = 0
- Phương trình bậc hai một ẩn 3x - 2x + 5 = 0
…………………………
II) Các phương pháp giải hệ phương trình và một số dạng hệ
phương trình thường gặp

Các phương pháp giải hệ phương trình:
- Phương pháp thế
- Phương pháp cộng đại số
- Phương pháp đồ thị
- Phương pháp đặt ẩn phụ
………………………….
Các dạng hệ phương trình thường gặp
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
- Hệ phương trình đối xứng loại 1
- Hệ phương trình đối xứng loại 2
- Hệ phương trình không mẫu mực
- Hệ phương trình chứa tham số
……………………………
III) Một số kiến thức về phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai có dạng ax + bx + c = 0 (a
≠
0)
Ta có biệt thức Δ = b - 4ac
- Δ > 0 ⇔ phương trình có hai nghiệm x = và x =
- Δ < 0 ⇔ phương trình vô nghiệm
Hệ thức Viet và ứng dụng
- Hệ thứcViet: Cho phương trình ax + bx +c = 0 (a ≠ 0)
Nếu phương trình có nghiệm x, x thì x + x = ; xx =
- Ứng dụng của hệ thức Viet:
1/ Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu a+b+c = 0 thì x = 1, x =
Nếu a-b+c = 0 thì x = -1, x = -
2/ Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y. Biết rằng x + y
= S, xy = P thì x, y là nghiệm của phương trình X - SX + P = 0
3/ Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠

0) có hai nghiệm x, x thì ax + bx + c = a(x - x)(x - x)
4/ Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a
≠ 0). Giả sử phương trình có nghiệm x, x.
Nếu xx = < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
Nếu xx = > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó nếu
x+x = < 0 thì phương trình có hai nghiệm dương. Nếu x+x
= > 0 thì phương trình có hai nghiệm âm
IV) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương
trình
Dù là giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình
thì ta cũng phải làm theo các bước sau:
- Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)
+) Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng
đã biết
+) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa
các đại lượng
- Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình
(hệ phương trình) nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận
B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
VÍ DỤ 1: Giải hệ phương trình
Giải:
ĐKXĐ: x ≠ 1 , y ≠ 2, z ≠ 3
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì:
= = ⇒ = = = = =
Từ đó suy ra ⇔ (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ; z) = (4 ; 8 ; 12)
VÍ DỤ 2: Giải hệ phương trình (I)
Giải:

Ta không nên xét từng trường hợp của hệ phương trình vì điều này
sẽ đem lại cho ta nhiều rắc rối trong quá trình làm bài. Mà thay vì
đó ta nên biến đổi hệ phương trình một cách thích hợp để làm mất
dấu giá trị tuyệt đối
Ta có hệ (I) ⇔
Từ đó ta có: - 5y - 9 > 0 và 2x > 0 ⇒ x > 0, y < 0
Do đó hệ phương trình tương đương
Hệ phương trình trên có nghiệm x = 2, y = 3
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 3)
VÍ DỤ 3: Giải phương trình + = 4-2x-x
Giải:
Nếu ta không nên bình phương hai vế để làm mất dấu căn vì khi
bình phương lên như vậy, phương trình của chúng ta sẽ trở thành
phương trình bậc cao và rất khó giải. Chỉ cần để ý một chút thôi thì
lời giải ngắn gọn của bài toán sẽ đến với ta.
ĐKXĐ: x ∈ R
= = > = 2 (1)
= = > = 3 (2)
⇒ VT > 2+3 = 5
(3)
Mặt khác 4 - 2x - x = 5 - (x + 2x + 1) = 5 - (x+1) < 5 hay VP < 5
(4)
Từ (3) và (4) ta có: VT > VP
Dấu “=” xảy ra ⇔ Dấu “=” ở các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra ⇔ x
+ 1 = 0 ⇔ x = -1
VÍ DỤ 4: Giải phương trình 3x - x - 5 = 2
Giải:
ĐKXĐ: x < 1 hoặc x > 2
Đặt = y (y > 0) ⇒ x - 3x + 2 = y ⇒ 3x - x = 2 - y
Phương trình đã cho tương đương:

2 - y - 5y = 2 ⇔ y + 5y = 0 ⇔ y(y+5) = 0 ⇔ y = 0 (vì y > 0)
⇔ x - 3x + 2 = 0 ⇔ (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1, x = 2
VÍ DỤ 5: Nhân ngày 1 tháng 6 một phân đội thiếu niên được tặng
một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mỗi đội viên
trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, phân đội trưởng
đã đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:
Bạn thứ nhất nhận một cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại.
Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận hai
kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ như thế đến bạn cuối
cùng, thứ n, nhận n cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại thì vừa
hết.
Hỏi phân đội thiếu niên trên có bao nhiêu người và mỗi đội viên
nhận bao nhiêu cái kẹo?

Giải:
Gọi số kẹo mà phân đội nhận được là x (x ∈ N*)
Theo cách chia thì bạn thứ nhất nhận được số kẹo là 1+ (cái)