giáo án đại số 12 nâng cao phần 2

Chương III NGUN HÀM-TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

§1. NGUN HÀM
Tiết 58-59
I. M ụ c đích bài d ạ y:
- Ki ế n th ứ c c ơ b ả n : khái niệm ngun hàm, các tính chất của ngun hàm, sự tồn tại của ngun hàm, bảng
ngun hàm của các hàm số thường gặp,
- K ỹ n ă ng : biết cách tính ngun hàm của một số hàm số đơn giản
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng
tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của tốn học trong đời sống
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong q trình suy nghĩ.
II : Chuẩn bị
• GV : Bảng phụ , Phiếu học tập
• HS : Kiến thức về đạo hàm
II. Ph ươ ng pháp :
- Thuyết giảng , kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
III. N ộ i dung và ti ế n trình lên l ớ p:
1/ Kiểm tra bài cũ : (10 phút)
Câu hỏi 1 : Hồn thành bảng sau :
(GV treo bảng phụ lên u cầu HS hồn thành , GV nhắc nhở và chỉnh sửa )
f(x) f
/
(x)
C
x
α
lnx
e
kx
a

x
(a > 0, a ≠ 1)
cos kx
sin kx
tanx
cotx
Câu hỏi 2 : Nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm
2/ Nội dung bài mới:
TG
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
10
/
10
/
HĐI : Giới thiệu k/n nguyên
hàm.
Bài tốn mở đầu L(sgk)
Hỏi : 1) Nếu gọi s(t) là qng
đường đi được của viên đạn bắn
được t giây , v(t) là vận tốc của
viên đạn tại thời điểm t thì quan
hệ giữa hai đại lượng đó như thế
nào ?
2) Theo bài tốn ta cần phải
* HS đọc sgk
Trò trả lời
1) v(t) = s
/
(t)

1. Khái niệm ngun ham
Bài tốn mở đầu L(sgk)
5
/
10
/
tìm gì?
Dẫn dắt đến khái niệm ngun
hàm
* Cho hàm số y = f(x) thì bằng
các quy tắc ta luôn tìm được đạo
hàm của hàm số đó. Vấn đề đặt
ra là :” Nếu biết được f’(x) thì ta
có thể tìm lại được f(x) hay
không ?
* Giới thiệu đònh nghóa.Ghi lên
bảng
* Cho HS đọc chú ý (sgk Tr 136)
Cho ví dụ : Tìm nguyên hàm
của :
a/ f(x) = x
2
.
b/ g(x) =.với x ∈
c) h(x) = trên
*Gọi HS đứng tại chỗ trả lời ,GV
chỉnh sửa và ghi lên bảng
Củng cố : Cho HS thực hiện HĐ
2: (SGK)
• Gọi HS đứng tại chỗ trả

lời
* GV nhận xét và chỉnh sủa
Hỏi : Nếu biết F(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì ta còn
chỉ ra được bao nhiêu nguyên
hàm của f(x).
Từ đó ta có định lý 1
HĐ 3: Định lý 1
* Ghi định lý 1 lên bảng
Hỏi 1 : Em hãy dựa vào tính
chất F’(x) = f (x) ở hoạt động trên
2) Tính s(t) biết s
/
(t)
Trò trả lời
a/ F(x) =
b/G(x) = tanx
c)H(x) =
Thực hiện HĐ
1
F
1
(x) = - 2cos2x là
ngun hàm của hàm số
f(x) = 4sin2x
F
2
(x) = - 2cos2x + 2 là
ngun hàm của hàm số
f(x) = 4sin2x

HS trả lời Vä säú, âọ
l : F(x) +C, C l
hàòng säú
Đứng tại chỗ trả lời
.
b/ Âënh l:1
Nãúu F(x) l mäüt ngun hm ca f(x)
trãn K thç:
a) Våïi mi hng säú C, F(x) +
C cng l ngun hm ca f(x) trãn
K
b)Ngược lại với mi ngun
hm G(x) ca f(x) trãn K thì tồn tại
một hằng số C sao cho G(x) = F(x) +
C våïi mọi x thuộc K .
Chứng minh: (sgk)
Vê dủ:Tìm ngun hàm của hàm số
trên R thoả mãn điều kiện
F(1) = - 1
F(x) =
F(1) = - 1 nên C = - 2
Vậy F(x) = x
2
– 2
Tóm lại, ta có: Nếu F là một
ngun hàm của f trên K thì mọi
ngun hàm của f trên K đều có
dạng F(x) + C , C R
Vây F(x) + C là họ tất cả các
ngun hàm của f trên K , kí hiệu

f(x)dx.
Với f(x)dx là vi phân của
ngun hàm F(x) của f(x), vì dF(x)
T 2
10
/
10
/
10
/
12
/
chng minh phn a ca nh lý
va nờu.
Hi 2 : Nu f
/
(x) = 0 , cú nhn xột
gỡ v hm s f(x)
Xột = G
/
(x) F
/
(x) = f(x) f(x) = 0
, vy G(x) F(x) =C (C l hng s )
Gv gii thiu vi Hs phn chng
minh SGK, trang 137, Hs hiu
rừ ni dung nh lý va nờu.
Cho HS lm vớ d 2 ( Trang 138,
sgk)
* GV nhn xột v chnh sa

GV ghi bng phn nhn xột (sgk)
. .
.
* Gii thiu cho HS : S tn ti ca
nguyờn hm:
Ta tha nhn nh lý sau:
(Gv ghi bng )
Hot ng 4 :
Hóy hon thnh bng sau:
(Phiu hc tp 1)
* Hotng nhúm
* Gi i din nhúm lờn bng trỡnh
by , gi i din nhúm khỏc nhn
xột , GV chnh sa
T ú cú bng nguyờn hm
* Giồùi tióỷu baớng caùc nguyón haỡm cồ
baớn.(treo bng ph lờn)
Cho vờ duỷ aùp duỷng
Tỗm nguyón haỡm cuớa caùc haỡm sọỳ
sau : (GV ghi lờn baớng)
Gi HS lờn bng trỡnh by , GV
nhn xột v chnh sa
Hot ng 5 : Tớnh cht ca
nguyờn hm
* Ghi tớnh cht ca nguyờn hm
lờn bng
f(x) l hm hng
HS lờn bng trỡnh by
Tho lun nhúm hon
thnh bng nguyờn hm

ó cho v lm cỏc vớ d
sau
= F(x)dx = f(x)dx.
Mi hm s liờn tc trờn K u cú
nguyờn hm trờn K
2) Bng cỏc nguyờn hm ca mt
s hm s thng gp
* Treo bng cỏc nguyờn hm c
bn (trang 139)
Vớ d : Tỗm nguyón haỡm cuớa caùc
haỡm sọỳ sau
1) 4x
4
dx = x
5
+ C
2) dx = + C
3) cosx/2 dx =2sin + C
3. Caùc tờnh chỏỳt cuớa nguyón
haỡm
Nu f v g l hai hm s liờn tc
trờn K thỡ :
a)
b) Vi mi s thc k 0 ta cú
Vớ d :

1) ()dx = =
+ C
2) (x 1) (x
4

+ 3x ) dx=
3)
4
sin
2
xdx =
= 2x sin2x + C
*. dx == (
=+ C=+ C
Ni dung phiu hc tp
Gv gii thiu vi Hs phn chng
minh SGK, trang 140, Hs hiu
rừ ni dung tớnh cht 2 va nờu
Cng c : Cho vờ duỷ aùp duỷng
Tỗm nguyón haỡm cuớa caùc haỡm sọỳ
sau : (GV ghi lỏn baớng)
* Gi HS lờn bng trỡnh by ,
GV hng dn , chnh sa
* Hng dn HS lm bi
Tỡm :

x
xx 2
3
+
dx
Hi : óứ tỗm nguyón haỡm cuớa haỡm
sọỳ
3
x 2 x

f (x)
x
+
=
ta laỡm nhổ thóỳ
naỡo ?(x > 0)
H 6 ) : Cng c bi hc
Phỏt phiu hc tp
Treo bng ph ghi ni
dung phiu hc tp
i din nhúm lờn bng
trỡnh by , Gv nhn xột ,
chnh sa
HS trỡnh by
Chi a tổớ cho maợu
dx =
= (= + C
= + C
Tho lun nhúm
IV. Cng c ( L2
/
)
+ Gv nhc li cỏc khỏi nim v quy tc trong bi Hs khc sõu kin thc.
+ Dn BTVN: Hon thnh cỏc bi tp 1 4 SGK, trang 141
+ Xem trc bi : Mt s phng phỏp tỡm nguyờn hm
Nội dung các phiếu học tập :
Phiếu học tập 1 : (5 phút )
1) Hoàn thành bảng :
f’(x) f(x) + C
0

αx
α
- 1
1
x
e
kx
a
x
lna (a > 0, a ≠ 1)
coskx
sinkx
2
1
osc x
2
1
sin x
−
Phiếu học tập 2 (10 phút ) :
Tính các nguyên hàm :
1) *
∫
(5x
2
- 7x + 3)dx =
2)
∫
∫
+

2
4cos1 x
dx =
3)
∫
2
x
xxx
+
dx =
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:
0dx C
=
∫
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
dx x C
= +
∫

∫
sinkxdx = -
k

1
coskx + C
1
( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

∫
coskxdx =
k
1
sinkx + C
ln ( 0)
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2
os
dx

tgx C
c x
= +
∫

∫
e
kx
dx =
k
e
kx
+ C
2
cot
sin
dx
gx C
x
= − +
∫
§2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Tiết 60-61
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần .
2. Về kĩ năng:
- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không
quá phức tạp.
3. Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt.
-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
- Lập các phiếu học tập, bảng phụ.
2. Học sinh:
Các kiến thức về :
- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân.
III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp
IV.Tiến trình bài học
TIẾT 1
Kiểm tra bài cũ: (5 phút)
Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm .
b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) =
5
)12(
52
+
x
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = 4x(2x
2
+1)
4
.
- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn.
- Nhận xét, kết luận và cho điểm.
Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’

5’
- Nếu đặt u = 2x
2
+ 1, thì
∫
+
dxxx
42
)12(4
=
∫
++
dxxx )'12()12(
242
- Thông qua câu hỏi b/ ,
hướng dẫn hsinh đi đến
phương pháp đổi biến số.
∫
+
dxxx
42
)12(4
=
=
∫
++
dxxx )'12()12(
242
-Nếu đặt u = 2x
2

+ 1, thì biểu
thức ở trên trở thành như thế
nào, kết quả ra sao?
=
∫
duu
4
=
5
5
u
+ C =
5
)12(
52
+
x
+ C
- Phát biểu định lí 1.
-Định lí 1 : (sgk)
Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
7’
7’
6’
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
- Đ1:

∫
+
dx
x
x
3 2
1
2
=
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
Đặt u = x
2
+1 , khi đó :
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
=
∫

−
duu
3
1
=
2
3
u
3
2
+ C =
2
3
(x
2
+1)
3
2
+ C
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
Đ2:
∫
+
dxxx )1sin(2
2
=
∫

++
dxxx )'1)(1sin(
22
Đặt u = (x
2
+1) , khi đó :
∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
=
∫
udusin
= -cos u + C = - cos(x
2
+1) +C
-HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
Đ3:
∫
xdxe
x
sin
cos
=
= -
∫
dxxe

x
)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
∫
dxxe
x
)'(cos
cos
= -
∫
due
u
= -e
u
+C = - e
cosx
+C

H1:Có thể biến đổi
∫
+
dx
x

x
3 2
1
2
về dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
được không?
Từ đó suy ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H2:Hãy biến đổi
∫
+
dxxx )1sin(2
2
về dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
? Từ đó suy
ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H3:Hãy biến đổi
∫
xdxe
x
sin
cos
về dạng
∫
dxxuxuf )(')]([

? Từ đó suy
ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
Vd1: Tìm
∫
+
dx
x
x
3 2
1
2
Bg:
∫
+
dx
x
x
3 2
1
2
=
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2

Đặt u = x
2
+1 , khi đó :
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
=
∫
−
duu
3
1
=
2
3
u
3
2
+ C =
2
3
(x
2
+1)
3

2
+ C
Vd2:Tìm
∫
+
dxxx )1sin(2
2
Bg:
∫
+
dxxx )1sin(2
2
=
∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
Đặt u = (x
2
+1) , khi đó :
∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
=
∫
udusin
= -cos u + C = - cos(x
2
+1) +C

Vd3:Tìm
∫
xdxe
x
sin
cos

Bg:
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
∫
dxxe
x
)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
∫
dxxe
x
)'(cos

cos
= -
∫
due
u
= -e
u
+ c = - e
cosx
+ c
* chú ý: có thể trình bày cách
khác:
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
)(
cos
osxcde
x
∫
= - e
cosx
+ C

Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm.

Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145

V. Phụ lục:
+ Phiếu học tập1:
Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
∫
xdxe
x
2
=
2
1
∫
)(
2
2
xde
x
=
2
1
e
2
x
+ C ; b/
∫
dx
x
xln
=
∫

)(lnln xxd
=
2
1
ln
2
x + C
c /
∫
+
dx
xx )1(
1
= 2
∫
+
+
dx
x
xd
1
)1(
= 2 ln(1+
x
) + C ; d/
inxdxxs
∫
= -xcosx + C
Câu 2.
Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:

a/
∫
dxxe
x 2
3
=
3
1
∫
)(
3
3
xde
x
=
3
1
e
3
x
+ C ; b/
∫
xdxx cos.sin
2
=
∫
)(sin.sin
2
xdx
=

3
1
sin
3
x + C
c /
∫
+
dx
xx )1(2
1
=
∫
+
+
x
xd
1
)1(
= ln(1+
x
) + C ; d/
xdxx
∫
cos
= x.sinx + C
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
10’
- Các nhóm tập trung
giải quyết .

- Theo dõi phần trình
bày của nhóm bạn và
rút ra nhận xét và bổ
sung.
- Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu
HT1 .
- Gọi đại diện một nhóm trình bày.
- Đại diện nhóm khác cho nhận xét.
- GV nhận xét và kết luận.
* Chú ý: Đổi biến số
như thế nào đó để đưa
bài toán có dạng ở bảng
nguyên hàm.
Tiết 2
Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần .
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
8’

Đ:
(u.v)’= u’.v + u.v’
⇒
dxvu )'(
∫
=
vdxu
∫
'
+
dxvu '

∫
⇒
dvu
∫
=
dxuv
∫
)'(
+
duv
∫
⇒
dvu
∫
= uv -
duv
∫

Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx
Khi đó du = dx, v = -cosx
Ta có :
xdxx
∫
sin
=- x.cosx +
xdx
∫
cos

= - xcosx + sinx + C

H: Hãy nhắc lại công thức đạo
hàm một tích ?
Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy
ra
dvu
∫
= ?
- GV phát biểu định lí 3
- Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho
duv
∫
tính dễ hơn
dvu
∫
.
- H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và
dv như thế nào? Từ đó dẫn đến
kq?
- yêu cầu một HS khác giải bằng
cách đặt u = sinx, dv = xdx thử
kq như thế nào
-Định lí 3: (sgk)

dvu
∫
= uv -
duv
∫

-Vd1: Tìm
xdxx
∫
sin
Bg:
Đặt u = x,dv = sinxdx
Khi đó du =dx,v =-cosx
Ta có :
xdxx
∫
sin
=- x.cosx +
xdx
∫
cos
= - xcosx +
sinx + C
Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
- Học sinh suy nghĩ và tìm ra
hướng giải quyết vấn đề.
Đ :Đặt u = x ,dv = e
x
dx

⇒
du = dx, v = e
x
Suy ra :

dxxe
x
∫
= x. e
x
-
dxe
x
∫
= x.e
x
– e
x
+ C
Đ: Đặt u = x
2
, dv = e
x
dx
du = 2xdx, v = e
x

H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv
như thế nào ? Suy ra kết quả ?
H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế
- Vd2 :Tìm
dxxe
x
∫
Bg :

Đặt u = x ,dv = e
x
dx

⇒
du = dx, v = e
x
Suy ra :
dxxe
x
∫
= x. e
x
-
dxe
x
∫
= x.e
x
– e
x
+ C
Vd3 : Tìm I=
dxex
x
∫
2
Bg :Đặt u = x
2
, dv = e

x
dx
5’
5’
2’
7’
Khi đó:
dxex
x
∫
2
=x
2
.e
x
-
dxex
x
∫
= x
2
.e
x
-x.e
x
- e
x
+C
- Đ: Đặt u = lnx, dv= dx

⇒
du =
x
1
dx, v = x
Khi đó :
dxx
∫
ln
= xlnx -
dx
∫
= xlnx – x + C
- Đăt u = lnx, dv = x
2
dx

⇒
du =
x
1
dx , v =
3
3
x
Đ :Không được.
Trước hết :
Đặt t =
x

⇒
dt =
x2
1
dx
Suy ra
dxx
∫
sin
=2
dttt
∫
sin
Đặt u = t, dv = sint dt
⇒
du = dt, v = - cost
⇒
dttt
∫
sin
=-t.cost+
dtt
∫
cos

= -t.cost + sint + C
Suy ra:
dxx
∫
sin

=
= -2
x
.cos
x
+2sin
x
+C
nào ? Suy ra kquả ?
- Lưu ý :Có thể dùng từng phần
nhiều lần để tìm nguyên hàm.
- H : Cho biết đặt u và dv như thế
nào ?
- Thông qua vd3, GV yêu cầu HS
cho biết đối với
dxxx
∫
ln
2
thì ta đặt u, dv như thế nào.
H : Có thể sử dụng ngay pp từng
phần được không ? ta phải làm như
thế nào ?
+ Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước,
đặt t =
x
.
* Lưu ý cho HS các dạng thường sử
dụng pp từng phần.
dxxxf

∫
sin)(
,
dxxxf
∫
cos)(
dxexf
x
∫
)(
đặt u = f(x), dv cònlại.
dxxxf
∫
ln)(
, đặt u = lnx,dv =f(x) dx
du = 2xdx, v = e
x
Khi đó:
dxex
x
∫
2
=x
2
.e
x
-
dxex
x
∫

= x
2
.e
x
-x.e
x
- e
x
+C
Vd4 :Tìm
dxx
∫
ln
Bg :
Đặt u = lnx, dv= dx

⇒
du =
x
1
dx, v = x
Khi đó :
dxx
∫
ln
= xlnx -
dx
∫
= xlnx – x + C
Vd5: Tìm

dxx
∫
sin
Đặt t =
x

⇒
dt =
x2
1
dx
Suy ra
dxx
∫
sin
=2
dttt
∫
sin
Đặt u = t, dv = sint dt
⇒
du = dt, v = - cost
⇒
dttt
∫
sin
=-t.cost+
dtt
∫
cos

= -t.cost + sint + C
Suy ra:
dxx
∫
sin
=
= -2
x
.cos
x
+2sin
x
+C
* Hoạt động 6 : Củng cố
(Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện)
V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146
VI. Phụ lục :
Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý.
( Đối với
dxxf
∫
)(
)
Hàm số
Gợi ý phương pháp giải
f(x) = (2x+1)cosx Đặt u = 2x+1 , dv =cosx
f(x) = xe
-x
Đặt u = e

-x
, dv = xdx
f(x) =
x
lnx Đặt u = lnx, dv =
x
f(x) = e
x
sinx Đặt u = e
x
,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = e
x
dx
Tiết 62 : LUYỆN TẬP CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm .
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
8’
- Cả lớp tập trung giải
quyết .
- Theo dõi phần trình
bày của bạn và rút ra
nhận xét và bổ sung.
- Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp
chú ý giải quyết .
- Gọi 2 HS trình bày ý kiến của
mình.
- GV nhận xét và kết luận.
2. Về kĩ năng:

- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số.
3. Về tư duy thái độ:
- Phát triển tư duy linh hoạt.
-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên :
- Bài tập sgk
- Lập các phiếu học tập.
2. Học sinh:
Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần
III. Phương pháp:
IV.Tiến trình bài học
Kiểm tra bài cũ: (10 phút)
Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm?
Áp dụng: Tìm
∫
2
1
x
cos
x
1
dx
Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm.
Áp dụng: Tìm
∫
(x+1)e
x
dx
- Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung.

- Gv kết luận và cho điểm.
Thời
gian
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
- Hs1: Dùng pp đổi biến số
Đặt u = sin2x
- Hs2: Đặt u = sin2x

⇒
du = 2cos2xdx
Khi đó:
∫
sin
5
2x cos2xdx =
2
1
∫
u
5
du =
12
1
u
6
+ C
=
12
1

sin
6
2x + C
Thông qua nội dung kiểm
tra bài cũ
Giáo viên nhấn mạnh thêm
sự khác nhau trong việc vận
dụng hai phương pháp.

- Gọi môt học sinh cho biết
cách giải, sau đó một học
sinh khác trình bày cách
giải.
Bài 1.Tìm
∫
sin
5
3
x
cos
3
x
dx
Bg:
Đặtu=sin
3
x
⇒
du=
3

1
cos
3
x
dx
Khi đó:
∫
sin
5
3
x
cos
3
x
dx =
3
1
∫
u
5
du
5’
6’
-Hs1: Dùng pp đổi biến số
Đặt u = 7-3x
2
- Hs2:đặt u=7+3x
2
⇒
du=6xdx

Khi đó :
∫
+
2
373 xx
dx =
=
2
1
∫
u
2
1
du =
2
1
3
2
u
2
3
+C
=
3
1
(7+3x
2
)
2
37 x

+
+C
Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm
từng phần.
Đặt u = lnx, dv =
x
dx
⇒
du =
x
1
dx , v =
3
2
x
2
3
Khi đó:
∫
x
lnxdx =
=
3
2
x
2
3
-
3
2

∫
x
2
3
x
1
dx
=
3
2
x
2
3
-
3
2
3
2
x
2
3
+ C=
= -
3
2
x
2
3
+C
-Gọi môt học sinh cho biết

cách giải, sau đó một học
sinh khác trình bày cách
giải.
H:Có thể dùng pp đổi biến
số được không? Hãy đề xuất
cách giải?

=
18
1
u
6
+ C=
18
1
sin
6
3
x
+ C
Hoặc
∫
sin
5
3
x
cos
3
x
dx

=
3
1
∫
sin
5
3
x
d(sin
3
x
)
=
18
1
sin
6
3
x
+ C
Bài 2.Tìm
∫
+
2
373 xx
dx
Bg:
Đặt u=7+3x
2
⇒

du=6xdx
Khi đó :
∫
+
2
373 xx
dx =
=
2
1
∫
u
2
1
du =
2
1
3
2
u
2
3
+C
=
3
1
(7+3x
2
)
2

37 x
+
+C
Bài 3. Tìm
∫
x
lnxdx
Bg:
Đặt u = lnx, dv =
x
dx
⇒
du =
x
1
dx , v =
3
2
x
2
3
Khi đó:
∫
x
lnxdx =
=
3
2
x
2

3
-
3
2
∫
x
2
3
x
1
dx
=
3
2
x
2
3
-
3
2
3
2
x
2
3
+ C=
= -
3
2
x

2
3
+C
9’
Đ:Dùng pp đổi biến số, sau
đó dùng pp từng phần.
Đặt t =
93
−
x

⇒
t
2
=3x-9
⇒
2tdt=3dx
Khi đó:
∫
e
93
−
x
dx =
3
2
∫
te
t
dt

Đặt u = t, dv = e
t
dt
⇒
du = dt, v = e
t
Khi đó:
∫
te
t
dt=te
t
-
dte
t
∫
= t e
t
- e
t
+ c
Suy ra:
∫
e
93
−
x
dx=
3
2

te
t
-
3
2
e
t
+ c
H:Hãy cho biết dùng pp nào
để tìm nguyên hàm?
- Nếu HS không trả lời được
thì GV gợi ý.
Đổi biến số trước, sau đó
từng phần.
Bài 4. Tìm
∫
e
93
−
x
dx
Bg:Đặt t =
93
−
x

⇒
t
2
=3x-9

⇒
2tdt=3dx
Khi đó:
∫
e
93
−
x
dx =
3
2
∫
te
t
dt
Đặt u = t, dv = e
t
dt
⇒
du = dt, v = e
t
Khi đó:
∫
te
t
dt=te
t
-
dte
t

∫
= t e
t
- e
t
+ c
Suy ra:
∫
e
93
−
x
dx=
3
2
te
t
-
3
2
e
t
+ c
Hoạt động 7: Củng cố.(10’)
Với bài toán
∫
dxxf )(
, hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một
mệnh đề đúng.
Hàm số Phương pháp

1/ f(x) = cos(3x+4)
2/ f(x) =
)23(cos
1
2
+
x
3/ f(x) = xcos(x
2
)
4/ f(x) = x
3
e
x
5/ f(x)=
2
1
x
sin
x
1
cos
x
1
a/ Đổi biến số
b/ Từng phần

c/ Đổi biến số

d/ Đổi biến số

e/ Từng phần.
V. Bài tập về nhà:
Tìm
∫
dxxf )(
trong các trường hợp trên.

Tiết 63-64 TÍCH PHÂN

I. Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi
được của một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng
vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi
được của một vật
c) Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.

IV. Tiến trình tiết dạy :
1.Ổn định lớp :
2.Kiểm tra bài cũ : 5’
- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
- Tính :
∫
+
dxx )1(
- GV nhắc công thức :
( )
( ) ( )
0
0
0
'
0
lim
xx
xfxf
xf
xx
−
−
=
→
3.Vào bài mới
Tiết1:
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
1
2

Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
10’
2o’
I/Khái niệm hình thang cong
y
7 B
H
f(t)=t+1
3 A
1 D G C
-1 x
O 2 t 6
( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết các
đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2,
CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD
-Lấy t
[ ]
6;2
∈
. Khi đó diện tích hình
thang AHGDbằng bao nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ
như thế nào ?
-Tính S(6) , S(2) ? và S
ABCD
?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang
cong và công thức tính d/t nó.

y

B
y= f (x)
A
x
O a b
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện
tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục
y = f(x) , f(x)
≥
0, trục Ox và các
đương thẳng x = a , x = b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm
số y = f(x), trục Ox và các đường
thẳng đi qua a, x và song song Oy.
Hãy chứng minh S(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên [a; b]
S =
204.
2
37
=
+
S(t) =
4
2

)2(
2
13
2
−+=−
++
t
t
t
t
t
[ ]
6;2
∈
S’(t) = t+1= f(t)
⇒
S(t) là
nột nguyên hàm của f(t) =
t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
và S
ABCD
= S(6)-S(2)
-Bài toán tích diện tích hình
phẳng giới hạn bởi một
đường cong có thể đưa về
bài toán tính diện tích của
một số hình thang cong
1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm
tích phân:

a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk)
y
y=f(x)
S(x)
x
o a x b
Hình 3
KH: S(x) (a
bx
≤≤
)
3’
-Giả sử x
0
là điểm tùy ý cố định
thuộc (a ; b)
*Xét điểm x
∈
(a ; b ]
-Diện tích hình thang cong
MNEQ?
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích
S
MNPQ
, S
MNEQ
và S
MNEF
*f(x) liên tục trên [ a; b ]

( )
=
→
xf
xx
0
lim
?
- Suy ra
=
−
−
+
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?
*Xét điểm x
∈
[a ; b )
Tương tự
=
−
−

−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?

* S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)
⇒
S =?
-Giáo viên củng cố kiến thức BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số
liên tục và f(x)
≥
0 trên [ a; b ].
Khi đó diện tích của hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C) của
hàm số y = f(x), trục Ox và 2

đường thẳng
x = a, x = b là S = F(b) – F(a)
trong đó F(x) là một nguyên hàm
bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ]
S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)
S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF
( )
=
→
xf
xx
0
lim
f(x
0
)
=
−
−
+
→

0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
) (2)
=
−
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
) (3)
=
−
−

→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)
S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
y y=f(x)
F E
f(x)
f(x
0
) Q P
x
o x
x
0 a M N b
Hình 4
*Xét điểm x
∈
(a ; b ]
S
MNEQ

là S(x) – S(x
0
)
Ta có:S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF
⇒
f(x
0
)(x-x
0
)<S(x)-S(x
0
)<f(x)(x-x
0
)
⇒
f(x
0
)<
0
0
x-x
)S(x-S(x)
<f(x) (1)
Vì
( )

=
→
xf
xx
0
lim
f(x
0
)
(1)
⇒
=
−
−
+
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(2)
*Xét điểm x
∈
[a ; b )

Tương tự:
=
−
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(3)
Từ (2) và (3)ta có:

=
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS

xx
f(x
0
)
Hay S’ (x) = f(x
0
)
Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x
∈
(a ; b )
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)
trên [ a; b ]
⇒
S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
= (F(b) +C) – (F(a) + C)
= F(b) – F(a)
3
7’
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?
-Chọn một nguyên hàm F(x) của
f(x) trong họ các nguyên hàm đã
tìm được ?
-Tính F(1) và F(2)
Diện tích cần tìm ?
-Học sinh tiến hành giải dưới sự

định hướng của giáo viên:
I =
dxx
∫
4
=
+
5
5
x
C ( C là hằng số)
Chọn F(x) =
5
5
x

F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32
S = F(2) –F(1) =
)(
5
31
dvdt
GIẢI:
I =
dxx

∫
4
=
+
5
5
x
C
Chọn F(x) =
5
5
x
( C là hằng số)
F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32
S = F(2) –F(1) =
)(
5
31
đvdt
Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
4
Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân
Tg Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
7’

5’
-Giáo viên nêu định nghĩa tích
phân (sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh. Trong
trường hợp a < b, ta gọi
∫
b
a
dxxf )(

là tích phân của f trên đoạn [a ;
b ].
Giáo viên yêu cầu học sinh trả
lời câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ các
nguyên hàm của f(x)
-Chọn nguyên hàm F
1
(x) = g(x)
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
Giả sử: F(x) =
∫
b
a
dxxf )(
= g(x)
+C

Chọn F
1
(x) = g(x)+C
1
bất kì
2/Khái niệm tích phân
Định nghĩa: (sgk)
Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
8’
5’
-Giáo viên định hướng học sinh
giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi
được của vật cho đến thời điểm
t. Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm t
= a đến thời điểm t = b là bao
nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như thế
nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ
như thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ
như thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L theo
F(a) và F(b)?
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của f(t)?

+Lấy một nguyên hàm của F(t)
của f(t) trong họ các nguyên
hàm đã tìm được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi được
trong khoảng thời gian từ t
1
=20
đến t
2
=50 liên hệ như thế nào
với F(20) và F(50)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)
v(t) = s’(t)
⇒
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t)
suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)
⇒
L= F(b)–F(a)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
I =
Cttdtt

++=+
∫
2
2
3
)23(
2
F(t) =
tt 2
2
3
2
+
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
b, Quãng đường đi đượccủa1 vật
Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)
v(t) = s’(t)
⇒
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy
ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)
⇒
L= F(b)–F(a)
GIẢI:

I =
Cttdtt
++=+
∫
2
2
3
)23(
2
F(t) =
tt 2
2
3
2
+
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
15’
+C
1
bất kì trong họ các nguyên hàm
đó.
-Tính F
1
(a), F
1
(b)?
-Tính
∫
b

a
dxxf )(
?
-Nhận xét kết quả thu được
-Giáo viên lưu ý học sinh: Người
ta còn dùng kí hiệu F(x)|
b
a
để chỉ
hiệu số F(b) -F(a).
-Hãy dùng kí hiệu này để viết

∫
b
a
dxxf )(

-Giáo viên lưu ý học sinh: Người
ta gọi hai số a, b là hai cận tích
phân, số a là cận dưới, số b la cận
trên, f là hàm số dưới dấu tích
phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu
tích phân và x là biến số lấy tích
phân
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 3
⇒
F
1

(a) = g(a)+C
1
F
1
(b) = g(b)+C
1
∫
b
a
dxxf )(
= [g(b)+C
1
]-[g(a)+C
1
]
= g(b) – g(a)
Không phụ thuộc vào cách chọn
C
1

⇒
đpcm
Học sinh tiếp thu , ghi nhớ
Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của f(x) thì:
∫
b
a
dxxf )(
= F(x)|

b
a

Học sinh giải quyết dưới sự định
hướng của giáo viên:
5
Người ta còn dùng kí hiệu F(x)|
b
a

để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy
nếu F là một nguyên hàm của f
trên k thì :
∫
b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
a)
∫
5
1
2xdx

-Tìm nguyên hàm của 2x?
-Thay các cận vào nguyên hàm
trên
b)

∫
2/
0
sin
π
xdx

-Tìm nguyên hàm của sinx?
-Thay các cận vào nguyên hàm
trên
c)
∫
3/
4/
2
cos
π
π
x
dx

a)
∫
5
1
2xdx
= x
2
|
5

1
= 25 – 1 = 24
b)
∫
2/
0
sin
π
xdx
= - cosx |
2/
0
π
=- (0
-1) =1
Giải:
a)
∫
5
1
2xdx
= x
2
|
5
1
= 25 – 1 = 24
b)
∫
2/

0
sin
π
xdx
= - cosx |
2/
0
π
=- (0 -1)
=1
5’
-Tìm nguyên hàm của
x
2
cos
1
?
-Thay các cận vào nguyên hàm
trên
d)
∫
4
2
x
dx
-Tìm nguyên hàm của
x
1
?
-Thay các cận vào nguyên hàm

trên
+Với định nghĩa tích phân như
trên, kết quả thu được ở bài toán 1
được phát biểu lại như thế nào?
-Giáo viên thể chế hóa tri thức,
đưa ra nội dung của định lý 1:Cho
hàm số y = f(x) liên tục và không
âm trên K; a và b là hai số thuộc
K
( a<b). Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x) trục hoành và 2
đường thẳng x = a, x =b là: S =
∫
b
a
dxxf )(

-Giáo viên hướng dẫn học sinh
trả lời H3.
-Theo kết quả của bài toán 2.
quãng đường vật đi được từ điểm
a đến thời điểm b được tính như
thế nào?
-Dựa vào định nghĩa tích phân hãy
viết lại kết quả thu được?
c)
∫
3/
4/

2
cos
π
π
x
dx
= tanx|
3/
4/
π
π
=
13 −
d)
∫
4
2
x
dx
= ln|x||
4
2
= ln4 – ln2 =ln
2
4
= ln2
Học sinh thảo luận theo nhóm trả
lời.
Học sinh giải quyết dưới sự định
hướng của giáo viên:

Theo kết quả của bài toán 2.
Quãng đường vật đi được từ
điểm a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a)
F(x) là nguyên hàm của f(x)
Theo định nghĩa tích phân

∫
b
a
dxxf )(
= F(b) –F(a)
⇒
L =
∫
b
a
dxxf )(
(đpcm)
c)
∫
3/
4/
2
cos
π
π
x
dx
= tanx|

3/
4/
π
π
=
13 −
d)
∫
4
2
x
dx
= ln|x||
4
2
= ln4 – ln2 =ln
2
4
= ln2
ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x)
liên tục và không âm trên K; a và
b là hai số thuộc K
( a<b). Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x) trục hoành và 2
đường thẳng x = a, x =b là:
S =
∫
b
a

dxxf )(

Theo kết quả của bài toán 2.
Quãng đường vật đi được từ điểm
a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a)
F(x) là nguyên hàm của f(x)
Theo định nghĩa tích phân

∫
b
a
dxxf )(
= F(b) –F(a)
⇒
L =
∫
b
a
dxxf )(
(đpcm)
6

Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân;
Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
15’
-Giáo viên phát biểu định lí
2(sgk)
-Giáo viên định hướng học
sinh chứng minh các tính

chất trên: Giả sử F là một
nguyên hàm của f, G là một
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh thực hiện dưới sự định
hướng của giáo viên
3 Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ2: (sgk)
CM:(Giáo viên HD chứng minh tính
nguyên hàm của g .
1)
∫
a
a
dxxf )(
= 0
-Nguyên hàm của f(x) ?
-Thay các cận vào nguyên
hàmtrên?
2)
∫
b
a
dxxf )(
= -
∫
a
b
dxxf )(

∫

b
a
dxxf )(
= ?

∫
a
b
dxxf )(
= ?
3)
∫
b
a
dxxf )(
+
∫
c
b
dxxf )(
=
∫
c
a
dxxf )(

∫
b
a
dxxf )(

= ?

∫
c
b
dxxf )(
= ?

∫
c
a
dxxf )(
= ?
4) F(x) là nguyên hàm của
f(x), G(x) là nguyên hàm của
g(x)
⇒
nguyên hàm của f(x) +
g(x) =?
[ ]
?)()(
=+
∫
dxxgxf
b
a
∫
b
a
dxxf )(

+
∫
b
a
dxxg )(
= ?
∫
a
a
dxxf )(
= F(x)|
a
a
= F(a) – F(a) = 0
∫
b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
= F(b) – F(a)
∫
a
b
dxxf )(
= F(x)|
a
b
= F(a) – F(b)

⇒
∫
b
a
dxxf )(
= -
∫
a
b
dxxf )(
∫
b
a
dxxf )(
+
∫
c
b
dxxf )(
=F(x)|
b
a
+F(x)|
c
b
=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) –
F(a)
∫
c
a

dxxf )(
= F(x)|
c
a
= F(c) – F(a)
⇒
∫
b
a
dxxf )(
+
∫
c
b
dxxf )(
=
∫
c
a
dxxf )(
4)
[ ]
=+
∫
dxxgxf
b
a
)()(
[ ]
)()( xGxF

+
b
a
=
[ ] [ ]
)()()()( aGaFbGbF
+−+
= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)

∫
b
a
dxxf )(
+
∫
b
a
dxxg )(
= F(x)|
b
a
+G(x)|
b
a
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
chất 3,4,5)
1)
∫
a
a

dxxf )(
= F(x)|
a
a
=F(a) – F(a)= 0
2)
∫
b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
= F(b) – F(a)
∫
a
b
dxxf )(
= F(x)|
a
b
= F(a) – F(b)
⇒
∫
b
a
dxxf )(
= -
∫
a

b
dxxf )(
3)
∫
b
a
dxxf )(
+
∫
c
b
dxxf )(
=F(x)|
b
a
+F(x)|
c
b
=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)=
F(c) – F(a)
∫
c
a
dxxf )(
= F(x)|
c
a
= F(c) – F(a)
⇒
∫

b
a
dxxf )(
+
∫
c
b
dxxf )(
=
∫
c
a
dxxf )(
4)
[ ]
=+
∫
dxxgxf
b
a
)()(
[ ]
)()( xGxF
+
b
a
=
[ ] [ ]
)()()()( aGaFbGbF
+−+

= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)

∫
b
a
dxxf )(
+
∫
b
a
dxxg )(
= F(x)|
b
a
+G(x)|
b
a
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
7
25’
5) F(x) là nguyên hàm của f(x)
⇒
nguyên hàm của kf(x)?
∫
b
a
dxxkf )(
=?
∫
b

a
dxxfk )(
=?
Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu
học tập số 4
Biểu thức của tính chất 4?
Áp dụng tính chất này tính tích
phân trên?
Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]?
Áp dụng tính chất 3 tính tích
phân trên?
5)
∫
b
a
dxxkf )(
=
[ ]
b
a
xkF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
∫
b
a
dxxfk )(
= kF(x)
b
a

=k[F(b) –
F(a)]
⇒
∫
b
a
dxxkf )(
=
∫
b
a
dxxfk )(
Học sinh thực hiện dưới sự định
hướng của giáo viên
I =
∫
−
2/
0
)cos2(sin
π
dxxx
=
∫∫
−
2
0
2/
0
cos2sin

π
π
xdxxdx

= -
2
1
cos2x |
2/
0
π
- sinx |
2/
0
π
= -
2
1
(cos
π
- cos0 ) - sin
2
π
-sin0
= 0
J=
dxx
∫
−
3

1
2
=
∫
+−
2
1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2
∫
−
= [-
x
x
2
2
2
+
]
2
1
+[
x
x
2
2
2

−
]
3
2
= 1

5)
∫
b
a
dxxkf )(
=
[ ]
b
a
xkF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
∫
b
a
dxxfk )(
= kF(x)
b
a
=k[F(b) –
F(a)]
⇒
∫
b
a

dxxkf )(
=
∫
b
a
dxxfk )(
I =
∫
−
2/
0
)cos2(sin
π
dxxx
=
∫∫
−
2
0
2/
0
cos2sin
π
π
xdxxdx

= -
2
1
cos2x |

2/
0
π
- sinx |
2/
0
π
= -
2
1
(cos
π
- cos0 ) - sin
2
π
-sin0
= 0
J=
dxx
∫
−
3
1
2
=
∫
+−
2
1
)2( dxx

+
dxx )2(
3
2
∫
−
= [-
x
x
2
2
2
+
]
2
1
+[
x
x
2
2
2
−
]
3
2
= 1
IV. CỦNG CỐ:5’
- Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong.

- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân.
- Trả lời câu hỏi H5.
V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ:
-Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật.
-Học thuộc các tính chất của tích phân.
- Giải bài tập sách giáo khoa
- Bài tập làm thêm:
1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x
2
+3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường
thẳng x =2 .
2) Tính : I =
dxxx
∫
−
+
1
2
2
.
8

VI. PHỤ LỤC
Phiếu học tập số 1
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
4
trục hoành và hai đường thẳng x =1 , x =2
Phiếu học tập số 2
Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s. Tìm quãng đường L vật đi được
trong khoange thời gian từ t

1
= 20 s đến t
2
= 50 s?
Phiếu học tập số 3
Tính giá trị các tích phân sau:
a)
∫
5
1
2xdx
b)
∫
2/
0
sin
π
xdx
c)
∫
3/
4/
2
cos
π
π
x
dx
d)
∫

4
2
x
dx
Phiếu học tập số 4
Tính các tích phân sau:
I=
∫
−
2/
0
)cos2(sin
π
dxxx
, J=
dxx
∫
−
3
1
2
TIẾT 3 LUYỆN TẬP.
I. Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi
được của một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng
vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi

được của một vật
c) Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.