Tuyển tập 100 bài bất đẳng thức chọn lớp trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 có đáp án

CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HAY, CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ
THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Bài 1. Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh:
2 2 2
12
1 1 1
a b c
b c a
+ + ≥
− − −
Hướng dẫn:
Cách 1. Ta có
2
4( 1) 4a
1
a
b
b
+ − ≥
−
(Côsi)
Tương tự cho các biểu thức
2
1−
b
c
;
2
1−
c
a

Vậy
2 2 2
4( ) 4( 1 1 1) 12
1 1 1
a b c
a b c b c a
b c a
+ + ≥ + + − − + − + − =
− − −
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 2
Cách 2. Ta có bất đẳng thức
2
4
1
≥
−
a
a
(biến đổi tương đương)
Ta có
2 2 2 2 2 2
3
3
3 . . 3. 4.4.4 3.4 12
1 1 1 1 1 1
+ + ≥ ≥ = =
− − − − − −
a b c a b c
b c a b c a
Cách 3. Ta có

( )
2
2 2 2
2
b 1 1 b a 4a
b 1 b 1 .1
2 4 b 1 b
− +
 
− = − ≤ = ⇒ ≥
 ÷
−
 
. Tương tự ta suy ra
được
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c
4 4.3. . . 12
b 1 c 1 a 1 b c a b c a
 
+ + ≥ + + ≥ ≥
 ÷
− − −
 

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2
Bài 2. Cho số dương a. Chứng minh
2

36
a 16
a 1
+ ≥
+
Hướng dẫn:
Ta có
2
a 4a 4 0− + ≥
;
( ) ( )
36 36
4 a 1 2 .4 a 1 24
a 1 a 1
+ + ≥ + =
+ +

Suy ra
( )
( )
2
36
a 4a 4 4 a 1 24
a 1
 
− + + + + ≥
 
+
 
Do đó

2
36
a 24 8 16
a 1
+ ≥ − =
+
. Dấu “=” xảy ra khi a = 2
Bài 3. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh
2 2 2
a b c 1
1 9b 1 9c 1 9a 2
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn:
2 2 2
a b c 1
1 9b 1 9c 1 9a 2
+ + ≥
+ + +

Ta có
2 2
2 2
a a.9b a.9b 3ab
a a a
1 9b 1 9b 6b 2
= − ≥ − = −
+ +

Tương tự

2
b 3bc
b
1 9c 2
≥ −
+
;
2
c 3ac
c
1 9a 2
≥ −
+
Do đó
( ) ( )
2 2 2
3 ab bc ac 3 ab bc ac
a b c
a b c 1
1 9b 1 9c 1 9a 2 2
+ + + +
+ + ≥ + + − = −
+ + +
Dễ c/m được
( )
2
a b c
1
ab bc ac
3 3

+ +
+ + ≤ =
(biến đổi tương đương)
Suy ra
2 2 2
a b c 3 1 1
1 .
1 9b 1 9c 1 9a 2 3 2
+ + ≥ − =
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3
Bài 4. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
x y z
S
1 y 1 z 1 x
= + +
+ + +

Hướng dẫn
Tương tự bài 3 ta có S
3
2
≥
dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2

+ z
2
= 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2yz + zx.
Hướng dẫn
Ta có
2 2
( ) 0;( ) 0+ + ≥ + ≥a b c a c
2 2 2
1
2 2
+ + −
⇒ + + ≥ − =
a b c
ab bc ca
và
2 2 2
1 1
2 2 2
+ − −
≥ − = ≥
a c b
ac
1⇒ ≥ −F
Có ‘‘=’’ khi
2 2 2
0
0
0; 0
2

1
2
+ + =

=

 
+ = = ⇔
 
= − = ±
 
+ + =


a b c
b
a c b
a c
a b c
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là – 1.
Bài 6. Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn
2 2
a b 4+ =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức M =
ab
a b 2+ +
Hướng dẫn
Với hai số thực dương không âm a, b thỏa
2 2

4a b+ =
ta có:
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 4 2a b a ab b a b ab ab+ = + + = + + = +
Suy ra
( )
2
4 2a b ab+ = +
(do
4 2 0; , 0ab a b+ > >
)
Hay
4 2 4 2a b ab a b ab+ = + ⇔ + = +
Khi đó, biểu thức M được viết lại thành:
2
4 2 2
ab ab
M
a b
ab
= =
+ +
+ +
(1)
Mặc khác:
4 2 4 4 2 4 2ab ab+ > ⇔ + > =
( ) ( )

2 4 2 2 4 2 2ab ab ab⇒ = + + + −
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
4 2 2
2
2
4 2 2
ab ab
M
ab
ab
+ −
= =
+ −
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm a, b ta được:
2 2
4
2
2 2
a b
ab
+
≤ = =
4 2 2 4 2.2 2 2 2 2ab⇒ + − ≤ + − = −
2 2 2
2 1
2
M
−
⇒ ≤ = −

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
0
2
4
a b
a b
a b
= ≥

⇔ = =

+ =

Vậy GTLN của biểu thức M là
2 1−
khi
2a b= =
.
Bài 7. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTLN biểu thức
ab bc ac
P
c ab a bc b ac
= + +
+ + +
.
Hướng dẫn
Ta có:
( )
. . .

( )( )
ab ab ab ab ab ab ab
c ab c a b c ab c a c b
c ab
= = =
+ + + + + +
+
Mà:
. 1 1
( )( ) 2 2
ab ab ab ab ab ab ab
c a c b c a c b c a c b
c ab
   
≤ + ⇒ ≤ +
 ÷  ÷
+ + + + + +
+
   
(1)
Tương tự có:
. 1
2
bc bc bc bc bc
a bc a c a b
a bc
 
= ≤ +
 ÷
+ + +

+
 
(2)
. 1
2
ca ca ca ca ca
b ca b c b a
b ca
 
= ≤ +
 ÷
+ + +
+
 
(3).
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được
1
2
≤P
, dấu bằng xẩy ra khi
1
3
a b c= = =
.
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
1
.
2
Bài 8. Xét các số thực dương
, ,a b c

thỏa mãn
1abc
=
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
4 4 4 4 4 4
a b c
T
b c a a c b a b c
= + +
+ + + + + +
.
Hướng dẫn
Ta có:
( )
4 4 2 2
;
+ ≥ + ∀ ∈
¡a b ab a b a b
Thật vậy
( )
4 4 2 2 4 4 3 3
+ ≥ + ⇔ + ≥ +
a b ab a b a b a b ab
( )
( )
( )
( )
2
3 3 2 2

0 0
⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≥
a b a b a b a ab b
(luôn đúng
,
∀ ∈
¡a b
)
Do đó
( )
4 4 2 2
+ + ≥ + +
a b c ab a b c
( )
4 4 2 2 2
0
⇔ + + ≥ + + >
a b c ab a b abc
(vì
; ; 0
>
a b c
và
1
=
abc
)
( )
4 4
2 2 2

c c
a b c
ab a b abc
⇔ ≤
+ +
+ +
(vì
0
>
c
)
( )
4 4
2 2 2
⇔ ≤
+ +
+ +
c c
a b c
ab a b c
( )
2
4 4
2 2 2
⇔ ≤
+ +
+ +
c c
a b c
abc a b c

( )
2
4 4 2 2 2
1
⇔ ≤
+ + + +
c c
a b c a b c
Tương tự
( )
2
4 4 2 2 2
2
≤
+ + + +
b b
a c b a b c

( )
2
4 4 2 2 2
3
≤
+ + + +
a a
b c a a b c
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
2 2 2
4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1
+ + ≤ + + =
+ + + + + + + + + + + +
a b c a b c
b c a a c b a b c a b c a b c a b c
1
⇒ ≤
T

; ; 0
∀ >
a b c
thỏa mãn
1
=
abc
.
Với
1
= = =
a b c
thì
1
=
T
. Vậy GTLN của
T
là 1.
Bài 9. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a
5

+ b
5
+ c
5
+
1 1 1
a b c
+ +
≥ 6.
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức cô si: a
5
+ 1/a ≥ 2a²; b
5
+ 1/b ≥ b²; c
5
+ 1/c ≥ c².
Suy ra a
5
+ b
5
+ c
5
+
1 1 1
a b c
+ +
≥ 2(a² + b² + c²)
Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c
Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy đpcm.
Bài 10. Cho hai số dương x, y thỏa x
≥
2y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2x 2xy y
P
xy
+ −
=
Hướng dẫn:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2x y 2xy x y x 2xy x y x 2xy
P
xy xy xy xy
4x 4y x 2xy 3x x 4y x(x 2y)
4xy xy 4xy 4xy xy
3 x x 4y x 2y 3 5
. .2 1 0
4 y 4xy y 4 2
+ − + + − + −
= = = +
+ − + −
= + = + +
+ −
= + + ≥ + + =
vì

2 2 2 2
2
4 2 .4 4x
2 0
0
x
y
x y x y y
x y
y

≥



+ ≥ =


− ≥


>


min
5
P khi x = 2y
2
⇒ =
Bài 11. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn 7

2015
111
6
111
222
+






++=






++
cabcab
cba
Tìm GTLN của P =
)2(3
1
)2(3
1
)2(3
1
222222

accbba +
+
+
+
+
Hướng dẫn
Áp dung Bunhia cho bộ số (1;1;1) và (a;b;c) ta có 3(a
2
+b
2
+c
2
)
≥
(a+b+c)
2

 3(2a
2
+b
2
)
≥
(2a+b)
2
;3(2b
2
+c
2
)

≥
(2b+c)
2
; 3(2c
2
+a
2
)
≥
(2c+a)
2

 P
≤
accbba +
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1
Ta có (x+y+z)(
zyx
111
++
)
≥

9 =>
9
1
(
zyx
111
++
)
≥
zyx ++
1
 P
≤
accbba +
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1
≤
9
1













+++






+++






++
acccbbbaa
111111111
 P
≤

9
1







++
cba
333
=






++
cba
111
3
1
(I)
Ta có 10






++

222
111
cba
=
2015
111
6
111
3
222
+






+++






++
cabcab
cba
=
= 3
2015

111
2
+






++
cba
(II)
Áp dụng Bunhia cho bộ số (1;1;1) và (
a
1
;
b
1
;
c
1
)
Ta được 3






++

222
111
cba
≥
2
111






++
cba
=>






++
222
111
cba
≥
3
1
2
111







++
cba
 10






++
222
111
cba
≥
10 .
3
1
2
111







++
cba
(III)
Từ (II) và (III) => 3
2015
111
2
+






++
cba
≥
10 .
3
1
2
111






++

cba
 2015
≥
10 .
3
1
2
111






++
cba
3
2
111






++
cba

2
111







++
cba
≤
3.2015 =>






++
cba
111
≤
2015.3
(IV)
Từ (I) và (IV) => P
≤








++
cba
111
3
1
≤
3
1
.
2015.3
=
3
2015
.
Vậy GTLN của P =
3
2015
khi a=b=c và 7
2015
111
6
111
222
+







++=






++
cabcab
cba

 a=b=c=
2015
3
.
Bài 12. Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2 2
1 1
(1 )(1 )B
x y
= − −
Hướng dẫn:
Có x + y = 1
1
1
x y
y x
= −


⇒

= −

B =
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1)( 1)
(1 )(1 ) .
x y x x y y
x y x y x y
− − − + − +
− − = =
=
2 2
( )( 1)( )( 1) ( 1)( 1) 1 2
1
y x x y x y xy x y
x y xy xy xy
− + − + + + + + +
= = = +
Mà 1 = x + y và x + y
2 xy≥

⇒
(x + y)
2

≥

4xy
Do đó 1
2
= (x + y)
2

≥
4xy
⇒
2 2
1 1 1 4 2
8
4 ( ) ( )xy x y xy x y xy
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
+ +

⇒
B
≥
9
Vậy min B = 9 khi x = y =
1
2
Bài 14. Với
,x y
là những số thực thỏa mãn đẳng thức
2 2
2 1 0.x y y+ + =
Tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 1
xy
P
y
=
+
Hướng dẫn:
2 2
2 1 0.+ + =x y y
2 2
2 2
1
2 1
2
x y
y x y y
− −
⇔ = − − ⇔ =
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
3 1 2 3 1
3 2 0
4 12
xy xy
P
x y x y
px y xy p
p

= =
− − + − −
⇔ + + =
∆ = −
Phương trình có nghiệm khi
0
∆ ≥
suy ra 4 – 12p
2

0
≥ ⇔

2
3 3 3p p≥ ⇔ ≥ ≥ −
Vây max P =
3
khi
1
3 3
xy = −
suy ra
1
1
14 1 27 3 3
27
.
2 27 14 14
3 3
− −

= = − ⇒ = =y x
Bài 15. Giả sử
, ,x y z
là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 4
x y z
P
y z z x x y
= + +
+ − + − + −
Hướng dẫn
4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4
4 6
x y z
P
y z z x x y
x y z
P
y z z x x y
x y z
y z x z x y
x y z
y z x z x y
= + +
+ − + − + −
⇔ = + +

+ − + − + −
≥ + +
+ − + + − + + − +
 
= + + ≥
 ÷
+ + +
 
Dấu = xảy ra khi
4x y z= = =
Bài 16. Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng:
1 2
3
x y
+ ≥
Hướng dẫn
Ta có x + 2y = 3
⇒
x = 3 – 2y , vì x dương nên 3 – 2y > 0
Xét hiệu
1 2
3
x y
+ −
=
2
1 2 y 6 4y 3y(3 2y) 6(y 1)
3
3 2y y y(3 2y) y(3 2y)
+ − − − −

+ − = =
− − −
≥ 0 ( vì y > 0 và 3 –
2y > 0)
⇒
1 1
3
x 2y
+ ≥
dấu “ =” xãy ra
⇔
x 0,y 0 x 0,y 0
x 1
x 3 2y x 1
y 1
y 1 0 y 1
 
> > > >

=
 
= − ⇔ = ⇔
  
=

 
− = =
 
Bài 17. với a, b là các số dương. Tìm GTNN của A =
( ) ( )

a + b
a 3a + b b 3b + a+

Hướng dẫn
Cách 1. Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 a + b
a + b
a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a
= =
+ +
A
( )
4a 3a b 7a b
4a 3a b
2 2
+ + +
+ ≤ =

( )
4b 3b a 7b a
4b 3b a
2 2
+ + +
+ ≤ =
Suy ra
( ) ( )
4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b + ≤

suy ra A
( )
2 a b
1
4a 4b 2
+
≥ =
+

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Vậy Min A = ½ khi a = b > 0.
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho cặp số
( )
a, b
và
( )
3a b; 3b a+ +
ta
có:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a 3a + b b 3b + a a b 4a 4b a 3a + b b 3b + a 2 a b+ ≤ + + ⇒ + ≤ +
Suy ra A
1
2
≥
. Dấu = khi
( ) ( )

3a b 3b a
3a b b 3b a a
a b
+ +
= ⇒ + = +

Suy ra
2 2
a b a b 0= ⇒ = >

Bài 18. Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b
≤

2 2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P =
1 1
a b
+
.
Hướng dẫn
Ta có (a + b)
2
– 4ab = (a - b)
2

≥
0
⇒
(a + b)

2

≥
4ab

( )
( ) ( )
a + b
4 1 1 4
ab a + b b a a + b
⇔ ≥ ⇔ + ≥
( )
4
P
a + b
⇒ ≥
, mà a + b
≤

2 2
( )
4 4
a + b
2 2
⇒ ≥
P 2⇒ ≥
. Dấu “ = ” xảy ra
( )
2
a - b 0

a = b = 2
a + b = 2 2

=

⇔ ⇔



. Vậy: min P
=
2
.
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
4 2
2
x + 2x + 2
x + 1
.
Hướng dẫn
P = x
2
+ 1 +
2
1
x + 1
≥
( )
2
2

1
2 x + 1
x + 1
, P = 2
⇔
x
2
+ 1 =
2
1
x + 1
⇔ x = 0. Vậy min
P = 2.
Bài 20. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn
1
a b c
abc
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
( ) ( )
a b a c+ +
.
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có:
( )
1abc a b c+ + =
. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Côsi,
P =
( ) ( )

a b a c+ +
=
2
a ab ac bc+ + +
=
( )
a a b c bc+ + +
≥
( )
2 a a b c bc+ +
= 2.
Đẳng thức xảy ra ⇔
( )
1
a a b c bc
a b c
abc

+ + =


+ + =


⇔
( )
1
1
a a b c
bc


+ + =


=


.
Hệ này có vô số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn b = c = 1 ⇒ a =
2 1−
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2.
Bài 21. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2 2
1 1
x y xy
+
+
Hướng dẫn
A =
2 2
1 1
x y xy
+
+
=
2 2
1 1 1
x y 2xy 2xy

+ +
+
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
1
x + y 2 xy 1 2 xy 1 4xy 2
2xy
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
(1)
Đẳng thức xảy ra khi x = y.
Tương tự với a, b dương ta có:
1 1 1 2 4
2 2.
a b ab a + b a + b
+ ≥ ≥ =
(*)
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
( )
2
2 2
1 1 4
4
x y 2xy
x + y
+ ≥ =
+
(2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi x
2
+ y
2

= 2xy
⇔
x = y.
Từ (1) và (2) suy ra:
A 6≥
. Dấu "=" xảy ra
1
x = y =
2
⇔
. Vậy minA = 6.
Bài 22. Cho các số dương
cba ,,
. Chứng minh bất đẳng thức:

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
Hướng dẫn:
Vì các số
cba ,,

dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
( )
2
)( cba
cba
++
≤+
⇒
( )
cba
a
cba
a
cb
a
++
≥
+
=
+
2
Tương tự ta cũng có:
cba
b
ac
b
++
≥
+
2

,
cba
c
ba
c
++
≥
+
2
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có
2
222
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
.
Dấu bằng xảy ra






+=
+=
+=
⇔
bac
acb
cba

0
===⇔
cba
, không thoả mãn.
Vậy
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.

Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
xx
1
1
2
+
−
, với 0 < x < 1
Hướng dẫn
Ta có y =
x
xx
x
xx
xx
+−
+
−
+−
=+
−
)1(
1
2)22(1
1
2

= 2 + 1 +
223
1

.
1
2
23
1
1
2
+=
−
−
+≥
−
+
− x
x
x
x
x
x
x
x
(áp dụng BĐT Côsi với 2 số dương)
Đẳng thức xảy ra <=>
12
1
1
2
−=⇔
−
=

−
x
x
x
x
x
(loại nghiệm x = - 1 -
2
)
Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 + 2
2
khi x =
2
-1.
Bài 24.
Cho x và y là hai số thỏa mãn đồng thời : x
0≥
, y
≥
0, 2x + 3y
≤
6 và 2x + y
≤
4.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x
2
- 2x – y.
Từ 2x + 3y
6
≤

2 2
y 2 - x - y x - 2
3 3
⇒ ≤ ⇒ ≥
K = x
2
- 2x - y
2 2
2x 2 22 - 22
x - 2x + - 2 = (x - ) -
3 3 9 9
≥ ≥
Suy ra : min K =
- 22
9
khi x =
2
3
; y =
14
9

Ta có : 2x
2
+ xy
4x≤
( x
≥
0)

( )
2
- y x + 2
xy
x - 2x - y - - y = 0
2 2
⇒ ≤ ≤
Suy ra : max K = 0 khi
y = 0
x = 0



hoặc
y = 0
x = 2



Bài 25. Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
2 2
4 4
1 1
a b
  
− −
 ÷ ÷
  
.

Hướng dẫn
Sử dụng hằng đẳng thức x
2
– y
2
= ( x – y)( x + y)
Biến đổi biểu thức thành A = (
2 2 2 2 8
(1 )(1 )(1 )(1 ) 1
a b a b ab
− − + + = +

ab ≤
2
(a b)
4
+
= 4/ 4 = 1 => A ≥ 9 , dấu bằng khi a = b = 1. Vậy A
Min
= 9 ,
khi a = b = 1.
Bài 26. Cho x, y thoả mãn:
3 3
2 2x y y x+ − = + −
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x
2
+ 2xy – 2y
2
+2y +10

Hướng dẫn
ĐK:
2; 2x y
≥ − ≥ −
Từ
3 3
2 2x y y x
+ − = + −

⇒
x
3
- y
3
+
2x +
-
2y
+
=0
⇔
(x-y)(x
2
+ xy + y
2
) +
2 2
x y
x y
−

+ + +
= 0
⇔
(x-y)( x
2
+ xy + y
2
+
1
2 2x y+ + +
)
= 0
⇒
x = y
Khi đó B = x
2
+ 2x + 10 = (x+1)
2
+ 9
≥
9 Vậy Min B = 9
⇔
x = y = -1.
Chú ý : Đa thức x
2
+ xy + y
2
+
1
2 2x y+ + +

> 0.
Bài 27. Chứng minh a
3
+ b
3

( )ab a b≥ +
với mọi a,b
0≥
. áp dụng kết quả trên , chứng
minh bất đẳng thức
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
với a, b, c là các số dương
thỏa mãn a.b.c = 1.
Hướng dẫn
a
3
+ b
3
– ab(a + b) = ( a + b)( a – b )
2

≥
0 với mọi a.b
0≥

=> a
3
+ b
3

( )ab a b≥ +
với
mọi a,b
0≥
.
áp dụng ta có: a
3
+ b
3
+1
( ) 1ab a b≥ + + =
1
a b a b c
c c
+ + +
+ =
. Cm tương tự ta có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1.
1 1 1
c a b
a b b c c a a b c a b c a b c
+ + ≤ + + =
+ + + + + + + + + + + +

. Dấu bằng khi a = b =
c = 1.
Bài 28. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng
1
3 3 3
x y z
x x yz y y zx z z xy
+ + ≤
+ + + + + +
.
Hướng dẫn
Ta có (3x + yz) = (( x + y + z)x + yz )= ( x + y)(x + z )
≥
2 2
( . . ) .( )x y x z x y z+ = +
Dấu bằng khi x = y = z = 1.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
x x
x 3x yz x( x y z)
x 3x yz x y z
+ + ≥ + + ⇒ ≤
+ + + +
(1)
Tương tự ta có:
y
y
y 3y zx x y z
≤
+ + + +
(2),

z z
z 3z xy x y z
≤
+ + + +
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
x y z
1
x 3x yz y 3y zx z 3z xy
+ + ≤
+ + + + + +
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 29.
Cho x, y, z thỏa mãn 0 < x,y,z
1≤
. Và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
A =
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)x y z
z x y
− − −
+ +
Hướng dẫn
.1
4
.
.
)1(
2

4
)1(
22
x
z
z
xz
z
x
−=
−
≥+
−

Dấu bằng khi
.222
4
)1(
2
yxxzyxxz
z
z
x
=⇒−++=−=⇒=
−
Chứng ming tương tự ta có A +
2
1
1)(3
2

1
≥⇒=++−≥ Azyx
. Dấu bằng khi x = y = z =
3
2
Bài 30. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu
, ,a b c
là độ dài ba cạnh của
tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 9
S
= + +
+ − + − + −
a b c
b c a c a b a b c
.
Hướng dẫn
Đặt
, , , , 0
2 2 2
+ − + − + −
= = = ⇒ >
b c a c a b a b c
x y z x y z
thỏa mãn
1
2
+ +
+ + = =
a b c

x y z
và
, ,= + = + = +a y z b z x c x y
. Khi đó
4( ) 9( ) 1 4 9 4 9
S
2 2 2 2
 
   
+ + +
 
= + + = + + + + +
 
 ÷  ÷  ÷
 
   
 
y z z x x y y x z x z y
x y z x y x z y z
1 4 9 4 9
2 . 2 . 2 . 11
2
 
≥ + + =
 ÷
 
y x z x z y
x y x z y z
Đẳng thức xảy ra
4 9 4 9

, ,⇔ = = =
y x z x z y
x y x z y z
1 1 1
2 , 3 ,2 3 6 1 , ,
6 3 2
⇔ = = = ⇒ + + = = ⇒ = = =
y x z x z y x y z x x y z
5 2 1
, ,
6 3 2
⇒ = = =a b c
. Vậy GTNN của S là 11
Bài 31. Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x xy y y yz z
z zx x
S
x y z y z x z x y
− + − +
− +
= + +
+ + + + + +
Hướng dẫn:
Ta có
2 2 2 2 2
1 3 1 1
( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 2
− + = + + − ≥ + = +
x xy y x y x y x y x y
Tương tự suy ra
2
2 2 2
+ + +
≥ + +
+ + + + + +
x y y z z x
S
x y z y z x z x y
Đặt
2 , 2 , 2
, ,
2 2 2
2
2 2 2
= + + = + + = + +
+ − + − + −
⇒ + = + = + =
+ − + − + −
⇒ ≥ + +
a x y z b y z x a z x y
b c a c a b a b c
x y y z z x
b c a c a b a b c
S
a b c
4 3 2 2 2 3 3

     
⇒ ≥ + + + + + − ≥ + + − =
 ÷  ÷  ÷
     
b a c a c b
S
a b a c b c
Do đó
3
4
≥
S
. Đẳng thức xảy ra
= =
x y z
. Vậy GTNN của S là
3
4
Bài 32. Cho a, b là các số dương thay đổi thoả mãn a+b=2.T\nh giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
Q =
( )
2 2
2 2
1 1
2 6 9
a b
a b
b a
a b

   
+ − + + +
 ÷  ÷
   
Hướng dẫn
2 2
2 2
1 1
2( ) 6( ) 9( )
a b
Q a b
b a a b
= + − + + +
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
1 1
2 2 6 6 9 9
1 1
( 6. 9 ) ( 6 9 )
3 9 3 1
( 2. . ) ( 2. 9 )
3 3 3 3
( ) ( ) 2( )( )
9 9

2( 3 3 ) ( ) 2 2( 6 )
.
a b
Q a b
b a
a b
a b
a b a b
b a
b a
a a b b a b
b a
b a
a b a b a b a b
b a b a
ab a b ab ab
a b ab
= + − − + +
= − + + − + + +
= − + + − + + +
= − + − + + ≥ − − + + ≥
= − − + + + − = − +
2 2
(¸p dông A + B 2A.B)
2
( ) 2
2
9 18 18
2( 6 ) 4 2 12 4 8
a b ab

thay a b
ab ab
ab ab ab
+ + −
+ =
≥ − + + − =− + + = − +
ta cã
Q
Ta có
2
2
( )
( ) 2 .
2
a b
a b ab a b
+
+ ≥ → ≤
→
2
( ) 4
1
4 4
a b
ab
+
≤ = =
nên
1 18 18
1 18 8 8 18 10

.a b ab ab
≥ → ≥ → − + ≥ − + =
(vì a.b là số dương)
Dấu “=” xảy ra khi
3 3 3 3ab ab
a b
b a b a
a b a b
− −
 
− = − =
 
⇔
 
 
= =
 
→ a = b
vì a + b = 2 → a = b = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q là 10 tại a = b = 1
Bài 33. Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1 2 3
2
M
x y x y
= + +
+
.
Hướng dẫn

2 3 2 3
2 2 2
x y x y
M
xy x y x y
+ +
= + = +
+ +
3 2 3 5 2
8 2 2 8 2
x y x y
x y
 
+ +
= × + + ×
 ÷
+
 
Có
3 2 3 3 2 3 3
2
8 2 2 8 2 2 2
x y x y
x y x y
+ +
× + ≥ × × =
+ +
. Dấu “=” xảy ra khi
3 2 3
8 2 2

x y
x y
+
× =
+

Có
5 2 5 5
2
8 2 8 4
x y
xy
+
× ≥ =
. Dấu “=” xảy ra khi 2x = y và xy = 2
Do đó
3 5 11
2 4 4
M
≥ + =
. Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
11
4
khi x = 1 và y = 2.
Bài 34. Cho số thực x, y thỏa mãn xy
2≥
. Tìm GTNN của biểu thức
T =
2 2

1 4
xy
1 x 4 y
+ +
+ +

Hướng dẫn
Bổ đề: Với
1ab
≥
ta có
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ ≥
+ + +
(Để chứng minh bổ đề ta dùng biến đổi
tương đương)
Đặt y = 2t thì
1xt
≥
và
2 2 2 2
1 4 1 1
2
1 4 1 1
P xy xt
x y x y
= + + = + +
+ + + +

Áp dụng bổ đề và BĐT Côsi ta có
2 2(1 ) 3 1 2 2(1 ) 3 1
2 . 3
1 4 2 2 1 4 2 2
xt xt xt
P
xt xt
+ +
 
≥ + + − ≥ + − =
 ÷
+ +
 
Dễ thấy khi x = t = 1 thì P =3. Vậy min P = 3
Bài 35. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: Q =
2 2 2
1 1 1
1 1 1a b c
+ +
+ + +
Hướng dẫn
Ta cần chứng minh: Q
3
2
≥
Giả sử
a b c≥ ≥
, từ giả thiết suy ra
1ab ≥

. Ta có bất đẳng thức sau:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
1
1 1 2
0
1 1 1
1 1 1
a b ab
a b ab
a b ab
− −
+ ≥ ⇔ ≥
+ + +
+ + +
(luôn đúng).
Vậy ta cần chứng minh:
2
2 1 3
1 1 2ab c
+ ≥
+ +

2 2 2 2
3 3 3 3c ab abc c ca bc abc a b c abc⇔ + − ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì

( ) ( )
( )
2
2
3
3 9
3
a b c ab bc ca
ab bc ca abc

+ + ≥ + + =


+ + ≥



hay
3 3a b c abc+ + ≥ ≥
.
Dấu bằng xảy ra khi
1a b c= = =
. Vậy Q
min
=
3
2
khi
1a b c= = =
Bài 36. Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì:

2 2 2
2 2 2
a b c
a) a b c
b c a
a b c a b c
b)
b c c a a b 2
+ + ≥ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
a) Ta có:
2 2 2
a a b 2ab
b 2a (do a,b 0)
b b b
+
+ = ≥ = >
Tương tự
2 2
b c
c 2b, a 2c.
c a
+ ≥ + ≥

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2 2 2
a b c

a b c
b c a
+ + ≥ + +
b) Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2a b c 4a b c
a b c
a (do b,c 0).
b c 4 4 b c 4 b c
+ + +
+
+ = ≥ = >
+ + +
Tương tự:
2 2
b a c c a b
b, c.
a c 4 a b 4
+ +
+ ≥ + ≥
+ +

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2 2 2
a b c a b c

b c c a a b 2
+ +
+ + ≥
+ + +
.
Bài 37. Cho a, b,c là các số thực dương, thoả mãn a + b+ c = 3
Chứng minh:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c 3
+ +
b +c c + a a + b 2
≥
Hướng dẫn
2 2 2 2 2 2
3 3
a + b 2ab a - ab +b ab (a + b)(a - ab + b ) ab(a + b)
a
Ta
+b
c
ab(a + b
ó:
)
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
⇔ ≥
Tương tự:
3 3 3 3
b +c bc(b +c), c +a ca(c+a)
≥ ≥

Mặt khác:
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3 3
2 2 2 3 3 3
3.(a + b + c ) = (a + b+c)(a +b + c )
= a + b +c +ab(a + b)+ bc(b +c) +ca(c+a)
3.(a +b +c )
a + b + c a + b +c (

1)

≤
⇒ ≤
Lại có
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3.(a + b + c ) =(a + b+c)(a +b + c )
=a +b +c +a(b + c ) +b(c +a )+ c(a + b ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a(b +c )+ b(c + a )+ c(a + b ) a +b + c
(3)
4 2
≥
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có :
3 2 2 3 2 2
2
2 2 2 2
a a(b +c ) a a(b + c )

+ 2. . = a
4 4
b + c b +c
≥
Tương tự
3 2 2 3 2 2
2 2
2 2 2 2
b b(c +a ) c c(c +a )
+ b , + c
4 4
c + a c +a
≥ ≥
Suy ra
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a(b +c )+b(c +a )+c(a +b )
+ + a +b +c (4)
b +c c +a a + b 4
+ ≥
Trừ từng vế của (3) cho (4)
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 1
+ + (a + b +c )
b
suy ra
+c c +a b 2

:
a +
≥
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
3.(a + b +c ) (a + b+ c) a +b +c .(a + b+c)
3
1 1 3
(a +b +c ) .(a +b+c)
2
Mà
6 2
≥ ⇔ ≥
⇔ ≥ =
Vậy:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c 3
+ +
b +c c +a a + b 2
≥

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 38.

Cho ba số thực dương x,y,z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(
)
( )

( )
2 2 2
2 2 2
xyz x y z x y z
S
x y z xy yz zx
+ + + + +
=
+ + + +
Theo bu nhi a:
( )
( )
2
2 2 2
x y z 3 x y z
+ + ≤ + +
=>
( )
2 2 2
x y z 3 x y z
+ + ≤ + +
=>
(
)
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
xyz 3. x y z x y z
S

x y z xy yz zx
+ + + + +
≤
+ + + +
=
( )
( )
2 2 2
xyz 3 1
x y z xy yz zx
+
+ + + +
( )
2 2 2 2 2 2
6 3
xyz 3 1
3 1
S
3 3
3 x y z 3 x y z
+
+
≤ =
=>
3 1
Smax
3 3
+
=
khi x = y = z

Bài 39. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn
a b 2+ ≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
1 1
P a b
a b
= + + +

Hướng dẫn:
Cách 1.
2 2
2 2
( 1) ( 1) 2
2 1. 2 1.
2 2
2 2 2
1 1
8 2 3
( ) 3
2 2 2
8 2 3
2 . .2 3 4
2 2 2
P a b
a b
P a b
a b
a b

a b
a b
a b
a b
= + + + + + −
≥ + + + −
+ +
+ +
≥ + + + −
+ +
+ +
≥ + − =
+ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1a b
= =
Vậy GTNN của P bằng 4 tại
1a b
= =
Cách 2.
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
5 5
5 5
1 1 4 4 3 1 1 3 ( )
( ) 5 5 . 4
4 4 4 4 4 4 2
4 4
a b a b

P a b a b
a b a b
   
+
= + + + = + + + + + ≥ + + =
 ÷  ÷
   
Vậy GTNN của P bằng 4 tại
1a b
= =
Bài 40. Cho các số thực dương
, ,x y z
thay đổi thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
1 1 1 18x x y y z z+ + + + + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
1 1 1
B
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Bunhia-copx-ki ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1

9
2 3
x y y z z x
x y y z z x
B
x y z
 
+ + + + + + + + + + ≥ + + 
 
 
+ + + + + +
 
⇒ ≥
+ + +
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 1 18 18 1x x y y z z x y z x y z+ + + + + ≤ ⇔ + + + + + ≤
Áp dụng BĐT Bunhia-copx-ki một lần nữa ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
3 2x y z x y z+ + ≥ + +
Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2
1

1 , 2 18
3
x y z x y z⇒ + + + + + ≤

( ) ( )
( ) ( )
2
3 54 0
6 9 0
x y z x y z
x y z x y z
⇔ + + + + + − ≤
⇔ + + − + + + ≤

6x y z⇒ + + ≤
do
, , 0x y z >
Từ đó suy ra
9 3
2.6 3 5
B ≥ =
+
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
2x y z= = =
.
Vậy
3
min 2
5
B x y z= ⇔ = = =

Bài 41. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a.b.c = 1. Chứng minh
rằng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c 3
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4
+ + ≥
+ + + + + +
Hướng dẫn
Có:
( ) ( )
3 3
3
a 1 b 1 c a 1 b 1 c 3a
3 . .
1 b (1 c) 8 8 1 b (1 c) 8 8 4
+ + + +
+ + ≥ =
+ + + +

( ) ( )
3
3
b 1 a 1 c 3b
3
1 a 1 c 8 8 4
+ +
+ + ≥ =
+ +

Cộng từng vế
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3
a b c a b c 3 3 abc 3 3
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 2 4 2 4 4
+ +
⇒ + + ≥ − ≥ − =
+ + + + + +

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 42. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn
1a b
+ ≥
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
2
3 3 2 2
3
.
2
F a b a b ab= + + + +
Hướng dẫn:
Cách 1. Ta có bđt
3 3
( )a b ab a b+ ≥ +
, với a, b là hai số dương
Áp dụng ta có:
( )

[ ]
2
2
3 3
( )a b ab a b+ ≥ +
mà theo giả thiết
1a b+ ≥
Do đó
( )
[ ]
2
2
3 3 2
( ) ( )a b ab a b ab+ ≥ + ≥
+) Mặt khác ta có:
( )
2
2 2
2 1 1F a b a b ab ab= + = + − ≥ −
+) Do đó
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
3 1 1 15 1 15 15
1 2 1 2. .
2 2 4 16 16 4 16 16
ab
F ab ab ab ab ab ab ab
 
≥ + − + = − + = − + + = − + ≥

 ÷
 
+) Dấu “=” xảy ra
1
1
1
2
4
a b
a b
ab
+ =


⇔ ⇔ = =

=


+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng
15
16
, đạt được khi
1
2
a b= =
.
Cách 2
+) Ta có
( )

( )
2
2
3 3
1
.
2
F a b a b ab= + + + −
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
3
3 3
( )
4
a b
a b
+
+ ≥
, (*) với mọi a, b > 0. Thật vậy (*)
2
2 2
( )
4
a b
a ab b
+
⇔ − + ≥
2 2 2 2 2
4 4 4 2 ( ) 0a ab b a ab b a b⇔ − + ≥ + + ⇔ − ≥
, (luôn đúng).
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

( )
2
3
2
3 3
( ) 1
4 16
a b
a b
 
+
+ ≥ ≥
 
 
.
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 2
( ) ( )
4 4
a b a b
ab ab
+ +
≤ ⇔ − ≥ −
.
+) Do đó
( )
2 2
2
1 ( ) 1 7( ) 1 7 15
16 8 16 8 16 8 16

a b a b
F a b
+ +
≥ + + − = + ≥ + =
. Dấu “=” xảy ra
1
1
2
a b
a b
a b
+ =

⇔ = =

=

+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng
15
16
, đạt được khi
1
2
a b= =
.
Bài 43. Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.
Chứng minh:
a bc b ca c ab 3
a bc b ca c ab 2
− − −

+ + ≤
+ + +
Hướng dẫn
Ta có:
a bc 2bc 2bc 2bc
1- 1- 1-
a bc a bc a(a b c) bc (a b)(a c)
−
= = =
+ + + + + + +
(vì a + b + c = 1)
Tương tự:
b ca 2ca c ab 2ab
1 ; 1 .
b ca (b c)(b a) c ab (c a)(c b)
− −
= − = −
+ + + + + +

Suy ra:
a bc b ca c ab bc ca ab
3 2
a bc b ca c ab (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
− − −
 
+ + = − + +
 ÷
+ + + + + + + + +
 

Từ đó:
a bc b ca c ab 3 bc ca ab
3 2
a bc b ca c ab 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
3
2
− − −
 
+ + ≤ ⇔ − + +
 ÷
+ + + + + + + + +
 
≤
bc ca ab 3
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 4
⇔ + + ≥
+ + + + + +
⇔ 4bc(b + c) + 4ca(c + a) + 4ab(a + b) ≥ 3(a + b)(b + c)(c + a)
⇔ 4b
2
c + 4bc
2
+ 4c
2
a + 4ca
2
+ 4a
2
b + 4ab
2

≥ 6abc + 3a
2
b + 3ab
2
+ 3b
2
c + 3bc
2
+ 3ca
2
+ 3c
2
a
⇔ b
2
c + bc
2
+ c
2
a + ca
2
+ a
2
b + ab
2
≥ 6abc
b c c a a b
6
a a b b c c
⇔ + + + + + ≥

(vì abc > 0)
b a c b c a
2 2 2 0
a b b c a c
     
⇔ + − + + − + + − ≥
 ÷  ÷  ÷
     

2 2 2
(a b) (b c) (c a)
0
ab bc ca
− − −
⇔ + + ≥

Bất đẳng thức này luôn đúng vì (a – b)
2
≥ 0, (b – c)
2
≥ 0, (c – a)
2
≥ 0 và ab, bc, ca > 0.
Vậy
a bc b ca c ab 3
a bc b ca c ab 2
− − −
+ + ≤
+ + +
. Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c =

1
.
3

Bài 44. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng :
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + ≥ +
Hướng dẫn
Ta có :
2 2
1 1
0; 0
2 2
a b
   
− ≥ − ≥
 ÷  ÷
   

∀
a , b > 0
1 1
0; 0
4 4

a a b b⇒ − + ≥ − + ≥

1 1
( ) ( ) 0
4 4
a a b b⇒ − + + − + ≥

∀
a , b > 0
1
0
2
a b a b⇒ + + ≥ + >
Mặt khác
2 0a b ab+ ≥ >

Nhân từng vế ta có :
( ) ( )
( )
1
2
2
a b a b ab a b
 
+ + + ≥ +
 
 

( )
( )

2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
⇒ + + ≥ +

Bài 45. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
Q 2a bc 2b ac 2c ab= + + + + +

Hướng dẫn
Bài 46.
Hướng dẫn
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài 47. Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) ( )
2 2
2 2

x y x y
S
x y xy
+ +
= +
+
Hướng dẫn
Ta có:

( ) ( )
2 2
2 2

x y x y
S
x y xy
+ +
= +
+

2 2
2 2
2
1+ 2
xy x y
x y xy
+
= + +
+
2 2 2 2
2 2
2
3+
2 2
xy x y x y
x y xy xy
 
+ +
= + +

 ÷
+
 
Do x; y là các số dương suy ra
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 . 2
2 2
xy x y xy x y
x y xy x y xy
+ +
+ ≥ =
+ +
; « = »
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
4 0
2
x y xy
x y x y x y
xy x y
+
⇔ = ⇔ + = ⇔ − =
+
2 2

( ; 0)x y x y x y= ⇔ = >
2 2
2 2
2 1
2
x y
x y xy
xy
+
+ ≥ ⇒ ≥
;« = »
x y⇔ =

Cộng các bđt ta được
6S ≥
.
6 S x y= ⇔ =
.Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y
Bài 48. Cho a, b khác 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( ) ( )
( )
2 2
2 2
7 a b 9 a b
M
2014 a b
+ − −
=
+

Ta có M =
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2a 32ab 2b a 16ab b 16ab 1
2014(a b ) 1007(a b ) 1007(a b ) 1007
− + − − + −
= = −
+ + +

Do
2 2
2ab a b≤ +
nên M
2 2
2 2
8(a b ) 1 7
1007(a b ) 1007 1007
+
≤ − =
+

Dấu “=” xảy ra khi a = b (khác 0)
Vậy Max M =
7
1007
khi a = b (khác 0).
Bài 49. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mẫn điều kiện
1 3 1
2 4 3
+

+ ≤
+ + +
c
a b c
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( 1)( 1)( 1)= + + +Q a b c
1 3 2
ó: 1
a+2 4 3
1 3 2 6
:1 2
a+2 4 3 ( 4)( 3)
1 6
2 (1)
2 ( 4)( 3)
:
3 1 2 2
1 2
4 a+2 3 ( 2)( 3)
1 2
2 (2)
4 ( 2)( 3)
c+1 3
à 2 (3)
c+3 ( 2)( 4)
Tac
b c
Suyra
b c b c

a
a b c
TT
b c a c
b
b a c
V
a b
+ ≤ −
+ +
− ≥ + ≥
+ + + +
+
⇔ ≥
+ + +
− ≥ + ≥
+ + + +
+
⇔ ≥
+ + +
≥
+ +
Từ (1),(2),(3) ta có:
1 1 c+1 48
. .
2 4 c+3 ( 2)( 4)( 3)
48
a b
a b a b c
Q

+ +
≥
+ + + + +
⇒ ≥
Vậy min Q= 48 khi a= 1, b=5 và c=3
Bài 50. Cho các số thực x, ythỏa mãn x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức M =
3
xy + y
2
.
+ Ta có:
2 2
2 2 2
2 ( ) 0
2
a b
ab ab a b a b
+
≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≥
(đúng với mọi a, b), đẳng thức xảy ra
⇔
a = b.
Do đó:
M =
3

xy + y
2
= (
3
x).y + y
2

( )
2
2
2 2 2 2 2
2
3.
3 2 3( )
2 2 2
x y
x y y x y
y
+
+ + +
≤ + = =
Mà x
2
+ y
2
= 1 => M
3
2
≤
, dấu “=” xảy ra

⇔

2 2
1 3
;
3.
2 2
1
1 3
;
2 2
x y
x y
x y
x y

= =


=


⇔


+ =
− −


= =



Vậy giá trị lớn nhất của M là
3
2
, đạt được khi và chỉ khi
1
2
x =
và
3
2
y =
hoặc
1
2
x
−
=
và
3
2
y
−
=
.
+ Xét 2M + 1 = 2(
3
xy + y
2

) +1 = 2
3
xy + 2y
2
+ (x
2
+ y
2
)
= x
2
+ 2x.
3
y + 3y
2
= (x +
3
y)
2

≥
0 với mọi x, y
Suy ra M
1
2
−
≥
, dấu “=” xảy ra
2 2
1

3
2
3. 0
x y
x
x y

+ =
−

⇔ ⇔ =

+ =


và
1
2
y =
hoặc
3
2
x =
và
1
2
y
−
=
.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
1
2
−
, đạt được khi và chỉ khi
3
2
x
−
=
và
1
2
y =
hoặc
3
2
x =
và
1
2
y
−
=
Bài 51. Cho 2 số thực a và b thỏa mãn a > b và ab = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P =
2 2
a b 1
a b
+ +

−
Ta có
( )
( )
2
a b 2ab 1
9
P a b 6
a b a b
− + +
= = − + ≥
− −

Dấu = xảy ra khi a – b =
3±
và ab = 4 suy ra a = 4, b = 1.
Bài 52. Cho a + b = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a
2
+ b
2
)
Ta có A = ab(a
2
+ b
2
)=
[ ]
abbaab 2)(
2
−+

= ab(4 – 2ab)
Đặt ab = t ta có A = t(4 – 2t) = – 2t
2
+ 4t = 2 – 2(t – 1)
2
≤
2
Dấu " = " xẩy ra khi t – 1 = 0
⇔
t = 1
⇒
ab = 1



=
=
⇔



=+
=
1
1
2
1
b
a
ba

ab
. Vậy giá trị lớn nhất của A là 2, đạt được khi a = 1; b = 1
Bài 53. Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện
x 2y≥
, tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
x y
M
xy
+
=
Cách 1
Ta có M =
2 2 2 2 2 2 2
( 4 4 ) 4 3 ( 2 ) 4 3x y x xy y xy y x y xy y
xy xy xy
+ − + + − − + −
= =
=
2
( 2 ) 3
4
x y y
xy x
−
+ −
Vì (x – 2y)
2
≥ 0, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y

x ≥ 2y ⇒
1 3 3
2 2
y y
x x
− −
≤ ⇒ ≥
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 0 + 4 -
3
2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y
Cách 2:
Ta có M =
2 2 2 2
3
( )
4 4
x y x y x y x y x
xy xy xy y x y x y
+
= + = + = + +
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương

;
4
x y
y x
ta có
2 . 1
4 4
x y x y
y x y x
+ ≥ =
,
dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vì x ≥ 2y ⇒
3 6 3
2 .
4 4 2
x x
y y
≥ ⇒ ≥ =
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 1 +
3
2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2

, đạt được khi x = 2y
Cách 3:
Ta có M =
2 2 2 2
4 3
( )
x y x y x y x y y
xy xy xy y x y x x
+
= + = + = + −
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương
4
;
x y
y x
ta có
4 4
2 . 4
x y x y
y x y x
+ ≥ =
,
dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vì x ≥ 2y ⇒
1 3 3
2 2
y y
x x
− −
≤ ⇒ ≥

, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 4-
3
2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y
Cách 4:
Ta có M =
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
4 3
3 3
4 4 4 4 4
4 4
x x x x x
y y y y
x y x x
xy xy xy xy xy xy y
+ + + + +
+
= = = + = +
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương
2

2
;
4
x
y
ta có
2 2
2 2
2 .
4 4
x x
y y xy+ ≥ =
,
dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vì x ≥ 2y ⇒
3 6 3
2 .
4 4 2
x x
y y
≥ ⇒ ≥ =
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Từ đó ta có M ≥
xy
xy
+
3
2
= 1+
3

2
=
5
2
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
Vậy GTNN của M là
5
2
, đạt được khi x = 2y
Bài 54. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn: x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1 1 1
16 4x y z
+ +
( )
1 1 1 1 1 1 21
P=
16x 4 16x 4 16 4 16 4 16
y x z x z y
x y z
y z y z x y x z y z
     
 
+ + = + + + + = + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
     
Theo cosi với các số dương:
1

16 4 4
y x
x y
+ ≥
dấu bằng xảu ra khi y=2x

1
16 2
z x
x z
+ ≥
dấu bằng xảu ra khi z = 4x

1
4
z y
y z
+ ≥
dấu bằng xảu ra khi z = 2y
Vậy P
≥
49/16
P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Vậy giá trị bé nhất của P là 49/16
Bài 55. Cho a, b, c > 0 và a
2
+ b
2
+ c
2

= 1
CMR:
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
b c a c a b 2
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn:
Ta có:
( ) ( ) ( )
= = = = = =
+ − + − + −
− − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a a b b a c c c
; ;
b c 1 a a c 1 b b a 1 c
a 1 a a 1 a c 1 c
Theo bất đẳng thức cosi ta được:
( )
 
+ − + −
 
− ≤ =
 ÷
 ÷
 
 

3
3
2 2 2
2
2 2
2a 1 a 1 a 2
2a 1 a
3 3
Dấu = xảy ra khi
= − ⇔ = ⇔ =
2 2 2
1
2a 1 a 3a 1 a
3
( vì a > 0)
Suy ra:
( ) ( )
( )
− ≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≥
−
2
2
2 2 2 2
2
4 2 a 3 3
a 1 a a 1 a a
27 2
3 3 a 1 a
Tương tự:
( ) ( )

≥ ≥
− −
2 2
2 2
2 2
b 3 3 c 3 3
b ; c
2 2
b 1 b c 1 c
Do đó:
( ) ( ) ( )
( )
+ ≥ + + = + + =
− − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
+ a b c a b c
2 2 2 2 2
a 1 a b 1 b c 1 c
Dấu = khi a = b = c =
1
3

Bài 56. Cho
0, 0, 0
1
x y z
xyz

> > >


=

. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ + ≤
+ + + + + +
.
Đặt
3
3
3
x a
y b
z c

=

=


=

, vì
, , 0
1

x y z
xyz
>


=

nên
, , 0
1
a b c
abc
>


=

Ta có
3 3 2 2
1 1 ( )( ) 1 ( ) 1 ( )
a b c
x y a b a b a ab b a b ab ab a b c
c
+ +
+ + = + + = + − + + ≥ + + = + + =
Do đó
1
1
c
x y a b c

≤
+ + + +
Tương tự ta có
1
1
a
y z a b c
≤
+ + + +
;
1
1
b
z x a b c
≤
+ + + +
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.
Bài 57.
Hướng dẫn: