Đáp án đề thi học sinh giỏi chuyên toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 và 2014

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán - Lớp 12 – THPT chuyên
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
Xét hàm số


2
( ) 2014 1 1
x
f x x x   


' 2
2
( ) 2014 ln2014. 1 2014 1
1
x x
x
f x x x
x
 
    
 


 


2
2
1
2014 . 1 ln2014
1
x
x x
x
 
   
 

 
2,0
điểm
Vì
2
2
1
1 0, 1 ln2014
1
x x
x
    

nên

 
'
0f x x   
Suy ra hàm số đồng biến trên

1,0
điểm
Mà
 
0 0f 
nên PT có nghiệm duy nhất
0x 
1,0
điểm
Câu 2
(4 điểm)
*/ Nhận xét:
 
 
 
 
2
1
2
3 3
3 ,
3 3
n n
n
n n

x x
x
x x

 
 
  
(1)
Bằng quy nạp suy ra
*
3
n
x n  
*/ Chỉ ra
 
n
x
là dãy tăng
Nếu dãy
 
n
x
bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn là
a
. Khi đó
a
là nghiệm
dương của phương trình:
4
3

9
6
a
a
a a


 
. Từ đó tìm được
3a 
suy ra vô lí.
Vậy
lim
n
x  
2,5
điểm
*/ Từ (1) ta có
3 3
1 1
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
n n n n n n
x x x x x x
 
    
     
Từ đó suy ra
1
1

1
3
n
n
y
x

 

1,0
điểm
*/ Do vậy:
lim 1
n
y 
0,5
điểm
Câu
(5 điểm)
Trong mp(ACM) kẻ NI//CM (I

AM), Trong mp(BCD) kẻ BK//CM (K

CD)
Trong (ABD): DI cắt AB tại P, Trong (AKD): DN cắt AK tại Q
Do NI//CM, BK//CM nên PQ//CM
Gọi E là trung điểm PB

ME//PD hay ME//PI
1

3
AP
AB
 
Từ cách dựng ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AE
BK = 2 CM =
3
1 1 1
3 3
3
PQ AP
PQ BK
BK AB
     
2,0
điểm
Tứ diện đều ABCD có cạnh 1 nên
2
12
ABCD
V 
0,5
điểm
M là trung điểm BD nên
1 2
2 24
AMCB ABCD
V V 
0,5
điểm

1 1 1
2 3 6
AMNP
AMCB
V
AM AN AP
V AM AC AB
  
. Suy ra
2
144
AMNP
V 
1,0
điểm
Câu 4
(3 điểm)
Mọi đường tròn chứa bên trong hoặc trên nó cả 3 điểm A, B, C có đường kính
d không thể nhỏ hơn 3 đoạn AB, BC, CA
1,0
điểm
Chỉ ra tam giác ABC vuông tại A

BC =
5 2
là cạnh lớn nhất.
d
 
ax , , 5 2 min 5 2m AB BC AC d   
Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn bài toán

2,0
điểm
Tâm đường tròn là
9 5
;
2 2
I
 
 
 
, bán kính là
1 5
2
2
R BC 
Vậy pt
 
2 2
9 5 25
:
2 2 2
T x y
   
   
   
   
1,0
điểm
Câu 5
(4 điểm)

Từ giả thiết ta chứng minh
,a c b d 
Nếu
0 0a b c d    
(loại)
Nếu
0, 0a b 
, đặt
1,
c d
u v
b b
  
ta được
2012 2012
2014 2014
1
1
u v
u v

 


 


Từ hệ suy ra,
1, 1u v 
nên

2014 2014 2012 2012
1u v u v   
dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi
 
1
0
0,
1
0
u loai
u
a c b d
v
v





    
 






Do vai trò như nhau nên trường hợp một trong các biến b, c, d bằng 0 cũng
tương tự đều dẫn đến

,a c b d 
.
1,0
điểm
Nếu
0abcd 
, đặt
2012 2012 2012 2012
2014 1007
0, 0, 0, 0, 1
2012 1005
x a y b m c n d           
Theo đề ra ta có:
(1)
(2)
x y m n
x y m n
   
  


  

Từ (1) và (2) ta có:
( )x m n x m n
   
    
Xét hàm số
( ) ( )f x x m n x m n
   

     
;
1 
;
0x 
1 1
'( ) ( )f x x m n x
 

 
 
   
 
'( ) 0
2
m n
f x x

   
Từ bảng biến thiên suy ra PT f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm
2,0
điểm
Mà
( ) ( ) 0f m f n 
nên
 
0
x m
f x
x n



 



;x m y n x n y m     
. Vậy
a c
b d





2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4a b c d c d a b a d c            
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4a b a b a b a b a b a             
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4a b a b a b a b a b a             
 
 
 
 
 
2 2
2 2 2
2
1 3 1 3 2a b a b a b          

 
 
   
2
2 2 2
2
1 1 3 3 2 3 4 2a a b b a a a a              
4 2 6a a    
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0 0a b c d    
(không thỏa mãn giả thiết)
Vậy
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4 6.a b c d c d a b a d c             
1,0
điểm
Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang
điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót
thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
Hết