Một số phương pháp lặp và điểm bất động

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG
MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG • • •
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng
HÀ NỘI, 2013
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn
Vãn Hùng, người thầy đã hướng dấn, chỉ bảo tận tình đế tôi hoàn thành
luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung
tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào
Cai nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đảng của các
thầy giáo phản biện đế luận văn hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và
bạn bề trong suốt quá trình làm luận văn.
Hà Nội, thảng 6 năm 2013
rri ' _
_•
2.
Tác giả
Nguyễn Đức Tưởng
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa
từng được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vẫn này đã được
cảm ơn và các thông tin trích dân trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
2
Hà Nội, tháng 6 năm 20]3

Tác giả
Nguyễn Đức Tường
3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài.
Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là cơ sở
để tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học, kỹ thuật.
Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán
ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội tụ tới nghiệm của bài toán. Cách làm này
là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cố gắng giải quyết vấn đề
bằng dãy hữu hạn các phép tính. Khi không có sai số thì phương pháp trực tiếp sẽ
đưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháp lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần
đúng. Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rất tốn kém (và trong một số trường
họp là không thể) ngay cả với khả năng tính toán tốt nhất có sẵn.
Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tống quát nhờ áp
dụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không những chỉ cho cái nhìn
một cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ra
nhiêu thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, như
đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi
tuyến Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi đã chọn
đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điếm bất động”.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiếu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệm
của một số phương trình trong toán học.
3. Nhiệm vụ nghỉên cứu.
- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động.
- Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình.
4
4. Đối tượng và phạm vi nghỉên cứu.

Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn, Nevvton-
Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng.
5. Phương pháp nghỉên cứu.
Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi
phân, phương trình tích phân và đại số.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
- Đề tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp
lặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nó
đều liên quan đến ánh xạ co.
Các phương pháp lặp được trình bày có thể được nghiên cứu
tiếp để mở rộng cho các không gian trùn tượng hơn.
Chương 1 Kiến
thức chuẩn bi
1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X ^0, ta gọi là một metric trong X một ánh
xạ d từ tích Descartes XxX vào tập số thực R thỏa mãn 3 tiên
đề sau: /)(Vx,ye X) d{x,y)>Q,d(x,y)

= §<í>x = y
ii) (\/x,ỵe; X) d(x,ỵ) = d(ỵ,x)
iii)

(Vx, ỵ, z e X) d(x, y

) < d(x, z)

+ d(z,

y)
Không gian metric là cặp (x,d)

trong đó:
• X ^

0 được gọi là tập nền
• d

là metric trong X
• d(x,ỵ)

là khoảng cách giữa hai phần tửx,yeX
• Các phần tử của X

gọi là các điểm
5
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metrỉc(X,d).
Dãy hội tụ : Dãy x
n
cz X gọi là hội tụ đen CIE.X


nếu (Vf > 0) (Bn
0
G N*) :(V/2 > n
0
) thì d (jf
n
,a)<£,

kí

hiệu:
limx
;ỉ
= a hay x

n

—> a (n

oo)
n—>
oc
Điểm a

còn được gọi là giới hạn của dãy (x

n
) trong không gian metric
(X,d)
Dãy cơ bản

:dãy x

n

c= X

gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy )
<=>(V£>Q) (3«
0

eiV*);(Vm,«> w
0
)thì d(x
n
,x
nì
)<€
o(V£>0)(3n
0
eW*) (Vw > w
0
) (Vp&N*)

thì d(x

n+p

,x

n

)<£
hay là dãy cơ bản <=> lim d(x

m

,x

n

) =

0
m,n
—»00
hoặc limd(x ,x
n
) =0 Vp = 1,2,
n->x
F
Không gian đủ:

Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ
được gọi là không gian metric đủ.
1.2. Tô pô trong không gian metric Định nghĩa
1.2.1.
Cho không gian (X,d),

r > 0, a eX
Hình cẩu mở: Ta gọi B(a, r) = ( X e X: d(x,a) < r j là hình cầu
mở tâm a, bán kính r.
Hình cầu đóng:Ta gọi B’(a, r) - {X e X: cl(x,a) <r } là hình cầu
6
đóng tâm a, bán kính r.
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian (X,d),

A czX
Tập mở: A được gọi là tập mở nếu Vx <E A thì X là điềm trong của
A.
Điểm trong : X eA được gọi là điểm trong của A nếu 3e > 0: B(x,

s)
c= A.
Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu A\4 = A
c
là tập mở.
Quy ước 0, X vừa là tập đóng vừa là tập mở.
Định lý 1.2.1. Trong không gian metric, hình cẩu đóng là tập
đóng, hình câu mở là tập mở.
Định lý 1.2.2. Cho không gian metric (X,d),

F czX
F là tập đóng v{x
;ỉ
} (Z F và x
n
—> X thì X E F.
Định lý 1.2.3. Cho (X,d)

là không gian metric thì:
a) Hợp của một họ tày ý các tập mở là tập mở:
Ga mở Va e A => ỊJ G là tập mở.
a e A
b) Giao của hữu hạn các tập mở ỉà tập mở:
Gị là tập mở Vỉ- l,n ^>p|G ỉà tập mở.
i=l
c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng:
7
Fị đóng Vi — l,n F. là tập đóng.
i = l

d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng:
Fa đỏng Va - 1, n =>p| F
a
là tập đỏng.
CC€A
1.3. Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.3.1. Ảnh xạf:

X —> Y từ không gian metric (X,d

x

) vào
không gian metric ợ,dy ) được gọi là liên tục tại Xo nếu (Vs> 0),
(Bô> 0) (Vx £ X): d
ỵ
(x,x
ữ
) < ổ thì dy(f(x),f(x
ữ
))<£.
Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A aX

thì ta nói / liên tục trên A

czX.
Định nghĩa 1.3.2. Ảnh xạ f: X —> Y từ không gian metric (X,d

x

)vào
không gian metric (Y,dy)

được gọi là liên tục đều trên A aX nếu ( Ve >
0), (3Ổ> 0) ( Vx, x’ eX): d

ỵ

(x,x') < ổ thì dy(f(x),f(x'))<£.
Hiển nhiên ánh xạ/ liên tục đều thì liên tục.
1.4. Tập hợp compact và bị chặn
Định nghĩa 1.4.1. Không gian compact
Không gian metric (X,d)

là không gian compact nếu với môi dãy
điếm {x
n
}cX,3 x
n[
<={x
n
}:x
ni
—» X e X (k —»co)
Tập compact: Tập A dX là tập compact nếu không gian con A là
không gian compact nghĩa là ỉ/ Ịx
n
Ị a A, 3 jx
nk
I <z {x

n
Ị: x
n
->xeA(k^oo).
Định lý 1.4.1. (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)
Ánh xạ liên tục f: X —>Y từ không gian metric (X ,d

x

)

vào không
8
gian metric (Y,dy).

K là tập compact trong X thế thì:
1. f liên tục đều trên K
2.

f(K)

ỉà tập compact trong
Y Định nghĩa 1.4.2.
Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric
(X,d).

So Ô(A) = sup d(x,y) được gọi là đường kính của tập A, nó có thế là
số hữu
x,yeA
hạn hoặc vô hạn. Neu Ỏ(A) <oothì A được gọi là tập hợp bị

chặn Từ đó suy ra A bị chặn <^>BB(a,R): A <^B(a,R).
1.5. Không gian vectơ (không gian tuyến tính)
Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = R V c)
trên
có hai phép toán “+ ” và ” thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 )\Jx,yeX :x + ỵ = y + x
2) \/x,ỵ,zeX

:(x + ỵ) + z = x + (y + z)
3) \/x e X,0 e X : X + ỡ = X
4) Vjcg X,3x'e X :x + (-x') = ớ hay:x-x'

= 0
5) Vjc g X, \ỉa,p e K: a(P(x)) = (ap)x
6) Vx, y eX,V(2E K : a ( x + ỵ ) = a x + a ỵ
7) Vxg G K :(a + fí)x = ax +
9
8) ].x

= xA \/xGX
với 1 là phẩn tử đơn vị của phép nhân trên trường K.
Khỉ đỏ Xđược gọi là không gian vectơ trên
trường K Ví dụ.
C
la b]
= ịx(t)

liên tục trên [a,b

] } được trang bị hai phép toán

a)

Vx,y

e c

ịah]

:x+ỵ = x(t) + ỵ(t)
b)

Vxe C

Ịab]

,ae R :ax = ax(t)
Khi đó nó là không gian vectơ
1
0
1.6. Không gian định chuẩn - không gỉan Banach Định nghĩa
1.6.1.
Không gian định chuân:
Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ ||.||: X —»
R , thỏa mãn các tính chất sau:
a)

\/xeX :

||x|| > 0; ||x|| = 0 <=> X = 0.
b) VxeX, VaeẢT: ||ajt| = |a||jt|.

c) Vjc, y

e X

: ịx

+ j|| < 1*11 + IIỵ\\.
Khi đỏ ảnh xạ ||.|| được gọi là một chuẩn xác định trên không gian
vectơ X. Không gian X cùng với một chuân xác định trên nó là một
không gian định chuẩn. Kí hiệu là: (x,||.||), ||x|| là chuẩn củaxeX.
Định nghĩa 1.6.2. Sự hội tụ:
Dãy điêm ỊxJ hội tụ đên a trong khổng gian định chuân X nêu
lim|bt
rt
- a|| = 0<=>V£>0, 3n

0

: Vw > n

0

thì

||x
rt
— ứ|| < 8.
Ĩ1
—>00
Kí hiệu : limx

/?
= a hay x
n
—>a(n—>

oo).
lĩ
—>00
Định nghĩa 1.6.3. Dãy cơ bản:
Dãy điếm x
n
trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản (dãy
Cauchy)^> (Ve> 0) (3n
0
G N*): ( Vm, n >n
0
) thì \\x
n
-*„,1 < 8.
<^> (Ve> 0) (3n

0

e

N*): (V/2 >n

0

) (Vp = 1,2

thì
x
*
+
p ~
x
n
1
1
< €.
Định nghĩa 1.6.4. Không gian định chuân X là không gian Banach
nêu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định lý 1.6.1. Cho không gian định chuấn X, với mọi x,ỵ G X thì:
a) |||*||-||)|<||*-;y||.
b) Đặt d(x,

y) = ||x- ỵ\\ thì d là metric trong X gọi là metrỉc sình bởi
(h ay m e t r i c t ư ơ ng t h í c h) v ới c hu ấ n.
Nhận xét:
• Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy.
• Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy đủ.
Định nghĩa 1.6.5. Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường
K, McìX. Khỉ dỏ toán tử A: M —> Y dược gọi là liên tục theo dãy diểm
nếu với môi dãy Ịx
n
ỊczM, n = 1, 2 sao cho x
n
—> X thì Ax
n

—> Ax.
1.7. Sai số và số gần đúng
1.7.1. Sai số tuyệt đối, sai số tưong đối
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các
đại lượng. Ta nói a

là số gần đúng của a\

nếu a

không sai khác ả

nhiều. Đại
lượng À:= a-a

gọi là sai số thật sự của a.

Do không biết a

nên ta
cũng không biết A. Tuy nhiên, ta có thế tìm được Aa

>0, gọi là sai số tuyệt đối
của a

, thỏa mãn điều kiện:
a - ầ < A a
hay a — ầa<a <a + Aa .
Đương nhiên, Aa

thỏa mãn điều kiện trên càng nhỏ càng tốt. Sai số tương đối
của a

là Sa

:= —Ỵ.
1
2
\a\
Ví dụ. Đo diện tích hai hình vuông ABCD

và A'B'C'D'

ta được
о о _ 0 02
а

= 1 Ocm và b

= lcm với Aa =

Ab

=

0.02. Khi đó ta có ôa

= —— = 0.2%
10
còn ổb

= — 2% hay ổb = \Oổa.

Hiển nhiên rằng phép đo a

chính xác
hơn hẳn phép đo b

mặc dù Aa = Ab.

Như vậy độ chính xác của một phép đo
phản ánh qua sai số tương đối.
1.7.2. Chữ số chắc
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác "0" và cả "0", nếu nó kẹp giữa hai chữ
số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ. а

= 0.0030140. Ba chữ số "0" đầu không có nghĩa.
Mọi chữ số có nghĩa ß.

của a

= ±(/? 10
p
+ + /? _
â
10*’
_ĩ
) gọi là chữ số
chắc, neu Aß < сох

10'.
trong đó (ứ

là tham số cho trước. Tham số (0 được chọn để một chữ số vốn đã
chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a
trước khi thu gọn là ß.

.

Đe Д
+1
và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có
Аа + Га < X 10'
+l
. Suy ra coxlờ +0.5xl0
/+l
< <yxlO'
+l
hay co

> —. Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu co =

0.5 (co =

l).
9
Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi
tính toán sai số chỉ tác động đến các chữ số không chắc mà thôi.
Chương 2

Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn
2.1. Định lý điểm bất động
Định nghĩa Cho {X,p

)là không gian metric. Ánh xạ A

: X

—» X

được gọi
1
3
là một ánh xạ co

nếu tồn tại một số a

thỏa mãn 0 < a

< 1 sao cho với bất kỳ hai
điểm X, ỵ

G X

ta có
p(Ax,Ay)<ap(x,y) (2.1)
Hiển nhiên ánh xạ co là liên tục đều. Điểm được gọi là điểm bất
động
của A

nếu ta có Ax* = x*.

Nói cách khác, điểm bất động của ánh xạ A

chính là
nghiệm của phương trình Ax

= X

.
Định lý 2.1. (Banach). NeuAỉà

ánh xạ co, đi từ không gian metric
đủ(X,p)

vào chính nó thì A có duy nhất một điếm bất động và điếm đó có
thế nhận được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ ban đầu tùy
ý x
0
< e X .
Chủng minh.

Lấy x
()
G X

tùy ý. Dãy {x

n
} được xác định bởi công thức x

n
= Ảx

n
_J = = A

n



x

0

là dãy Cauchy.
Thật vậy, với m>n và theo (2.1), ta có
p(
x
n’
x
n,) = p(A

n

x

0

,A

m

x

0

) < ap(A

n

-'x

Q

,A

m

-

x

x

ữ

)
< a
2

p(A''-
2
x
Q
,A
m
-
2
x») < < «V(i
0
,A
m
-%) =
< a" (p(x

ữ

, X

,) + p(x

t

,

x
2
) + + p(x
m
_

n
_
t
, x
m
_
n
))
< a" pix
0
, x
t
)[ l + C C + 0
1
+ +
<
a
( \ -
,
~p(
x
0i
x
i) ỉ-a
Từ đó p(x

n

ix

m

)-ì

0 khi m,w —>0. Vì X

đủ nên Ịx
;ỉ
Ị có giới hạn là X .

Vì A

liên tục
nên
Ax* = ^(lim^) = limAx
n
=limx
/j+1
=x*.
n—>00 /J—»co n —>co
1
4
Tính duy nhất được suy ra từ điều kiện (2.1). Giả sử sao cho
Ax* =

X * và A

y* = y *.
Khi đó theo (2.1)
p(Ax*

f

Aỵ*) = p(x

*, ;y*) < ap(x*,

y*)
nên yơ(x*,3?*) = 0 (do <2 < 1) hay là x* = y*.
Chú ý 2.1.

Ánh xạ A

thỏa mãn điều kiện
p(Ax,Aỵ)<p(x,y) (2.2)
với mọi cặp ỵ, x,y eX

có thế không có điểm bất động trong X .
Chẳng hạn
, _
1
Ax = x + —
X
ánh xạ nửa đường thẳng [l,°°) vào chính nó và thỏa mãn (2.2) nhung không có
điểm bất động trên nửa đường thẳng đó.
Thông thường người ta xét các ánh xạ co xác định trên toàn không gian X
hoặc trong hình cầu 5 c X . Trong trường hợp ánh xạ co được xét trong hình cầu
s

, định lý 2.1 thường được phát triển dưới dạng sau đây.

Định lý 2.2. Giả SỬA

là ánh xạ co trong hình cẩu
đóng s = Ịx:p(x,

y
0
) < rj của không gian metric đủ X , tức là
p[Ax,Aỵ) < ap(x,y) với mọix,y

G s .
Ngoài ra giả thiết
p{Ay
ữ
,y
0
)^{\-a)r (2.3)
Khi đó trong s tồn tại duy nhất một điếm bất động của A.
Đe chứng minh định lý 2.2 ta chỉ cần kiểm tra AS

d s .Vì

với xeS

ta có p( Ax,
y
ữ
) < p( Ax, Ay
0
) + p{ Ay

ữ
, y
0
) < ap(x, y
a
) + (l - a)r < r
suy ra AS a s

.

Hình cầu đóng s

là không gian con đủ trong X

nên có thể áp dụng
1
5
định lý 2.1.
Dưới đây ta đưa ra một cách chứng minh định lý 2.1 đôi khi có lợi cho việc
xây dựng phương pháp gần đúng.
Giả sử ф(*) là một phiếm hàm bị chặn dưới.
Khi đó tồn tại
d

= inf ф(х).
л:еО(Ф)
v
7
Dãy К} (n

= 1,2, ), x„ eữ(o) được gọi là dãy cực tiểu

của phiếm hàm Ф nếu ta
có
limO(x ) = d.
ìĩ
—>00
Xét phiếm hàm liên tục, không âm
ф(х) = yơ(x, Ax).
Gọi là dãy cực tiểu nào đó của ф(*), khi đó
limOÍx )= inf =
йХ' ^
n/
л-еЬ(Ф)
v
’
Ta có
d <Ф( Ax
n
) = p( Ax
n
, A
2
x
n
) < a p ( x
n
, A x
n
) = а ф ( х

п
)
hay là d <ad

, suy ra d =

0. Mặt khác
p(
x
n’
x
», )^p(
x
„’
Ax
„ )
+
PÌ
Ax
„ -
Ax
n, ) + P{
X
n,’
AX
m
)
< ф(х„ ) + ф(х„) + ap(x,„x

m

)
,


Ч
)+ ф(х )
р ( х
п
, х
т
) <
у п )

khi п , т ^ 00.
1 -а
Vì X

đủ nên tồn tại X* = ПтФ(х ) = 0 hay х* = Ах* .
00
Tính duy nhất được chứng minh tương tự như trên.
Chú ý 2.2.

Trong chú ý 2.1 ta đã thấy nếu A

chỉ thỏa mãn điều kiện (2.2)
thì định lý 2.1 chưa chắc đúng. Tuy vậy nếu miền giá trị của A

là tập compact thì
định lý vẫn đúng.

Định lý 2.3. Giả sử A ánh xạ tập đỏng M của không gian metrỉc đủ X vào
tập compact M và thỏa mãn điều kiện (2.2). Khi đỏ ảnh xạ A có điếm bât
động duy nhất trong M .
Chứng minh.

Đe chứng minh ta lại xét phiếm hàm
1
6
<D(x) = yơ(jc, Ax ) .
Vì đó là phiếm hàm liên tục, không âm nên tại một điểm X * nào đó trong tập
compact M

nó sẽ đạt giá trị cực tiểu. Giá trị cực tiếu đó bằng 0, vì nếu ngược lại
ta có
<ĩ>ị Ax

*) = p(Ax*,

A
2
x*) < /?(**, Ax*) -

min <D(x)
v 7
xeM
v 7
điều đó vô lý. Bởi vậy 0(x*) = 0 và do đó X* là điểm bất động của ánh xạ A

.
Tính duy nhất được chứng minh tương tự như ở định lý 2.2.

Chú ý 2.3.

Ánh xạ A

thỏa mãn điều kiện của định lý 2.3 không nhất thiết
là ánh xạ co trên M

cũng như trên A ( M ) . Có thể thấy điều đó qua ví dụ đơn
giản sau đây:
Ánh xạ
Ax = X - —
2
biến đoạn [0,1] vào chính nó và thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.3; tuy vậy
nó không phải là ánh xạ co.
Dưới đây ta nêu lên mà không chứng minh một định lý quan trọng về sự
tồn tại của điểm bất động, định lý Schauder.
Định lý 2.4. Giả sử ánh xạ liên tục A ánh xạ tập đóng, lồi M của
không gian Banach X vào chính nó và A(M)ỉà

compact. Khỉ đó ảnh xạ A
có điểm bất động cỉuy nhất trong M .
Trong nhiều trường họp việc đưa vào một tham biến mới làm đơn giản
cách giải bài toán và sau đó nghiệm của phương trình xuất phát được xem như là
một giá trị của nghiệm bài toán mới ứng với một giá trị cố định của tham biến. Vì
thế việc xét tính liên tục của nghiệm phụ thuộc vào tham biến trong trường hợp
này rất quan trọng. Khái niệm về ánh xạ co đều có lợi cho việc xét các vân đê
trên.
Giả sử có hai không gian Banach X X

]

và s

là hình cầu ||jt-jt
0
||< r

trong X
1
7
vầSị

là hình cầu ||z-z
0
||<^ trong X

Ị
. Toán tử A(x;z)

tác dụng trong không gian X
và phụ thuộc vào tham biến z

e Sị

được gọi là ánh xạ co đều

nếu với mọi z

e Sị
ta có

\\A(x;

Z) - A(y,z)|| <a\\x-y\\,x,y(ES

(2.4)
trong đó 0 < a <

1 và không phụ thuộc z

.
Ta có định lý sau đây :
Định lý 2.5. Giả sử ánh xạ A(jc;z) liên tục theo z với mỗi xcố định và
với môi z G Sị biến cầu s vào trong nó. Neu A[ x\z) là ánh xạ co đều trong s thì
phương trình
x = A(x;z) (2.5)
có trong hình cầu s nghiệm duy nhất x* = JC*(z) liên tục theo z.
Chủng minh.

Định lý 2.1 đã khắng định sự tồn tại và duy nhất của
nghiệm đó. Ta chỉ cần chứng minh tính liên tục theo z

. Thực vậy, theo (2.4) ta có
\\x

* (z
0
) - * * (z)|| = II A(x

* (z
0

); z
0
) - A(x

* (z); z

)II ^ ||A(x*
(z
0
);z
0
) - A(x* (z
0
);z)|| + IỊẩCx* (z
0
);z) - A(x* (z);z)|| <||
A(x*(z
0
);z
0
)-A(x*(z
0
);z)|| + «||a:*(z
0
)-x
;ì;
(z)||
từ đó
II-* * (z
0

) - X * (z)|| < — | | A ( x * (z
0
); z
0
) - A(x * (z
0
); z)||.
1-a'
VI A

liên tục theo z

với mỗi X cố định nên ta suy ra x*(z) liên tục tại điếm z

0

e
Sị. Định lý được chứng minh.
Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý tổng quát hơn trong không gian metric.
Giả sử X

là không gian metric với metric p(x

, ỵ

), ánh xạ A

được gọi là ánh xạ
co suy rộng nếu
1

8
với ỵ(u)

là một hàm liên tục, dương khi u >

0 thì A

là ánh xạ co suy rộng.
Ta có định lý sau đây
Định lý 2.6. Giả sử ánh xạ co suy rộng A ánh xạ không gian metric
đủ X vào chỉnh nổ. Khi đỏ phương trình
x = Ax

(2.9)
có nghiệm duy nhât X * trong X . Dãy xấp xỉ liên tiêp
x

n

=Ax

n

_

ỉ

,

(n

= 1,2, ) (2.10)
Với xấp xỉ ban đầu x

{)

tùy ý sẽ hội tụ về nghiệm đó.
Chứng mình.

Xét dãy số
a
„=p{
x
„’
x
„-,)(h = 1,2, )
Theo điều kiện (2.6) dãy số
đó là dãy không tăng.
<2* là giớihạn của
dãy. Neu a

*>0 thì với N

đủ lớn và mọi m =

1,2, tacó bấtđắng thức
(cũng do điều kiện (2.6))
a

N*

m

^[<7(a*,a*+l)]”(a*+l).
1
9
Điều đó mâu thuẫn, do đó a

n

—» 0. Giả sử cho số s

> 0, chọn N

sao cho
ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ A

biến hình cầu p(x,x

N

) < 8

vào trong nó, từ đó suy ra
dãy (2.10) là dãy cơ bản.
Giới hạn X* của dãy (2.10) sẽ là điểm bất động của ánh xạ A. Tính duy nhất của
giới hạn đó là rõ ràng. Định lý được chứng minh.
Chú ý rằng dãy xấp xỉ (2.10) hội tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu

trong mỗi hình cầu p{x,x*) < r.
Hai metric p(x, ỳ)

và (x, y)

trong không gian X được gọi là tương đương nếu
mỗi dãy cơ bản theo metric này cũng là dãy cơ bản theo metric kia.
Định lý 2.7. Giả sử A ảnh xạ không gian metric đủ X đường kính hữu
hạn với metric p

ữ

{x,y)

vào trong nỏ. Giả sử A có trong X điếm bất động
duy nhất và dãy (2.10) hội tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu Jt
0
<E X
về điêm đó.
Khỉ đó trong X có thế đưa vào metric tương đương p(x,y)sao

cho khi
chuyến sang metric đó A trở thành ảnh xạ co:
p{Ax,Ay)<qp(x,y),

(0<C/<1)
Định lý này quan trọng, vì như vậy khi biết nghiệm của phương trình nào
đó có thể thu được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp thì có thể tìm được một
metric tương đương sao cho khi sử dụng metric đó ta có thể áp dụng nguyên lý
ánh xạ co.

2
0
(2.11)
Bây giờ giả sử rằng A

là liên tục, ánh xạ không gian metric đủ, giới nội
vào trong nó và có trong X

một điểm bất động duy nhất X *. Giả thiết rằng
dãy xấp xỉ x

n

= A

n



x

0

hội tụ về X* vơỉ bất kỳ x
0
e X

.Có phảỉ dãy đó Iuốn
luôn hội tụ đều về X* tương ứng với x
0

e X

hay không?
Câu trả lời là phủ định ngay cả khi X

là compact. Có thể xét ví dụ: X

là
vòng tròn đơn vị trên đó tọa độ là góc cực 2;r) với ánh xạ A

đặt
tương ứng mỗi điểm Ọ

Q

với giá trị của nghiệm của phương trình vi phân =

(2K -
ọ)(p

, khi t = ì

thỏa mãn điều kiên ban đầu ọ(0) =

ỌQ
dt
2.2. Phương pháp lặp đơn
Xét phương trình dạng
x = Ax

(2.12)
với toán tử A

tác dụng trong không gian metric đủ X .

Giải phương trình (2.12)
có nghĩa là tìm phần tử xe D(A)

bất động với toán tử A

.
2.2.1. Phương pháp lặp, miền hội tụ
Phương pháp đơn giản để xác định các nghiệm gần đúng của phương trình
(2.12) là xuất phát từ một phần từ (tùy ý) Xq e D(A)

xác định liên tiếp các phần
tử gần đúng theo X ị , x
2
, . . . , x
n
theo công thức
x

K+ì

=Ax

a

(tt = 0,1,2, ) (2.13)

Các vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên và xét xem với điều kiện nào của
toán tử A

quá trình lặp có thế tiến hành vô hạn và dãy {x
(j
Ị hội tụ tới nghiệm của
phương trình (2.12), đồng thòi xét tốc độ của sự hộ tụ đó.
Nói chung sự hội tụ phụ thuộc vào cách chọn phần tử ban đầu x
0
. Với điếm
bất động X *, tập hợp tất cả các phần tử , mà dãy {x
;Ị
} tương ứng hội tụ về phần
tủ’ X *, được gọi là miền hội tụ của điểm X *. Điểm X * được gọi là hút nếu có
một lân cận nào đó của * * nằm hoàn toàn trong miền hội tụ của nó. Nếu như tồn
tại một lân cận nào đó của điểm bất động X* không chứa một điểm nào đó của
2
1
miền hội tụ trù’ chính điếm X

* thì * * được gọi là điểm bất động đẩy.
Trong trường hợp A là ánh xạ co, Đ(A)

đóng và D(A) d D

thì theo
định lý 2.1 dãy xấp xỉ liên tiếp (2.13) với giá trị tùy ý x
0
e D(A)

hội tụ về
nghiệm duy nhất x*của phương trình (2.12) và dĩ nhiên trong trường hợp đó
điểm X* là điểm bất động hút. Tốc độ hội tụ được đặc trưng bằng bất đẳng thức
/?(**,*„) < p*o) (
2
-
14
)
1 -a
Bất đẳng thức (2.14) được suy ra từ bất đẳng thức trong định lý 2.1 khi
n —»00 .
Nhận xét 2.1. Neu thay cho phương trình (2.12) ta xét phương trình
x = Ax + y

(2.15)
trong đó AeC(X,X)vở

i X là một không gian Banach và I I A I k l thì bằng định lý
2.1 ta có kết quả sau:
Với điều kiện vừa nêu toán tử I - A có nghịch đảo và
II (/ - A)“
1
ll< '
1-IMII
đồng thời nghiệm duy nhất của phương trình (2.15) có thế tìm được bằng
phương pháp xấp xỉ liên tiếp
x

IHl

=y

+
A
x„
với x
0
tùy ỷ thuộc X. Tốc độ hội tụ được ước lượỉĩg bởi bất đắng thức
„ * I IA I I " „
ll< — llx, -x
n
II.
" 1-11AII
1 0
Nhận xét 2.2. Giả sử B,Ae£(X,X)

trong đó B

có nghịch đảo zr' vì II B'

]


II.I! A

Ik 1. Lúc đó phương trình
(5 + A)x = y (2.16)
2
2
có nghiệm duy nhất X * và là giới hạn của quá trình lặp

x

H+ì

=B-\y-Ax

a

)

(2.17)
Điều đó được thấy rõ nếu đặt B~

]



A

= -Ạ, B~

]



y =

y, vì lúc đó phương trình (2.17)
tương đương với phương trình
x — A

]

x=y

]

(2.17’)
với II /4, ll< 1, trở về trường hợp của phương trình (2.15).
Nhận xét 2.3.Giả sử Ae£(X,X) trong đó X là một không gian
Hilbert. Neu toán tử A cónghịch đảo tuyến tính bên trái A~

]

thìphương trình
Ax = ỵ,(ỵeX)

(2.18)
tương đương với phương trình
A*Ax = A*y (2.19)
trong đó A*

là toán tử liên hợp của A

.
Quả vậy, rõ ràng nghiệm (2.18) là nghiệm của (2.19) . Ta còn cần chứng
minh điều ngược lại. Giả sử X

là nghiệm của phương trình (2.19). Lúc đó
A\Ax-y) = 0.

Vì A

có nghịch đảo tuyến tính trái , nên với mọi ỵ

tồn tại X* để cho
Ax* = y

, cụ thể X* = A~

l

y.Từ đó
0 = À\Ax-Ax) = A*Aự - x)

hay (A*Ấ(x-x*),x- X * ) =
(A(x- X * ) , A(x- X * ) ) = 0 .
Vì A có nghịch đảo trái nên tồn tại một số m >

0 sao cho
(A(x —x*),A(x

-X*)) =11 A(x -X*)

\\
2
> m
2
IIX -X* II
2
từ đó X = X* . Đó là điêu phải chứng minh.

Như vậy trong trường hợp đó để giải phương trình (2.18), ta có thể giải
phương trình (2.19). Mặt khác dễ dàng thấy phương trình (2.19) tương đương với
phương trình loại 2 sau đây:
2
3
x-ự-

kA* A)x = kA*y (2.20)
Nếu chon 0 < k <

—, ta có IIAII
((/ — kA* A)x,x) =

(x,x) - k(A*Ax,x) =

(x,x

) - k(Ax

,
Ax)

nhưng (Ax, Ax)

<11 A

II
2
(x,x)nên
0< — k II AII

2
(x,x) < ((/ —kA*A)x,x) < (x,x) - km
2
(x,x).
Từ đó nhờ bất đẳng thức bên phải và đẳng thức
(ĩ-kA*A)* = I-kA*A
ta có
II / - kA*A

ll< 1 - km <

1 Áp dụng nhận xét
2.8 cho phương trình
X = Tx + y*
với T = ĩ — kA*A

và y* = kA*y

, ta thấy rằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp
*,,+! =
Tx
„ + y
cho dãy {x
;ỉ
} sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình (2.20) hay của (2.19) cũng
vậy.
2.2.2. Phương pháp lặp đế giải phương trình đại số và phương
trình siêu việt
a) Giả sử phải giải phương trình
/00 = 0 (2.21) trong đó/ là hàm số xác định

trên đoạn [a,b].
Bằng một cách nào nó ta đưa phương trình (2.21) về một dạng tương
đương
x = ọ(x). (2.2V)
Giả sử ạ>(x)

thỏa mãn điều kiện Lipschitz
2
4
I <p(x
7
) - (p(Xị) l< K\ x
2
- XỊ I
với hằng số K

< 1 và ánh xạ đoạn [a,b] vào trong nó. Khi đó (p{x)

là một ánh xạ
co và theo định lý 2.1 dãy các giá trị
x
a
, X,

=</>(*„),=<px,„
(với x
()
tùy ý thuộc [a,b]j sẽ hội tụ duy nhất về phương trình (2.21’) và do đó của
(2,21),
Trường hợp riêng, điều kiện co được thỏa mãn nếu hàm cho trên đoạn

[a,b] có đạo hàm ọ'(x)

và I (p'{x

) l< K <

1 .
Với phương trình (2.21) ta giả thiết f(a).f(b

) < 0 và 0 < kị < f\x

) < k

trên
[a,b]. Khi đó nói chung có thể xét hàm
ạ>(x) = x-Ẳf(x) (2.22)
Để đưa về phương trình (2.21’), ta có ọ\x) = l — ẲfXx)vầ

do đó 1 - Àk

2


< ọ'(x)

<1-/1 kị.

Từ đó chỉ cần chọn X

sao cho thỏa mãn điều kiện

2 , ,
-1 < 1 -Ẳk

2

và 1 -Ẳkị <

1. Hiến nhiên chỉ cần 0<Ấ<—

thì cả hai bât đắng
k

2
thức đồng thời được thực hiện.
Ví dụ. Tìm nghiệm của đa thức
Р(х) = х
ъ
-4x
2
+1 Олт — 10
trong đoạn [1,2].
Vì P(l)=-3; P(2)=

2 nên P ( 1 ) . P (2 ) =

-6 < 0. Ta có p\x) = 3x

2

-8JC + 10

14
Ä
và trên đoạn [1, 2] ta có —<P(x)<

8. Do đó đê xác định ọ(x)

trong (2.22)
chỉ cần chọn 0 < Л

< — . Chẳng hạn như có thể chọn л = — ,

khi đó phương
trình (2.21) có dạng
X = X—— (x
3
-4x
2
+ lOx-10) = —-(-X
3
+4x
2
-10) 10
10
2
5