ÔN THI HSG 8,9 CUC HAY

Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
CHUYÊN ĐỀ I: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
10 5
1A a a= + +
Giải: Ta có thể viết:
10 5
1A a a= + +
10 9 8 7 6 5 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2
( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= + + + + + + + + + + + − + + − + + − + +
8 2 5 2 3 2 2 7 2 4 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= + + + + + + + + + + + − + + − + + − + +
( )
2 8 7 5 4
( 1) 1A a a a a a a a a
= + + − + − + − +
Vậy:
( )
10 5 2 8 7 5 4
1 ( 1) 1a a a a a a a a a a
+ + = + + − + − + − +
Bài 2: Phân tích thành tích số:

8
1B a a= + +
Bài 3: Phân tích thành tích số:
8 7
1C a a= + +
Giải: Ta có thể viết:

( ) ( ) ( ) ( )
8 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
( ) 1C a a a a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + − + + − + +
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 3 2 2 4 2 2
( 1) 1 1 1 1C a a a a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + − + + − + +
( )
2 6 4 3
( 1)C a a a a a a= + + − + −
Vậy:
( )
8 2 6 4 3
1 ( 1)a a a a a a a a+ + = + + − + −
Bài 4: Phân tích đa thức sau ra thừa số:
16 8 8 16
a a b b+ +
( Thi HSG miền Bắc 1966 – 1967 )
Giải: Ta có thể viết
16 8 8 16 16 8 8 16 8 8
2a a b b a a b b a b+ + = + + −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
8 8 4 4
8 8 4 4 8 8 4 4
a b a b
a b a b a b a b
= + −
= + + + −
Ta lại có:

( ) ( )
2 2
8 8 4 4 4 4 2 2
a b a b a b a b+ + = + −

( ) ( )
4 4 2 2 4 4 2 2
a b a b a b a b= + − − + +
Mặt khác:
( )
( )
2
2
4 4 2 2 2 2
a b a b a b ab+ + = + −

( ) ( )
2 2 2 2
a b ab a b ab= + − + +
Do đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
16 8 8 16 8 8 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a a b b a b a b a b a b a b ab a b ab+ + = + − + − + − + +
Bài 5: Phân tích ra thừa số:
1.
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7 15A a a a a= + + + + +
2.
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2

4 2 4 2B x y x y y z z y z x x z= + + − − +
Giải: Ta có thể viết:
1.
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7 15A a a a a= + + + + +

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
8 7 8 15 15
8 22 8 120
a a a a
a a a a
= + + + + +
= + + + +

Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
1
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG

( )
( ) ( )
2
2
2 2
8 11 1
8 12 8 10
a a

a a a a
= + + −
= + + + +
Vậy:
( ) ( )
( )
2
6 2 8 10A x x a a= + + + +
2. Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 2 4 2B x y x y y z z y z x x z= + + − − +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 3 3
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2

4 2 4 2
4 2 4 8
4 2 2 2 2 4 2
2 4 2 4 2
2 4 2
2 4 2
2
x y x y z y z y x x z
x y x y z z y x x y
x y x y z z y x y x y x x xy y
x y x y z y x z x xy y
x y x y z z y y z xz y z
x y y z x y z z y xz
x y
 
= + + − − +
 
 
= + + − − +
 
 
= + + − + − + − +
 
 
= + + − − − +
 
 
= + − − − + −
 
 

= + − + − +
 
= +
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 4
2 2 2 2
y z xz x z y x z
x y y z x z xz yz xy
 
− + + −
 
= + − + − +
Vậy: B =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2x y y z x z xz yz xy+ − + − +
Bài 6: Phân tích ra thừa số:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M bc a d b c ac b d a c ab c d a b= + − − + − + + −
Giải:
Cách 1: Ta tách b – c = ( a – c) – (a – b)
Biểu thức đã cho có thể viết:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M bc a d a c a b ac b d a c a b ab c d a b= + − − − − + − − − + + −   
   
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )

[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
bc a d ac b d a c ab c d bc a d a b
ab bd ab ad a c c ac ad ac ad a b b
d a b a c c d a b a c b
a b a c b c d
= + − + − + + − + −   
   
= + − − − + + − − −
= − − − + − −
= − − −
Vậy M =
( ) ( ) ( )
d a b a c b c− − −
Cách 2: Nhận xét rằng:
* M = 0 khi ta cho a = b, b = c hoặc a = c
Do đó M chia hết cho tích số
( a – b )( b – c)( a – c)
* M là một đa thức bậc hai theo a. Dùng phép cân bằng hệ số ta có:
M =
( ) ( ) ( )
d a b a c b c− − −
* Chú ý trong cách thứ nhất, ta cũng có thể tách
a – c = ( a – b ) + ( b – c) hoặc a – b = ( a – c) – ( b – c)
Bài 7: Phân tích thành tích số:
( ) ( ) ( )
3 3 3
D x y y z z x= − + − + −

Giải:
Cách 1: Ta có thể viết
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 3D x x y xy y y y z yz z z z x zx x= − + − + − + − + − + −
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
2
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
3 3 3
3
3
xy x y z x y z x y
x y xy z z x y
x y y z z x
= − − − − + −
 
= − − − + +
 
= − − −
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3x y y z z x x y y z z x− + − + − = − − −
Cách 2: Khai triển 2 số hạng, giữ nguyên một số hạng.

Cách 3: Đặt A = x – y, B = y – z, C = z – x => A + B + C = 0
Cách 4: Khi cho x = y, y = z hoặc z = x thì D = 0
Điều này chứng tỏ D chia hết cho tích số ( x – y)(y – z)(z – x)
Căn bằng hệ số của số hạng x
2
, ta suy ra: D = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
4 3 2
6 7 6 1A x x x x= + + − +
( Đề thi HSG Miền Bắc 1973 – 1974)
Giải: Ta có thể viết:
4 3 2
6 7 6 1A x x x x= + + − +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
4 3 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
3 3 9 3 3 1
3 1 3 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x

= + − + + − − − +
= + − + + − − + −
= + − + −
= + −
Bài 9: Với giá trị nguyên nào của a thì đa thức ( x – a)( x – 10) + 1 có thể phân tích thành tích của hai đa
thức bậc nhất có các hệ số nguyên?
Giải:
Giả sử ta có: ( x – a)( x – 10) + 1 = ( x – m)(x – n) với
,m n Z∈
 x
2
– ( a + 10)x + 10a + 1 = x
2
– ( m + n)x + mn
10
10 1
m n a
mn a
+ = +

⇔

= +

Khử a ta có: mn = 10(m + n – 10) +1
 mn – 10(m + n) = -99
 ( m – 10)( n – 10) = 1
Vì
,m n Z∈
nên ta có

10 1 11
10 1 11
m m
n n
− = =
 
⇔
 
− = =
 
hoặc
10 1 9
10 1 9
m m
n n
− = − =
 
⇔
 
− = − =
 
Do đó a = 12 hoặc a = 8
Bài 10: Chứng minh rằng đa thức P(x) = x
4
+ 2x
2
+ 2x + 2 không thể phân tích thành tích của 2 đa thức
bậc 2 với hệ số nguyên
Giải:
Ta có: x

4
+ 2x
2
+ 2x + 2 > 0
x R
∀ ∈
=> không thể phân tích P(x) thành một thừa số bậc nhất và một thừa
số bậc ba.
Giả sử ta có: x
4
+ 2x
2
+ 2x + 2 = ( x
2
+ ax+ b)( x
2
+ cx+ d) với
, , ,a b c d Z∈
 x
4
+ 2x
2
+ 2x + 2 = x
4
+ ( a + c)x
3
+ ( ac + b + d)x
2
+ ( ad + bc ) x + bd
0(1)

2(2)
2(3)
2(4)
a c
ac b d
ad bc
bd
+ =


+ + =

⇔

+ =


=


Từ (4) => b chẵn, d lẻ hoặc b lẻ, d chẵn
Không mất tính tổng quát, ta giả sử b chẵn, d lẻ => bc chẵn
Từ (3) => ad chẵn => a chẵn
Do đó ac + b + d lẻ (2) mâu thuẫn => Đpcm
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
3
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
CHUYÊN ĐỀ II: RÚT GỌN BIỂUTHỨC
Bài 1: Cho số
( )

9 8 2
1978 1979 1979 1979 1980 1n = + + + + +
a.Rút gọn n
b.Tìm chữ số hàng đơn vị của n
Giải:
a. nhận xét rằng: 1978 = 1979 – 1 ; 1980 = 1979 + 1
Ta có thể viết:
( )
( )
9 8 2
1979 1 1979 1979 1979 1979 1 1n = − + + + + + +
10 9 3 2 9 3 2 10
1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1 1 1979= + + + + + − − − − − − + =
Vậy:
10
1979n =
b. Ta có:
( )
5
10 2
1979 1979n = =
Vì 1979
2
có chữ số hàng đơn vị là 1 nên
( )
5
2
1979
cũng có chữ số hàng đơn vị là 1
Do đó số n có chữ số hàng đơn vị là 1.

Bài 2: Rút gọn biểu thức:
1.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
M a b c b c a c a b a b b c c a= − + − + − + − − −
2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
N a b c b c a c a b a b c a b b c c a= − + − + − + + + − − −
Giải:
1. Ta biến đổi biểu thức:
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c b c a c a b− + − + −
thành tích số
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c b c a c a b a b b c a c− + − + − = − − −
=> M = 0
2. Tương tự ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
N a b c b c a c a b a b c a b b c a c= − + − + − = + + − − −
=> N = 0
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
2
3 2
2 5 2
2 9 12 4

y y
Q
y y y
+ +
=
+ + +
( Đề thi HSG miền toàn quốc 1978 )
Giải: Ta có thể viết
Tử số:
2 2
2 5 2 (2 4 ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2)(2 1)y y y y y y y y y y+ + = + + + = + + + = + +
Mẫu số:
( ) ( )
( )
3 2 3 2 2
2 9 12 4 2 4 5 10 2 4y y y y y y y y+ + + = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 1y y y y y y y y y y= + + + + + = + + + = + +
Do đó ta có:
( ) ( )
2
( 2)(2 1)
2 2 1
y y
Q
y y

+ +
=
+ +
với
1
2,
2
y y≠ ≠ −
ta có
1
2
Q
y
=
+
Bài 4: Rút gọn phân số:
19 3 9 4
9 10 10
2 .27 15.4 .9
6 .2 12
M
+
=
+
( Đề thi HSG miền Bắc năm 1971)
Giải: Ta có thể viết
( )
( )
18 9
19 3 9 4 19 9 18 8

9 10 10 19 9 20 10 19 9
2 .3 2 5
2 .27 15.4 .9 2 .3 5.3.2 .3 1
6 .2 12 2 .3 2 .3 2 .3 1 3 2
M
+
+ +
= = = =
+ + +
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
4
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( )
1993 1992 2
75 4 4 4 5 25A = + + + + +
Giải: Ta có thể viết
( )
( )
1993 1992 2
25 4 1 4 4 4 4 1 25A = − + + + + + +
Vận dụng hằng đẳng thức:
( )
( )
1 2 2

n n n n n
a b a b a a b ab b
− − −
− = − + + + +

Ta có:
( )
( )
1993 1992 2 1994
4 1 4 4 4 4 1 4 1− + + + + + = −
=>
( )
1994 1994
25 4 1 25 25.4A = − + =
Bài 6: Rút gọn phân thức:
3 3 3
2 2 2
3a b c abc
a b c ab bc ac
+ + −
+ + − − −
( Đề thi HSG Miền Bắc 1969 – 1970)
Giải: Ta có thể viết:
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3a b c abc a b c a b ab a b ab abc+ + − = + + + + − − −
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2 2 3 3
3
3
2

2
2
2
2 2 2
3 3 3
3
3
3 3
3
a a b ab b c ab a b c
a b c ab a b c
a b c a b a b c c ab a b c
ab a b c a b a b c c ab
ab a b c a b c ab bc ac
= + + + + − + +
= + + − + +
 
= + + + − + + − + +
 
 
= + + + − + + −
 
 
= + + + + − − −
 
Do đó ta có:
3 3 3
2 2 2
3a b c abc
a b c

a b c ab bc ac
+ + −
= + +
+ + − − −
Bài 7: Rút gọn các biểu thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
A
a b a c b c b a c a c b
= + +
− − − − − −
với a, b, c đôi một khác nhau
b.
2 2
2 2
:
ab ab a b
B a a
a b a b a b
+
  
= + −
 ÷ ÷
− + −
  
HD: Quy đồng mẫu số chung
Giải:
a. Chọn mẫu số chung (a – b)(b – c)(c – a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
0
b c c a a b
A
a b c a a b b c b c c a a b b c c a
− + − + −
= − − − = − =
− − − − − − − − −
( a, b , c đôi một khác nhau)
Vậy A = 0
b. Ta có thể viết:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
:
ab ab a b a ab ab ab ab a a b
B a a
a b a b a b a b a b a b
  
+ − + − − −
  
= + − = ×
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− + − − + +
  
  
4 2 2 4
2 2 2 2 2 2

a a b a
B
a b a b a b
− − −
= × =
− + +
Vậy
4
2 2
a
B
a b
−
=
+
Bài 8: Rút gọn các biểu thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
A
a b a c b c b a c a c b
= + +
− − − − − −
b.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b c c a a b
B
a b a c b c b a c a c b
+ + +
= + +

− − − − − −
với a,b,c đôi một khác nhau
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
5
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
HD: Quy đồng MSC:
( ) ( ) ( )
a b b c c a− − −
Giải:
a. Ta có thể viết
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
a b c b c a c a b
A
a b a c
− − − − − −
= =
− −
Vậy A = 0
b. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
b c c a a b
b c b c c a c a a b a b
B
a b b c c a a b b c c a

− − − − − −
− + − − + − − + −
= =
− − − − − −
 B = 0
Bài 9: Rút gọn các biểu thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c
C
a b a c b c b a c a c b
= + +
− − − − − −
b.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc ca ab
D
a a b a c b b c b a c c a c b
= + +
− − − − − −
Giải:
a.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c b c a c a b
C
a b b c c a

− − − − − −
=
− − −
Ta phân tích tử số thành tích số:

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3 3 2 2 3 3 3
a b c b c a c a b ab a b c a b c a b− − − − − − = − − − + −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
a b ab a b c a ab b c b c
a b b c a ab c b c
a b b c c a a b c
 
= − + − − + − −
 
 
= − − + − +
 
= − − − − + +
=> Tử số:
( ) ( ) ( ) ( )
a b b c c a a b c− − − − + +
Do đó C = a + b + c

b. Chọn mẫu số chung:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
abc a b b c c a− − −
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
b c b c c a c a a b a b
D
abc a b b c c a
− − − − − −
=
− − −
Ta biến đổi tử số thành nhân tử:
Để cho gọn, ta đặt A = a
2
, B = b
2
, C = c
2
Ta có tử số bằng:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
BC B C CA C A AB A B
C A B C A B AB A B
A B CA CB C AB
A B B C A C C A
A B B C C A
a b b c c a
= − − − − − −
= − − − − −
 
= − + − −
 
= − − − − 
 
= − − −
= − − −
Do đó ta có :
1
D
abc
=
Bài 10 : Rút gọn biểu thức :
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3A = + + + + + + − + +
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
6
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Giải :Ta có :
(

)
2 2 2 3 . 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 3+ + + − + + = − + + = − +
=>
2 2 3 . 2 2 3 2 3+ + − + = −
=> A =
2 3. 2 3 1+ − =
Vậy A = 1
Bài 11 : Rút gọn biểu thức :
2 2. 3 7 2 . 3 6 7 2 . 3 6 7 2B = + + + + + + − + +
ĐS:
2B =
CHUYÊN ĐỀ III: TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC
Bài 1: Hãy tính tổng S = ab + cd
Biết rằng:
2 2 2 2
1994a b c d+ = + =
và ac + bd = 0
Giải: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0ac bd ad bc a cd abc abd b dc c d ab a b cd+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + =
( )
1994 0 0ad cd ab cd⇔ + = ⇔ + =
Vậy ab + cd = 0
Bài 2: Cho
2 2 2 2
4282, 1658, 2384a b c d ac bd+ = + = + =
. Tính ad – bc ĐS: 1190
Bài 3: Cho a + b + c = 0

Tính giá trị biểu thức:
3 3 2 2
M a b a c b c abc= + + + −
Giải: Ta có:
( )
( ) ( )
3 3 2 2 2 2 2 2
M a b a c b c abc a b a ab b c a ab b= + + + − = + − + + − +

( )
( )
2 2
a b c a ab b= + + − +
Vì a + b +c = 0 nên M = 0
Bài 4: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và abc khác 0 thỏa hệ thức:
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
. Hãy tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c
b c c a a b
+ +
− − −
Giải: Để cho gọn ta đặt A = b – c; B = c – a ; C = a – b
=> A, B, C
≠

0 và A + B + C = 0
Do đó ta có:
0
a b c
A B C
+ + =
(*)
Nhân hai vế của (*) lần lượt với
1 1 1
, ,
A B C
rồi cộng lại vế theo vế ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
0
a b c a a b b c c
A B C AB AC AB BC AC BC
a b c
a B C b A C c A B
A B C ABC
a b c
aA bB cC M
A B C ABC
= + + + + + + + +
= + + + + + + + + 

 
= + + − + + => =
Vậy M = 0
Bài 5: Cho. Hãy tính giá trị biểu thức:
a.
3 2
' 3 ' 2 '
a b c
f
a b c
− +
=
− +
b.
' ' '
a b c
g
a b c
+ +
=
+ +
Giải:
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
7
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
a. Ta có:
3 2 3 2
4 4 4
' ' ' ' 3 ' 2 ' ' 3 ' 2 '
a b c a b c a b c

a b c a b c a b c
− +
= = = => = = = => =
− +
Vậy f = 4
b. Giải tương tự
Bài 6: Gọi n là số tự nhiên,
1n ≥
. Tính tích số sau theo n
1 1 1
1 1 1
2 3 1
P
n
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
+
    
( Theo đề thi HSG toàn quốc 1977 – 1978)
Giải:
1 1
2 2
1 2
1
3 3
1 3 1 2 3 1
11
4 4 2 3 4 1 1

1
1
1 1
n
P
n n
n
n n

− =



− =



− = => = × × × × =

+ +




− =
+ +



Bài 7: Tính tích sô

101 10001 100000001 100 001P = × × × ×
( 2
n
-1 chữ số 0)
Giải: Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2 4 8 2
10 1 10 1 10 1 10 1
n
P = + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1
2 2 4 8 2
2
2
1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
10 1
1
10 1
99
1
999 999 1010 101
99
n
n
+

= − + + + +
−
= −
= × =
2
n+1
chữ số 9 (2
n+1
-1 ) chữ số
Vậy P = 1010 101 có 2
n+1
– 1 chữ số
Bài 8: Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau:
(1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9,10),
Gọi S
k
là tổng các số ở nhóm thứ k. Tính tổng S = S
1
+ S
2
+ S
3
+ + S
2n-1
Giải:
Số đầu tiên của thứ k là
( )
( )
1
1

1 2 3 1 1 1
2
k
k k
a k
−
= + + + + − + = + 
 
Tổng k số của nhóm thứ k:
( ) ( )
1 2
1 1
1
2 2

2
k k k kk
k k k k
k
S a a a
− + 
+ +
 ÷
 
= + + =

3
2
k
k k

S
+
=
Khi n = 1, ta có:
4
1
1 1S = =
Khi n = 2, ta có:
4
1 3
16 2S S+ = =
Giả sử:
4
1 3 2 1

k
S S S k
−
+ + + =
(1)
Ta chứng minh rằng:
( )
4
1 3 2 1
1
k
S S S k
+
+ + + = +
(2)

Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
8
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Ta có:
( ) ( )
3
4
1 3 2 1
2 1 2 1

2
k
k k
S S S k
+
+ + +
+ + + = +
( )
( )
( )
4 2
4 3 2
4
2 1 2 2 1
4 6 4 1
1
k k k k
k k k k
k
= + + + +

= + + + +
= +
=> (2) đã được chứng minh. Vậy S = S
1
+ S
2
+ S
3
+ + S
2n-1
= n
4
Bài 9: Tính tổng:
( )
3
3 3 3
1 5 9 4 1S n= + + + + +
Giải: Ta có
( )
3
3 2
4 1 64 48 12 1k k k k+ = + + +
Cho k lần lượt các giá trị nguyên dương 1, 2, 3, , n. Ta có:
S = 64S
3
+ 48S
2
+ 12S
1
+ 1

Với
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
2 2 2 3 2
2
2
2
3 3 3
3
1
1 2
2
1 2
1 2 1 16 32 14 1
6
1
1 2
4
n n
S n
n n n
S n S n n n n
n n
S n
+


= + + + =


+ +

= + + + = => = + + + +



+
= + + + =

Vậy:
( ) ( )
( )
3
3 3 3 3 2
1 5 9 4 1 1 16 32 14 1S n n n n n= + + + + + = + + + +
Bài 10: Cho một số tự nhiên n. Xem dãy số:
( )
0 0 1 1
1 1
; ;
k k
x x x x x
n n k
−
= = + + +
−
Với

, 1k N k n∈ ≤ −
. Tính tổng
1 0 1 1

n n
S x x x
− −
= + + +
Giải:
Khi k = 0, ta có:
0 0
1 1
0
x S
n n
= => =
−
Khi k = 1, ta có:
( )
1 1
1 1
1 1
x S
n n n
= => =
− −
Giả sử:
1
, , 1
k

S k N k
n k
= ∈ ≥
−
Ta có:
( )
1 1 0 1
1 1 1 1 1 1

1 1 1
k k k k
S S x x x x
n k n k n k n k n k n k
+ +
= + = + + + + = + − =
− − − − − − − − −
Do đó:
1
1
, , 1
1
m
n
S m N m n
n m
S
−
= ∈ ≤ −
−
=> =

Vậy:
1
1
n
S
−
=
Bài 11: Tìm tổng của tất cả các số có hai chữ số thỏa tính chất: mỗi số chia cho 4 dư 1
Giải: Theo giả thiết, các số đã cho có dạng 4k + 1, k
∈
N và
3 24k≤ ≤
Do đó tổng tất cả các số đã cho là:
13 97
22 1210
2
S
+
= × =
Bài 12: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà tất cả các chữ số đều là số chẵn ?
Giải: Số gồm 5 chữ số chẵn được viết từ 5 chữ số:
0; 2; 4; 6; 8
Để chọn chữ số hàng chục ngàn, ta chỉ có 4 cách chọn
Để chọn chữ số cho 4 vị trí khác, ta có 5.5.5.5 = 625 cách
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
9
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Vậy: có tất cả 2500 số gồm 5 chữ số chẵn
Bài 13: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lẻ khác nhau.
ĐS: 120

Bài 14: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà tổng của hai chữ số đầu bằng tổng của hai chữ số cuối?
( Đề thi HSG toàn quốc 1983 – 1984 )
Giải:
Giả sử
abcd
là một trong số phải tìm. Với a, b, c,d
∈
N và
1 9;0 , , 9a b c d≤ ≤ ≤ ≤
Theo giả thiết, ta có: a + b = c + d = n =>
n N
∈
và
1 18n
≤ ≤
Cho n lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến 18
*Khi n = 1.
Ta có a = 1; b = 0 => c + d = 1 có 2 cặp giá trị ( 0;1) và (1;0)
=> Có 2 số thỏa yêu cầu của bài toán là 1010 và 1001
*Khi n = 2.
Phương trình a + b = 2, với
1,a a N≥ ∈
có hai cặp nghiệm:
1, 1
2, 0
a b
a b
= =



= =

Phương trình c + d = 2 có 3 cặp nghiệm tự nhiên
(c,d) = (2,0), (1,1), (0,2)
Do đó có 2.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán:
1120; 1111; 1102; 2020; 2011; 2002
Tương tự khi n = 3,4,5,6,…,9 thì các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán theo thứ tự là 3.4, 4.5, 5.6,…, 9.10
*Khi n = 10: Có 9 cách chọn cặp ( a,b).
Vì c chỉ lấy giá trị từ 1 đến 9
nếu c = 0 thì d = 10, vô lý
nên có 9 cách chọn cặp (c,d)
Do đó có 9.9 = 9
2
= 81 số thỏa mãn
*Khi n = 11: A chỉ lấy các giá trị từ 2 đến 8 nên có 8 cách chọn cặp ( a,b). Tương tự có 8 cách chọn cặp
(c,d) thỏa. Do đó có 8.8 = 8
2
= 64 số thỏa mãn.
*Khi n lần lượt lấy các giá trị 12,13,…, 18 thì các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán theo thứ tự là
7
2
, 6
2
, …, 1
2
Số các số phải tìm là:
1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10 + 9
2
+ 8
2

+ … + 1
2
= ( 1 + 2 + … + 9) + 2(1
2
+ 2
2
+ … + 9
2
)
= 45 + 2. 285 = 615 số
Vậy: có 615 số thỏa mãn yêu cầu
Bài 15: Tính các tổng sau
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a x a y a z
S
x x y x z y y z y x z z x z y
+ + +
= + +
− − − − − −
b.
( ) ( )
( )
2
1 1 1
4 1 4 1
2 1
T
a a
a

= + +
+ −
+
Giải:
a. Ta tách mỗi phân thức thành tổng của hai phân thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
a x a
x x y x z x x y x z x y x z
a y a
y y z y x y y z y x y z y x
a z a
z z x z y z z x z y z x z y
+
= +
− − − − − −
+
= +
− − − − − −
+
= +
− − − − − −
Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, với nhận xét rằng tổng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0

x y x z y z y x z x z y
+ + =
− − − − − −
( theo bài 7a cđ ii)
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
10
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
S a
x x y x z y y z y x z z x z y
 
= + +
 
− − − − − −
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
yz y z zx z x xy x y
a
xyz x y y z z x
a x y y z z x
a
xyz x y y z z x xyz
− − − − − −
= ×
− − −

− − −
= =
− − −
Vậy:
a
S
xyz
=
b. Tương tự:
Bài 16: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
4 1 4 1 4 1a b c
M
a b a c b c b a c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
b.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b b c c a
N
a b b c c a
− + − + −
=
− − −
với a, b, c đôi một khác nhau

HD: Tính cụ thể M, N => ĐPCM
Giải:
a. ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
4
a b c
M
a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b
   
= + + − + +
   
− − − − − − − − − − − −
   
Theo bài 7a chuyên đề II, tổng phần thứ hai bằng 0
=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
4
a b c
M
a b a c b c b a c a c b
 
= + +
 
− − − − − −
 

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
4
a b c b c a c a b
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
− − − − −
= ×
− − −
− − −
= ×
− − −
=> M = 4 => đpcm
b. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3a b b c c a a b b c c a− + − + − = − − −
=> N = 3
Bài 17: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.
2 2
2 2
x a x b
P
x a x b
+ +

= +
− −
với
4ab
x
a b
=
+
b.
3
2
2
x a x a b
Q
x b x a b
− − +
 
= −
 ÷
− + −
 
với
2
a b
x
+
=
HD: a.Nên rút gọn rồi thay giá trị của x
b. Thay giá trị của x trước
Giải:

a. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 4
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 4
x ab
x a x b x b x a
x a x b
P
x a x b x a x b x a b x ab
 
−
+ − + + −
+ +
 
= + = =
− − − − − + +
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
11
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Thay
2
a b
x
+
=

, ta có
( )
( )
2 2
2
2 2
2
16
2 4
2
16
8 4
a b
ab
a b
P
a b
ab ab
a b
 
−
 
+
 
 
= =
− +
+
. Vậy P = 2
b. Với

2
a b
x
+
=
, ta có:
2 2
2 2
1
a b b a
x a a
a b a b
x b b
x a
x b
+ −
− = − =
+ −
− = − =
−
=> = −
−
Ta lại có:
( )
( )
3
3 3
2 2
2 2 2
3

3 3
2 2
2 2 2
2
1
2
b a
a b b a
x a b a b
a b
a b a b
x a b a b
x a b
x a b
−
+ −
− + = − + = =
−
+ −
+ − = + − = =
− +
=> = −
+ −
Do đó: Q = 0
Bài 18: Cho biểu thức:
( )
( ) ( )
1993 1994
2 2
4 3 4 3f x x x x x= − + + +

. Tìm tổng S các hệ số của đa thức nhận
được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho.
Giải: Tổng S các hệ số của một đa thức bằng trị số của đa thức đókhi đối số lấy giá trị bằng 1.
( ) ( ) ( )
1993 1994
1 1 4 3 1 4 3 0S f S= = − + + + => =
Vậy tổng các hệ số của đa thức bằng 0
Bài 19: Tìm tổng S các hệ số của đa thức:
( )
( ) ( )
2000 1001
2 2
1 1P x x x x x= − + + −
Bài 20: Cho biểu thức:
( ) ( )
( ) ( )
6 4 2
4 3 2
8 27 : 4 6 9
1 : 1
M x x x
N y y y y
= − + +
= − + + +
Tính tỉ số M : N khi x = 8 và y = 251 ( Đề thi HSGMB 1970 – 1971)
Giải: Ta có thể viết
( )
( )
( )
3

2 2
3
6
4 2 4 2 4 2
2 3 4 6 9
2 3
8 27
2 3
4 6 9 4 6 9 4 6 9
x x x
x
x
M x
x x x x x x
− + +
−
−
= = = = −
+ + + + + +
Với x = 8 => M = 125
( )
( )
3 2
4
3 2 3 2
1 1
1
1
1 1
y y y y

y
N y
y y y y y y
− + + +
−
= = = −
+ + + + + +
Với x = 251 => N = 250
Do đó ta có: M : N = 1 : 2
Bài 21: Xem dãy số được xác định như sau:
1
1
1
3
1,
1 3.
n
n
n
x
x x
x
−
−
+
= =
−
. Tính
1944 1937 1993
, ,x x x

Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
12
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Giải: Ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
3
4
4 1
3 3 1
2 3
1 3. 1 3
3 2 3
2
2 3
1 3 2 3 2 2 3
3 2 3 2 2 3
1
1 3 2 3 2 2 3
1
x

x
x
x
x
x x
+ +
= = =− +
− −
− +
−
= = =− −
+ + +
− − +
= = =
+ − +
= =
Ta suy ra:
( )
( )
5 2
6 3
7 4 1
2 3
2 3
1
x x
x x
x x x
= = − +
= = − −

= = =
Do đó ta có:
( )
( )
3 1
3 2
3 3
1
2 3
2 3
n
n
n
x
x
x
+
+
+
=
= − +
= − −
Ta suy ra:
( )
( )
1944
1937
1993
2 3
2 3

1
x
x
x
=− −
=− +
=
Bài 22: Cho
3
3
1
7 5 2
7 5 2
x = + −
+
. Tính giá trị của biểu thức:
3
3 14F x x= + −
HD: Vận dụng hằng đẳng thức ( A – B)
3
. Tính x
3
.
x = (A – B) => x
3
= A
3
– B
3
– 3AB(A – B)

Với
3
3
1
7 5 2 , , . 1
7 5 2
A B A B= + = =
+
Giải: Ta có
( ) ( )
( )
3
3 3
1 7 5 2
7 5 2 3.1. 7 5 2 3 7 5 2 7 5 2 3
7 5 2
7 5 2 7 5 2
14 3 3 14 0
x x x x
x x x x
−
= + − − = + − − = + + − −
+
+ −
<=> = − <=> + − =
Vậy F = 0
Bài 23: Cho
3 3
2 3 2 3
x a a b a b a= + + − + −

. Chứng minh rằng x
3
+ 3bx – 2a = 0
Bài 24: Trục căn thức ở mẫu số
1
1 2 3
A =
+ +
HD: Nhóm mẫu thành dạng
( )
1 2 3+ +
rồi nhân tử và mẫu với lượng liên hiệp của mẫu.
Giải: Ta có thể viết
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
13
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( )
( ) ( )
1 2 3
1
1 2 3
1 2 3 1 2 3
A
+ −
= =
   
+ +
+ + + −
   
( ) ( )

2 2
1 2 3 2 2 6
4
1 2 3
A
+ − + −
= =
+ −
Vậy:
2 2 6
4
A
+ −
=
Bài 25: a. Tính giá trị của biểu thức sau:
2 5 7
3
10 5 10 2 10
A
 
= + −
 ÷
+ −
 
b. Chứng minh số sau đây là số nguyên
40 2 57 40 2 57B = − − +
Giải:
a. Ta quy đồng mẫu số chung cho tổng của 2 số hạng đầu.
Ta có:
( )

( ) ( )
2 10 2 5 10 5
2 5 7 10 21 7 10 21
10 5 10 2 10 3 10 10 3 10
10 5 10 2
− + +
+ +
+ = = =
+ − + −
+ −
=>
7 10 21 7 7 10 21 21 7 10
3 7
3 10 10 10 10 10
A
 
+ +
= − = − = =
 ÷
 ÷
 
b. Cách 1: Ta có
( )
( )
2
40 2 57 40 2 57 2 40 2 57 40 2 57B = − + + − − +
( )
( )
57 40 2 40 2 57 2 40 2 57 40 2 57
114 2 3249 3200 114 14 100

10B
= − + + − − +
= − − = − =
=> = ±
Vì
40 2 57 40 2 57− < +
nên
40 2 57 40 2 57− < +
=> B < 0 do đó B = -10 , B
∈
Z
Cách 2: Đặt
( )
2
57 40 2 2x y x y xy+ = + = + +
57
800
x y
xy
+ =

⇔

=

 x và y là hai nghiệm của phương trình X
2
– 57X + 800 = 0
Phương trình có 2 nghiệm là X
1

= 32 ; X
2
= 25
Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn: x = 32 , y = 25
Do đó:
( )
2
40 2 57 57 40 2 32 25 32 25 4 2 5− = − = − = − = −
Ta suy ra:
( ) ( )
4 2 5 4 2 5 10B = − − + = −
Vậy
( ) ( )
4 2 5 4 2 5 10B = − − + = −
Bài 26: Tính
6 3
4 2 3. 1 3M = − +
Giải: Ta có
( ) ( ) ( )
2
6 3 3
3
6
3
4 2 3. 1 3 3 1 . 1 3 3 1 1 3 2M = − + = − + = − + =
Vậy
3
2M =
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
14

Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Bài 27: Số sau đây là số hữu tỉ hay số vô tỉ
( ) ( )
4 15 10 6 4 15A = + − −
?
Giải: Ta rút gọn A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 15 10 6 4 15 10 6 4 15 4 15A = + − − = − + −
( )
10 6 4 15= − +
Vì
( ) ( )
10 6 2 5 3 0− = − >
nên ta có thể viết:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 5 3 4 15 2 8 2 15 4 15 4 2A = − + = − + = =
Vậy
( ) ( )
4 15 10 6 4 15 2A = + − − =
là một số hữu tỉ
Bài 28: Tính
( )
2
2 3 2 2 3
1 3
3 1 3 3
A
+ +

= + × −
− −
Giải: Biểu thức trong căn thức thứ nhất có thể viết:
( ) ( )
2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 3 3
6
3 1 3 3 3 1 3 3
3 3 1 3 3 1
+ + + + + − − +
+ = − = = =
− − − −
− −
Do đó ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 3 1 3 1 2 3 3 1
3 3 3 3
3 1
6 6 6 3
A
+ − −
+ −
= × − = = =
Bài 29: Số sau đây là số hữu tỉ hay vô tỉ
3 3
5 2 7 5 2 7k = + + −
Giải: Ta có
3 3

5 2 7 5 2 7 0k = + + − >
=>
( ) ( )
3 3 3
3
10 2 3 5 2 7 5 2 7 . 10 2 3 3 10 2 0k k k k k k= + + − ⇔ = + ⇔ − + =
(*)
Hệ thức (*) chứng tỏ k là số vô tỉ. Vậy: số k đã cho là một số vô tỉ
Bài 30: Số sau đây là số hữu tỉ hay vô tỉ
( ) ( )
3 5 3 5 10 2a = − × + × −
?
Giải:Ta có thê viết
( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5 10 2 4 3 5 10 2a = − × + × − = + × −
Vì
( )
10 2 2 5 1 0− = − >
nên ta có thể viết:

( ) ( ) ( ) ( )
2
8 3 5 5 1 8 3 5 6 2 5 64 8a = + − = + − = =
Vậy
( ) ( )
3 5 3 5 10 2a = − × + × −
là một số hữu tỉ và a = 8
Bài 31: So sánh các số sau đây:
1
7 6−

và
3 4
6 3 7 3
+
− +
Giải: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
3 6 3 4 7 3
3 4 1
6 3 7 3 7 6
6 3 7 3
6 3 7 3 7 6
+ +
+ = + = + + + = + =
− −
− + −
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
15
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Vậy:
1 3 4
7 6 6 3 7 3
= +
− − +
Bài 32: So sánh các số sau đây
3 5
5 2 7 2
+
− +

và
2
7 5−
Bài 33: Cho
3 3
5 2 5 2x = + − −
. Tính giá trị của biểu thức
( )
3
3f x x x= +
Giải: Ta có
( ) ( )
3 3 3
3 3
3
5 2 5 2 2 5 3 5 2 5 2 . 2 5 3 3 2 5x x x x x x x= + − − => = − + − ⇔ = − ⇔ + =
Vậy
( )
2 5f x =
Bài 34: Đơn giản biểu thức
13 30 2 9 4 2+ + +
Giải: Trước hết nhận xét rằng:
( )
2
9 4 2 2 2 1+ = +
Do đó ta có:
13 30 2 9 4 2 13 30 3 2 2A = + + + = + +
Ta lại có:
( )
( ) ( )

2
2
3 2 2 2 1
13 30 2 1 43 30 2 25 18 2.5.3 2 5 3 2 5 3 2A
+ = +
=> = + + = + = + + = + = +
Vậy:
13 30 2 9 4 2 5 3 2+ + + = +
Bài 35: Cho
3 3
3 2 3 2z = + + −
. Tính giá trị của biểu thức
( )
3
3g z z z= −
CHUYÊN ĐỀ IV: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Chứng minh rằng nếu a+ b + c = abc và
1 1 1
2
a b c
+ + =
thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
Giải: Ta có
1 1 1
2

a b c
+ + =
bình phương hai vế, ta có
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4
1 1 1
2
a b c
a b c ab bc ca a b c abc
a b c
+ +
 
+ + + + + = <=> + + + =
 ÷
 
=> + + =
Vậy: Nếu ta có a+ b + c = abc và
1 1 1
2
a b c
+ + =
thì ta cũng có
2 2 2
1 1 1
2
a b c

+ + =
Bài 2: Chứng minh rằng nếu ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2a b b c c a a b c b c a c a b− + − + − = + − + + − + + −
thì a = b = c
Giải: Đặt
( ) ( ) ( )
2 2 2
A a b b c c a= − + − + −
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2A a b c b c a c a b= + − + + − + + −
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
16
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 3
a c b c b a c a c b a b
a b b c c a a c b c b a c a c b a b
A a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a b

A c a b c a b A
= − + − + − + − + − −     
     
 
= − + − + − + − − + − − + − −
 
= + − − + − − + − − + − − + − − + − −
= + − + − + − =
Do đó ta có:
A = 3A  A = 0 
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a− + − + − =
0
0
0
a b
b c a b c
c a
− =


⇔ − = ⇔ = =


− =

( đpcm)
Bài 3: Đặt a + b + c = 2p. Chứng minh đẳng thức
( ) ( ) ( )

2 2 2
2 2 2 2
p a p b p c p a b c− + − + − + = + +
Giải: Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2p a p b p c p p p a b c a b c a b c− + − + − + = − + + + + + = + +
Vậy :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
p a p b p c p a b c− + − + − + = + +
Bài 4: Chứng minh rằng số
1 1 1 1

2 3 4 16
m = + + + +
không phải là số nguyên
Giải: Đặt
p
m
q
=
. Nhận xét rằng q chẵn và p lẻ. Do đó m không thể là một số nguyên.
Bài 5: Chứng tỏ số sau:
( )
1 1 1 1
,
1.2 2.3 3.4 1

p n N
n n
= + + + + ∈
+
và
1n ≥
không phải là số nguyên
Giải: Ta có
( )
1 1 1 1
1
1 1 1 1
n
p
k k k k n n
= − => = − =
+ + + +
. Vậy p không phải là một số nguyên
Bài 6: a. Biết rằng ax + by + cz = 0, hãy tính gí trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
bc y z ca z x ab x y
R
ax by cz
− + − + −
=
+ +
b. Chứng minh rằng nếu ta có:
'

1
'
a b
a b
+ =
và
'
1
'
b c
b c
+ =
thì ta cũng có abc + a’b’c’ = 0
HD: a. Bình phương hai vế của giải thiết =>
2 2 2 2 2 2
2 2 2a x b y c z abxy bcyz cazx+ + = − − −
(*)
Khai triển tử số. Sử dụng (*) => đpcm
b. Nhân hai vế của đẳng thức
'
1
'
a b
a b
+ =
với
'
b
b
rồi khử

'
b
b
giữa hai hệ thức => đpcm
Giải: a. Ta có ax + by + cz = 0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a x b y c z abxy bcyz cazx
a x b y c z abxy bcyz cazx
⇔ + + + + +
⇔ + + = − − −
(*)
Tử số của biểu thức R có thể viết
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2bc y z ca z x ab x y abxy bcyz cazx+ + + + + − − −
Và sử dụng (*), ta có tử số của R bằng
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc y z ca z x ab x y a x b y c z+ + + + + + + +
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
17
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2

2 2 2
2 2 2
x a ab ac y ab b bc z ac bc c
ax a b c by a b c cz a b c
a b c ax by cz
= + + + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + +
=> R = a+b +c
Vậy : R a + b + c
b.Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất
'
1
'
a b
a b
+ =
với
'
b
b
, ta có
1
' ' '
ab b
a b b
+ =
(1)
Từ đẳng thức thứ hai, ta có:
'

1
'
b c
b c
= −
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
'
1 ' ' ' 0
' '
ab c
abc a b c
a b c
= − ⇔ + =
Vậy nếu ta có:
'
1
'
a b
a b
+ =
và
'
1
'
b c
b c
+ =
thì ta cũng có abc + a’b’c’ = 0
Bài 7: a. Chứng minh điều khẳng định sau:

a b a b c d
b c a b c d
+ +
= ⇔ =
− −
b. Chứng minh rằng nếu ta có :
' ' '
a b c
k
a b c
= = =
thì ta cũng có
2 2 2
2 2 2
' ' '
a b c
k
a b c
ε
+ +
=
+ +
(
ε
= +1 hoặc
ε
= -1 tùy theo k)
Giải: a. Ta có:
a c a b a b a b
b d c d c d c d

+ −
= ⇔ = = =
+ −
. Do đó ta có
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
b. Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' ' '
a b c a b c a b c
k k k
a b c a b c a b c
+ +
= = = ⇒ = = = ⇒ =
+ +
Do đó:
2 2 2
2 2 2
1
' ' '
a b c
k
a b c
± + +
=

+ +
Vậy
2 2 2
2 2 2
' ' '
a b c
k
a b c
ε
+ +
=
+ +
Bài 8: Chứng minh rằng:
Nếu ta có
a c
b d
=
thì
4
4 4
4 4
a b a b
c d c d
− +
 
=
 ÷
− +
 
( Đề thi HSGMB 1969 – 1970)

Giải: Ta có
4
4 4
4 4
a c a b a b a b
b d c d c d c d
−
 
= ⇔ = => = =
 ÷
−
 
(1)
Ta lại có:
4 4 4 4
4 4 4 4
a b a b
c d c d
+
= =
+
(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 9: Chứng minh rằng nếu
a b
b d
=
thì
2 2
2 2

a b a
b d d
+
=
+
Giải: Đặt
a b
k
b d
= =
, ta có:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
a b a b
k k
b d b d
+
= = => =
+
(1)
Mặt khác, ta lại có:
2
a b a
k
b d d
= × =
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
2 2

2 2
a b a
b d d
+
=
+
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
18
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Bài 10: Chứng minh đẳng thức:
( )
1 1 1 1 1 1 1

1.2 3.4 5.6 2 1 .2 1 2 2n n n n n
+ + + + = + + +
− + +
Giải: Ta có
( )
( )
( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 1 .2 2 1 .2 2 1 2 2 1 .2 2 2 2
n n n n n n n
k k k k k k k n
k k
k k k k k k k k k k k k k k

= = = = = = = +
− −
= = − => − = − = − =
− − − −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Vậy:
( )
1 1 1 1 1 1 1

1.2 3.4 5.6 2 1 .2 1 2 2n n n n n
+ + + + = + + +
− + +
Bài 11: Chứng minh đẳng thức:
1 1 1
40
1 2 2 3 1680 1681
+ + + =
+ + +
Giải: Ta có
1
1
1
n n
n n
= + −
+ +
. Do đó
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 1 3 2 1681 1680

1 2 2 3 1680 1681
+ + + = − + − + + −
+ + +

1681 1 40= − =
, đpcm
Bài 12: Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
Giải: Ta có thể viết:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
a c a b
b c
a b a c a b a c a b c a
− − −
−
= = +
− − − − − −
(1)
Tương tự ta có:
( ) ( )
1 1c a
b c b a b c a b

−
= +
− − − −
(2)
( ) ( )
1 1a b
c a c b c a b c
−
= +
− − − −
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế => đpcm
Bài 13: Chứng minh rằng nếu a + b +c = 0 thì
3 3 3
3a b c abc+ + =
Giải:
Cách 1:Ta có: a + b + c =0  a = -( b + c)
Do đó:
( ) ( )
3
3 3 3 3 3 3
3 3a b c b c bc b c a b c abc= − + = − − − + ⇔ + + =
Cách 2: Ta có
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
3a b a b a ab b a b a b ab+ = + − + = + + − 
 
Thay a + b = - c , ta có:

( )
3 3 2 3 3 3
3 3a b c c ab a b c abc+ = − − ⇔ + + =
Bài 14: Chứng minh rằng nếu ta có:
a + b + c + d = 0 thì ta cũng có
( ) ( )
3 3 3 3
3a b c d ac bd b d+ + + = − +
Giải: Ta có a + b + c + d = 0  a + c = -(b+d)
Lập phương hai vế ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3a c ac a c b d bd b d a b c d ac a c bd b d+ + + = − − − + ⇔ + + + = − + − +
Thay a + c = -( b + d), ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3a b c d ac b d bd b d a b c d ac bd b d+ + + = − + − + ⇔ + + + = − +
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
19
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Vậy: Nếu ta có a + b + c + d = 0 thì ta cũng có
( ) ( )
3 3 3 3
3a b c d ac bd b d+ + + = − +
Bài 15: Chứng tỏ rằng nếu ta có:
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c
− − −
= =

thì ta suy ra được
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z
− − −
= =
( Đề thi HSGMB 1971 – 1972)
Giải: Ta đặt
2 2 2 2 2 2
; ;
x yz y zx z xy x yz y zx z xy
k a b c
a b c k k k
− − − − − −
= = = ⇒ = = =
Do đó ta có:
2
2 2 2
2 2 3 3 3
2 2
3
x yz y zx z xy
k k k
a bc a bc x y z xyz
x k x k
 
− − −
− ×
 ÷
− − + + −

 
= ⇔ =
(1)
Tương tự ta có:
2 3 3 3
2
3y zx x y z xyz
b
k k
− + + −
= =
(2)
2 3 3 3
2
3z xy x y z xyz
c
k k
− + + −
= =
(3)
Từ (1), (2), (3) => đpcm
Cách 2: Dùng dãy tỉ số bằng nhau. Từ giả thiết, ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
a bc a bc

y zx z xy
x yz x yz y zx z xy
−
= =
− −
− − − − −
(1)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2
b ac b ac
y zx x yz z xy
y zx x yz z xy
−
= =
− − −
− − − −
(2)
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
2 2 2
c c ab
z xy
z xy x yz y zx

−
=
−
− − − −
(3)
Ba vế trái của (1), (2), (3) bằng nhau nên ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a bc b ac c ab
x yz y zx z xy y zx x yz z xy z xy x yz y zx
− − −
= =
− − − − − − − − − − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
a bc b ac c ab
x x y z xyz y x y z xyz z x y z xyz
− − −
= =
+ + − + + − + + −
=> đpcm
Bài 16: Cho ba số thực a, b, c khác 0. chứng minh rằng nếu ta có
( )
2
2 2 2
a b c a b c+ + = + +

(1)
thì ta cũng có
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a bc b ca c ab
+ + =
+ + +
(2)
2 2 2
1
2 2 2
bc ca ab
a bc b ca c ab
+ + =
+ + +
(3)
Giải: Ta có
(1)  ab + bc + ca = 0
Đặt t = 2( a + b + c), ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 3a bc a ab ca a a b c a bc a a t+ = − + = − + ⇔ + = − 
 
Tương tự ta có :
( )
( )
2

2
2 3
2 3
b ca b b t
c ab c c t
+ = −
+ = −
Gọi S là vế trát của (2), ta có :
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
20
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
3 3 3
a b c
S
a t b t c t
= + +
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 3
3
3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
27 6

27 18 3
27 4
1
27 4
a b t c t b a t c t c a t b t
a t b t c t
abc ab bc ca t a b c t
abc ab bc ca t a b c t t
abc a b c
abc a b c
− − + − − + − −
=
− − −
− + + + + +
=
− + + + + + −
+ + +
= =
+ + +
Vậy S =1 => đpcm
Gọi S’ là vế trái của (3), Ta có :
2S’ + S = 3  S’ = 1. Vậy S’ = 1 (đpcm)
Bài 17 : Cho x, y là hai số thực bất kì khác 0. chứng minh rằng biểu thức :
xy x y x y
P
xy x y x y
−  
= + −
 
−

 
không phụ thuộc vào x và y.
Giải : Ta xét 2 trường hợp
a. Trường hợp x và y cùng dấu :
Ta có :
1
x x y
y
xy xy P
x y x y
= <=> = ∨ = => =
b. Trường hợp x và y trái dấu :
Ta có :
x x y
y
xy xy
x y x y
= − <=> = − ∨ = −
Mặt khác :
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
+ −
− = + ⇔<=> = = =
− − −
Do đó ta có :
2 1
xy x x
P
xy x x

= + × =
Bài 18 : 1. Cho a > 0. chứng minh rằng nếu ta có :
1 1
a a
a a
− = +
(1)
Thì ta cũng có (2)
1
5a
a
− =
(3)
2. Hãy xác định a
Giải:
1. Ta có:
1 1 1 1
(1) 1a a a a
a a a a
  
⇔ − + = + ⇔ − =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
(1’)
Bình phương hai vế (1’) ta có:
1
3a
a
+ =

(2)
Mặt khác ta lại có:
2 2
1 1 1
4 5a a a
a a a
   
− = + − => − = ±
 ÷  ÷
   
Nhưng, theo (1),
1
a
a
−

Do đó:
1
5a
a
− =
(3)
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
21
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Từ (2) và (3)
3 5
2
a
+

=
Bài 19: Chứng minh rằng:
( ) ( )
x y z
ax by cz a b c x y z
a b c
= = ⇔ + + = + + + +
( Với a, b, c,x, y, z > 0)
Giải: Ta có
( ) ( )
( )
2
2 2 2
a b c x y z
x y c ax by cz x y z
a b z a b c a b c
a b c
+ + + +
+ +
= = = = = = =
+ +
+ +
=>
( ) ( )
a b c x y z
by
ax cz
a b c a b c
+ + + +
= = =

+ +
=>
( ) ( )
ax by cz a b c x y z+ + = + + + +
( HS chứng minh phần đảo)
Bài 20: Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
1.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
ax by ay bx a b x y+ + − = + +
2.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
ax by ay bx a b x y+ − + = − −
Giải:
1. Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2ax by ay bx a x abxy b y a y abxy b x a b x a b y+ + − = + + + − + = + + +
( ) ( )
2 2 2 2
a b x y= + +
Vậy:
( ) ( )

( ) ( )
2 2
2 2 2 2
ax by ay bx a b x y+ + − = + +
2. Chứng minh tương tự:
Bài 21: Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
1.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b c d ac bd ad bc+ + − + = −
2.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c a b c aa bb cc ab a b bc b c ca c a+ + + + − + + = − + + + +
( hằng đẳng thức Lagrange)
Giải:
1. Tương tự bài 20
2. Thực hiện phép nhân và phép bình phương ở vế trái => đpcm
Ta có:
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c a b c aa bb cc a a bb cc a b b a a c c a b c b c+ + + + − + + = + + + + + + + +
( )
2

2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' 'aa bb cc a a b b c c aa bb aa cc bb cc+ + = + + + + +
Do đó vế trái bằng:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' ' 2 ' 'a b a b aa bb b c b c bb cc c a c a aa cc+ − + + − + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
' ' ' ' ' 'ab a b bc b c ca c a= − + − + −
Vậy đẳng thức (2) được chứng minh.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
a.
2 3 2 6
2 4
+ +
=
b.
2 3 2 3
4
2 3 2 3
+ −
+ =
− +
HD: Muốn chứng minh một đẳng thức, phương pháp chung là biến đổi vế phức tạp ( thường là vế trái)
thành vế đơn giản ( vế phải)
Nhận xét rằng:
( )
2
4 2 3 1 3+ = +
Giải:

a. Ta có thể viết:
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
22
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( )
2
1 3
1 3
2 3 4 2 3 1 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2
+
+
+ + +
= = = =
Trục căn thức ở mẫu số, ta có:
2 3 2 6
2 4
+ +
=
b. Tương tự
Bài 23: Chứng minh rằng:
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − +
(1)
Giải: Gọi A là vế trái của (1)

( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3 3 2 3 3 3
2 3 2 3 2 3 2 3
6
2 3 3 3 3
4 4 2 3 2 4 2 3
A
+ − + − +
+ − + −
=> = + = + =
+ −
+ + − +
( ) ( )
3 3 3 3
1
6
+ + −
= =
Vậy A =
2
Bài 24: Số thực sau đây là số hữu tỉ hay vô tỉ:
3 3
847 847
6 6
27 27
a = + + −
Giải: Ta có
3 3
3
847 5

12 3 36 12 3 5 12 5 12 0
27 3
a a a a a a= + − × = + × = + ⇔ − − =
(*)
Như vậy a là một nghiệm của phương trình (*). Ta có:
(*)  ( a – 3)(a
2
+ 3a + 4) = 0
Mặt khác, ta có:
2
3
3
847
6 6 1 3 4 0
27
a a a> + > > => + + >
Do đó (*) có nghiệm duy nhất a = 1. Vậy a là số hữu tỉ
CHUYÊN ĐỀ V: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1:So sánh các số sau:
5 1
5 10 2 5
a
+
=
−
và
3
6
b =
Giải: Vì a, b > 0 nên ta xét:

( )
( )
2
2 2
2
3 5
37 5 89
25 5 5
300 5 5
1
12
a
a b
b

+
=

−
−

=> − =

−

=


Vì 6845 < 7921 nên
37 5 89<

2 2 2 2
0a b a b a b⇔ − < ⇔ < => <
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
23
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
Vậy:
5 1 3
6
5 10 2 5
+
<
−
Bài 2: So sánh các số:
9
11 2
a =
−
và
6
3 3
b =
−
HD:Trục căn thức ở mẫu
Giải: Ta có thể viết:
( )
( ) ( )
( )
9 11 2 9 11 2
9
11 2

11 2
11 2 11 2
a
+ +
= = =
−
−
− +
11 2a<=> = +
( )
( ) ( )
( )
6 3 3 6 3 3
6
9 3
3 3
3 3 3 3
b
+ +
= = =
−
−
− +

3 3b⇔ = +
Ta có:
( )
2 2
11 2 11 2 22 2 13 2 22a a= + = + + ⇔ = +
( )

2
2 2
3 3 9 6 3 3 12 6 3 13 6 3 1b b= + = + + ⇔ = + = + −
Do đó ta chỉ cần so sánh
2 22c =
và
6 3 1d = −
Giải sử:
2 22 6 3 1 88 109 12 3 12 3 21 432 441> − ⇔ > − ⇔ > ⇔ >
điều này vô lý. Do đó
2 2
2 22 6 3 1 a b< − ⇔ <
Vì a, b > 0. ta có a < b . vậy a < b
Bài 3: Trong hai số sau đây số nào lớn hơn:
1969 1971a = +
và
2 1970b =
Giải: Ta có
2 2 2
1970 1 1970 1969.1971 1970 2 1969.1971 2.1970− < ⇔ < ⇔ <
(*)
Cộng 2.1970 vào hai vế của (*), ta có:
( ) ( )
2 2
2.1970 2 1969.1971 4.1970 1969 1971 2. 1970 1969 1971 1970+ < ⇔ + < ⇔ + <
Vậy:
1969 1971 1970+ <
Bài 4: Trong hai số sau đây:
1993 1995a = +
và

2 1994b =
số nào lớn hơn?
Bài 5: Cho 1 < a < b + c < a + 1 và b < c. Chứng minh rằng b < a
HD: Sử dụng tính chất bắc cầu của quan hệ “ < “
Giải: Ta có b < c  2b < b + c (1)
Theo giải thiết, ta có: b + c < a + 1 (2)
Từ (1) và (2) => 2b < a + 1 (3)
Ta lại có: 1 < a  a + 1 < 2a (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 2b < 2a => b < a
Vậy: b < a
Bài 6: Chứng minh rằng
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Cách 1: Ta có:
( )
2
2 2 2 2
0 2 0 2a b a ab b a b ab− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥
(1) ( Dấu “=” xảy ra  a = b”
Tương tự:
2 2
2b c bc+ ≥
(2)
2 2
2c a ca+ ≥
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin

24
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +
Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
b c a b c
c a
=


= ⇔ = =


=

Cách 2:
Ta có:
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
1
2 2
2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
 
+ + − + + = + + − + +
 

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
0
2
a b b c c a
 
− + − + − ≥
 
Vì
( ) ( ) ( )
2 2 2
0, 0, 0a b b c c a− ≥ − ≥ − ≥
=> đpcm
Cách 3: Dùng phương pháp phản chứng
Bài 7: Cho ba số a,b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + +
Giải: Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:
2
2
2
a ab ca
a b c
b c a b bc ab
c a b
c ca bc

< +

< +



< + ⇔ < +
 
 
< +
< +


Do đó:
( )
2 2 2
2a b c ab bc ca+ + < + +
Chứng minh
2 2 2
ab bc ca a b c+ + ≤ + +
( xem bài 6)
=> đpcm
Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
( Bất đẳng thức Bunhiacốpski)
Giải: Chứng minh bài toán phụ
( ) ( )
( ) ( )

2 2
2 2 2 2
ac bd ad bc a b c d+ + − = + +
( xem bài 21 chuyên đê IV)
Do đó:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0
a b
ad bc
c d
− = ⇔ =
Bài 9: Chứng minh bất đẳng thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' 'aa bb cc a b c a b c+ + ≤ + + + +
Giải: Chứng minh bài toán phụ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c a b c aa bb cc ab a b bc b c ca c a+ + + + − + + = − + − + −
( hằng đẳng thức Lagrange bài 21 chuyên đề IV)
=>

( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' 0a b c a b c aa bb cc+ + + + − + + ≥
Do đó ta có:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' 'aa bb cc a b c a b c+ + ≤ + + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
' ' 0
' ' 0
' ' '
' ' 0
ab a b
a b c
bc b c
a b c
ca c a
− =


− = ⇔ = =


− =

Bài 10: Chứng minh rằng tất cả 6 tích số:

1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3
, , , , ,a b c a b c a b c a b c a b c a b c− − −
không thể cùng dương
Giải: Giả sử cả 6 tích số đã cho đều dương
Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin
25